基本不等式的综合应用

关键词：独学寡闻合作学习

基本不等式的综合应用（精选八篇）

基本不等式的综合应用篇1

数学问题解决离不开对已知条件、结论、结构、形式等变化, 通过变化变出公式的模型, 从而变化解题思路.基本不等式

$\begin{array}{l} \sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} \\ (a \geq 0, b \geq 0) \end{array}$

是证明不等式、求函数最值的重要工具, 是由等式向不等式转化的桥梁, 在新教材中这一工具作用体现更明显, 解题中保证“一正、二定、三相等”, 且灵活变化 (添凑项) 使用基本不等式是成功解 (证) 题的关键.

一、加一项

例1 设x>0, 求函数 $y = x + \frac{2}{2 x + 1}$ 的最小值.

分析:若直接使用基本不等式消不掉x, 得不到常数, 即不满足定值这一条件, 可以通过添项解决.

解: $x + \frac{2}{2 x + 1} = x + \frac{1}{x + \frac{1}{2}} = x + \frac{1}{2} + \frac{1}{x + \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \geq 2 \sqrt{(x + \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{x + \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} .$

当 $x + \frac{1}{2} = \frac{1}{x + \frac{1}{2}}$ , 即 $x = \frac{1}{2}$ 时等号成立.

所以函数 $y = x + \frac{2}{2 x + 1}$ 的最小值 $\frac{3}{2} .$

例2 已知a、b都是正数, 求证

$\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} .$

分析:直接运用基本不等式得不到等式右端, 可以通过添项创造条件使用基本不等式.

证明: $\frac{a}{\sqrt{b}} + \sqrt{b} + \frac{b}{\sqrt{a}} + \sqrt{a} \geq 2 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b}$ , 所以 $\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} .$

注:若直接使用基本不等式, 则无法消去变量x, 得不到常数, 即直接使用不可行时, 此时需对条件作结构上的变换, 通过添项, 创造条件寻求定值使用基本不等式.

二.减一项

例3 设x≥5 , 求函数 $y = x + \frac{3}{x}$ 的最小值.

分析:若直接使用基本不等式, 可以消去x, 但等号无法取到, 通过变换, 减一项, 使基本不等式的条件等号取到, 部分使用不等式.

解:把条件变为 $y = x + \frac{3}{x} = x + \frac{25}{x} - \frac{22}{x}$ , 而 $y = x + \frac{25}{x} \geq 2 \sqrt{25} = 10$ 在x=5时取得最小值, 当x≥5时, $- \frac{22}{x} \geq - \frac{22}{5}$ , 所以 $y = x + \frac{3}{x}$ 在x=5时有 $y_{\min} = 10 - \frac{22}{5} = \frac{28}{5} .$

例4 设0<x≤1, 求函数 $y = x + \frac{3}{x}$ 的最小值.

解:把条件变为 $y = x + \frac{3}{x} = x + \frac{1}{x} + \frac{2}{x}, y = x + \frac{1}{x} \geq 2$ 在x=1时取得最小值.

当0<x≤1时, 而 $\frac{2}{x} \geq 2$ , 所以 $y = x + \frac{3}{x}$ 在x=1时有ymin=2+2=4.

三、乘一项

例5 已知a, b∈R, x, y都是正数, 求证

$\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y} .$

分析:分子分母次数不对称, 不等式不能直接用, 故可以乘一项, 改变结构.

证明: $(\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y}) (x + y) = a^{2} + b^{2} + \frac{a^{2} y}{x} + \frac{b^{2} x}{y} \geq a^{2} + b^{2} + 2 a b,$

所以 $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y} .$

例6 已知x>0, y>0, 且 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$ , 求x+y的最小值.

解: $x + y = (x + y) \cdot 1 = (x + y) (\frac{1}{x} + \frac{9}{y}) = 1 + 9 + \frac{y}{x} + \frac{9 x}{y} \geq 10 + 6 = 16 .$

所以x+y的最小值16.

例7 已知2a2+b2=1, 求 $a \sqrt{1 + b^{2}}$ 的最大值.

解: $a \sqrt{1 + b^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} a \sqrt{1 + b^{2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(\sqrt{2} a)^{2} + (\sqrt{1 + b^{2}})^{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

所以 $a \sqrt{1 + b^{2}}$ 的最大值 $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

注:通过乘一项, 转换已知条件, 特别是乘1, 是使用基本不等式中常用的方法.

四、除一项

例8 已知x>50, 求函数 $y = \frac{x - 50}{(x - 40)^{2}}$ 的最大值.

分析:分子是一次而分母是二次, 可以通过换元变化, 同除分子 (分母) 中的变量使用不等式.

解:设x-50=t>0,

则 $y = \frac{x - 50}{(x - 40)^{2}} = \frac{t}{(t + 10)^{2}} = \frac{t}{t^{2} + 20 t + 100} = \frac{1}{t + \frac{100}{t} + 20} \leq \frac{1}{2 \sqrt{100} + 20} = \frac{1}{40} .$

例9 设x>0, y>0, 且 $\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq t \sqrt{x + y}$ 恒成立, 求实数t的取值范围.

解:由 $\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq t \sqrt{x + y}$ , 得 $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x + y}} < t,$

而 $(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x + y}})^{2} = \frac{x + y + 2 \sqrt{x y}}{x + y} = 1 + \frac{2 \sqrt{x y}}{x + y} \leq 1 + \frac{2 \sqrt{x y}}{2 \sqrt{x y}} = 2,$

所以 $(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x + y}})_{\max} = \sqrt{2}$ , 所以 $t \geq \sqrt{2} .$

五、变一项

例10 已知x>y>0, 且xy=1, 求 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y}$ 的最小值及此时x, y的值.

分析:对分子变化, 向基本不等式结构转化, 灵活使用公式.

$\begin{array}{l} 解 ∶ 因为 \frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} = \frac{(x - y)^{2} + 2 x y}{x - y} = \\ (x - y) + \frac{2}{x - y} \geq 2 \sqrt{2} . \end{array}$

所以 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} .$

由

${\begin{cases} (x - y) = \frac{2}{x - y} \\ x y = 1 \end{cases},$

解得 $x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}, y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} .$

例11 设a>b>0, 求 $a^{2} + \frac{16}{b (a - b)}$ 的最小值.

分析:两个变量一次消不掉, 可以分步进行, 但要注意等号成立的条件要一致.

解法1:由 $\frac{16}{b (a - b)} \geq \frac{16}{(\frac{b + a - b}{2})^{2}} = \frac{64}{a^{2}}$ , 此时等号成立条件是b=a-b即

a=2b, 所以 $a^{2} + \frac{16}{b (a - b)} \geq a^{2} + \frac{64}{a^{2}} \geq 2 \sqrt{64} = 16$ .此时等号成立条件是, $a^{2} = \frac{64}{a^{2}}$ 即a=4, 所以此时b=2.

解法2:因a2= (a-b+b) 2= (a-b) 2+2 (a-b) b+b2, 又a>b>0, 所以a-b>0, 故有a2≥4 (a-b) b, 所以

$\begin{array}{l} a^{2} + \frac{16}{b (a - b)} \geq \\ 4 (a - b) b + \frac{16}{b (a - b)} \geq 16, 等号成立条件同上 . \end{array}$

基本不等式的综合应用篇2

建水县第二中学：

贾雪光

 从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理，大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是sin(AB)sinC、cosAB2sinC的联系是关键。

于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，如：

1、在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A1212sin2A，a7求△ABC的面积的最大值；

2、已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？

实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的收获哦。

我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式：

a2bc2bccosA, 2

2b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC

同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：b2c22bc，a2c22ac，b2a22ab在三角形中各边都是正数，所以上面三个式子在a、b是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式综合后会发现这样的一组公式即：a22bc(1cosA),b22ac(1cosC)

c22ab(1cosc)于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是，一求函数值域；

二、导函数；

三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。

于是我没有：

例1：在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A12sin2A，a7求△ABC的面积的最大值。

解析：由已知条件cos2A得A=312sin2A有cos2Asin2A12即cos2A212所以知道2A=

323解，同时由于a2b2c22bccosA、b2c22bc知7b2c22bccos1212 即有：72bcbc也就是有bc7 同时又因为SABC734734bcsinAbcsin312732于是有：SABC即△ABC的面积的最大值是

例2：已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求

2角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

解析：由两向量共线知：2sin2A3cosAsinA3即：1cos2A3sin2A3也就是说

3sin2Acos2A2有辅助角公式可知2sin(2A6)2即有sin(2A6)1解得角A3，又由于：a2b2c22bccosA、b2c22bc知22b2c22bccos即有：42bcbc也就是有bc4 同时又因为SABC43412123

1232bcsinAbcsin34

于是有：SABC 3即△ABC的面积的最大值是3

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。

解析：（1）由MN72解得cosA12所以A3

3A222（2）在△ABC 中abc2bccosA且a3bc2bc22所以有32bc2bccos223bcbc22即有bc3当且仅当bc时取等号，此时有abc所以当

△ABC面积最大时，三角形式正三角形。

不等式基本性质的应用篇3

1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变；

2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；

3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.

这三条基本性质是进行不等式变形的主要依据，现列举几例分析如下，供同学们复习时参考.

例1判断正误：

（1）若a>b，则ac>bc；

（2）若a>b，则ac2>bc2；

（3）若ac>bc，则a>b；

（4）若ac2>bc2，则a>b.

[分析：]（1）中是在a>b两边同乘以c，而c是什么数并不确定，若c>0，由不等式的基本性质2知，ac>bc；若c<0，由不等式的基本性质3知，ac

（2）中，当c=0时，ac2=bc2.故（2）是错误的.

对于（3），在不等式两边同除以c，因为不知道c是正数、负数或0，与（1）类似，可推出结论是错误的.

（4）中是在ac2>bc2两边同除以c2，而c2>0（为什么c≠0 ？），故（4）是正确的.

解：（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确.

[点评：]解这类题的关键是对照不等式的三条基本性质，分析从条件到结论到底应该运用哪一条性质，运用不等式性质的条件是否具备.

例2有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图1所示，下列式子中正确的是（）.

A． b+c>0B． a+b

C． ac>bc D． ab>ac

[分析：]由数轴上点的位置可以确定a、b、c之间的大小关系及它们各自的正负性，再根据不等式的基本性质对选项逐一分析，即可得出答案.

解：对于A，由图知c<0法则，有b+c<0，故A不正确；对于B，由图知b>c，两边同加上a后，根据不等式的基本性质1，有a+b>a+c，故B不正确；对于C，由图知a>b>0，c<0，根据不等式的基本性质3，有acc，a>0，根据不等式的基本性质2，有ab>ac，故应选D．

[点评：]解答此题的关键是既要能从数轴上看出a、b、c的大小关系及它们各自的正负性，还要考虑运用不等式的三条基本性质.

例3已知a<0，-1

[分析：]由a<0，b<0，可得ab>0，ab2<0.由-1a.

解：因为a<0，-10.

又-1a.

所以a

[点评：]灵活运用不等式的基本性质是解决这类题的关键.要特别注意，运用基本性质3时，不等号的方向要改变！

基本不等式在解题中的应用解析篇4

一、基本不等式在函数中的应用

在普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1第55页有这样一个问题:对于任意的x1, x2∈R, 若函数f (2) =2x, 试比较的大小.

这道题目是放在学生学习完指数函数后的一道探究拓展题的位置, 在当时的学生看来, 这道题目非常难理解, 也很难证, 但是在学习了基本不等式后再回头研究此题, 就显得比较简单, 这也体现了基本不等式做函数问题的优越性.证明如下:所以

二、基本不等式在解决扇形问题时的应用

在学习完扇形的弧长和面积公式后, 我们经常会遇见一类这样的问题:已知扇形的周长为a, 扇形的面积取最大值时, 求其圆心角α.而且在不断的改变周长以后, 发现所得的圆心角值始终不变, 基本不等式可以来说明这个问题.设扇形半径为r, 则其弧长为rα, 所以有

三、基本不等式在实际生活中的应用

1. 物品称量中的应用

例1某茶叶店有一架不标准的天平 (两臂不等) 和一个100 g的砝码, 一顾客要买200 g茶叶, 店员将砝码放在左盘中, 将茶叶放在右盘中, 待平衡后交给顾客, 然后又将砝码放在右盘中, 将茶叶放在左盘中, 待平衡后再交给顾客, 问店员做法合理吗?

分析:本题可以结合基本不等式来寻求解决办法, 在运用基本不等式时还要注意到等号所成立的条件.

解:设天平两臂长分别为a, b (b>a) , 茶叶的实际质量为m, 两次所称量的茶叶的实际质量分别为x, y克, 则克, 店员的做法对自己是不合理的.

2. 行程问题中的应用

例2汽车来回行驶完一段山路, 上坡时速度为a, 下坡时速度为b, (0

解:设从山坡到山顶的路程为s,

【评】解题的关键在于合理的表示出平均速度, 将问题转化为比较调和平均数和算术平均数的大小, 本问题还可以换一种表达方式, 如例3.

例3甲乙两从同时同地沿着同一路线走到同一地点, 甲有一半的时间以速度m行走, 另一半时间以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走, 另一半以速度n行走;如果m≠n, 问甲乙谁先到达指定地点.

分析:解决本题中的关键在于比较甲乙两人走完全程所需要的时间.

解:设从出发点到指定点的路程为s, 甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2, 由题意得

则

所以t1

3. 商品价格方面的应用

例4某商品计划两次提价, 有甲、乙、丙三种方案, 其中p>q>0 (具体见下表) 试问经过两次提价后, 哪种方案的提价幅度大?

分析:可先分析出三种方案之后商品的价格, 再比较它们的大小.

解:设该商品原来的价格为a, 两次提价后甲乙丙三种方案的价格分别为p1, p2, p3, 则

基本不等式的综合应用篇5

http://

难点20 不等式的综合应用

不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场

2(★★★★★)设二次函数f(x)=ax+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜1a.(1)当x∈［0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜

x12.●案例探究

［例1］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，(1)求a关于h的解析式；

(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托：本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值.错解分析：在求得a的函数关系式时易漏h＞0.技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理.解：①设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得：

12a4ha2

2消去h.解得:a1a2a2h1241h12(a0)

②由V13ah2h3(h1)而h)1h2(h＞0)

1h得：V13(h1h2h2

所以V≤16，当且仅当h=

1h即h=1时取等号

1故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米.6［例2］已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.(1)证明：|c|≤1；

(2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，有－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x).京翰教育http:///

高考网

http:// 命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局.技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.(1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是

g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，因此得|g(x)|≤2(－1≤x≤1)；

当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1 ∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，因此，根据绝对值不等式性质得： |a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1).证法三:x(x1)(x1)4x12)(222(x122x122)(2x12),x12)2g(x)axba[([a(f(x12x12)b(2)]b()b(2x12x12x122))c][a(x1)c])f(x1当－1≤x≤1时，有0≤

x12≤1，－1≤

x122x12≤0，x12∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f()|≤1，|f()|+|f（）|≤1；

因此当－1≤x≤1时，|g(x)|≤|f(x1x12)|≤2.京翰教育http:///

高考网

http://(3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即 g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2.∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，由此得－b2a

①

＜0，即b=0.2由①得a=2，所以f(x)=2x－1.●锦囊妙计

1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性.2.对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是（）①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)

③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)A.①③

B.②④

C.①④

二、填空题

2.(★★★★★)下列四个命题中：①a+b≥2ab

②sin2x+数，若1x9y

4D.②③

sin2x≥4 ③设x，y都是正=1，则x+y的最小值是12 ④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，则|x－y|＜2ε，其中所有真命题的序号是__________.3.(★★★★★)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.三、解答题

4.(★★★★★)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两实数根为x1，x2.(1)如果x1＜2＜x2＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范围.5.(★★★★)某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件，假若定价上涨x成(这里x成即x10，0＜x≤10).每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的 z倍.13(1)设y=ax，其中a是满足(2)若y=23≤a＜1的常数，用a来表示当售货金额最大时的x的值；

x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.6.(★★★★★)设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)²f(n)，且当x＞0

京翰教育http:///

高考网

http:// 时，0＜f(x)＜1.(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；

(2)求证：f(x)在R上单调递减；

22(3)设集合A={(x，y)|f(x)²f(y)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.7.(★★★★★)已知函数f(x)=(1)求b、c的值；

(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；(3)若t∈R，求证：lg

7516161352xbxcx122(b＜0)的值域是［1，3］，≤F(|t－|－|t+|)≤lg.京翰教育http:///

高考网

http://

参考答案

难点磁场

解：(1)令F(x)=f(x)－x，因为x1，x2是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x－x1)(x－x2).当x∈(0，x1)时，由于x1＜x2，得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)＞0，即x＜f(x)x1－f(x)=x1－［x+F(x)］=x1－x+a(x1－x)(x－x2)=(x1－x)［1+a(x－x2)］ ∵0＜x＜x1＜x2＜1ab2a，∴x1－x＞0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2＞1－ax2＞0 ∴x1－f(x)＞0，由此得f(x)＜x1.(2)依题意：x0=－的根.∴x1+x2=－∴x0=－∴x0＜b2ab1a，因为x1、x2是方程f(x)－x=0的两根，即x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0

ax1ax212aa(x1x2)12ax12，因为ax2＜1，ax12a

歼灭难点训练

一、1.解析：由题意f(a)=g(a)＞0，f(b)=g(b)＞0，且f(a)＞f(b)，g(a)＞g(b)∴f(b)－f(－a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)而g(a)－g(－b)=g(a)－g(b)∴g(a)+g(b)－［g(a)－g(b)］ =2g(b)＞0，∴f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)同理可证：f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)答案：A

二、2.解析：①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式：|x－y|=|(x－2)－(y－2)|≤|(x－2)－(y－2)|≤|x－2|+|y－2|＜ε+ε=2ε.答案：④

3.解析：由已知y1=20x20x20x；y2=0.8x(x为仓库与车站距离)费用之和y=y1+y2=0.8x+

≥20.8x=8 20x当且仅当0.8x=即x=5时“=”成立

答案：5公里处

三、4.证明：(1)设g(x)=f(x)－x=ax2+(b－1)x+1，且x＞0.∵x1＜2＜x2＜4，∴(x1－2)(x2－2)＜0，即x1x2＜2(x1+x2)－4，于是得x012b2a12(12

2b1a1a)12(x1x2)12x1x212(x1x2)(x1x2)2

(x1x2)2(24)21(2)解：由方程g(x)=ax+(b－1)x+1=0可知x1²x2=

1a＞0，所以x1，x2同号

京翰教育http:///

高考网

http:// 1°若0＜x1＜2，则x2－x1=2，∴x2=x1+2＞2，∴g(2)＜0，即4a+2b－1＜0 又(x2－x1)=2

①

(b1)a224a4

∴2a+1=(b1)21(∵a＞0)代入①式得，2(b1)21＜3－2b 解②得b＜1②

2°若－2＜x1＜0，则x2=－2+x1＜－2 ∴g(－2)＜0，即4a－2b+3＜0 又2a+1=(b1)21，代入③式得 2(b1)21＜2b－1 解④得b＞74

③

④

.14综上，当0＜x1＜2时，b＜，当－2＜x1＜0时，b＞

74.5.解：(1)由题意知某商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p(1+npzp(1x10x102)元、n(1－)n(1y10y10)元、npz元，因而

1100(10x)(10y)，在y=ax的条件下，z=131100),z2［－a ［x－5(1a)a］+100+25(1a)a］.由于≤a＜1，则0＜

5(1a)a5(1a)a≤10.要使售货金额最大，即使z值最大，此时x=(2)由z=1100.(10+x)(10－

23x)＞1，解得0＜x＜5.6.(1)证明：令m＞0，n=0得：f(m)=f(m)²f(0).∵f(m)≠0，∴f(0)=1 取m=m，n=－m，(m＜0)，得f(0)=f(m)f(－m)∴f(m)=1f(m)，∵m＜0，∴－m＞0，∴0＜f(－m)＜1，∴f(m)＞1(2)证明：任取x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)=f(x1)－f［(x2－x1)+x1］ =f(x1)－f(x2－x1)²f(x1)=f(x1)［1－f(x2－x1)］，∵f(x1)＞0，1－f(x2－x1)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)在R上为单调减函数.f(x2y2)f(1)x2y21得(3)由，由题意此不等式组无解，数形结合得：f(axy2)1f()axy20京翰教育http:///

高考网

http:// |2|a12≥1，解得a≤3 2∴a∈［－3，3］

2xbxcx1227.(1)解：设y=，则(y－2)x－bx+y－c=0

①

∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即 b2－4(y－2)(y－c)≥0，即4y2－4(2+c)y+8c+b2≤0

由条件知，不等式②的解集是［1，3］ ∴1，3是方程4y－4(2+c)y+8c+b=0的两根

132c28cb∴c=2，b=－2，b=2(舍）1342

②

(2)任取x1，x2∈［－1，1］，且x2＞x1，则x2－x1＞0，且(x2－x1)(1－x1x2)＞0，∴f(x2)－f(x1)=－

2x21x22(2x1x12)2(x2x1)(1x1x2)(1x1)(1x2)22＞0，∴f(x2)＞f(x1)，lgf(x2)＞lgf(x1)，即F(x2)＞F(x1)∴F(x)为增函数.(3)记u|t1613||t16|,|u||(t16)(t16)|13，即－F(－ 1313≤u≤，根据F(x)的单调性知

13)≤F(u)≤F()，∴lg

75≤F(|t－

16|－|t+

16|)≤lg

基本不等式的综合应用篇6

■ 类型一：a+b=k（k为定值）

由a+b≥2■可得ab≤■=■，当a=b时，ab乘积取最大值■.

■ 例1 晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉. 球飞离水平距离d后落地，如图1所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为■d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力.

（1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；

（2）求绳能承受的最大拉力；

（3）改变绳长，使球重复上述运动. 若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，求绳长以及抛出的最大水平距离.

■ 解析（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有

竖直方向■d=■gt2，水平方向d=v1t

得v1=■

由机械能守恒定律，有

■mv22=■mv21+mgd-■d

得v2=■

（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小.

球做圆周运动的半径为R=■d

由圆周运动向心力公式，有T-mg=■

得T=■mg

（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v３，绳承受的最大拉力不变，

有T-mg=m■得v3=■

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1.

有d-l=■gt21，x=v3t1，

得x=4■.

设a=l，b=d-l，则a+b=d（定值），由基本不等式可知，当a=b时，即

当l=■时，x有极大值xmax=■d

■ 类型二：ab=k（k为定值）

由a+b≥2■可得a+b≥2■，当a=b时，a，b之和取最小值2■

■ 例2 如图2所示，在投球游戏中小明坐在可沿竖直方向升降的椅子上，停在不同高度处将小球水平抛出落入固定的球框中. 已知球框距地面的高度为h0，小球的质量为m，抛出点与球框的水平距离始终为L，忽略空气阻力.

（1）小球从距地面高H0处水平抛出落入球框中，求此过程中小球重力势能的减少量；

（2）若小球从不同高度水平抛出后都落入球框中，试推导小球水平抛出的速度v与抛出点高度H之间满足的函数关系；

（3）为防止球入框时弹出，小明认为球落入球框时的动能越小越好，那么，他应从多高处将球水平抛出，可使小球入框时的动能最小，并求出该动能的最小值.

■ 解析（1）取地面为重力势能的参考平面，则小球在抛出点的重力势能Ep1=mgH0，小球在球框处的重力势能Ep2=mgh0，则小球重力势能的减少量为?驻Ep=mg（H0-h0）.

（2）设小球做平抛运动的时间为t，则L=vt，H-h0=■gt2，解得：v=L■，（H>h0）.

（3）由机械能守恒可知：Ek=Ek0+?驻Ep，且Ek0=■，?驻Ep=mg（H-h0），得

基本不等式的综合应用篇7

关键词：高中数学,合作学习法,有效,应用

合作学习是独立学习基础上的更高一层次的学习方式,它要求学生不断向别人提出问题,解决别人提出的问题。在这个过程中,学生的学习兴趣会渐渐增强,学习能力会不知不觉地提升,能力的展示会获得更宽广的平台,同时,独立自主的学习能力也得到进一步的提升。高中数学课堂上的合作学习不妨突出这几点:

一、精细化教学目标提升学生思维能力

我们在进行一堂数学课教学时,需要针对教学内容进行教学目标的细化,让教学目标具有可实现性,易于完成。教师必须要明确教学活动的目地,保障教学设计的可操作性。教学活动的难度、数量和坡度应该适宜学生的能力,把学生的兴趣和经验作为教学的重要考虑因素。教师要耐心指导学生解决比较困难的问题,放手让学生尝试解决,但不能放任学生随意处理,以防学生找不到正确答案,在小组讨论中失去方向,这样会导致教学质量降低。举例说明,我们可以在基本不等式的练习课上设计如下问题:

第一:求函数的最小值

第二:求函数的最小值

第三:求函数y=x(3-x)(x≤x≤1)的最小值

第四:若x>0,y>0,且求x+y的最小值

经过几个逐渐深入的问题的探讨解决,学生们获得了数学知识,提高了思维能力,且对于数学的学习欲望大大加强。在老师的引导下,让学生以小组的形式进行讨论,把教学目标首先传达给学生,让学生以循序渐进地难度来对数学知识点进行了解。并学会利用已知知识来解决遇到的数学问题,突出了学生在学习中的主体地位。

二、评价中鼓励比评比更有效

每个学生的独立精神形成小组合作,小组并不是让大家形成同一思维,而是让学生们充分展现自身的个性。所以说,在对学习成果进行评价的过程中要结合学习过程中表现,在对个人评价的过程中要结合集体的表现,告诉学生们合作学习的过程更重要,让学生们充分体会合作学习的精神。拿上面的例子来说,教师不应该直接告诉学生们正确答案,应该有条理的推进。通过讲解原理让学生自己思考,沿着老师提供的思路,寻求解决方法:像前面两道题,学生得出答案后,教师应引导性的对学生的答案做评价,比如继续发问后面的条件加与不加有什么区别;学生得出后面两道题答案之后,教师及时做了评价,还要设问等号取不到的情况如何解决?这样及时评价,又引出学生更多思考的空间,能够提高学生思考能力。所以说,激励在小组活动中是非常重要的。让学生在一个充满了探索的过程中,不断地提高对数学知识的探索能力以及积极性。

三、通过练习让学生学会多种解题方法

再举个例子:求的最大值,其中:a>0,b>0,a+b=1。老师组织学生小组讨论过程中,相互探讨得出多种答案,培养学生独立思考、挖掘答案的习惯,老师只是学习过程中的引路人,陪伴者,抛弃“满堂灌”的教学方式,让学生不再被动接受知识,而是主动追随自身兴趣的引导来学习;学习了本节课的内容,学生在学习数学知识的基础上,不断深化学习内容,了解知识形成过程,让学生以较强的思维能力完成学习任务。在这个过程中,有的小组经过讨论,会得到几种解题的方法。比如:利用二次函数求最大值、利用函数求最值的方法以及巧妙换元等不同的解题方法。一直以来,如何让学生能够更有效率的在课堂学习中学到知识困扰着教育人员。事实上,以学生为主、让学生主动学习知识的课堂才是高效的课堂,这样的课堂能让学生充分掌握课堂知识,实实在在的提高学习能力。所以说,教师要做好充分心理准备来准备教学教材,了解学生状态,预想到学习过程中学生会面临的任何问题。时代在前进,教育课程也在改进,新课程要求学生不再是被动接纳知识,老师不再是满堂灌,学生对学习知识有了主动权,这样的转变提高了对教师的要求,教师要灵活应对学生学习过程中遇到的问题,还要把握教学进度。通过简单例子的练习,学生们明白合作学习要每个小组成员发挥自己能力来独立思考问题,与他人合作探讨问题答案,最后享受成功的快乐,这样高效的课堂对学生来说是提升自我的良好平台。

四、学生变身为“讲课人”

很多时候,通过学生们探讨查询,已然能总结出正确解决方法,老师要做的就是针对性的鼓励评价,补充解释比较复杂的问题。所以,教师要敢于放开,让学生们主动总结学习到的知识,拥有展现自我的机会。经过不断的联系巩固,学生们有能力分析解决问题的思路,有能力提出解决问题的方法。例如,很多学生通过小组合作学习的方式掌握基本不等式在求最值时的规律技巧:等式各项的要求就是正数,负数可以通过添加负号的方式使其变为正数;还有小组发现了不等式取等号的基本条件;其他小组挖掘出适合应用基本不等式形式的方法,即加减项配凑。学生主动摸索问题的解决方案和其中规律的效果比教师授课的效果要好的多。老师在整个过程中。尽量不要对学生的讲解进行打断,多去倾听学生的思路,不仅有助于能够及时发现学生在学习中出现的问题,还可以培养学生的发散性思维能力,对于提升高中数学教学质量有着非常大的促进作用。

五、结语

“基本不等式的证明”教学案例篇8

1. 问题情境, 导入新课

投影:有一个珠宝商人, 很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题, 于是向工商局投诉, 工商局派人去调查, 商人承认他用的天平左右的杆长有问题, 向人们提出一个调解方案, 放左边称变重对人们不公平, 放右边称变轻商人要亏本, 那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量, 如果你是购买者, 你接受他的方案吗?

问题1:判别公平不公平的依据是什么?答找出实际重量

问题2:如何找出实际重量?你能不能把这个问题转化成一个数学问题?

珠宝放左边称砝码显示重量为a, 放右边称砝码显示重量为b, 假设天平的左杠杆长为l1, 右杠杆长l2, 那么这个珠宝的实际重量是多少? (会算吗?用什么原理来算?用物理的杠杆原理求解出实际重量 )

2. 学生活动

请两名同学上黑板 (巡视, 有不同的解法让他上黑板写一下, 这样可以收集不同的证明方法) .

先让学生谈一谈证的对不对, 他这个证明方法有什么特点?

3. 建构数学

问题:对于这个定理你怎么认识它? (结构有什么特点啊?成立的条件是什么?什么叫当且仅当?)

当a=b时, 取“=”, 并且只有当a=b时, 取“=”, 我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当.

猜想:n个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数是否成立?如果成立条件是什么.

二、教学反思

本文来自古文书网(www.gwbook.cn)，转载请保留网址和出处