数学归纳思想（精选十篇）
数学归纳思想 篇1
然而,纵观我们平时的课堂,好多数学教师根本不重视归纳法的运用,可以说是直逼数学的基本知识.
案例1苏教版一(上)“整时的认识”片段:
师(出示课本插图1,时针指向7,分针指向12):时针指向几呀?
生:指向7.
师:分针呢?
生:指向12.
师:对,这时我们就说是7时.
师接着出示课本插图2(时针指向1,分针指向12).问:这是几时呀?
生:1时.(紧接着进行多种形式的练习)
该片段中,学生学到了什么呢?探究的学习方式、数学的思想方法?学生的思维有发展吗?那么数学教学中如何运用归纳法进行教学呢?
还以苏教版一(上)“整时的认识”为例(出示一组钟面图,分别是7,1,5,11时整):
第一步,学生独立探究整时的读法.
师(出示其中的第一个钟面):谁来试着读一读,它是几时呀?
生:7时.
师:正确.你是怎么知道这时是7时的呀?
生:是我妈妈教我的.因为分针指向12,时针指向7,就是7时.
师:为什么呢?(生摇头)
师引导:因为分针从1开始走到12,正好走了整个钟面的一圈,这时时针指在7上,表示的时刻就是7时整.(教师又找3名同学把什么是7时整重复各说一遍,目的是强调整时的认识)
第二步,依次出示其中的1,5,11时整的钟面,让学生独立思考说出:分针指向12,时针指向1,就是1时…….
第三步,同时出示四个钟面图,总结整时的读法.教师设问:请同学们观察这四个钟面,我们是怎样读出钟面上的整时呢?它们的指针有什么相同和不同呢?引导学生概括出:分钟指向12,时针指向几就是几时整.
以上认识钟面整时的教学,分成三步,第一步自主探究,教师进行启发引导;第二步应用第一步探究的方法独立解决其他几个钟面的读法;第三步归纳总结.
案例2苏教版五(下)36页“认识分数”的教学.
例1(一个月饼、一张长方形纸、一米长纸条、6个圆片):用分数表示图中的涂色部分,并说出每个分数各表示什么.
第一步,独立探究,教师启发引导.教师出示四个图形中的第一个(一块月饼平均分成4份,其中一份涂色).让学生独立思考1分钟,然后指名试着说一说,教师启发引导出:把一个月饼平均分成4份,其中灰色的1份是整块的(注意关键词“平均分”“整块”).
第二步,应用第一步探究的方法独立完成其余三个问题.让学生试着用语言描述出5/8,3/5,1/3的含义,并根据学生的语言描述板书如下:
一块月饼平均分4份其中1份
一个图形平均分8份其中5份
一米平均分5份其中3份
一些圆平均分3份其中1份
第三步,观察板书,总结分数的意义.教师设问:请同学们认真观察黑板上的板书,你能发现什么?有什么共同的地方?又有什么不同点呢?引导学生观察发现,共性地方:第一竖排板书中都有“一”字,即都是一个整体,第二竖排都是“平均分”.不同地方:第三竖排平均分成的份数不同,第四竖排取出的份数不同,第五竖排得到的分数也是不同的.由第一竖排中都有“一”字,引出单位“1”,一个物体、一个图形、一些物体可以用自然数“1”来表示,一、二排连起来就是把单位“1”平均分;由第三竖排平均分成的4,8,5,3份引出“若干份”(这里要讲清不用“几”来表示,因为“几”表示的数量一般都比较少,而一个物体平均分成的份数可以很多,用“若干”较准确);第四竖排取出其中的1,5,3,1份引导出1份或几份;最后一排的分数就是表示若干份中1份或几份的数.最后让学生用完整的语言概括出来:把单位1平均分成若干份,表示这样一份或几份的数叫作分数.逐步逼近数学的本质,水到渠成.
这里运用的归纳法也是分成三步,第一步独立思考,自主探究,教师进行启发引导;第二步运用第一步的核心数学语言“把一个……平均……份,涂色部分有……份,占整个……的几分之几”独立解决其余问题;第三步观察、比较、概括、抽象,舍弃非数学的月饼、图形、长度单位米、一些圆片,抽象出共性的、数学的“把单位1平均分成若干份,表示这样一份或几份的数叫作分数”,其实这就是让学生真正经历数学化的思考,经历数学的再创造过程.
所以,数学上运用归纳思想进行教学,可以培养学生以下一些思维能力:
1. 独立思考能力
所谓独立,就是不依附任何人,自己的事情按照自己的想法来做,不依赖别人,也不受别人的支配或控制,按自己的主张和权利行事,自己的事情自己做主.在课堂上,学生的独立表现为自己静静的思考问题,自己独立地判断问题的真伪,自己独立地解决问题,教师只是一个点拨者、提供参考意见的朋友、伙伴.归纳法的第一步让学生独立思考,尝试解决问题,第二步是直接独立解决问题,这就是在培养学生自己解决问题的能力,是新课程倡导的自主性、探究性学习.课堂上没有学生自己的独立思考,就不可能自觉地把新知内化到旧知中去,因为新知的吸收是靠学生自己去消化的,别人是不可能代替的.所以,只有独立思考做前提,新知才能得到同化;也只有独立思考做前提,学生才能有自己的独到见解,这才是真正在培养学生独立自主的精神,学生的主体性、自主性才能得以体现.
2. 观察能力
观察力是人类重要的认知能力,观察力在人的认知能力中占有十分重要的地位,它既是认知活动的源泉,又是认识事物、掌握知识的重要途径.现代心理科学的研究表明,在人脑所获得的信息中,有90%是通过视觉获取的.所以,观察是人类获得知识的主要途径.一个人只有勤于观察,外界的信息才能源源不断地进入大脑,才会增长知识,提高智能.如果一个人懒于观察,那么他的智力就会每况愈下.古今中外的科学家、教育家都非常重视观察力的作用.达尔文说:“我没有突出的理解力,也没有过人的机智,只是在觉察那些稍纵即逝的事物并对其进行精细观察的能力上,我可能在众人之上.”俄国著名生理学家巴甫洛夫教育年轻人要“观察、观察、再观察”,可见观察在人类实践活动中具有极其重要的意义,是直接认识事物和获得有价值的第一手资料所必需的.归纳法的第三步,让学生观察前面探究出的一些零散的、片言只语的、特殊的生活语言,然后引导学生有目的、有步骤地进行细致的观察、概括,获得完整、准确的数学认识,使其思维上升到理性.所以,数学课堂上的归纳法有力地培养了学生的观察能力.
3. 比较能力
著名教育家乌申斯基认为“比较是一切理解和思维的基础,我们正是通过比较来了解世界上的一切的”,比较法是小学数学教学中常用的一种逻辑方法,把若干既有区别又有联系的知识放在一起进行对比或类比.通过比较,归纳总结其异同,才能突出其本质特征.归纳法的第三步就是在比较中舍弃不同的、抽取共同的数学的东西而得出数学概念的.有比较才能鉴别,数学的特性正是从比较中抽象出来的,没有比较就没有抽象.所以,运用归纳法可以培养学生的数学比较能力、辨别能力.
4. 抽象能力
抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质的特征,而舍弃其非本质的特征.它是数学中常用的、必不可少的思维方法,与概括相互联系、密不可分.抽象思维(abstract thinking)属于理性认识阶段,在对事物的本质属性进行分析、综合、比较的基础上形成概念.例如上述一块月饼、一个长方形图形、一米的长度单位、一些圆片,它们的共同数学特性就是“单位1”,得出“单位1”这个概念就是经历了一个抽象过程,在这个过程中学生的抽象思维得到了发展.
5. 概括能力
鲁宾斯坦说“思维是在概括中完成的”.思维的最显著特征是概括性.从心理学角度讲,概括就是把不同事物的共同属性(本质的、非本质的)抽象出来后加以综合,从而形成一个日常概念或者科学概念.如上述“分数的意义”中,分数的意义概括过程经历了五步:第一步把“一块月饼、一个长方形图形、一米的长度单位、一些圆片”抽象出“单位1”;第二步把平均分成的“4,8,5,3份”抽象出“若干份”;第三步把其中的“1,5,3,1份”抽象为“1份或几份”;第四步表示若干份中1份或几份的数就是最后一排的分数;第五步,进行完整的概括,把前面的四步综述形成一个完整的数学概念:把单位1平均分成若干份,表示这样一份或几份的数叫作分数.概括能力在智力活动中非常重要,没有概括就没有概念,没有概念就无法进行逻辑思维.所以,运用归纳法培养学生的概括能力显得非常重要.
数学归纳思想 篇2
《全日制义务教育数学课程标准》在总体要求和表述数学课程的内容时均提到了数学思想方法，《标准》明确要求，“要使学生获得社会生活和进一步发展所必须的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。数学课程不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。”这就要求我们要把使学生掌握一定的数学思想方法，作为数学教学的重要目标之一，在小学数学教学中就是要结合教学内容适时适当地渗透思想方法，培养学生自觉地运用数学思想方法解决问题的意识。小学数学教学需要渗透的思想方法很多，本文仅对转化和归纳思想方法，就“能结合哪些教学内容进行渗透，在教学时应注意哪些问题”，谈一下自己粗浅的认识，望得到同行的指教。
一、渗透转化思想，培养学生利用“旧知”解决“新知”的意识和能力
转化思想就是利用已有的知识和经验，将复杂的转化为简单的，将未知的转化为已知的，将看来不能解答的转化成能解答的，简单地说就是将“新知”转化为“旧知”，利用“旧知”解决“新知”。
（一）把曲线型图形转化为直线型以及直线型图形之间的相互转化。
小学数学有关图形的学习，是先学习直线型图形，如长方形、三角形、平行四边形、长方体等，再学习曲线型图形，如圆、圆柱等，在学习曲线型图形有关知识时，就可利用转化方法，将曲线型图形转化为直线型的图形，利用直线型的相关知识和经验解决。如：圆面积公式的教学（图1），先引导学生将圆这一曲线型图形转化成长方形这一直线型图形，然后观察、研究圆各个元素和长方形各个元素之间的关系，根据圆的半周长相当于长方形的长，圆的半径相当于长方形的宽的关系，由长方形的面积等于长乘宽，得到圆的面积等于半径乘半径乘圆周率，从而由长方形面积公式这一“旧知”解决了圆面积公式这一“新知”。又如，圆柱的体积公式可以通过把圆柱转化成长方体来获取。
长方形面积：长×宽长方形面积：长×宽
圆的面积：πr×r=πr2平行四边形面积：底×高
（图1）（图2）
直线型图形之间也可以通过转化来学习，如在教学平行四边形面积公式时，可先引导学生把平行四边形设法转化成长方形，然后研究两者元素之间的关系，通过平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形宽的关系，由长方形面积等于长乘宽，得到平行四边形面积等于底乘高，从而由长方形面积这一“旧知”解决了平行四边形面积这一“新知”的问题。（图2）又如三角形的面积公式，可以将其转化成平行四边形来获取，梯形的面积公式可以将其转化成平行四边形、三角形等学过的图形获得，等等。
在小学数学“空间与图形”领域所有的“求积”知识的教学几乎都可以用转化思想来学习。
（二）通过转化将运算分解，用简单的运算完成较复杂的运算。
较复杂运算往往都是由几个简单的运算叠加而成的，利用转化方法就可以实现复杂运算的分解，通过解决“旧知”—-学过的简单的运算，解决“新知”—-较复杂的运算。如：教学23+31（两位数加两位数口算）时，由于学生已经学习了两位数加减一位数和整十数的口算，教学时就可引导学生将31分解为30和1，将23+31转化为23+30=53（两位数加整十数）和53+1=54（两位数加一位数）两个简单的运算，或将23分解为20和3，将其转化为20+31=51和3+51=54，从而解决23+31=54的问题。
即：23+31转化为23+30=5353+1=54所以23+31=54
或23+31转化为20+31=513+51=54所以23+31=54
又如：教学1.2×2.8时，由于学生已经学习了整数乘法以及积得变化规律，所以教学时，可引导学生将1.2×2.8转化为整数乘法：
12×28，然后由12×28的积，根据积得变化规律推出1.2×2.8的积。
在小学数学“数与代数”领域的很多运算（尤其是口算）都可以通过转化将其分解成几个简单运算解决。
（三）实现相关知识的合二为一。有很多数学知识都是相互联系的，在本质上是一致的，在一定的条件下可以合二为一，运用转化就可达到此目的。如：解比例问题通过比例的基本性质就可以实现解比例和解方程的合二为一：如教学
x:320=1:10，就可以利用比例的基本性质将其转化为方程10x=320×1，解比例的问题就变成解方程的问题了。又如，“求一个数的几倍是多少”的问题，本质上就是“求几个几是多少”，所以在教学“求一个数的几倍是多少”时，在学生透彻理解“倍”的概念后，就可引导学生将“求一个数的几倍的问题”转化成“求几个几是多少”的问题，用表内乘法来解决。又如“求一个数是另一个数的几倍”的问题可以通过转化为“求一个数里有几个几”的问题来解决；把分数除法通过“倒数”转化成为分数乘法，实现分数乘、除法的合二为一。等等。
（四）教学时应注意的问题。
1、转化的“目的性”和“等价性”。在引导学生运用转化思想进行学习时，一要引导学生思考是由“谁”向“谁”转化，为什么要实施这样的转化；二要保证转化前后的“等价”。如在利用转化思想学习习近平行四边形的面积时，要使学生明确为什么要转化成长方形？为什么不转化成三角形等其他图形？转化成的长方
形面积和原平行四边形面积是否等价？又如学习除数是小数的除法时，要引导学生思考：为什么要把除数转化成整数？除数化成整数后被除数应作什么变化？为什么？变化的根据是什么？变化后的商和原来要求的除法的商“等价”？为什么？
2、备课时要瞻前顾后，教学时要步步为营。数学的系统性决定了数学知识间是相互联系的，利用转化思想进行学习时，用到的“旧知”有些和“新知”不是一个单元的，甚至不是一个年级的，这就要求我们在备课时不仅要考虑把每一个知识点都要教学到位，还要考虑所学的知识和原来的哪些知识有联系，还要考虑所学的知识对以后所学的哪些知识产生影响。
3、要及时引导学生沟通知识间的联系，帮助学生形成良好的认知结构。学生解决新问题时，要从自己的认知结构中去“检索”与新问题有关的已有知识和经验，良好的认知结构便于学生去“检索”，否则既是认知结构中有相关的知识和经验，也难以“检索”到。利用转化思想学习，是沟通新旧知识联系、形成良好认知结构的有效途径，教学时要有意识地引导学生及时沟通知识间的联系，从本质上掌握相关知识，不断地丰富和调整自己的认知结构。
4、重视培养转化意识。小学数学中的很多的问题都可以通过利用转化思想来解决，通过一系列相关知识的学习，要使学生认识到转化是解决问题的重要途径之一，面对新的问题，首先要考虑看能否转化成原来学过的，能否用原来的知识和经验来解决，培养学生善于和习惯利用转化思想解决问题的意识。
二、渗透归纳思想，培养学生的概括、归纳能力
归纳指给学生提供某类事物的部分对象，引导学生对部分对象进行观察分析，归纳总结出它们具有的某些共同特征，通过部分对象的特征推出这类事物的全部对象都具备这种特征，从而得某个结论的过程。这种从特殊到一般的思维方式叫归纳思想。
（一）性质的教学。小学数学中许多性质的教学均可以利用归纳的思想来学习。如：教学分数的基本性质时，可以创设情境，让学生对三块同样长的长方形纸条，平均分成8份，取其中的4份；平均分成4份，取其中的2份；平均分成2份，取其中的1份，然后分别用分数表示取的份数，通过借助纸条直观比较这些分数的大小，得到 = = ,通过分析比较和、和、和各组分数的分子、分母的变化情况，发现这三个分数，具有分子、分母都同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变的性质，于是推出：所有的分数都具备这一性质，得到分数的基本性质。又如小数的性质、比例的性质、等式的性质等均可以归纳的方法来学习。
（二）运算律教学。如学习加法的交换律时，可提供一组算式让学生计算并填空：
34+2○2+34347+121○121+347
39+67○67+39234+45○45+234
引导学生观察这4组算式的特点，发现了“交换两个加数的位置，它们的和不变”的运算规律。于是推出：所有的加法运算，都有这样的规律，从而得到加法的运算律。又如：乘法的交换律、乘法分配律、加法结合律等等，都可以仿照加法交换律的教学方法，引导学生利用归纳思想来获取。
（三）数量关系教学。如在学习“速度、路程和时间”这一数量关系时，可创设情境，让学生经历解决三、四个关于速度、路程、时间的实际问题的过程，感受和归纳速度、路程和时间的关系：路程=速度×时间，从而推出，所有相关问题都存在这种关系。
同样，其它的数量关系的教学也可仿此进行教学。
在其它知识的教学时，也常常用到归纳的思想，如在教学分数和除法的关系时，可通过学生的操作、探究，让学生发现三组或三组以上除法和分数的关系，如：1÷3= , 3÷4=,7÷10=,发现它们具备：被除数÷除数=，于是推出，所有的分数和除法都具有这种关系。又如，教学2的倍数的特征，可以引导学生观察几个2的倍数，看看有什么共同的特征，从而推出2的倍数均具有这种特征。等等。
（四）教学时应注意的问题。
1、提供的部分对象要“真”且尽可能的多。
小学数学教学中用到的归纳方法，是不完全归纳法，是根据这类事物的部分对象具有的性质来推断这类事物都具备这种性质，在教学时，一要保证这部分结论必须是正确的，这是归纳的前提，前提不正确，归纳就失去了意义。二要给学生提供的这部分对象要尽可能的多，至少三个，切忌通过一、二个特例，让学生发现、归纳“规律”，得出结论。
2、重视培养学生用数学文字语言、数学符号语言表述事实的能力。
语言是思维的外壳，在学生归纳表述结论或规律时，要在学生“个性化”表述的基础上，学会“数学地”表述，学会用数学文字语言表述，为培养学生数学思维能力奠定基础，如在表述=分子、分母的变化规律时，要引导学生这样表述：的分子、分母同时乘2得到，与的大小不变；的分子、分母同时除以2，得到，与的大小不变。
数学是“符号+逻辑”，恰当地利用数学符号语言能够简洁、清晰地描述事实，且便于记忆，在利用归纳思想方法教学时，要有意识地引导学生经历“数学化”的过程，逐步学会用符号语言归纳概括结论，体会数学表示的简洁性，培养符号感。如：在上面所举用归纳方法学习加法交流律时，要让学生学会用数学符号语言（字母）表示加法交流律，感受用“a+b=b+a”表示的简洁性。
3、重视培养学生从数学的角度观察世界的意识和能力。
论归纳思想在小学数学教学中的应用 篇3
一、归纳思想在数学教学中的实际运用
归纳思想是一种知识的规律化。在小学数学课堂上，应用归纳思想能够引导学生有效地理清问题，总结出可用的规律性技巧，帮助学生理解数学知识，提高数学学习效率。
例如在讲《图形与变化》时，我们会涉及“轴对称图形的认识”问题。这时通过归纳思想就可以将这个问题的讲解划分为三个部分。
第一部分，向学生们展示轴对称图形案例。比如“王”字，以“王”字中的竖线为界，中线左右两边方向相反、形状大小相同。再比如字母“A”，以上顶点和中间横线的中点的连线为界，左右两边也是如此。
第二部分，通过归纳思想对例题进行总结，概括出轴对称图形的一般规律。比如在这个问题中，我们就可以引导学生总结出“如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够实现完全重合，这样的图形叫作轴对称图形”。
第三部分，我们可以要求学生按照总结归纳出的规律进行知识的探索，让学生自主找出身边符合这一规律的轴对称图形。
在这样的分步教学中，学生不仅能够掌握数学知识，而且能够锻炼数学思维能力，有利于数学学习能力的提高。
二、归纳思想可以培养小学生的思维能力
1.独立思考能力
在小学数学的讲解中，通过归纳思想概括出一般性的规律之后，教师可以让学生进行自主探索，实现知识的扩展。如前文提到的，在概括出轴对称图形的规律后，教师可以引导学生探索出正方形是轴对称图形、圆也是轴对称图形等知识。这实际上就是一种独立思考能力的培养。
2.比较能力
在常规的数学知识总结中就涵盖了相似知识点的对比。因此，在我们使用概括思维的同时，就将规律以内的知识要素与规律以外的知识要素形成了一个对比，而学生在其中就提高了思维上的比较能力。如我们学习轴对称图形与中心对称图形时，很自然就会将轴对称图形与中心对称图形进行比较。这时，学生也会自觉进行比较，从而区分这两个概念。
3.抽象能力
抽象能力是学习数学必不可少的一种能力，比如在数学教学中，教师举例“3个月饼装成1个礼盒”，这时3个月饼就是“单位1”。如果学生缺少思维上的抽象能力，就会难以理解为什么“3个”会是“1”。因此，对于抽象能力的培养是小学教学中必不可少的一个内容。我们通过将多个共通知识的化零为整，可有效培养学生的抽象思维能力。
总而言之，归纳思想作为一种重要的数学学习方法，应该引起教师的足够重视，并将其合理运用在实际教学中，让学生们真正在数学知识的学习中受益。
数学归纳思想 篇4
例题教学是数学课堂教学过程中的重要组成部分，是运用知识、巩固知识、提高能力的重要途径。以例题教学为突破口，传授基础知识，是培养学生数学能力的重要手段，在教学过程中有意识地总结、归纳，可以收到事半功倍的效果。
一、例题教学要充分揭示数学知识的发现过程，使学生形成基本的数学归纳的思想。
例题教学，教师重在分析解题的思路，启发学生探讨解题的方法，并说明课本为什么要用这种方法等等。在讲授过程中，教师要体现解题的思想和方法，更要体现解题的思维过程，以引导学生学会分析、学会归纳。中学教材中的概念、定理、公式等都是以结论的形式呈现出来的。这些结论是非常严谨、精练的，是高度抽象、高度概括的，但其中包含的思想方法被浓缩了、隐藏了。学生在常规的数学学习过程中看不到它们的存在，也无法去体会，更谈不上要借此形成数学归纳的思想了。当前的例题教学对学生来说，是为解题服务的，大多是形式上的掌握，很难达到实质的理解层次，现在绝大部分教材给出的例题是演绎论证的结果，归纳的过程被忽略了。而概念的形成、结论的推导、方法的思考、规律的揭示以及问题的发现等过程，都少不了归纳的方法。实际上，导致结论产生的思想方法，恰恰是数学结构体系中最具价值的东西。例题教学的任务之一，就是要揭开数学这种严谨、精练的面纱，将结论的发生过程原原本本地交给学生，让学生参与“知识的再发现”，经历知识探索的过程，汲取更多的思维营养。而要达到这样的效果，就必须挖掘概念、原理等产生和发现的初始过程，必须增加数学结论归纳的思维过程，教师要在课堂上向学生充分展示这种过程，使学生能和数学家产生共鸣共应。教师要尽可能地对例题进行全面、深入的分析，要借例题的思想方法去归纳数学的思维方法。归纳过程属于发现思维，具有方法论上的引导作用，所以在教学中应尽量向学生阐述清楚。证明过程属于整理性思维，这可由学生自己去实现。数学教师只有采用归纳的方法，充分揭示例题的思维过程，才能在教学中使学生和数学这门学科建立起联系的纽带，形成基本的数学思想，从而基本实现数学家、教师、学生思维活动的和谐统一。
二、例题教学要注意明确教学的目标，让学生自己找到归纳的方向。
课堂的教学目标要明确，例题的导向应准确。例题的作用很多，最基本的就是理解、应用和巩固知识，以及训练数学技能，培养数学能力。中学数学教学，不少教师的教学目标的设计存在问题：一是不能正确地表述数学课堂教学目标。具体表现为评价内容不够全面，归纳的行为主体不明确等。二是重视知识与技能的目标，忽略过程与方法目标。三是教学目标的设计流于形式。教师凭经验和考试的要求教学，教学目标对教学活动与教学过程没有直接的指导作用，缺少归纳的过程。四是制定的教学目标含糊、笼统，不便于学生归纳能力的形成。教师在确定目标时应该从学生的实际情况出发，根据教材内容的具体特点、学生的知识基础、能力去制定学习目标，这样才能有利于诱导学生自主地开展学习和积极参与教学过程，有利于学生充分发展个性特点和提高学习能力。
例题教学，必须突出教学的目标。因为明确的目标，可以使学生减少归纳方向上的盲目性，帮助他们把所学的知识形成系统。数学课主要是教授学生数学的基础知识和思想方法，而这两者的关系是相互联系的。知识点是获得数学知识、发展数学思维的条件，是培养学生解决实际问题能力的基础。揭示出数学知识的范围，概括出数学思想方法，培养学生解决实际问题的能力才是我们数学教学的目的。归纳的方法能够使学生从抽象到形象、从具体到一般地提高自己的思维能力，能够使他们逐步了解一些重要的数学思想和数学方法，构建基本的数学知识框架。教学目标是学生学习的终点，目标的设计必须符合学生的实际水平和学习规律，必须考虑学生的起点水平，使起点到目标之间的跨度适当，学生经过努力可以到达终点。对于章节目标难度较大的，应将教学目标分解、分散学习并适当延长课时，让学生按照预定的目标分节归纳。数学归纳是中学数学教学中的一大难点，要解决这个问题，中学教师必须将目标意识运用在数学归纳的方法中。
三、例题教学要注重解题程序的规范，使学生清楚归纳的步骤，把握归纳的方法。
解题过程分为明确问题、具体分析、回味反思、激发情趣等几个阶段。这些步骤一定得有条有理、按部就班。解题是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段。规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平。为此，在数学归纳的指导中，一是要把握知识的背境和传授解题的程序。所谓背境就是对具体数学理论或技能的应用背景和条件的具体概括，如掌握换元法的具体步骤，获得换元技能，懂得在什么条件下应用换元法更有效，就是一种解题背景。解题背景的介绍能够使学生对具体的知识点有充分的了解，能够使学生更清楚地知道知识点的意义。解题程序是对数学活动方式的概括，如遇到一个数学证明题应该先干什么，后干什么，再干什么，就是所谓的解题程序。程序准确，归纳的结果就容易正确。二是要尽可能让学生了解影响数学解题的各种因素。最简单的如学习材料的呈现方式是图形的、文字的，还是字母的;学习任务是计算、图示、证明，还是解决问题等等。这些学习材料和学习任务方面的因素，都能对数学的归纳方法产生影响。三是要指导学生对归纳方法进行评价。如评价问题归纳的正确性、归纳方法的可行性、解题程序的简捷性、解题方法的有效性等诸多方面。
数学的主要能力是逻辑思维能力, 逻辑思维是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的思维方式，是借助于概念、判断、推理等思维形式所进行的思考活动。目前，中学数学教学内容不断增加，教学的要求在逐步提高，课时却是相对在减少。教师要利用有限的教学时间，去从事有效的教学实践。教学的效益，不能只体现在知识的吸收和技能的熟练上，还要重视学生学习能力等方面的发展上。特别是归纳方法的运用。这就取决于教师能否按照正确的教学步骤指导学生。所以，教师在教学过程中要指导学生把所学的知识，按照一定的标准或特点进行梳理、分类、整合，形成一定的结构，结成一个整体，从而促进思维的系统化。要引导学生在一般的基础上去对数学问题进行分析、概括、综合、归纳。例题的归纳程序合理，学生在教学中就能很容易地得出教师想要的结论，归纳的方法就会自然而然地在教学中产生积极的作用。
四、例题教学应根据学生的学习基础去安排，尽可能让学生自主归纳。
七年级下册思想品德复习要点归纳 篇5
2008年03月31日 星期一 20:38
七年级思想品德（下）复习提纲
第一单元 做自尊自信的人
第一课 珍惜无价的自尊
自尊自信人人都需要的自尊的表现：注意容貌上的修饰、举止方面的文雅以及行为的后果。
自尊：即自我尊重，指既不向别人卑躬屈膝，也不允许别人歧视、侮辱。一般来说，一个没有自尊的人，也很难得到别人的尊重。
别人欣赏我们的长处，不耻笑我们的弱点与缺点，这种被尊重更能使我们体验到快乐与感动。自尊与被人尊重都是快乐的。
真正有自尊心的人，必定是知耻的人。
知耻是自尊的重要表现。
虚荣心：是一种追求表面上的荣耀、光彩的心理。（认识生活中的虚心的具体表现）
世界上最名贵的衣服，不是珍珠衫，不是羽衣霓裳，惭愧知耻是最美丽的服装。尊重他人是人生的一道底线，是人生的一个亮点，自尊无价。
尊重他人是我的需要
尊重他人是自尊的需要，也是自我完善的需要。
我们有责任去关心他人的自尊，维护他人的尊严。
要想赢得他人的尊重，首先要尊重他人。
尊重他人的表现：⑴欣赏、鼓励、期待等角度来善待对方；⑵不做损害他人的事情。
彼此尊重才能赢得尊重
自尊的人最看重自己的人格。
生活中有损人格的不良习惯：说谎、逃避责任、假公济私、阳奉阴违等。自尊者达观：不必太在意他人的议论和态度，要适度自尊。
尊重他人的最基本的表现，就是对人有礼貌，尊重他人的劳动，尊重他人的人格。怎样尊重他人？ ⑴首先，要善于欣赏、接纳他人；⑵其次，不做有损他人人格的事情。
尊重可以使人理智，尊重可以使人悔过，尊重可以唤醒人的良知，产生无法估量的下面效应。
第二课 扬起自信的风帆
“我能行！”
每个成功者都相信“我能行”。
“我能行”的经历归结起来，就是在思想上相信我能行，行为上表现我能行，情感上体验我能行。
自信，是对自身力量的确信，深信自己能做成某件事，实现所追求的目标。自卑与自负都是自信的误区。⑴自卑的人，轻视自己，看不到自己的能力，可以做得很好，也不敢尝试；⑵自负的人，自以为了不起，过高的估计自己，看不起别人，自以为是。（生活中注意区分这两种人）
自信是成功的基石
自负与自卑都是以我为中心，以我为中心的心态会使他远离成功。
自信有助成功 自信者良好的心理品质：⑴乐观，⑵好奇，⑶专注。
唱响自信之歌
有了自信才能有成绩，有成绩就会更自信。
看到我们学习、生活中的进步（想一想）
发现自己的长处，是自信的基础。
实力，才是支撑信心最重要的杠杆。
我们只有把个人的命运与祖国的发展结合在一起，的自信才有坚如磐石的根基。第三课 走向自立
自己的事自己干
自立，就是自己的事情自己干。
自立在生活中的表现（举例）
人生需要自立：走进社会，经历风雨、见世面；法律要求我们自立。
走向自立我们需要培养哪些能力？ 如展示：⑴推销自己的能力，⑵与人沟通、善解人意的能力，⑶远用法律维护自己权益的能力，⑷不断学习、充实自己的能力等等。
告别依赖 走向自立
依赖思想的危害： ⑴会使人丧失独立生活的能力和精神，会使人缺乏生活的责任感，造成人格的缺陷。⑵只想不劳而获，贪图享受，就不能适应社会生活，甚至危害社会和他人，走上违法犯罪的道路是。
告别依赖，一个重要的表现是独立地生活。
自己的事自己负责的前提是要自主。（自主就是遇事有主见，能对自己的行为负责。）
自立与自主的关系：自立的前提是自主，自主的表现是自立。
有了独立自主的愿望，即自立的意识后，又该怎样培养自己的自立能力呢？ 最基本的就是立足于自己当前的生活、学习中的问题，从小事做起。多实践多锻炼。正如“要知道梨子的味道，就要亲口尝一尝；要学会游泳，就在水中反复练习。”（请你列举你生活学习中需要自己做的小事或遇到的问题）
请你谈：你如何“告别依赖，走向自立”？ ⑴从思想上认识到依赖的危害，主动告别依赖；⑵学会自主，它是自立的前提条件；⑶立足当前的生活、学习中的小事做起，多实践多锻炼。
第四课 人生当自强
人生自强少年始
自强，就是对未来充满希望，永远向上，奋发进取。
自强精神表现在困难面前：⑴不低头，不丧气；⑵自尊自爱，不卑不亢；⑶勇于开拓，积极进取；⑷志存高远，执著追求；等等。
自强是，通向成功的阶梯。
自弃与自强是对立的。
自弃，是指自己懒惰成性，得过且过，不求上进，不思进取。
自弃的人最终将一事无成。
少年能自强
所有自强者共同的特点：对人生理想执著追求。
自强的关键：战胜自我。自强的捷径：扬长避短。
人最大的敌人：自己。
少年怎样才能自强？ ⑴树立正确的理想；⑵战胜自身的弱点；⑶发挥自己的特长，扬长避短。就能在自强的人生征途中，劈波斩浪，抵达成功的彼岸。
第三单元 做意志坚强的人
第五课 让挫折丰富我们的人生
人生难免有挫折
挫折，就是所谓 “钉子”，即人们所遇到的失利、失败和阻碍等。
挫折与人生相伴；挫折普遍存在，难以避免。
造成挫折的因素有多方面的：⑴不能预测和及时防范的天灾人祸，⑵各种人为因素，⑶个人的道德品质、智力、体力、外貌以及某些生理缺陷等因素的限制。面对挫折和困难，大致有三种人：⑴胆怯、懦弱的人，⑵意志不坚定或者容易满足的人，⑶意志坚强、有坚定信念的人。第三种人善于把前进道路上的绊脚石变成垫脚石，从而锋利成功，实现生命的价值，享受真正的人生。
挫折面前也从容
挫折的作用：⑴消极作用 使人产生忧愁、焦虑、不安、恐惧等消极心理。⑵积极作用 磨炼意志，增长才干和智慧。（品味“艰难困苦，玉汝于成”、“蚌病成珠”）
人们在战胜一次又一次挫折后赢得的最宝贵的礼物：智慧。
挫折的有效方法？ ⑴树立正确的人生目标。⑵正确认识挫折，采取恰当的解决方法。⑶激发探索创新的热情。⑷会自我疏导。
战胜挫折、克服消极心理的有效方法：全身心地去探索、去创新，自我疏导的方法：⑴合理宣泄法，⑵移情法，⑶目标升华法。
第六课 为坚强喝彩
让我们选择坚强
意志坚强的人有哪些表现？ 意志坚强的人，⑴对自己的行动的动机和目的有清醒而深刻的认识。⑵能在复杂的情境中冷静而迅速地判断发生的情况，毫不迟疑地采取坚决的措施和行动。⑶在碰到挫折和失败的时候，可以调节自己的消极情绪，控制自己的言行，不灰心、不气馁、不焦躁。⑷能够以顽强的精神、百折不挠的毅力，战胜挫折和困难，实现自己的目标。（即：自觉性、果断性、自制力、坚韧性。）
坚强意志的意义（作用）？⑴坚定正确的人生方向，需要坚强意志。⑵走出失败的阴影，需要坚强意志。⑶形成良好的学习习惯，需要坚强意志。⑷成就一番事业，需要坚强意志。
能否将失败转化为成功的关键：有没有坚强的意志品质。
钢铁是这样炼成的坚强的意志是怎样炼成的？ ⑴必须树立明确的目标。⑵要从细微之处做起，从小来做起。⑶善于管理自己。⑷主动在艰苦的环境中锻炼自己。你需要从哪些小事做起：想一想
品味：宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来
第四单元 做知法守法用法的人
第七课 感受法律的尊严
走近法律
规矩，就是人们说话、做事所依据的标准，也就是社会成员都应遵的行为规则。有规矩、懂规矩、守规矩十分重要。
我们身边的规矩有很多。可分为三类：道德、纪律、法律。
法律的显著特征：⑴由国家制定或认可。⑵国家强制力保证实施，具有强制性。
⑶对全体社会成员具有普遍约束力。
我们的生活离不开法律。
我国法律：作为人民意志和利益和体现，它通过规定权利和义务，规范全体社会成员的行为。
法律的作用： ⑴规范作用。（突出地表现为规定人们可以做什么，必须做什么，应该做什么，不应该做什么。）⑵保护作用。
法不可违
我们维护自尊，培养自信，实现自立，力求自强，一个重要的条件就是要守规矩，尤其是不能违反法律。
违法行为，凡不履行法律规定的义务，或者做出法律所禁止的行为都是违法行为。违法行为，可分为：行政违法行为、民事违法行为、刑事违法行为。（违宪 行为）
行政违法行为、民事违法行为，又叫一般违法行为； 刑事违法行为，属于严重违法行为，是犯罪行为。
刑法，以国名义规定什么行为是犯罪和对犯罪分子处以何种刑罚的法律。犯罪，是指具有严重社会危害性、触犯刑法并依法应受刑法处罚的行为。犯罪具有三个基本特征：第一，具有严重社会危害性的行为。严重危害性，是犯罪的最本质特征。第二，一种触犯刑法的。刑事违法性，是犯罪的法律标志。第三，应当受到刑罚处罚的行为。刑罚的当罚性，是犯罪的严重危害性及刑事违法的必然后果。
刑罚，又叫刑事处罚、刑事处分，是指人民法院对犯罪分子实行惩罚的一种强制方法。
我国刑罚的种类分为：主刑，包括管制、拘役、有期徒刑、无期徒刑、死刑五种； 附加刑，包括罚金、剥夺政治权利、没收财产三种。
10犯罪历来是国家法律打击的重点，犯罪分子终究要受到来历的刑事处罚。防患于未然
遵守法律，是践行道德的表现。
犯罪行为人的心理都是想获得某种满足。
要在心灵深处憎恶违法犯罪，行为上远离违法犯罪。
规范未成年人行为的法律是：《中华人民共和国预防未成年人犯罪法》想一想，我们身边的不良行为有哪些?并能采取相应的预防和矫正措施。
品味：“近朱者赤，近墨者黑”；“小洞不补，大洞吃苦”。“忽以恶小而为之，忽以善小而不为”。
第八课 法律护我成长
特殊的保护 特殊的爱
凡未满18周岁的公民都是未成年人。
专门保护我们的合法权益的法律有：《中华人民共和国未成年人保护法》、《中华人民共和国预防未成年人犯罪法》。
在未成年人保护法中为我们设置了四道防线：家庭保护、学校保护、社会保护、司法保护。
家庭保护的含义：要求父母或者其他监护人依法履行对未成年人的抚养、监护的职责，尊重未成年人受教育的权利。
学校保护的含义：要求学校等教育机构依照法律的规定，对未成年人进行教育，并对他们的身心健康和合法权益实施保护。
学校保护涉及未成年人的教育和发展、人身权利的维护、生命安全的保障等方面。社会保护的含义：要求全社会创造一种有利于未成年人健康成长的社会环境。社会保护包括对未成年人的社会文化保护、身体健康保护、劳动保护、自由权和精神的保护等方面。
司法保护的含义：要求公安机关、人民检察院、人民法院以及司法行政部门等依法履行职责，对未成年人实施专门保护措施。
善用法律保护自己
我们维护权益的最有力的武器就是法律。
能够为我们提供法律帮助的机构：法律服务所、律师事务所、公证处、法律援助中心等。
维护我们合法权益的途径：1）非诉讼手段；2）诉讼手段。
非诉讼手段是我们维护合法权益常用的有效手段。它包括：⑴向政府有关部门、司法机关、人民团体、有关社会团体等等方面反映问题，寻求帮助，以解决问题；⑵通过调解、仲裁等方式，解决争议、纠纷，保障公民权益
诉讼的含义：它是指人民法院主持有利害关系人参与的处理纠纷的程序。诉讼是维护我们的合法权益最正规、最权威、最有效的一种手段，是保护我们权益的最后屏障。
诉讼通常分为三种类型：刑事诉讼、民事诉讼、行政诉讼。
刑事诉讼：是指由国家机关在当事人和其他诉讼参与人的参加下，依法揭露犯罪、证实犯罪、罪犯的活动。
民事诉讼：是人民法院在当事人和其他诉讼参与人的参加下，依法审理案件的解决纠纷的活动。
行政诉讼：俗称“打官司”，是人民法院在双方当事人的参与下，依照司法诉讼程序解决行政争议案件的活动。
10敢打官司。
文学类课文未必要归纳思想意义 篇6
在课堂教学中,语文教师为何热衷于归纳文学作品的思想意义呢?除了考试指挥捧、教学参考书及教学定势的影响以外,也与一些教师对文学课文中的“思想意义”理解有所偏颇有一定关系。一些教师把解读课文的过程当成复原作者原意的过程,并以所归纳的结果为满足,认为这就是课文的思想意义。这其实是对文学课文思想意义的一种误解。错误之处在于它把文学看作是一种哲学的形式,一种包裹在形式中的思想。认为文学只是用形象来表达思想,它与其他文体的不同只在于手段和方法,而不在于内容。因而像对待其他应用文体一样通过概念演绎与逻辑综合去获取其意义,往往造成了意义分析的单一化、教条化和功利化。
德国接受美学的理论先驱姚斯曾对文学作品的所谓意义有一段精彩的论述:“一部文学作品,并不是一个自身独立、向每一时代的每一读者均提供同样的观点的客体。它不是一尊纪念碑,形而上学地展示其超时代的本质。它更多的像一部管弦乐谱,在其演奏中不断获得读者新的反响,使文本从词的物质形态中解放出来,成为一种当代的存在。”这就非常形象地说明了文学作品的意义不是单一的,固定不变的,而是因人因时不断在发生变化的。
美国当代文艺理论家艾布拉姆斯在其著作《镜与灯——浪漫主义文论及批评传统》中则提出了“艺术批评的诸坐标”理论,认为艺术批评有四个坐标:作品,即艺术产品本身;生产者,即艺术家;世界,即一般认为作品所涉及、表现、反映的某种客观状态或者与此相关的东西;欣赏者,即听众、观众、读者。艾布拉姆斯同时认为,任何像样的理论都多少考虑到所有这四个要素。艾布拉姆斯所列举的艺术批评的四个要素,其实也就是我们面对一件艺术品(包括文学作品)意欲加以解释时,通常会涉及的四个不同的方面。
例如,从作者来解释作品,可以认为作者的意图决定了一部文学作品的意蕴。然而事实上往往是“形象大于思维”。作者想表现的是一回事,而是否表现了又是一回事。就以李商隐《无题·相见时难别亦难》中的两句来说,“春蚕到死丝方尽,蜡炬成灰泪始干”,最初作者是用来表达恋人之间的相思之情的,后来却常被人们借以表达对某种奉献精神的赞美了。
再如,从“世界”这个要素人手,以作品产生的时代环境来解释作品的意义,我们就会认为作品是对时代环境真实的反映。可是事实上,鲁迅的小说《孔乙己》其蕴涵的意义就不仅仅是诸如“揭露了当时封建科举制度对知识分子的毒害及对其人格的扭曲”“表现了一般群众精神的麻木冷漠”等词句所能概括得了的,鲁迅的另一篇小说《故乡》也是这样,仅是“通过对闰土形象的刻画从而深刻地显示了这位勤苦农民的悲剧命运和他灵魂中令人战栗的变化”这样的解释是远远不能表达作品所包含的丰富意义的。
由此,我们将会发现,阅读一部文学作品,要恰当地理解它的意蕴,需要尽可能综合上述四个要素,而那是比较困难的事。
对数学思想方法的归纳与概括 篇7
一、函数方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变化或未知数之间的关系, 从而解决问题的一种思维方式, 是很重要的数学思想。
函数思想: 把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来, 并研究这些量间的相互制约关系, 最后解决问题, 这就是函数思想。应用函数思想解题, 确立变量之间的函数关系是一关键步骤, 大体可分为下面两个步骤: (1) 根据题意建立变量之间的函数关系式, 把问题转化为相应的函数问题; (2) 根据需要构造函数, 利用函数的相关知识解决问题。
方程思想:从问题的数量关系入手, 运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (方程、不等式、方程与不等式的混合组) , 然后通过解方程 (组) 或不等式 (组) 使问题获解。
函数与方程是两个有密切联系的数学概念, 它们之间相互渗透, 很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决, 很多函数问题也需要用方程的方法支援, 函数与方程之间的辩证关系, 形成了函数方程思想。
二、数形结合思想
数形结合是中学数学中重要思想方法之一, 对于所研究的代数问题, 有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决 (以形助数) ;或者对于所研究的几何问题, 可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决 (以数助形) , 这种解决问题的方法称之为数形结合。
数学研究的对象是数量关系和空间形式, 即数与形两个方面。在一维空间, 实数与数轴上的点建立一一对应关系;在二维空间, 实数与坐标平面上的点建立一一对应关系。
我们要抓住以下几点数形结合的解题要领:
(1) 对于研究距离、角或 面积的问 题 , 可直接从几 何图形入手进行求解即可。
(2) 对于研究函数、方程或不 等式 (最值 ) 的问题 , 可通过函数的图像求解 (函数的零点, 顶点是关键点) , 做好知识的迁移与综合运用。
(3) 对于以下类型的问题需要注意:可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆上的点及余弦定理进行转化, 达到解题目的。
华罗庚先生指出:“数缺性时少直观, 形少数时难入微;数形结合百般好, 割裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形: 或借助于数的精确性阐明形的某些属性, 或借助于形的几何直观性阐明数之间的某种关系。
三、分类讨论思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法, 当问题的对象不能进行统一研究时, 就需要对研究的对象进行分类, 然后对每一类分别研究, 给出每一类的结果, 最终综合各类结果得到整个问题的解答。
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想解决, 引起分类讨论的原因大致可归纳如下几种:
(1) 涉及的数学概念是分类讨论的;
(2) 运用的数 学定理、公 式、或运算 性质、法则 是分类给出的;
(3) 求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性的;
(4) 数学问题中含有参变量, 这些参变量的不同取值导致不同的结果的;
(5) 较复杂或非常规的数学问题, 需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
分类讨论是一种逻辑方法, 在中学数学中有极广泛的应用。分类讨论题覆盖知识点较多, 利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样, 具有较强的逻辑性和综合性。根据不同标准可以有不同的分类方法, 但分类必须从同一标准出发, 做到不重复, 不遗漏, 包含各种情况, 同时要有利于问题研究。
四、化归与转化思想
将未知解法或难以解决的问题, 通过观察、分析、类比、联想等思维过程, 选择运用恰当的数学方法进行变换, 化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化思想的实质是提示联系, 实现转化。除极简单的数学问题外, 每个数学问题的解决都是通过转化为已知问题实现的。从这个意义上讲, 解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想, 解题过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是, 如:未知向已知转化, 复杂问题向简单问题转化, 新知识向旧知识转化, 命题之间的转化, 数与形的转化, 空间向平面的转化, 高维向低维转化, 多元向一元转化, 高次向低次转化, 超越式向代数式转化, 函数与方程的转化等, 都是转化思想的体现。
五、或然与必然的思想
概率所研究的随机现象, 研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”, 然后再用“必然”规律解决“偶然”的问题, 这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。
随着新教材的实施, 高考中对概率内容的考查已经被放在了重要位置, 通过对等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望等重点内容的考查, 一方面考查基本概念和基本方法, 另一方面考查在解决实际问题中能否运用或然与必然的辩证关系, 从而体现或然与必然的思想。
参考文献
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[5]陈顺娘.数学思想方法的教学实施[D].福建师范大学, 2005.
归纳逻辑思想的演进与新发展 篇8
一启程:古希腊归纳思想的初步形成
古希腊归纳思想的萌芽开始于苏格拉底,他的“反问法”和“助产术”对亚里士多德以及后来的逻辑学家产生了一定的影响。亚里士多德创建了三段论为核心的演绎逻辑体系。但他也认为,归纳论证是科学的出发点,归纳法是逻辑学的组成部分。
亚里士多德认为,归纳法之一是简单枚举法,他举例说:“假如技术娴熟的舵工是最有能力的舵工,技术娴熟的战车驭手是最有能力的驭手,那么一般地说,技术娴熟的人就是在某一特定方面最有能力的人。”[1]366
亚里士多德讨论了“归纳三段论”。他说:“归纳或归纳推理,就是通过另一个端项确立一个端项与中项的联系;例如B是A和C的中项,通过C证明A属于B,我们就是这样进行归纳证明的。例如,让A表示‘长寿的’,让B表示‘无胆汁的东西’,C表示‘长寿的个体’,如人、马、骡子等。A属于C的全体(因为每个无胆汁的动物都是长寿的),但B‘无胆汁的’也属于所有C。如果C与B换位,即如果中项在广延上并不更宽,则A必定属于B上面已经证明白,如果任何两个谓项属于同一个主项,端项可与其中一个换位,则另一个谓项也属于可换位的词项。但是,我们把C理解作一切特殊事例的总和;归纳就是通过它们进行的。”[1]234-235
上例的推论过程实际上是:
人是长寿的,
马是长寿的,
骡是长寿的,
人、马、骡……等就是全部没有胆汁的动物。
所以,凡是没有胆汁的动物都是长寿的。[2]
亚里士多德所说的“归纳三段论”是一种“完全归纳法”。因为其结论的范围未超出前提的范围,其实质是演绎推理,并不是真正的归纳推理,因此,有学者认为亚里士多德对归纳并没有特别突出的贡献。实际上,亚里士多德深入探讨了不完全归纳推理,把它称之为“辩证的推论”。
在亚里士多德看来,“辩证的推论”包括所谓“例证”(paradeigmata)。他讨论了如下例证:
底比斯人进攻福申人的战争是对邻国开战,
雅典人进攻底比斯人的战争是对邻国开战,
底比斯人进攻福申人的战争是罪恶,
所以,雅典人进攻底比斯人的战争是罪恶。[3]18
虽然亚里士多德认为“例证”与枚举归纳法有所不同,但是,他把这两种推理归为一类。
简言之,亚里士多德的归纳逻辑的特点在于:第一,在讨论归纳逻辑时,亚里士多德是以实际论证的语用评价为目标的,具有明显的注重实践的倾向。在《后分析篇》中,他探讨的是科学实践中的论证,与内容密切相关;在《论辩篇》中,他研究的是日常生活中的辩证推论,离不开语用分析。
第二,亚里士多德认为,归纳不仅仅是推理,也是一种科学的认识论。他强调了归纳推理对于认识的重要性并指出,“没有归纳法,就不能把握一般”[4]。亚里士多德认为归纳是我们获得普遍前提知识的唯一途径。亚里士多德继承了早期自然哲学家们重视经验的传统,所以,在强调理性思考的同时,也给经验留有一席之地。
第三,由于历史条件的限制,自然科学在古希腊尚未具备充分发展的条件,只有几何学得到了较多的研究。因此,亚里士多德对演绎逻辑的重视远胜于归纳逻辑,科学归纳逻辑的兴起弥补了这一缺陷。
二奠基:科学归纳逻辑的诞生
文艺复兴以后,自然科学冲破了中世纪神学的牢笼而迅猛发展。一些近代哲学家逐渐意识到,古希腊哲学没有耐心地从“大自然之书”中寻求关于事物因果联系的知识。新哲学必须以自然科学为基础,以观察和实验为手段,以发明技术为目的,确立科学的归纳法。但是,亚里士多德的逻辑理论是于事无补的。因为三段论是从一般性前提出发演绎出结论,而自然科学则需根据个别现象概括出一般性结论,以解释现象间的因果联系。所以,三段论理论无法处理自然科学研究中的因果性问题。为此,英国哲学家弗兰西斯.培根给自己设定了建立新逻辑的任务。为了表明这种逻辑理论不同于亚里士多德逻辑,他把自己的逻辑著作定名为《新工具》。他声称他的逻辑不是为了争辩,而是为了发现科学原理,是“解释自然的艺术”。基于这一思想,培根提出了一种“真正的归纳”,为科学的归纳逻辑奠定了基础。这一时期的归纳逻辑可以称之为科学的归纳逻辑。
培根的归纳法包括收集材料、排列表格、通过排除得到肯定的结论三个步骤:
1.尽可能全面系统地收集由经验和实验得出的材料,准备一部“充足和完善的自然和实验的历史”,以此作为归纳法的可靠基础。
2.整理材料,列出“三表”。在第一表即存在表中,必须从不相同的事例中找出其共同性质,从而发现这些事例共有的“形式”。比如,火焰、热水、天然温泉这些事例都有一个共同“形式”是发热。在第二表即缺乏表中,应在一些相似的事例中,找出它们全都缺乏的某性质,进而发现其“形式”。比如,彗星的光、凸镜发射的光、两极地带的微光等不同事例虽然有光但都没有热的性质,其共有的一个“形式”是不发热。在第三表中,应当考察不同条件下同一事物中热的性质的增减,或比较不同事例中热的性质的不同程度。
3.排除与所考察事物中的某性质不相干的因素。
最后,通过同中求异、异中求同,完全排除不相干因素,最终总能确定所考察性质的形式。
虽然培根的三表法开创了归纳逻辑发展的新路,但还停留在科学方法论层面,没有完全形成实用而简明的逻辑体系。穆勒继承和发展了培根归纳法思想,在规则化、程式化和系统性方面前进了一步,成为古典归纳逻辑的集大成者。穆勒认为,枚举归纳法太幼稚,遇到一个反例,结论就会被推翻,这样的归纳法不能发现事物的原因,推导出科学的原理,而真正科学的归纳法是发现因果联系的方法,是科学实验的方法。
虽然穆勒在他的《逻辑体系》中只是讨论了四种方法,把四种方法之外的其他方法看作是派生的,但后人为了叙述方便,直接称之为穆勒五法。现简述如下:
1.求同法或契合法,这是通过不同场合的比较,找出其相同情况的规则。
2.求异法或差异法,这是异中求同的规则。
3.同异并用法,这是联合运用求同法和求异法的规则。
4. 剩余法,这实质上是求异法的特殊变形。
5. 共变法,这是考察两个场合之间量的变化的规则。
与培根方法相比,穆勒方法更简明,更具有科学性,是一种科学的归纳逻辑。科学归纳逻辑的特点是:
第一,古典归纳逻辑理论是为了适应实验自然科学,以应用于科学探索为目标的。尽管古典归纳逻辑在严格性、系统性方面还有缺陷,但这种归纳理论建立在实验自然科学的基础之上,与科学发展实际紧密相连,是关于实验自然科学的逻辑。
第二,古典归纳逻辑的确立为后来的自然科学、社会科学研究提供了科学方法论的启示,推动了科学哲学、心理学等学科的发展。这是一种科学方法论逻辑。
第三,培根和穆勒相信,运用科学归纳法可以保证从真前提得出必然性的结论,但休谟认为,归纳法无论如何不能保证其推导的必然性。休谟提出的问题使归纳的乐观主义者从迷梦中惊醒,而解决休谟问题的尝试成了归纳逻辑转型和发展的一个主要动力。幸运的是,作为一门数学理论的古典概率论也发展起来,这启发了逻辑学家借助概率论来研究归纳推理的新思路,为归纳逻辑的数学转向开辟了道路。
三数学转向:形式归纳逻辑的兴起
与现代演绎逻辑相类似,现代归纳逻辑的产生是以数学化、形式化为标志的。众所周知,演绎逻辑的数学转向开始于莱布尼茨和布尔,但是布尔对归纳逻辑数学化的贡献却被忽视了。布尔在1854年出版了《思维规律》(An Investigation of the Laws of Thought)一书,在书中布尔主张建立一个比古典概率论“更具一般性的概率理论”的思想。布尔认为,古典概率论的适用范围太狭窄,有许多问题不能运用古典概率论来处理。比如在处理社会统计问题时,不能根据不充足理由原则来求初始概率,因为这里往往有多个因素的相互作用,无法归结为相互独立的等可能事件的组合。在他看来,古典概率论必须经过发展才能作为研究归纳逻辑的工具。可行的办法是设法通过事件间的逻辑关系来考察事件的概率。后世的逻辑学家认为,布尔的主张应该说是关于概率的第一个逻辑关系解释。[3]83
约翰·梅纳德·凯恩斯(John Maynard Keynes,1883-1946)探究了命题或命题集合之间的概然性关系,研究了命题在什么条件下可以运用不充足理由原则,从而建立了历史上第一个概率演算公理系统。与凯恩斯的概率逻辑系统相比,汉斯·莱欣巴赫(Hans Reichenbach,1891-1953)的概率逻辑系统在形式化、公理化方面更为完善。借助频率概率论,莱欣巴赫考察了包括简单枚举法在内的几种归纳推理。他把简单枚举法描述为由相对频率认定极限频率的方法。在他看来,一切归纳推理都以简单枚举法为基础。因为一切归纳推理本质上都是由相对频率认定极限频率的,只不过较之于简单枚举法,其他类型的归纳推理在认定极限频率时,不仅要有相对频率的知识,而且还要有其他知识。
现代归纳逻辑最典型、最精致的公理系统是由卡尔纳普创立的。鲁道夫·卡尔纳普(Rudolf Carnap,1891-1970)的归纳逻辑理论以量程概率论为基础,用证据(或前提)对假说(或结论)的证实度来解释概率,将归纳逻辑视为研究这种证实度的理论。在《概率的逻辑基础》(Logical Foundations of Probability,1950)一书中,他以演绎逻辑系统为蓝本,构造了一个关于证实函数的概率逻辑理论,发展了一个与演绎逻辑系统一样精致的归纳逻辑系统,实现了归纳逻辑的形式化、数学化。
在卡尔纳普看来,概率演算系统可以称作“概率逻辑”,而概率逻辑就是归纳逻辑。这种概率化的归纳逻辑在形式化方面堪称完美。但它不能刻画实际应用中的归纳推理,更不能胜任对任意的归纳推理确定证实度的任务。在逻辑上和哲学上都面临着巨大的困难。
长期以来,现代归纳逻辑在理论和应用上的成功被看作堪比经典演绎逻辑的“成功故事”。但是,数学化的归纳逻辑不仅遭遇休谟问题的困扰,还面临亨普尔“乌鸦悖论”、古德曼悖论以及彩票悖论的挑战。实际上,归纳逻辑在理论方面遭遇困境的同时,却在自然科学、社会科学和工程学方面显示了意义重大的应用性成就。这个成就与认知科学的发展相联系。随着计算机人工智能的发展,归纳逻辑逐渐深入到我们的日常生活中。历史的演进、科技的变革和现实的需要共同促成了归纳逻辑的实践转向。
四实践转向:归纳逻辑的新发展
数学化归纳逻辑研究的目标是提出更好的理论,建构更完善的形式系统。对形式的归纳逻辑来说,研究的重点是句法、语义方面,而不是语用方面,从而忽视了语用实践在逻辑系统建构中的影响和作用。卡尔纳普等逻辑学家没有看到,语用实践成果为理论研究提供了基础,而这些影响和作用却没有得到充分重视。他们也没有意识到,形式系统的内外两个层面若不具有恰当相符性,就需要修正或改造原有系统的基本假定或规则,这是逻辑发展的内在动力;而社会的实际需要则是推动逻辑发展的外在动力。归纳逻辑的实践转向,就是内在动力和外在动力共同驱动的结果。以往的归纳逻辑实际上是理论优先的,而新兴的归纳逻辑应该是实践主导的。实践主导的归纳逻辑研究至少包括三个研究进路:社会科学应用进路、计算机人工智能应用进路和认知科学研究进路。
社会科学应用进路的突出特征是强调归纳逻辑在社会科学实践中的应用,其中重要的标志是从纯理论的研究转向应用研究。多夫·嘉贝(Dov M.Gabbay)等学者20世纪90年代编写了“应用逻辑丛书”,该丛书的介绍强调指出:“逻辑日益被应用于更为广泛的学科领域,从传统的哲学和数学到近来的认知科学、计算机科学、人工智能、语言学,从而激发了这一古老学科的新活力。”[5]多夫·嘉贝等逻辑学家还在2006-2007年编写了《应用逻辑的数学问题:21世纪的逻辑》。该书讨论了逻辑学中的重要应用问题,包括把主观贝叶斯概率理论应用于经济学、社会学、政治学等社会科学领域,开展主体间行为、群体行为的行动逻辑研究等等。这些研究极大地促进了归纳决策理论和归纳博弈论的发展,使归纳逻辑在决策与博弈中的应用问题成为研究热点。
计算机人工智能应用进路注重从人工智能的应用研究中探索归纳逻辑问题,强调在归纳逻辑研究中借鉴人工智能的方法。人工智能研究者把归纳逻辑,特别是贝叶斯定理作为工具对包括专家系统、基于主体的系统等知识系统的知识进行推理,推动了贝叶斯网络、知识挖掘、知识处理、机器学习等方面的研究。
机器学习有时用“归纳”之类的术语,亦即“归纳学习”,但机器学习与通常意义上的归纳推理研究侧重有所不同。“机器学习的归纳过程实际上是亨普尔确认与波普尔反驳的混合。”[6]33因为,机器学习程序往往聚焦于个体概念,并不关注全称命题的理论形成;而归纳推理研究聚焦于全称命题逻辑理论的建构,并根据这种理论做出预测。比如,下一只天鹅是白的预测依赖于“所有天鹅都是白的”这个理论概括,如果发现例外,就只能得出“有的天鹅是白的”的预测。
20世纪70年代兴起的非单调推理研究也属于这一研究进路。它是在通常的逻辑框架中表征非单调推理的尝试。著名哲学家艾萨克·莱维(Isaac Levi)讨论了非单调推理在归纳逻辑中的应用。他指出,非单调推理不仅能应用于演绎逻辑,也可应用于归纳逻辑中。在他看来,“归纳推论一方面基于相对完备的信念,另一方面也基于以论证为目的而采用的假定的信念。前者可用归纳扩充(inductively extended)条件句来形式地表征;后者可用缺省推理的形式加以重构。”[6]36他的主要研究对象是后者,而且认为缺省推理有着广泛的应用前景。
认知科学研究进路指的是归纳逻辑的认知研究,是认知科学家运用认知科学的研究成果来“改造”或“修正”归纳逻辑基本假定和原则的一种尝试。认知心理学家塔文斯基和科勒(Tversky&Koehler)在研究人类在不确定状况下做出的判断时,发现了一系列与正统概率逻辑相违背的现象。他们发现,“人类的判断和决策并不符合正统概率逻辑的一些基本假定。比如,‘一个人因自然原因而死亡’与‘一个人因心脏病而死亡或因癌症而死亡或因其他自然原因而死亡。’这两个事件也具有相同的外延,但是,人们却认为后者发生的可能性比前者要大得多。”[7]许多心理学实验也对正统概率逻辑的基本假定提出了挑战。比如对合取原则的否定;对二元互补性的修正;对可加性的超越等等。
逻辑学家多夫·嘉贝指出,当演绎逻辑几乎是在反心理主义精神指引下充分发展之时,归纳逻辑也极大地受益于经验(心理学)的研究。在这种背景下,注重从经验中研究归纳推理,修正正统概率逻辑理论,提出各种不同的替代方案已成为一种大趋势。塔文斯基和科勒认为,正统概率逻辑的问题在于,根据概率逻辑规则进行的推理在解决不确定性问题时有违直观,没有恰当地刻画人们的实际推理。他们试图以新的理论来发展归纳逻辑。
认知科学家的研究成果为概率逻辑研究提供了有效的工具。相比正统概率逻辑理论,支持理论的重大研究成果,如主观概率判断的描述依赖性、次可加性、合取效应、分解效应、促进效应等,更好地解释了人们在不确定状况下的判断和决策行为,使那些在正统概率逻辑理论框架下显得有违直观的问题,比如合取谬误问题得到了较好的解释。认知科学家的研究不仅催生了认知概率逻辑的问世,而且推动了归纳逻辑哲学的发展。
从历史上看,归纳逻辑的演进经历了古希腊归纳逻辑、科学的归纳逻辑、形式的归纳逻辑和实践主导的归纳逻辑四个阶段。从苏格拉底到亚里士多德,古代归纳逻辑思想没有实现理论化和系统化,但实践取向非常明显。从培根到穆勒,归纳逻辑基本实现了理论化和系统化,它的突出特点是建立在自然科学发展的基础上,是一种科学归纳逻辑。从布尔到卡尔纳普,归纳逻辑实现了从经典形态向现代形态的演进,是一个归纳逻辑形式化、数学化的发展进程,但也面临着许多困难和挑战。实践主导的归纳逻辑代表了归纳逻辑新的发展方向,它的主要标志是重视归纳逻辑的广泛应用,注重归纳逻辑与认知科学、计算机科学、人工智能研究的交叉研究与互动。实践转向实现了归纳逻辑历史上的一次革命性的转变。
从影响和作用上看,实践转向的重要结果之一是突破了以往归纳逻辑研究注重纯逻辑理论的研究模式,把逻辑科学置于与之关联的其他学科领域之中,如计算机科学、人工智能等,充分显示了逻辑学的基础学科与工具学科的作用,展现了逻辑科学本身的活力。实践转向的另一重要结果是深化了逻辑哲学有关问题的研究,为解决合取谬误、休谟问题等提供了有益的启示。
参考文献
[1]苗力田.亚里士多德全集:第1卷[M].北京:中国人民大学,1990.
[2]李廉.亚里士多德的归纳逻辑[J].学海,1996(3):42.
[3]邓生庆.归纳逻辑百年历程[M].北京:中央编译出版社,2006.
[4]张亮.卡尔纳普归纳逻辑及其认知意义[D].太原:山西大学,2010:5
[5]杜国平.应用逻辑研究进展[J].哲学动态,2010(1):74.
[6]任晓明,张玫瑰.美国归纳逻辑与人工智能研究概况[J].科学技术与辩证法,2007(1).
发现归纳数学规律——谈轻松学数学 篇9
一、要善于利用所学知识充分挖掘其规律性
如求1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的和, 共有10个数, 第1个数加第10个数和为11, 第2个数加第9个数和为11, 第3个数加第8个数和为11……共有5个11, 其和为55。也可以用凑整的思考方法, 1+9=10, 2+8=10, 3+7=10, 4+6=10, 还有一个单10和单5, 总共5个10和一个5, 其和为55。这是最常见的利用凑整的方法简算, 或凑相同数的方法简算。
二、要抓住题目中隐藏的不变量
有些题目, 虽然形式发生了变化, 但是本质没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中, 始终注意寻找它的不变量, 就可以揭示出事物的本质规律。
本题中, 等式左边第一个因式固定是x-1, 等式右边-号右边的数固定是1, 空格可填为x11-1。
三、要抓题目里的变量
找数学规律的题目, 都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律, 多数情况下, 是指变量的变化规律。所以, 抓住了变量, 就等于抓住了解决问题的关键。
认真分析数学中的规律, 善于归纳和总结规律, 让规律性的东西为数学学习生活服务, 使学生具备较高的思维深度, 思维广度, 培养新一代创新型人才, 数学教师责无旁贷。
在平时的数学教学过程中, 我和学生特别注重总结归纳一些方法和规律来帮助学习。七年级下册数学教学中, 有多项式的乘法运算这一章, 我把这一块的知识和数学运算相结合, 达到了有效节省计算时间的目的。如:十位数字相同的两位数乘法运算13×12, 我可以用个位数字2与3的和加10, 再乘以10, 再加上个位数字2与3的积, 结果为156, 相同的运算不超过10秒, 比计算器还要快。它的计算依据就是多项式的乘法运算。上面的运算过程我可以写成 (10+3) (10+2) =10×10+ (3+2) ×10+3×2=10× (3+2+10) +3×2=156, 个位数字是其它数的依此类推, 如果十位数字还是1, 则为 (10+a) (10+b) =100+10 (a+b) +ab=10 (a+b+10) +ab, 其它的十位数字相同的两位数乘法依此类推。
在学习圆与圆的位置关系时, 我与学生们共同总结出外离大和, 内含小差, 外切等和, 内切小差, 相交和差间的顺口溜, 这里的和指的是半径和, 差指的是半径差, 大是大于, 小是小于。记住了这个顺口溜, 对于任给两个半径求两圆位置关系的题就非常容易做了。
诸如以上的例子还有很多, 善于发现数学课本中知识之间的联系, 善于归纳和总结成规律性的东西, 会使我们学起知识来感觉到非常轻松, 并且还会有效地激发学生学习数学的兴趣, 开动他们的大脑, 锻炼他们的思维深度。
数学由于它本身的逻辑性、抽象性等特点, 对于学生来说, 学起来感觉非常枯燥。通过各种方法来提高学生的学习兴趣尤为重要, 教会学生发现数学规律, 研究数学规律, 应用数学规律, 轻松愉快的学习是必不可少的。让学生感觉到自己是一个成功的“淘宝者”, “淘宝”之乐, 重在于“淘”。
摘要：本文通过对数学中规律题的发现, 规律题的解决方法的归纳, 提高学生学习数学的兴趣, 总结出学习数学最基本的最重要的方法, 发现、归纳, 引领学生走出数学这座迷宫。
归纳:数学解题的有效途径 篇10
关键词：高中数学,归纳,数学解题,有效途径
反观当前高中数学课堂现状, 部分教师将解数学题片面地理解为一套方法与一系列题型之间的简单对应. 在进行数学课设计时, 经常是用典型题代表某一类题的特征结构进行分析,让学生对此类题的做法与思路进行模枋.尤其是很多教师总怀疑自己是否没有将一些题讲透、讲精, 讲得让学生明白,于是针对难题、偏题反复讲解,在一定程度上剥夺了学生自主解题的时间,也让学生的数学思维容易形成某种定势.解数学题是让学生对自己所学进行再组织与再应用, 再回顾与再反思的一个过程.它不但给学生提供了查漏补遗的机会,而且为教师提供了弥补教学不足的机会.因此,如何利用解数学课这一良好契机,帮助学生完成对难点与重点知识的突破,成为当前很多高中数学教师的重要课题[1].本文以归纳为核心,对如何引导学生用归纳解数学题进行了研究与思考.
一、让归纳成为一种意识
精神来自于意识,意识决定行为,高中生归纳思维培养的第一步应该是帮助他们形成归纳意识. 高中数学教学是开发学生思维的一种教学活动, 而组织与开展教学活动的主场所是课堂,因此,课堂环境对于高中生的思维有着直接影响,教师要保证让学生置身于宽松而愉快的课堂氛围中, 引导他们运用自己的思维智慧展开直觉探究, 通过大胆猜想激活直觉思维和归纳意识.如在学习直线与平面垂直判定定理时,可以让学生分成若干小组一起做与折纸有关的实验游戏, 每个学生手中拿一个三角形的纸片,假设为△ABC,沿顶点A将纸片进行翻折,出现折痕AD,这时将已经翻折的纸处竖着放在桌面上,使DC和BD接触到桌面,然后让学生思考、讨论以下问题:1桌面与折痕AD是否垂直? 2怎样折纸就能够让桌面这个平面与AD垂直? 这种从游戏实验入手的方法,可以保证学生自由想象与思维的空间与时间, 让他们能够从动手实践中主动获得知识,而从实践中获知的这个过程,就是学生归纳的过程,当他们从互相合作与彼此信任中获得成功时,归纳意识自然而然地就被激发出来.
二、引导学生用归纳来解数学题
归纳是有别于一般的一种新发现、新见解与新思维,数学创新精神的核心是创新思维, 如何让高中生的数学创新从意识开始,让归纳逐渐成为一种习惯,直到转换为一种自然的能力,需要教师从多方面对学生加以引导和培养.
第一, 让学生学会观察. 观察是打开思维探索大门的钥匙,只有学会观察才能有所发现,才能进行归纳.观察力是逐渐培养起来的,在高中数学教学中,教师不但要注重培养学生观察的条理性与目的性, 还要引导学生在解题时注重培养他们观察的灵活性和全面性.如题:已知数列“8·1/12·32,8·2/32·52,…8n/(2n-1)2·(2n+1)2,… ,”该数列前n项和为Sn,计算分别得出请同学们对上述结果进行观察,推测Sn表达式,同时用数学归纳法加以证明.学生只要认真观察就会从S1到S4的结果中找到存在的内在规律,将其抽象转换为一般形式,从观察目的中重新审视数列,会发现S1到S4的数式结构都存在着分母比分子大1的特点,而分母S1到S4是以3为开始的一个连续奇数平方, 因此能够推测Sn=(2n+1)2-1/(2n+1)2,继而再以数学归纳法加以求证就会轻而易举.
第二,引导学生通过归纳诱发灵感.如同一切文学和艺术创作一样,数学思维创新也同样需要某种灵感.灵感是直觉思维的一种表现,它并不是一种偶然,是在长期实践而累积起来的经验与知识中, 突然出现的某种具有一定创造性和突破性的思维. 在高中生的数学学习过程中, 经常会有一些标新立异、别出心裁甚至是违反常规的想法或者结论,这些都是学生思维中宝贵的“灵感”,教师要学会捕捉这些灵感,并运用数学方法诱发这种灵感, 让学生能够从逻辑推理的定势中实现突破. 如例题:“已知P为圆x2+y2=1任意一点 , 点A (3,0),PA为∠AOP平分线与M点相关,求M点的轨迹.”此题学生一般的解题思路会以相关点法为切入点, 其弊端是会出现非常繁琐的解题过程, 这时可以引导学生从另外一个角度进行观察与思考,如果从隐含的因果关系入手,就会得到一个“奇思妙想”如图1“SΔAOP=SΔAOM+SΔMOP”.然后可以按照以下解题步骤求解 :
设M (x,y)(x>0,y≠0),∠AOP=θ,θ∈(0,π/2).
所以,因此M点轨迹为圆和点(0,0)除外.
