对偶优化

对偶优化（精选九篇）

对偶优化篇1

关键词：电网,经济调度,次梯度算法,对偶优化

0 引言

经济调度问题是电网中的基本问题之一。经济调度是在保证每个发电单位的发电容量的许可范围内产生足够的电力, 并且使发电的总成本最小。经济调度在数学上可以表示为一个优化问题:在保证电力平衡和发电容量的基础上最小化成本函数。

由于可再生能源的利用和智能电网的兴起, 利用分布式方法求解经济调度问题已经引起了很多学者注意。可再生能源的利用与智能电网的兴起使得电力系统变得非常复杂, 使得集中式的经济调度变得非常困难, 而分布式经济调度则是一个很好的解决方案。

分布式经济调度有两大类方法:增量成本一致方法和分布式优化方法。增量成本一致方法是利用电网电力失衡反馈, 结合一致性算法得到最优解。增量成本一致方法的优点是易于理解和实施, 并且能从中得到增量成本的信息, 但是这种方法并不能保证一定能得到最优解。

为了保证得到最优解, 人们又利用分布式优化的方法来解决经济调度问题。在文献[1]中, 作者首先用集中式的方法得到经济调度问题的最优解, 然后设计一个分布式一致性算法来得到这个最优解。但是这种方法只能解决成本函数是二次函数的经济调度问题。在文献[2]中, 作者提出了一种通过发电单位之间共享成本函数导数的方法, 但是该方法需要特殊的初始值。在文献[3]中, 作者提出了一个需要特殊初始值的连续时间分布式优化算法。在文献[4]中, 作者设计了一个动态跟踪算法来跟踪电力失衡的平均值, 因此, 该算法能从任意值出发得到经济调度问题的最优解而不需要特殊的初始化。但是, 该方法仍然需要一些全局信息。

在本文中, 我们利用分布式对偶优化方法来解决经济调度问题。首先, 我们导出经济调度问题的拉格朗日对偶问题。然后, 利用分布式次梯度方法来解该对偶问题。分布式对偶优化方法的主要优点有:在强对偶的前提下, 该方法可以保证得到最优解;电网中的增量成本就是该对偶方法中的对偶变量, 因此, 该方法可以直接得到电网的增量成本。

本文剩余部分如下:接下来我们介绍经济调度、对偶优化和分布式次梯度方法。再次我们利用分布式次梯度方法解决经济调度问题。最后是结论部分。

1 预备知识

在这一部分, 我们介绍经济调度问题、拉格朗日对偶优化问题和分布式次梯度方法。

1.1 经济调度问题

一言以蔽之, 经济调度问题就是消耗最少的成本产生充足的电力来满足电力需求。

在经济调度问题中, 每个发电单位有一个与发电量有关的成本函数。这个成本函数可能是线性的、二次的或其他凸函数, 但一般是二次的。每个发电单位也有装机容量的限制, 以及有最大和最小的发电量限制和要求。而且, 所有发电单位发的总电量必须满足电网中的总需求量以达到电力平衡。因此, 在数学上, 经济调度问题可以表示为:

1.2 对偶优化问题

在本小节我们介绍优化问题的拉格朗日对偶问题。有时候解决一个优化问题的拉格朗日对偶问题要比解决原问题简单。

考虑如下带约束的优化问题:

该问题的目标是找到目标函数f0 (x) 在约束集合{x|fi (x) ≤0, hj (x) =0, i=1, …, m, j=1, …, p}上的最小值。在该问题中, 如果fi (x) (i=0, 1, …, m) 是凸函数而且hj (x) (j=1, …, p) 是线性函数, 那么该问题就是一个凸优化问题。

该问题的拉格朗日函数为:

其拉格朗日对偶函数是对其拉格朗日函数取关于x的最小值:

其中, D为fi (x) (i=0, 1, …, m) 和hj (x) (j=1, …, p) 的公共定义域;g (λ, v) 为关于 (λ, v) 的凹函数。

式 (3) 的拉格朗日对偶问题如下:

对于拉格朗日对偶问题式 (5) , 我们有如下引理:

引理1:拉格朗日对偶问题式 (5) 是一个凸优化问题。

令p*为原优化问题式 (3) 的最优值, d*为对偶问题式 (5) 的最优值。则弱对偶d*≤p*始终成立。而强对偶d*=p*在一定条件下成立。对于强对偶, 我们有如下引理:

引理2 (Slater’s Condition) :如果存在点x使得下式成立:

则当优化问题式 (3) 是凸优化问题时, 强对偶d*=p*成立。

1.3 分布式次梯度方法

在本小节, 我们介绍分布式优化中常用的分布式次梯度算法。

次梯度是函数梯度的推广。

定义1:函数f (x) 在x0处的次梯度是满足如下条件的向量d:

其中, D为f (x) 的定义域。

分布式次梯度算法是分布式优化中常用的一种算法。在该算法中, 每个智能体有自己的目标函数和约束集合, 但是所有智能体的目标是优化它们各自的目标函数之和。这类分布式优化问题在数学上可以表示为:

此处, fi (i=1, …, n) 为每个智能体自己的目标函数;Xi (i=1, …, n) 为每个智能体自己的约束集合, 全局约束集合X是所有Xi (i=1, …, n) 的交集。

对于分布式优化问题式 (7) , 我们可以利用如下优化算法来求解:

其中, xi (k) 为智能体i对最优点的估计;PXi为在约束集合Xi上的投影;aij (k) 为通信拓扑的权重矩阵中位于 (i, j) 处的元素;gi (k) 为fi在处的次梯度;α (k) (k=1, 2, 3, …) 为优化步长并且满足:

当智能体之间的通信拓扑是平衡的且强连接时, 该算法收敛于问题式 (7) 的最优值。

2 经济调度问题的分布式对偶解法

在本节中, 我们描述如何用分布式对偶方法解经济调度问题式 (1) 。我们首先导出经济调度问题的拉格朗日对偶问题, 然后利用分布式次梯度方法解决该对偶问题。然后利用强对偶条件得到原经济调度问题的解。

当经济调度问题式 (1) 中每个发电单位的成本函数是二次函数式 (2) 时, 该问题变为:

我们假设引理2中的Slater’s Condition在此处成立, 亦即, 电网的总需求在电网的总发电能力范围

经济调度问题式 (10) 的拉格朗日函数为:

然后我们得出:

将Pi代入拉格朗日函数, 得到:

那么经济调度问题的对偶问题就是:

通过解决问题式 (12) , 我们可以得到每个发电单位的增量成本, 利用式 (11) 得到最优发电量和整个电网的最小成本

在对偶问题式 (12) 中, 负增量成本v为所有发电单位共享, 所以我们对其采取分布式次梯度方法。而λi, μi只为单个发电单位所有, 所以我们对其采取次梯度方法。总而言之, 我们解决经济调度问题式 (12) 的方法如下:

3 结语

本文讨论了利用分布式优化算法求解电网中的经济调度问题。首先导出了经济调度问题的拉格朗日对偶问题, 然后利用分布式次梯度算法解决该对偶问题。最后利用强对偶条件得出原经济调度问题的最优解, 同时还能得到每个发电单位的增量成本。

参考文献

[1]G.Binetti, M.Abouheaf, F.Lewis, et al.Distributed solution for the economic dispatch problem[J].In Control Automation (MED) , 2013 (21) :243-250.

[2]Wei Zhang, Wenxin Liu, Xin Wang, et al.Online optimal generation control based on constrained distributed gradient algorithm[J].Power Systems, IEEE Transactions on, 2015, 30 (1) :35-45.

[3]A.Cherukuri, J.Cortes.Distributed generator coordination for initialization and anytime optimization in economic dispatch[J].Control of Network Systems, IEEE Transactions on, 2015 (99) :1.

对偶优化篇2

1.身体力行是最有效的示范，以上率下是最有力的引导。

2.思想的阻力是最大的阻力，观念的障碍是最大的障碍。

3.稳步推进，积小胜为大胜；善始善终，变理想为现实。

4.领导带头就是鲜明的旗帜，上级垂范就是无声的命令。

5.把所有心思用在谋发展上，把全部精力用在干事业上。

6.让“奉献”成为时代主旋律，让“友爱”成为时代主色 7.不是选答题而是必答题，不是软任务而是硬要求。

8.“钻厚板”才能取到火种，“凿深井”方能得到甘泉。

9.一簇星光点亮一方夜空，一束玫瑰馨香整座房宇。

10.破解棘手难题的主攻手，推进改革发展的实干家。

11.居安思危才能勇立潮头，担当实干才能成就事业。

12.既要筑牢互信的“堤坝”，也要竖立理想的“灯塔”。

13.检阅发展成果的“舞台”，检验发展能力的“擂台”。

14.时间是最有力量的语言，行动是最生动的注脚。

15.想事情比别人早一点，抓工作比别人快一点。

16.理想信念上坚定不移，行动作为上言行合一。

17.年初出事，一年白干；年终出事，白干一年。

18.用力划桨，才有分量；向前奔跑，才能抵达。

19.带着一颗“真心”而来，不带半分“私心”而去。

20.既有高屋建瓴的指引，又有清晰可行的路径。

21.做正确的事，是方向；正确地做事，是方法。

22.意志坚定，坚守信仰；冲锋在前，吃苦在前。

23.拔掉思想上的“穷根”，丰满能力上的“羽翼”。

24.以人才优先发展之功，收人才引领发展之效。

25.起步容易，鲜克有终。慎终如始，方无败事。

26.亡羊补牢，实乃下策；曲突徙薪，方为上计。

27.既是充满哲思的揭示，也是铿锵豪迈的宣言。

28.思想是行动的先导，理论是思想的支柱。

29.越锤炼越品质纯正，越击打越光彩夺目。

30.定力蕴藏前行力量，定力激发潜能潜质。

31.一往无前干事创业，一马当先奋勇拼搏。

32.真抓才能攻坚克难，实干才能梦想成真。

33.练好“内功”提质量，做好“外功”拓市场。

34.在不折腾中前进，在不甘落后中奋起。

35.心中有“定盘星”，手中有“度量衡”。

36.是响当当的荣尚，是沉甸甸的责任。

37.苦累面前多思得，工作当中多思责。

38.不畏浮云遮望眼，心有定力步自坚。

39.只为干事找办法，不为困难找借口。

40.脑子里有了硝烟，脚步才奔向战场。

41.标准丝毫不能降，工作半点不能松。

42.定位决定地位，格局决定结局。

43.开工就是开战，开战就要督战。

44.退却绝无出路，奋起方能破局。

45.不当“传声筒”，不做“复读机”。

46.抓紧补齐短板，扎实加固底板。

47.活思想之潜能，锤行动之本领。

48.思想左右行动，想法决定活法。

49.站位决定高度，思想决定行动。

50.多积尺寸之功，多累严实之效。

51.时时提神振气，事事精益求精。

52.破除思想桎梏，根治歪风顽疾。

53.实干书写担当，导向激励担当。

54.让群众“叫好”，向问题“叫板”。

55.脑里有想法，落实有办法。

56.大盘取厚势，落子开新局。

57.盯着排头干，朝着先进赶。

58.打虎要上山，擒龙要下海。

59.任凭风浪起，稳坐钓鱼船。

对偶优化篇3

文章我们描述和证明一个为解决凸优化可分离函数组件问题的新算法即分布在节点的一个网络算法及其收敛性。我们称此算法为push-sum分布式对偶平均 (PSDDA) 算法。我们的算法是建立在最近发表的分布式对偶平均 (DDA) 算法[1]的基础上, 使用了改进的推和共识协议[2]。

为了使论文具有独立性, 我们回顾一些分布式对偶平均算法必要的背景知识。假设我们有一个强连通网络G= (V, E) 且|V|=n个计算节点。每个节点对应的凸函数hi (x) :Rd→R.我们目标是解决下式最小化问题

几何收敛速度为

2 PUSH-SUM分布式对偶平均

结合push-sum平均协议, 我们制定的push-sum分布式双平均 (PSDDA) 算法如下:

其中gi (t) 是hi (t) 在点x=xi (t) 处的梯度, a (t) 是表示步长大小的数列是非递增的。观察检索正确的累积梯度的DDA的标准, 我们需要分析z变量在每个节点适当的权重。

收敛的每个节点j∈V且最优值x*∈x在 (1) 里

3定理1的证明

(10) 和 (14) 是同样有界的。使用到部分结果到目前为止我们已经证明

下面我们将证明这个绝对值是有界的。

我们使用了几何总和是有限的公式。现在我们可以回到 (13) 来得到

4结束语

在文章中, 我们描述和分析PSDDA算法一个基于凸优化的一致性分布式新算法。作为它的前身[1]不需要添加随机共识协议, 它适用于任何列随机协议。P满足网络结构G且在不需要要知道平稳分布的P或在每一个节点大小的网络无偏性的收敛到最优。

摘要：最近已经有大量的基于分布式一致性优化应用程序的研究。文章在此基础上描述和证明了一种有向切换网络新算法的收敛性我们称此算法为push-sum分布式对偶平均算法, 它结合最近的一个优化对偶平均算法[1]构成了有push-sum显著优势的一致性协议算法[2]。

关键词：push-sum,分布式,一致性,收敛

参考文献

[1]A.G.Dimakis, S.Kar, J.M.Moura, M.G.Rabbat, and A.Scaglione, "Gossip algorithms for distributed signal processing, "[J]Proceedings of the IEEE, 2010, 98 () 57) :1847-1864

[2]B.Gharesifard and J.Cortes, "When does a digraph admit a doubly stochastic adjacency matrix?"in Proceedings of the American Control Conference, Baltimore, Marylan, 2010:2440-2445.

[3]S.S.Ram, A.Nedic, and V.V.Veeravalli, "Distributed stochastic subgradient projection algorithms for convex optimization, "Journal of Optimization Theory and Applications, vol.147, no.3, pp.516-545, 2011.

[4]K.I.Tsianos and M.G.Rabbat, "Distributed dual averaging for convex optimization under communication delays, "in American Control Conference (ACC) , 2012.

经典对偶诗句篇4

关于对偶诗句有很多，本文收集了部分对偶诗句，整理后列表如下：

“草铺横野六七里，笛弄晚风三四声”出自唐朝诗人吕岩的古诗词作品《牧童》第一二句,其全文如下：

草铺横野六七里，笛弄晚风三四声。

归来饱饭黄昏后，不脱蓑衣卧月明。

【译文】

绿草如茵，广阔的原野，一望无垠。笛声在晚风中断断续续地传来，悠扬悦耳。牧童放牧归来，在黄昏饱饭后。他连蓑衣都没脱，就愉快地躺在草地上看天空中的明月。

“举头望明月，低头思故乡”出自唐朝诗人李白的古诗作品《静夜思》第三四句,其全诗文如下：

床前明月光，疑是地上霜。

举头望明月，低头思故乡。

【翻译】

明亮的月光洒在窗户纸上，好像地上泛起了一层霜。我禁不住抬起头来，看那天窗外空中的一轮明月，不由得低头沉思，想起远方的家乡。

“七八个星天外，两三点雨山前”出自宋朝诗人辛弃疾的古诗作品《西江月·夜行黄沙道中》的第三四句,其全文如下：

明月别枝惊鹊，清风半夜鸣蝉。稻花香里说丰年，听取蛙声一片。

七八个星天外，两三点雨山前。旧时茅店社林边，路转溪头忽见。

【翻译】

天边的明月升上了树梢，惊飞了栖息在枝头的喜鹊。清凉的晚风仿佛吹来了远处的蝉叫声。在稻花的香气里，人们谈论着丰收的年景，耳边传来一阵阵青蛙的叫声，好像在说着丰收年。天空中轻云漂浮，闪烁的星星时隐时现，山前下起了淅淅沥沥的小雨，诗人急急从小桥过溪想要躲雨，往日，土地庙附近树林旁的茅屋小店哪里去了?拐了弯，茅店忽然出现在他的眼前。

“少壮不努力，老大徒伤悲”出自唐朝诗人郭茂倩的古诗作品《长歌行》第七八句,其全文如下：

青青园中葵，朝露待日晞。

阳春布德泽，万物生光辉。

常恐秋节至，焜黄华叶衰。

百川东到海，何时复西归?

少壮不努力，老大徒伤悲。

【翻译】

园中的葵菜呵郁郁葱葱，晶莹的朝露阳光下飞升。春天把希望洒满了大地，万物都呈现出一派繁荣。常恐那肃杀的秋天来到，树叶儿黄落百草也凋零。百川奔腾着东流到大海，何时才能重新返回西境?少年人如果不及时努力，到老来只能是悔恨一生。

“三山半落青天外，二水中分白鹭洲”出自唐朝诗人李白的古诗词作品《登金陵凤凰台》第五六句,其全文如下：

凤凰台上凤凰游，凤去台空江自流。

吴宫花草埋幽径，晋代衣冠成古丘。

三山半落青天外，二水中分白鹭洲。

总为浮云能蔽日，长安不见使人愁。

【翻译】

凤凰台上曾经有凤凰鸟来这里游憩，而今凤凰鸟已经飞走了，只留下这座空台，伴着江水，仍径自东流不息。当年华丽的吴王宫殿及其中的千花百草，如今都已埋没在荒凉幽僻的小径中，晋代的达官显贵们，就算曾经有过辉煌的功业，如今也长眠于古坟里了，早已化为一抔黄土。我站在台上，看着远处的三山，依然耸立在青天之外，白鹭洲把秦淮河隔成两条水道。天上的浮云随风飘荡，有时把太阳遮住，使我看不见长安城，而不禁感到非常忧愁。

“春种一粒粟，秋收万颗子”出自唐朝诗人李绅的`古诗作品《悯农》第一二句,其全诗文如下：

春种一粒粟，秋收万颗子。

四海无闲田，农夫犹饿死。

【翻译】

春天，农民把一粒粒谷子种下，秋天就可以收到很多粮食。虽然全国各地的土地都被农民耕种，但农民还是因为粮食全被佞官夺去而饿死。

“远看山有色，近听水无声”出自唐朝诗人王维的古诗作品《画》的第一二句,其全文如下：

远看山有色，近听水无声。

春去花还在，人来鸟不惊。

【翻译】

远看高山色彩明亮，走近一听水却没有声音。春天过去，可是依旧有许多花草争奇斗艳，人走近，可是鸟却依然没有被惊动。

“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”出自唐朝诗人杜甫的古诗作品《绝句》第一二句,其全诗文如下：

两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。

窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。

【翻译】

翠绿的柳树，在河边摇荡，引来了爱嬉闹的黄鹂。两只可爱的黄鹂鸟，不断的鸣唱，好像在赞颂柳树的美丽。抬头一看，许多只又白又可爱的白鹭排着整齐的队伍，一齐向蔚蓝的天飞去，样子真是令人喜爱。从小小的窗户里望出去，西边的山岭依然被白雪所覆盖，那洁白的雪，好像是永远溶化不掉的样子，一直罩在山顶上。接着，我打开门，望着远远的湖泊，看着那正要远征的东吴战舰，一排排，一排排，真像是一条条水中的蛟龙啊。

“红雨随心翻作浪，青山着意化为桥”出自当代文学家毛泽东的古诗作品《送瘟神》之中,其古诗全文如下：

春风杨柳万千条，六亿神州尽舜尧。

红雨随心翻作浪，青山着意化为桥。

天连五岭银锄落，地动三河铁臂摇。

借问瘟君欲何往，纸船明烛照天烧。

【译文】

一个小小的血吸虫的肆虐，深深刺痛了一颗伟大的心。一个残暴的瘟君的覆灭，大大激发了一份磅礴的情。

当毛泽东得知江西余江县消灭了为害极广的的血吸虫病时，作为共和国的缔造者，一个时刻系念着人民的领袖，他激动不已，彻夜难眠，感慨和热忱化作了这两首七律，一个无产阶级革命家的赤诚之心和爱国爱民之情，闪射出了灿烂的艺术光辉。

“千村薜荔人遗矢，万户萧疏鬼唱歌”出自当代文学家毛泽东的古诗作品《送瘟神》之中,其古诗全文如下：

绿水青山枉自多，华佗无奈小虫何。

千村薜荔人遗矢，万户萧疏鬼唱歌。

坐地日行八万里，巡天遥看一千河。

牛郎欲问瘟神事，一样悲欢逐逝波。

【译文】

一个小小的血吸虫的肆虐，深深刺痛了一颗伟大的心。一个残暴的瘟君的覆灭，大大激发了一份磅礴的情。

电路的对偶篇5

对偶是自然界中普遍存在的一种特殊现象。在分析和研究自然规律中, 利用对偶现象, 可以有效地揭示元素之间一些相似或相对的内在联系, 简化认知事物的过程。

一、电路的对偶现象

在纯电阻电路中, 串联总电阻与各电阻的关系为:总电阻RS=R1+R2+R3+…+Rn;同样在纯电阻电路中, 并联总电导与各电导的关系为:总电导GS=G1+G2+G3+…+Gn。它们的数学表达形式很相似, 这种相似性表现为对偶。又如电容元件的电流与加在它两端的电压关系为:i=Cdu/dt;而电感元件的电压与流经它的电流关系为:u=Ldi/dt。这两种元件的电流电压关系表达式也呈现对偶现象。

二、电路的对偶关系

电路中某些元素之间的关系 (或方程) , 用它们的对偶元素对应地置换后, 所得的新关系 (新方程) 也一定成立, 后者与前者互为对偶。[1]电路元素之间的一些对偶关系如下表:

(一) 电路元件的对偶

组成电路的元件中, 两者之间互为对偶的元件有电阻R与电导G、电容C与电感L、电压源US与电流源IS等。下图是电源的对偶:

图1和图2是电压源和电流源的模型, 其对应的电压和电流表达式分别如下:U=US-RSI, I=IS-GSU, 它们互为对偶。

(二) 电路的结构对偶

由电路元件组成的不同结构之间的对偶有串联与并联、开路与短路、回路与节点等。

(三) 电路的定律对偶

基尔霍夫定律包含电流和电压两个定律, 这两个定律互为对偶。KCL指出:任一时刻, 流入电路中的任一节点的各支路电流代数和恒等于零, 即Σi=0。而KVL指出:任一时刻, 沿电路中的任一回路绕行一周, 所有支路电压代数和恒等于零, 即Σu=0。KCL与KVL是对偶关系。它的子元素如电流与电压、节点与回路、串联与并联也互为对偶。

(四) 电路参数的对偶

二端口网络是具有2个端口的电路, 端口与电路内部网络相连接。图3是反映二端口网络的阻抗参数的等效电路。

阻抗参数Z的矩阵方程形式为:

图4是反映二端口的导纳参数的等效电路。

导纳参数Y的矩阵方程的形式为:

以上二端口网路的开路阻抗参数Z和短路导纳参数Y互为对偶。

(五) 电路结论的对偶

电路中某些结论存在对偶, 如开路电流为零与短路电压为0互为对偶的结论;又如数字电路运算中A·A=A与A+A=A这两个结论也互为对偶。

三、电路对偶的分析

由于电路对偶的存在, 运用它来分析电路, 可同时获得电路及它的对偶电路的解, 一举两得。

(一) 无源网络的对偶

在单相交流电路中, 分析R-L串联电路 (图5) 和它的对偶电路 (图6) 的电压、电流的关系。

图5中RL串联电路的等效阻抗为Z=R+jωL;端电压U与电流I的关系为U=ZI。图6并联电路的等效导纳为Y=G+jωC。

端电流I与电压U的关系为I=YU。若参数R与G、C与L在数值上相等, 且接在频率相同的正弦交流电路中, 则两个电路的U与I数值相等。这个关系也可以用矢量图来表示:R-L串联电路的矢量关系为图7;G-C并联电路的矢量关系为图8。

两矢量对应重合, 即两电路互为对偶关系。

(二) 有源网络电路的对偶分析

如图9是一个有源网络的平面电路, 对它进行求解, 可使用网孔法, 方程组为:

根据对偶原理, 将对偶量相应地置换后, 可以转换成另一个电路 (图10) , 它的节点方程组:

电路分析方法的对偶是电路多种元素对偶的综合体现。上述对偶电路的对应元素有: (1) 回路电压法与支路电流法的对偶; (2) 电阻串联与并联的对偶; (3) 电压源与电流源的对偶; (4) 电流控制电压源 (CCVS) 与电压控制电流源VCCS的对偶。若对偶元素数值相等, 则在数值上两个电路同解:IL1=VN1;IL2=VN2。

小结:

1. 根据对偶原理, 如果导出电路中某一关系和结论, 就等于解出了与它相对偶的另一关系和结论。例如, 含源一端口电阻网络的两种等效:互为对偶, 只要论证了戴维南定理的正确性, 它的对偶———诺顿定理自然也成立。

2. 互为对偶电路的特征方程和特征值相同, 由对偶方程导出的各种公式和结果也是对偶的。

参考文献

[1]邱关源.电路[M].第4版.北京:高等教育出版社, 1999.

诗词中对偶的类别篇6

关键词：诗词,对偶,类别,表现手法

我国第一部诗歌总集《诗经》里大量运用对偶手法, 如《诗经》中的名句:“青青子衿, 悠悠我心。”《诗经·采薇》中:“昔我往矣, 杨柳依依。今我来思, 雨雪霏霏。”自《诗经》以来, 对偶在我国诗歌发展中被大批文人墨客采用。汉乐府诗集《长歌行》中有名句:“少壮不努力, 老大徒伤悲。”到了魏晋南北朝时期, 文人的文学意识逐渐觉醒, 出现曹植、谢灵运等喜爱运用对偶句的诗人, 都是对偶手法在诗中的体现。诗歌中的对偶在唐代得到进一步的发展, 进入诗歌发展的全盛时期, 对偶更加精巧, 也更加严格。诗人比较喜欢运用句式整齐、结构相对的对偶形式。如李白的《静夜思》:“举头望明月, 低头思故乡。”到了宋代, 随着宋词的发展, 也给对偶加入新的特点, 与唐诗相比, 不用避讳同字相对, 也不严格限制平仄相对, 如辛弃疾《永遇乐》中的:“千古江山, 英雄无觅, 孙仲谋处。”我国最早对于对偶的研究可追溯到战国时期, 《墨子》中有:“侔也者, 比辞而俱行也。”就是说词语要齐头并进, 要用整齐的词语来表达意义。这是先秦文学中对对偶的概括和总结。《丽辞》中对对偶进行了全面的阐释。刘勰将对偶归纳为四种类型:言对、事对、反对、正对。刘勰认为这四种对, 言对易, 事对难, 反对优, 正对劣。言对:文字的对偶。事对:用典的对偶。反对:意义相反的对偶。正对:意义相同、性质相似的对偶。刘勰认为对偶是很重要的文学艺术表现手法, 使语言表达更加丰富, 提高语言的表现力, 但他不追求过分的雕琢, 强调语言的自然之美。这是历史上最早给对偶分类, 为后来对对偶的研究奠定了基础。到了唐代, 随着唐诗的兴盛, 著作的丰富, 对偶也得到了进一步的发展, 唐代诗人不仅喜欢对偶, 更擅长运用对偶, 在唐诗中对偶的佳句比比皆是。到了宋代, 对偶在词中有了一定的发展, 沈括的《梦溪笔谈》在运用方面将对偶分成:磋对、假对、双声叠韵这三种类别。自元代元曲产生以来, 对偶从诗歌扩展到了散文、元曲等更多的文学形式之中, 对偶也出现新的形式。明代的朱权在《太和正音谱》中记载, 隔句对、鼎足对适用于元曲之中。明清小说虽以散文为主, 但其中穿插许多精辟的对偶句, 起到画龙点睛的效果, 增强了小说的语言表现力和文学艺术性。清代的毛先舒在《诗辨坻》中认为对偶需要“要审死活、虚实、平侧”, 这一时期对古籍进行了整理, 也涉及对偶的整理, 对偶的名称有所增加, 也对表述不够准确的名称进行修改。

按照不同的分类准则, 可以把对偶分为不同的类型, 前人也对对偶的分类提出过不同的见解。但大体方向上, 都是从内容和形式两方面进行分类的。

一、从形式上分类

在形式上分类把对偶分成工对和宽对这两大类型。工对, 也称严对, 指工整的对仗。在词类、词性、句型等方面都分别整齐对称, 如名词对名词, 代词对代词, 形容词对形容词, 动词对动词, 副词对副词, 虚词对虚词。如把名词又细分为天文、地理、衣饰、器物、饮食、文学、形体、人事、人伦草木、鸟兽虫鱼等。

宽对是与工对相对的概念, 是一种不很工整的对仗, 没有工对的要求严格, 一般只要句型和词性相同, 就可以构成对偶的形式。一般名词对名词、形容词对形容词便可以。如杜甫《月夜》中的:“遥怜小儿女, 未解忆长安。”

在形式上又可细分为:

(1) 实字对。诗中对偶句以实字居多, 故称为“实字对”。如杜甫《奉和贾至舍人早朝大明宫》中的:“旌旗日暖龙蛇动, 宫殿风微燕雀高。”

(2) 虚字对。在诗中有意识地使用虚词之乎者也, 使虚词相对, 虚词与实词交相呼应。如杜甫《春日忆李白》中的:“白也诗无敌, 飘然思不群。”

(3) 错综对。错综对不拘于字词的位置, 词语与对句的词语本可相对, 字词位置不是依次相对的形式, 而是在同一个位置上但错开的。如王维《辋川闲居赠裴秀才迪》中的:“倚杖柴门外, 临风听暮蝉。”

(4) 连珠对。连珠对, 也称叠对。指两个重叠字或者叠音词对偶的格式。常用的重叠字有:依依、细细、习习、寂寂、瑟瑟、绵绵、漫漫、悠悠、渺渺、萧萧、飒飒、处处、时时等。如王绩《野望》中:“树树皆秋色, 山山惟落晖。”杜甫《登高》里的:“无边落木萧萧下, 不尽长江滚滚来”。

(5) 隔句对。隔句对是在对偶句中, 间隔使用对仗。其特点是第三句对第一句, 第四句对第二句, 或者说单句相对, 偶句相对。如《诗经·采薇》中:“昔我往矣, 杨柳依依。今我来思, 雨雪霏霏。”

(6) 互成对。互成对是一句诗句中两个相同类别的词语连用, 再两两相对。如杜甫《社日》中:“欢娱看绝塞, 涕泪落秋风。”

(7) 巧变对。如杜牧《题宣州开元寺水阁》中:“鸟去鸟来山色里, 人歌人哭水声中。”

(8) 倒装对。句子倒装形式的对偶, 如王维《山居秋暝》中的:“竹喧归浣女, 莲动下渔舟”。

根据不同学家的分类还可分为掉字对、假对、问答对、借韵对等。

二、从内容上分类

从内容上分类可分为:正对、反对、串对这三大类。

正对, 又称真对, 上下两句表达的意义相同或相近的对偶形式, 用重复的方式来加强诗句的意义和主题。正对是诗词中最常用的对偶形式。正对要求实词对实词, 虚词对虚词, 名物和数字都要一一相对, 要求工正整齐。

反对是前后两个诗句表示相对相反的意思, 通过相反两面来表达诗歌的内容, 相反相成, 对立统一。如《书经·大禹漠》中的“满招损, 谦受益。”是反对典型的例子。

串对, 又称流水对, 一般的对偶句, 上句和下句是平行的两句话, 各自有其完整的意思。但流水对的上句和下句之间一气呵成, 分别独立来读没有意义, 这种称为流水对。如王维《终南别业》中的:“行到水穷处, 坐看云起时。”

在内容上又可细分为:

(1) 人名对。人名对, 顾名思义就是人名与人名的相对, 如刘禹锡的《陋室铭》:“南阳诸葛庐, 西蜀子云亭。”

(2) 地名对。地名对, 对偶的都是地名与地名相对。在我国幅员辽阔, 地方众多, 不少的地名能对上对子, 还有些地名浑然天成, 巧然成对。如孟浩然的《望洞庭湖赠张丞相》:“气蒸云梦泽, 波撼岳阳城。”

(3) 时令对。时令对偶的诗句, 如:“日落黄昏后, 雾降朝阳前。”

(4) 史事对。如李商隐《武侯庙古柏》中的:“大树思冯异, 甘棠忆召公。”

(5) 人物对。人物典故的对偶, 如李商隐的《对雪二首》:“欲舞定随曹植马, 有情应湿谢庄衣。”

(6) 鸟兽对。如:“旅梦乱随蝴蝶散, 离魂潜逐杜鹃飞。”

(7) 数目对。数字与数字相对应, 如唐代诗人翁绶《咏酒》中的:“百年莫惜千回醉, 一盏能销万古愁。”

对偶是具汉民族特色的修辞形式, 是较早的修辞形式之一。对偶修辞起源于先秦, 经过各个朝代的发展丰富, 逐步完善, 字句工整, 结构对称, 词语押韵, 朗朗上口, 在形式和内容上都有丰富的类别。了解对偶诗句的类别, 可以帮助我们更好地了解和欣赏诗歌的内容和特点, 促进对中华文化的理解。

参考文献

[1]蔡莹.从《文心雕龙·丽辞》的分类看丽辞的能指性[J].韶关学院学报, 2008 (4) .

[2]易闻晓.古代诗法述论[D].复旦大学, 2004.

[3]邹世杰.汉语对偶修辞格研究[D].长春理工大学, 2012.

例谈构造对偶式解题篇7

一、求三角函数值

例1计算:. (2) sin10°sin50°sin70°.

所以A=B=1/4.

即原式1/4.

( 2) 设x = sin10°sin50°sin70°, 构造x的对偶式y= cos10°cos50°cos70°, 得

又y≠0, 所以x=1/8.

例2 ( 1) 求cos52π + cos54π 的值;

( 2) 求sin220° + cos250° + sin20°cos50° 的值.

又B≠0, 所以.

从而可得, A = sin220° + cos250° + sin20°cos50° =3/4.

例3 ( 普通高中课程标准实验教科书《数学·A版·必修4》 ( 人民教育出版社2007 年第2 版) 第147 页复习参考题B组第4 题) 已知.

解法1: 由, 所以

解法2: 由cos (π/4+ x) =3/5, 得, 设cosx + sinx = m, 把这两式相加、相减可得

再把它们平方相加, 可得.

稍复杂的三角函数求值问题, 往往要多次使用三角函数的恒等变形公式, 甚至是积化和差、和差化积公式, 而使用构造对偶式求解, 却很简洁.

二、求函数值域或最值

例4求函数f ( x) = x +4/x ( 1 ≤ x ≤3) 的值域.

解: 构造函数f ( x) 的对偶函数 ( 1≤ x ≤ 3) , 得增函数g ( x) 的值域是[- 3, 5/3].

又f2 ( x) = g2 ( x) + 16, f ( x) > 0, 从而可得f ( x) 的值域是[4, 5].

例5 ( 1) 函数的值域是______.

( 2) ( 2013 年江西省高中数学联赛) 函数的值域是____.

( 3) ( 2010 年希望杯数学邀请赛高一试题) 函数的定义域为___, 值域为______.

解: ( 1) . 构造函数f ( x) 的对偶函数, 得增函数g ( x) 的值域是[- 2, 3], g2 ( x) 的值域是[0, 9].

又f2 ( x) + g2 ( x) = 13, f ( x) > 0, 从而可得f ( x) 的值域是.

( 2) [1, 2]. 构造函数的对偶函数, 得减函数g ( x) 的值域是, g2 ( x) 的值域是[0, 3].

又f2 ( x) + g2 ( x) = 4, f ( x) > 0, 从而可得f ( x) 的值域是[1, 2].

( 3) ( - ∞ , -6/5]∪[-3/4, + ∞) ;. 下面解答第二空.

构造函数F ( t) 的对偶函数, 得增函数G ( t) 的值域是, G2 ( t) 的值域是[0, 9].

又F2 ( t) + G2 ( t) = 18, F ( t) > 0, 从而可得F ( t) 即f ( x) 的值域是.

注: 运用此法可求出函数的值域.

例6 ( 2006 年全国高考卷 Ⅱ 理科数学第12 题) 函数的最小值为 ()

( A) 190 ( B) 171 ( C) 90 ( D) 45

解: ( C) 由f ( x) = | x - 1 | +| x - 2 | + … +| x -19 | , 得

f ( x) = | x - 19 | + | x - 18 | + … + | x - 1 | . 所以2f ( x) = ( | x - 1 | + | x - 19 | ) + ( | x - 2 | +| x - 18 | ) + … + ( | x - 19 | + | x - 1 | ) .

再由绝对值不等式, 可得

当且仅当x = 10 时, f ( x) 取到最小值, 且最小值是90.

例7若实数x, y满足x2- 3xy + y2= 2, 则x2+y2的取值范围是___.

解: 设x = u + v, y = u - v, 得5v2- u2= 2, 所以.

x2+y2=4 (3v2-1) ≥4/5, 所以x2+y2的取值范围是[4/5, +∞) .

用构造对偶式求解函数问题, 可达到简洁巧妙的效果, 可以避免换元、求导等复杂的计算.

三、解方程

例8解方程.

平方相减后可求得原方程的解为x = 2.

例9解方程.

因为x ≥ 0, 所以原方程的解是.

解无理方程, 常规的方法是乘方后化成有理方程再求解 ( 还需检验) . 而构造对偶式却可简洁求解.

例10 ( 2011 年希望杯数学邀请赛高二试题) 方程的解是x=__.

解:.构造等式的对偶等式

解这两个等式组成的“方程组”, 得

分别把它们平方相加、相减后, 可得

再解得.

注: 也可用此题的解法简洁推导出椭圆的标准方程; 还可用椭圆的相关知识解决此题.

四、二项展开式系数问题

例11求的展开式中x的整数次幂项的系数之和.

由二项式定理可得所求答案为.

例12若m ∈ N*, 求证: 大于的最小整数可被2m +1整除.

证明: 设, 得

由二项式定理展开后, 可得2m +1| I.

又, 所以欲证成立.

构造二项展开式的对偶式, 可以简洁求解相应的问题.

五、证明不等式

例13设x, y, z∈ (0, 1) , 求证.

由均值不等式, 可得A + B ≥6, 又B = 3, 所以A ≥3, 即要证结论成立.

构造A的对偶式.

由均值不等式, 得

可得A ≥1/2, 要证结论成立.

例15 ( 2007 年高考福建卷理科第22 ( Ⅲ) 题) 已知函数f ( x) = ex- kx, x ∈ R, 设函数F ( x) = f ( x) +f ( - x) , 求证: F ( 1) F ( 2) …F ( n) > ( en +1+ 2) 2n ( n∈N*) .

证明: 由F ( x) = f ( x) + f ( - x) = ex+ e- x, 得

所以F ( 1) F ( n) > en +1+ 2, F ( 2) F ( n - 1) > en +1+ 2, …, F (n) F (1) >en+1+2.

把它们相乘, 即得要证结论成立.

由0<A<B, 得, 所以

解答2009 年高考山东卷理科第20 题第 ( 2) 问、2009 年高考广东卷理科压轴题第 ( 2) 问的左边和2008年高考福建卷理科压轴题最后一问、2007 年高考重庆卷理科第21 题第 ( 2) 问、1998 年高考全国卷文、理科压轴题第 ( 2) 问、1985 年高考上海理科卷第8 题这七道高考题就是分别要证明 ( 本文中的n ∈ N*) :

下面用构造对偶式的方法给出不等式 ① ~ ⑥ 的简洁证明 ( 因为 ②、④、⑥ 等价, 所以只证 ①、②、③、⑤) :

因为A>B>0, 所以A2>AB=n+1, , 得欲证成立.

注: (1) 由该证明还可得B2<AB=n+1, .

(2) 设, 所以欲证成立.

( 3) 对于不等式 ①、②、③、⑤, 读者均可像 ( 1) 、 ( 2) 这样研究.

② 的证明同例15 的证明.

③的证明设.由A>B>C>0, 得, 所以欲证成立.

⑤的证明设, 得ABC=3n+1.由A>B>C>0, 得, 所以欲证成立.

众所周知, 不等式的证法变化无穷, 深不可测, 而构造对偶式也是一种可以掌握的技巧.

例16求证:2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.

证明:设对偶式A=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos45x, B=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x.

可得A + B = 7 ( sin4x + cos4x) + 6sin2xcos2x =7 (sin2x+cos2x) 2-8sin2xcos2x=7-2sin22x=5+2cos22x.

把得到的两个等式相加后, 可得

例17 ( 2012 年全国高中数学联赛湖南省初赛试题) 设{an} 是正项递增的等差数列, 求证:

(1) 对任意的k, l∈N*, 当l>k≥2时, ;

(2) 对任意的k∈N*, 当k≥2时, .

证明: ( 1) 由数列{ an} 的公差d > 0, al> ak> 0及“糖水不等式”, 可得

所以欲证结论成立.

( 2) 由 ( 1) 的结论及题设, 可得

构造对偶式

可得A1> A2> A3> …Ak> 0, 所以, 即

再构造对偶式

可得0 < B1< B2< B3< … < Bk, 所以, 即

《后汉书》对偶艺术研究分析篇8

《后汉书》由我国南朝刘宋时期的历史学家范晔编撰,是一部记载东汉历史的纪传体断代史,全书主要记述了上起东汉的汉光武帝建武元年(公元25年),下至汉献帝建安二十五年(公元220年),共195年的史事, “二十四史”之一。《后汉书》是继《史记》《汉书》之后又一部私人撰写的重要史籍。与《史记》《汉书》《三国志》并称为“前四史”。今天我们看到的《后汉书》除范晔撰写的纪、传部分共九十篇外又加入了晋人司马彪撰写的八志部分,记八篇,所以《后汉书》共有九十八篇。由于数量繁多,不好一一列举,就通过分门别类的方法将各种类型的对偶呈现出来,领悟对偶艺术对《后汉书》的文学魅力做出了怎样的贡献。

二、《后汉书》中对偶艺术的分类

《后汉书》大部分沿袭了《史记》《汉书》的现成体例,与此同时也承袭了《史记》《汉书》当中对骈偶的广泛使用,并在此基础上进一步发展,致使《后汉书》中当中的对偶结构更为复杂、种类更为繁多,艺术水平也更加高超。纵观全书,可将对偶按照以下七种类型加以分类。

1.字类对称法:字类对称的基本语言单位是 “字”,根据前后字面的对称和呼应形成前后和谐、形式工整之感:

“皇女小迎,元年封乐平公主。皇女小民,元年封成安公主。”其中,前后句中皆有“皇女”“元年封……公主”的字样,这种同字的对仗在《后汉书》中俯仰即是。

“孔子著《春秋》而乱臣贼子惧,梁竦作《七序》而窃位素餐者惭。”这一句中则没有过多相同的字面出现,但是其中的“孔子”“梁竦”人名相对;“《春秋》”“《七序》”书名相对、“乱臣贼子惧”和“窃位素餐者惭”相对。

2.词类对称法:根据词类性质的转变使前后对应的语义有种种变化,扩充句子的内涵:

“富贵不能回其虑,万物不能扰其心。”通过后句中“万物”“心”呼应迁居的“富贵”和“虑”,这种用同义词的对偶叫做“正对”。

“舍近谋远者,劳而无功;舍远谋近者,逸而有终。”这一对中出现词性相反的词三组词:“近”和 “远”、“劳”和“逸”、“功”和“终”。以相对的词性构成的对偶称为“反对”。

3.句类对称法:在一个对偶句中,利用句中成分的前后调整、意义上的调整或衔接使句子的表达更为丰富:

“还入陈留,攻拔鲁城,转至濮阳。”一个句子中先“入”后“攻”再“转”,动作一气呵成,行文如云流水。

4.声律分类法:对偶是语言艺术,语言的两大因素是语音和语义,前面三种分类是从语义角度出发,而语音的对称则形成了声律,声律的对仗在骈偶中是一项重要内容。声律的对仗主要是根据平仄的对称或交错形成语句节奏上的美感,使句子读起来朗朗上口:

“其不遇也,则裸身大笑,被发狂歌。”这一对在语义上“裸身”与“被发”、“大笑”与“狂歌”同义两两相对。在语音上“裸身大笑”为“仄平仄仄”,后半句中“被发狂歌”则为“平仄平平”,形成平仄的交差对称。

5.格式分类法:主要以句子和短语的排列组合形成对称之感:

北军中候一人,(比)六百石。本注曰:掌监五营。屯骑校尉一人,比二千石。本注曰:掌宿卫兵。司马一人,千石。越骑校尉一人,比二千石。本注曰:掌宿卫兵。司马一人,千石。步兵校尉一人,比二千石。本注曰:掌宿卫兵。司马一人,千石。这一段落就主要依靠格式给人在视觉上呈现出一定的错落之感。

三、《后汉书》中对偶艺术的修辞效果

《后汉书》中对偶的运用不仅形成了雅致的语言风格也表达出更为丰富和谐的意蕴内涵,显示出特有的整饰富丽之美。以《逸民列传》为例:“或隐居以求其志,或回避以全其道,或静己以镇其躁,或去危以图其安,或垢俗以动其概,或疵物以激其清。然观其甘心畎亩之中,憔悴江海之上,岂必亲鱼鸟、乐林草哉!”这一段不仅在形式上整饬工整并且极具节奏美,语言高度凝练、内涵含蓄而深刻。将隐士们人格的高尚为人的高洁如此清丽雅致地表达出来,读来一咏三叹、回味无穷。

结语