弹性应力

弹性应力（精选七篇）

弹性应力篇1

2 介绍

学者们研究线性弹性问题历史悠久, 这个问题总是归结为求解在无体积力的情况下满足边界条偏微分方程:

这个方程求解相当难。Muskhelishvili和Sokolinikkoff利用复变函数方法[1,2]把这个方程变成含有两个在弹性域S内解析的函数f (z) 、g (z) , 接着他们构造一个满足边界条件的函数h (t) , 把这个调和的偏微分方程变成一个弗雷德霍姆积分方程, 虽然最终把问题求解, 但是求解过程很繁琐。随着计算机兴起, 很多学者趋向于半逆解法。这半逆解法就是先根据已知条件用刚量分析的方法先给应力函数φ一个表达式 (一般是含有未知系数多项式) , 然后再根据边界条件等把待定系数确定。这种方法在现实工程上很有用, 但是它估计性强, 不利于分析函数的性质, 比如奇异性等。本文将应用变分法很圆形边界特殊的几何性质以比较简单的方法求得这个方程的解析解, 克服了上面两种解法的繁琐和不确定性。

3 基本方程

应力和Airy应力函数φ的极坐标关系[3]

物理方程

由于圆是轴对称的, 所以应变与极角无关, 应力函数的自变量只有极径。假设应力函数为φ=φ (r) , 那么由上面两种方程有

4 问题的求解

下面以沿着圆形边界载荷和径向载荷为例。

载荷所做的功为:

对势能泛函变分后并另它为零

对这个等式的四项逐一计算

这里A、B、C、D为待定常数, 它们可以根据边界条件求出。

第二种:与第一种不同的是只有圆环外界受剪切载荷P的作用, 根据载荷方向令ur=0, 则εr=0。设应力函数φ=Ch (θ) , 其中C为常数, 那么

5 结语

摘要：用变分法分析圆形边界弹性平面的应力。

关键词：变分法,应力函数,圆形边界

参考文献

[1]N.I.Muskhelishvili, Some basic problems of mathematical theory of the elasticity (translated from the Russian by J.R.M.Radok) , Noordho, Groningen, 1953.

[2]I.S.Sokolniko, Mathematical theory of elasticity, 2nd edn, Mc Graw-Hill, New York, 1956.

球形生物材料干燥时的弹性应力研究篇2

生物材料通常都具有多孔的内部结构和较高的初始含水率,在干燥过程中随着含水率的降低常常伴有明显的收缩和变形。生物材料干燥后的品质主要由生物材料在干燥过程中的收缩决定。不同的生物材料在脱水过程中的各种属性,如密度硬壳的形成、裂缝和其它条件都会影响生物材料的收缩过程[1]。

鉴于干燥应力应变研究的重大理论和实践意义,国外学者早在上世纪50年代就对其进行研究。但由于生物材料本身结构及其干燥过程弹性参数变化的复杂性,其独特的干缩湿胀性能,以及干燥环境的恶劣,使许多用于测量金属应变的仪器和方法难以适用于测量生物材料干燥应变,致使生物材料干燥应力的研究困难重重。因此几十年来,研究的重点大多放在了如何准确、方便地测量干燥应力,而对生物材料干燥过程中的应力应变模型却没什么研究。

聚合物的结构类似于粮食和其他类型的生物材料,因为凝胶的结构较简单,所以广泛应用于模型的研究[2,3]。在我国,数学模型大多应用在对木材的干燥应力应变研究中,然而对生物材料干燥应力应变却没有进行过多的研究。鉴于此,现针对生物材料干燥过程中的组织收缩,以期对生物材料干燥中的应力应变数学模型进行构建。

1模型的构建

构建球形颗粒离散单元及应力平衡单元模型图(图1)。图1中σr,σt为径向应力和剪切应力。

2 应力应变模型

根据图1有径向应力和切向应力。参考文献[4]的弹性应变模型。在径向方向,应符合力学平衡条件

$\frac{d σ_{r_{i}}}{d r_{i}} + \frac{2}{r_{i}} (σ_{r_{i}} - σ_{t_{i}}) = 0$ (1)

对于小变形,广义胡克定律可简化为

$ε_{r_{i}} = \frac{1}{E} (σ_{r_{i}} - 2 μ σ_{t_{i}})$ (2)

$ε_{t_{i}} = \frac{1}{E} [σ_{t_{i}} - μ (σ_{r_{i}} + σ_{t_{i}})]$ (3)

由总的应变与几何形状的关系得:

$ε_{r_{i}} = \frac{d S_{i}}{d r_{i}}$ (4)

$ε_{t_{i}} = \frac{S_{i}}{r_{i}}$ (5)

由式(3)和式(5)得

$σ_{t_{i}} = \frac{1}{1 - μ} (E \frac{S_{i}}{r_{i}} + μ σ_{r_{i}})$ (6)

再将式(6)代入式(1)得:

$\frac{d σ_{r}_{i}}{d r_{i}} = - \frac{2}{r_{i}} [σ_{r_{i}} - \frac{1}{1 - μ} (E \frac{S_{i}}{r_{i}} + μ σ_{r_{i}})]$ (7)

式(7)中σri为i层试样径向应力;σti为i层试样切向应力;εri为i层试样径向应变;εti为i层试样切向应变;Si为i层试样径向位移;ri为i层试样半径;E为杨氏模量;μ为泊松比。

计算Si时,取颗粒局部体积变化与含水率的函数及球形颗粒整体收缩模型[5,6]为:

$r_{i} = r_{i}^{0} \sqrt[3]{0.267 7 + 0.239 4 Μ_{i}}$ (8)

$S_{i} = r_{i}^{0} - r_{i} = r_{i}^{0} (1 - \sqrt[3]{0.267 7 + 0.239 4 Μ_{i}})$ (9)

式中Mi为颗粒经过t时间i层的含水率;r $_{i}^{0}$ 为颗粒i层初始半径;ri为颗粒经过t时间i层的半径。

3 模型的计算

现做如下假设:(1) 材料组织各向同性;(2) 由于球形材料同一单元层的杨氏模量与剪切模量相差很小,可用杨氏模量代替剪切模量且为常量。(3) 在恒温状态下,忽略了温度对含水率、水分扩散系数、应力和应变的影响。

假定球形颗粒的干燥速度由颗粒内部的扩散阻力决定,则球形颗粒内的水分迁移可由Fick定律描述

$\frac{\partial Μ}{\partial t} = D_{e f f} (\frac{\partial^{2} Μ}{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial Μ}{\partial r})$ (10)

初始条件及边界条件为:

式(11)中M为颗粒的局部干基含水率,kg/kg(d·b);M0—颗粒初始干基含水率,kg/kg;Me—颗粒的干基平衡含水率,kg/kg;t—时间,s;r—某点到球心的距离,m;Deff—多孔材料的水分扩散系数,m2/s。

以去皮球形土豆试样对模型进行计算, 其土豆力学参数[7,8,9]为:

E=5.37 MPa; μ=0.2; Me=0.3; M0=4.62; Deff=4.05×10-9。

运用Matlab编程:(1) 得出土豆各层的含水率Mi,见图2。(2) 将各参数代入式(6)和式(7),得出径向应力和剪切应力,见图3和图4。

图2为干燥过程中土豆各节点含水率随干燥时间的变化曲线。结果表明:① 表层的含水率变化最大,由表层到内层,各层含水率变化依层减小。② 在同一时间,内层含水率要高于表层含水率。

图3为土豆各节点剪切应力随干燥时间变化的曲线。结果表明:① 剪切应力值由表层到内层,其值依次从负值到正值。一般情况下,正的应力值是指拉伸应力,负的应力值是指压缩应力。表层的压缩应力主要是由于表层的快速脱水而产生的,内层保持较高的含水率,其值为正,而中间层的剪切应力几乎为零。② 在恒速干燥期,表层的剪切应力比其它单元层要早达到最大值,而且要比径向应力早达到最大值。③ 各单元层达到最大值后都缓慢减小直至接近到零。

图4为土豆各单元层径向应力随干燥时间变化的曲线。结果表明:① 含水率与径向应力成正比,含水率高的核心部位的径向应力最大,而表层的径向应力几乎为零。② 在恒速干燥期,由于里层的含水率高和低机械性能,所以径向应力增幅较大。各单元层达到最大值后都缓慢减小直至接近到零,这是因为含水率梯度在减小,径向应力值也随之减小。

由图3和图4得:剪切应力远大于径向应力。这与文献[10]所得结果是一致的,表层剪切应力是造成材料开裂的主要原因。

4 结论

(1) 建立的球形弹性应力应变模型能较精确地计算土豆的应力与应变,通过计算结果能得知表层和里层的破裂情况,如果不能预测表层的最大剪切应力,使剪切应力大于破坏强度,将影响到产品的品质。

(2) 剪切应力和径向应力最大值都出现在恒速干燥期。剪切应力最大值出现在快速脱水的表层。径向应力最大值出现在含水率高的核心部位。

摘要：建立了弹性应变状态下,生物材料干燥的应力应变模型。应用此模型,可以在得到物料各单元层含水率变化的基础上,得到各单元层的应力与应变。以球型土豆为例,得到:在恒速干燥期,各单元层径向应力与剪切应力逐渐增大,并且剪切应力在1 h～2 h之间达到最大值,径向应力在1 h～3 h之间达到最大值。剪切应力最大值出现在表层,径向应力最大值则出现在含水率高的核心部位。各单元层的应力在达到最大值后缓慢减小,最终接近于零。

关键词：生物材料,应力,应变,模型,干燥

参考文献

[1] Eichler S,Ramon O,Ladyzhinski I,et al.Collapse processes inshrinkage of hydrophilic gels during dehydration.Food Research In-ternational,1997;30:719—728

[2] Arrieche L S,Sartori D J M.Dependence analysis of the shrinkageand shape evolution of a gel system with the forced convection dryingperiods.In:Silva MA,Rocha S C S(Eds),Proceedings of the 14thInternational Drying Symposium(IDS 2004).Sao Paulo,Brazil,2004:152—160

[3] Thakur R K,Vial C,Djelveh G.Effect of composition and processparameters on elasticity and solidity of foamed food.Chemical Engi-neering and Processing,2008;47:474—483

[4] Timoshenko S,Goodier J N.Theory of Elasticity(3rd ed.).NewYork:McGraw Hill Higher Education,1970

[5] Simal S,Mulet A,Tarrazo J,et al.Drying model for green peas.FoodChemistry,1996;55(2):121—128

[6]刘显茜,陈君若.生物多孔材料干燥过程中组织非稳态收缩.农业机械学报,2009;40(9):106—110

[7]贾晶霞.马铃薯收获机关键部件设计与试验研究.北京:中国农业大学学位论文,2006

[8] Chesson J O,Brien M.Analysis of mechanical vibrations of fruit dur-ing transportation.American Society Agriculture Engineering,1969;(69):628—632

[9]李业波.刘登瀛.土豆在脱水过程中的内部传热传质研究.农业机械学报,1996;27(1):52—56

弹性应力篇3

膜片(碟形)弹簧广泛应用于汽车等机电产品中,一般均进行喷丸和强压等强化处理。由于强化处理对弹簧的寿命有很大影响,故许多研究者给予关注[1,2,3,4,5,6]。实际弹簧的载荷变形关系与目前教科书中给出的Almen-Laszlo(简写A-L)推导的计算公式(以下称A-L公式)计算结果有较大的差别,为了减小计算误差,一些研究者对弹簧的载荷变形关系进行了研究[1,6,7,8,9,10]。这些研究中,一种解决问题的方法是根据试验统计数据对A-L公式进行修正[1,9],另外一种方法是采用有限元法计算载荷变形关系。另外,20世纪90年代之前,还有研究者推导过其他形式的计算公式[1,10,11]。研究表明[1,5,6],这些方法都存在着各自的问题。特别是这些研究都没有考虑到喷丸和强压等强化处理对载荷变形关系的影响,以及如何在设计计算中考虑强化处理问题。本文研究了包含喷丸和强压等强化处理残余应力信息的膜片(碟形)弹簧载荷变形关系设计方法。

1 膜片弹簧的试验研究

1.1 试验准备

为了讨论喷丸和强压对膜片弹簧载荷变形关系的影响,首先进行膜片弹簧样件载荷变形相关数据的测量。检测在专用的试验设备上进行,试验检测夹具按照弹性样件设计要求设计制作。测试过程中,测试系统自动记录弹性元件的载荷与变形。选择常用结构型式的3种规格的膜片弹簧为试件(A类试件、B类试件、C类试件),图1为试件的结构示意图,图中符号的含义与文献[1]相同。3种规格膜片弹簧试件的区别是:B类试件的外径较大,C类试件的外径较小;D型孔形式不同(A类试件为长圆形的D型孔,B类试件和C类试件为T形的D型孔);膜片弹簧的锥角大小也有较大差别。

1.2 载荷变形特性试验结果

图2所示为试验样件的载荷变形特性关系曲线。图2中,未强化处理过是指试件未做喷丸或强压处理;强压处理过是指试件进行过喷丸或强压处理。计算膜片弹簧载荷变形关系的A-L公式为

$\begin{array}{l} F_{1} = \frac{π E t λ_{1} \ln (R / r)}{6 (1 - μ^{2}) (L - l)^{2}} [(h - \\ λ_{1} \frac{R - r}{L - l}) (h - 0.5 λ_{1} \frac{R - r}{L - l}) + t^{2}] (1) \end{array}$

式中,R、r分别为碟形部分的外半径和内半径;L、l分别为外支撑半径和内支撑半径;F1、λ1分别为载荷和变形;t为板厚;E、μ分别为弹性模量和泊松比。

从图2可以看出,强化作用对试验样件的载荷变形特性有明显的影响,采用A-L公式计算的载荷峰值误差与谷值误差中的较大值超过了20%。根据经验,膜片弹簧载荷变形测试中可以出现更大的峰值载荷误差与谷值载荷误差。由于A、B、C三类试件是任意抽取的,故强化作用对载荷变形特性的影响是具有一定普遍性的。

1.3 残余应力检测

由于试件强化作用的结果是以残余应力的形式体现的,故笔者进行了残余应力检测。目前测量金属材料构件残余应力的方法有多种[12],技术上成熟且实用的是X射线衍射法,故笔者采用X-350型X射线应力测定仪检测残余应力。

膜片弹簧的结构是轴对称的,采用极坐标分析其应力、应变更加方便。所以,检测残余应力时,也按照极坐标法,即检测径向残余应力、切向残余应力,以及它们沿着深度方向的分布。图3为试件碟形部分的子午截面及检测位置示意图,在弹簧的上下两个表面(凸面、凹面)沿径向布置3个测量点,在3个表面测量点位置再沿板厚方向布置2个测量点,检测结果如图4、图5所示。

2 强化处理影响载荷变形关系的解决方法

2.1 影响机理分析

如上所述,强化处理后,膜片弹簧载荷变形关系中采用A-L公式计算的载荷与实际载荷有大的误差。A-L公式中的几何结构参数、材料特性等参数,若因工艺因素而改变,则将影响计算所得载荷的正确性。如果喷丸与强压使这些参数改变,则A-L公式计算结果将出现误差或很大的误差。

喷丸和强压强化结果的一个表现形式是膜片弹簧的几何结构参数发生变化,改变的结构参数主要有内径、外径及锥角。但是,几何结构参数对计算载荷变形关系的影响可以消除。因为用A-L公式设计计算时,已经充分考虑了几何结构参数。几何结构参数唯一可能带来的影响是几何结构的不规则性,这一点文献[6]已经做了充分的讨论。对于制作比较好的膜片(碟形)弹簧,几何结构参数产生的误差很小。在选择样件的时候,不选择几何结构不规则程度比较严重的样件,以排除几何结构参数对载荷变形关系的影响。

喷丸和强压强化结果的另一个表现形式是残余应力。根据图4、图5所示的结果,试验得到的切向残余应力与文献[2]的形式及数量级一致,径向残余应力与切向残余应力是同数量级的数值。然而,文献[1,2,3,4,12,13,14]仅讨论了喷丸和强压对疲劳寿命的影响,而几乎没有讨论过喷丸、强压对载荷变形特性的影响。实际上弹簧起作用时,残余应力自然也将成为总应力的一部分,这将使材料抵抗变形的能力发生变化。另外,笔者用有限元法试算了弹簧的应力,其中的径向应力不大于100MPa。因此,弹簧使用过程中的径向应力比径向残余应力小很多。总之,在喷丸与强压后,表层材料的特性发生了改变(主要是材料的应力应变关系发生了变化),这使试件抵抗变形能力改变,从而导致A-L公式计算结果产生了大的误差。

2.2 解决方法

有几种方法可以解决喷丸与强压引起的弹簧载荷变形关系设计计算误差的问题。

(1)建立准确的材料模型。

这种方法原则上是可以解决问题的,但需要进行严密的理论推导和大量的模型试验研究,目前,该方法实现起来还有诸多困难。

(2)采用修正系数方法。

包含残余应力的材料的数学模型难以推导,但可以采用修正系数的方法校正由喷丸与强压处理带来的计算误差。笔者根据图2中的试验数据,提出在A-L公式中加入修正系数f来修正计算的方法,即在式(1)的右侧乘以修正系数f。修正系数的具体表达形式为[7]

f=a+k(h-λ1) (2)

其中,a、k为求解修正系数的拟合系数,与喷丸、强压工艺参数有关。

在A-L公式中增加修正系数后,对图2中A类、B类、C类试件载荷变形关系的峰值和谷值进行计算,试件误差中有一个为5.8%,其余的在5%以内。该方法的推广使用,需要更多的试验数据支持。

(3)采用多种材料模型组合的有限元法计算弹簧载荷变形关系。

这种方法解决问题的基本思路是:首先将膜片或碟形弹簧实体分为多个区域,具体做法是沿着板厚方向分为多层,同时沿着径向也分为多层;而后,对不同区域的材料使用不同的材料模型在此基础上,将研究对象离散化为实体单元,并施加约束及位移加载;最后,进行计算。由于不同部位的残余应力情况不同,若要真实地反映实际情况,需要将弹簧实体划分为无限多的区域,这在实际中无法实现。但可以将弹簧划分为较多的区域来近似代替无限多区域,同样可以获得比较理想的结果。

根据以上思路,笔者对图2所示的A、B、C三类试件进行了试算。考虑膜片弹簧的结构对称性,取弹簧1/(2n)(n为分离指个数)的扇形区域为研究对象。考虑建模处理的简便性,将模型划分为较少的区域。将研究对象沿着板厚方向均匀分为3层,凸面层和凹面层沿着径向分别划分为m个小的区域,则研究对象共计被分为2m+1个小的区域。由于中间层受喷丸与强压的影响小,中间层小区域的材料使用试件材料本身的参数。

根据图4、图5所示残余应力的检测结果,给出不同小区域的材料模型参数。喷丸与强压处理后,材料在各个区域的残余应力的形式及大小有较大的差别。由图4、图5所示的检测结果可知,残余应力基本上都是压应力。考虑弹簧变形过程中,材料若为单向应力,则总应力为外载产生的应力与残余应力的合成,其应力与应变关系为

σ=σ0+E ε=E′ε (3)

式中,σ0为单向残余应力;E为材料的弹性模量;σ、ε分别为应力与相应的应变;E′为考虑了残余应力影响后的当量弹性模量,与残余应力有关。

式(3)中的残余应力为负值,则应变不是很大情况下的总应力均比较小,可以认为是当量弹性模量较小。在有限元法计算过程中,可以根据残余应力试验结果设置不同小区域的材料模型的弹性模量,即按照本小节的分析思路处理弹性模量。膜片弹簧某部位的当量弹性模量为

E′=E+aE+bE2+cE3 (4)

其中,a、b、c为拟合系数,根据实测的有残余应力、无残余应力状态下的膜片弹簧载荷变形关系,和残余应力的数值以及分布确定。

采用多种材料模型组合的有限元法对图2所示实例进行计算。根据膜片弹簧的对称性,对A、B、C三类试件分别取1/36、1/30、1/24的扇形区域进行分析计算。将膜片弹簧沿着板厚度方向划分为3个区域,即凸面层、中间层、凹面层。将中间层的弹性模量设为200GPa。再将凸面层和凹面层沿着径向分别划分为4个小区域,根据式(4)确定各个区域的弹性模量。则计算对象被划分为9个小区域,有限元建模时,共使用9种材料模型。采用三维实体单元对研究对象进行单元划分:A类试件被划分为13 785个单元、26 883个节点,B类试件被划分为7503个单元、18 409个节点,C类试件被划分为11 630个单元、27 260个节点。根据力学关系施加约束,图6为B类试件的分区与有限元模型。在有限元建模时,对模型进行了简化处理:去掉了小的圆弧和对膜片弹簧载荷变形关系影响微小的分离指部分[5]。

计算得到膜片弹簧载荷的峰值和谷值如表1所示。从表1可以看出,采用多种材料模型组合的有限元法计算峰值误差和谷值误差的绝对值中,有一项为5.8%,其余的均在5%以内,比A-L公式法计算精度高。C类试件的有限元法计算谷值误差略大,原因之一是在用试验数据拟合求解当量弹性模量时,残余应力使用的是平均值,各个试件的实际强化处理会有一定的偏差。

注:计算误差时以试验值为标准。

需要说明的是,喷丸与强压后的残余应力在弹簧的不同区域有较大的差异,若要更加接近实际情况,需要将膜片弹簧实体划分为更多的小区域,并且使用更多种类的材料模型。

3 结论

(1)喷丸与强压强化处理后,膜片(碟形)弹簧载荷变形的弹性特性发生了改变,弹簧在相同变形量下的载荷变小,而且载荷变小的数值是非线性的。

(2)喷丸与强压强化处理后,膜片(碟形)弹簧的材料产生了残余应力。残余应力将与正常使用时的应力共同起作用,导致弹簧在同样变形量的情况下的载荷发生变化,即残余应力改变了弹簧抵抗外界载荷变形的能力。

(3)目前可以采用两种方法解决由于喷丸与强压引起的膜片(碟形)弹簧载荷变形关系计算误差问题:一是在A-L公式中增加修正系数的方法;二是采用多种材料模型的有限元法计算载荷变形关系。

摘要：研究了强化处理后的膜片(碟形)弹簧载荷变形关系的计算方法。首先,进行样件载荷变形关系的测试,而后,采用X射线应力仪检测样件的残余应力数值及分布规律。在此基础上,分析喷丸与强压处理对弹簧载荷变形关系的影响机理,发现载荷变形关系与喷丸和强压有关。最后,基于试验数据拟合,得到了基于Almen-Laszlo公式的修正公式和采用多种材料模型有限元法求解膜片(碟形)弹簧载荷变形关系的方法。

弹性应力篇4

(1) 其计算结果与同条件下有限元法计算结果之间有时存在较大差异。例如同条件下, 文献[3]表1中 (弹性中心法) 的管腰钢筋应力由内向外依次为119.582、156.373与163.084, 而文献[3]表3中 (有限元法) 的管腰钢筋应力由内向外依次为92.522、101.864与104.015;文献[3]表1中 (弹性中心法) 的管顶钢筋应力由内向外依次为127.406、120.856与119.661, 而文献[3]表3中 (有限元法) 的管顶钢筋应力由内向外依次为97.742、70.694与66.283。据此, 文献[3]甚至得出了“对于钢筋应力, 结构力学计算结果比有限元结果大很多”的结论。

(2) 计算所得内力与外力有时不平衡。例如, 文献[3]表1中 (弹性中心法) 的管腰与管顶钢材应力与管内水压不平衡, 而文献[3]表3中 (有限元法) 的管腰与管顶钢材应力与管内水压却是平衡的。

(3) 不同研究者所得钢材应力的分布规律差异较大。例如, 文献[1]表19中的环向管壁反弯点在管心角90°～112.5°之间, 而文献[3]表1中的环向管壁反弯点在管心角22.5°～45°之间;文献[1]表19中的管顶钢筋应力由内向外逐渐增大, 而文献[3]表1中的管顶钢筋应力由内向外逐渐减小。

为澄清上述问题, 本文计算了3个工程或模型实例并分别与模型试验及相应的有限元分析结果作了对比分析, 得出了一些有用的结论。采用弹性中心法时, 考虑到环向管壁为高脚深拱, 故求解时除考虑拉伸与弯曲变形项以外, 还考虑了剪切变形项;也考虑了变截面与混凝土开裂的影响。从计算数据输入到各截面钢材应力输出, 整个过程在计算机上一次完成。

1算例及其结果分析

1.1三峡电站坝后背管1∶2模型

设计内水压力为1.21 MPa, 内半径为3.1 m, 钢管壁厚16 mm。外包混凝土为C25, 管壁厚度为1 m。模型沿水流方向长度为0.6 m, 管道环向钢筋内层3Φ28, 中层3Φ32, 外层3Φ36, 内层钢筋, 弯曲半径为3.164 m, 钢筋折算厚度为3.08 mm;中层钢筋, 弯曲半径为3.932 m, 钢筋折算厚度为4.02 mm;外层钢筋弯曲半径为4.032 m, 钢筋折算厚度为5.09 mm。外层钢筋净保护层厚度为50 mm。钢衬与混凝土之间的缝隙值取为0。钢衬、钢筋与混凝土的弹性模量分别为198、205与29 GPa;混凝土泊松比与抗拉强度分别为0.166 7与2.4 MPa。计算结果及其与试验结果对照见表1。为与有限元法计算结果对比, 在同样条件下用大型通用软件ANSYS进行了计算, 也见表1。

由表1可见, 关于得到的钢筋应力由内向外的分布规律, 有限元法的与模型试验的比较一致, 在管顶截面, 二者都越来越小, 而在管腰截面, 二者至少比较均匀;而弹性中心法的变化趋势则大体相反, 在管顶截面, 弹性中心法的越来越大, 而在管腰截面, 弹性中心法的越来越小。关于人们最关注的外层钢筋最大应力值, 有限元法与模型试验的值只相差3.35%, 且其位置也相同, 都在管腰;而弹性中心法与有限元法的值却相差11%, 且其位置也不相同, 弹性中心法的在管顶, 而有限元法的在管腰。三种方法得到的钢衬最大应力虽然相差不大, 但其位置不同。

1.2某水电站坝后背管

某水电站坝后背管的单管装机容量为600 MW, 直径为13.5 m, 位于最大坝高为160 m的碾压混凝土重力坝下游面。本算例以管道斜直段3/4处为计算断面, 设计内水压力为1.203 6 MPa, 内半径为5.25 m, 钢管壁厚26 mm。外包混凝土为C25, 厚度为1.5 m, 共布置两圈三层Φ32@200环向钢筋。内圈为一层钢筋, 弯曲半径为5.35 m, 钢筋折算厚度为4.02 mm;外圈两层钢筋, 外圈内层钢筋弯曲半径为6.47 m, 钢筋折算厚度为4.02 mm;外圈外层钢筋弯曲半径为6.67 m, 钢筋折算厚度为4.02 mm。外圈外层钢筋中心保护层厚度为80 mm。钢衬与混凝土之间的缝隙值为2.51 mm。钢衬、钢筋与混凝土的弹性模量分别为206、206与28 GPa;混凝土泊松比与抗拉强度分别为0.167与1.3 MPa。计算结果见表2。

由表2可见, 关于算得的钢筋应力由内向外的分布规律, 弹性中心法的与有限元法呈现相反的变化趋势, 在管顶截面, 弹性中心法的越来越大, 而有限元法的越来越小;而在管腰截面, 弹性中心法的越来越小, 而有限元法的越来越大。管顶与管腰之间的反弯点位置也不相同, 弹性中心法的为45°～67.5°, 而有限元法的为67.5°～90°。在135°截面处, 两种方法算得的外圈钢筋应力更是相差悬殊。关于人们最关注的外层钢筋最大应力值, 两种方法的计算值相差约14%, 且其位置也不相同, 弹性中心法的在管顶, 而有限元法的在管腰。两种方法算得的钢衬最大应力虽然相差不大, 但其位置, 弹性中心法的在管腰以下附近, 而有限元法的在管顶。

1.3李家峡水电站坝后背管[1,8]

设计内水压力为1.392 MPa, 内半径为4 m, 钢管壁厚26 mm。外包混凝土为C25, 厚度为1.5 m。布置于混凝土中的钢筋分内外两圈:内圈的内层为Φ32@200, 外层为Φ25@200;外圈钢筋内外层均为Φ32@200。内圈内层钢筋, 弯曲半径为4.15 m, 钢筋折算厚度为4.02 mm; 内圈外层钢筋, 弯曲半径为4.35 m, 钢筋折算厚度为2.46 mm;外圈内层钢筋弯曲半径为5.20 m, 钢筋折算厚度为4.02 mm;外圈外层钢筋弯曲半径为5.40 m, 钢筋折算厚度为4.02 mm。外圈外层钢筋中心保护层厚度为100 mm。钢衬与混凝土之间的缝隙值取为0。钢衬、钢筋与混凝土的弹性模量分别为206、200与28 GPa;混凝土泊松比与抗拉强度分别为0.166 7与2.258 MPa。计算结果见表3。为与有限元法计算结果对比, 在同样条件下用大型通用软件ANSYS进行了计算, 也见表3。

由表3可见, 关于算得的钢筋应力由内向外的分布规律, 弹性中心法的与有限元法的呈现大体相反的变化趋势, 在管顶截面, 弹性中心法的越来越大, 而有限元法的先略升后显降;而在管腰截面, 弹性中心法的越来越小, 而有限元法的先降后升。管顶与管腰之间的反弯点位置也不相同, 弹性中心法的为45°～67.5°, 而有限元法的在管腰附近。在135°截面处, 两种方法算得的外层钢筋应力更是相差悬殊。关于人们最关注的外层钢筋最大应力值, 两种方法的计算值相差约40%, 且其位置也不相同, 弹性中心法的在管顶, 而有限元法的在管腰以上附近。两种方法算得的钢衬最大应力虽然相差不很大, 但其位置, 弹性中心法的在管腰以下附近, 而有限元法的在管顶。

总之, 有限元法计算结果与模型试验结果比较接近, 而弹性中心法计算结果则与它们相差较大。其理论原因分析如下。

2弹性中心法计算结果与有限元法计算及模型试验结果相差较大的理论原因分析

为简便起见, 现考察一单位长度匀质弹性圆管, 其内受液压q作用, 其内、外半径分别为a与b, 则管壁在半径r处环向应力的弹性理论精确解[9]为undefined, 其最大值为undefined;而弹性中心法的相应解为undefined, 其相对误差的绝对值为:

undefined

当b/a≤1.1时, 由式 (1) 算得δ≤5%。所以, 弹性中心法只有用于薄壁管 (b/a≤1.1) 才能满足工程精度要求。而3个工程或模型实例的半径比 (按在本文中的出现顺序分别为1.323、1.286与1.375) 均比较大, 故由式 (1) 算得的弹性中心法计算结果与弹性理论精确解的理论差异就比较大, 见表4。

弹性理论精确解理应与模型试验结果比较接近;而有限元法是弹性理论的一种计算精度较好的近似方法, 故有限元法计算结果也应与模型试验结果比较接近;而弹性中心法计算厚壁管的结果则应与它们相差较大。

3结语

(1) 关于得到的钢筋应力由内向外的分布规律, 有限元法的与模型试验的比较一致, 而弹性中心法的变化趋势则大体相反。

(2) 关于人们最关注的外层钢筋最大应力值, 有限元法与模型试验的值只相差3.35%, 且其位置也相同;而弹性中心法与有限元法的值却相差11%～40%, 且其位置也不相同。三种方法得到的钢衬最大应力虽然相差不大, 但其位置不同。

(3) 管顶与管腰之间的反弯点位置也不相同, 弹性中心法的为45°～67.5°, 而有限元法的在管腰附近。

总之, 有限元法计算结果与模型试验结果比较接近, 而弹性中心法计算结果则与它们相差较大。其原因是, 弹性中心法不宜用于厚壁管。

参考文献

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[9]徐芝纶.弹性力学简明教程[M].北京:人民教育出版社, 1980.

弹性应力篇5

随着采深不断增加,巷道围岩稳定性在煤矿开采工程中越来越重要,巷道围岩应力是研究围岩稳定性和安全性的基础,目前针对巷道围岩应力分布的研究方法主要有井下现场观测、实验室实验、数值模拟和理论研究等,且取得了不少成果[1,2,3,4,5]。现场观测法主要是在巷道开挖后,通过各种观测仪器直接或者间接测试巷道围岩应力,该类方法具有直接、简便等优点,但测点有限,具有局限性,且不能在开挖前对围岩应力分布进行预测。实验室实验一般采用相似材料模拟方法,该方法能在一定程度上反映巷道围岩应力分布规律,但模拟结果与实际巷道围岩应力分布具有一定误差。数值模拟计算具有经济、快捷、可视化等优点,但煤岩材料的特殊性和复杂性,数值模拟结果不能很好地反映实际巷道围岩应力分布情况。理论分析具有严密、精确等优点,但要对问题进行简化,在一定假设前提下得出理论解[5,6,7,8,9,10]。

虽然巷道围岩应力解析方法要对问题进行简化,在一定假设前提下得出理论解,对解决实际工程问题作用有限,但对解析结果的分析得出规律性认识,在理论价值上是不容忽视的。弹性力学的解析解法有分离变量法、积分变换法、积分方程法、变分法及复变函数法。在岩土工程中遇到的弹性力学平面问题多属于孔口问题,因复变函数法利用保角变换把复杂形状的边界变换为简单形状的边界,把在简单边界下求得的解再变换回去,就求得原问题的解,因此复变函数理论是求解岩土工程中弹性力学平面问题非常有效的方法。为此众多学者展开了大量研究。现获得理论分析解的多为圆形巷道,且现有研究一般只对围岩应力进行解析,未对不同尺寸巷道围岩在不同测压下的应力分布规律进行深入分析。所以,利用复变函数法对椭圆形巷道围岩应力进行解析,并对巷道不同铅垂轴长与水平轴长比、不同测压等对围岩应力影响进行分析,为实际工程应用提供理论依据。

1 问题的描述

根据复变函数和平面弹性力学理论可知,复变函数对椭圆形巷道的围岩应力解析,可视其为无限大弹性体表面单孔口平面问题。设椭圆形断面巷道的水平轴长为2a,铅垂轴长为2b,令c=b/a。如果a>b,则水平轴为长轴。假设远场铅垂应力为σv,水平应力为σh=kσv,k为侧压力系数,无支护阻力,忽略体力。

2 公式推导

2.1 保角变换

以椭圆中心为原点,建立直角坐标系o—xy。在z平面上,椭圆形巷道围岩所占区域为D。通过保角变换,将区域D变换为ζ平面上的中心单位圆区域D1,原点ζ=0,半径ρ=1。无限大弹性体的单孔口问题变换函数一般形式为取n=1,c0=0,R,c1为实常数,且R>0,|c1|≤1。则保角变换公式为:

将z=x+iy,ζ=ρeiφ,代入式(1),得:

因此,ζ平面上的圆周ρ=const对应于z平面上中心椭圆长短半轴分别为a=R(1/ρ+c1ρ),b=R(1/ρ-c1ρ)。消去ρ,得:

因此,ζ平面上的径向线φ=const对应于z平面上中心双曲线。z平面上椭圆巷道边界与ζ平面上单位圆ρ=1相对应,所以a=R(1+c1),b=R(1-c1),即:

如果a>b,则0<c1≤1,长轴在水平方向;如果a<b,则-1≤c1<0,长轴在铅垂方向。

令c=b/a,则R=a(1+c)/2,c1=(1-c)/(1+c)。

2.2 确定φ0(ζ),ψ0(ζ)

所以:

把式(5)~式(7)代入:

3 应力分析

3.1 巷道边界应力分布规律

因巷道边界处ρ=1,ζ=eiφ,σρ=τρφ=0,得出:

取巷道水平轴长为4 m,对不同铅垂轴长与水平轴长比在不同测压时的巷道边界应力进行分析,部分巷道断面不同角度下应力集中系数如图1所示。

从图1可知:

1)测压系数大于1时,巷道边界最大应力随铅垂轴长与水平轴长比的增加而增大,水平轴两端点应力最小,铅垂轴两端点应力最大,由水平轴两端点到铅垂轴两端点应力呈非线性增加。

2)测压系数等于1时,巷道边界最大应力随铅垂轴长与水平轴长比的增加而减小,巷道边界应力分布与巷道断面形状相似。

3)测压系数小于1时,巷道边界最大应力随铅垂轴长与水平轴长比的增加而减小,水平轴两端点应力最大,铅垂轴两端点应力最小,由水平轴两端点到铅垂轴两端点应力呈非线性减小。

3.2 沿水平线φ=0的应力分布规律

因沿水平线,所以φ=0,ζ=ρ得:

c1=0时直角坐标表示的应力分量表达式:

取椭圆形断面巷道的水平轴长为4 m(2a=4),对不同水平轴长与铅垂轴长比在不同测压时巷道沿水平线φ=0应力分布规律进行分析,巷道断面沿水平线φ=0的应力分布规律如图2所示,图中应力集中系数是指图2中巷道右帮右侧的一行黑色单元的应力情况,正为压应力,负为拉应力。

由图2可发现:

1)同铅垂轴长与水平轴长比下,随测压的增加,巷道水平应力的峰值呈近似线性增加,环向应力峰值减小,水平应力峰值接近测压。2)同铅垂轴长与水平轴长比下,随测压的增加,水平应力峰值向围岩内部迁移。3)测压系数较大时,巷道左右两帮开始产生拉应力。4)水平应力和垂直应力对巷道影响范围随测压增大而增加,一般在15 m左右。

4 结语

1)采用保角变换,应用复变函数弹性理论推导了椭圆巷道断面围岩应力分布的解析表达式,较好地解决了椭圆巷道围岩应力分析问题。2)测压系数大于1时,由水平轴两端点到铅垂轴两端点应力逐渐增加,测压系数小于1时,变化规律恰好相反。测压系数等于1时,巷道边界应力分布与巷道断面形状相似。3)同铅垂轴长与水平轴长比下,随测压的增加,巷道水平应力的峰值呈近似线性增加,环向应力峰值减小,水平应力峰值向围岩内部迁移。4)应力对巷道影响范围随测压增大而增加,一般在15 m左右。

参考文献

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[4]WANG Shuilin,WU Zhenjun,GUO Mingwei,et al.Theoretical solutions of a circular tunnel with the influence of axial in situ stress in elastic-brittle-plastic rock[J].Tunnelling and Under-ground Space Technology,2012(30):155-168.

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弹性应力篇6

弹性联轴器在工程中有着广泛的应用。它的突出性能——缓冲和减振对机械系统有着至关的重要性,传递功率、调整系统固有频率和补偿两轴的不对中。当使用在发生扭转振动的装置中时,具有缓冲、减振的功能,并能根据不同的轴系配置,采用不同特性参数的联轴器,使之达到最佳的减振降噪效果。

为了能够准确地对传动轴系进行扭转振动分析,并在实际传动系统中选择正确的弹性联轴器,其关键之一就是必须掌握弹性联轴器的有关特性参数,主要包括动态扭转刚度和动态阻尼系数。在通常情况下获取弹性联轴器动态特性参数的有效途径是在试验台上进行试验分析得出。试验台的机座是试验台的关键部件,它的承载能力决定着试验台的最大试验范围及实验数据的精确度,为了确保其可靠性,必须对其进行应力分析。本文给出应用SolidWorks中的插件COSMOSWorks对大挠度弹性联轴器试验台机座进行静态受力分析的方法及结果。

1 采用Solid Works进行三维建模及零件的状态描述

根据试验台的总体设计方案及设备所要求的参数。在三维CAD软件SolidWorks平台下进行建模。材料为铸造碳钢。其三维立体图见图1。

试验台相关技术指标要求:

1)振动频率5-20hz

2)振幅:±20°

3)最大转矩(平动+变动):30knm

根据设计要求,通过轴承轴承座将承受40T的轴向力,花键槽将承受30KN.M的扭矩。

2 静态应力分析

1)在Solid Works环境下启动COSMOSWorks。

2)创建算例并指定研究类型为静态。

3)设定零件材料。设定材料属性为铸造碳钢,其各项性能指标如表1所示。

4)施加约束与载荷(如图1所示)

在工作过程中,机座是通过底座上的四个螺栓孔进行固定的,故在底座的四个螺栓孔上添加固定制约;机座轴承肩最大将承受40T的压力,通过Solid Works的分析功能得到轴肩的面积,计算得到轴肩的受力为3.67e7 N/m2,考虑到使用中的实际情况及可能的安装误差造成的受力情况改变,故在此施加4.0e7 N/m2的压力以应对突发性的过载情况;在花键槽的四个槽上均匀分布力矩30KN.m。

5)网格划分

采用高品质实体单元类型进行网格划分,设置好参数后选择确定,系统开始自动进行网格划分(如图2所示),单元数目为15620,节点数目为26225。

6)网格划分好后采用FFE解算器进行解算。

3 结果分析

3.1 位移分析

通过图3可以看出在轴承座的顶端最大位移有7.053e-4m,但通过图4可看出其变形方向朝向花键槽方向,对输出结果没多大影响,可以不考虑。重点考虑花键部分的位移,最大位移量5.290e-4m,此处直径330mm,产生的角度位移为:

不会对实验结果产生大的影响。故从变形位移的角度考虑,机座是满足设计要求的。

3.2 应力、安全系数分析

通过图5可以看出在底座的螺栓孔边缘产生最大应力4.95e+008 N/m2,而材料的屈服强度为2.2059e+008 N/m2,故在此会产生塑形变形。通过图6的安全系数分析看出最小安全系数5.012e-1。故从应力及安全系数方面考虑,机座存在一定问题,要通过措施解决来减小应力、提高安全系数。

3.3 解决措施

我们将底座孔的数量增加两个,底座加厚30mm,螺栓孔尺寸从25mm增加到28mm,再进行分析,得到如图7所示应力图和图8所示安全系数图。由图中可以看出最大应力减小为1.896e+008N/m2,小于材料屈服强度;最小安全系数1.309,符合安全条件,解决措施有效。

4 结论

随着计算机技术的不断发展,工业创新设计也越来越多地采用计算机软件来实现。本文以大挠度弹性联轴器试验台的机座为研究对象,利用SolidWorks的COSMOSworks模块对其静态应力进行有限元分析,校核其机座强度,并给出减小应力、提高安全系数的有效措施,以提高机座的可靠性,为进一步优化设计提供了重要的指导。实践证明,该方法较其他有限元软件简单实用,大大提高工作效率。

摘要：弹性联轴器试验台的机座是试验台的关键部件,它的承载能力决定着试验台的最大试验范围及试验数据的精确度,为了确保其可靠性,必须对其静态应力进行分析。本文以大挠度弹性联轴器试验台的机座为研究对象,应用SolidWorks中的插件COSMOSWorks对其进行静态应力分析,校核机座强度,并给出减小应力、提高安全系数的有效措施,以提高机座的可靠性。实践证明,该方法较其他有限元软件简单实用,大大提高工作效率。

关键词：弹性联轴器,试验台机座,静态应力,SolidWorks,COSMOSWorks

参考文献

[1]SOLIDWorks机械设计院.SOLIDWorks 2007高级设计[M].北京:人民邮电出版社,2008.

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[3]谢黎明,李大明,沈浩,等.基于COSMOSWorks的现场铣床结构分析[J].机械与电子,2008,(9):20-22.

弹性应力篇7

在利用地层结构法[1]进行深地下圆形洞室弹性计算时, 往往有如下基本假设:

1) 地层岩体和初砌支护材料为线弹性体;

2) 圆形洞室为深埋洞室, 不考虑地表边界产生的影响;

3) 地层为无限大弹性平面;

4) 地层初始应力作用在无限远处。假定埋深后, 地层初始应力的垂直应力为 σv= p, 水平应力为 σH= λp ( λ 为常数) , 故而地层的垂直应力和水平应力均为常数。该种计算方法认为洞室为深埋洞室, 水平应力的垂直分布对结构计算影响较小, 基本可以忽略。然而, 深地下应力状态非常复杂, 除了地层自重应力外, 还存在构造应力。因此, 对于复杂地应力下的大断面地下圆形地下结构工程, 水平应力的纵向分布应给予考虑。本文假定水平应力呈线性分布, 求解深埋圆形洞室结构线弹性应力解。

1 基本参数假设

本文基于地层结构法基本假设外, 还考虑呈线性分布的水平应力。设一点在地下埋深h处, 以此处作为原点, 距原点距离为r处, 其纵向应力由构造应力和覆盖层岩体材料的自重 ( 设重度为γ, 岩体水平压力分布系数为K) 。设垂直应力 σv= q0, 水平向考虑构造应力和岩体材料的侧压力的分布, 设 σh= q1+ Ky, 用极坐标形式为 σh= q1+ KRsinθ。

计算模型如图1 所示。

2 深地下圆形洞室弹性计算

2. 1 应力函数设定与求解

在r处任意一点的初始应力转换成极坐标表示形式, 其计算公式如下:

其中, σv为垂直应力; σh为水平应力; σr为径向应力; σθ为环向应力; τrθ为剪应力。

将 σv和 σh代入式 ( 1) , 整理可得初次应力:

故而假设二次应力状态下的应力函数为:

将该应力函数代入相容方程[2]中可得下式:

由于sinθ, cos2θ, sin3θ 非线性相关, 故可得式 ( 5) 。

利用欧拉公式求解得:

2. 2 二次应力场

根据弹性力学中极坐标下应力与应力函数计算公式[3]解各个应力关系式:

计算模型的边界条件主要从以下几个方面考虑: 1) 由释放荷载引起的附加应力场应力分量 σr2, σθ2在无限远处的值为0; 2) 由释放荷载所引起的附加应力场应力分量在r = R处等于释放荷载的大小, 即: σr2|r = R= ΔσrR, τrθ2|r = R= ΔτrθR; 3) 考虑径向和环向位移周期性变化规律和对称性变化规律。从而可得出相应的f1 ( r) , f2 ( r) , f3 ( r) , f4 ( r) 中各个参量的值 ( 假设圆形洞室半径为R) , 计算结果如表1 所示。围岩二次应力场中的各点应力分量是由围岩的初始应力场与由释放荷载引起的附加应力场叠加而成的[1]。故而二次应力场的应力分量计算如表1 所示。

当K = 0 时, 即不考虑水平应力的分布, 各应力分量等于地层结构法中二次应力场的各应力分量。

2. 3 初砌内力和三次应力场计算

围岩的三次应力场是由初砌与围岩的接触应力引起的附加应力与二次应力场叠加产生的。设圆形衬砌在围岩的接触面上的任意点R的接触应力为: σrR= s0+ s1sinθ + s2cos2θ + s3sin3θ。τrθR= 0。其中, s0, s1, s2, s3均为常数。

按照地层结构法中的初砌内力和三次应力场计算方法可求得初砌内力和三次应力场的应力解。本文限于篇幅不再推导。

3 算例

假设现有一个圆形地下洞室埋深500 m, 洞室直径10 m。地层平均岩层重度为25 k N/m3, 水平应力取垂直应力的0. 7 倍。分别利用地层结构法和本文计算公式计算洞顶和洞底以外1 m处的径向应力值。分析水平应力分布的影响。计算结果见图2, 图3。

图2 和图3 表明: 当K值较小时, 文中的计算结果接近于地层结构法的计算结果, 而当K值较大时, 本文计算方法计算的径向应力值偏离地层结构法的计算结果。

4 结语

在地层结构法基础上考虑水平应力垂直方向的线性分布情况并进行理论推导, 得出如下结果:

1) 设定新应力函数, 利用现有的边界条件推导出圆形洞室结构 ( 未支护情况下) 线弹性应力解 ( 二次应力场, 即未支护情况下的应力状态) , 并为三次应力状态下的线弹性应力解推导提供思路; 2) 水平应力的线性分布转化为三角函数形式的思路为考虑水平应力复杂分布的应力分量求解提供借鉴作用。

参考文献

[1]刘新宇.地下结构计算理论[M].南京:解放军理工大学工程兵工程学院, 2012:33-41.