向量法在立体几何中的运用

关键词： 数学题 结论 条件 问题

向量法在立体几何中的运用（精选6篇）

篇1：向量法在立体几何中的运用

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向量法在立体几何中的运用

作者：何代芬

来源：《中学生导报·教学研究》2013年第27期

摘 要：在近几年的高考中利用向量的模和夹角公式求立体几何中的线段长和两直线的夹角已多次出现，随着新一轮课改的推进，直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何问题中的应用必将成为高考命题的一个新的热点.直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何的“点线距离”，“点面距离”，“线面夹角”，“面面成角”以及“两异面直线间的距离”这五种题型中的应用，涉及的题目用传统立体几何法求解有一定的难度，而空间向量的介入使得问题迎刃而解.从中充分展现了向量法的独到之处和强大威力.关键词：高中数学；立体几何；向量法

向量的引入为数形结合思想注入了新鲜血液，为其开辟了更为广阔的天地。特别是将空间向量知识应用在立体几何题目中，更是一改立体几何题目以前单一的传统几何法，给我们以耳目一新的感觉.下面通过一个题的不同问题，领会空间向量中”直线的方向向量”和“平面的法向量”在解立体几何题目中的独到应用。

例题1 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是 A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点。

一、求点线距离

篇2：向量法在立体几何中的运用

摘要：高中数学教材进行了改革,增加了向量的内容,这为高中学生对立体几何知识的学习提供了一个代数化的方法。学生学习了空间向量的方法之后,可以采用他们比较熟悉的代数方法来进行立体几何的运算和证明;能够帮助学生更加牢固地掌握几何图形的性质;同时,可提高学生利用数学知识解决问题的能力以及丰富思维结构。

关键词：高中数学 向量 立体几何

高中数学的教材改革,把直线的方向向量和平面的法向量引入了教学。这一改革,为立体几何中的空间问题的解决,提供了非常实用和方便的解题工具。运用“形到形”的学习方法去完成综合推理立体几何习题,对大部分学生们来说不能轻松地掌握。向量的运算方法与代数的运算方法十分相似。学习了向量方法后,学生就可以使用其比较熟知的代数推理运算方法,来分析空间图形的问题。

一、空间向量在解立体几何问题中的优势

立体几何是一门研究空间几何图形的数学学科,它主要依据一些公理和概念,借助各种几何图形的不同变换,利用逻辑推理对空间图形的性质进行研究。在运用图形的不同变换对垂直、平行、距离、夹角等空间图形中的问题进行处理时,需要很强的技巧性,难度比较大,学生们很难找到准确的切入点。在学习立体几何时利用向量的方法会有十分显著的效果。

向量的知识在高中阶段有着十分重要的价值和地位,它在解决立体几何问题时具有其传统的几何知识以及方法无法替代的优势。在解决立体几何问题中遇到的很多具有较大难度的问题,运用向量的有关知识进行简单的公式变形,就可以轻松地解决。空间向量的知识为学习立体几何中遇到的使用传统的纯几何方法比较费时费力,同时有着很强的随机性的问题,提供了比较便捷简单的常用方法,可以大大地降低解题的复杂程度。这为高中学生对立体几何的学习注入了新的活力。

例如,如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.

(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求MN的长;

(2)求异面直线AN与CM夹角的余弦值.

利用空间向量方法的解题过程为:

通过这道例题的`解题分析可以发现,使用空间向量的方法求角,能够避免根据定义求角的方法必须添加大量的辅助线,找到所求的角这一解题难点。利用空间向量的方法,只需建立规范的直角坐标系,设出几个对应的向量单位,然后直接去求两个向量的夹角就能简单地解决这个问题,把题目的难度大大的降低了。

二、教学中“空间向量”内容的教学优化

在高中“空间向量”这一部分教学中,最为实用和简单的工具,就是空间向量的坐计算,可以在教学中适当地补充些内容,让学生充分了解到空间向量坐标运算方法在解决立体几何问题中的作用。

(1)通过计算线线所在的两个向量所满足的线性关系来证明线线的平行关系。

(2)通过计算两条直线所在的两个向量的数量积为零来证明线线的垂直关系。

(3)通过计算出一条直线所在的向量与两条相交直线所在的平面的所在的向量的数量积为零,来证明直线与平面相垂直。

(4)计算一个平面的法向量。

(5)通过证明直线与平面的法向量相垂直,来证明出直线与平面相平行。

(6)通过证明出一个平面的法向量与另一个平面相垂直,来证明出平面与平面的平行。

(7)通过计算出两个平面的法向量其数量积为零,来证明平面与平面的垂直。

(8)计算出两条直线所在的向量形成的锐角的值,来计算出异面直线角的值。

(9)斜线与平面的法向量形成的锐角同斜线与平面所成的角度能够互余。

(10)在计算直线与平面的距离、平面到平面的距离时,都可以转化为求点到平面的距离的问题上来,运用向量的方法来解决。

(11)利用向量法计算异面直线之间的距离。

虽然在教学中补充这些结论和让学生能够熟练地应用会耗费一定的课时,但补充的结论能够让学生在处理立体几何问题迅速地发现空间向量解决题的共通性,快速简洁地处理问题起到明显的实际应用效果。空间向量可以把抽象的立体几何问题转变为代数问题,充分地运用数形结合的解题思想,把立体几何也全部融入到高中数学的综合运用之中。

三、向量方法在立体几何中的应用策略

学习向量知识的重要目标,是“着重培养学生运用向量这一代数方法去处理立体几何中的问题能力”,把立体几何题中复杂的逻辑推理转化成空间向量的代数运算。加强几何与代数之间的联系,实现立体几何问题解题的程序化、模式化,尽量减少添加辅助线,从而把解题难度降低。

使用空间向量方法来处理立体几何中的问题,首先,必须根据遇到的立体几何问题的情况,采用恰当的方式,把点、线、面等问题中涉及到的所有元素利用空间向量的方法表示出来,把几何图形和空间向量之间的联系建立起来。然后,利用空间向量的方法进行运算,证明出所有相对应的元素之间的关系(夹角和距离等问题)。最后,把运算的结果进行几何意义的解释,实现对立体图形问题的解决。

如果几何图形中有较多的垂直关系,同时建立空间直角坐标系比较容易时,应该建立空间直角坐标系,利用相应的坐标把向量表示出来。如果几何图形中缺少垂直关系或者很难在几何图形上建立空间直角坐标系,可根据已知条件利用三个不在同一个平面的向量作为基向量,把空间向量利用基向量表示出来,并根据条件计算出这三个向量之间数量积和模数的关系。

使用空间向量的方法解决空间角和距离问题时,可以不建立出空间直角坐标系。根据空间向量的基本定理,选取出不在同一个平面的三个向量当作基向量。同时,为了方便向量内积的计算,所设的三个基向量的模以及三个向量之间的数量积,已知条件必须给出或者可以根据所给条件计算出。

篇3：向量法在立体几何中的运用

一、平面法向量的概念及引理

向量与平面垂直:如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α, 则称这个向量垂直于平面α, 记作a⊥α.如果a⊥α, 那么向量a叫做平面α的法向量一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量, 进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题推导平面法向量的方法如下:

在给定的空间直角坐标系中, 设平面α的法向量n= (x, 1, z) [或n= (x, y, 1) , 或n= (1, y, z) ], 在平面α内任找两个不共线的向量a, b.由n⊥α, 得n·a=0且n·b=0, 由此得到关于x, y的方程组, 解此方程组即可得到n.有时为了需要, 也求法向量n上的单位法向量n0, 则

例1正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为1, 求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0.

解建立空间直角坐标系, 如图1, 则A (1, 0, 0) , D1 (0, 0, 1) , C (0, 1, 0) .设平面ACD1的法向量n= (x, y, 1) .

二、法向量在近几年高考题中的体现

例2 (2008全国理科II第19题) 如图2, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB=4, 点E在CC1中且C1E=3EC.

(I) 证明:A1C⊥平面BED;

(II) 求二面角A1-DE-B的大小.

解以D为坐标原点, 以射线DA为x轴的正半轴, 建立如图3所示直角坐标系D-xyz.

依题设B (2, 2, 0) , C (0, 2, 0) , E (0, 2, 1) , A1 (2, 0, 4) .

故A1C⊥BD, A1C⊥DE.

又DB∩DE=D, 所以A1C⊥平面BED.

(II) 设向量n= (x, y, z) 是平面DA1E的法向量, 则

故2y+z=0, 2x+4z=0.

令y=1, 则z=-2, x=4, n= (4, 1, -2) .

等于二面角A1-DE-B的平面角,

所以二面角A1-DE-B的大小为

思路分析 (I) 利用线面垂直的判定定理证明, 要用到三垂定理, 先连接AC∩BD于F, 再连接EF, 即可. (II) 先找出二面角的平面角, 再利用解三角形方法求解 (或用向量法) .

点评本题考查的内容是空间中线与面之间的关系以及面与面所成的角, 这一类题目已经是高考命题中的一种模式, 它可以用两种方法求解:一是几何法 (也叫定义法) , 二是向量法, 通过建立空间直角坐标系求解, 此类题目同学们最好采用向量法求解, 因为这种方法非常公式化, 只是计算量较大.

例3 (2005·江西·理) 如图4, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AD=AA1=1, AB=2, 点E在棱AB上移动.

(I) 证明:D1E⊥A1D;

(II) 当E为AB的中点时, 求点E到面ACD1的距离;

(III) AE等于何值时, 二面角D1-EC-D的大小为?

分析本题是立体几何试题的常见题型, 考查的是传统内容.证线线垂直, 求点到平面的距离, 求二面角的大小, 可用传统的几何方法求解, 也可利用向量法求解. (解略)

篇4：向量法在立体几何中的运用

点评：任何不共线的两个向量可以作为平面向量的基底.该题选CA、CB作为基底，把CM用基向量表示出来，然后转化成基向量的运算.这种方法一般需要知道两个基向量的模与它们的夹角，这种解法的关键是把运算目标式里的向量通过线性运算转化成基向量来处理.

解法二（坐标法）：

点评：利用图形的几何性质（垂直或对称性等）建立适当的平面直角坐标系，求出有关点的坐标，将有关向量的运算转化成坐标运算.这种方法一般在建立坐标系后，便于求出各目标向量里点的坐标或坐标之间的某种关系式时考虑采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四边形ABCD中，∠A=π3，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM||BC|=|CN||CD|，则AM·AN的取值范围是 .

分析：（1）抓住题眼“平行四边形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐标系；（3）转化为二次函数求值域问题.

解法：

点评：在利用平面向量的数量积解决平面几何的有关问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会变得容易得多.

总之，向量兼具代数的抽象和几何的直观的特点.在利用向量解决问题时，应注意变换思维方式，从不同的角度看问题，善于应用两种向量的算法，把平面几何问题转化为代数问题，进而找到解题思路，化难为易，解决问题.

参考文献

王朝银.2014高考总复习创新设计系列丛书数学（理科）[M].西安：陕西人民出版社，2013.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，由于它兼具几何形式与代数形式的双重身份，所以它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的桥梁与纽带.向量作为数学研究的一种重要工具，与三角函数、数列、解析几何、平面几何等知识交汇，成为近几年高考命题的一种趋势，其考查力度逐渐增强.下面我们来看看基底法与坐标法这两种向量运算方法在平面几何中的应用.

点评：任何不共线的两个向量可以作为平面向量的基底.该题选CA、CB作为基底，把CM用基向量表示出来，然后转化成基向量的运算.这种方法一般需要知道两个基向量的模与它们的夹角，这种解法的关键是把运算目标式里的向量通过线性运算转化成基向量来处理.

解法二（坐标法）：

点评：利用图形的几何性质（垂直或对称性等）建立适当的平面直角坐标系，求出有关点的坐标，将有关向量的运算转化成坐标运算.这种方法一般在建立坐标系后，便于求出各目标向量里点的坐标或坐标之间的某种关系式时考虑采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四边形ABCD中，∠A=π3，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM||BC|=|CN||CD|，则AM·AN的取值范围是 .

分析：（1）抓住题眼“平行四边形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐标系；（3）转化为二次函数求值域问题.

解法：

点评：在利用平面向量的数量积解决平面几何的有关问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会变得容易得多.

总之，向量兼具代数的抽象和几何的直观的特点.在利用向量解决问题时，应注意变换思维方式，从不同的角度看问题，善于应用两种向量的算法，把平面几何问题转化为代数问题，进而找到解题思路，化难为易，解决问题.

参考文献

王朝银.2014高考总复习创新设计系列丛书数学（理科）[M].西安：陕西人民出版社，2013.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，由于它兼具几何形式与代数形式的双重身份，所以它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的桥梁与纽带.向量作为数学研究的一种重要工具，与三角函数、数列、解析几何、平面几何等知识交汇，成为近几年高考命题的一种趋势，其考查力度逐渐增强.下面我们来看看基底法与坐标法这两种向量运算方法在平面几何中的应用.

点评：任何不共线的两个向量可以作为平面向量的基底.该题选CA、CB作为基底，把CM用基向量表示出来，然后转化成基向量的运算.这种方法一般需要知道两个基向量的模与它们的夹角，这种解法的关键是把运算目标式里的向量通过线性运算转化成基向量来处理.

解法二（坐标法）：

点评：利用图形的几何性质（垂直或对称性等）建立适当的平面直角坐标系，求出有关点的坐标，将有关向量的运算转化成坐标运算.这种方法一般在建立坐标系后，便于求出各目标向量里点的坐标或坐标之间的某种关系式时考虑采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四边形ABCD中，∠A=π3，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM||BC|=|CN||CD|，则AM·AN的取值范围是 .

分析：（1）抓住题眼“平行四边形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐标系；（3）转化为二次函数求值域问题.

解法：

点评：在利用平面向量的数量积解决平面几何的有关问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会变得容易得多.

总之，向量兼具代数的抽象和几何的直观的特点.在利用向量解决问题时，应注意变换思维方式，从不同的角度看问题，善于应用两种向量的算法，把平面几何问题转化为代数问题，进而找到解题思路，化难为易，解决问题.

参考文献

王朝银.2014高考总复习创新设计系列丛书数学（理科）[M].西安：陕西人民出版社，2013.

篇5：法向量在立体几何解题中的应用

法向量在立体几何解题中的应用

作者：魏庆鼎

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.4.用法向量求二面角平面角的大小

篇6：立体几何中的向量方法的教学设计

一、教材分析

本节课是坐标法与向量有效结合的典型范例，有利于培养学生利用向量解决立体几何问题的能力。

二、教学目标

通过类比平面内的点、线的位置可以由向量来确定，引导学生理解空间内的点、线、面的位置也可以由向量来表示，并进一步探究用空间向量的运算来表示空间线、面的位置关系。从应用其证明空间线面的平行与垂直问题中体会直线的方向向量与平面的法向量在解决立体几何中线面平行与垂直问题时的作用。从而树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心。

三、教学重点、难点

由于建系求点坐标是向量方法中最大的障碍，所以把坐标法与向量法结合作为重点，而适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线作为难点。

四、教学手段

用几何画板直观展示图形给学生立体感，通过问题链让学生有效地进行数学思维。

五、教学流程

1、新课导入：

同学们，在前面的学习中，我们已经接触过一些用空间向量的运算方法，所以这节课我们将使用一些用空间向量知识证明点、线、面的位置关系。

为了运用向量来解决立体几何问题，首先要明确空间的点、线、面的位置是否可以用向量来确定？想一想平面内点、线的位置可以由向量来唯一确定吗？你能利用类比的方法，相应地得出空间点、线、面的位置也可以由向量来唯一确定的结论吗？

2、经典例题讲解：

<例一> 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，C1CBC1CDBCD,求证：CC1BD.分析：题目是让我们求证CC1BD，我们可以利用向量垂直的方法来试着证明CC1.BD =0 <例二> 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点，求证：A1E⊥平面DBC1。

分析：该题主要是考察学生是否可以根据已知题目给出的信息将建立空间直角坐标系，本题以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，连接BD以BD为y轴，Z轴则平行与CC1建立了D-XYZ的空间直角坐标系。接着根据平面法向量的性质来求证出结果。

六、练习

用向量的方法证明“平面与平面垂直的判定定理”。

七、总结