麦克斯韦方程

关键词： 位移电流 电磁场 涡旋 方程组

麦克斯韦方程（精选四篇）

麦克斯韦方程 篇1

关键词：麦克斯韦方程组,电磁场,涡旋电场,位移电流

0 引言

Maxwel l电磁场理论是十九世纪物理学中最伟大的成就之一,是继Newt on力学之后物理学史上又一次划时代的伟大贡献。Maxwel l全面总结了电磁学研究的成果,并在此基础上提出了“涡旋电场”和“位移电流”的假说,建立了完整的电磁理论体系,不仅科学地预言了电磁波的存在,而且揭示了光、电、磁现象的内在联系及统一性,完成了物理学的又一次大综合。他的理论成果为现代无线电电子工业奠定了理论基础,麦克斯韦方程组不仅揭示了电磁场的运动规律,更揭示了电磁场可以独立于电荷之外单独存在,这样就加深了我们对电磁场物质性的认识。

1 麦克斯韦电磁场理论的建立

麦克斯韦首先从论述力线着手,初步建立起电与磁之间的数学关系。1855年,他发表了第一篇电磁学论文《论法拉第的力线》。在这篇论文中,用数学语言表述了法拉第的电紧张态和力线概念,引进了感生电场概念,推导出了感生电场与变化磁场的关系。

1862年他发表了第二篇论文《论物理力线》,不但进一步发展了法拉第的思想,扩充到磁场变化产生电场,而且得到了新的结果:电场变化产生磁场。由此预言了电磁波的存在,并证明了这种波的速度等于光速,揭示了光的电磁本质。这篇文章包括了麦克斯韦电磁理论研究的主要成果。

1864年他的第三篇论文《电磁场的动力学理论》,从几个基本实验事实出发,运用场论的观点,引进了位移电流概念,按照电磁学的基本原理(高斯定理、电荷守恒定律)推导出全电流定理,最后建立起电磁场的基本方程。

麦克斯韦在总结库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等前人的一系列发现和实验成果的基础上,结合自己提出的涡旋电场和位移电流的概念,建立了第一个完整的电磁理论体系[1]。这个重要的研究结果以论文的形式发表在1865年的英国皇家学会的会报上。论文中列出了最初形式的方程组,由20个等式和20个变量组成,包括麦克斯韦方程组的分量形式[2]。

2 麦克斯韦方程组

2.1 涡旋电场假说、位移电流假说

一个闭合回路固定在变化的磁场中,则穿过闭合回路的磁通量就要发生变化。根据法拉第电磁感应定律,闭合回路中要产生感应电动势。因而在闭合回路中,必定存在一种非静电性电场。

麦克斯韦对这种情况的电磁感应现象作出如下假设:任何变化的磁场在它周围空间里都要产生一种非静电性的电场,叫做感生电场,感生电场的场强用符号E表示。感生电场与静电场有相同处也有不同处。它们相同处就是对场中的电荷都施以力的作用。而不同处是:(1)激发的原因不同,静电场是由静电荷激发的,而感生电场则是由变化磁场所激发;(2)静电场的电场线起源于正电荷,终止于负电荷,静电场是势场,而感生电场的电场线则是闭合的,其方向与变化磁场()的关系满足左旋法则,因此感生电场不是势场而是涡旋场。正是由于涡旋电场的存在,才在闭合回路中产生感生电动势,其大小等于把单位正电荷沿任意闭合回路移动一周时,感生电场Ei所作的功,表示为:

应当指出:法拉第建立的电磁感应定律,只适用于由导体构成的回路,而根据麦克斯韦关于感生电场的假设,电磁感应定律有更深刻的意义,即不管有无导体构成闭合回路,也不管回路是在真空中还是在介质中,式(1)都是适用的。如果有闭合的导体回路放入该感生电场中,感生电场就迫使导体中自由电荷作宏观运动,从而显示出感生电流;如果导体回路不存在,只不过没有感生电流而已,但感生电场还是存在的。从式(1)还可看出:感生电场Ei的环流一般不为零,所以感生电场是涡旋场(又叫涡旋电场)。

位移电流概念是麦克斯韦在建立电磁场理论过程中提出的重要假设。它表明,磁砀不仅可以由电流产生,变化的电场也可以产生磁场。位移电流和有旋电场的概念从两个方面深刻而完整地揭示了电场和磁场之间的内在联系和相互依存,即电磁场是统一的不可分割的整体。

传导电流和位移电流都能产生磁场,两种磁场都能对其中的电流或运动电荷施加磁力,两种磁场的性质也相同,即都是有旋无源的。但是,两种磁场也有区别,除了产生原因不同外,由于位移电流(确切地说是位移电流中由电场变化引起的真空位移电流部分)并不表示电荷在空间的运动,所以它与传导电流不同,没有热效应和化学效应,只有磁效应。空间的总磁场是传导电流和位移电流产生的磁场之和,是无源有旋的矢量场,其磁力线闭合。

位移电流假设的提出,消除了把安培环路定理从恒定情形推广到变化情形时遇到的矛盾和困难,使麦克斯韦得以建立完备的电磁场方程组。麦克斯韦方程组关于电磁波等理论预言实验的证实,不仅具有深刻的理论意义和巨大的应用价值,也证明了位移电流假设的正确性。

2.2 麦克斯韦方程组的简易推导

(1)麦克斯韦方程组的积分形式

在电磁学中我们知道,一个电荷q发出的电通量总是正比于q,与附近有没有其他电荷存在无关。由库仑定律可以推出关于电通量的高斯定理[1,2,3,4].

因静电场的电场线分布没有旋涡状结构,因而可推导静电场是无旋的。

1831年法拉第发现当磁场发生变化时,附近闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比,可表示为:

感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分,因此电磁感应定律可写为:

若回路L是空间中的一条固定回路,则(4)式中对t的全微分可代为偏微分:

下面研究电流和磁场的相互作用。

实验指出,一个电流元在磁场中所受的力可以表为:

恒定电流激发磁场的规律由毕奥-萨伐尔定律给出。设为源点x'上的电流密度,为由x'到场点x的距离,则场点上的磁感应强度为:

式(7)中μ0为真空磁导率,积分遍及电流分布区域。细导线上恒定电流激发磁场的毕奥-萨伐尔定律写为:

根据安培环路定律,对于连续电流分布j,在计算磁场沿回路L的环量时,只需考虑通过以L为边界的曲面的电流,在S以外流过的电流没有贡献。因此,环路定律表为:

上面研究了变化磁场激发电场,由麦克斯韦位移电流假设的结论变化电场激发磁场可推广得:

由电磁学的知识,我们知道由电流激发的磁感应线总是闭和曲线,因此,磁感应强度是无源场,表示无源性的积分形式是对任何闭和曲面的总通量为零,即利用磁场高斯定理得:

由上得出麦克斯韦方程组的积分形式:

(2)麦克斯韦方程组的微分形式

由麦克斯韦方程组的积分形式和数学公式:

推导出微分形式如下:

值得注意的是,在使用积分形式时,当有介质时需要补充三个描述介质性质的方程式,对于各向同性介质来说,有:

式(15)中εr、μr和σ分别是介质的相对介电常数,相对磁导率和电导率。是欧姆定律的微分形式。

由以上推导过程可总结出麦克斯韦方程组的来源如图一所示。

2.3 麦克斯韦方程组的意义

由麦克斯韦方程组可逐一说明如下,在电磁场中任一点处[5]:

(1)电场强度的旋度等于该点处磁感强度变化率的负值;

(2)磁场强度的旋度等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和;

(3)电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度;

(4)磁感强度的散度处处等于零[6]。

麦克斯韦方程组是一个完整的方程组,这就是说,只要给定源分布(即给定电荷的分布及其运动状态)以及初始条件和边界条件,在理论上,麦克斯韦方程组就可以唯一地确定电磁场在以后任何时刻的状态。所以麦克斯韦方程组在电磁现象中的地位就如同牛顿定律在经典力学中的地位一样,其作用有:

(1)由麦氏方程组可导出电荷守恒定律;

(2)由麦克斯韦方程组可导出电磁场波动方程;

(3)由麦氏方程组可导出电场的能量密度,定义电磁波传播的能流密度等。

3 结束语

麦克斯韦方程组是在由麦克斯韦在3个基本电磁实验定律(库仑定律、毕奥-萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律)的基础上,引出涡旋电场与位移电流的2个假设,并将这些定律与假设加以整合与推广而得到。

参考文献

[1]陈俊华.关于麦克斯韦方程组的讨论[J].物理与工程,2002,12(4):18-20.

[2]王稼军.麦克斯韦建立电磁场理论的三篇论文[J].物理与工程,2005,15(2):36-40.

[3]罗春荣,陆建隆.电动力学(第三版)[M].西安:西安交通大学出版社,2000:4-25.

[4]郭硕鸿.电动力学(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1997:3-21.

[5]胡鸿奎,张占新.麦克斯韦方程微分形式的推导[J].物理与工程,2005(6):61-62.

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦简介 篇2

公元1831～公元1879

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦是伟大的英国物理学家，他由于列出了表达电磁基本定律的四元方程组而闻名于世。在麦克斯韦以前的许多年间，人们就对电和磁这两个领域进行了广泛的研究，人们都知道这两者是密切相关的。适用于特定场合的各种电磁定律已被发现，但是在麦克斯韦之前却没有形成完整、统一的学说。麦克斯韦用列出的简短四元方程组(但却非常复杂)，就可以准确地描绘出电磁场的特性及其相互作用的关系。这样他就把混乱纷纭的现象归纳成为一种统一完整的学说。麦克斯韦方程在理论和应用科学上都已经广泛应用一个世纪了。

麦克斯韦方程的最大优点在于它的通用性，它在任何情况下都可以应用。在此以前所有的电磁定律都可由麦克斯韦方程推导出来，许多从前没能解决的未知数也能从方程推导过程中寻出答案。

这些新成果中最重要的是由麦克斯韦自己推导出来的。根据他的方程可以证明出电磁场的周期振荡的存在。这种振荡叫电磁波，一旦发出就会通过空间向外传播。根据方程，麦克斯韦就可以表达出电磁波的速度接近300000公里(186000英里)/秒，麦克斯韦认识到这同所测到的光速是一样的。由此他得出光本身是由电磁波构成的这一正确结论。

因此，麦克斯韦方程不仅是电磁学的基本定律，也是光学的基本定律。的确如此，所有先前已知的光学定律可以由方程导出，许多先前未发现的事实和关系也可由方程导出。

可见光并不是唯一的一种电磁幅射。麦克斯韦方程表明与可见光的波长和频率不同的其它电磁波也可能存在。这些从理论上得出的结论后来被海因利茨·赫兹公开演示证明了。赫兹不仅生产出而且检验出了麦克斯韦预言存在的不可见光波。几年以后，伽格利耶尔摩·马可尼证明这些不可见光波可以用于无线电通讯，无线电随之问世。今天我们也用不可见光为电视通讯。x线、γ线、红外线、紫外线都是电磁波幅射的其它一些例子。所有这些射线都可以用麦克斯韦方程来加以研究。

虽然麦克斯韦成名主要是在于他对电磁学和光学做出的巨大贡献，但是他对许多其它学科也做出了重要的贡献，其中包括天文学和热力学。他的特殊兴趣之一是气体运动学。麦克斯韦认识到并非所有的气体分子都按同一速度运动。有些分子运动慢，有些分子运动快，有些以极高速度运动。麦克斯韦推导出了求已知气体中的分子按某一速度运动的百分比公式，这个公式叫做“麦克斯韦分布式”，是应用最广泛的科学公式之一，在许多物理分支中起着重要的作用。

避开“麦克斯韦恶魔” 篇3

关键词：高中数学；兴趣小组；学习自信心；麦克斯韦

一、当前高中校园的分班制度

我国中学学校存在一种普遍的状况——分班。这种现象在高中校园更为常见。此处的分班并非文、理科的分班，而是以学生的成绩为划分标准，将成绩在某一分数线以上的学生划入一个班级，而在分数线之下的学生有分入别的班级。也就是我们现在常见的，高中阶段中的火箭班、快班、重点班和平行班等等。

这种划分能够在方便教师统一教学及学校进行教育资源的配置着两方面能找到原因。《论语为政》中提到“因材施教”，即是针对学习者的志趣、能力等具体情况进行不同的教育。高中校园进行的这种分班制，将学习能力和知识水平相当的学生归入一个群体，教育者在进行教学的时候会更加地均衡。

然而，这种分班制下所达到的均衡只是小范围的均衡，而并非是整个教育资源的均衡分配，也不能保证同一所学校的每个学生享受到同等的、公平的教育权利。例如，在“重点班”进行提高练习的时候，不用考虑到这个班级中有学生的知识水平和学习能力达不到，而是每个人都可以进行这种练习。但是，平行班就不能进行这种提高练习。

二、“麦克斯韦恶魔”

苏格兰物理学家麦克斯韦（1831—1879）在阐明热力学第二定律的效率时，提出过一个设想，即麦克斯韦恶魔。麦克斯韦想象，一个容器中装满了粒子，这些粒子在持续运动，在它们中间，有一些是高速运动的，但另外一些粒子的运行速度则较为缓慢，但无论运行速度是快是慢，这个空间都会因为粒子的运动产生温度。这时，有一个恶魔来到这个容器面前进行挑选，把运动速度最快的粒子挑出来放在一个容器，而把运行速度慢的粒子放在另外一个容器。这时盛放运行速度快的粒子的容器的温度会升高，反之，盛放运动速度慢的粒子的容器的温度会降低——高中校园的分班制度便是在做这种麦克斯韦恶魔式的挑选。

在高中阶段进行分班制教学，无疑会对学生的学习状态造成极大的影响——对分入重点班的学生来说，在良好的学习氛围之下，享受着良好的教育资源，学生的积极性提高，自信心增强；而对于分入平行班甚至差生班的学生来说，这种挑选无疑会打击他们的自信心，降低学习的积极性。

三、构建兴趣小组

高中是学习时代的一个关键时期，因为学生面临着高考、升学。而高中数学作为高中时期的三大重点科目之一，它是对初中数学的进一步扩展与加深，同时又为高等数学的学习奠定基础。更重要的是，高中数学在高考中所占分值之大，甚至可以说，数学成绩的好坏直接影响个人的高考升学。由此可见高中数学的重要性。

因此，高中时期，尤其是学习新知识的高一年级和高二年级，教师的引导对学生学习数学的积极性有着至关重要的作用。

如何有效地引导学生主动地、积极地学习高中数学？归根结底，还是要培养学生的学习自信心和学习兴趣。在分班制教学的限制之下，此时，构建数学兴趣小组显得尤为重要。

（一）数学兴趣小组的形式

数学兴趣小组的构建可以采用多种形式，比如，一对一帮扶小组，多人学习交流小组……但无论何种形式的数学兴趣小组，都不应仅仅局限于本班级这一小团体，而应该在全年级范围内组织、搭配，做到优、差生数量相当，并且需要有教师的指导。一对一小组，即一个优生帮助一个差生的学习小组，多人学习交流小组也是优生和差生数量相对平衡，定期进行学习的情况的交流、总结和帮扶。

（二） 如何保证数学兴趣小组的发挥最大效益

高中阶段学生课业繁重，除去上课、自习时间，剩下的时间所剩无几，这时候还要求学生在数学兴趣小组中积极发挥作用，似乎不太可能。这时，就要求数学老师积极发挥协调、调动的职能。例如，每一周，年级的数学老师协调出共同的课时，然后在老师的指导下开展兴趣小组交流活动。

另外，将数学兴趣小组的具体活动纳入教学考核，也能极大地促进数学兴趣小组发挥其积极的作用。例如，每一次数学兴趣小组开展活动后，由小组长记录活动内容、过程，每个小组成员简要记录自己的心得体会。另外，将数学兴趣小组开展后，每一次的考试成绩做出对比，如果有明显进步的学生，其所在的整个小组应该集体予以鼓励。以类似这样的考核方式来充分发挥学生参与数学兴趣小组的积极性。

热力学麦克斯韦关系的简便记忆方法 篇4

1 联想-对角交换法

下面 (1) ~ (4) 式是麦氏关系的数学表达式, 它涉及温度T、压强p、体积V和熵S四个物理量。在既有偏导数又有角标的情况下, 很容易让人发生记忆混乱, 加上四个式子形式近似, 很容易记错。即使对于物理专业的学生, 在理解其推导过程的前提下, 也不易将其准确记忆, 更不用说对于非物理的理工科专业或者文科专业的学生了。

麦式方程的记忆方法众多[2~4], 但很多方法每个式子都需要记忆相应的图形或者故事去联想, 这反而增大了记忆量。对于记忆形式比较相似的一组公式来说, 虽然容易将它们各自的部分记混, 但是如果能发现它们之间的联系, 反而能够帮助我们记忆它们。比如我们记住了电磁学中电场强度和E电位移矢量D之间的关系D=εE, 便可以类比记住磁场强度H和磁感应强度B之间的关系B=µΗ, 往往记住了一个公式便可以依据公式之间联系写出其他的几个公式。对于麦克斯韦关系的记忆也不例外, 我们同样可以从其中一个关系入手, 记住其他的三个关系。

在记忆各部分关系之前我想先说明一下角标的记忆方法, 很多同学强记住了偏导关系却总是记错角标, 仿佛角标是最难以记忆的。其实不然, 在写出了偏导关系之后, 我们会发现, 等式左边的角标其实就是等式右边的分母参数, 反之亦然。比如 (1) 式:

等式右边分母为∂S, 那么左边的角标就是S;等式左边的分母是∂V, 那么右边的角标就是V。需要说明的是, 角标表示偏导关系中保持不变的物理量, 那么在关系式中, 角标和偏导关系的分子参数不会相同, 否则偏导数为零, 等式也就失去意义了。掌握了这一点, 角标就不会记错了。

万事开头难, 记住第一个关系式至关重要, 否则也就无法继续下面的记忆。对于 (1) 式, 我们可以这样联想:等式的左边, 分子分母分别为T和V, 我们记为“TV”, 也就是电视 (television) ;等式的右边, 分子分母分别为p和S, 我们可以记为“PS”, 也就是大家常说的photoshop (一种图片处理软件) , 或者playstation (一种游戏机) 的缩写, 这样就把陌生的公式转化成了两种我们熟悉的东西。负号可以这样记忆:“如果我看TV (电视) , 那么我做PS的时间就减少了 (对应负号) 。”再运用前文提到了角标规则, 便可轻松记住 (1) 式。

接下来就简单了, 我们只要掌握一点——“对角线交换”, 就可以写出其他三个关系。我们不一定需要按顺序记忆, 只要不重复交换, 我们总能够写出完整的麦氏关系。在我们记住了 (1) 式之后, 我们随便交换一下对角线的参数, 就可以得到新的关系, 另外, 可以仿照记忆 (1) 式中负号的方法, 只要TV和PS两个熟悉的缩写不成对出现, 就不会互相影响, 就不需要加负号。对于 (1) 式, 比如我们交换V和p的位置, 我们就能得到如下的式子:

再根据角标规则和负号记忆法, 我们就能很自然得到 (2) 式:

同理, 我们继续交换对角线参数的位置, 就可以写出剩下的麦氏关系, 而且只要保证只交换对角线的参数而不上下交换, 就能保证偏导关系正确, 角标和负号也就不会写错, 这就是“联想-对角交换法”。

2 麦氏关系的其他记忆方法

除了“联想-对角交换法”之外, 我们再介绍另一种记忆方法。我们可以先写出一个矩阵的形式, 顺时针依次写上T、p、V、S的偏导形式:

其意义在于, 在矩阵左侧列 (即第一列) 的元素是在等式左侧做分子, 也就是写在上方的;而右侧列 (即第二列) 的元素是在等式右边做分子的。那么只要这样记忆即可:先选择任一左侧列的元素与任一右侧列元素结合写在等式左侧, 左侧列元素在上, 右侧列元素在下;剩下的元素写在右侧, 右侧列元素在上, 左侧列元素在下。当选取对角线的两个元素时, 出现负号, 这里负号的记忆可以类比行列式的运算规则:

角标记忆方法与前文相同, 不再赘述。

3 记忆方法小结

总而言之, 在记忆麦氏关系的时候, 可以先记忆偏导关系, 再写出角标, 只要偏导关系记忆准确了, 角标和负号也就不会写错。这样可以避免偏导关系和角标同时记忆产生混乱, 并且能够减少记忆量, 有利于准确深刻地记忆麦氏关系。

参考文献

[1]汪志诚.热力学.统计物理[M].北京:高等教育出版社, 2008.

[2]张保花, 王伟, 等.热力学函数及麦氏关系的简便记忆法[J].昌吉学院学报, 2010 (3) .

[3]曹海静, 袁野.麦氏关系的联想记忆法[J].科技资讯, 2011 (30) .