工程力学习题答案

关键词： 实验 物理 习题 教学

工程力学习题答案（精选6篇）

篇1：工程力学习题答案

关于 理论力学答案 的网友求助帖

理论力学 第Ⅱ册(和兴锁)课后答案 科学出版社

理论力学 课后答案

本书根据教育部高等工业学校理论力学教学的基本要求编写，分为两册。第Ⅰ册内容包括静力学、运动学、质点动力学、质点的振动、动力学普遍定理和达朗贝尔原理等；第Ⅱ册内容包括碰撞、虚位移原理、拉格朗日方程、二自由度系统的振动和刚体动力学等。全书例题丰富，并配有思考题、习题和答案。

0

okey 小时前

理论力学 修订版(徐燕侯 郭长铭)课后答案 中国科技大学出版社

理论力学 修订版 无 课后答案

0

okey 小时前

理论力学(罗特军)课后答案 四川大学出版社

理论力学 课后答案

《高等学校工科力学系列教材：理论力学》是四川省教改项目“工程力学精品课程建设”的研究成果，对传统的理论力学体系进行了较大的改进，以适应面向21世纪教学改革及大量培养高等科技人才的需要。本书以理论力学的基本内容为主，适当提高了起点，力求做到逻辑清晰、易于教学。

本书可作为高等院校工科本科各专业的理论力学教材。少学时理论力学课程可根据需要对内容进行取舍。本书可供成人高校、高职高专的师生及有关工程技术人员参考。

0

okey 小时前

理论力学 第2版(李卓球)课后答案 武汉理工大学出版社

理论力学 第2版 无 课后答案

根据高等学校理论力学课程教学的基本要求，《理论力学（第2版）》结合工科相关专业应用基础的特点，在保留理论力学经典内容的前提下，适当更新和精炼了教材内容。《理论力学（第2版）》主要内容为静力学、运动学、动力学三大部分。《理论力学（第2版）》适用于高等学校工科力学和工程类各专业的理论力学教材，各专业可以根据需要选用全部或部分内容，也可供有关工程技术人员参考。

0

0

okey 小时前

理论力学 第2版 课后答案(同济大学航空航天与力学学院基础力学教学研究部)同济大学出版社

理论力学 第2版 无 课后答案

《同济大学工程力学系列教材：理论力学（第2版）》共分三篇，分别为静力学、运动学和动力学。本书保持了同济大学原理论力学教研室1990年版《理论力学》的体系和风格，但对该版教材的内容和习题作了部分调整。

本书以土木、水利、机械等工程实际为背景，注重物理概念的阐述和力学建模能力的培养，通过课程内容与体系的改革，努力做到理论与应用并重。本书例题、习题丰富，能达到熟练掌握基本理论、基本方法和计算技能的教学要求。

本书主要用作普通工科院校土建、桥梁、水利、机械等专业的教材，也可供有关工程技术人员参考。

0

okey

2012-11-30 00:37

求 理论力学(武清玺 陆晓敏 殷德顺 著)中国电力出版社 课后答案

麻烦各路大侠，路见不平拔刀相助下，因为没有答案，这门理论力学有点难下手啊····对于我们土木专业的学生来说，这门就是基础，如果这门没有学好，以后的材料力学等等课程就很难跟得上了，拜托了！

2701

a7358890

2010-10-19 15:40

理论力学(冯维明)课后答案 国防工业出版社

跪求《理论力学》

国防工业出版社

冯维明 主编 的课后习题答案~·~~~~~ 运动学部分分四章，主要内容为：点的运动学、刚体的基本运动、点的复合运动及刚体的平面运动。动力学部分为九章，主要内容为：刚体动力学的基本概念、力系的简化与平衡、质点动力学、动量定理、动量矩定理、动能定理、达朗贝尔原理、虚位移原理反动力学普遍方程和机械振动基础。本教材在内容上力求达到重点突出、条理清晰、结构紧凑、叙述严谨，对较深的、提高性的内容，则抓住实质、特点作精炼的陈述。本教材还精选了例题和习题，注重启发式教学，给学生留有充足的思维空间。

179 q@q_352098

2011-9-25 22:33

理论力学 第2版(唐国兴 王永廉)课后答案 机械工业出版社

求此书答案 《理论力学（第2版）》共十五章，包括静力学基础，平面汇交力系，力矩、力偶与平面力偶系，平面任意力系，空间力系，静力学专题，点的运动学，刚体的基本运动，点的合成运动，刚体的平面运动，质点动力学基本方程，动量定理，动量矩定理，动能定理，动静法。每章都配有大量的例题、复习思考题与习题，并在《理论力学（第2版）》的最后，给出了习题参考答案和参考文献。

415

okey

2012-11-7 10:57

理论力学(唐国兴 王永廉)课后答案 机械工业出版社

课后习题答案 《普通高等教育规划教材：理论力学》共15章，包括静力学基础、平面汇交力系、力矩·力偶·平面力偶系、平面任意力系、空间力系、静力学专题、点的运动学、刚体的基本运动、点的合成运动、刚体的平面运动、质点动力学基本方程、动量定理、动量矩定理、动能定理、动静法。每章都配有大量的例题、复习思考题与习题，并在书后给出了习题参考答案。

篇2：工程力学习题答案

°表示。对

《工程力学》

√）

√）

×）

×）

×）

×）（×）

√）

√）

√）

×）

×）

×）

×）

×）

×）

√）

√）

×）（（（（（（（（（（（（（（（（（（《工程力学》

《工程力学》

FX0得：FN1＝－F（压力）

《工程力学》

篇3：工程力学习题答案

关键词：工程力学,梁的弯曲,MATLAB

在工程力学习题教学中, 有些习题解题方法明确, 但是求解的过程中遇到了方程试根的问题。因为要么有些方程不好解, 要么有些方程或不等式没有确定的解, 需要试解。对于试根的情况, 如果告诉学生对变量逐个值去试直到找到要求的值, 总感觉解决不彻底。好在随着MATLAB语言的出现这种问题可以得到轻松解决。我们只要了解MATLAB语言的基本知识, 简单编程就可以通过计算机处理迅速找到解。这一方面既熟悉巩固了有关工程力学的内容, 也锻炼了计算机的应用能力, 对学生实践能力的培养和工程计算能力的提高也很有帮助。

下面是教学中遇到的梁的弯曲方面的一个例题, 解题过程比较麻烦, 而且最后一步的求解需要试解, 运算量过大。

例:T形截面铸铁外伸梁的载荷和尺寸如图1, 若已知铸铁的许用拉应力[σt]=30MPa, 许用压应力[σc]=90MPa.

(1) 试校核梁的强度;

(2) 若截面尺寸不变, 试确定许可载荷集度[q];

(3) 若载荷不变, T型截面宽度不变, 板厚不变, 试设计腹板截面的高度。

解: (1) 作梁的弯矩图, 如图2。

截面B有最大负弯矩, MB=-5k N·m, 在x=0.87m处截面D剪力为零, 弯矩有极值, 其值为MD=3.8k N·m。如图3。

(2) 确定中性轴位置。设截面形心到顶边的距离为yc, 取顶边轴z1为参考轴, 如图4。

(3) 计算惯性矩。

(3) 求最大正应力。截面B:上边缘有最大拉应力, 下边缘有最大压应力。

截面D:正弯矩, 可能发生比截面B还要大的拉应力。

(4) 校核强度。由计算结果可知:最大压应力发生在截面B的下边缘, 有:

最大拉应力发生在截面D的下边缘, 有:

可见, 最大压应力满足强度条件, 而最大拉应力不满足强度条件, 需要修改设计。

(5) 确定许可载荷[q]。

支座A处的约束力:∑MB=0, FA=0.873q

截面D处的弯矩:

若截面尺寸不变, 由截面D下边缘的最大拉应力的强度条件, 有:

可得许可载荷集度为:

(6) 设计腹板高度。若外载荷集度不变, 仍为q=10k N/m.由截面D下边缘的最大拉应力强度条件, 有:

给定一个腹板高度, 可求出形心位置yc和惯性矩Iz, 由截面高度减yc可得ymax, 从而求出上述比值。经过试算:当h=151mm时,

该题最后一步需要试算, 手算的话, 需要逐值验算, 运算量过大。为了避免时间的不必要浪费, 把主要精力放在方法的掌握上, 利用MATLAB编程解该题则很容易。

先建立力学模型:

由静力学平衡求得支座A约束力为FA=8.7k N (↑)

列出梁的剪力方程、弯矩方程:

利用MATLAB绘图找出弯矩最大的危险截面, 分别求出弯矩的极值MD=3.8k N·m, MB=-5k N·m。

由梁的力学特性知道D截面下边缘是危险点, 确定腹板高度的具体解法是:

MATLAB程序如下:

绘剪力图

绘弯矩图

找弯矩极值点

确定腹板高度

需要说明的是:利用MATLAB语言解工程力学题固然很好, 但教学过程中还必须让学生明白, 掌握基本的力学原理会建立数学模型才是根本。否则, 再强的编程能力也是无用的。

参考文献

[1] .苏金明, 阮沈勇编著.MATLAB实用教程[M].北京:电子工业出版社, 2008, 第2版

[2] .艾冬梅等编著.MATLAB与数学实验[M].北京:机械工业出版社, 2010

篇4：《理论力学》习题课教学的探讨

【关键词】理论力学 习题课 一题多解。

【中图分类号】C42【文献标识码】A【文章编号】1673-8209(2010)05-0-01

理论力学是学习物体机械运动一般规律的专业基础课程,是学习后续课程、工程技术的基础。这门课程的特点是结构严谨,逻辑性强,定理公式多,方法灵活,不易学。依据笔者任教这门课程的经验,学生普遍存在“上课听得懂,课下不会做”的现象,这个问题如何解决,是每一个力学教师共同的探索目标。下面笔者就如何上好习题课这个角度来解决这个问题。

1 理论力学中习题课的重要性

随着教学的改革,理论力学减少到现在的70学时,但是教学内容和改革前所差无几,理论力学按内容模块化、结构框架化的思路,分为“静力学、运动学、动力学”三个模块。习题课共计16个学时占总学时的22.8%,分配如下:

静力学部分共设两次习题课:受力分析、物系平衡;运动学设两次习题课:点的合成运动、运动学综合应用;动力学四次习题课:动力学普遍定理、达朗贝尔原理、虚位移原理及拉格朗日方程的应用。

从以上可以看出习题课涵盖了理论力学所有的重点、难点内容,所以如何在有限的学时内上好习题课,最大程度地提高学生对知识的理解能力和应用能力,提高分析问题和解决问题的能力,具有不可替代的作用。同时对提高课程教学质量也有着重要的作用。

2 理论力学一题多解的现象

理论力学中存在一个普遍的现象就是一题多解的问题,可以分为三种类型:一是用同一个定理,同样的数学方法,不同的解题思路,比如物系平衡问题,可以选择不同的研究对象和平衡方程来求解,通常这类问题选取研究对象的顺序不同,但是列的方程是一样的。二是用同一个定理但是用不同的数学方法,比如运动学中研究点的运动可以用直角坐标法,也可以用自然法,通常这种题型应选择数学运算简单、更接近力学的方法来求解。三是用不同的定理,比如动力学问题可以用动力学普遍定理、动静法、拉格朗日方程等,通常这种题型学生都感觉难度太大,因为对具体问题选择那一个方法来求解远比选择那一个研究对象难度大的多。

这三种类型的问题包含了理论力学大部分的问题,难点可以分为两种:

一是取研究对象。涉及到这类问题中,包括物系平衡问题、点的合成运动、运动学综合应用、动静法的应用。其中物系平衡问题、动静法应用这两种问题中,恰当选取研究对象是解决问题的关键。在讲解过程中,我们给同学们将解题要点总结如下:围绕一个核心,遵循两条原则。物系平衡中核心是要求解的未知力,两个原则是一个方程尽可能只包含一个未知力,能够不用的平衡方程最好不用;动静法中核心是需要求解的未知量,两个原则是研究对象最少,方程个数最少。然后在课下给学生留小论文作为作业,研究分析这两种问题的共同点和不同点。学生只能在掌握这两类问题的基础上,才能够系统的做好这个小论文,这样既使学生掌握了这两类问题,又提高了学生分析问题和总结问题的能力。而在点的合成运动和运动学综合应用时,关键步骤在于正确地分析运动过程:从待求量开始→运动传递链→已知量,然后确定需要研究对象的次序。这就要求学生熟知运动机构,在刚体平面运动问题中常见的机构分为四种:四连杆机构,椭圆规机构、曲柄滑块机构、圆轮纯滚动;合成运动问题中传递形式有:滑块、套筒、销钉、接触等。对于综合问题,要搞清机构是由哪些基本形式及机构组成,最后能够化复杂问题为多个简单问题来分析解答。

二是取合适的定理、方法。包括动力学普遍定理的综合应用、虚位移原理及拉格朗日方程。这些问题中,研究对象通常都是整个系统,首先要围绕所要求解的未知量,分析哪一种方法求解的思路更简单方便,然后选择哪一个定理。在动力学问题中,一些简单的问题可用不同的定理求解,根据问题的已知条件和待求量,选择适当的定理求解。避开那些无关的未知量,直接求得需求的结果。对比较复杂的问题,则需要多个定理联合求解,这类问题有一个规律:就是通常可以用动能定理来求解出运动量,然后在此基础上再求解其它未知量。

而在虚位移原理中,一般存在的问题是选择解析法还是几何法来求解,具体问题中哪一种方法更好,没有一个绝对的标准,需要通过举例分析,引导学生总结归纳。

3 上好理论力学习题课的方法

首先,习题课中所选习题要有代表性。最好一个题目能够代表一类问题,然后做练习或者作业时,要求学生注意归纳属于什么类型。比如达朗贝尔原理的应用中,所涉及到的题目按照解题步骤可以分为三类:直接用动静法;先用动能定理再用动静法求解;用动静法联立求解。所以在达朗贝尔应用的习题课中,首先讲解三个按照以上分类的习题,再总结类型,然后让学生做练习,通常是先做完题目,再由学生自己总结所做的练习属于类型,这样习题课可以做到求质不求量使学生更好的掌握所学内容。

第二,每一次习题课,要针对具体问题总结解题过程。然后引导学生思考哪一步是重点,每一步都需要注意什么。比如虚位移原理的习题课,解题步骤可以总结为:

①选整体为研究对象;

②画出主动力的受力图;

③给出虚位移之间的关系;

④算主动力虚功列出方程

⑤解方程求出未知量。

在这五个步骤中第①步中,要注意研究对象是整体,第②步要注意受力图只画主动力,第③步,要分析用几何法,还是解析法来求解虚位移,这一个步骤也是虚位移问题中的难点、重点,必须讲清不同方法的特点及注意事项,而第④步,就是本章中学习的新的内容——列虚功方程。

第三,习题课中可以让学生对一些题目的错误求解进行会诊。学生一般对错误的原因印象更为深刻,比如受力分析的习题课时,可以首先让学生做参考文献[1]P21思考题3、4、5,然后由学生总结这些错误的分类,进而掌握受力分析时首要的是注意:一定要根据约束类型画约束力。

以上是笔者在理论力学的教学中对于习题课的一些体会,不足之处还希望广大同行批评指正。

参考文献

[1] 哈尔滨工业大学理论力学教研室.《理论力学》第7版(Ⅰ、Ⅱ)[M].北京:高等教育出版社,2009.07.

[2] 冷水根,张可.理论力学习题课的一种尝试[J].力学与实践,2003,25(3):65-66.

篇5：材料力学课后习题答案

3、试述低应力脆断的原因及防止方法。

答： 低应力脆断的原因：在材料的生产、机件的加工和使用过程中产生不可避免的宏观裂纹，从而使机件在低于屈服应力的情况发生断裂。 预防措施：将断裂判据用于机件的设计上，在给定裂纹尺寸的情况下，确定机件允许的最大工作应力，或者当机件的工作应力确定后，根据断裂判据确定机件不发生脆性断裂时所允许的最大裂纹尺寸。

4、为什么研究裂纹扩展的力学条件时不用应力判据而用其它判据?

答：由41可知，裂纹前端的应力是1个变化复杂的多向应力，如用它直接建立裂纹扩展的应力判据，显得十分复杂和困难;而且当r→0时，不论外加平均应力如何小，裂纹尖端各应力分量均趋于无限大，构件就失去了承载能力，也就是说，只要构件一有裂纹就会破坏，这显然与实际情况不符。这说明经典的强度理论单纯用应力大小来判断受载的裂纹体是否破坏是不正确的。因此无法用应力判据处理这一问题。因此只能用其它判据来解决这一问题。

5、试述应力场强度因子的意义及典型裂纹K?的表达式

答：几种裂纹的K?表达式，无限大板穿透裂纹：K???a;有限宽板穿透裂纹：

aaK??1.2?a;有限宽板单边直裂纹：K???af();K???af()当b?a时，bb

受弯单边裂纹梁：K??6Maf();无限大物体内部有椭圆片裂纹，远处受3/2(b?a)b

2均匀拉伸：K???a

?a2(sin??2cos2?)1/4;无限大物体表面有半椭圆裂纹，远c

1.1?a。 ?处均受拉伸：A点的K??

7、试述裂纹尖端塑性区产生的原因及其影响因素。

答：机件上由于存在裂纹，在裂纹尖端处产生应力集中，当σy趋于材料的屈服应力时，在裂纹尖端处便开始屈服产生塑性变形，从而形成塑性区。

影响塑性区大小的因素有：裂纹在厚板中所处的位置，板中心处于平面应变状态，塑性区较小;板表面处于平面应力状态，塑性区较大。但是无论平面应力或平面应变，塑性区宽度总是与(KIC/σs)2成正比。

13、断裂韧度KIC与强度、塑性之间的关系：总的来说，断裂韧度随强度的升高而降低。

15、影响KIC的冶金因素：内因：1、学成分的影响;2、集体相结构和晶粒大小的影响;3、杂质及第二相的影响;4、显微组织的影响。外因：1、温度;2、应变速率。

16.有1大型板件，材料的σ0.2=1200MPa，KIc=115MPa*m1/2，探伤发现有20mm长的横向穿透裂纹，若在平均轴向拉应力900MPa下工作，试计算KI及塑性区宽度R0，并判断该件是否安全?

解：由题意知穿透裂纹受到的应力为σ=900MPa

根据σ/σ0.2的值，确定裂纹断裂韧度KIC是否休要修正

因为σ/σ0.2=900/1200=0.75>0.7，所以裂纹断裂韧度KIC需要修正 对于无限板的中心穿透裂纹，修正后的KI为：

?a9000.01?KI???168.1322)?0?0.177(0.75) ( .177(?/?s)1?KI?塑性区宽度为：??R0???比较K1与KIc： 22???s?

因为K1=168.13(MPa*m1/2)

KIc=115(MPa*m1/2)

所以：K1>KIc ，裂纹会失稳扩展 , 所以该件不安全。

17.有一轴件平行轴向工作应力150MPa，使用中发现横向疲劳脆性正断，断口分析表明有25mm深度的表面半椭圆疲劳区，根据裂纹a/c可以确定υ=1，测试材料的σ0.2=720MPa ，试估算材料的断裂韧度KIC为多少?

解： 因为σ/σ0.2=150/720=0.208<0.7，所以裂纹断裂韧度KIC不需要修正 对于无限板的中心穿透裂纹，修正后的KI为：

KIC=Yσcac1/2

对于表面半椭圆裂纹，Y=1.1/υ=1.1

?3?150?25?10所以，KIC=Yσcac1/2=1.1=46.229(MPa*m1/2)

第五章 金属的疲劳

1.名词解释;

应力幅σa:σa=1/2(σmax-σmin) p95/p108

平均应力σm：σm=1/2(σmax+σmin) p95/p107

应力比r:r=σmin/σmax p95/p108

疲劳源：是疲劳裂纹萌生的策源地，一般在机件表面常和缺口，裂纹，刀痕，蚀坑相连。P96

疲劳贝纹线：是疲劳区的最大特征，一般认为它是由载荷变动引起的，是裂纹前沿线留下的弧状台阶痕迹。 P97/p110

疲劳条带：疲劳裂纹扩展的第二阶段的断口特征是具有略程弯曲并相互平行的沟槽花样，称为疲劳条带(疲劳辉纹，疲劳条纹) p113/p132

驻留滑移带：用电解抛光的方法很难将已产生的表面循环滑移带去除，当对式样重新循环加载时，则循环滑移带又会在原处再现，这种永留或再现的循环滑移带称为驻留滑移带。 P111

ΔK:材料的疲劳裂纹扩展速率不仅与应力水平有关，而且与当时的裂纹尺寸有关。ΔK是由应力范围Δσ和a复合为应力强度因子范围，ΔK=Kmax-Kmin=Yσmax√a-Yσmin√a=YΔσ√a. p105/p120

da/dN:疲劳裂纹扩展速率，即每循环一次裂纹扩展的距离。 P105

疲劳寿命：试样在交变循环应力或应变作用下直至发生破坏前所经受应力或应变的循环次数 p102/p117

过载损伤：金属在高于疲劳极限的应力水平下运转一定周次后，其疲劳极限或疲劳寿命减小，就造成了过载损伤。 P102/p117

2.揭示下列疲劳性能指标的意义

疲劳强度σ-1，σ-p,τ-1,σ-1N, P99,100,103/p114

σ-1: 对称应力循环作用下的弯曲疲劳极限;σ-p:对称拉压疲劳极限;τ-1:对称扭转疲劳极限;σ-1N:缺口试样在对称应力循环作用下的疲劳极限。 疲劳缺口敏感度qf P103/p118

金属材料在交变载荷作用下的缺口敏感性，常用疲劳缺口敏感度来评定。Qf=(Kf-1)/(kt-1).其中Kt为理论应力集中系数且大于一，Kf为疲劳缺口系数。 Kf=(σ-1)/(σ-1N)

过载损伤界 P102,103/p117

由实验测定，测出不同过载应力水平和相应的开始降低疲劳寿命的应力循环周次，得到不同试验点，连接各点便得到过载损伤界。

疲劳门槛值ΔKth P105/p120

在疲劳裂纹扩展速率曲线的Ⅰ区，当ΔK≤ΔKth时，da/aN=0,表示裂纹不扩展;只有当ΔK>ΔKth时，da/dN>0,疲劳裂纹才开始扩展。因此，ΔKth是疲劳裂纹不扩展的ΔK临界值，称为疲劳裂纹扩展门槛值。

4.试述疲劳宏观断口的特征及其形成过程(新书P96~98及PPT，旧书P109~111) 答：典型疲劳断口具有3个形貌不同的区域疲劳源、疲劳区及瞬断区。

(1) 疲劳源是疲劳裂纹萌生的策源地，疲劳源区的光亮度最大，因为这里在整

个裂纹亚稳扩展过程中断面不断摩擦挤压，故显示光亮平滑，另疲劳源的贝纹线细小。

(2) 疲劳区的疲劳裂纹亚稳扩展所形成的断口区域，是判断疲劳断裂的重要特

征证据。特征是：断口比较光滑并分布有贝纹线。断口光滑是疲劳源区域的延续，但其程度随裂纹向前扩展逐渐减弱。贝纹线是由载荷变动引起的，如机器运转时的开动与停歇，偶然过载引起的载荷变动，使裂纹前沿线留下了弧状台阶痕迹。

(3) 瞬断区是裂纹最后失稳快速扩展所形成的断口区域。其断口比疲劳区粗

糙，脆性材料为结晶状断口，韧性材料为纤维状断口。

6.试述疲劳图的意义、建立及用途。(新书P101~102，旧书P115~117)

答：定义：疲劳图是各种循环疲劳极限的集合图，也是疲劳曲线的另1种表达形式。

意义：很多机件或构件是在不对称循环载荷下工作的，因此还需要知道材料的不对称循环疲劳极限，以适应这类机件的设计和选材的需要。通常是用工程作图法，由疲劳图求得各种不对称循环的疲劳极限。

1、?a?

?m疲劳图

建立：这种图的纵坐标以?a表示，横坐标以?m表示。然后，以不同应力比r条

件下将?max表示的疲劳极限?r分解为?a和?m，并在该坐标系中作ABC曲线，即

1?a(?max??min)1?r为?a??m疲劳图。其几何关系为：tan?? ???m(?max??min)1?r2

(用途)：我们知道应力比r，将其代入试中，就可以求得tan?和?，而后从坐标原点O引直线，令其与横坐标的夹角等于?值，该直线与曲线ABC相交的交点B便是所求的点，其纵、横坐标之和，即为相应r的疲劳极限?rB，?rB??aB??mB。 2、?max(?min)??m疲劳图

建立：这种图的纵坐标以?max或?min表示，横坐标以?m表示。然后将不同应力

比r下的疲劳极限，分别以?max(?min)和?m表示于上述坐标系中，就形成这种疲劳图。几何关系为：tan???max2?max2 ???m?max??min1?r

(用途)：我们只要知道应力比r,就可代入上试求得tan?和?，而后从坐标原点O引一直线OH，令其与横坐标的夹角等于?，该直线与曲线AHC相交的交点H的纵坐标即为疲劳极限。

8.试述影响疲劳裂纹扩展速率的主要因素。(新书P107~109，旧书P123~125)

dac(?K)n

?答：1、应力比r(或平均应力?m)的影响：Forman提出： dN(1?r)Kc??K

残余压应力因会减小r,使

因会增大r，使da降低和?Kth升高，对疲劳寿命有利;而残余拉应力dNda升高和?Kth降低，对疲劳寿命不利。 dN

2、过载峰的影响：偶然过载进入过载损伤区内，使材料受到损伤并降低疲劳寿命。但若过载适当，有时反而是有益的。

da3、材料组织的影响：①晶粒大小：晶粒越粗大，其?Kth值越高，越低，对dN

疲劳寿命越有利。②组织：钢的含碳量越低，铁素体含量越多时，其?Kth值就越

高。当钢的淬火组织中存在一定量的残余奥氏体和贝氏体等韧性组织时，可以提

da高钢的?Kth，降低。③喷丸处理：喷丸强化也能提高?Kth。 dN

9.试述疲劳微观断口的主要特征。

答：断口特征是具有略呈弯曲并相互平行的沟槽花样，称疲劳条带(疲劳条纹、疲劳辉纹)。疲劳条带是疲劳断口最典型的微观特征。滑移系多的面心立方金属，其疲劳条带明显;滑移系少或组织复杂的金属，其疲劳条带短窄而紊乱。 疲劳裂纹扩展的塑性钝化模型(Laird模型)：

图中(a),在交变应力为零时裂纹闭合。

图(b)，受拉应力时，裂纹张开，在裂纹尖端沿最大切应力方向产生滑移。

图(c),裂纹张开至最大，塑性变形区扩大，裂纹尖端张开呈半圆形，裂纹停止扩展。由于塑性变形裂纹尖端的应力集中减小，裂纹停止扩展的过程称为“塑性钝化”。

图(d)，当应力变为压缩应力时，滑移方向也改变了，裂纹尖端被压弯成“耳状”切口。

图(e)，到压缩应力为最大值时，裂纹完全闭合，裂纹尖端又由钝变锐，形成一对尖角。

12.试述金属表面强化对疲劳强度的影响。

答：表面强化处理可在机件表面产生有利的残余压应力，同时还能提高机件表面的强度和硬度。这两方面的作用都能提高疲劳强度。

表面强化方法，通常有表面喷丸、滚压、表面淬火及表面化学热处理等。

(1) 表面喷丸及滚压

喷丸是用压缩空气将坚硬的小弹丸高速喷打向机件表面，使机件表面产生局部形变硬化;同时因塑变层周围的弹性约束，又在塑变层内产生残余压应力。 表面滚压和喷丸的作用相似，只是其压应力层深度较大，很适于大工件;而且表面粗糙度低，强化效果更好。

(2) 表面热处理及化学热处理

他们除能使机件获得表硬心韧的综合力学性能外，还可以利用表面组织相变及组织应力、热应力变化，使机件表面层获得高强度和残余压应力，更有效地提高机件疲劳强度和疲劳寿命。

13.试述金属的硬化与软化现象及产生条件。

金属材料在恒定应变范围循环作用下，随循环周次增加其应力不断增加，即为循环硬化。金属材料在恒定应变范围循环作用下，随循环周次增加其应力逐渐减小，即为循环软化。

篇6：量子力学教程课后习题答案

第一章

量子理论基础

1．1

由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即

T=b（常量）；

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解

根据普朗克的黑体辐射公式，（1）

以及，（2），（3）

有

这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求

对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具体如下：

如果令x=，则上述方程为

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有

把x以及三个物理常量代入到上式便知

这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2

在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

解

根据德布罗意波粒二象性的关系，可知

E=h，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么

如果我们考察的是相对性的光子，那么

E=pc

注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有

在这里，利用了

以及

最后，对

作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1．3

氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。

解

根据，知本题的氦原子的动能为

显然远远小于这样，便有

这里，利用了

最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为

据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

1．4

利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H=10T，玻尔磁子，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

解

玻尔——索末菲的量子化条件为

其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。

（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有

这样，便有

这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据

可解出

这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有

为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；

这样，便有

这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分

这样，便有

（1）

这里

=2θ，这样，就有

（2）

根据式（1）和（2），便有

这样，便有

其中

最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。

（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有

这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为

又因为动能耐，所以，有

其中，是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且

具体到本题，有

根据动能与温度的关系式

以及

可知，当温度T=4K时，当温度T=100K时，显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。

1．5

两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？

解

关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有

此外，还有

于是，有

尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。

第二章波

函数和薛定谔方程

2.1证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令

可见无关。

2.2

由下列定态波函数计算几率流密度：

从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点)

传播的球面波。

解：

在球坐标中

同向。表示向外传播的球面波。

可见，反向。表示向内(即向原点)

传播的球面波。

补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？

∴波函数不能按方式归一化。

其相对位置几率分布函数为

表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3

一粒子在一维势场

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：无关，是定态问题。其定态S—方程

在各区域的具体形式为

Ⅰ：①

Ⅱ：②

Ⅲ：③

由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须

即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为

令，得

其解为

④

根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得

⑤

⑥

⑤

⑥

∴

由归一化条件

得

由

可见E是量子化的。

对应于的归一化的定态波函数为

#

2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是

证：

（2.6-14）

由归一化，得

∴归一化常数

#

2.5

求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

解：

令，得

由的表达式可知，时。显然不是最大几率的位置。

可见是所求几率最大的位置。

#

2.6

在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

①

将式中的代换，得

②

利用，得

③

比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演

而得其对方，由①经反演，可得③，④

由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。

⑤

④乘

⑤，得

可见，当时，具有偶宇称，当时，具有奇宇称，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#

2.7

一粒子在一维势阱中

运动，求束缚态()的能级所满足的方程。

解法一：粒子所满足的S-方程为

按势能的形式分区域的具体形式为

Ⅰ：

①

Ⅱ：

②

Ⅲ：

③

整理后，得

Ⅰ：

④

Ⅱ：.⑤

Ⅲ：

⑥

令

则

Ⅰ：

⑦

Ⅱ：.⑧

Ⅲ：

⑨

各方程的解为

由波函数的有限性，有

因此

由波函数的连续性，有

整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得

解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须

∵

∴

即

为所求束缚态能级所满足的方程。#

解法二：接（13）式

#

解法三：

(11)-(13)

(10)+(12)

(11)+(13)

(12)-(10)

（b）

k

a

ctgk

k)

（）

（）

（）

（1

=

Þ

+

令

则

合并：

利用

#

解法四：（最简方法-平移坐标轴法）

Ⅰ：

（χ≤0）

Ⅱ：

（0＜χ＜2）

Ⅲ：

（χ≥2）

束缚态＜＜

因此

由波函数的连续性，有

(7)代入(6)

利用(4)、(5)，得

#

2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为

求束缚态的能级所满足的方程。

解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。

定态S-方程为

对各区域的具体形式为

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：

Ⅳ：

对于区域Ⅰ，粒子不可能到达此区域，故

而

.①

②

③

对于束缚态来说，有

∴

④

⑤

⑥

各方程的解分别为

由波函数的有限性，得

∴

由波函数及其一阶导数的连续，得

∴

⑦

⑧

⑨

⑩

由⑦、⑧，得

(11)

由

⑨、⑩得

(12)

令，则①式变为

联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须

把代入即得

此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。

#

附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。

此即为所求方程。

#

补充练习题一

1、设，求A

=？

解：由归一化条件，有

利用

∴

#

2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。

解：基态能量为

设基态的经典界限的位置为，则有

∴

在界限外发现振子的几率为)

（2

0

0

0

x

a

x

a

x

e

dx

e

dx

e

a

a

a

p

a

y

p

a

p

a

w

¥

¥

=

+

=

ò

ò

式中为正态分布函数

当。查表得

∴

∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。

#

3、试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。

证：线性谐振子的S-方程为

①

把代入上式，有

把代入①式左边，得

当时，左边

=

右边。

n

=

3，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为。

第三章

量子力学中的力学量

3.1

一维谐振子处在基态，求：

(1)势能的平均值；

(2)动能的平均值；

(3)动量的几率分布函数。

解：(1)

(2)

或

(3)

动量几率分布函数为

#

3.2.氢原子处在基态，求：

(1)r的平均值；

(2)势能的平均值；

(3)最可几半径；

(4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。

解：(1)

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为

令

当为几率最小位置

∴

是最可几半径。

(4)

(5)

动量几率分布函数

#

3.3

证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是

证：电子的电流密度为

在球极坐标中为

中的和部分是实数。

∴

可见，#

3.4

由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。

(1)求一圆周电流的磁矩。

(2)证明氢原子磁矩为

原子磁矩与角动量之比为

这个比值称为回转磁比率。

解：(1)

一圆周电流的磁矩为

（为圆周电流，为圆周所围面积）

(2)氢原子的磁矩为

在单位制中

原子磁矩与角动量之比为

#

3.5

一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：

(1)

转子绕一固定轴转动：

(2)

转子绕一固定点转动：

解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有

哈米顿算符

其本征方程为

(无关，属定态问题)

令，则

取其解为

(可正可负可为零)

由波函数的单值性，应有

即

∴m=

0，±1，±2，…

转子的定态能量为

(m=

0，±1，±2，…)

可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。

定态波函数为

A为归一化常数，由归一化条件

∴

转子的归一化波函数为

综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为

无关，属定态问题，其本征方程为

(式中设为的本征函数，为其本征值)

令，则有

此即为角动量的本征方程，其本征值为

其波函数为球谐函数

∴

转子的定态能量为

可见，能量是分立的，且是重简并的。

#

3.6

设t=0时，粒子的状态为

求此时粒子的平均动量和平均动能。

解：

可见，动量的可能值为

动能的可能值为

对应的几率应为

上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

∴

∴

动量的平均值为

#

3.7

一维运动粒子的状态是

其中，求：

(1)粒子动量的几率分布函数；

(2)粒子的平均动量。

解：(1)先求归一化常数，由

∴

动量几率分布函数为

(2)

#

3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数

描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为

动量的几率分布函数为

先把归一化，由归一化条件，∴

∴

∴

3.9.设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值

角动量平方有确定值为

角动量Z分量的可能值为

其相应的几率分别为，其平均值为

3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

求粒子的能级和定态函数。

解：据题意，在的区域，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数

()

由于在的区域内。只求角动量为零的情况，即，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与有关，而与无关。设为，则粒子的能量的本征方程为

令，得

其通解为

波函数的有限性条件知，有限，则

A

=

0

∴

由波函数的连续性条件，有

∵

∴

∴

其中B为归一化，由归一化条件得

∴

∴

归一化的波函数

#

3.11.求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系

解：

3.12

粒子处于状态

式中为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系

解：①先把归一化，由归一化条件，得

∴

/

∴

是归一化的②

动量平均值为

③

（奇被积函数）

#

3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。

解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为

由测不准关系

得

对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符为奇宇称，所以

又有

所以

可近似取

能量平均值为

作为数量级估算可近似取

则有

基态能量应取的极小值，由

得

代入，得到基态能量为

补充练习题二

1．试以基态氢原子为例证明：的本征函数，而是的本征函数。

可见，可见，是的本征函数。

2．证明：的氢原子中的电子，在的方向上被发现的几率最大。

解：

∴的电子，其

∴

当时

为最大值。即在方向发现电子的几率最大。

在其它方向发现电子的几率密度均在～之间。

3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为的球壳内被发现的几率最大(为第一玻尔轨道半径)。

证：①对1s态，令

易见，当不是最大值。

为最大值，所以处于1s态的电子在处被发现的几率最大。

②对2p态的电子

令

易见，当为最小值。

∴

为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。

③对于3d态的电子

令

易见，当为几率最小位置。

∴

为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。

4.当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为

其中，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。

解：设电场强度为，方向沿χ轴负向，则总势能为，势能曲线如图所示。则透射系数为

式中为电子能量。，由下式确定

∴

令，则有

∴透射系数

5．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

①；

②；

③

解：①是线性算符

②不是线性算符

③是线性算符

6．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

7、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？

①，②，③，④，⑤

解：①

∴

不是的本征函数。

②

∴

不是的本征函数，其对应的本征值为1。

③

∴

可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。

④

∴

是的本征函数，其对应的本征值为－1。

⑤

∴

是的本征函数，其对应的本征值为－1。

8、试求算符的本征函数。

解：的本征方程为

（的本征值）

9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。

解：

方程（分区域）：

Ⅰ：

∴

Ⅲ：

∴

Ⅱ：

令

标准条件：

∴

∵

∴

取，即

∴

∴

∴

粒子的波函数为

粒子的能级为

由归一化条件，得

∴

∴

粒子的归一化波函数为

10、证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为的球壳处的几率最（为第一玻尔轨道半径）。

证：

令，则得

∴为几率最小处。

∴为几率最大处。

令，则得

∴

为最大几率位置。

当

时，∴为几率最小位置。

令，得

同理可知

为几率最小处。

为几率最大处。

11、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

解：

令，得，∴

为几率最小处。，∴

为几率最大处。

6．设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求

①的平均值；

②势能的平均值。

解：①

②

12、粒子在势能为的场中运动。证明对于能量的状态，其能量由下式决定：

（其中）

证：方程

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：

令

则得

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：

其通解为

利用标准条件，由有限性知

∴

由连续性知

①

②

③

④

由①、②，得

⑤

由③、④，得

⑥

而

把⑤、⑥代入，得

整理，得

令

∴

由，得

###

13、设波函数，求

解：

14、说明：如果算符和都是厄米的，那么

(+)也是厄米的证：

∴

+也是厄米的。

15、问下列算符是否是厄米算符：

①

②

解：①

因为

∴

不是厄米算符。

②

∴

是厄米算符。

##

16、如果算符满足关系式，求证

①

②

证：

①

②

17、求

解：

=

018、解：

=

0

第四章

态和力学量的表象

4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。

解：

#

4.2

求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。

解：基矢：

能量：

对角元：

当时，#

4.3

求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

解：定态薛定谔方程为

即

两边乘以，得

令

跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

式中为归一化因子，即

#

4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

解：

#

4.5

设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为

求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。

解：的久期方程为

∴的本征值为的本征方程

其中设为的本征函数共同表象中的矩阵

当时，有

∴

由归一化条件

取

对应于的本征值0。

当时，有

∴

由归一化条件

取

∴归一化的对应于的本征值

当时，有

∴

由归一化条件

取

∴归一化的对应于的本征值

由以上结果可知，从的共同表象变到表象的变换矩阵为

∴对角化的矩阵为

按照与上同样的方法可得的本征值为的归一化的本征函数为

从的共同表象变到表象的变换矩阵为

利用S可使对角化

#

4.6求连续性方程的矩阵表示

解：连续性方程为

∴

而

∴

写成矩阵形式为

第五章

微扰理论

5.1

如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对的区域有影响，对的区域无影响。据题意知

其中是不考虑这种效应的势能分布，即

为考虑这种效应后的势能分布，在区域，在区域，可由下式得出，由于很小，所以，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态）

∴，故。

∴

#

5.2

转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

解：取的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为

取，则

由于电场较小，又把视为微扰，用微扰法求得此问题。的本征值为

本征函数为的基态能量为，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知

#

5.3

设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。

解：由微扰公式得

得

∴

能量的二级修正值为

#

5.4设在时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为，及均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻跃迁到电离态的几率。

解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为

②时，氢原子处于基态，其波函数为

在时刻，微扰

其中

在时刻跃迁到电离态的几率为

对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，O

θ

α

x

y

z（）

其中

取电子电离后的动量方向为Z方向，取、所在平面为面，则有

∴

#

5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。

解：对于2p态，可取三值，其相应的状态为

氢原子处在2p态的几率也就是从跃迁到的几率之和。

由

(取方向为Z轴方向)

=

0

=

0

由上述结果可知，∴

当时，其中

#

5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。

解：

由选择定则，知是禁戒的故只需计算的几率

而

2p有三个状态，即

(1)先计算z的矩阵元

(2)计算x的矩阵元

(3)计算的矩阵元

(4)计算

#

5.7

计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。

解：

若，则

#

5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则

解：

由

时，即选择定则为

#

补充练习三

1、一维无限深势阱中的粒子受到微扰

作用，试求基态能级的一级修正。

解：基态波函数（零级近似）为

∴能量一级修正为

2、具有电荷为的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为。其波长较长，求：

①

原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。

②讨论跃迁的选择定则。

（提示：利用积分关系

答：①

②仅当，所以谐振子的偶极跃迁的选择定则是）

解：①

∴

(对于一维线性谐振子～)

其中

一维线性谐振子的波函数为

∴

∴

②

跃迁几率，当时的跃迁为禁戒跃迁。

可见，所讨论的选择定则为。

#

3、电荷e的谐振子，在时处于基态，时处于弱电场之中(为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。

解：取电场方向为轴正方向，则有

当经过很长时间以后，即当时。

∴

实际上在以后即可用上述结果。

#

第七章

自旋与全同粒子

7.1.证明：

证：由对易关系

及

反对易关系，得

上式两边乘，得

∵

∴

7.2

求在自旋态中，和的测不准关系：

解：在表象中、、的矩阵表示分别为

∴

在态中

讨论：由、的对易关系

[，]

要求

①

在态中，∴

可见①式符合上式的要求。

7.3.求的本征值和所属的本征函数。

解：的久期方程为

∴的本征值为。

设对应于本征值的本征函数为

由本征方程，得

由归一化条件，得

即

∴

对应于本征值的本征函数为

设对应于本征值的本征函数为

由本征方程

由归一化条件，得

即

∴

对应于本征值的本征函数为

同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为

7.4

求自旋角动量方向的投影

本征值和所属的本征函数。

在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？

解：在表象，的矩阵元为

其相应的久期方程为

即

所以的本征值为。

设对应于的本征函数的矩阵表示为，则

由归一化条件，得

可见，的可能值为

相应的几率为

同理可求得

对应于的本征函数为

在此态中，的可能值为

相应的几率为

7.5设氢的状态是

①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；

②求总磁矩的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。

解：ψ可改写成从ψ的表达式中可看出的可能值为

0

相应的几率为的可能值为

相应的几率为

7.6

一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为，则体系可能的状态为

7.7

证明和组成的正交归一系。

解：

=0

同理可证其它的正交归一关系。

7.8

设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。

解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程

考虑到，令

其中，对于基态，对于沿χ方向的第一激发态，两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为

而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即

和

综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即

独态：

三重态：

主要参考书：

[1]

周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979

[2]

张宏宝编