高数复习题一

关键词： 高数 复习题 存在 习题

高数复习题一（精选7篇）

篇1：高数复习题一

第一学期《工科数学》期末考试复习提纲

一、基本概念要求

（1）理解并熟练掌握函数的四种特性，即单调性、奇偶性、有界性和周期性；

（2）熟悉分段定义函数；

（3）理解极限的εN,εδ,εX定义，理解极限的唯一性、有界性、保号性；

（4）理解无穷小的概念、等价无穷小的性质；

（5）理解极限存在的两个准则并会应用这两个准则证明极限的存在性；

（6）理解并熟练掌握函数的连续性定义、间断点的分类；

（7）熟悉闭区间上连续函数的性质

（8）理解导数、左右导数的定义；

（9）理解函数微分的定义及其近似公式；

（10）理解微分中值定理并熟悉三个定理的条件、结论；

（11）熟练掌握函数的单调性与极值、凹凸性与拐点的判定定理和方法；

（12）理解并掌握原函数与不定积分的概念和性质；

（13）理解定积分的定义、定积分存在的必要条件和充分条件；

（14）理解并掌握定积分的性质特别是估值定理和积分中值定理；

（15）理解并掌握变限积分的定义和性质，理解并掌握牛顿—莱布尼兹公式；

（16）理解并掌握定积分应用的元素法；

（17）理解两类广义积分的定义及其敛散性。

二、基本运算和论证能力要求

价无穷小代换、洛比达法则等；（1）熟练掌握求极限的基本方法，如四则运算法则、极限存在法则、两个重要极限、等

（2）熟练掌握求导的基本方法，如复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数的求导、对数求导法、高阶导数等；

（3）熟练掌握分段定义函数在分段点可导性的讨论方法；

（4）能够运用微分中值定理和函数的单调性证明某些不等式，运用微分中值定理证明某

些方程的根的存在性和唯一性；

（5）能够运用导数的知识对函数的性态进行分析，熟练掌握函数图形的描绘；

（6）熟练掌握函数的极值、最大值、最小值问题的求解方法；

（7）熟练掌握不定积分的基本求解方法，特别是第一、二类换元积分法、分部积分法等；

（8）熟练掌握定积分的基本求解方法，熟练掌握变限积分有关问题的求解方法；

（9）熟练掌握定积分的几何应用，特别是在直角坐标系下的面积、体积的计算。

（10）理解并掌握广义积分的定义、审敛和计算方法。

篇2：高数复习题一

一、单项选择题

1．设f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则fx(x0,y0)（）。

A．limf(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)Ｂ．lim x0x0xx

f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)Ｃ．limＤ．lim xx0xx0xx0xx0yy0

2．函数f(x,y)在x,y(x0,y0)处可微是在该处连续的（）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的3．设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,则().Ａ.(x0,y0)为极值点B.(x0,y0)为驻点

C.f(x,y)在(x0,y0)有定义D.(x0,y0)为连续点

4．设f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则f(x,y)在该点().Ａ.极限存在B.连续C.可微D.以上结论均不成 5.若函数f(x, y)在点(x,y)处不连续，则()。

A．limf(x, y)必不存在；B．f(x,y)必不存在； xxyy

C．f(x, y)在点(x,y)必不可微；D．fx(x,y)、fy(x,y)必不存6.fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的（）

A．必要非充分条件；B．充分非必要条件；

C．充分且必要条件；D．既非充分又非必要条件。

7．考虑二元函数f(x, y)的下面4 条性质：

①函数f(x, y)在点(x,y)处连续； ②函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数连续；③函数f(x, y)在点(x,y)处可微； ④函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数存在。则下面结论正确的是（）。

A．②③①B．③②①C．③④①D．③①④。8．下列极限存在的为（）．

x2x11A．limB．limC．limD．limxsin

x0xyx0xyx0xyx0xyy0

y0

y0

y0

x2y

9．二元函数极限lim为（）。

(x,y)(0,0)x4y

2A．0B．;C．2D．不存在 10．设f(x,y)xyex，则fx(1,x)（）。

A．0B．eC．e(x1)D． 1+ex 11．函数zLn(x3y3)在（1，1）处的全微分dz=（）。

A.dxdyB.2(dxdy)C.3(dxdy)D.(dxdy)

2z

12．设zesin3y，则。（）

xy

2x

A．e2xsin3yB．e2xe2xsin3yC．6e2xcos3yD．6e2xsin3y 13．设yxey0,则

dy

()。dx

eyey1xeyxey1A．B.C.D.xey11xeyeyey

14．设函数zfx,y在点（0，0）的某邻域内有定义，且fx0,03，fy0,01，则有（）．

A．dz0,03dxdy．

B．曲面zfx,y在点0,0,f0,0的一个法向量为3,1,1．

C．曲线

zfx,y

在点0,0,f0,0的一个切向量为1,0,3．

y0

zfx,yD．曲线在点0,0,f0,0的一个切向量为3,0,1．

y0

15．设函数 f(x,y)x8y6xy5，则f(x,y)(D)。A．在(0,0)点有极小值B．没有极值

C．在(0,0)点有极大值D．在（1，16．函数fx,y4xyx2y2的极值为（）。）点有极小值2

A．极大值为8B．极小值为0C．极小值为8D．极大值为0 17.函数z2xy在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为（）。A．3B．C． 0D．

5二、填空题

1．函数zln(1x)

yx2xy1的定义域是______________________。

2．极限lim

sinxy

 ＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿。

x2yy0

lim

3．二元函数的极限

(x,y)(0,0)

x2y2cos

。2

2xy

4．设ze

x2y，则dz。

5．设函数zz(x,y)由方程sinx2yzez所确定，则

z

= ______________。x

6．设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)3,fy(0,0)1, 则曲线zf(x,y),在点(0,0,f(0,0))的一个法平面为。

x0

7．设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)2,fy(0,0)5, 则曲线

zf(x,y),在点(0,0,f(0,0))处的切线方程为。

x0

8.若曲面z4x2y2上点P的切平面平行于2x2yz1,则点P的坐标为9．旋转抛物面zxy1在点（2，1，4）处的切平面方程为 10．曲面ze

x2y

2xy3在点(1, 0, 2)处的切平面方程为_________________。

11.曲面 zxy3上点（１,2，２）处的单位切向量为＿________________ 12．求曲线 xt,yt2,zt3在t1时的点的切线方程__。

13．函数uln(xyz)2yz在点(1,3,1)处沿方向l(1,1,1)的方向导数



u

=。l

14．uxyz在点M(5,1,2)处沿点（5，1，2）到点（9，4，14）的方向的方向导数为。

三、解答题 1．

计算极限：。

(x,y)(0,0)lim

(x,y)(0,0)lim

(1,1)

．计算极限：

3．设函数zz(x,y)由方程2xz2xyzln(xyz)所确定，求dz4．设zeusinv，而uxy，vxy求。

zz和．xy

zz2zx

5．设函数zz(x,y)由方程ln所确定，求。,zxxyy

y22z

6．设zf(2xy,),f具有二阶连续偏导数，求。

xxy

7．设函数u(xy)z，求du

(1,2,1)。

8．设x,y均是z的函数,且

xyz0dxdy,。，求22

2dzdzxyz1

8．已知两点A（2，2，2）和B（1，3，0），求向量的模、方向余弦和方向角． 9．求函数zxyx211yy3的极值点和极值。10．求曲线x2y2z26,xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程。11．求函数fx,yx3y33x23y29x的极值．

12．将一个正数a分为三个正数x,y,z之和，当x,y,z为何值时它们的乘积xyz最大.13．求函数zxy1在y1x下的极值。

14．求曲面zxy与平面xy2z2之间的最短距离。15．求表面积为a而体积最大的长方体。

17．求二元函数f(x,y)xxyxy在以O(0,0),A(1,0),B(1,2),E(0,2)为顶点的闭

222

矩形区域D上的最大值和最小值。

19．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费x(万元)及报纸广告费y(万元)之间有如下经验公式：。R(x,y)1514x32y8xy2x210y2，求最优广告策略（利润＝收入－成本）

四、证明题

x2y2

1． 证明极限lim不存在。

(x,y)(0,0)x2y2(xy)2

2．证明极限lim(1

xy

1)x

x2xy

不存在。

xy,x2y2022

3.设函数f(x,y)xy，证明：函数在（0，0）点不连续。

0,x2y20

4．设zx

y)，求证x

zz1y。xy2

5．设zxyyF(u)，而u

xzz，F(u)为可导函数，证明xyzxy yxy

zz

b1。xy

6．设f为可微函数，且xazf(ybz)，证明：a

2u2u2u

7．函数u(xyz),证明：2220。

xyz

2

篇3：对一道高数习题的思考

显然, 由在这两个前提, 我们可以得到:f (0) =0。接下来, 会有这样几种解法:

第一种解法:

所以可得:f' (0) =a。

有这种想法的同学对于函数极限的运算性质不熟悉, 因为在极限的四则运算中, 必须两个极限同时存在时, 和差的极限才等于极限的和差。即:

若lxi→m∆f (x) 和lxi→m∆g (x) 都存在时, 有如下结论:

lxi→m∆ (f (x) ±g (x) ) =lxi→m∆f (x) ±lxi→m∆g (x)

证明非常简单, 任一本高数教材都可以找到证明过程。

但是如果两个极限同时不存在, 和差的极限也有可能存在, 例如lxi→m∞sinx极限不存在, 但是lxi→m∞ (sinx-sin x) =lxi→m∞0=0, 可是这个过程不能这样写:lxi→m∞ (sinx-sin x) =lxi→m∞sinx-lxi→m∞sinx=0。用这个反例可以说明第一种解法是错误的。

第二种解法:

如果对高数中上述四则运算性质比较熟悉的话, 会得出如下结论:因为不一定同时成立, 故f' (0) 不一定存在。若对一般的情形此分析是正确的, 在研究生入学考试中, 这也是经常遇见的问题。但是具体到这个问题就是错误的。正确解法就是我们给出的第三种解法。这种解法很有新意, 关键是得到的级数是收敛的。

第三种解法:正确的解法。

文章编号:1672-3791 (2011) 02 (c) -0196-01

可得:

同理:

由于是等比级数, 且公比q=, 故收敛。所以上式相加, 可得:

右

令n→∞, 因为f (x) 在x=0连续, 有:

通过这道题就告诉我们, 具体问题应该具体分析, 尤其是对于初学者, 应该避免出现前两种错误。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第5版, 上册) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2000 (第2版) .

篇4：高数1复习提纲

题型：选择题、填空题、计算题、应用题、（5420）（5420）（6636）（2816）

证明题（188）

一、函数与极限

1、函数的定义、性质及定义域的求（教材：P214、10；练习册:P1,一；P11一）

2、函数极限的计算：两个重要极限、无穷小的比较。

（教材：P47例5；P561；P58例2；P591；练习册:P5,一、二；P1

2二、三（2）（3）（4）（7））

3、函数的连续性

（教材：P652；P706；P74总习题一

T

;

P7510；练习册:P7,一、三、四；P13五）

4利用闭区间上连续函数的性质证明

（教材：P72例1；P74习题1—10T2、3；

P7613；练习册:P9,一、三、四）

二、微分学

1、导数的概念、几何意义（教材：P866；P8713、14、15；练习册:P142、复合函数求导（教材：P986、11；练习册:P16,一、二）

3、高阶导数（教材：P1031；练习册:P17一（3）（4））

4、中值定理证明（教材：P1346、8、9、10；练习册:P2

3六、七；P32六）

5、用洛必达法则求极限（教材：P138例9；P1381；练习册:P2

4一、二）

6、函数的极值点与拐点的判定（教材：P15412、；P1822

练习册:P26一、二一、四）））

（教材：P162例7；P1638、9；P16415、16；练习册:P28一

7、函数的最大值最小

三、积分学

1、不定积分的概念（教材：P187关系（1）（2）；练习册:P3

3一、二、四

2、求不定积分（换元法、分部积分）（教材：P198例14；P2072

167111324

3032344143）

；P209例2、3、9；P2131，6，2

4练习册：P34二；P35一；P36一，二，三）

3、定积分的计算（教材：P24364练习册：P41

58

;P247例5；P251例11；P2531

一.）

8101819202122,7

12

;

三；P43一；P444、反常积分的计算

（教材：P256例1、2；P258例4；P2601练习册：P4

5一、三；

37

;

P46一910；二347）

5、求平面图形的面积和旋转体的体积（教材：P274例1、2；P278

篇5：数学高数复习题练习题

6.求球面x2 y2 z2 14在点(1，2，3)处的切平面及法线方程.

7. 求曲线x t,y t2,z t3在点(1，1，1)处的切线和法平面方程.

1.计算第九章 xyd ，其中D是由直线y 1、x 2、y x所围成的三角形闭区域.

2. 计算计算

xyd ，其中D是由抛物线yD2 x及直线y x 2所围成的闭区域.

1.判断下列级数的敛散性 第十章

2n 111n!1p(其中为常数)，，，， pnn2n(n 1)n 1n 2n 3n 1nn 12 nn 110n 1

2. 将函数f(x) ex展开成x的级数，并指出这个级数的收敛半径，收敛区间.

篇6：高数(A2)复习提纲

定积分的概念与性质；定积分估值；牛顿一莱布尼茨公式；变上限定积分的导数； 定积分的换元积分法与分部积分法；

计算两类反常积分。

利用定积分计算平面图形面积、旋转体体积、平面曲线弧长；

变量可分离的微分方程解法；齐次微分方程解法；

一阶线性微分方程解法；

二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；

求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面的方程；空间曲线在坐标平面上的投影方程；

求平面方程和直线方程；判定平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的位置关系。

二元函数的极限与连续性的概念；多元函数极限、连续、偏导数和全微分的关系，求全微分；多元复合函数偏导数的求法；求由一个方程确定的隐函数的偏导数； 曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程；

方向导数与梯度；多元函数的极值与最值。

二、三重积分在直角坐标系的计算；二重积分应用（面积）。

第一、二类曲线积分的计算，格林公式；第一、二类曲面积分的计算。（第十一章第6、7小节不做要求）

数项级数收敛的必要条件，收敛的数项级数的基本性质，比较审敛法、比值审敛法；

交错级数的莱布尼茨判别法；绝对收敛与条件收敛的关系；

幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

篇7：高数复习题一

一、利用向量证明恒等式

二、利用向量证明不等式

三、利用向量求函数的极值

四、利用导数证明恒等式

五、利用导数证明不等式