极限运算

关键词：运算教学要求基本了有

极限运算（精选五篇）

极限运算篇1

一、利用极限四则运算法则及初等函数的连续性求极限

1. 当分母不为零时,可根据初等函数的连续性,用直接代入法求极限

例1

2. 当出现“

”型时,可用分解因式法或有理化方法消去零因子,然后求极限

例2

例3

3. 当出现“

”型时,可用分子分母同除以x的最高次方,然后求极限

例4

4. 当出现“∞-∞”型时,可转换成“

”或“

”型,然后求极限

例5

5. 当出现数列求和时,可先利用数列的求和公式将其变形,然后求极限

例6

二、利用两个重要极限求极限

例7

例8

三、利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量这一性质求极限

例9

解因为不存在,故不能直接用极限的四则运算法则求极限,注意到,且,所以

例10.

解因,所以

四、利用变量代换求极限

例11

解令t=arctanx,当x→0时,t0,

所以

例12

解令t=ex-1,则x=ln(t+1),当x→0时,t→0,

所以

五、利用等价无穷小求极限

例13

解当x→0时,有arctanx～x,ln(1+sinx)～sinx,

所以

例14

解当x→0时,有sin6x～6x,sin3x～3x,

所以

参考文献

[1]李林曙,黎诣远.微积分[M].北京:高等教育出版社,2005(7).

数列极限四则运算法则的证明篇2

设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)

首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C.(即常数列的极限等于其本身)

法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证)

法则2的证明: lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn)(法则1)=limAn+(-1)limBn(引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④ 设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε =ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)(法则1)=A-A(引理2)=0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB(法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB(引理

3、引理2)=B×0+A×0+AB(引理1)=AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε

引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可

法则4的证明: 由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对∀ε>0,∃正整数N2和N3,使得: 当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有 |An/Bn-A/B| =|An*B-Bn*A|/|B*Bn| =|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn| ≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε

谈极限运算的方法篇3

一、对分式函数求极限

二、特殊型函数求极限

以上是对极限运算中比较常见的类型做的小总结,对于学生来讲,教师对学过的知识进行归纳总结会帮助学生更有效的掌握知识方法。能促进学生自主解题的能力,达到素质培养的最终意图。

摘要：极限运算是高等数学中很重要的一种运算方式,而且也区分着初等数学与高等数学,作为微积分运算中的基础运算尤其重要。本文主要对不同结构的函数求极限运算时常用的方法做了一些总结和整理,能正确灵活运用各种极限方法进行求解。

洛必达法则在极限运算中的应用篇4

关键词：洛必达法则,极限

极限理论是数学分析的基础理论, 极限概念是数学分析的重要概念, 因此熟悉求极限的方法对学好数学分析具有重要意义.两个无穷小量之比或两个无穷大量之比随着这些无穷小量或无穷大量类型的不同, 可以有完全不同的变化状态.通常把这种类型称为“未定型”.洛必达法则是一种针对“未定型”求极限很有效的方法.用洛必达法则求极限, 主要是通过求极限号下分式分子、分母的导数 (一次或多次) 的方法, 达到消去未定因素的目的.

1.先分离因式, 构造undefined或undefined型, 再利用洛必达法则

将非零极限的因子提到极限号外并求出极限, 再对未定式求极限.

例1 求极限undefined

undefined

2.洛必达法则与重要极限相结合

例2 设g (x) 具有一阶连续导数, g (0) =0, g′ (x) =2, 求undefined

undefined

3.洛必达法则与变量代换相结合

例3 求极限undefined

undefined

故原式undefined

4.洛必达法则与无穷等价代换相结合