《红楼梦》中的对称美

关键词： 对称 数学 引言 科学

《红楼梦》中的对称美（精选六篇）

《红楼梦》中的对称美 篇1

古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说:“哪里有数学, 哪里就有美, 哪里就有发现……”数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现, 是自然美的客观反映, 是科学美的核心。数学美的内容十分丰富, 对称美是数学美的一个重要组成部分, 它普遍存在于数学的各个分支。

一、数学中的对称美

(一) 代数中的对称美。对称是代数中随处可见的现象。譬如, 实数a与-a互为相反数, 复数a+bi与a-bi互为共轭复数, 导数的运算法则, (u+v) '=u'+v', (uv) '=u'v+uv', 这些有着明显的对称性。还有, 原函数与反函数的图像关于直线y=x对称, 偶函数的图像关于y轴对称, 奇函数的图像关于原点对称, 都给人以赏心悦目之感。

例1古人发现的“杨辉三角”, 又称贾宪三角形、帕斯卡三角形, 是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

它具有的性质:

(1) 每行数字左右对称, 由1开始逐渐变大, 然后变小, 回到1。

(2) 第n行的数字个数为n个。

(3) 第n行数字和为2 (n-1) 。

(4) 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角形。

“杨辉三角”形式上所具有的对称美和谐统一, 令人叹为观止。

例2似乎黄金分割点 (在ω=0.618处) 不是对称点, 但若将左端点记为A, 右端点记为B, 黄金分割点记为C, 则, 而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点, 因为, 再进一步, D又是的黄金分割点, C是DB的黄金分割点。由此讨论下去, 可以视为一种连环对称。

(二) 几何中的对称美。几何图形的对称美是对称美最通俗、最直观的解释。在几何图形中, 平行四边形是中心对称的, 等腰三角形是轴对称的, 球形最为特殊, 它既是中心对称, 又是轴对称, 也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说:“一切立体图形中最完美的是球形, 一切平面图形中最完美的是圆。”正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称, 才有了美丽的图案, 有了巧夺天工的建筑, 进而渲染出五彩斑斓的世界。

在几何中, 许多问题的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域的成功运用。在笛卡尔直角坐标系中, 代数方程与几何图形之间建立了一种对称, 使代数与几何化为一体, 达成完美的统一。而在各种曲线方程标准形式的推导中, 更是充分利用了图形本身的对称性。

例3 Couchy总喜欢把空间里过点 (x1, x2, x3) 的直线方程写成对称形式:

其中cosα、cosβ、cosγ为直线的方向余弦;同时, 他把曲面方程z=f (x, y) 写成对称形式F (x, y, z) =0, 这样写不仅美观, 而且便于书写和记忆。

例4在笛卡尔坐标系中, 伯努利双纽线ρ2=a2cos2θ关于坐标原点对称, 坐标原点是具有切线y=±x的拐点。曲线的形状类似于横写的阿拉伯数字8, 更像表示无穷大的符号∞。

二、对称美的应用

(一) 对称美在微分学中的应用。对称现象在微分学中并不少见。如, 连续与间断, 有限与无限, 无穷小与无穷大, 曲线的凹凸等概念前后呼应, 成对出现。在多元复合函数求偏导数时, 可以利用函数关于自变量的对称性简便计算。

定义1 (对称多项式) 若函数z=f (x1, x2, …, xn) 中任意两个自变量交换后, 仍然表示原来的函数, 则称此函数关于自变量对称。

结论:若函数z=f (x, y) 在点 (x, y) 处可微, 且f (x, y) =f (y, x) , 则fx (x, y) =fy (y, x) 。

由结论可知, 对于二元的关于自变量对称的可微函数, 求其关于y的偏导数, 只需将函数关于x的偏导数中的x与y交换位置即可, 此结论还可推广到n阶导数。

(二) 对称美在积分学中的应用。对称性在积分学中的应用更是极为常见。在定积分的计算中, 如果合理利用对称性, 则可以大大地简化计算, 达到事半功倍的效果。

例6计算积分, 其中n为自然数。

解:令, 可将积分区间化为对称区间。

例7计算积分。

三、结束语

综上所述, 高等数学中的对称性, 不仅给我们带来了计算上的方便, 更给我们的思维以启迪, 从而促进创造性思维的萌生。在数学教学中, 教师有意识地揭示数学中的对称美, 加强数学美的审美教育, 引导学生去发现数学美、欣赏数学美, 学生的学习积极性必将会大大的调动起来, 从而使我们的课堂展现出更强的活力与魅力。

摘要：对称美是数学美的一个重要组成部分, 它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支。本文讨论数学中的对称美, 并给出了对称美在高等数学解题中的应用。

关键词：数学美,对称美,对称性

参考文献

[1]张清利, 张国艳.由斐波那契数列谈数学美[J].北京广播电视大学学报, 2004.4.

[2]朱永厂.谈数学美在数学解题中的导向功能[J].数学通报, 2005.44.

数学中的对称美 篇2

一、几何图形的对称美

几何图形中，有许多的图案都具有对称性，具有对称美，其中，圆形就是一个很好的例子。我们都知道，圆形就是一个轴对称图形，有无数条对称轴，任意沿着它的一条对称轴折一折，两边分成的图形就会完全重合在一起。另外，圆形给人的感觉就是一个非常漂亮的物体，因为它有很完美的闭合曲线，所以，世界上许多的经典建筑，都有圆形的影子，正如毕达哥拉斯所说：“一切平面图形中最美的是圆形。”

再比如，有些对称图形经过动手操作后，可以变成更漂亮的图形。下面的图1是一个正三角形，笔者让学生把该三角形的每条边平均三等分，以每条边中间的三分之一为边向外再作一个小正三角形，可得图2的六角星形，它也是一个对称图形；然后，让学生在该六角星形的每条边上用同样的办法向外再作一个更小的正三角形，可得图3的雪花形多边形，也就是数学家科赫雪花的科赫曲线……以此步骤继续操作可得到一系列边数越来越多的多边形。它们虽然面积不大，但是无论你怎么去重复操作，无论怎么变化，最后呈现的图形还是对称图形，这些图形变得越来越好看，越来越有规律，这就体现了对称图形的神秘之处。

二、数与式的对称美

对称美不仅表现在几何图形中，数与式子也具有对称性，主要表现在一些运算中。

如在进行珠心算加法练习的时候，笔者先让学生在算盘上拨入对称数112211，先加112211，算盘上得到了224422，再让学生加112211，算盘上的结果是336633，这样连续操作11次，算盘上的结果却变成了另外的一个数字：1234321，它是一个对称数，这让学生大吃一惊。这样教学，既调动了课堂的气氛，又激发了学生学习珠心算的兴趣。课后，有学生指出：“以前，我对算盘一点也不感兴趣，可今天通过老师的教学，我感觉算盘太奇妙了，现在，我不仅愿意学珠心算，而且更愿意学习数学了。”

比如，以1为例，将它进行乘法计算，就会出现一些对称的结果：

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

……

这样的乘法计算，让学生一眼就能看出其中的规律，也就能很快写出所要得到的答案。通过这样的教学，学生不仅获得了有关的数学知识，而且受到了美的熏陶。

三、解题过程的对称美

几何图形不仅具有对称美，在解题的过程中，巧妙地运用对称性质进行适当增补，有利于发现解决问题的突破口，训练解题的技巧，简化解题过程。 如要求图4阴影部分的面积，此题按照常规的方法去求，阴影部分的面积应该等于扇形面积减去三角形的面积。在教学的过程中，学生可以发现三角形的面积一时无法去求，他们无法下手，这就使得解题陷入了困境。

这个时候，教师就要及时点拨学生，让他们从对称的角度去思考，也就是作一个对称图形，形成图5，再做适当的提醒，学生就会发现：图5中阴影部分的面积等于圆面积的四分之一减去等腰直角三角形的面积，而图4中阴影部分的面积等于图5中阴影部分面积的一半。这种解法学生即容易理解又能够牢记，都感叹此种解法的精妙。

（作者单位：鄂州市梁子湖区徐连小学）

浅谈数学中的对称美及其应用 篇3

一、数学中常见的对称以及对称美

(一) 对称

首先让我们回忆一下小学数学第四册时学的《对称》。在本章节中老师主要通过对生活中对称事物及相应图片的欣赏, 让学生们感受数学与现实生活的密切关系, 从而让学生了解对称的性质、概念。下面就是我们生活中所常见的具有对称性的图片。

对称就是一一对应的关系在图形或物体两边的各部分在大小、形状和排列上的体现。中学中我们进一步学习了平面图形的轴对称, 中心对称和空间图形的面对称等等对称。这许许多多的对称也就关于某一点、线、面分为两部分能完全重合。

以上对称是几何图形的对称, 在数学中我们也经常见到一些对称的公式。如a+b=b+a, a×b=b×a, (a+b) ^2=a^2+2ab+b^2, 大学中的对称矩阵, 二重积分的对称性等等。其中公式的对称更多体现在字母之间相互替换。

(二) 对称美

生活中具有对称性的东西往往给人以圆满的匀称美感与精神享受。那什么是数学的对称及其美呢?

数学是理性思维以及想象的结合, 是研究数量、结构、空间模型等概念的一门学科。通过观察计数、计算、量度和对物体形状及运动, 数学家运用抽象化和逻辑推理拓展了数学的概念, 为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。它的发展建立于社会的需求, 所以就有了数学美。数学美主要有:统一性、对称性、简单性。

对称性是和谐性的一种特殊的表现形式。它反映的是审美对象形态或结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性。在现实生活中, 形式上和内容上的对称性, 广泛地存在于客观事物之中, 既有轴对称、中心对称、平面对称、镜面对称等的空间对称, 又有周期、节奏和旋律的时间对称, 还有与时空坐标无关的更为复杂的对称。

数学的对称美, 是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现。从数学美的角度来讲, 对称可以包括狭义对称、常义对称与泛对称, 。对称美, 它反映出了事物的秩序、简洁、完整及由此及彼得联系, 表现了运动中的稳定性以对立中的统一。在数学中合理运用数学的对称美不仅能快速解决问题, 更能认我们体会对称美的美妙, 学习到对称这种思想, 陶冶我们的情操。如果把对称美分一个类, 那么我认为可以分为内在美和外在美。所谓内在美是指我们运用它解决问题从中带给我们简便的过程的快感的美的享受。外在美是指数学图形关系上, 我们从它们表面上所看到的对称、和谐的美。

二、数学对称美的运用

(一) 等差数列

有许多如3003、2112的数是回文数, 它们具有一些有趣的运算规律如:1×1=1, 11×11=121, 111×111=12321。根据这一规律可以巧算出:1111111×1111111=1234567654321。对于对称美, 在宇宙万物中也是一个永恒的定理, 如有对就有错, 有白就有黑一样, 有生就有死。像现代物理学中的理论也推论的那样有正物质就有反物质, 为了维持均衡, 宇宙中可能存在着我们看不见的和正物质一样相等的反物质。想想这许多的处于对立的事物是普遍存在的, 同样数学中我们也可以借助这种思想来解答一些难题, 而且能让我们敢到更加简单, 易懂。

如有一道古代的算术题:

例 (1) 有位妇女不善于织布, 她每天织的布都会比上一天要少一些, 而且每天少的数量是相等的。她第一天织了六尺, 最后一天织了一尺, 一共织了三十天, 她一共织了多少尺布?这题的难点在于除了第一天和最后一天, 中间每天织的布几乎没有整数, 而且对于刚学等差数列的同学而言每天比上一天少织多少布也不容易求得。在这里我们就可运用对称的思想这样解答:假设还有另一位姑娘也和这位妇女一起织一样的布, 只不过她与这位妇女织布的情况刚好相反:姑娘每天织的布都比上一天要增加一些, 增加的数量是相等的, 她第一天织一尺, 最后一天织六尺, 也织了三十天, 由此可知, 姑娘和妇女所织布的总长度是一样的, 妇女所织的布每天减少的数量与姑娘织布每天增加的布的数量是相等的, 因此每天两人共织的布为七尺, 三十天共织7×30=210尺, 每人织105尺。

这题的巧妙之处在于将抽象的一组等差数列求和转化为了形象生动的形似回文数一般的对称求和方法。其实做为等差数列求和都可以用这种思路解答, 运用对称的思维来理解等差数列比单纯讲求和公式要形象、生动的多。

(二) 不等式

例 (2) 不等式

已知a, b, c, d, ∈R+且a+b+c+d=1, 求a^2+b^2+c^2+d^2的最小值。

分析:本题直接要求最小值, 这是很难办的, 观察变量a, b, c, d, 我们发现它们都具有对称性, 可以假设当a=b=c=d=1/4时函数f (a, b, c, d) =a^2+b^2+c^2+d^2取最小值1/4。从而证明a^2+b^2+c^2+d^2≥1/4我们也可以进一步检测假设结果的正确性, 将求最值题变为证明题, 降低了原题的难度。

证明:根据柯西不等式, 有

当且仅当a=b=c=d=1/4时, a^2+b^2+c^2+d^2取最小值为1/4。

(三) 分解因式与对称多项式

分析:对于这种对称多项式, 如果我们知道了某些多项式是对称多项式的一个因式, 那根据对称性便可找出与这个因式结构形式相同的另外一些因式, 从而使得问题得解。

解:应为当a=-b时有g (a, b, c) =0, 所以a+b是g (a, b, c的一个因式。由a, b, c的对称性直接可得出b+c, c+a也是g (a, b c) 的因式。又因为g (a, b, c) 是五次对称式, 而 (a+b) (b+c) (c+a) 是三次对称式, 所以还有

a, b, c的二次对称式因子。

于是: (a+b+c) 5-a5-b5-c5

在上式中, 令a=2, b=-1, c=0.得:15=5m-2n…… (1)

令a=b=1, c=0.得15=2m+n…… (2)

联立 (1) (2) 得m=5, n=5。

∴g (a, b, c) = (a+b) (b+c) (c+a) [5 (a2+b2+c2) +5 (ab+bc+ca)

参考文献

[1]张清利, 张国艳.由斐波那契数列谈数学美.[北京广播电视大学学报].

[2]朱永广.谈数学美在数学解题中的导向功能.

《红楼梦》中的对称美 篇4

关键词：对称美；数学研究；中学数学

一、对称性起源

世界万物都是对立统一的，都包含有矛盾的两个方面，这两个方面是对立的.同一种包含有对立和对称的性质反映在数学上就是对称性.

早在远古时期，人们已经认识到了对称性，注意到的是普遍存在于自然界的空间对称，例如，镜像对称、中心对称等.随着人力文明的发展，对称性渐渐地融入人类生活的方方面面.在建筑、音乐、文学等领域都得到了充分体现，建筑方面：北京紫禁城、古罗马斗兽场等；音乐中的交响曲；文学中的众多古诗词，如“明月松间照，清泉石上流.”对称性正式进入科学领域大约是在古希腊时期：化学中的分子对称；物理学中的对称性；数学中的几何对称、函数对称等.

二、对称的概念

所谓对称，是指组成某种事物或对象的两部分的对等性，是统一性的特殊表现.当然，这里所讲的对称主要包含两个方面的内容，一是视角情况下的图形，这集中体现了一些函数的坐标变量关系，这种图形比较直观；另外是关于数学概念与定理方面的对称思想.在数学中，用自同构对应笼统的来解释对称性.一般的，设集合S有一个到自身的变换f，S的元素之间定义了某种关系“*”，a，b∈S在变换f之下的像a′、b′∈S，如果a、b之间具有关系“*”，则a′、b′之间仍保持关系“*”，即a′*b′就称变换f是集合S关于关系“*”的一个自同构对应.设S是一个给定的集合，P是S的一个子集，如果S有一个自同构对应f，使得对p的任意元素x，仍有f（x）∈P，则称集合P是对称的.在几何学中，对称是图形的一种性质或指两个合同图形间一种特殊位置关系，包括中心对称、轴对称、平面对称三种.

三、数学对称性主要内容

论传统建筑文化符号中的数学对称美 篇5

本文从对称理论出发, 将数学作为方法论, 研究中西方传统建筑、文化和艺术中所蕴含的数学观, 探讨艺术如何遵循数学“法则”进行创作活动, 并重点集中在传统建筑文化符号在构筑过程中所蕴含的数学观, 其目的在于唤醒人们重视科学对艺术的影响作用。同时阐明一个基本观点:数学不仅是一种抽象的思想, 只在工程设计、逻辑学、科学推理以及在物理科学理论中所起核心作用, 同时也在艺术的创作方法和工具中具备重要价值。

一、数学对称理论

在科学中, 对称性指的是研究对象在某种变换或操作下保持不变的性质, 因而具有根本性的意义。所谓对称变换是对称操作的结果。在平面中, 对称操作只影响对象的几何学性质的变换, 即对称变换仅涉及到设计的结构。同时, 也允许反演对称操作并使对象重新回到原点。在艺术中, 对称性常与平衡、形状、形式、空间、秩序、和谐以及美感等相联系。

最早意识到“对称”在二维平面设计中具有辅助作用, 并努力使“对称”原理应用于设计实践的人是英国利兹大学纺织系的物理学家H.J.Woods。在20世纪30年代, 他相继发表了多篇研究论文。并通过可视化的图形符号, 解析对称在构建图形结构与设计过程中的辅助作用。

从非数学研究的角度看, 由Owen Jones所著, 出版于十九世纪初的《装饰原理》一书, 似乎最具影响力。分析介绍了大量的图案与装饰, 并根据不同的时期、民族区域和风格将图案与装饰进行分类, 该书对图形与对称的研究起到了进一步的促进和推广作用。

从数学研究的角度看, 历史上的数学家和科学家, 例如Coxeter、Guggenheimer、Gans、Shwbnikov and Koptsik、Schattschneider都已经意识到数学意义上的对称, 是以四种基本对称操作或几何变换在平面中的应用为特征。这四种基本对称操作是:平移对称、旋转对称、反射对称、滑移反射对称。

历史上, 曾有无数的人们进行过有关数学对称理论的开创性研究与探索实践。在中西方传统文化、艺术和建筑中, 存在许多类似案例可供研究。从图形创意的理论研究与实践探索综合的角度看, 荷兰艺术家M.C.埃舍尔 (M.C.Escher) 的研究与探索最具代表性, 并且理论研究体系也十分系统和深入。他的图形创意具有数学思维和艺术的创造, 他的作品堪称科学与艺术相融合的典范。M.C.埃舍尔图形创意的数学灵感和理论来源于很多方面, 其中有规律的对称图形创意灵感源自数学对称理论。研究和欣赏埃舍尔的艺术, 首先必须了解其作品所蕴含的数学思想, 如此才能真正享受到他的艺术与数学完美结合所带给人们的审美愉悦。图1这是M.C.埃舍尔基于对称变换原理而创作的作品 (资料来源于“The Magic Mirror of M.C.Escher”by Bruno Ernst) 。

二、数学对称原理在传统建筑文化符号中的应用

文化符号在构建过程所基于的数学原理与理论分类很多, 就数学对称原理而言, 可追溯到人类的史前文化。综观人类的艺术史, 根据现已被考古发现的大量的记录在岩石上的原始文明、新石器时代的手工陶艺、夏商周的青铜制品、古希腊文明、以及埃及和玛雅文明中, 均有发现文化符号基于数学对称思维的例证。本文着重介绍和分析了传统建筑文化符号中所蕴含的数学对称原理。

数学意义上的对称在传统建筑文化符号中的应用相当常见, 在中西方传统建筑和圣殿的建造过程中都能找到与数学对称有某种关联。在文化和艺术中, 对称常与和谐以及形式美感等含义相关联, 其根本的原因是, 数学对称的灵感源于对宇宙和自然以及人类自身的探索和发现, 同时这种数学的生命力完全根植于养育她的文明社会生活之中, 对称与中国的文化和哲学思想以及所崇尚的“天地交而万物通”、“天人合一”的哲学精神是吻合一致的。在这种哲学思想的影响下, 传统建筑在文化特征、美学追求、建筑风格、形式结构等因素受到影响是必然的。“天人合一”的建筑环境是中国传统建筑文化所推崇的理想境界, 把人和天地万物紧密地联系在一起, 并视为不可分割的共同体。

文化意义上的对称, 通常与中庸、秩序、和谐、典雅、庄严以及权威等含义相关联, 中国传统建筑十分讲究对称的文化。中国古代帝王的宫殿以及宗教寺庙在建筑布局和结抅中, 一般都按照均衡对称的方式, 沿着纵轴线与横轴线进行布局及设计。例如北京的故宫就以中轴线为中心轴, 图2是北京故宫鸟瞰图, 其沿着纵轴线与横轴线进行布局设计。宫殿的布局, 一般都以主宫殿位于中轴线上。以宫室为主体, 次要建筑位于两侧, 左右对称布局, 所谓“前朝后市”、“左祖右社”等。这种布局体现了封建社会中简明的组织规律, 同时与其宗法和礼教制度密不可分。它是人类智慧的结晶, 更是人类文化的重要组成部分, 又是一种跨国界和文化的桥梁。因此, 常见于人类的建筑、文化和艺术之中。

对称在东西方传统建筑文化符号中的表现十分常见。图3是法国的兰斯大教堂, 哥特式建筑风格的结构和装饰中到处都能发现基于对称思考的装饰 (资料来源于“The Story of Architecture”by Patrick Nuttgens) 。

图4是婆罗浮屠佛塔鸟瞰图, 这是世界上最大的佛教遗址——瓜哇島的佛塔群。其基底尺寸为114×14 m、高46 m, 塔结构基于中心及轴的反射对称原理而构筑。

人类由于生活在不同的区域和民族文化, 虽然在生活与实践过程中都发现和应用对称原理, 然而, 由于文化背景及所处的民族和区域以及生活环境的不同, 显然对对称的理解与应用是有区别的, 这种差异体现在文化特征、美学追求以及文化符号的表现、传播、及审美等各层面。例如早期的摩尔人和阿拉伯人, 他们在对称图案的装饰风格方面却有着独特的审美观和表现, 他们对复杂的数学几何的研究与应用给后人留下深刻印象, 如图5, 这是分别基于中心及旋转 (120及60) 对称以及反射轴对称而构成的图案装饰, 图6为对称结构示意图, 许多穆斯林和伊斯兰教的建筑结构、装饰风格和图案的文化特征给人们留下了深刻印象。

可见, 对称已不仅仅对建筑师有吸引力, 数学家、物理学家、画家、心理学家、考古乃至音乐家都在思考和研究它的意义和影响力。事实证明, 数学一直伴随和见证了人类的文明历程, 始终是人类文化的重要组成部分。

三、结语

我们从不同的视角、不同层次、各方位的反复讨论介绍了“传统建筑文化符号中的数学”, 即建筑文化符号的形式、结构及它们的表达所蕴含的数学思想与理论及其符号的审美等。我们试图关心这一现象的目的, 不仅在于观察数学本身的科学基础性, 更重要的是在于唤醒人们重视科学对艺术的影响与促进作用, 从全方位的和文化视角欣赏数学的魅力。

参考文献

[1]R·柯朗·H·罗宾著.左平, 张饴慈译.什么是数学[M].上海:复旦大学出版社.

[2]Woods, H.J.The Geometrical Basis of Pattern Design[J].Journal of the Textile Institute, Transactions, 1935.

[3]Meyer.F.S.’A Handbook of ornament[M].London:Batsford, 1894.Reprinted:Meyer’s Handbook of Ornament’[M].London:Omega, 1987.

[4]Clarendon Press, 1929.First published as’Traditional Methods of Patterns Designing[M].Oxford:Clarendon Press, 1910.Reprinted as’Pattern Design[M].New York:Dover, 1969.

《红楼梦》中的对称美 篇6

一、让学生知道何为对称美

“所谓对称美,是指一物体或一系统各部分之间比例的平衡与协调,由此能够产生一种简洁性和美的愉悦。”如一朵有5个花瓣的紫金花,让她绕中心轴每旋转,看上去位置完全一样,它给人以匀称的感受,称为旋转对称性;又如人体或动物的形体一边与另一边完全相同,可以折叠重合,它具有左右对称,也给人以匀称和均衡的感觉,称为镜像对称性;再如竹节或串珠,平行移动一定的间隔,图形完全重复,给人以连贯、流畅的感受,称为平移对称性。由于物理学揭示了自然界物质的存在、构成、运动及其变化等规律的对称性而产生的美感,称为物理学的对称美。

二、引导学生发现教学内容中的对称美

物理学中的对称美普遍存在。教师要充分挖掘教材中的对称美,进而引导学生发现对称美。

1. 物理概念的对称美。

基本概念的抽象对称性,如力学中的运动与静止、落体与抛体、匀速与变速、引力与斥力、作用力与反作用力、变力与恒力;电磁学中的正电与负电、磁体的N极和S极、磁场与电场;光学中的反射与折射、物质的波动性与粒子性;原子物理中的粒子与反粒子、重核的裂变与轻核的聚变,等等。

2. 物理规律的对称美。

基本规律的抽象对称性,如牛顿运动定律,从不同的方向看,物体的运动都遵从牛顿运动定律,牛顿运动定律具有旋转对称性;镜子里和镜子外物体的运动都遵从牛顿运动定律,牛顿运动定律具有镜像对称性;在不同的时间,物体的运动也都遵从牛顿运动定律,牛顿运动定律具有时间平移对称性.爱因斯坦的质能方程E=mc2则反映了质量与能量的对称性。法拉第揭示了电与磁的对称性。最能体现物理学对称美的是物理学上的守恒定律。我们都会对对称美与守恒定律的永恒联系如此简单而深刻感到吃惊和敬畏。例如,动量守恒定律;若系统所受的合外力为零,这个系统的动量保持不变,从其数学表达式可看出,表达式是如此简单,但含义却非常深刻;表达式的等式两边是严格对称的,给人一种赏心悦目的对称美感。真空中的库仑定律与万有引力定律、动量定理I=mvtmv0与动能定理、加速度、感应电动式等则是物理定律、定理和概念在数学符号、公式形象上的对称。

3. 物理模型的对称美。

物理模型常常具有对称美,在空间上也常常呈现对称分布。如:光学中的杨氏双缝实验模型,则是镜面对称美的经典之作。江苏省2005年高考试题的第15题,是洛埃镜实验,就是镜面对称思想的运用。

再如,高中物理课用得比较多的“球体模型”:一个质量分布均匀球体,由于它相对于中心是对称的,所以,其球心就是它的重心。也就是说,当研究它与别的物间引力时,球心就是引力中心。若球体均匀带电,则研究球外空间的电场分布时,可将全部电荷都集中在球心来处理。一个带电的导体球,电荷在球面上分布均匀,这正是导体球具有对称美的结果;高中物理中的点电荷周围的等势面是典型的球壳模型、其电势和场强均是中心对称的。

4. 物理过程的对称美。

运动过程的对称性,一般体现在运动的空间轨迹和运动参量随时间变化的函数图像上。例如,一个质点在竖直上抛运动的上升和下落阶段,若设质点在t时刻到达最高点,上升的位移为h。显然,从时间、空间上说,质点的速度大小、加速度大小、动量大小、动能等都分别关于t和h对称。又如,斜上抛运动和小球沿光滑圆轨道内侧的运动,关于过其最高点的竖直线对称,简谐运动是关于其平衡位置对称。再如,带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹为圆或圆弧,同样表现出对称性。

三、指导学生自觉地用对称思想研究物理问题

引导学生欣赏科学家是如何运用对称思想实现科学发现的。杨振宁曾说:“物理学已开始建立在一种新的思想型式之上。就是说,物理学家们不再是从实验出发而达到对称性,而是转变为把利用对称性作为出发点的思想,然后尝试着去建立满足这种对称性的方程式。”《普通高中课程标准实验教科书物理选修3-2》第四章电磁感应中第1节“划时代的发现”,专题介绍了法拉第受奥斯特实验建立了电与磁间的联系的启发,坚信电与磁应该是对称的,即既然电能生磁,磁也必定能生电,正因为有这种对称思想,使他的研究虽多次失败而决不退缩,终于在1831年获得了感应电流,磁生电的预想终于实现了,人类从此进入电气化时代。

1. 运用类比法,培养对称美的审美能力。

有些物理问题中的对称美只要运用类比推理,就可以发现。如图所示,质量为m,所带电荷为q的小球系于上端固定的长为L的绝缘细线下端,并置于水平方向的匀强电场E中。当细线偏离竖直方向夹角为α时,小球静止。如果把小球稍稍拉离静止位置后由静止释放,求小球回到静止位置时的最短时间。分析:只要把此问题与单摆类比,再把mg'类比于mg,就可看出:此问题就是的具有对称美的单摆模型,从而容易求出时间为:。

2. 运用割补法,培养对称美的审美能力。

例:一半径为R的金属球壳,在球壳上某处挖掉一个半径为r的小孔(r<<R),此球壳带电量为Q,求在球心处的电场强度(金属球壳处于真空中)。

分析:这个问题如果直接求解比较困难,但我们可以设想将挖掉的那小部分补起来,那么由对称性可知圆心处的电场强度必为零,根据平衡对称性,除挖去的部分电荷所产生的电场强度必与挖去的部分电场强度是平衡的,由于r<<R,则可以将挖去的部分看作点电荷,便可求出在球心处的电场强度E,即Q,电场强度。

3. 运用逆向法,培养对称美的审美能力。

有些问题按常规方法去求解很复杂,如果根据问题的对称性,通过逆向思维求解则能达到意想不到的简便。例:一个半径为R的光滑半球形球台,固定在水平面上,问在台下的水平面上应在何处以多大的速度朝何方向抛出一个小球(可视为质点),才可使小球最后恰好静止在半球台的顶点上?(不计空气阻力)分析:若直接根据斜上抛等规律求解,本题很复杂,甚至无法下手。但若考虑到运动的对称性,运用逆向思维,设想小球原来静止在球台顶上,由于受到一个极小的扰动而由静止开始自行滑下,那么,小球落地时的速度大小和方向以及落地点距球台中心的距离即为所求。除上述的3种方法外,还有运用函数图象法、光路法、电路法等培养对称美的审美能力。