运用类比教学提高数列复习课的效率

关键词：类比课堂教学教学方法复习

高三复习课时间紧、任务重;因此如何合理运用教学方法和教学手段, 提高课堂教学的有效性, 是我们每个教师必须研究的课题。而“类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似之处, 推出它们的其它属性也相同或相似的思维方式, 类比联想可以发现新的结论、新的规律, 可以找到解决数学问题的有效方法和途径”[1]。可以大大提高课堂教学的效率, 也可以帮助学生对知识的系统掌握。因此根据教学内容合理运用类比教学法对提高课堂教学的效率极其有效。例如在复习等差等比数列时、我们以往的做法往往是讲等差和等比分成两个部分来复习;一方面所话时间较多另一方也不利于学生系统全面地掌握知识。如果恰当地设计合理地运用类比教学法不但可以提高复习效率、对学生深刻系统地掌握等差等比数列有良好的效果。下面结合高三《等差等比数列复习课》的教学谈谈我的一些做法。

1 根据教材内容确定类比点

类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似之处进行合情推理和合理比较。因此我们要根据教材内容合理地确定类比内容。等差和等比数列有很多相似之处。根据它们的特点我确定了下列类比点:

1.1 基本量的计算

【例1】 (2011·福建) 在等差数列{an}中, a1=1, a3=-3。

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若数列{an}的前k项和Sk=-35, 求k的值。

【思路点拨】等差数列的通项公式及前n项和公式中, 共涉及五个量, 知三可求二, 如果已知两个条件, 就可以列出方程组解之.

解: (1) 设等差数列{an}的公差为d, 则an=a1+ (n-1) d。

由a1=1, a3=-3可得1+2d=-3, 解得d=-2, 从而,

进而由Sk=-35可得2k-k2=-35.即k2-2k-35=0, 解得k=7或k=-5, 又k∈N*, 故k=7为所求。

【类比练习1】 (2011·全国) 设等比数列{an}的前n项和为Sn, 已知a2=6, 6a1+a3=30.求an和Sn。

【引导学生类比研究可得】

解得:a1=3, q=2或a1=2, q=3

当a1=3, q=2时, an=3·2n-1, Sn=3· (2n-1) ;

当a1=2, q=3时, an=2·3n-1, Sn=3n-1。

1.2 等差等比数列的判定或证明

【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn且满足

(1) 求证:是等差数列; (2) 求an的表达式

【思路点拨】 (1) 化简所给式子, 然后利用定义证明。 (2) 根据Sn与an之间关系求an。

(1) 证明:

由等差数列的定义知是以为首项, 以2为公差的等差数列。

【类比练习2】已知数列{an}满足, n∈N*, 令bn=an+1-an, 证明: (1) {bn}是等比数列; (2) 求{an}的通项公式。

(1) 证明:

∴{bn}是以1为首项, 为公比的等比数列。

1.3 等差等比数列的性质及其应用

【性质1】等差数列的通项公式an=a1+ (n-1) d=dn+a1-d圳kn+b是关于n的一次函数。

【例1】设等差数列{an}满足a3=5, a10=-9

(1) 求{an}的通项公式; (2) 求{an}的前n项Sn最大的序号n的值。

解: (1) 设等差数列{an}的公差为d,

(2) 由an=11-2n知数列单调递减且a1>0所以:数列{an}所有非负数项之和最大。

令an=11-2n>0得n<5.5, 从而n=5时Sn最大。

【类比性质1】:等比数列的通项公式an=a1qn-1是关于n的指数函数。

练习1, 在等比数列{an}中, 如果公比q<1, 那么等比数列{an}是 () 。

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.无法确定数列的增减性

解:由等比数列的通项公式an=a1qn-1知{an}的单调性和a1的正负和底数q有关系。所以选D

【性质2】等差数列的前n和是关于n的二次函数且常数项为0。

【例2】设数列{an}且an=4n-1, Tn为数列的前n项和, 求Tn。

所以是以a1=3为首项, 为公差的等差数列。

【类比性质2】等比数列的前n和当q≠1时,

练习2, 若{an}是等比数列, Sn=3n+r且, 则r=___

解:由性质2知r=-1

【性质3】等差数列{an}中, 当m+n=p+q时, 则有am+an=ap+aq, 当m+n=2p时, 有am+an=2ap

【类比性质3】等比数列中, 当m+n=p+q时, 则有am·an=ap·aq, 当m+n=2p时, 有am·an=a2p

练习3, 各项均为正数的等比数列{an}中, 若a5·a6=9, 则log3a1+log3a2+…+log3a10=___

解:由对数的运算及性质3知

【性质4】在等差数列中若{an}是等差数列, 则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, …也成等差数列。公差为n2d

【例4】已知等差数列{an}的前n项之和记为Sn, S10=10, S20=70, 则S30等于___

解:由性质4 S10;S20-S10;S10-S20成等差数列、易知S30=180

【类比性质4】在等比数列中若{an}是等比数列, 则Sn, S2nSn, S3n-S2n, …也成等比数列。公比为qn

练习4, 已知a>0且a≠1, 设数列{xn}满足logaxn+1=1+logaxn (n∈N*) , 且x1+x2+…+x100=100则x101+x102+…+x200=___

由性质4, x101+x102+…+x200=100a100

【性质5】在等差数列{an}中, 当项数为偶数2n时, S偶-S奇=nd。项数为奇数2n-1时, S奇-S偶=a中, S2n-1= (2n-1) ·a中 (这里a中即an) ;S奇:S偶= (k+1) :k

【例5】在项数为2n的等差数列中, 各奇数项之和为75, 各偶数项之和为90, 末项与首项之差为27, 则n之值是多少?

【类比性质5】在等比数列{an}中, 当项数为偶数2n时, S偶=S奇项数为奇数2n-1时, S奇=a1+qS偶。

练习5, 等比数列{an}中a1+a3=5、a2+a4=10则an=___

2 根据类比内容、选择恰当的教学方法

教学方法是教师和学生在共同学习的过程中为了实现或达到共同的目标、完成教学任务所采用的方式和手段的总和。恰当的教学方法会起到事半功倍的效果。结合本课实际, 我采用类比教学的同时、还集合了探究法、讲练结合法。在课堂复习时充分借助多媒体课件和几何画板这一数学工具来提高课堂教学的效率。具体来讲在复习完等差数列的相关内容后、即刻以例题的形式呈现出相关的内容, 通过实例分析讲解提高学生对该知识点的掌握和理解。完成一项复习后引导学生类比探究等比数列的相关知识、并通过练习的方式掌握等比数列类是互动性质。而例题性质的呈现全部以PPT课件的形式呈现、涉及到的相关函数性质结合几何画板作图演示, 一方面节省了时间另一方面也起到了形象直观的展示作用, 利于学生理解。实践证明这样的教学方法和模式起到了较好的教学效果。通过复习学生对等差和等比数列的相关问题认识更加深刻。尤其是通过几何画板的演示学生对数列的函数性质有了更深刻的理解。

摘要：类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似之处, 推出它们的其它属性也相同或相似的思维方式, 类比联想可以发现新的结论、新的规律, 可以找到解决数学问题的有效方法和途径。可以大大提高课堂教学的效率, 也可以帮助学生对知识的系统掌握。本文以《等差等比数列复习课》为例阐述如何运用类比教学提高复习课的效率。

关键词：类比教学,数列,复习课,效率