圆知识点分类训练

篇1：圆知识点分类训练

2011年小学毕业知识质量检测语文总复习分类训练

（五）〖课内阅读B〗

1.《学弈》选自《孟子。告子》，文章写最善于下围棋的弈秋教两个人下棋，其一人是这样学习的（用原文回答）：其一人专心致志，惟弈秋之为听。而另一个人是这样学的（用原文回答）：一人虽听之，一心以为有鸿鹄将至，思援弓缴而射之。通过这件事，说明了学习必须专心致志，绝不可三心二意的道理。

2.，文章讲述了孔子路遇两个小孩在争论太阳离人远近的事。一儿认为（用原文回答）：“我以日始出时去人近，而日中时远也。”他的依据是（用原文回答）：“日初出大如车盖，及日中则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”一儿认为（用原文回答）：“一儿以日初出远，而日中时近也。”他的依据是（用原文回答）：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近着热而远者凉乎？”孔子做出怎样的答复（用原文回答）：孔子不能决也。这个故事体现了两小儿善于思考.大胆质疑和孔子谦虚谨慎.实事求是的态度。

篇2：圆知识点分类训练

《》问题拓展训练—评价单

渤海中学有效教学方案设计之四姓名班级

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篇3：圆排列的相嵌与组合的分类枚举

预备知识 (1) f, g是以n的约数为变量的函数, d是主变量, k是负变量, 则有:

$① f (\frac{n}{d}) =$ $\sum_{k | \frac{n}{d}}$ $g (\frac{n}{d k}) \Leftrightarrow g (\frac{n}{d}) =$ $\sum_{k | \frac{n}{d}}$ $u (k) f (\frac{n}{d k})$ ;

② $\sum_{d | n}$ d $\sum_{k | \frac{n}{d}}$ $u (k) f (\frac{n}{d k}) =$ $\sum_{d | n}$ $ϕ (d) f (\frac{n}{d}) .$

(1) a1元素有n1个, a2元素有n2个, …, ai元素有ni个, n1+n2+…+ni=N, D是n1, n2, …, ni的最大公约数, N个元素的圆排列的总数是 $\frac{1}{Ν}$ $\sum_{d | D}$ $ϕ (d) \frac{\frac{Ν}{d}!}{\frac{n_{1}}{d}! \frac{n_{2}}{d}! \dots \frac{n_{i}}{d}!} .$

定义不改变圆排列元素的顺序, 将所有元素平均分成元素相同, 排列顺序相同的若干组, 并且使所分的组数是最多的, 每组元素的个数称为圆排列的周期, 组数的倒数称为圆排列的相对数;不能够进行分组的圆排列称为整圆排, 能够进行分组的圆排列称为分圆排.

整圆排的周期等于元素总数, 相对数是一.周期是 $\frac{Ν}{d}$ 的分圆排的相对数是 $\frac{1}{d} (d$ 是n1, n2, …, ni的公约数) 相对数之和与线排列的关系:多种周期、任意数量的圆排列的相对数之和 (每个圆排列的元素总数均为N) 乘以N, 等于这些圆排列展开所产生的线排列之和, 这是因为任意一个圆排列展开所产生的线排列数, 等于这个圆排列的周期.

规定圆排列展开变成线排列, 要顺时针展开, 线排列变成圆排列, 元素也要顺时针摆放.

圆排列性质 (1) 一个周期为k的分圆排, 任意取k个连续的元素, 不改变原有顺序所组成的新圆排列, 每次都相同, 且是整圆排. (2) 任意一个圆排列展开所产生的任意一个线排列, 复制k个再组成一个分圆排, 每一个线排列所组成的分圆排均相同, 且周期与原圆排列相同. (3) n无序拆分成k个正整数之和, 即a1+a2+…+ak=n (a1≥a2≥…≥ak≥1) .n有序拆分成k个正整数之和, 即a1+a2+…+ak=n有C $_{n - 1}^{k - 1}$ 组正整数解.无序拆分与有序拆分的关系:每一个无序拆分都进行线排列, k个数字的线排列之和就是有序拆分数C $_{n - 1}^{k - 1}$ .

说明本文中u (k) 表示Möbius函数, ϕ (d) 表示Euler函数.A (全部) B (部分) 出自本人的论文, 新恒等式与Möbius反演公式的新理解及其在圆排列计数中的应用[J].数学学习与研究2009年第四期 (下半月刊) .

引言从n+m个不同数字中, 取m个数字的组合数, 与n个黑球、m个红球的线排列数是相等的, 这里通过圆排列使得组合与线排列形成具有规律的对应关系.两个同心圆, 将1, 2, 3, ….n+m从小到大均匀的放在一个圆周上, 将n个黑球m个红球的任意一个整圆排放在另一个圆周上, 整圆排每转动一个数字的距离, m个红球所对应的m个数字就是一个组合, 转动一周可以得到m+n个不同的组合;如果是分圆排转动一周, 得到的组合个数与分圆排的周期相等, 因此任意一个圆排列转动一周所得到的组合数, 与这个圆排列所产生的线排列数是相等的.绝大多数圆排列正反面是不同的, 因此很多圆排列的反面转动一周, 也可得到与周期相等的组合数, 因此互为正反面的两个圆排列, 只需保留一个.由以上可知组合的枚举, 关键是两种元素的圆排列的枚举.

定义两个圆排列的元素个数相等, 不改变元素的顺序, 将一个圆排列的元素, 放在另一个圆排列的元素之间, 且每个位置只能放一个元素, 这就称作两个圆排列的相嵌.

命题1d1与d2的最大公约数是r, 周期分别是 $\frac{n}{d_{1}} ‚ \frac{n}{d_{2}}$ 的两个圆排列之间不存在相同的元素, 相嵌可得到周期是 $\frac{2 n}{r}$ 的圆排列 $\frac{n r}{d_{1} d_{2}}$ 个.

理解说明d1, d2, r是可以等于一的, n是元素个数.

证由圆排列周期的定义可知, 在元素排列顺序不变的情况下, 一个周期为 $\frac{n}{d_{1}}$ 的圆排列, 只有k是d1的约数时, 才可以将n个元素分成元素相同, 排列顺序相同的k组, 对于周期是 $\frac{n}{d_{2}}$ 的圆排列也有这种特性.两个圆排列的元素, 从任意一个元素开始都可以分成完全相同的r组, r是d1, d2的最大公约数, 因此两个圆排列的元素, 在所分的组数相等, 每组元素完全相同的条件下, r组是最多的, 所以两个圆排列相嵌, 所得到新圆排列的周期均为 $\frac{2 n}{r} .$

两个圆排列相嵌, 可转化成 $\frac{n}{d_{1}}$ 个线排列与 $\frac{n}{d_{2}}$ 个线排列的相嵌, 可组成 $\frac{n^{2}}{d_{1} d_{2}}$ 对线排列进行相嵌, 每对线排列相嵌可得到两个新线排列, 因此得到新线排列的总数是 $\frac{2 n^{2}}{d_{1} d_{2}}$ 个, 因而新圆排列的个数是 $\frac{2 n^{2}}{d_{1} d_{2}} \div \frac{2 n}{r} = \frac{n r}{d_{1} d_{2}} .$

推论1 两个相等的同心圆, 从一点起将一圆周d1等分, 另一个圆周d2等分, 将一圆任意转动, 若d1与d2的最大公约数是r, 则每转动 $\frac{360 r}{d_{1} d_{2}}$ 度就有r个重合点均分两圆.

证明略.

提示d1, d2, r是可以等于一的.起点视为重合点.

将两个圆排列放在同心圆的位置进行相嵌, 在得到 $\frac{n r}{d_{1} d_{2}}$ 个新圆排列的过程中, 有一个圆排列转动了 $\frac{n r}{d_{1} d_{2}}$ 个元素的距离, $\frac{n r}{d_{1} d_{2}}$ 个元素所对应的圆心角就是 $\frac{360}{n} \times \frac{n r}{d_{1} d_{2}} = \frac{360 r}{d_{1} d_{2}}$ 度.

推论2 两组圆排列之间不存在相同的元素, 且每一个圆排列的元素个数均相等, 两组圆排列展开的线排列之和分别是A和B, 若一组中的每一个圆排列都与另一组所有的圆排列进行相嵌, 则得到新圆排列展开的线排列之和是2AB.

证明略.

命题2n个黑球、m个红球分别分成k组排列在圆周上, 每组至少有一个球, 并且使相邻两组的小球不同色, D是n, m, k的最大公约数, n≥m≥k≥1.

(1) 符合条件的圆排列展开所产生的线排列数是

$\frac{n + m}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1} .$

(2) 符合条件的圆排列数是

$\frac{1}{k}$ $\sum_{d | D}$ $ϕ (d) C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) .$

证明 (1) n个黑球分成k组, k组可以理解成k个黑色数字, 由有序拆分可知k个黑色数字的线排列之和是C $_{n - 1}^{k - 1}$ , m个红球分成k组, k个红色数字的线排列之和是C $_{m - 1}^{k - 1}$ , 红色数字的圆排列与黑色数字的圆排列相嵌, 可转化成Ck-1n-1Ck-1m-1对线排列相嵌, 每对线排列相嵌可得到两个新线排列, 新线排列数是2C $_{n - 1}^{k - 1}$ C $_{m - 1}^{k - 1}$ , 每个新线排列的数字有2k个, 因此新圆排列的相对数之和是 $\frac{1}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1}$ , 任意一个新圆排列的数字, 用相应的小球取代, 这两个圆排列的相对数是相等的.因此, n个黑球m个红球的圆排列, 相对数之和也是 $\frac{1}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1}$ , 即有符合条件的线排列数是 $\frac{n + m}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1} .$

(2) 令d是n, m, k的公约数, $\frac{n}{d}$ 个黑球分成 $\frac{k}{d}$ 组, $\frac{k}{d}$ 个黑色数字的线排列之和是 $C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) ‚ \frac{m}{d}$ 个红球分成 $\frac{k}{d}$ 组, $\frac{k}{d}$ 个红色数字的线排列之和是 $C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1)$ , 黑色数字的线排列与红色数字的线排列相嵌, 可得到 $\frac{2 k}{d}$ 个数字的线排列 $2 C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1)$ 个.

令h是 $\frac{D}{d}$ 的一个约数, 函数 $Μ (\frac{D}{d h})$ 表示 $\frac{2 k}{d}$ 个数字, 周期是 $\frac{2 k}{d h}$ 的圆排列的个数, 函数 $f (\frac{D}{d})$ 表示 $\frac{2 k}{d}$ 个数字的线排列之和, 则有:

$f (\frac{D}{d}) =$ $\sum_{h | \frac{D}{d}}$ $\frac{2 k}{d h} Μ (\frac{D}{d h})$

$= 2 C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1)$ . ①

$\frac{2 k}{d}$ 个数字的任意一个圆排列, 展开所产生的任意一个线排列复制d个, 再组成一个2k个数字的分圆排, 每一个线排列所能得到的分圆排均相同, 且周期与这个 $\frac{2 k}{d}$ 个数字的圆排列相同, 又因为周期相同展开的线排列数相同, 因此①式可以理解是2k个数字的一部分分圆排, 展开的线排列之和.

令 $g (\frac{D}{d h}) = \frac{2 k}{d h} Μ (\frac{D}{d h})$ , 当h=1时, $g (\frac{D}{d}) = \frac{2 k}{d} Μ (\frac{D}{d})$ , 由上面的题设可知 $Μ (\frac{D}{d})$ 表示 $\frac{2 k}{d}$ 个数字的整圆排的个数, 由以上论述可知 $Μ (\frac{D}{d})$ 也可表示2k个数字周期是 $\frac{2 k}{d}$ 的圆排列的数量, 2k个数字的圆排列总数是 $\sum_{d | D}$ $Μ (\frac{D}{d})$ , 由①式可得

因2k个数字的圆排列, 与n个黑球m个红球的圆排列是一一对应的关系, 因此上式也可以表示两种小球的圆排列数.

命题2要求n≥m≥k≥1, k的所有可取的值是:1, 2, …, m, 因此 $\sum_{k = 1}^{m}$ $\frac{n + m}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1}$ 是n+m个小球的线全排列, $\sum_{k = 1}^{m}$ $\frac{1}{k}$ $\sum_{d | D}$ $ϕ (d) C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1)$ 是n+m个小球的圆全排列, 因而有下面两个等式.

摘要：国内外的《组合数学》中, 有的还没有讨论圆排列问题, 更没有讨论圆排列的相对计数法和圆排列相嵌问题.本文引入这两种新概念, 利用新发现的圆排列相嵌与线排列相嵌的关系, 才完成命题的证明, 解决了两种元素的圆排列的枚举问题, 这也可以说明圆排列理论基本成熟, 同时也为组合枚举提供了一种具有理论依据的新方法, 这里不做实例演示, 只给出理论证明和枚举所需的步骤.

关键词：圆排列,线排列,相嵌,相对数之和

参考文献

[1]马光思.组合数学[M].西安电子科技大学出版社, 2002.

[2]卢开澄, 卢华明.组合数学[M].北京:清华大学出版社, 2006.

篇4：圆辅助线的分类作法探究

笔者在多年的教学实践中,经过与同行的交流合作,探究出有关圆的作辅助线的几种方法,现将其总结归类,供读者参考。

有关圆的辅助线的常规作法有以下四大类:

一、“圆——线”型辅助线常规作法:

“圆——线”型指以圆及圆的重点线段的结合为图形模型,以圆及相关重点线段为构成要素,已知圆的某些性质特征及线段的特点,求圆及线段的其他特征,常见线段有:直径、弦(非直径)、半径、弦心距、切线和割线等。

例如,已知:如图3,⊙O的半径为5,AB所对的圆心角为120°,则弦AB的长是多少?

解析:过点O作AB的垂线与AB相交于点E。因为∠AOB=120°,所以∠AOE=60°,AE=AOsin60°=5× = 所以AB=2AE=2× =

又如,已知:如图,A是以EF为直径的半圆上的一点,作AG⊥EF交EF于G,又B为AG上一点,EB的延长线交半圆于点K,

求证:

证明,连结AF,AK

∵EF是直径

∴∠EAF=90°

又∵AG⊥EF

∴∠AFE=∠GAE

又∵∠AKE=∠AFE

∴∠AKE=∠EAG

∠AEK=∠AEB

∴△AEB∽△KEA

二、“圆——角”型辅助线的常规作法:

“圆——角型”即以圆及圆内特殊角构成几何图形模型,其角一般包括圆心角、圆周角、弦切角、园内角、圆外角等,

如图,AB在⊙O的直径,点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.

(1)CD是⊙O的切线吗?说明你的理由;

证明:∵∠CAB=30°

.∴∠COB=60°

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°

∴∠ABC=60°

∴CB=OB

又∵BD=OB

∴∠ODC=∠DCB=30°

∵∠OCB=60°

∴∠DCO+∠OCB=30°+60°=90°

∴CD是圆的切线

已知:如图,△ABC内接于⊙O,AE是⊙O的直径,CD是△ABC中AB边上的高,

求证:AC•BC=AE•CD

证明,连结EC,

∵AE是直径

∴∠ACE=∠D=90°

又∵∠B=∠E

∴△BDC∽△ECA

∴

即AC•BC=AE•CD

三、“圆——圆——线”型辅助线作法:

这种图形的组成元素包括两个圆及相关重点直线(如公切线、连心线、公共弦等)

如图,两等圆⊙O1和⊙O2相外切,过O1作⊙O2的两条切线O1A、O1B,A、B是切点,则∠A O1B等于(B)

A.90° B.60°C.45°D.30°

解析:如右图所示,分别连接O1O2, O2A, O2B ,O2A⊥O1A, ∠O1AO2=900, 在Rt△O1AO2中,O1O2=2 O2A所以∠AO1O2=30°,所以∠A O1B等于60°。

四、“圆——三角形”型,这类图形一般由圆和与直径相关的直角三角形与半径相关的等腰三角形构成:

已知:如图,平面直角坐标系中,半圆的直径AB在x轴上,圆心为D.半圆交y轴于点C,AC=2 ,BC=4 .

(1)证明:△AOC∽△ACB;

(2)求以AO、BO两线段长为根的一元二次方程;

(3)求图象经过A、B、C三点的二次函数的表达式;

(4)设此抛物线的顶点为E,连接EC,试判断直线EC与⊙O的位置关系,并说明理由.

(1)证明:∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°.∴∠AOC=∠ACB, ∠CAO=∠BAC .

∴△AOC∽△ACB .

(2)AB= =10,

∵△AOC∽△ACB, ∴ .∴AO= =2, BO=AB-AO=10-2=8.

∴以AO、BO两线段长为根的一元二次方程为x2-10x+16=0.

(3)在Rt△AOC中,OC=4, ∴A(-2,0) , B(8,0), C(0,4).

设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), 依题意有:

∴ ∴

表达式为:y=- x2+ x+4.

(4)直线EC与⊙D相切,理由如下:

∵

∴顶点E的坐标为(3, ). 连接EC、CD、ED,则CD=AD=5,ED= .

∴CF=3,EF= ,CE= .

∴CD2+CE2= ,DE2= .

∴CD2+CE2=DE2 . ∴∠DCE=90°,CD为半径.

∴直线EC与⊙D的位置关系是相切.

篇5：初三圆知识点总结

1.点的轨迹是符合某些条件的所有点组成的图形.

注：分析点的轨迹图形时，先描出几个符合条件的点，再猜想这些点会构成什么图形.

2.垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线，平分这条弦，且平分弦所对的弧.

注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径，

构造Rt△，再结合勾股定理求解.

3.推论：圆中两平行弦所夹的弧相等.

4.同圆或等圆中，以下四个条件中的一个成立，则它们所对应的其余条件都成立：

(1)弧相等;(2)弦相等;(3)圆心角相等;(4)弦心距相等.

5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角=它所对的圆心角的一半.

或：一条弧所对的周角的度数=这条弧的度数的一半.

6.推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等.

逆：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

7.推论2：直径所对的圆周角是直角.

逆：90°的圆周角所对的弦是直径.

8.(1)圆内接四边形，对角互补;

(2)圆内接四边形，任一外角等于它的内对角.

9.圆中要确定圆周角与圆周角(或圆周角与圆心角)的关系通常先观察它们所对的弧.

10.(1)要经过两点作圆，圆心在两点连线段的垂直平分线上;

篇6：初中圆知识点总结

1、圆是到定点的距离等于定长的点组成的图形。

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点组成的图形。

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点组成的图形。

4、同圆或等圆的半径相等。

5、到定点的距离等于定长的点组成的图形，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

6、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。

7、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

8、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

9、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

10、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形。

11、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆周角相等，所对的弦的弦心距相等。

12、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

13、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

14、推论：

1、同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

15、推论：

2、半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

16、推论：

3、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（注：这是用来证明三角形是直角三角形的一种方法）

17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（这个定理现在的书上没有）。

21、直线和圆的位置关系：

①直线L和⊙O相交d﹤r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d﹥r

（其中：d表示直线到圆心的距离，r表示圆的半径）

18、切线的判定定理：经过半径的外端（或者直径的一端）并且垂直于这条半径（或这条直径）的直线是圆的切线。

19、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径（或直径）。

20、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

21、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

注：小结为过圆心、过切点，垂直于切线，22、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆

心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（这个定理书上没有）

23、定理：圆的外切四边形的两组对边的和相等。（这个定理书上没有）

24、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。（这个定理书上没有）

25、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（这个定理书上没有）

26、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上（其中：d表示圆心距，R表示大圆的半径，r表示小圆的半径）

27、①两圆外离d﹥R+r

②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④两圆内切d=R-r(R﹥r)

⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

28、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

29、扇形弧长计算公式：L=n兀R／180（其中：L表示弧长，n表示圆心角的度数，R表示扇形的半径）

30、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2（其中：L表示弧长，n表示圆心角的度数，R表示扇形的半径）

31、圆锥的侧面积公式：S侧=S扇形 =（1/2）×扇形半径 × 扇形弧长=π rL（其中：r表示底面圆的半径，L表示扇形的半径：即圆锥的母线长）

32、圆锥的全面积：S全= S侧+ S底面圆=π rL+π r2

篇7：初中数学圆知识点总结

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为L=nπr／180

2、扇形面积公式,其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长.

S=﹙n／360﹚πR2=1／2×lR

3、圆锥的侧面积,其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径.

S=1／2×l×2πr=πrl

4.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

6.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

4、弦切角定理

弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角.

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角.

二.圆周角和圆心角的关系:

1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等;

篇8：初中圆知识点精华总结

1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等

8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

12.①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 dr

13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角

19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

20.①两圆外离 dR+r ②两圆外切 d=R+r

③.两圆相交 R-rr)

④.两圆内切 d=R-r(Rr)⑤两圆内含dr)

篇9：中考数学圆知识点总结

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

(二)能力训练要求

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.

(三)情感与价值观要求

1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.

2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

教学重点

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.

2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.

教学方法

教师指导学生自主探索交流法.

教具准备

投影片三张

第一张：(记作§3.4A)

第二张：(记作§3.4B)

第三张：(记作 §3.4C)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一点能作几个圆?经过两点、三点……呢?本节课我们将进行有关探索.

Ⅱ.新课讲解

1.回忆及思考

投影片(§3.4A)

1.线段垂直平分线的性质及作法.

2.作圆的关键是什么?

[生]1.线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段A B的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等.

[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点即为圆心，定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的关键是什么?

[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.

2.做一做(投影片§3.4B)

(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆?

(2)作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?

(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上).你是如何作的?你能作出几个这样的圆?

[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答.

[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来.所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆. 由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).

(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此圆心到A、B的距离相等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上.在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).

(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等.因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心.

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.

[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢?

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

投影片(§3.4C)

作法图示

1.连结AB、BC

2.分别作AB、BC的垂直

平分线DE和FG，DE和

FG相交于点O

3.以O为圆心，OA为半径作圆

⊙O就是所要求作的圆

他作的圆符合要求吗?与同伴交流.

[生]符合要求.

因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等;连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等.ED与FG的满足条件.

[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆.过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4.有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).

Ⅲ.课堂练习

已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点?

解：如下图.

O为外接圆的圆心，即外心.

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部.

Ⅳ.课时小结

本节课所学内容如下：

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.

方法.

3.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.

Ⅴ.课后作业

习题3.6

Ⅵ.活动与探究

如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?

解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径.它们的交点就是圆心.

1.中考数学知识点考点汇总

2.中考数学函数公式总结

3.中考数学统计公式总结

4.2017中考数学答题技巧总结

5.中考数学答题技巧总结

6.2017初中数学知识点总结

7.2017安徽中考数学试题及答案

8.2017南京中考数学试题及答案

9.2017无锡中考数学试题及答案

篇10：初中圆的知识点总结

圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似;不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。

正多边形诀窍歌:份相等分割圆，n值必须大于三，依次连接各分点，内接正n边形在眼前.

篇11：六年级上册数学圆知识点总结

比和比例

比的意义和性质，比例的意义和基本性质，解比例，成正比例的量和成反比例的量。

几何初步知识

圆的认识，圆周率，画圆，圆的周长和面积，扇形的认识，轴对称图形的初步认识，圆柱的认识，圆柱的表面积和体积，圆锥的认识，圆锥的体积，球和球的半径、直径的初步认识。

按比例分配解题技巧

小技巧：a.把比转化成为分数，用分数方法解答，即先求出总分数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少

b.把比看做分得的分数，先求出各部分的总分数，然后再用“总量总份数=平均每份的量(归一)”，再用“一份的量各部分量所对应的份数”，求出各部分的量。

c.用比例知识解答：首先设未知量为。再根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x的比例式，再解比例求出x。

用正、反比例知识解答应用题的步骤

小技巧：(1)分析数量关系。判断成什么比例。(2)找等量关系。如果成正比例，则按等比找等量关系式;如果成反比例，则按等积找等量关系式。(3)解比例式。设未知数为x，并代入等量关系式，得正比例式或反比例式。(4)解比例。(5)检验并写出答语。

数学分数大小比较知识点

同分母分数相比较，分子越大分数越大。

同分子分数相比较，分母越小分数越大。

分子分母都不相同的分数相比较的方法：

用通分的方法把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，再比较大小。(把两个分数化成分子相同的分数，再比较大小)

补充知识点：

篇12：九年级上册数学圆知识点提纲

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点、直线、圆和圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径;

②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径;

③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径。

2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3.外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

4.直线和圆的位置关系

相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

5.直线和圆位置关系的性质和判定

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

①直线l和⊙O相交<=>d;

②直线l和⊙O相切<=>d=r;

③直线l和⊙O相离<=>d>r。

三、正多边形和圆

1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。

3、正多边形的有关概念：

(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。

(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。

(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。

(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

4、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆。

(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。(3)边数相同的正多边形相似。

四、有关圆的公式

(1)给直径求圆的周长:c=πd。

(2)给半径求圆的周长:c=2πr。

(3)给直径求圆的半径:r=d÷2。

(4)给周长求圆的半径:r=c÷π÷2。

(5)给半径求圆的直径:d=2r。

(6)给周长求圆的直径:d=c÷π。

(7)给直径求半圆周长:c=πr+d。

(8)给半径求半圆周长:c=πr+2r。

初中数学分式方程的解法

1.一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母。

2.特殊解法：换元法。

3.验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根.因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法。

数学全等三角形基本定义

⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。

⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。

篇13：数学九年级上册圆的知识点

1.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

①点在圆上<===>d=r;②点在圆内<===>dd>r.

二.圆的对称性:

1.与圆相关的概念：

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

三.圆周角和圆心角的关系:

1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等;

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;

四.确定圆的条件:

1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:

经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.

2.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.

3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:

(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.

(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.

初中数学实数的概念及分类

1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数

负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

(1)开方开不尽的数，如7,2等;

π(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等; 3

(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;

数学有理数基础知识点

1.有理数的加法运算

同号两数来相加,绝对值加不变号。

异号相加大减小,大数决定和符号。

互为相反数求和,结果是零须记好。

“大”减“小”是指绝对值的大小。

2.有理数的减法运算

减正等于加负,减负等于加正。

有理数的乘法运算符号法则。

同号得正异号负,一项为零积是零。

3.有理数混合运算的四种运算技巧

转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算。

凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解。

分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算。

篇14：九年级下册数学直线与圆知识点

直线与圆的位置关系

1.直线方程⑴点斜式： ;⑵斜截式： ;⑶截距式： ;⑷两点式： ;⑸一般式：，(A，B不全为0)。(直线的方向向量，法向量)

2.求解线性规划问题的步骤是：(1)列约束条件;(2)作可行域，写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。

3.两条直线的位置关系：

4.直线系

5.几个公式⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，⊿ABC的重心G是：( );⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离： ;⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是;

6.圆的方程：⑴标准方程：① ;② 。⑵一般方程： ( 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C0且B=0且D2+E2-4AF

7.圆的方程的求法：⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。

8.圆系：⑴ ; 注：当时表示两圆交线。⑵ 。

9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)⑴点与圆的位置关系：( 表示点到圆心的距离)① 点在圆上;② 点在圆内;③ 点在圆外。⑵直线与圆的位置关系：( 表示圆心到直线的距离)① 相切;② 相交;③ 相离。⑶圆与圆的`位置关系：( 表示圆心距，表示两圆半径，且 )① 相离;② 外切;③ 相交;④ 内切;⑤ 内含。

10.与圆有关的结论：⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。

初中数学基本函数的概念及性质

1.函数y=-8x是一次函数。

2.函数y=4x+1是正比例函数。

3.函数是反比例函数。

4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下。

5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.

6.抛物线的顶点坐标是(1,2)。

7.反比例函数的图象在第一、三象限。

数学一元一次方程知识点

(1)方程：先设字母表示未知数，然后根据相等关系，写出含有未知数的等式叫做方程。

(2)一元一次方程

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，叫做一元一次方程。求出方程中未知数的值叫做方程式的解。