动态几何的解题策略——动态几何复习课的反思

关键词： 压轴 动态 中考 课程标准

动态几何就是研究在几何图形的运动中, 伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性。随着数学新课程标准的实施, 动态几何题常常被列为中考的压轴问题, 综合考查了同学们对图形的想象能力以及从变化中领悟到数学各部分知识相互联系和转化的数学本质。聚焦近几年的动态几何问题, 其主要研究在几何图形运动中, 图形的位置、数量关系的变化, 在“变”中探求“不变”的本质, 就其运动对象及形式而言, 有点动、线动、面动;从数学实践的操作层面而言, 有平移、旋转、翻折、滚动等。这些问题集几何、代数知识于一体, 有较强的综合性, 题目灵活、多变, 动静结合, 较好地渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想。解决动态几何题的策略是把握图形运动规律, 寻求图形运动中的一般与特殊位置关系;在“动”中求“静”, 在“静”中探求“动”的一般规律。通过探索、归纳、猜想, 获得图形在运动过程中的规律。当求变量之间的关系时, 通常建立函数模型或不等式模型求解;在求特殊位置关系和某些特定的值时, 常结合图形特征建立方程模型求解。基于这样的想法, 从以下几方面进行了考虑。

1 知识网络

《动态几何》涉及的几种情况:动点问题;动线问题;动形问题。

2 动点问题

动点问题设计了两类。一是单点动, 如:

如图1, 在⊙O中, AB是直径, ∠BOC=120°, PC是⊙O的切线, 切点是C, 点D在劣弧BC上运动, 当∠CPD满足什么条件时, 直线PD与直线AB垂直?证明你的结论。

本题“动中有静”, 考查了四边形的内角和、切线等性质, 解决此类问题要分清已知和未知, 明确解题的出发点, 旨在考查同学们逆向探索问题的能力。从学生反馈来看, 还可适当增加一些这类问题, 学生印象不够深刻, 体会不深。

二是多动点型, 如图2:在三角形ABC中, ∠B=60°, BA=24cm, BC=16cm。

现有动点P从点A出发, 沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发, 沿射线C B也向B方向运动, 如果点P的速度是4cm/s, 点Q的速度是2cm/s, 它们同时出发, 求:几秒钟以后, △P B Q的面积是△ABC的面积的一半?

本题在讲解时, 作了铺垫, 从相似的两个基本图形出发, 过渡本题中, 感觉时间不宜纠缠太多, 只要学生体会到动态问题中有这样的基本图形即可。因此在进一步引入时, 可在问题再做文章, 比如可追问在上述情形下的PQ间距离是多少等, 可让学生感受到数学的变式训练, 从而体会解决这类问题的一种策略。

3 动线问题

3.1 线平移型

在平行四边形A B C D中, A D=4 c m, ∠A=60°, BD⊥AD.一动点P从A出发, 以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动, 过点P作直线P M, 使PM⊥AD。

(1) 当点P运动2秒时, 设直线PM与AD相交于点E, 求△APE的面积。

(2) 当点P运动2秒时, 另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动, 且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动, 在BC上以每秒2 c m的速度匀速运动。过Q作直线QN, 使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒 (0≤t≤10) , 直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2。求S关于t的函数关系式。

本题较为复杂, 条件既相互关联又相互制约, 在解题中“由数思形, 以形促数”可以开辟多角度、多层次的解题思维途径。从题目本身看, 是“数”和“形”两方面, 从同学们能力角度看, 则是要考查同学们的运算能力和对复杂图形的结构能力。

3.2 线旋转型

本类问题没做过多的探索, 考虑到旋转问题还是和图形的旋转紧密关联, 课堂上没做过多的研究, 只是一带而过, 而考虑放至以后的课时中训练!

4 动面问题 (动图问题)

此类问题, 涉及图形的平移、旋转、翻折等内容, 在以上一节课时间内完成不太实际, 因此考虑至少分两节以上的课时完成动态几何的复习工作, 专门设置一课时研究图形的变化问题显得很必要。

5 结语

动态几何问题知识覆盖广, 形式多样, 其中蕴含数学思想丰富, 在考试中较好解决此类问题是有一定难度的, 要想较好应对动态几何问题, 必须做到:

(1) 重视双基和数学思想方法中考数学试题很多都来源于课本或同学们的生活实践, 从基本要求出发适当加以拓展, 因此, 在具体学习中要探索和挖掘丰富、自然、详尽的合情推理过程。

(2) 突出探究性活动, 重视适度论证。在学习时, 要尽可能地通过丰富的实例, 激发学习兴趣, 通过自主探索, 认识和掌握图形性质, 积累经验, 发展空间观念和推理的能力, 让同学们亲历动手实验、操作数学的过程, 同时不要放松对推理和论证的要求。

(3) 把好审题关、计算的准确关和表达的规范关。动态几何压轴题往往文字阅读量较大, 因此在平时训练中要求同学们仔细读题、审题, 力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等方面真正看懂题目, 弄清条件和结论是什么?它们分别和哪些知识有联系?仔细思考, 找到解题途径, 同时注意推理要严谨、逻辑性强, 表达书写整洁规范。

摘要：动态几何就是研究在几何图形的运动中, 伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性。解决动态几何题的策略是把握图形运动规律, 寻求图形运动中的一般与特殊位置关系;在“动”中求“静”, 在“静”中探求“动”的一般规律。

关键词：动点问题,动线问题,动形问题