Hamilton

关键词： 集合 表示

Hamilton（精选九篇）

Hamilton 篇1

本文用e表示群的单位元, σa表示群的元素a决定的群的内自同构, 用Z表示整数集合表示空集, |A|表示集合A的元素个数, 叫作集合A的阶.

设H是群G的子群, a∈G. 集合a H = { ah | h∈H} 与Ha = { ha | h∈H} 分别称为H的含有a的左陪集与右陪集.若a∈G, 有a H = Ha, 则称H是G的正规子群.

H的左陪集个数与右陪集个数相同. 这个个数称为H的指数, 记作[G: H]. H的左 ( 右) 陪集全体构成G的一个分类.

设σ是G的自同构. 若, 则称H在σ下不变; 若H在G的所有自同构下不变, 则称H是G的特征子群.

H是群G的正规子群

若φ是群G 到的同态满射, 则当H是G的 ( 正规) 子群时, φ ( H) 是的 ( 正规) 子群; 当的 ( 正规) 子群时, 是G的 ( 正规) 子群.

若G是一个非交换群, 且G的每一个子群都是正规子群, 则称G是Hamilton群.

2. Hamilton群的必要条件

定理2. 1若G是Hamilton群, 则

( 1) G的子群也是Hamilton群;

( 2) G的同态象也是Hamilton群;

( 3) G的商群也是Hamilton群;

( 4) a, x∈G, 存在整数k, 使得a = ( xax- 1) k, 即a是其任意共轭元的幂.

证明 ( 1) 设H是G的子群, 则H的任意子群W也是G的子群, 由条件知W是G的正规子群, 于是有a W = Wa, 即W是H的正规子群, 故H是Hamilton群.

( 2) 设是G的同态象, 则存在G到的同态满射φ.令的任意子群, 则是G的子群, 由条件知H是G的正规子群, 于是的正规子群, 故是 Hamilton 群.

( 3) 因为G的商群G/N是G的同态象, 所以商群G/N也是Hamilton群.

( 4) 由条件, 由a生成的子群H = ( a) = { ak| k∈Z} 是G的正规子群, 于是有x H = Hx, 所以存在整数k, 使得xak=ax, 故a = xakx- 1= ( xax- 1) k.

3. Hamilton群的等价条件

定理3. 1设G是一个非交换群, 则下列条件等价.

( 1) G 是 Hamilton 群.

( 2) G的任意子群H都适合: ( a H) ( b H) = ( ab) H ( a, b∈G) .

( 3) G的任意子群H的左陪集集合关于群子集的积运算构成群.

因为W关于群子集的积运算构成群, 所以W对群子集的积运 算封闭, 从而a H∈W, 有y∈G, 使得 ( aH ) ( a- 1H) = yH , 因为e = ( ae) ( a- 1e) ∈y H, 所以存在m∈H, 使得e = ym, 从而可得y = m- 1∈H, 于是yH = H, 即 ( a H) ( a- 1H) = H, 因此, 对h∈H有aha- 1= ( ah) ( a- 1e ) ∈ ( a H) ( a- 1H) = H, 所以H是群G的正规子群, 再由H的任意性, 可知G是Hamilton群.

定理3. 2设G是一个非交换群, 则下列条件等价.

( 1) G 是 Hamilton 群.

( 2) G的任意子群H在G的任意内自同构下不变.

( 3) G的任意子群H的正规化子N ( H) = { a∈G | a H =Ha} = G.

( 4) G的任意子群H每个左陪集都是一个右陪集.

4. Hamilton群的充分条件

定理4. 1设G是一个非交换群, 则下列条件之一成立时, G是Hamilton群.

( 1) G的任意子群H的指数都是2.

( 2) 与G的任意子群H同阶的子群只有一个.

( 3) G的任意子群H都包含于G的中心.

( 4) G的任意子群H都是特征子群.

证明 ( 1) a∈G, 若a∈H, 则有a H = H = Ha. 若则H, a H是H的两个不同的左陪集, 而H, Ha是H的两个不同的右陪集. 因为[G: H]= 2, 所以有G = H∪ ( a H) , G = H∪ ( Ha) , 且于是有a N = G - N = Na.

由此可见, H是群G的不变子群. 再由H的任意性, 可知G是Hamilton群.

( 2) a∈G, 令φ: h→aha- 1 ( h∈H) , 则

1°φ显然是H到a Ha- 1的一个映射.

2°x∈a Ha- 1, 存在h∈H, 使得x = aha- 1, 从而有φ ( h) = aha- 1= x, 所以φ是H到a Ha- 1的一个满射.

3°若φ ( h1) = φ ( h2) , 则ah1a- 1= ah2a- 1, 于是有h1= h2, 所以φ是H到a Ha- 1的一个单射.

综上所述, 可知φ是H到a Ha- 1的一个双 射. 因而aH a- 1与H阶相同, 所以由条件可知a Ha- 1= H, 即H是正规子群. 再由H的任意性, 可知G是Hamilton群.

( 3) 由于H都包含于G的中心, 所以H中的元素与G的任一元素都可交换, 因此a∈G, 有a H = { ah | h∈H} ={ ha| h∈H} = Ha, 即H是群G的正规子群. 再由H的任意性, 可知G是Hamilton群.

( 4) 因为H是G的特征子群, 所以H在G的任意自同构下不变, 从而H在G的任意内自同构下不变, 因而由定理3. 2知G是Hamilton群.

摘要：给出了Hamilton群的若干必要条件、等价条件、充分条件.

关键词：子群,正规子群,Hamilton群

参考文献

[1]唐忠明.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社, 2006.

[2]韩士安, 林磊.近世代数[M].北京:科学出版社, 2004.

[3]杨子胥, 宋宝和.近世代数习题解[M].济南:山东科学技术出版社, 2003.

[4]张禾瑞.近世代数基础 (修订本) [M].北京:高等教育出版社, 1978.

Hamilton 篇2

T2上的正交分离Hamilton系统

在给定度量的流形T2上得到Liouville可积的正交分离的Hamilton系统的分类,并证明在任何紧的能量面上解析Hamilton流具有零拓扑熵.进一步地,通过例子显示T2上的可积Hamilton系统可以有复杂的.动力学现象.例如,它们有多族不变环面,每一族都由同宿环状柱面和异宿环状柱面所包围.据知,这是第1个具体的例子来表现很多族环面在一个复杂的方式下同时出现.

作 者：陈诚 刘飞 张祥  作者单位：上海交通大学数学系,上海,40 刊 名：中国科学A辑  ISTIC PKU英文刊名：SCIENCE IN CHINA(SERIES A) 年，卷(期)： 37(11) 分类号：O1 关键词：Hamilton系统   Liouville可积   正交分离   度量   动力学   拓扑熵  

Hamilton 篇3

(上海海事大学物流工程学院，上海 201306)

0 引言

海底输油气管道是海上油气田开发生产系统的主要组成部分，是连续地输送大量油气最快捷、最安全和经济可靠的运输方式.［1]受到海底地形地貌、波浪、海流冲刷等影响，海底管道难免出现悬跨，悬跨管道可长达几十米，位于深十几米的海水中.管道悬跨会影响管道的稳定性，易引发涡激共振导致管道疲劳破坏，缩短管线寿命甚至酿成工程事故，造成严重的经济损失和恶劣的社会影响.例如，2000年10月，东海平湖油气田输油管线，因台风和海床冲刷出现多处较长距离的悬跨段，有两处发生管道疲劳断裂，原油生产被迫中断110 d.所以，对悬跨管道进行研究具有重要的理论和工程实际意义.

LARSEN等［2]在悬跨支撑处采用非线性方法处理边界条件，进行海底悬跨管道涡激振动的非线性时域分析.CHOI［3]根据能量平衡理论求解悬跨的固有频率，提出改进的设计准则计算极限管道悬跨长度.MADGA［4]利用二维平面应变有限元模型研究砂质海床上埋置管道的波浪升力，考虑不同土体饱和度对管道升力的影响.杨新华等［5]采用Hermit插值函数对管道动力特性方程进行离散，并以约化速度作为控制条件，确定管道允许悬空长度.包日东等［6]用微分求积法分析不同支承条件下输流管道的允许悬跨长度.李昕等［7]利用水下振动台进行海底悬跨管道动力模型试验，分析管道悬跨长度、悬跨高度、支撑情况和管内运输不同物质等因素对海底悬跨管道动力响应的影响.黄维平等［8]对输送液体的模型管道进行涡激振动试验研究.李晓猛等［9]、郑苏等［10]用实验方法模拟圆截面杆件的风致振动及控制涡激共振的干扰措施.郝志永等［11]用粒子图像测速系统分析和探讨不同列板条纹高度对柱状结构尾涡形态变化的影响.

目前大多数研究基于理想简化模型，对内外流同时作用、材料黏弹性等复杂载荷耦合作用下海底悬跨管道动态特性和疲劳破坏机理的研究还比较少.同时，在方程求解方面，一般采用消元法将方程转换为高阶微分形式，或采用Galerkin法将方程转换为二阶微分方程，然后运用Runge-Kutta法、有限差分法等求解，但这些方法对时间步长都比较敏感，特别是长时间动力响应的精度很难得到保证.因此，有必要探索高效而稳定的数值算法，以更有效地分析海底管道结构的动力学特性.

另外一种思路是将运动方程由Lagrange体系转换到Hamilton体系，在原变量和其对偶变量组成的辛空间中展开求解.例如，STANGL等［12]应用辛变换方法和平均法研究两端支承管道的次谐波共振和组合共振的幅频特性曲线.钟万勰［13]提出精细时程积分法计算结构动力响应，其数值结果可以理解为计算机精确解.该方法已经在结构动力分析、优化控制、偏微分方程求解领域得到广泛应用，具有较好的应用前景.

本文在Hamilton体系下建立海底悬跨管道的对偶正则方程，运用精细积分法分析复杂载荷作用下海底悬跨管道的动态特性，从而为海底管道的稳定性评估和疲劳寿命预测奠定基础.

1 海底悬跨管道运动方程

1.1 一般动力学方程

建立如图1所示模型，管道轴线为x轴，y轴与重力方向相反.根据海底管道特点，假设悬跨段两端为简支支承.

图1 管道悬跨段模型

假设m1和m2分别为单位长度管道及其内流体质量.悬跨管道截面为规则圆形，外径为D，横截面积为S，其悬空长度为L，内流压强为P，轴向力为T.假设:(1)管内流体以恒定流速V流动;(2)海流为稳定流，流速为U;(3)不计管道的顺向和横向振动的耦合作用.

在管道x处取微元dx，将流体微元与管道微元分离进行分析，得到

式中:M为弯矩;cw为流体阻尼;Fw为管外流体在单位长度管道上的作用力，主要包括涡激升力和海流拖曳力.涡激升力计算公式为

式中:CL为升力因数;ρw为管外流体密度;ωs=为漩涡发放圆频率，Sr为斯特劳哈尔数.海流拖曳力计算公式为

式中:CD为拖曳力因数;ω′s=2ωs为顺向力作用频率.假设管道材料为线弹性材料，本文考虑Kelvin-Voigt黏弹性材料模型，该模型由弹簧与阻尼器并联而成.弯矩可表示为式中:E和η分别为材料弹性模量和黏弹性系数;I为管道横截面的惯性矩.

将式(4)代入式(1)中，可得到考虑材料黏弹性的悬跨管道运动微分方程:

对上述变量进行无量纲化处理:

将式(6)代入式(5)，得到下列方程:

式(7)即为考虑内外流、流体压力、轴向力和材料黏弹性的管道的一般运动方程，下面将其转化为Hamilton体系下的运动方程.

1.2 运动方程辛表述

首先运用Galerkin方法对式(7)进行离散化处理，然后将方程降阶，转化为一阶常微分方程组求解.

假设该方程的解为

式中:qj(τ)为广义坐标;φj(ξ)为满足边界条件的振型函数.以往研究表明，仅考虑两阶模态即可保证计算结果有足够的精度，故取n=2展开模态计算，运动方程即转化为两阶微分方程.定义以下参数:

将式(8)与(9)结合后代入式(7)，在方程两边同乘以 φi，并在［0，1]上积分，利用特征方程的正交性质化简后，得到

式中:Λ 为特征值矩阵;B，C，N，R 分别为 bij，cij，ni，rij的矩阵.

引入状态向量V=(q p)T，则式(10)可以化为Hamilton体系下的状态向量的微分方程组:

可以看出，悬跨管道方程是典型的非线性动力学问题.下面利用基于线性插值的精细积分法求解.

2 精细积分法

首先根据精细积分法求解齐次方程V·(t)=HV.因为 A是定常矩阵，其通解可写成 V=exp(Ht)·v0，v0为初始值.

精细积分法有2个要点:2N类算法和计算增量.

设数值积分的时间步长为μ.指数矩阵函数的加法定理由下面的恒等式给出:

可取m=2N，若N=20，m=1 048 576.由于 μ 本身是不大的时间区段，则τ=μ/m是非常小的一个时间区段.因此，这个极小的时间区段按泰勒级数展开后也有较高精度.这是要点1.

因τ很小，exp(Hτ)幂级数展开5项已足够.此时指数矩阵T(τ)与单位阵In相差不大，故写为

在计算中至关重要的一点是:指数矩阵的存储只能是上式中的增量Ta.因为Ta很小，当它与单位阵In相加时，就会成为其尾数，在计算机的舍入操作中，其精度将丧失殆尽.这是要点2.

根据以上计算步骤编程，即可实现较高的计算精度.

将时间分解为较小的步长，在(tk，tk+1)内的响应可以写为

现在的问题集中于如何处理与时间、未知向量相关的F(τ).本文采用高斯公式，即将代入积分项表达式，有

上式中取n=3时为三节点高斯公式，代数精度为5.此时式中参数为:.这样，就得到由当前时刻tk的解求下一时刻tk+1的解的递推公式，从而将精细积分法进一步推广到非线性动力学问题.

3 悬跨管道动态响应分析

影响海底悬跨管道动力特性的因素较多，本文首先计算横向、顺向涡激共振时程响应，并考察海流流速、内流流速、内流压强、轴向力、黏弹性系数对管道振幅的影响.

选择以下管道及流体参数进行计算.管内流体密度为 908.2 kg/m3，管道材料密度7 850 kg/m3，管道材料弹性模量为2.1×1011Pa.管外流体密度为1 025 kg/m3，管道外径 0.426 m，管壁厚 0.014 m，管道跨长 70 m.升力因数 3.0，拖曳力因数 1.2，惯性力系数2.0，斯特劳哈尔数 0.2.此时，不考虑阻尼、轴力、压强等因素，管道第一阶固有频率为0.74 rad/s.

3.1 海流作用下管道振动响应

为计算管道横向共振时的响应问题，令漩涡发放频率等于管道固有频率，计算得此时海流流速为0.266 m/s.计算管道的时程响应，得出管道中点的时程位移响应见图2.同理，计算海流作用下管道顺向共振时程位移响应，见图3.

图2 管道横向共振时程响应

图3 管道顺向共振时程响应

将计算结果与横向振动的时程响应比较可以看出，在涡激振动中管道顺向振动频率是横向振动频率的两倍，但是在200 s时横向共振幅值约为0.3 m，而顺向共振幅值约为0.056 m，不到前者的20%，所以在海流作用下的海底管道动力计算中通常只考虑管道横向振动.

3.2 海流流速对管道振幅的影响

海流流速对管道振幅的影响表现在两方面:一方面海流流速的增加使激励力幅值增大，这使得管道振动幅值增加;另一方面海流流速增加也使漩涡发放频率增加，从而增大水动力阻尼，使得管道振动幅值减小.因此，海流流速对振动幅值的影响相对复杂.图4是海流流速从0到2.0 m/s变化过程中管道振幅的变化.

图4 海流流速对管道振幅的影响

从图4可以看出，海流流速的增加引起漩涡频率提升而出现共振.共振时的海流流速为0.266 m/s，这与上节计算所得的共振时海流流速一致.当海流流速大于0.5 m/s时，管道振幅稳定在0.05 m附近，变化较小.

3.3 内流流速对管道振幅影响

一般来说，内流会降低管道的固有频率.取内流流速在0到20 m/s之间变化，并取海流流速分别为 0，0.05，0.10，0.15 和 0.20 m/s 进行计算，得到悬跨段管道垂向振动幅值随内流流速的变化，见图5.从图5可以看出:管道振幅随内流速度增加而增加，特别是在海流涡激发放频率附近，增加更为明显.

图5 内流流速对管道振幅的影响

3.4 内流压强对管道振幅的影响

选定压强在0到1.5 MPa之间变化，并取海流流速分别为0，0.05，0.10，0.15 和0.20 m/s进行计算，可以得到其对管道振幅的影响，见图6.通过比较可以看出，当外界流速没有达到能引起悬跨段共振的流速时，管道振幅随着内流压强的增加而增加.

图6 内流压强对管道振幅的影响

3.5 轴向力对管道振幅的影响

以轴向拉力为正，在－150～150 kN之间改变管道轴向力，并取海流流速分别为0，0.05，0.10，0.15和0.20 m/s进行计算，可以得到其对管道振幅的影响，见图7.通过比较可以看出，轴向拉力对管道振幅的影响较小，同时随着轴向压力的增加，管道振幅逐渐变大.

图7 轴向力对管道振幅的影响

3.6 材料黏弹性系数对管道振幅的影响

选择黏弹性系数在0～0.010变化，并取海流流速分别为0，0.05，0.10，0.15 和 0.20 m/s进行计算，可以得到其对管道振幅的影响，见图8.通过比较可以看出，管道振幅随着材料黏弹性系数的增加而减小，但是振幅很小，故材料黏弹性系数对振幅的影响不大.

图8 材料黏弹性系数对管道振幅的影响

4 结束语

本文以海底悬跨管道为研究对象，在Hamilton体系下建立复杂载荷环境下悬跨管道动力学方程，应用精细积分法分析载荷参数对悬跨段动态响应的影响.计算结果表明涡激振动中管道主振动为横向振动，振动响应幅值随内流速度、内流压强和轴向压力的增加而增大，而材料黏弹性系数对管道振幅的影响不大.

海底悬跨管道的计算是一个复杂的非线性问题，影响其动力特性的因素较多，因此关于精确计算流固耦合作用下海底悬跨管道的动力特性，对其进行稳定性分析和寿命预测，还需进一步深入研究.

［1]唐友刚.海洋工程结构动力学［M].天津:天津大学出版社，2008:120-131.

［2]LARSEN C M，BAARHOLM G S.Non-linear time domain analysis of vortex induced vibrations for free spanning pipelines［C]//Proc Int Conf Offshore Mech＆ Arctic Eng.2004:207-215.

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［5]杨新华，郭海燕，娄敏，等.考虑阻尼海底悬跨段管道的动力特性及允许悬空长度［J].海洋工程，2005，23(1):1-5.

［6]包日东，闻邦椿.用微分求积法分析不同支承条件下水下输流管道的动力特性与容许悬跨长度［J].地震工程与工程振动，2009，29(2):131-137.

［7]李昕，刘亚坤，周晶，等.海底悬跨管道动力响应的试验研究和数值模拟［J].工程力学，2003，20(2):21-25.

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［9]李晓猛，郑苏.引起岸边起重机结构中圆截面杆涡激振动的风速［J].上海海事大学学报，2005，26(2):21-26.

［10]郑苏，钞素莉，唐军领.圆截面杆件涡激振动控制结构实验［J].上海海事大学学报，2006，27(4):14-17.

［11]郝志永，余恒旭，宓为建.柱状结构条纹列板对尾涡形态变化的影响机理［J].上海海事大学学报，2012，33(2):55-60.

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Hamilton 篇4

KdV和mKdV方程是发现最早且最具代表性的非线性发展方程, 在数学、物理、工程等领域, 都有十分重要的应用前景。近些年来, 对它们的可积性质的研究不断增多, 得到一些结论。

本文考虑组合KdV方程

ut= δuxxx+auux+bu2ux (δ, a, b为实常数)

它可看作一维非线性晶格传播波的模型, 也可作为流体力学中的一个模型方程, 组合KdV方程是KdV和mKdV方程的复合, 既包含有非线性效应 , 又包含频散作用。

对于组合KdV方程, 已经得到了一些精确解。下面讨论它的Hmailton系统。

19世纪20年代Hmailton在描述几何学时发现了Hmailton系统, 成为力学上与Lagrange力学等价的又一种力学描述方式。由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域, 特别是天体力学、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hmailton系统 (或它的扰动系统) 的形式出现, 因此该领域的研究多年来成为人们关注的研究方向。

2相关的定义及定理

定义1对任意函数f (t, x, u) , g (t, x, u) , 定义内积

定理1线性算子D:Am→Am为Hmailton算子, 若其满足:

(ⅰ) 反对称性:D*=-D ;

(ⅱ) Jacobi恒等式:

<p, D' [Dq]r>+<q, D' [Dr]p>+<r, D' [Dp]q>=0, p, q, r为任意向量函数。

定义2一对算子D1, D2称相容的, 若它们的线性组合aD1+bD2也是Hmailton算子, a, b为任意常数。

定义3若非线性演化方程ut=K (u) , K (u) ∈Am

可以表示成ut=D (δ) /δu

其中D是Hmailton算子, δ/δu是泛函∈的变分导数, 则称其为一个Hmailton系统。

定义4若非线性演化方程ut=K (u) , K (u) ∈Am

其中1, 2为相应的Hmailton泛函, 而且D1, D2为相容的Hmailton算子对, 则称其具有双Hmailton系统。

定理2若H (u) ∈F, 且H'= (H') *, 则

其中是微分函数的全体, H是Hmailton函数, H'是H的Frechét导数, (H') *是H的共轭。

3组合KdV方程的Hmailton系统

对于组合KdV方程

ut= δuxxx+auux+bu2ux (δ, a, b为实常数)

成立, 因此组合KdV方程是一个Hmailton系统。

即H1' = (H1') *

由定理2可得

其次证明D=坠x为Hmailton算子。

因为 (i) D*=-坠x=-D, 满足反对称性;

(ii) 对于p, q, r为任意向量函数,

D1'[D1q]=0 , D1'[D1r]=0 , D1'[D1p]=0

∴<p, D1'[D1q]r> + <q, D1'[D1r]p> + <r, D1'[D1p]q>=0

满足Jacobi恒等式, 因此D=坠x为Hmailton算子, 从而组合KdV方程是一个Hmailton系统。

另外, 当b=2a=4δ时, 组合KdV方程变为

ut= δ (uxxx+2uux+4u2ux)

使等式成立, 并且算子D1, D2称相容的, 因此组合KdV方程在b=2a=4δ时, 是一个双Hmailton系统。

证明:首先证明2存在, 即

取H2=4δu, 则H'2=4δ, (H'2) *=4δ, 即H'2= (H'2) *

由定理2可得

(ii) 对于p, q, r为任意向量函数,

∴pD'2[ D2q]r +qD'2[ D2r]p+rD'2[ D2p]q

满足Jacobi恒等式, 因此为Hmailton算子。

最后证明算子D1, D2称相容的, 只需证明aD1+bD2也是Hmailton算子, a, b为任意常数。

(ii) 对于p, q, r为任意向量函数,

∴pD'[ Dq]r +qD'[ Dr]p+rD'[ Dp]q

∴<p, D'[Dq]r>+<q, D'[Dr]p>+<r, D'[Dp]q>=0

满足Jacobi恒等式, 因此为Hmailton算子。

从而组合KdV方程具有双Hmailton系统。

摘要：本文根据KdV方程的Hamilton系统, 构造并证明了组合KdV方程的Hamilton系统。

关键词：组合KdV方程,Hmailton算子,Hmailton系统

参考文献

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[4]陈登远.孤子引论[M].北京:科学出版社, 2006.

[5]王艳红, 王振辉, 毛星星.KdV-mKdV方程的精确解[J].河南理工大学学报 (自然科学版) , 2013, 32 (1) :118-121.

Hamilton 篇5

Hamilton体系及弹性波在层状介质中的传播问题

利用结构力学与最优控制的模拟理论,研究弹性波在层状介质中传播的数值计算方法. 将弹性波传播问题导向哈密顿(Hamilton)体系,在哈密顿体系中,推导出一种新的半解析单元,称之为动力-部分杂交元,由此导出一套哈密顿体系下的半解析数值计算方法. 本文给出了该方法在层状正交各向异性材料介质的弹性波传播问题的数值算例,分析了一定频率的`弹性波在层状介质中传播时的位移、应力的模式. 计算结果展现了Hamilton体系和辛几何在弹性波传播问题研究的应用前景.

作 者：孙雁 刘正兴 作者单位：上海交通大学工程力学系,上海,30刊 名：地球物理学报 ISTIC SCI PKU英文刊名：CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICS年，卷(期)：45(4)分类号：P631关键词：分层介质 弹性波 动力-部分杂交元 哈密顿体系 数值计算

Hamilton 篇6

超级计算机为实现高性能计算提供了硬件支持, 为了满足对计算能力日益增长的需求, 需要设计出更好性能的超级计算机[1,2,3,4]。互连网络是超级计算机的重要组成部分, 互连网络的性能在很大程度上决定超级计算机的性能[5,6,7,8,9,10]。互连网络常常模型化为一个无向图, 顶点对应处理机, 边对应通信链路[10,11]。在文献[12-15]中设计出了具有小的固定的度 (为3) 的多种互连网络。受细胞分裂生长过程的启发, 在文献[16]中, 提出了互连网络的细胞分裂结构图模型.在文献[15;17-18]中研究了多种互联网络的Hamilton分解。

在文献[15]中, 师海忠设计出了一类互连网络|{交叉立方体连通圈网络CQCC (n) (n≥3) , 也就是用连通圈替代交叉超立方体网络中的结点设计出的网络, 改进了交叉超立方体网络的度随着其规模 (顶点个数) 的增大而增大的缺点。交叉立方体连通圈网络具有小的固定的度 (为3) 这一良好的性质, 并且CQCC (n) 的顶点数为n·2n个。

交叉立方体连通圈网络CQCC (n) (n≥3) 是3正则的.在文献[15]中师海忠提出如下猜想:交叉立方体连通圈网络CQCC (n) (n≥3) 可分解为边不交的一个Hamilton圈和一个完美对集的并.在本文中给出了交叉立方体连通圈网络CQCC (n) (n≥3) 当n=3;4;5;6时的Hamilton圈和相应的完美对集, 也就是说, 对n=3;4;5;6猜想成立。

本文其余结构是:第2节, 基本概念.第3节, CQCC (3) 的Hamilton分解;CQCC (4) 的Hamilton分解;CQCC (5) 的Hamilton分解;CQCC (6) 的Hamilton分解;第4节, 结束语。

1 基本概念

交叉超立方体网络CQn, 交叉立方体连通圈网络CQCC (n) , Hamilton圈和完美对集的相关定义如下:

定义110两个2元序列xx2x1和yy2y1称为相关对, 记为x∼y,

(c) xj1=yj1如果j是偶数,

我们把此边称为CQn的x, yj一边。

定义311G的Hamilton圈是指包含G的每个顶点的圈。

定义5[11, 15设G是正则图, E (G) 是G的边集, 我们称G是hamilton可分解的, 如果

要么 (1) deg (G) =2k且E (G) 能被划分成k个Hamilton圈;要么 (2) deg (G) =2k+1且E (G) 能被划分成k个Hamilton圈和一个完美对集.这里deg (G) 表示G的顶点度。

在文献[15]中, 师海忠提出如下猜想:

猜想:CQCC (n) (n≥3) 是Hamilton可分解的。

2 主要结果

2.1 QCC (3) 的Hamilton分解

定理3:1.n=3时, 3维交叉立方体连通圈网络CQCC (3) 可分解为边不交的一个Hamilton圈H24和一个完美对集M24的并.即CQCC (3) 是Hamilton可分解的。

证明:H24和M24构造如下:

由图1易知, H24为Hamilton圈, 如图中非粗线部分所示。

由图1易知, M24为完美对集, 如图中粗线部分所示。

总之, CQCC (3) 可分解为边不交的一个Hamilton圈H24和一个完美对集M24的并, 也就是说, CQCC (3) 是Hamilton可分解的。

2.2 CC (4) 的Hamilton分解

定理3:2 n=4时, 4维交叉立方体连通圈网络CQCC (4) 可分解为边不交的一个Hamilton圈H64和一个完美对集M64的并.即CQCC (4) 是Hamilton可分解的。

证明:H64和M64构造如下:

由图2易知, H64为Hamilton圈, 如图中非粗线部分所示。

由图2易知, M64为完美对集, 如图中粗线部分所示。

总之, CQCC (4) 可分解为边不交的一个Hamilton圈H64和一个完美对集M64的并, 也就是说, CQCC (4) 是Hamilton可分解的。

2.3 CQCC (5) 的Hamilton分解

定理3:3:n=5时, 5维交叉立方体连通圈网络CQCC (5) 可分解为边不交的一个Hamilton圈H160和一个完美对集M160的并.即CQCC (5) 是Hamilton可分解的。

本图为160个点, 不易画图, 此图见附件中的图形文件1。

证明:H160和M160构造如下:

为了书写方便, 我们将CQCC (5) 的所有顶点{ (i;x) }分为四大块, 分别记为a, b, c, d;

当x为00000时, 记为a1, 即它的各顶点记为 (i;a1) ;同理, x为00010, 记为 (i;a2) ;x为00001, 记为 (i;a3) ;x为00011, 记为 (i;a4) ;x为00101, 记为 (i;a5) ;x为00111, 记为 (i;a6) ;x为00100, 记为 (i;a7) ;x为00110, 记为 (i;a8) ;x为01010, 记为 (i;b1) ;x为01000, 记为 (i;b2) ;x为01011, 记为 (i;b3) ;x为01001, 记为 (i;b4) ;x为01111, 记为 (i;b5) ;x为01101, 记为 (i;b6) ;x为01110, 记为 (i;b7) ;x为01100, 记为 (i;b8) ;x为11000, 记为 (i;c1) ;x为11010, 记为 (i;c2) ;x为11001, 记为 (i;c3) ;x为11011, 记为 (i;c4) ;x为11101, 记为 (i;c5) ;x为11111, 记为 (i;c6) ;x为11100, 记为 (i;c7) ;x为11110, 记为 (i;c8) ;x为10010, 记为 (i;d1) ;x为10000, 记为 (i;d2) ;x为10011, 记为 (i;d3) ;x为10001, 记为 (i;d4) ;x为10111, 记为 (i;d5) ;x为10101, 记为 (i;d6) ;x为10110, 记为 (i;d7) ;x为10100, 记为 (i;d8) ;

易知, H160为Hamilton圈.

易知, M160为完美对集。

总之, CQCC (5) 可分解为边不交的一个Hamilton圈H160和一个完美对集M160的并, 也就是说, CQCC (5) 是Hamilton可分解的。

2.4 CQCC (6) 的Hamilton分解

定理3:4:n=6时, 6维交叉立方体连通圈网络CQCC (6) 可分解为边不交的一个Hamilton圈H384和一个完美对集M384的并.即CQCC (6) 是Hamilton可分解的。

本图为384个点, 不易画图, 此图见附件中的图形文件2。

证明:H384和M384构造如下:

为了书写方便, 我们将CQCC (6) 的所有顶点{ (i;x) }分为八大块, 分别记为a, b, c, d, e, f, g, h;

当x为000000时, 记为a1, 即它的各顶点记为 (i;a1) ;同理, x为000010, 记为 (i;a2) ;x为000001, 记为 (i;a3) ;x为000011, 记为 (i;a4) ;x为000101, 记为 (i;a5) ;x为000111, 记为 (i;a6) ;x为000100, 记为 (i;a7) ;x为000110, 记为 (i;a8) ;x为001010, 记为 (i;b1) ;x为001000, 记为 (i;b2) ;x为001011, 记为 (i;b3) ;x为001001, 记为 (i;b4) ;x为001111, 记为 (i;b5) ;x为001101, 记为 (i;b6) ;x为001110, 记为 (i;b7) ;x为001100, 记为 (i;b8) ;x为011000, 记为 (i;c1) ;x为011010, 记为 (i;c2) ;x为011001, 记为 (i;c3) ;x为011011, 记为 (i;c4) ;x为011101, 记为 (i;c5) ;x为011111, 记为 (i;c6) ;x为011100, 记为 (i;c7) ;x为011110, 记为 (i;c8) ;x为010010, 记为 (i;d1) ;x为010000, 记为 (i;d2) ;x为010011, 记为 (i;d3) ;x为010001, 记为 (i;d4) ;x为010111, 记为 (i;d5) ;x为010101, 记为 (i;d6) ;x为010110, 记为 (i;d7) ;x为010100, 记为 (i;d8) ;x为100000, 记为 (i;e1) ;x为100010, 记为 (i;e2) ;x为100001, 记为 (i;e3) ;x为100011, 记为 (i;e4) ;x为100101, 记为 (i;e5) ;x为100111, 记为 (i;e6) ;x为100100, 记为 (i;e7) ;x为100110, 记为 (i;e8) ;x为101010, 记为 (i;f1) ;x为101000, 记为 (i;f2) ;x为101011, 记为 (i;f3) ;x为101001, 记为 (i;f4) ;x为101111, 记为 (i;f5) ;x为101101, 记为 (i;f6) ;x为101110, 记为 (i;f7) ;x为101100, 记为 (i;f8) ;x为111000, 记为 (i;g1) ;x为111010, 记为 (i;g2) ;x为111001, 记为 (i;g3) ;x为111011, 记为 (i;g4) ;x为111101, 记为 (i;g5) ;x为111111, 记为 (i;g6) ;x为111100, 记为 (i;g7) ;x为111110, 记为 (i;g8) ;x为110010, 记为 (i;h1) ;x为110000, 记为 (i;h2) ;x为110011, 记为 (i;h3) ;x为110001, 记为 (i;h4) ;x为110111, 记为 (i;h5) ;x为110101, 记为 (i;h6) ;x为110110, 记为 (i;h7) ;x为110100, 记为 (i;h8) .

易知, H384为Hamilton圈。

易知, M384为完美对集。

总之, CQCC (6) 可分解为边不交的一个Hamilton圈H384和一个完美对集M384的并, 也就是说, CQCC (6) 是Hamilton可分解的。

3 结束语

Hamilton 篇7

近几年, 由于迹恒等式的提出, 连续可积系统理论已经取得了很多的进展[1,2]。有许多新的有良好特性的可积系统已经被给出[3,4,5,6]。随着连续可积系统理论的日趋完善, 越来越多的人把焦点转移到了离散可积晶格方程的研究[7,8,9]例如:近来屠规彰提出了生成无限维离散可积系的一种格式[10], 并且在文献[10]中研究了著名的Toda族的Hamiton结构。利用这种方法, 可以从一个适当的等谱特征值问题导出新的离散型发展方程族, 即晶格孤子方程族[11,12]。本文通过引入一个新的离散的等谱特征值问题, 导出相应的晶格孤子方程族, 利用迹恒等式建立Hamition系统族。

定义2:一个P维向量空间到自身的线性算子J称为Hamiton算子, 如果对于任意两个函数f, g的Poisson括号

满足

如果方程族可写成一个离散的广义的Hamiton方程

1新的晶格孤子方程族

考虑以下离散的等谱特征值问题:

其中r=r (n, t) 和s= (n, t) , n为自然数, t∈R, 并且λ是一个λ=0的谱参数。

求解驻定的离散曲率方程

由 (2) 式可推得

2方程族的Hamilton结构

这时候 (6) 就会变成为

Hamilton 篇8

关键词：Hamilton体系,耗散系统,电磁涡流,系统建模

0 引言

电磁涡流耗散系统主要由源磁场部分、导体部分和气隙部分组成, 它通过电磁涡流效应来消耗系统能量。其基本原理是导体在变化的磁场系统中会产生涡流, 涡流感应出的磁场与源磁场的作用会使得系统产生涡流阻尼力, 同时导体上会产生涡流热损耗。目前电磁涡流耗散已应用于减振、制动等方面。电磁涡流耗散系统中电磁场问题的传统求解方法是基于Maxwell理论建模求解。在实际问题中, 随着结构的复杂性和电磁场边界的不规则性提高, 问题难以求得精确结果。然而一切守恒的物理过程, 无论是经典的、量子的或相对论的, 无论自由度为有限或无限, 总能表示成为适当的Hamilton系统[1]。我们可以将涡流耗散这一物理问题利用Hamilton系统表示。Hamilton系统的主要特征是保持系统的相空间体积不变和总能量不变。在Hamilton体系下可以引入对偶变量, 从能量的角度建立涡流耗散系统的Hamilton函数和Hamilton正则方程, 利用现代数学工具解决电磁场问题。Anderson[2]对Maxwell理论的Hamilton形式做了研究, 按照自己的方法构造出与Maxwell理论相符合的正则方程。文舫一[3]将求解Hamilton系统辛算法应用到电磁场方程的求解中, 该算法能较逼真反映原物理过程, 使得求解过程始终保持守恒。吴琼等[4]通过构造自由空间的时域电磁问题的Hamilton函数, 利用函数变分, 将时域Maxwell表述为正则方程, 将无电流源的电磁问题的数值计算转化为Hamilton正则方程的离散求解。

已有文献中关于Hamilton体系引入涡流耗散求解问题的研究很少。本文将涡流耗散系统类比于分析力学中非保守系统即耗散系统, 严格按照分析力学中建立Hamilton正则方程的步骤建立了电磁涡流耗散系统问题的求解模型。希望通过本文的介绍, 能够为电磁涡流耗散问题的求解提供一种新思路。

1 非保守力学系统的Hamilton正则方程

在力学系统中, 若系统是定常的且势力场不随时间发生变化, 则系统的总机械能的变化完全由非有势力做功所致。如果非有势力的功率大于零, 则系统的机械能增加。如果非有势力的功率恒小于零, 则系统的总机械能势必减小, 将这样的非有势主动力称为耗散力, 受耗散力作用的系统称为耗散系统。

在分析力学中, 对于具有n个自由度的理想约束的非保守的耗散系统, 其Lagrange方程为

式中:t为时间, qk是广义坐标 (k=1, 2, …, n) , L为系统的Lagrange函数, 等于系统的动能T和势能V之差, 即

U为耗散函数, 与广义耗散力Qk′的关系为

将式 (1) 变换一下形式可得

而Hamilton函数定义为

依据Hamilton理论, 非保守系统的正则方程[5]为

2 基于Hamilton体系的涡流耗散系统的建模

研究者在研究涡流阻尼时一般将涡流阻尼视为黏性阻尼[6,7], 阻尼力F与阻尼系数c、速度v关系为

显然涡流阻尼力功率恒小于零, 涡流阻尼力属于耗散力。另一方面, 涡流耗散系统中涡流热效应不断将系统能量耗散掉, 其热损耗功率[8]为

所以涡流耗散系统是一种非保守系统, 可将其与非保守力学系统进行比较, 将力学系统的Hamilton理论引入涡流耗散系统的求解问题中。

2.1 电磁涡流耗散系统与动力学系统的类比

电磁场系统的Maxwell方程为

其中, H是磁场强度, δc是传导电流密度, D是电位移, E是电场强度, B是磁场强度。

将Hamilton理论引入电磁场, 需分析出电磁场系统的能量转换关系以及选择合适的对偶变量q和p, 才能建立正确的Hamilton函数与Hamilton正则方程。本文依据时变电磁场理论引入动态矢量磁位A和动态标量电位φ辅助建模。因为磁感应强度B的散度恒为零∇·B=0, 可令B=∇×A, 将上式代入式 (3) 可得

分析力学中机械系统的位置可由广义坐标q来描述, 在电磁场系统中可以选取磁场的磁矢量A来描述磁场状态。动态标量位引入后可得[8]

对电磁场来说, 系统能量由电磁能量和磁场能量两部分组成[6]。对于各项同性的线性介质, 由于电位移D=εE (ε是介电常数) , 电场能量密度为

对于磁导率为μ的各项同性的线性导磁媒质, 磁场能量的体密度为

按照分析力学中Hamilton方程建立步骤, 可以首先得到系统的Lagrange密度函数[5]为

则电磁场中广义动量

与式 (5) 比较可得

为了方便表示, 本文用K来表示电磁场中对应的广义动量

则系统的Hamilton密度函数为

电磁涡流耗散系统中耗散是由于涡流热效应导致的, 非保守力学系统中耗散是由于非有势力导致的, 因此电磁耗散系统中涡流密度可对应于非保守力学系统中的非有势力。此时, Hamilton系统中各参数都可以在电磁涡流阻尼系统中找到相对应的参数。它们的各参数类比见表1。

2.2 涡流耗散系统的Hamilton正则方程的建立

由Hamilton密度函数, 可得系统的Hamilton函数

根据拉普拉斯运算法则和高斯散度定理, 上式可以化为

Hamilton对偶变量:

系统的涡流耗散函数为

最终得到涡流耗散系统中Hamilton函数为

正则方程为

Hamilton函数的物理意义为系统中涡流区域总的电磁能。在不同时刻, 该区域的电场强度和磁场强度不一样, 区域总的电磁能量也不是恒定的, 通常源磁场或电流源的电磁场能量不断传播并进入到涡流区域, 一部分转化为涡流区域的电磁能, 另一部分转化为涡流热耗散。

3 结语

本文将分析力学中解决动力学问题的Hamilton理论引入到电磁涡流耗散系统中, 按照非保守力学系统Hamilton正则方程建立的一般步骤, 推导出系统的正则方程。通过该正则方程可以建立涡流耗散系统中电磁场数学模型。利用Hamilton体系来建立电磁涡流耗散系统的求解模型, 旨在提供一种新的求解途径, 它可以推广到其他学科和领域。

参考文献

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Hamilton 篇9

风力发电是清洁、无污染、可再生的新能源,比火力发电和核电更安全,更具发展潜力。针对双馈风力发电系统并网控制问题,本文采用了三相电压型双PWM变流器,如图1所示。

如图1电压型双PWM变流器拓扑结构所示,变流器一端接在双馈风力发电机转子侧,只吸收双馈风力发电系统的一部分功率,另一端接电网侧,采用两组不同的6脉冲PWM可以实现IGBT开关管关断控制,通过调节占空比来灵活改变电流的幅频特性,采用由12个IGBT功率管组成的上下桥臂结构的双PWM变流器,能够实现变流器四象限运行,满足双馈风力发电机电流双向传输的特点,具有整流逆变一体化控制功能[1,2]。

本文根据三相电压型变流器的三相电压和电流方程的关系,在两相旋转坐标系下进行数学建模,再根据其状态方程特点,将广义Hamilton系统理论引入本系统中[3],写出耗散Hamilton系统方程,再设计反馈耗散Hamilton控制器,考虑到系统的不确定性和外部扰动,设计模糊自适应干扰抑制器,来有效抑制不确定干扰对系统的影响。仿真结果表明,反馈耗散Hamilton控制器和模糊自适应干扰抑制器结合,可以使系统稳定到期望状态,并有效抑制不确定和外部扰动。

1 PWM变流器数学模型及哈密顿系统建立

1.1 双PWM变流器数学模型

根据基尔霍夫电压和电流定律可以写出图1中转子侧、电网侧的三相电压和直流环节电流方程[2]。

(1)转子侧电压方程为

(2)网侧电压方程为

(3)直流环节电流方程为

其中:a、b、c,A、B、C分别代表转子侧和网侧三相相标;r、g代表转子侧和网侧;dC为直流侧电容;d为占空比;udc为直流侧电压。

利用三相静止坐标系与两相旋转坐标系的变换关系[4]为

根据式(1)~式(4)可以得两相旋转坐标系下的方程:

式中,sω、gω为转子侧转差速度和网侧电角度。

则式子(5)可写成

1.2 Hamilton系统实现

考虑建模误差和外部干扰对系统的影响,可将式(6)写为

其中,ξ(t)=⎡⎣ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,0⎤⎦T为不确定干扰。

选取标准正定Hamilton函数

由正交分解的Hamilton实现得[3,5]

所以式(6)的Hamilton实现为

2 反馈耗散Hamilton实现

先不考虑U,ξ(t)对于系统的影响,对如下系统设计反馈耗散Hamilton控制器为

考虑方程gL 1H=0在R5中,它表示一超曲面∑i(i,=1,…,4)。x∈R5是一给定点,若x∉∑1,则Lg1Hx≠0,此时把S分解为[6,7]

寻找反馈控制器u1=β1(x)+v1来抵消非耗散项2R,使得上述以1v为参考输入的闭环系统,具有严格耗散的形式

可得

所以系统(11)的控制律为

存在性证明:

将式(16)作用于式(11)得

由上可见,存在反对称矩阵Ja,1R>0,使得式(11)的闭环系统是一个严格耗散的系统。

若x∈∑1,或式(11)的轨线在参考输入1v的作用下到达∑1时,考察曲面∑2[8]。此时,若x∉∑2,类似的把S分解为式(12),根据上面的设计方法,设计控制律为

依次类推可完成∑3,∑4上的耗散控制器u3,u4的设计。

由式(11)知S=diag{-R,-R,-R,-R,0},

根据式(12)可得相应的R1,R2为

考虑U,ξ(t)的影响,可得系统总的控制器为

其中:θi,i=1,…,4为可调参数;φ(e y)为模糊基函数。

3 模糊自适应干扰抑制器设计

考虑ξ(t)对系统的影响,设计模糊自适应干扰抑制器为

其中:ey=y-y*为输出误差;y*=[y1*,y2*,y3*,y4*]T表示期望输出;θ=[θ1,…,θ4,0]T。

模糊系统描述如下[9,10,11]。

Rj:Ife1y isA1j and…e4y是A4j,ThenϑisBj;其中:Aij是eyi的模糊集合;μAij(eyi)为iAj的隶属函数;Bj是单点模糊集合,i=1,…,4,

构造模糊基函数为[11,12]

设最优参数为

定义参数误差

稳定性分析

取Lyapunov函数

其中,l是一个正常数。

根据式(18)~式(23)有

取自适应控制律

则V=-∇HTR1∇H≤0,所设计的模糊干扰抑制器满足Lyapunov稳定性条件。

4 仿真试验

转子侧输入电压380 V,电网侧接入电压为690 V/50 Hz的电网中,rL=10 m H,gL=40 m H,R=1Ω,dC=5000μF,α=0.1,l=10,ωs在0.3s从1.3 rad/s变化到15.3 rad/s,ξ(t)为白噪声。定义误差的隶属函数为

i=1,…,4,共有8条模糊语句。

(1)当存在不确定干扰信号且未加入模糊自适应干扰抑制器时,试验结果如图2~图4所示。

从图2~图3可以看出,双PWM变流器能够使系统状态从一个状态变化到另一个状态能够达到稳定,说明采用反馈耗散Hamilton控制器能够满足双PWM变流器的稳定控制要求,图中显示系统状态能够在0.2 s内达到稳定;由图4可以看出,由于未消除外部干扰,响应曲线不平滑,存在一定的抖振。

(2)其他条件不变时,当加入模糊自适应干扰抑制器时,试验结果如图5~图7所示。

由图2~图4与图5~图7比较可以看出加入模糊自适应干扰抑制器后响应曲线比未加时更平滑,可见消除了白噪声干扰;在参考输入为零的时段,图4中显示外部干扰会在系统零状态时引起直流侧电压不能快速稳定,说明外部干扰可能会导致变流器动作失误,仿真图7与图4比较会发现,说明模糊自适应干扰抑制器可以有效消除外部扰动,抑制不确定因素对系统的影响;在机侧输入电压和电网侧电压不变的情况下,从图5~图7中电机侧电流和电网侧电流的变化趋势来看,变流器机侧和网侧的功率保持着动态平衡,能够满足双馈风力发电系统转子侧功率的双向传输要求,且从图中可以看出机侧电流频率与电机转差角速度有关系,网侧电流频率与电网电压相同,且双PWM变流器在变流的同时,直流电压保持不变。

5 结论

本文所建立的双PWM变流器五阶模型,采用调节占空比来实现对电流的灵活控制,满足双馈风力发电机转子侧功率的双向传输的要求。用反馈耗散Hamilton实现可以解决变流器的控制,并能够使系统状态稳定到达期望输出,采用模糊自适应干扰抑制器可以有效消除外部干扰,抑制不确定因素的影响,提高系统的鲁棒性。

参考文献

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