因式分解

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因式分解（精选10篇）

篇1：因式分解

从中考中的因式分解题型看因式分解问题的归类

上海市进才中学北校 陈蓓

所谓因式分解是将一个整式分解成几个因式乘积的形式，由于这种变形蕴含着变换的数学思想和方法，并且对于代数式的求值、化简具有重要的意义，所以中考中除考察学生对因式分解的方法的选用外，还考察了学生恒等变形的能力。这里搜集了历年来各地中考中出现的有关因式分解的题目，通过适当的归类来体现其本质属性。有关因式分解的题目总体上可分为两种类型。

一.直接分解因式，即从整式的构成形式直接观察出第一步分解因式所用的方法，经过第一步分解后再运用其他方法分解。例1．分解因式 x25x362

解：x25x362

= x25x6x25x6

= x2x3x1x6

例2.分解因式3x324解：3x324

= 3x38

= 3x2x22x4

二.间接分解型：

1.代数式的一部分运用完全平方公式再运用平方差公式分解，分解时应注意“各项”中正、负号的变化。例3： 分解因式a2b22b1

解：a2b22b1= a2b22b1= a2b12= ab1ab1例4： 分解因式4a212a9b24

2解： 4a212a9b4

=4a22a19b24

22=2a13b2

= 2a13b2a13b22

2.将整式分成具有（或变形后具有）公因式的组，经提取公因式整理并运用适当方法分解。在运用此种方法时要注意分组要准确，符号变化要避免失误。例5：分解因式：-2a32a22a2解：-2a32a22a2

=-2a3a2a1

=-2a3a2a1

=-2a2a1a1

=-2a1a21

=-2a12a1

例6： 分解因式： x4x34x16

解： x4x34x16

= x44x24x216x34x

= x2x244x24xx24= x2x2x2x4

3．将整式通过恒等变形（或采用拆项、补项）后再进行分组分解。例7： 分解因式： x24yy2x

解：x24yy2x

=x22xyy24

=xy24

=xy2xy2

例8： 分解因式： 6x6y9x218xy9y21

解：6x6y9x218xy9y21

=9x218xy9y26x6y1

=-9x22xyy26xy1

=-3xy12

=-3x3y12

对于某些整式的分解因式它的分解方法又不是唯一的，可以通过不同的思路来分解。例9：分解因式：x22x2yy2

解： x22x2yy2=x22x12yy21

=x12y12

=xy2xy

另解：

解： x22x2yy2

=x2y22x2y

=xyxy2xy

=xyxy2

4．从局部到整体的分解类型。例10：分解因式： xx1x2x31

解：xx1x2x31

=xx3x1x21

=x23xx23x21

=x23x2x23x1 2

=x23x1 2

这里仅从较浅的层面谈问题，总的看来，因式分解的思路和方法始终贯穿在代数变换中，它除了在代数的恒等变形中作用巨大，其他如分式的通分和约分，以及解方程中都起着重要作用，在根式的化简计算，三角函数式子的恒等变形等方面也经常用。因此在历届中考中因式分解总是已直接和间接的方式出题，且在分值上占有一定的比例，总之因式分解的归类分解学好对进一步研究其他数学问题起到至关紧要的作用。

贾文博整理资料2011年12月24

篇2：因式分解

课型：新授课 主备人： 审核人：初三数学组

一、教学目标：

1．知识与技能：把一个多项式化成几个整式的积的形式，•这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

2．过程与方法：分解因式的结果只能是几个整式的乘积形式，而且要分解到不能再分解为止，相同因式要写成幂的形式．

3．情感态度与价值观:运用提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式，•公因式是指各项系数的最大公约数、各项共有字母的最低次幂的乘积．•公因式可以是单项式也可以是多项式．

二、教学重、难点：

重点：用提公因式法分解因式。难点：确定多项式中的公因式。

三、教学方法：任务型教学与小组合作相结合

四、教学工具：电子白板

五、教学过程

创设情境，导入新课 如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢？ 这个问题实际上就是求(am+bm+cm)÷(a+b+c)=______ 为了解决这个问题请你先思考：

2如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少？

提问：把ma+mb+mc写成m(a+b+c)叫什么运算？怎样分解因式？ 这节课我们来学习第一个方法-------提公因式法

合作交流，探究新知 1 公因式的概念

（1）式子：am,bm,cm,是由哪些因式组成的？ 指出：其中m是他们的公共的因式，叫公因式（2）你能指出下面多项式中各项的公因式吗？

(5)2 提公因式法

把ma+mb+mc分解成：ma+mb+mc=m(a+b+c),用到什么依据？这种因式分解有什么特点？ 用到了乘法分配律，特点：把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法。3 应用举例

例1 把 因式分解

强调：（1）公因式确定后，另一个因式怎么确定？

（2）某一项全部提出后，还有因数 “1” 例2 把 因式分解。

强调：（1）首项系数是负数时，取其绝对值找最大公因数。

（2）首项为负时，最好提出负号。

例3 把 因式分解强调：公因式确定的方法：

（1）系数：取各系数的最大公约数。如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；求48、36的最大功因数48=，36=，那么 就是他们的最大公约数

（2）对于字母，取各项都有的，指数最低的。如： 与，取做为公因式的字母因式（3）公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式。考考你：

1.a²x+ay-a³xy在分解因式时,应提取的公因式()A.a² B.a C.ax D.ay

2.下列分解因式正确的个数为()(1)5y³+20y²=5y(y²+4y)(2)a²b-2ab²+ab=ab(a-2b)(3)a+3ab-2ac=-a(a+3b-2c)(4)-2x²-12xy²+8xy³=-2x(x+6y²-4y³)A.1 B.2 C.3 D.4

应用迁移，巩固提高 提公因式法在计算方面的应用

例4 如图，a=4.6cm,b=1.3cm,求阴影部分的面积。例5 必能被45整除吗？试说明理由。2 检测练习课后随堂练习

六、布置作业 课后习题1.3

七、板书

(am+bm+cm)÷(a+b+c)=

八、教学反思

篇3：因式分解

提公因式法分解因式的关键是正确找出多项式各项的公因式,其方法是选取各项系数的最大公约数作为公因式的系数,各项中相同字母的最低次幂作为公因式的因式.注意分解后的多项式因式中不能再含有公因式. 另外,当多项式的第一项含有“”时,一般要提出“”,使括号里的第一项为“+”,在提出“”时,括号里的各项都要改变符号.

如分解因式-15x3y3+10x2y4-5xy2,观察到第一项是“”,15、10、5的最大公约数是5,各项都含有字母x、y,且字母x的次数最低是1、y的次数最低是2,由此确定要提取的公因式是-5xy2.

注意:多项式中的第三项正好是公因式,提取后原位置不能漏1.

利用公式法对多项式进行因式分解,与学习乘法公式一样,首先要弄清公式的形式和特点,只有符合相关公式的特征才能运用相应公式分解.

学习因式分解应注意:

1. 因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式,因此因式分解的对象是整式,不是整式不能分解因式. 如变形x,只是利用了因式分解的思想方法,但不是因式分解.

2. 因式分解的结果必须是几个整式的积的形式,把一个多项式的部分化为积的形式不是因式分解,如变形x2-4x+4=x(x-4)+4不符合因式分解的定义,因式分解的结果应该是x2-4x+4=(x-2)2.

3. 分解因式时,每一个多项式不一定只分解一次就可完成,对分解后的每一个因式要仔细检查,看其还能不能再分解,分解因式一定要分解到不能分解为止. 如因式分解:就没有分解彻底,两个括号内(4a-2b)(-2a+4b)都出现了公因式,需要继续提取,直到提完为止;另外,第二个小括号内首项为“”,应把“”号提出来,因此最终结果为-4(2ab)(a-2b). 总之,因式分解要分解到不能再分解为止,不能“半途而废”.

篇4：“因式分解”的巧分解

【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）。

A.a（x+y）=ax+ay

B.y2-4y+4=y（y-4）+4

C.10a2-5a=5a（2a-1）

D.y2-16+y=（y+4）（y-4）+y

答案：C

分析：此题是考查对因式分解的理解，A是整式乘法，B、D等号右边不是整式积的形式，而是和的形式，不是因式分解。

【例2】 把多项式6a3b2-3a2b2-12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）。

A.3a2b B.3ab2

C.3a3b3 D.3a2b2

答案：D

分析：在多项式6a3b2-3a2b2-12a2b3中，这三项系数的最大公约数是3，各项都含有字母a，b，字母a的最低次幂是a2，字母b的最低次幂是b2，所以各项的公因式是3a2b2，故选D。

确定公因式的方法：（1）对于系数（只考虑正数），取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；（2）对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂。最后还要根据情况确定符号。

【例3】把下列多项式分解因式：

（1）a2（x-y）+4b2（y-x）；（2）2x2y-8xy+8y

分析：（1）因式分解的平方差公式

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即a2-b2=（a+b）（a-b）。

这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来。

（2）因式分解的完全平方公式

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2。

①直接提取公因式（x-y），进而利用平方差公式进行分解即可；

a2（x-y）+4b2（y-x）=（x-y）（a2-4b2）=（x-y）（a+2b）（a-2b）；

②直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解即可；

2x2y-8xy+8y=2y（x2-4x+4）=2y（x-2）2.

【例4】把下列多项式分解因式：

（1）3ax2-6ax-9a；（2）3x2+7xy+2y2

分析：（1）首先提取公因式3a，进而利用十字相乘法分解因式得出；3ax2-6ax-9a=3a（x2-2x-3）=3a（x-3）（x+1）.

（2）对于x2的系数不为1，我们可将系数化为1×3，3x2+7xy+2y2=（x+2y）（3x+y）；上述方法，就是十字相乘法，对于十字相乘法，书本中在“阅读与思考”中出现，没有直接讲授，而是让学生自己去探索，主动建构因式分解的方法。学生可以逆向思考从整式乘法入手，即先确定因式分解的形式，x2+px+q=（x+a）（x+b），再确定a，b的值。让学生初步体会待定系数法及方程思想。把这种方法竖式表示出来，就得到了十字相乘法。

【例5】把下列多项式分解因式：

（1）4a2-b2-4a+1；（2）4（x-y）2-4x+4y+1

分析：（1）首先将4a2-4a+1组合，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解即可；

4a2-b2-4a+1=（4a2-4a+1）-b2=（2a-1）2-b2=（2a-1+b）（2a-1-b）；

（2）将（x-y）看作整体，进而利用完全平方公式分解因式即可；

4（x-y）2-4x+4y+1=4（x-y）2-4（x-y）+1=[2（x-y）-1]2=（2x-2y-1）2

上述方法就是分组分解法，分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）

篇5：因式分解教案

【教学目标】

1、理解因式分解的意义，知道因式分解和整式乘法的互逆关系

2、理解多项式“公因式”和“最大公因式”的概念，并会确定多项式的最大公因式

3、初步掌握如何用提取公因式法来分解因式

【教学重点、难点】

1、正确找出多项式各项的最大公因式

2、正确找出多项式提取公因式后剩下的因式

3、知道因式分解和整式乘法互为逆运算

【教学过程】

一、复习旧知、引入新知

1、计算下列各式：

2、你能把下列各式写成两式积的形式吗？ a(b+c)=_____________ab+ac=_____________

x(2x-1)=____________2x2-x=____________

(m+5)(m-5)=_________m-25=____________

m(a+b +c)=__________am+bm+cm=___________

二、新课教授

（一）因式分解

1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。

2、提问：整式的乘法和因式分解有什么联系和区别呢？

（整式的乘法和因式分解式是方向相反的恒等变形，他们互为逆运算）

（二）、多项式的公因式和最大公因式

1、多项式的公因式（m是am+bm+cm 的公因式）

2、找找公因式

3、归纳：如何正确找到多项式的最大公因式

① 各项系数的最大公因数

② 各项都含有的相同字母

③ 相同字母的“最低次幂”

（三）、提取公因式法

例1：把8a3b2+12ab3c分解因式

针对练习见学案

例2把2a(b+c)– 3(b+c)分解因式

针对练习见学案

三、当堂检测

四、课堂小结

今天你学到了哪些新知识？

① 什么叫因式分解

② 因式分解和整式乘法的关系

③ 如何找多项式的最大公因式

④ 用提取公因式法分解因式时，在提取公因式后怎么确定剩下的因式

五、作业布置

篇6：因式分解教案

教学目标

1．了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系。

2．会用提公因式法和公式法进行因式分解(直接用公式不超过两次)。

3．树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力。

教学重难点

重点：因式分解的概念及用提公因式法和公式法分解因式。

难点：正确的找出多项式各项的公因式和如何根据公式的特点进行因式分解。

教学过程

一、知识回顾。

1．完成下列各题：

(1)m(a＋b＋c)＝＿＿＿＿＿；

(2)(a＋b)(a－b)＝＿＿＿＿＿＿＿；

(3)(a＋b)＝＿＿＿＿＿。

2．根据上面的计算，你会做下面的填空吗?

(1)ma＋mb＋mc＝（）（）；

(2)a－b＝()（）；

(3)a2＋2ab＋b＝（）。

二、引导观察。

观察以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？

(让学生讨论分析井回答。引导学生从等式的左右两边找异同点，学生不难发现第1题是多项式的乘法，而第2题是把一个多项式化成了几个整式的积，它们之间的运算是相反的。从而引出课题。)

三、新知识的学习。

1．你能根据上面的分析说出什么是因式分解吗?

(把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。)

2．练习。

(1)课本第89页练习的第1题。

3．对下列多项式进行因式分解：

(学生分组完成下列各题，从中得出因式分解的方法。)

(1)3a＋3b

(2)3a－9ab； 2

22222

(3)x－9y

(4)x－4xy＋4y

(5)x－x＋

4．因式分解的方法。

(1)提取公因式法。

你会确定公因式吗?

(讲解公因式的定义，系数是各系数的最大公约数，字母是相同字母中指数最低的。)

教师举例让学生找公因式。

(2)公式法。

四、举例及应用。

1．例1 对下列多项式进行因式分解：

(1)－ 5a＋ 25a；

(2)3a－9ab；

(3)25x－16y；

(4)x＋4xy＋y。

2、练习

课本第89页练习第2题

3、例2 对下列多项式进行因式分解

（1）4xy＋4xy＋xy

（2）3x－12xy

五、课堂小结

本节课你学到了什么？是否还有不明白的地方？

注意：在进行多项式的因式分解时，要先提取公因式。

六、布置作业

课本89习题14.4第1题（1）（2）（4）（5）（7），第2题。3223

篇7：因式分解教案

教学目标

1.单项式、单项式的定义.

2.多项式、多项式的次数.

3、理解整式概念.

教学重点

单项式及多项式的有关概念.

教学难点

单项式及多项式的有关概念.

教学过程

Ⅰ.提出问题，创设情境

在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题

1.要表示△ABC的周长需要什么条件?要表示它的面积呢?

2.小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少?

结论：

1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长.要表示△ABC的面积需要知道一条边长和这条边上的高.如果设BC=a，AC=b，AB=c.AB边上的高为h，那么△ABC的周长可以表示为a+b+c;△ABC的面积可以表示为 ?c?h.

2.小王的平均速度是 .

问题：这些式子有什么特征呢?

(1)有数字、有表示数字的字母.

(2)数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接.

归纳：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.

判断上面得到的三个式子：a+b+c、 ch、 是不是代数式?(是)

代数式可以简明地表示数量和数量的关系.今天我们就来学习和代数式有关的整式.

Ⅱ.明确和巩固整式有关概念

(出示投影)

结论：(1)正方形的周长：4x.

(2)汽车走过的路程：vt.

(3)正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，所以它的表面积为6a2;正方体的体积为长×宽×高，即a3.

(4)n的相反数是-n.

分析这四个数的特征.

它们符合代数式的定义.这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、 ch、 中还有和与商的运算符号.还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同.

请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念.

根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、 ch、 这些代数式中，哪些是单项式?是单项式的，写出它的系数和次数.

结论:4x、vt、6a2、a3、-n、 ch是单项式.它们的系数分别是4、1、6、1、-1、 .它们的次数分别是1、2、2、3、1、2.所以4x、-n都是一次单项式;vt、6a2、 ch都是二次单项式;a3是三次单项式.

问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗?

结论:不是.根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式.

生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢?

写出下列式子(出示投影)

结论:(1)t-5.(2)3x+5y+2z.

(3)三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即 ab-3.12r2.

(4)建筑面积等于四个矩形的面积之和.而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18.于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18.

我们可以观察下列代数式：

a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18.发现它们都是由单项式的和组成的式子.是多个单项式的和，能不能叫多项式?

这样推理合情合理.请看投影，熟悉下列概念.

根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式.请分别指出它们的项和次数.

a+b+c的项分别是a、b、c.

t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项.

3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z.

ab-3.12r2的项分别是 ab、-3.12r2.

x2+2x+18的项分别是x2、2x、18. 找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，二是取每个项次数的最大值.根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式.

这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界.同时，我们也到符号的魅力所在.我们把单项式与多项式统称为整式.

Ⅲ.随堂练习

1.课本P162练习

Ⅳ.课时小结

通过探究，我们了解了整式的概念.理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数.在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感.

Ⅴ.课后作业

1.课本P165～P166习题15.1─1、5、8、9题.

2.预习“整式的加减”.

课后作业：《课堂感悟与探究》

15.1.2 整式的加减(1)

教学目的：

1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。

2、会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

教学重点：

会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。

教学难点：

正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。

教学过程：

一、课前练习：

1、填空：整式包括 和

2、单项式 的系数是 、次数是

3、多项式 是 次 项式，其中二次项

系数是 一次项是 ，常数项是

4、下列各式，是同类项的一组是( )

(A) 与 (B) 与 (C) 与

5、去括号后合并同类项：

二、探索练习：

1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 交换这个两位数的.十位数字和个位数字后得到的两位数为

这两个两位数的和为

2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为 交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为

这两个三位数的差为

●议一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算?

说说你是如何运算的?

▲整式的加减运算实质就是

运算的结果是一个多项式或单项式。

三、巩固练习：

1、填空：(1) 与 的差是

(2)、单项式 、 、 、 的和为

(3)如图所示，下面为由棋子所组成的三角形，

一个三角形需六个棋子，三个三角形需

( )个棋子，n个三角形需 个棋子

2、计算：

(1)

(2)

(3)

3、(1)求 与 的和

(2)求 与 的差

4、先化简，再求值： 其中

四、提高练习：

1、若A是五次多项式，B是三次多项式，则A+B一定是

(A)五次整式 (B)八次多项式

(C)三次多项式 (D)次数不能确定

2、足球比赛中，如果胜一场记3a分，平一场记a分，负一场

记0分，那么某队在比赛胜5场，平3场，负2场，共积多

少分?

3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和，一定能被14

整除，请证明这个结论。

4、如果关于字母x的二次多项式 的值与x的取值无关，

试求m、n的值。

五、小结：整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。

六、作业：第8页习题1、2、3

15.1.2整式的加减(2)

教学目标：1.会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及其语言表达能力。

2.通过探索规律的问题，进一步符号表示的意义，发展符号感，发展推理能力。

教学重点：整式加减的运算。

教学难点：探索规律的猜想。

教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。

教学用具：投影仪

教学过程：

I探索练习：

摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要 枚棋子，摆第3个需要 枚棋子。按照这样的方式继续摆下去。

(1)摆第10个这样的“小屋子”需要 枚棋子

(2)摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子?你是如何得到的?你能用不同的方法解决这个问题吗?小组讨论。

二、例题讲解：

三、巩固练习：

1、计算：

(1)(14x3-2x2)+2(x3-x2) (2)(3a2+2a-6)-3(a2-1)

(3)x-(1-2x+x2)+(-1-x2) (4)(8xy-3x2)-5xy-2(3xy-2x2)

2、已知：A=x3-x2-1，B=x2-2，计算：(1)B-A (2)A-3B

3、列方程解应用题：三角形三个内角的和等于180°，如果三角形中第一个角等于第二个角的3倍，而第三个角比第二个角大15°，那么

(1)第一个角是多少度?

(2)其他两个角各是多少度?

四、提高练习：

1、已知A=a2+b2-c2，B=-4a2+2b2+3c2，并且A+B+C=0，问C是什么样的多项式?

2、设A=2x2-3xy+y2-x+2y，B=4x2-6xy+2y2-3x-y，若│x-2a│+

(y+3)2=0，且B-2A=a，求A的值。

3、已知有理数a、b、c在数轴上(0为数轴原点)的对应点如图：

试化简：│a│-│a+b│+│c-a│+│b+c│

小 结：要善于在图形变化中发现规律，能熟练的对整式加减进行运算。

作 业：课本P14习题1.3：1(2)、(3)、(6)，2。

篇8：因式分解

一、循环的计算

如:2a3-2ab2=2a (a2-b2) =2a (a+b) (a-b) =2a (a2-b2) .错误原因分析:分析苏科版教材的结构和体系, 其中“因式分解”被安排在七年级 (下) 第九章———从面积到乘法公式.教材安排学习完“整式乘法”之后, 马上学习因式分解, 虽然难度不大, 但考虑到整式乘法与因式分解互为逆运算, 显然这样安排是不符合学生的心理发展规律的.因为学生在解决问题的思维过程中受多种心理因素的影响, 其中一个就是思维定式.而思维定式 (thinking set) 是指个体先前的思维活动所形成的心理准备状态对后继同类思维活动的决定趋势.所以部分学生会在因式分解后很自然地又回弹到整式乘法上去, 出现上述的循环计算.

二、跳步骤产生的问题

如:4x2-y2= (4x+y) (4x-y) .究其原因, 看似因为粗心产生的计算错误, 实质上是学生在跳步骤的时候发生的问题.为了避免出现这样的问题, 在教学过程中只有教育学生细化步骤:4x2-y2= (2x) 2-y2= (2x+y) (2x-y) .

另外, 初一的内容与小学相比引入了负数, 再加上用字母代替数, 从而知识发生了质的转变, 尤其是本章, 又学习了一系列乘法公式, 学生的思维更是无法跟进, 思维无法从具体向抽象转化.

三、部分分解

如:a2+a-b2+b=a (a+1) -b (b-1) .究其原因:这样的错误其实是学生根本没有正确理解因式分解的概念.为了帮助学生理解概念, 我们可以借助正迁移.什么是迁移呢?迁移 (transfer) 是一种学习对另一种学习的影响, 或已有的经验对完成其他活动的影响, 广泛地存在于知识、技能、态度和行为规范等各种内容的学习中.对于学习的迁移现象, 根据迁移的性质可分为正迁移和负迁移.所谓正迁移也叫“助长性迁移”, 是指一种学习对另一种学习起到积极的促进作用.为了纠正部分分解的问题, 我们可用小学分解质因数的知识, 如30=2×3×5来正迁移, 进行类比, 说明什么是因式分解———即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式.

四、没有分解到不能分解为止

如:a4-2a2b2+b4= (a2-b2) 2.究其原因:这样的错误是因式分解没有进行到底.为此, 可以进行正迁移教学:接上, 若把30分解质因数为:30=5×6, 此处的6还可以再分解为2×3.通过正迁移说明因式分解一定要分解彻底的原因.

五、错用公式

如:a2-b2= (a+b) (a-b) .究其原因:主要在于教师在平方差公式的教学中, 过多的通过强化手段让学生记忆“结果”, 没有让学生理解形成“结果”的“过程”, 把“结果”直接抛给了学生, 没有使学生掌握数学思想方法, 形成数学观念.心理学认为:“如果学生对某项信息的记忆痕迹的强度很大, 那么该信息的提取常常是自动的.”换言之, 如果学生对某项知识的记忆比较弱, 那么就会因为联想强度不足而失去该知识的激活能力, 导致回忆失败, 从而产生遗忘.为此, 在因式分解的教学过程中必须加深学生对公式的理解, 建议可以结合图形来识记.

六、不先提公因式而是先公式法

如:16x2-4= (4x+2) (4x-2) .究其原因:主要在于学生在分解过程中单纯地直接使用公式法进行因式分解, 没有分解到底.为此, 我们可以借助数学技能, 使数学活动的顺序在执行环节中得到直接的控制.如设计口诀:一有公先提公, 二再看项数 (两项考虑平方差, 三项完全平方或十字, 四项、五项来分组) , 最后分解求彻底.当这些操作性知识经过实际操作训练, 使学生获得一种动觉经验后, 就成了一种技能即链锁型动作经验.

数学教师在教学中经常遇到这样的情况, 学生总是在某一地方出现重复性的错误, 任教师如何反复强调, 但学生在今后的学习中仍然是“屡战屡败”, 究其原因是教师在纠错过程中, 没有给学生真正的反思空间.“由于数学学习材料比较抽象, 导致学生学习活动的高度抽象.因此数学学习需要学习活动过程的自我意识的协调统一”.然而我们看到, 目前的数学教学, 轻视基础, 迷恋题海, 缺乏对解题过程的反思, 缺少对解题经验和教训的总结, 更不用说对问题的引申、拓展和一般化, 尤其是对数学思想方法的概括, 从而导致教、学双方都有沉重的负担.因此, 教师要放手给学生以学习的主动权, 允许学生有学习上的反复, 指导他们对自己的思维活动过程进行反省, 对自己是怎样发现和解决问题, 应用了哪些基本的思考方法、技能技巧, 走过哪些弯路, 犯过什么样的错误进行反省, 从而获得对经验教训的认真剖析, 逐步培养随时监控自己的数学思维活动的习惯.

篇9：因式分解小议

1． 什么是因式分解

我们知道，根据整式乘法的运算法则，单项式乘多项式或者几个多项式相乘，所得的积是一个新的多项式.例如：

2m2（m2+3n）=2m4+6m2n，①

（a+b）（a-b）=a2-b2.②

任何一个等式都可以概括成x=y的形式.由等式x=y自然可以得到等式y=x.于是，由等式①、②可以写出

2m4+6m2n=2m2（m2+3n），③

a2-b2=（a+b）（a-b）.④

比较式子①、②和③、④，你有什么想法？

从形式上可以发现，①、②中“=”之前是几个整式相乘，“=”之后是一个多项式；③、④则恰好相反.从这种形式上的区别可以想到，虽然两者是从不同的方向表示同一相等关系，但前者强调几个整式相乘“合成”为一个多项式的过程，而后者强调一个多项式“分解”为几个整式相乘的形式的过程.

一般地，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式），例如式子③、④.这就是说，因式分解是对多项式进行的一种式子变形，变形后的结果是整式乘积的形式.

2． 因式分解是整式乘法的逆运算吗

由上可知，式子①、②属于整式乘法，而式子③、④属于因式分解.它们是相互联系的等式，区别在于①与③、②与④中“=”前后的式子正好位置相反.

整式乘法：几个整式相乘→一个整式.

因式分解：一个多项式→几个整式相乘.

鉴于因式分解与整式乘法的上述区别与联系，有的同学可能会问：能不能说因式分解是整式乘法的逆运算呢？

我们先来看看运算的含义.通常所说的代数运算，是指由两个（或多个）数或式子，按照一定法则，得到一个新的数或式子.整个运算过程可以概括地写成a∗b=c的形式，其中a，b表示参加运算的两个元素（数或式子），∗表示一种运算，c是一个元素，它表示运算结果.例如，整式乘法（x+y）·（x-y）=x2-y2中，整式x+y和x-y是进行运算的两个元素，“·”是运算符号，运算结果是一个整式x2-y2；整式除法（x2-y2）÷（x+y）=x-y中，整式x2-y2和x+y是进行运算的两个元素，“÷”是运算符号，运算结果是一个整式x-y.这也就是说，通常代数运算的过程具有把多个元素合成为一个元素的特征.

因式分解不是把多个元素“合成”为一个元素，而是把一个整式“分解”为多个整式之积，它不具备代数运算的特征.所以它不属于代数运算的范围，而仅是式子的一种分解变形.既然因式分解不属于运算，自然也就不是整式乘法的逆运算了.与数的乘法和除法互为逆运算一样，整式的除法是整式乘法的逆运算.

3． 因式分解的基本方法

进行整式的乘法运算时，方法是很明确的，只要按照乘法的法则逐步具体实施，就能得到作为乘积的多项式.把一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性.提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法.现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法.

提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考.请看下面几道例题.

例1把a4b2-a2b4因式分解.

解法1：a4b2-a2b4=a2b2（a2-b2）=a2b2（a+b）（a-b）.

解法2：a4b2-a2b4=（a2b+ab2）（a2b-ab2）=ab（a+b）ab（a-b）

=a2b2（a+b）（a-b）.

评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法.虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单.通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化.

有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法.

例2把a2c+a2+2ab+b2-b2c因式分解.

解：a2c+a2+2ab+b2-b2c=（a2c-b2c）+（a2+2ab+b2）=c（a+b）（a-b）+（a+b）2=（a+b）［c（a-b）+（a+b）］=（a+b）（ac-bc+a+b）.

评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法.

例3把a4+4b4因式分解.

解：a4+4b4=（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2=（a2+2b2）2-（2ab）2=（a2+2ab+2b2）（a2-2ab+2b2）.

评注：多项式a4+4b4中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式.但由于这两项再加上4a2b2就是（a2+2b2）2，所以先对a4+4b4加、减4a2b2，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解.上面的解法中，把a4+4b4变形为（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件.

从上面几道例题可以看出：第一，提公因式法和公式法在因式分解中具有重要的基础作用，它们是因式分解的最基本的方法；第二，因式分解时不都是简单运用基本方法就能解决问题的，有时需要灵活机动地使用基本方法，这就需要认真分析多项式的结构，必要时还需要先对多项式进行适当的式子变形.

4． 因式分解要进行到什么程度

对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解.例如，把a4-b4因式分解时，得到（a2+b2）（a2-b2），并未完全达到要求，还需要继续分解到（a2+b2）（a+b）（a-b）.

在解决计算、化简、解方程等问题的过程中，当因式分解作为中间步骤时，应根据具体问题来决定分解到什么程度合适.

例4已知a2+b2=1，a2-b2=0.5，计算a4-b4.

解：a4-b4=（a2+b2）（a2-b2）=1×0.5= 0.5.

评注：上面解法中，因式分解只是中间步骤，只要分解到（a2+b2）（a2-b2）问题就解决了，继续分解反而不利于解决问题.

我们知道，代数式中的字母是数的抽象表示.因此，因式分解是在某种数的范围中进行的.对于不同的数的范围，对同一多项式的因式分解，要进行到的程度也可能有所不同.

例5（1）在有理数范围内把a4-4因式分解；

（2）在实数范围内把a4-4因式分解.

解：（1）a4-4=（a2+2）（a2-2）；

（2）a4-4=（a2+2）（a2-2）=（a2+2）（a+）（a-）.

评注：初中数学教科书中，如无特别声明，通常约定因式分解是在有理数范围内进行的.

5. 因式分解有什么用

因式分解是多项式的分解变形.式子变形不是无意义的变来变去的数学游戏，而是解决数学问题的重要手段.在计算、化简、解方程等问题中，因式分解可以发挥重要作用.

例6计算-.

分析：这是两个分式相减，它们的分母不同，正如异分母分数相加减一样，这里也需要先通分.分数的通分中，可以先分解因数，再确定最简公分母，例如：

+=+=+=.

类似地，分式的通分中，可以先分解因式，再确定最简公分母.

解：-=-=-====.

例7解方程x2+6x+5=0.

分析：这是一个一元二次方程.它的一边等于0，如果能将它的另一边分解为两个一次式的乘积，则可知当这两个因式中任何一个等于0时，乘积都等于0，于是可以得出方程的解.

解：原方程可化为（x2+6x+9）-4=0，（x+3）2-22=0，分解因式，得到（x+5）（x+1）=0.所以x1=-5，x2=-1.

总之，因式分解是针对多项式的一种分解变形，它是解决许多数学问题的一种重要手段.

篇10：因式分解教案

1、进一步巩固因式分解的概念;

2、巩固因式分解常用的三种方法

3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题

5、体验应用知识解决问题的乐趣

教学重点：灵活运用因式分解解决问题

教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3

教学过程：

一、创设情景：若a=101，b=99，求a2—b2的值

利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。

二、知识回顾

1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)

(1)、x2—4y2=(x+2y)(x—2y)因式分解(2)。2x(x—3y)=2x2—6xy整式乘法

(3)、(5a—1)2=25a2—10a+1整式乘法(4)。x2+4x+4=(x+2)2因式分解

(5)、(a—3)(a+3)=a2—9整式乘法(6)。m2—4=(m+4)(m—4)因式分解

(7)、2πR+2πr=2π(R+r)因式分解

2、规律总结(教师讲解)：分解因式与整式乘法是互逆过程。

分解因式要注意以下几点：

(1)。分解的对象必须是多项式。

(2)。分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。

(3)。要分解到不能分解为止。

3、因式分解的方法

提取公因式法：—6x2+6xy+3x=—3x(2x—2y—1)公因式的概念;公因式的求法

公式法：平方差公式：a2—b2=(a+b)(a—b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

4、强化训练

教学引入

师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

动画演示：

场景一：正方形折叠演示

师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。

[学生活动：各自测量。]

鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较，找出共同点。

讲授新课

找一两个学生表述其结论，表述是要注意纠正其语言的规范性。

动画演示：

场景二：正方形的性质

师：这些性质里那些是矩形的性质?

[学生活动：寻找矩形性质。]

动画演示：

场景三：矩形的性质

师：同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。

[学生活动;寻找菱形性质。]

动画演示：

场景四：菱形的性质

师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。

及时提出问题，引导学生进行思考。

师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义?怎么样给正方形下一个准确的定义?

[学生活动：积极思考，有同学做跃跃欲试状。]

师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。

学生应能够向出十种左右的定义方式，其余作相应鼓励，把以下三种板书：

“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”

[学生活动：讨论这三个定义正确不正确?三个定义之间有什么共同和不同的地方?这出教材中采用的是第三种定义方式。]

师：根据定义，我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。

试一试把下列各式因式分解：

(1)。1—x2=(1+x)(1—x)(2)。4a2+4a+1=(2a+1)2

(3)。4x2—8x=4x(x—2)(4)。2x2y—6xy2=2xy(x—3y)

三、例题讲解

例1、分解因式

(1)—x3y3+x2y+xy(2)6(x—2)+2x(2—x)

(3)(4)y2+y+

例2、分解因式

1、a3—ab2=2、(a—b)(x—y)—(b—a)(x+y)=3、(a+b)2+2(a+b)—15=

4、—1—2a—a2=5、x2—6x+9—y26、x2—4y2+x+2y=

例3、分解因式

1、72—2(13x—7)22、8a2b2—2a4b—8b3

四、知识应用

1、(4x2—9y2)÷(2x+3y)2、(a2b—ab2)÷(b—a)

3、解方程：(1)x2=5x(2)(x—2)2=(2x+1)2

4、。若x=—3，求20x2—60x的值。5、1993—199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?

五、拓展应用

1。计算：7652×17—2352×17解：7652×17—2352×17=17(7652—2352)=17(765+235)(765—235)

2、2+20xx被20xx整除吗?

3、若n是整数，证明(2n+1)2—(2n—1)2是8的倍数。

五、课堂小结