最大-最小

关键词： 矩阵

最大-最小（精选十篇）

最大-最小 篇1

1.1 编程前提

王建德教授的《最小费用最大流》一文, 代码比较繁杂, 且有些出错的地方, 讲解的也不够细致。原理基本从网上就能找到, 到网上下载了许多《最小费用最大流》的ppt文档看, 基本都是如此。在此重新写最小费用最大流的算法程序, 而且输出了每一步骤的最短路序列中的顶点、流量调整量、最小费用增广链的费用。最后输出总流量 (最大流) 和总费用 (最大流下的最小费用) 。

1.2 题目举例

如图1所示。

图1中的括号中的数值, 左边的是容量, 右边的是单位流量费用, 求从源点Vs到汇点Vt的最小费用最大流。

1.3 程序分析

首先要明白一点, 肯定求出的是最大流, 在多个最大流中找出最小费用的一个最大流。

一个网络的每一条边 (vi, vj) 除了给定容量Cij外, 还给了一个单位流量费用Bij>=0。求最大流F, 使得流的总输送费用B (F) =∑BijFij取最小值。

构造一个赋权有向图W (F) , 它的顶点是原网络D的顶点, 把D中的每一条边 (vi, vj) 变成两个方向相反的边 (vi, vj) 和 (vj, vi) 。

定义W (F) 中的边权Wij为:

长度为∞的边可以从W (F) 中省去。

于是在网络中求关于F的最小费用可增广路径, 等价于再赋权有向图W (F) 中求从vs到vt的最短路径。有如下算法:开始取F (0) =0, 一般若在第k-1步得到最小费用流F (k-1) , 则构造赋权有向图W (F (k-1) ) , 在W (F ( (k-1) ) 中, 求从vs到vt的最短路径。

若不存在最短路径 (即最短路权是∞) , 则F (k-1) 即为最小费用最大流;若存在最短路径, 则在原网络D中得到相应的可增广路径p,

在可增广路径p上对F (k-1) 进行调整, 可改进量为:

令Fij (k) =|Fij (k-1) +a (i, j) ∈P-, 得到新的可行流F (k) , 再对F (k) 重复上述步骤。

同一条边的正反两个弧的流相加即是该边的容量。

这里要注意, 第一次调整时用到的是Cij-Fij, 以后调整时就不是用Cij-Fij了, 而是旧Fij-新调整量a (正方向上) , 反方向则是旧Fij+新调整量。当正方向流量为0时删除该条弧。

2 解决方案

解决方案如图2, 图3, 图4所示。

3 实现方案

3.1 为便于理解程序, 变量和函数说明基本采用中文方式

程序中将容量图、流量图和单位流量费用图分开来, 这样便于理解, 简单清晰。

程序根据流量图计算单位流量费用图 (反向弧的单位流量费用为负数) , 同时调整边集 (边数组) , 尽管数据结构多了, 可是理解起来更容易了。

3.2 采用SPFA算法求最短路径

原本使用Bellman-Ford算法来计算单位流量费用图的最短路径, 但是该算法存在太多无效的松弛操作, 因此废弃不用了。

SPFA算法大致流程是用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素, 并对所有与它相邻的点进行松弛,

若某个相邻的点松弛成功, 则将其入队。直到队列为空时算法结束。

SPFA——Shortest Path Faster Algorithm, 它可以在O (kE的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径, 可以处理负边。

SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单:

设Dist代表S到I点的当前最短距离, Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞, 只有Dist[S]=0,

Fa全部为0。

维护一个队列, 里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代, 取出队头的点v, 依次枚举从v出发的边v->u, 设边的长度为len, 判断Dist[v]+len是否小于Dist[u], 若小于则改进Dist[u], 将Fa[u]记为v, 并且由于S到u的最短距离变小了, 有可能u可以改进其他的点, 所以若u不在队列中, 就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空, 也就是S到所有的最短距离都确定下来, 结束算法。若一个点入队次数超过n, 则有负权环。

网上的代码是错误的, 当队列中还有顶点未出队时, 求得的并不是最短路径。因此, 设置了两个队列, 外层队列 (“队列”) 存放在队列 (Q) 中的顶点, 当外层队列为空时, 计算出来的才是真正的最短路径 (单位流量费用) 。有人说要先计算出最大流, 这样算法的时间复杂度增加了不少, 其实通过SPFA算法完全可以判断单位流量费用图是否有最短路径存在, 而且实现起来也很简单:if (dist[汇点]==无穷大) return false。

3.3 两种特殊情况的处理

(1) 存在反向弧, 且正向边的流量大于调整量

(2) 反向弧满载

3.4 输出结果

运行输出结果如图5所示。

4 源代码

5 结语

通过以上实例, 已完整进述了改进后的最小费用最大流算法。希望能以认真负责的态度与大家共享。

摘要：针对当前很多最小费用最大流算法存在的问题和缺陷, 用实例做出修正和完善。

小学奥数最大与最小教师版 篇2

模块

一、数论中的极端思想

【例 1】 1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？

【解析】 8531和7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数.【巩固】 两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？ 【解析】 将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：

15=1+14，1×14=14； 15=2+13，2×13=26； 15=3+12，3×12=36； 15=4+11，4×11=44； 15=5+10，5×10=50； 15=6+9，6×9=54； 15=7+8，7×8=56。

由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。

结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.【巩固】 两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？ 【解析】 48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：

48=1×48，1+48=49；

48=2×24，2+24=26；

48=3×16，3+16=19；

48=4×12，4+12=16；

48=6×8，6+8=14。

两个因数之和最小的是6+8=14。

结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。

【例 2】 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？

【解析】 要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358满足条件．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1与0．

【例 3】 有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？ 【解析】 一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为2003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9，而2003÷9=222„„5，所以满足条件的最小自然数为：599...9

222个9

【例 4】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12„„9899100从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？

【解析】 要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为1～59中有109个数码，其中有6个9，要想左边保留6个9，必须划掉1～59中的109-6＝103（个）数码，剩下的数码只有192－103=89（个），不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉1～49中其余的84个数码。然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：

所求最大数是9999978596061„99100。

同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。2～50中有90个数码，其中有5个0，划掉其余90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小数（见下图）：所求最小数是***„99100。

【例 5】 把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？ 【解析】 假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，为3×3×3×3×3×2=486。结论：整数分拆的原则：不拆1，少拆2，多拆3。

【巩固】 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 【解析】 14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.【例 6】 某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元„„100元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？

【解析】 为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。当有10张9元时，容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。当9元的货币少于10张时，至少有19元需要由5元以下的货币构成，且1元的货币至少2张，这样也找不到比14张更少的方案。综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的，共14张货币。

【例 7】 在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？ 【解析】 225776

【巩固】 在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是几？ 【解析】 8654473.【例 8】 设自然数n有下列性质：从1、2„„n中任取50个不同的数，其中必有两数之差等于7，这样的n最大不能超过多少？

【解析】 当n=98时，将1、2„„98按每组中两数的差为7的规则分组：{1，8}、{

2、9}、„„{7，14}、{15，22}„„{90，97}、{91、98}。一共有49组，所以当任取50个数时，必有两个数在同一组，他们的差等于7。当n=99时，取上面每组中的前一个数，即1、2„„

7、15„„

21、29„„

35、43„„

49、57„„63、71„„77、85„„91和99一共是50个数，而它们中任2个的差不为7。因此n最大不能超过98。

【例 9】 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？

【解析】 把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37＝18，所以我们变成减数的这些数之和是

18÷2=9。对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9，因此这些减数的最大乘积是2×3×4＝24，添上加、减号的算式是：10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5-4-3-2 ＋1＝37。

模块

二、智巧趣题中的极端思想

【例 10】 99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果．问：这群小朋友最多有几位?

【解析】 1+2+3+„+13=91＜99，1+2+3+„+14=105＞99，说明若13位各分得1，2，3，„，13个苹果，未分完99个，若14位各分得1，2，3，„，14个苹果，则超出99个．因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上，就可得合题意的一个分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14个．所以最多有13位小朋友．(注：13人的分法不唯一)

【例 11】（第四届希望杯1试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的33多一些，比少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运

54次，最多共要运

次。

【解析】 这道题目用到了极值判断法，体会极值判断法：

33331，则每一次最少运÷5=，所以最多运1÷=8≈9次； 552525333332假定5次运的恰好等于，则每一次最多运÷5=，所以最少运1÷=6≈7次.4420203假定5次运的恰好等于

【例 12】 某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？

【解析】 三天都迟到的要尽量多，则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的．可求出三天都迟到的学生最多有(15+12+9-22)÷2=7(人)．

【巩固】 某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198，最低得分169，没有得193分、185分和177分，并且至少有6人得同一分数，参加测试的至少多少人？

【解析】 得分数共有198-169+1-3=27(种)，当只有6个人得分相同时，参加测试的人最少，共有27+6-1=32(人)．

【例 13】 149位议员中选举一位议长，每人可投一票．候选人是A，B，C三人．开票中途，A已得45票，B已得20票，C已得35票．如果票数最多者当选，那么A至少再有多少票才能一定当选?

【解析】 45+20+35=100，还有149-100=49(票)．45-35=10，如果49票中有10票都给C，49-10=39，那么A至少还要有20票才能当选．

【例 14】 如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车．第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半．车到学校时，车上最少有多少学生?

【解析】 因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车．假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16个．因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31(人)，很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个．所以，最少有31个学生．

【例 15】 某公共汽车从起点开往终点站，中途共有15个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？

【解析】（法1）：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：

由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。（法2）：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此：车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数=站号×（15-站号）。因此只要比较下列数的大小：1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，11×4，12×3，13×2，14×1.由这些数，得知7×8和8×7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位.此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。

【例 16】 某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过3．那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?

【解析】 因为全班50人的年龄总和比平均12岁的年龄总和多(12.2-12)×50=10(岁)，所以年龄最大的能是12+3=15(岁)．如果有人年龄达到15岁，那么剩下的49人的年龄和比平均12岁的年龄和多10—3=7(岁)，所以最多有7人的年龄大于12岁，小于15岁．

【例 17】 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？

【解析】 家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以，爸爸有12-7=5人。

【例 18】 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？

【解析】 先每堆拿出一个，这样第一堆就是第二堆的3倍：“如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍”，第三堆最少剩一个，那么第一堆的每一份就是：（34-2）÷2=16，即三堆分别有：16×3+1=49，16+1=17和16个，总数：49+17+16=82个；如果第三堆剩2个，那么第一堆的每一份为：（34-4）÷2=15，各堆分别为：15×3+1=46，15+1=16和14个，总数减少.显然第三堆留下的越多，第一堆的每一份就越少，总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是82.【例 19】 如图，小明要从A走到B，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数．请问小明最快需几分钟?

【解析】 从A到B要想最快，肯定不能走回头路，路线分为过C点和不

过C点两类．①不过C点有两条路：第一条是15+7+9+18=49(分钟)；第二条是14+6+17+12=49(分钟)；两条路所用时间相同．②经过C点的路线分为两段，A→C、C→B．同上面一样：A→C：①14+13=27(分钟)；②15+11=26(分钟)．C→B：①10+12=22(分钟)；②5+18=23(分钟)．在分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果，而且不好推理说明谁是极端情形，那就应该列举比较．所以从A→C→B最少用48分钟，比前面不过C的少用1分钟．

【例 20】 阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座，某些排坐着的人数就一样多．我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？

【解析】 至少有4排．如果10排人数各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；如果最多有2排人数一样，那么最多坐：(16+15+14+13+12)×2=140(人)；如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(16+15+14)×3+13=148(人)；如果最多有4排人数一样，那么至多坐：(16+15)×4+14×2=152(人)．148<150<152，所以，至少有4排．

练习1.如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996，那么这个自然数最小是几？ 【解析】 1996÷9=221„„7，N= 799...9.221个9课后练习

练习2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？

【解析】 把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12。

3．小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人．若用电话联系，每通知1个人需1分钟，而见面可一次通知60个人，但需10分钟，问：完成传达任务最少需多少分钟?(每人均有电话)【解析】 应该充分发挥每个人的作用，即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人．因此，可以先花10分钟安排一次见面通知，然后凡被通知的人再不断打电话，到第14分钟时共可通知：(1+60)×2×2×2×2—1=975(人)，因此最少用14分钟．

练习3.当A+B+C＝10时(A、B、C是非零自然数)。A×B×C的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿。【解析】 当为3+3+4时有A×B×C的最大值，即为3×3×4＝36；

当为1+1+8时有A×B×C的最小值，即为1×1×8＝8。

2练习4.要砌一个面积为72米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？

【解析】 将72分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1。，猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）×2=34（米）.练习5.公园里有一排彩旗，按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列，小红看到这排旗的尽头是一面粉旗．已知这排旗不超过200面，这排旗子最多有多少面?

【解析】 旗子排列是9面一循环，关键在于最后几面旗子，如果最后四面都能是粉旗那就好了．200÷9=22„2，所以最多可以出现200-2=198面旗子，共22个循环．

练习6.有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？

【解析】 最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数，故不小于61÷3=20，即它不小于21．从而四袋糖总和不小于21十61=82(块)．比如四袋糖数量分别为21，21，20，20即可．

13月测备选

测试

1、比较下面两个乘积的大小：a=57128463×87596512，b=57128460×87596515.【解析】 对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据上题结论，可得a＞b

测试

2、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12„„9899100从中划去170个数字，剩下的数字形成一个22位数，这个22位数最大是多少？最小是多少？ 【解析】 在前100个自然数中，共有20个9，再保留后面的“10”，即得到最大数：99999„99100（20个9）；最小数的第一位是“1”，再保留10～90中的9个“0”，再在91～100中留下12个尽量小的数，即得最小数：***6789100.测试

3、（第一届希望杯1试）一艘轮船往返于A、B码头之间，它在静水中船速不变，当河水流速增加时，该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间_______(填“多”或“少”)【解析】 极限判断，当水速为10，船速是20时，我们可以往来A，B两地，当河水速度增加时，比如增加到20，这样逆水时，船速=水速，永远到不了B地，所以时间变多了。

测试4冬季运动会共有58面金牌，至今A队已得lO面，B队已得11面，C队已得13面．如果A队要想金牌数居第一位，A队至少还要得多少面金牌? 【解析】 10+ll+13=34．还有58-34=24(面)可争夺．A队要再得4面，才超过C队．在余下的奖牌中不能少于一半，即再得4+(24-4)÷2=14(面)，才能确保金牌数居第一位．

测试

5、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？ 【解析】 因为参加竞赛的有28+23+20=71(人)．让这71人尽可能多地重复，71÷2=35„1，所以至多有35人参加两科．

测试

6、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？ 【解析】 假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷2=3……1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。

测试

7、小明有一只最多能装10千克物品的大提兜．现有白菜5千克，猪肉2千克，鱼3．5千克，一瓶酱油连瓶重1.7千克，白糖l千克，蚕豆5.1千克．请你想想，把哪几样东西放进大提兜内，才能充分利用提兜，使它所提东西的重量最重? 【解析】 大提兜能装的重量限制在10千克之内．把哪几样东西的重量加在一起，使和不超过10千克，但最接近lO千克我们不妨列举．在列举前先分析数据：白菜和蚕豆不能同时放(共10.1千克)，但二者应取其一，否则才装2+3.5+1.7+1=8.2千克．列举如下： 白菜+猪肉+酱油+白糖=9.7(千克)； 白菜+鱼+白糖=9.5(千克)；

蚕豆+猪肉+酱油+白糖=9.8(千克)； 蚕豆+鱼+白糖=9.6(千克)．

最大与最小的得数 篇3

一、求最小得数，从结果考虑

既然算式中规定了不同的汉字表示不同的数字，那么假设“趣题”不能表示12至19的数，因为它的十位上的数字是1，而加数是十位数数字就没办法填了，20有0也不行，21虽然是两位数了，它使用了1和2两个数字，算式中十位上的数字仍旧没有办法填，舍去。22有重复数字，合去。最小的只有表示23了，那么，算式中的“小、学、数”表示着非0、2、3的数字，那么，“趣题”表示23的话，那么算式中的“小、学、数”表示着非0、2、3的数字，数字中除掉了0、2、3，余下的较小的数字只能是1、4、5了。十位数字只能选1，“学”表示的数字要重复出现，它要填余下的较小数字4，加上5，得数恰好为23。整理下算式，可以写出——

14＋5＋4＝23

二、求最大得数，从算式入手

下面再来讨论“趣题”表示的最大两位数。可以先从算式中的数字考虑，假如重复出现的“小”字表示数字9，那么得数一定不是两位数了，故舍去。“小”为8，那么得数的十位上的“趣”只能是9。

“8学＋数＋学＝9题”

較大数字去掉了9和8，那么余下的较大数字只有7、6、5了。因为是求最大得数，设“题”表示7，让数字6出现两次，再加上5得数恰好为97。可以得到如下的算式——

86＋5＋6＝97

趣题不是难题，因为有趣而让大家更加的喜爱。看似平常、平淡的一道题目，通过对它的解答，往往让我们得到很大的享受。并从中得到更多有解决问题的方法和道理。

考考你：

小学＋数＋学＝趣题

最大-最小 篇4

一、创设学习情境, 激发学习兴趣

对新知识, 学生常带着强烈的好奇心。这时教师要设法激起学生的悬念, 引起他们的兴趣。在教学“小数是大数的约数, 大数是小数的倍数”时, 我出示了6和12, 12和24, 24和48这几组数, 要求学生先求出它们的约数和倍数, 再找出最大公约数和最小公倍数。然后说:“我不用计算就能知道这几组数的最大公约数和最小公倍数, 不信你们可以考考老师。”这时, 学生便活跃起来, 纷纷让教师回答, 我便准确地回答出了这几组数的最大公约数和最小公倍数。学生感到十分惊讶, 都迫不及待地要我把“窍门”告诉他们。于是我便引导他们观察这几组数的特征, 归纳出了“如果两个数中小数是大数的约数, 大数是小数的倍数, 那么小数就是这两个数的最大公约数, 大数就是这两个数的最小公倍数”这一规律。

二、精心设置疑问, 引发学习兴趣

学起于思, 思源于疑。有疑问才能启发学生的探索欲望, 才能使他们积极、主动、愉悦地获取知识。在教“两个数是互质数的最大公约数和最小公倍数”时, 我提出了这样一个问题:“当两个数是互质数时, 它们的最大公约数为什么是1, 最小公倍数又是多少?”这一问激起千层浪, 学生议论纷纷, 就连平时不说话的学生也跟同桌讨论起来, 并用前面学的方法找最大公约数和最小公倍数。经过反复验证最终知道了“当两个数是互质数时, 它们的最大公约数是1, 最小公倍数是它们的乘积”的道理, 使这堂本来内容抽象的课, 变成了生动活泼的课, 收到了最佳的效果。

三、点燃思维火花, 激发学习兴趣

学习不是肤浅的兴趣活动。真正的求知欲源于思维活动的过程。当学生看到通过自己艰苦探索, 最终找到问题的答案时, 求知的热情会无比高涨。因此, 教师要引导启发学生, 通过思考、分析, 自己得出结论。在教“如果两个数既不互质, 又不是倍数关系”时, 教师直接说出通常有两种求法:1.分解质因数法。教师出示一组数引导学生仔细观察数的特征, 找出规律:“公有质因数相乘的积就是这几个数的最大公约数, 取出全部公有的质因数和各自独立的质因数, 它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。”2.短除法:教师启发学生把公有的质因数从小到大依次作为除数, 连续去除这几个数, 直到得出的商只有公约数1为止。然后把所有的除数连乘起来, 所得的积就是这几个数的最大公约数。而求最小公倍数时, 三个数中有一个数不能被除数整除, 就把这个数直接定下来, 直到得出的商每两个数都互质为止, 即两两互质。然后把这些除数和商连乘起来, 所得的积就是这几个数的最小公倍数。这时, 教师再引导学生观察这些数的特征, 归纳出简便的记法:“最大公约数是乘一边, 最小公倍数是乘半圈。”

四、练习方法多样, 强化基础训练

“最好的知识是方法”, 只要方法得当, 定有事半功倍之效。在学生基本看清楚“屋架”的基础上, 为了进一步巩固知识提高综合能力, 有必要变换方法, 强化基础知识的掌握和基本技能的提高。

1.通过对比, 同中求异、异中求同。有比较才有鉴别, 更能加深印象。如公约数和最大公约数、公倍数和最小公倍数的对比, 学生区分了它们的相同点和不同点。

2.用关键词练习。利用关键词就可将许多知识点聚合起来, 归类识记, 既容易区分又加深认识, 效果也不错。

3.主线练习法。“约数和倍数关系贯穿整本教材之中, 利用这一主线可将公约数和最大公约数、公倍数和最小公倍数、通分约分等知识归纳整理, 加以掌握。

五、加强综合训练, 培养基本技能

通过强化学习, 学生基础知识已过三关, 第三个阶段重在综合训练和实践, 以便于掌握理解方法, 培养竞技的多种能力。

1.分层测试。针对主体的不同层次, 设置几套“全、新、准”的A、B练习题, 进行模拟实践, 拟定不同层次的主体达到不同层次的目的。这样一方面是“双基”的又一次复习;另一方面是对教材重点、难点有针对性的强调。通过模拟测试, 学生可以得到解题能力的实际检验, 同时这也是发现弱点、查漏补缺的机会, 也培养、锻炼了学生的心理素质、竞争意识。

2.分类指导。根据不同层次讲解, 对于不同层次的学生, 分类给予指导, 精心组织评价方案, 指出了不同层次的问题, 使学生轻松掌握自己可能掌握的知识, 在不知不觉中使知识得到全方位的升华。

3.共同实践。组织学习参加针对性强、目的明确的社会实践活动。知识来源于实践, “实践是检验真理的唯一标准”, 组织学生解决日常生活中的问题, 教师要结合实际给予正确的引导, 从而坚定其信心, 使其插上理想的翅膀, 在更高的蓝天中翱翔, 这也是我们教育教学的目的。

六、逆向思维训练提升数学能力

逆向思维使学生能正确灵活地选用这些方法来解决数学问题。逆向思维主要包括两大方面, 一是对结论的逆向表述, 如“能被2整除的数是偶数”。反问“偶数都能被2整除, 正确吗?”二是对结果的逆向表达。如学生求出12和18的最大公约数是6后可反问:6是12和几的最大公约数?反问后的结论有时正确, 有时错误, 一定让学生要深思熟虑, 不可盲目下结论。

在教学中, 教师不仅应从正面讲清知识的内涵, 还应从反面加以揭示。正确指出错误是一种方法, 然而指出错误最有说服力的方法是举反例。反例在数学教学中有着不可替代的功效, 尤其是解答是非题, 通过一个反例, 就能迅速辨析问题的症结, 对“自然数都是整数, 所以整数也都是自数”这一判断题, 当举出“0”这个数时, 能马上判断出这一命题的错误。在对学生进行一定的逆向思维的训练, 应该用在学生对知识的纳新内化之时, 方能起到画龙点睛的作用;在学生困惑不解之际, 会使学生茅塞顿开。在这一训练中教师要实行教学民主, 让学生活跃思维, 敢于质疑, 敢于发表不同见解, 甚至提出一些不合常理的想法。在逆向思维训练中, 教师要给学生说的机会, 不仅优生有机会说, 中差生也有机会说, 让每个学生都能领略成功的喜悦, 培养学生思维的灵活性和简捷性。数学是思维的体操, 发展思维又是提高学生数学素养的重要方面。在课堂教学中, 只有坚持以学生为主体, 教师为主导, 思维训练为主线, 才能达到既减轻学生负担, 又提高教学质量的目的。

最大-最小 篇5

高三数学函数的最大最小值教案(文科)

资源名称：高三数学函数的最大最小值教案(文科) 资源分类：高中第五册教案 资源版本：人教版 文件类型：doc 例2 用边长为60CM的`正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少? 例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C=100+4P，价格R与产量P的函数关系为R=25-0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。

最小的地方决定最大的方向 篇6

所谓“细节”有很多种解释，可以理解为某项工作的某些微小部分，某些基础部分，或者某些经常性而琐碎的部分等等，而无论哪种理解都有一个共同点：就是我们不可避免地要经常去做但是常常会不加以重视的部分。“一个糊涂的马夫钉歪了一个马掌，一个钉歪的马掌扭伤了一匹战马的腿，一匹扭伤的战马摔断了一名通信兵的脖子，一名通信兵的死耽误了一封紧急的军令，一封被耽误的军令导致一场战役的失败，一场战役的失败导致整场战争的失败，一场战争的失败导致一个强大帝国的覆灭。一根钉子改变了一个世界”。这个以战争为背景的寓言充分表现了细节的作用，同时也告诉我们，真正要注意的细节，就在于最基础的地方。

就统计工作而言，最基础的就是我们的源头数据。每个人都知道，统计数据的真实、准确，第一步就需要有可靠的源头数据为基础，而这个基础的细节就决定着我们统计数据结果的“胜负”。曾经有一位区县统计局的同志说，一个称职的农村统计员，能顶得上国家统计局一位副局长至少一大半的水平。这当然是一句玩笑话，不过这也说明基层统计人员的工作有多么繁杂。以北京近郊一个普通的农村为例，其中可能不仅有农、林、牧、渔业生产，也有村办工厂、企业，还有餐饮、运输等第三产业经营，统计员不仅要统计这些经济项目，还有教育、医疗、交通、环境等公共基础设施建设情况，都是统计员要关注的对象，再加上住户调查、专项调查等，统计员要负担的工作数量之大、范围之广，超过一般人的想象。而负责如此之多工作的统计员，往往只是由村里的会计兼职。在这种基础相当薄弱的情况下，要实现统计事业的全面、协调、可持续发展，无异于空中楼阁，只存在于书面上的理论而已。仅以农村住户调查工作为例，它需要调查员负责与乡镇一级统计人员进行沟通，帮助记账户（目前每个被抽中的调查村一般包括10个记账户）解决记账工作中出现的疑难问题，每月定期走访村中的调查记账户，检查记账情况，回收账本，保证记账质量，为农村住户常规调查提供数据资料，此外还负责由农村住户调查系统所实施的其他各项调查工作在其村内的具体施行。

可以说，如此任务量选派一位专职的统计调查员也不过分，而这只是调查员工作的一部分，甚至是一小部分。在这种情况下，很难保证在我们最基础的部分能够在每一个细节都精益求精。或许，有的时候，只要没有出现明显的问题就是很了不起的成就了。而随着社会对统计数据无论在深度还是广度上的要求日益提高，统计工作的业务量逐年增加，当前条件下我们的村级统计员在将来很难实现数据质量的提高，甚至可能保持现有水平都有困难。这样的话，说不准什么时候，我们就会在工作中碰到那么一根“钉歪了马掌的钉子”。

最大-最小 篇7

1965年, Zadeh提出的Fuzzy集理论[1], 为人们表达不确定概念提供了有力的工具, Gau和Buehrer[2]在1993年提出了Vague集的概念, 它是Fuzzy集理论的推广, Vague集对不确定模糊信息刻画得更加精确, 处理更灵活。Vague集已经成功应用于人工智能、信息融合和模糊控制等领域, 在这些应用中, 合理有效的相似度量方法会影响到应用的结果, 因此对Vague集的相似度量方法的研究具有重要的意义。

目前, 许多学者从不同的角度对Vague集相似度量进行了研究, 提出了多种相似度量方法[3,4,5,6,7,8], 虽然这些方法满足相似度量基本准则, 但是这些方法都存在不同程度的缺陷, 如王伟平等[3]从未知度增加会减少相似度的角度出发, 提出的相似度量方法侧重于考虑未知度增加对相似度的影响, 而没有考虑未知度距离的影响。例如x1=[0.2, 0.5], x2=[0.3, 0.5]x3=[0.4, 0.4], MW (x1, x2) =MW (x1, x3) =0.825, 通过10人投票模型可解释为第一种情况是2人投赞成票, 5人投反对票, 3人投弃权票与3人投赞成票, 5人投反对票, 2人投弃权票的相似度;第二种情况是2人投赞成票, 5人投反对票, 3人投弃权票与4人投赞成票, 6人投反对票, 0人投弃权票的相似度, 计算结果是第一种情况与第二种情况的相似度相同。从直观上看, 这明显是不合理的。

江伟等[4]利用包含度理论研究相似度量, 但是在使用中只注重数据之间的包含关系, 没有考虑未知度因素, 导致遗失很多有用信息, 孙义阳等[6]利用支持度和反对度的最大最小值关系提出的相似度量公式只考虑了赞成度和反对度之间的关系, 没有考虑其他因素之间的关系, 例如x=[0.2, 0.4], y=[0.2, 0.4], 用江伟的相似度量公式计算得到MJ (x, y) =1, 孙义阳的相似度量公式计算得到MJ (x, y) =1, 10人投票模型可解释为2人投赞成票, 6人投反对票, 2人反对票与自己的相似度完全相似, 由于在第一轮投票中有人投了弃权票, 投弃权票的人在第二轮投票中可能投赞成票也可能投反对票, 存在不确定因素, 因此只要存在投弃权票的情况就不能认为完全相似, 可见江伟和孙义阳提出的相似度量方法还存在不足之处。

蔡正琦等[5]通过区间范围相似程度来分析影响Vague相似度量的主要因素提出的相似度量公式和王万军[7]利用处理确定不确定信息的联系数理论提出的相似度量公式, 实际上都是从考虑影响相似度的主要因素出发去研究相似度量, 但是考虑的主要因素不够全面, 没有考虑未知度增加对相似度的影响, 当x=[0, 0], y=[0, 0], MC (x, y) =MWWJ=1, 10人投票模型解释为0人投赞成票, 0人投反对票, 10人投弃权票时认为与自己的相似度完全相似, 由于有人投弃权票, 表明存在不确定性, 弃权票数相同, 如果只通过未知度相减来表示未知度对相似度量的影响, 则会产生错误的判断, 故蔡正琦和王万军提出的相似度量公式存在不足。

陈均明[8]通过分析未知度之和、未知度之差对相似度量的影响, 在全面考虑了影响相似度量的因素之后, 提出一个相似度量方法, 该方法数据区分能力较好, 但是有些数据无法合理区分, 比如两组数据x1=[0, 0], y1=[0, 0]和x2=[0.2, 0.5], y2=[0.4, 0.4]相比, 显然前者的未知因素比后者大, 前者的相似度应该较小, 但是计算结果是MCJM (x1, y1) =0.8333, MCJM (x2, y2) =0.825, 显然是不合理的。

因此, 在计算相似度时, 应该考虑所有影响相似度量的因素, 合理设置系数, 本文从Vague值的区间最大最小值的角度对Vague集相似度量方法进行探讨, 在定义相似度量方法时, 除了考虑赞成度和反对度的最大最小值关系之外, 为了确保用信息不会丢失, 还考虑了它们的补集之间的最大最小值关系, 设置了合理的系数, 在此基础上提出了一个新的相似度量方法。

1 基本概念

定义1设U={x1, x2, …, xn}是一个论域, 对于U的任一元素x, U中的一个Vague集A是由真隶属函数tA和假隶属函数fA所描述:

满足0≤tA (xi) +fA (xi) ≤1, 其中tA (xi) 是支持x∈A的证据的隶属度下界, fA (xi) 是反对x∈A的证据的隶属度下界, 称πA (xi) =1-tA (xi) -fA (xi) 为x对于Vague集A的不确定度 (未知度) , 是x相对于A的位置信息的一种度量。显然0≤πA (xi) ≤1, πA (xi) 值越大, 说明x对于A的未知信息越多。

设A为一个Vague集, 当U离散时, 将其表示为:

当U连续时, 将其表示为:

定义2设论域U={x1, x2, …, xn}, A是U上的一个Vague集, , A的补集

定义3称SA (x) =tA (x) -fA (x) (-1≤SA (x) ≤1) 为x的核, 它表征现有证据对元素x支持和反对两种力量的对比, 看作整体支持 (肯定) 度。

定义4设论域U={x1, x2, …, xn}, A和B是U上的两个Vague集, , 则对, tA (xi) ≤tB (xi) 且fA (xi) ≥fB (xi) 。

2 新的Vague集相似度量方法

2.1 现有Vague集相似度量方法的不足

目前, 已经有很多文献对Vague集相似度量方法进行了研究, 由于考虑的因素不全面, 系数设置不合理, 导致对于一些Vague值数据无法进行有效区分, 有些方法的计算结果缺乏合理性。如王伟平等[3]提出的相似度量方法:

虽然考虑了未知度之和因素, 但是没有考虑未知度的距离因素, 考虑的因素不全面, 造成一些数据无法有效区分。

江伟等[4]提出相似度量方法:

但是在实际应用中, 包含度理论在处理模糊信息时, 往往会将未知度信息丢失, 导致度量结果与实际不符。

蔡正琦等[5]提出的相似度量方法:

该相似度量方法没有考虑到未知度增加会导致相似度减少, 不同的未知度因素不应该被简单的抵消, 因此, 无法有效区分支持度相同、反对度相同和未知度存在且相同的情况。

孙义阳等[6]提出的一种Vague集相似度量方法:

该方法考虑的因素较少, 在实际度量过程中, 丢失了一些信息, 导致度量结果不准确。

王万军[7]提出的联系数相似度量方法:

该方法本质上还是考虑支持度、反对度和未知度因素对相似度量的影响, 由于忽略了存在未知度因素就会存在不确定性的问题, 导致了一些不合理的计算结果。

陈均明等[8]提出了相似度量方法:

该方法具有较好的数据区分能力, 由于系数设置不合理, 导致有些数据虽然能够区分, 但是仍然存在不合理性。

2.2 基于最大最小值的Vague值相似度量方法

目前, 对于相似度量的基本准则还没有一个统一、明确和全面的理论描述, 但关于相似度量的合理性已经形成了一些共识, 其中, 王伟平等[3]给出了在Vague值之间的相似度量的基本准则是目前评价相似度是否合理的较为全面的标准。

设x=[tA (x) , 1-fA (x) ], y=[tA (y) , 1-fA (y) ], z=[tA (z) , 1-fA (z) ]是Vague集A中的三个Vague值, M (x, y) 表示两个Vague值x, y之间的相似度, M (x, y) 应满足下列准则:

准则1 (规范性) 0≤M (x, y) ≤1;

准则2 (对称性) M (x, y) =M (y, x) ;

准则4M (x, y) =0, 当且仅当x=[0, 0], y=[1, 1];或x=[1, 1], y=[0, 0];

准则5 (单调性) 若, 则:

相似度量方法在满足相似度量基本准则的前提下, 还应该符合人们的直觉看法, 且具有良好的相似度量区分能力。

对于Vague集中的任意两个元素x=[tx, 1-fx]和y=[ty, 1-fy]之间的相似度量, 可以认为是区间值之间的接近程度, 如果只考虑支持度的接近程度和反对度的接近程度, 会将一些信息丢失, 导致相似度量结果不准确, 因此, 可以考虑tx和ty, fx和fy, 1-fx和1-fy, 1-tx和1-ty之间的大小关系, 下面给出一个基于最大最小值的Vague值相似度量方法:

定义5设x=[tx, 1-fx], y=[ty, 1-fy]是Vague集A上的两个Vague值, tx, ty分别是x和y的支持度, fx, fy分别是x和y的反对度, 则Vague值x和y的相似度量M (x, y) 定义为:

定理1设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 则0≤M (x, y) ≤1。

证明:由Vague集的定义得到tx∈[0, 1], ty∈[0, 1]fx∈[0, 1], fy∈[0, 1], 1-fx∈[0, 1], 1-fy∈[0, 1], 1-tx∈[0, 1], 1-ty∈[0, 1]

当tx≥ty时, fx≤fy, 1-fx≥1-fy, 1-tx≤1-ty

所以0≤M (x, y) ≤1。

定理2设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 则M (x, y) =M (y, x) 。

证明:显然易得M (x, y) =M (y, x) 。

定理3设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 则

证明:显然易得

定理4设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 则M (x, y) =0, 当且仅当x=[0, 0], y=[1, 1];或x=[1, 1], y=[0, 0]。

证明:由M (x, y) =0得到:

得到:

因此, 得到Vague值x和y仅有的两种组合, x=[0, 0], y=[1, 1];或x=[1, 1], y=[0, 0]。

定理5设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 若, 则M (x, y) ≥M (x, z) , 且M (y, z) ≥M (x, z) 。

证明:设x=[tx, 1-fx]y=[ty, 1-fy]z=[tz, 1-fz], 由得到tx≤ty≤tz, fx≥fy≥fz

同理可证M (y, z) ≥M (x, z) 。

2.3 基于最大最小值的Vague集相似度量方法

定义6设A和B是论域U={x1, x2, …, xn}上的两个Vague集, 其中:

则Vague集A和B的相似度量定义为:

定理6M (A, B) 满足准则1—准则5。

容易证明M (A, B) 满足Vague的基本准则。

3 实例分析

下面通过表1实例说明王伟平[3]提出的相似度量方法MW (x, y) 、江伟[4]的相似度量方法MJ (x, y) 、蔡正琦[5]的相似度量方法MC (x, y) 、孙义阳[6]的相似度量方法MS (x, y) 、王万军[7]的相似度量方法MWWJ (x, y) 和陈均明[8]的相似度量方法MCJM (x, y) 的不足之处以及本文提出的相似度量方法的优越性和有效性。

第1组数据中, x和y的赞成度和反对度都为0, 未知度都为1, 表示存在不确定性, x和y不完全相似, 但是MJ、MC、MS和MWWJ认为x和y完全相似, 显然是不合理的。在赞成度和反对度都为0的情况下, 存在的不确定性最大, MCJM却认为x和y的相似度为0.8333, 也就是表示它们的相似度很大, 这显然是不符合实际的, 只有MW和M符合人们的直觉。

在第2组数据和第3组数据中, x和y的相似度是不同的, MW认为两组数据的相似度相同, 显然不正确, 此外, MWWJ认为两组数据的相似度差距较大, 也是不正确的, 只有MJ、MC、MS、MCJM和M能够有效、合理地区分两组数据。

MCJM认为第1组数据中x和y的相似度大于第3组数据中x和y的相似度, 这显然不符合实际。

在第4组数据和第5组数据中, 未知度相同且不为0, 表示存在不确定性, MJ、MC、MS和MWWJ认为x和y完全相似, 显然是不合理的, 只有MW、MCJM和M能够有效区分两组数据。

由表1中的数据所示, 本文提出的相似度量方法克服了现有相似度量方法MW (x, y) 、MJ (x, y) 、MC (x, y) 、MS (x, y) 、MWWJ (x, y) 和MCJM (x, y) 中出现的考虑因素不全面, 系数设置不合理的问题, 不仅能有效区分所有5组数据, 而且5组数据的相似度量结果都符合人们的直觉, 因此, 与现有相似度量方法比较, 新方法更加适用于Vague集的相似度量, 具备一定的合理性和优越性。

4 结语

Vague集的相似度量是人工智能、信息融合和模糊控制等领域中用到的关键技术之一, 寻找一个合理有效的相似度量方法具有重要意义。本文分析了现有的相似度量方法, 指出了这些相似度量方法由于考虑影响相似度量的因素不全面、系数设置不合理造成无法合理有效地区分数据。为了克服这些方法的不足之处, 通过分析了支持度、反对度及其补集的最大最小值关系, 提出了一种新的相似度量方法, 并证明该方法满足相似度量基本准则。通过与现有相似度量方法的比较, 说明了本文提出的Vague集相似度量方法具有较强的区分能力, 能够合理、有效地区分数据。

参考文献

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最大-最小 篇8

设S={x1, x2, …xn}是一个有限正整数集合, S上的最大公因子矩阵和最小公倍数矩阵分别定义为:〈S〉n×n= (sij) n×n, [S]n×n= (tij) n×n

其中Sij=gcd (xi, xj) 是xi, xj的最大公因子, tij=lcm (xi, xj) 是xi, xj的最小公倍数。

1876年, H.J.Smith最早在文献中给出了上述有限正整数最大公因子矩阵 (GCD) 和最小公倍数矩阵 (LCM) 的定义和一些基本性质, 随后人们展开了对这类矩阵的进一步研究, 并得出了一些结果。文献中研究了最大公因子矩阵的进一步的性质, 文献研究了最小公倍数矩阵的性质。

本文中, 我们将进一步研究一类特殊的有限正整数集合上最大公因子矩阵和最小公倍数矩阵的性质

2 基本概念

设A是一个n阶矩阵, 令det (A) 表示n阶矩阵A的行列式。

定义1.设S={x1, x2, …xn}是互异的有限正整数集, 集合S称为因子闭集, 如果对任意的x1∈S, 有正整数d|x1, 则d∈S。此时也称S为FC集。

定义2.设S={x1, x2, …xn}是户异的有限正整数集, 集合S称为最大公因子闭集, 如果对任意的xi, xj∈S, 有gcd (xi, xj) ∈S。此时也称S为GCDC集。

设S={a1, a2, …an}是有限正整数集合, 且集合S中的元素a1, a2, …an构成等比数列, 即存在q≠1使得这里i=1, 2, …n-1。我们有

命题1.记号同上。集合S是因子闭集, 也是最大公因子闭集。

证明.注意到S中的元素构成一个等比数列, 因此, 对任意的ai∈S, 有ai=a1qi-1, i=1, 2…, n

上式表明, 对任意的ai∈S, 有正整数a1∈S, 使得a1|ai故S是因子闭集。

进一步, 对任意的ai, aj∈S不防设i≤j, 则ai=a1qi-1, aj=a1qj-1因此, 我们有gcd (ai, aj) =gcd (a1qi-1, a1qj-1) =a1qi-1=ai∈S

由最大公因子闭集的定义, 集合S是一个最大公因子闭集。证毕。

3 主要结果

这部分我们将给出当有限正整数集合中的元素构成等比数列时, 其上的最大公因子矩阵和最小公倍数矩阵, 以及它们的行列式。

定理1.设S={a1, a2, …, an}是有限正整数集合, 且a1, a2, …, an构成等比数列, 其公比是q, 则

证明. (1) 对任意的ai, aj∈S, 当i≤j时, 由于q>1, 我们得到gcd (ai, aj) =ai=a1qi-1, 从而根据最大公因子矩阵的定义, 我们有

(2) 的证明类似于 (1) , 只须注意到此时0

参考文献

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最大-最小 篇9

关键词：无线局域网,IEEE 802.11,信道分配

1引言

无线局域网工作在ISM免申请开放频段, 由无线电管理委员会或管理机构制定。无线局域网不同标准为接入点和用户定义了固定数量的信道。然而, 信道实际上代表了网络设备使用的中心频率, 而信号好具有一定的带宽, 因而任一信道中信号都会与邻近的几个信道重叠, 造成干扰。基本信道的分配原则是:位于相互作用范围内的接入点分配互不重叠的传输信道。为了最大化信道重用, 合理的信道分配方法是期望可以分配相同信道给两个接入点, 当两个接入点公共覆盖区域为空集时则可通过动态补货用户站点的分配来调整信道重用。

信道分配问题通常被建模为一个图着色问题, 即图中每个顶点对应一个接入点, 每条边对应潜在的干扰, 而各种颜色表示互不重叠信道。信道分配的目的是用最少的信道 (颜色) 覆盖所有接入点 (顶点) , 并保证相邻的两个接入点 (顶点) 使用不同的信道 (颜色) , 即最小图着色。

2基于最小-最大相互干扰的信道分配算法-Hminmax算法

通过构建一个目标函数, 提出基于最小-最大互相干扰的分布式加权信道分配算法-Hminmax算法。算法以分布方式由接入点选择信道, 且以本地信息为基础, 即每个接入点仅从其邻居接入点处获取信息, 支持WLAN规模扩展。

2.1数学模型

令k代表WLAN中互不重叠的信道数, 选择某个包含一组接入点的网络覆盖区域, 用图G= (V, E) :V={ap1, ap2, ......apn}表征由n个接入点构成的集合。

如果边 (api, apj) 的两个信道之间干扰为0, 就意味着边 (api, apj) 是无冲突边, 否则, 则称边 (api, apj) 为冲突边, 用干扰因子或I因子I (api, apj) 表征每条边上为两个接入点着色之间的干扰, 称W (api, apj) ×I (api, apj) 为I值。该值表征了处在两个接入点重叠区域内的所有用户经历的干扰总效应, 也称为冲突边权重。为了评价该信道分配算法的性能, 本文定义了三个目标函数。

(1) 最小化所有相互干扰接入点的I值:最小化所有相互干扰接入点I值, 即最小化以下目标函数

(2) 最小化所有冲突边的权重之和:最小化所有冲突边的权重之和, 即最小化如下目标函数:

(3) 最小化冲突边数:最小化冲突边数, 即最小化如下目标函数:

将部分重叠信道当做一条边权重的一个乘性因子 (即I因子) 。令Numapi表示接入点api关联的用户站点产生的站点报告数量, Numapi (apj) 表示接入点收到的报告中与其有干扰的用户站点产生的站点报告数量, 那么api与apj之间的边权重W (api, apj) 为:

2.2算法描述

为了更清晰地描述算法的基本思想和算法流程, 定义如下参数:k表示可用信道数, N (api) 表示api邻近节点集合, N (api) ={apj|e= (api, apj) ∈E∧api≠apj}。将式 (3.1) 修改为:

其物理含义为:Lmax (G, C, api) 是api的一条关联边的最大冲突权重。在Hminmax算法中, 每个接入点通过以下流程执行本地优化, 不断更新自身工作信道。

Hminmax算法流程如下:

Step 1:初始化:C (api) ←1{为所有节点初始化着色}

Step 2:优化:

Step 2.3:C (api) ←c’

Step 3:算法结束

2.3性能仿真分析

从仿真结果表明Hminmax算法较LCCS算法更优:随着颜色数由3增加到16, Hminmax算法和LCCS算法的差距逐步扩大。事实上, 即使颜色数量增加, LCCS算法也改进不大, 因为该算法无法检测到存在的冲突。

3本章小结

最大-最小 篇10

关键词：谐波,谐振,电容器,谐波放大,电抗率,谐波阻抗,最大值最小优化

0 引言

在电网谐波较大地区,电力并联电容器容易发生谐波谐振,不但导致并联电容器的损害,而且造成公用连接点(PCC)谐波电压放大,恶化了电网电能质量。

电容器谐波谐振是由以下两个因素共同作用的结果:一是电容器阻抗与电网阻抗存在着参数配合,使谐振频率与整数倍谐波频率相重合;二是变电站注入了较大的、与谐振频率一致的谐波分量。

为防止电容器谐波谐振一般采取两种方法,一是破坏谐振的参数配合条件;二是通过滤波器等治理措施减小谐波。由于谐波治理措施经济代价较大,常常采用第一种方法。

电容器串联一个电抗器,可以避开电容器谐振。由电容元件和串联电抗元件构成电容器装置的电抗率——即串联电抗感抗与电容器元件容抗的比,是防止电容器谐振的关键因素。

针对电容器串联电抗率的问题,国内外曾进行过大量的分析和研究。

文献[1-22]假设谐波电流源直接注入到接入电容器装置的母线,形成谐波电流源、电容器装置阻抗和母线短路阻抗相互并联的等值电路,构成了电容器谐振的基本模型,见图1。

文献[1]论述了串联谐振和并联谐振的机理;文献[2-3] 论述电容器装置能够同时形成串联谐振和并联谐振;文献[4]论述了通过调整电抗率可使谐振频率避开谐波频率:当电抗率增大时,可以使串联与并联谐振点向着低频方向移动,反之电抗率减小时向高频方向移动;文献[5]以IEEE30 节点系统为例,研究了导纳矩阵的频率特性,得出系统串联谐振的模态。

文献[6-13]通过电路阻抗参数的计算分析,改变电抗率,从而避开电容器装置并联谐振的频率点,达到防止电容器谐振的目的;也形成了比较一致的结论:4.5%~6%电抗率适于抑制5 次谐波,12%电抗率适于抑制3 次谐波。文献[6-11]以谐波测量数据为依据,对谐振条件计算后再选择电抗率,文献[12-13]提出采用不同电抗率的电容器装置,混合装设在变电站内,以抑制各种谐波。文献[14-15] 针对IEEE 14 节点的典型系统,以节电电压总畸变率为目标函数,对0%、6%和4.5%串联电抗率进行优化,得出4.5%最优的结论。

上述文献提出的方法,是电网确定条件下的特定分析方法,需要在电网参数确定并测量到谐波数值后,才能计算确定电抗率。由于各个变电站电网参数不同,提出的电抗率也就不同,这就导致国内电容器电抗率的数值繁多,较典型的电抗率是4.5%、6%、12%,也有采取5%、7%、13%等电抗率。

笔者认为,现有文献的研究基础是基于谐波源从变电站主变的低压侧注入的电路与模型分析得到的,如果谐波源是从主变压器高压侧注入的背景谐波,或非线性负荷形成的谐波源从主变中压侧注入,谐波等值电路就不能简化成图1 的电路,图1 电路仅适合于非线性负荷谐波源从两绕组变压器低压侧注入这种情况。

此外,在电容器设计前,现有文献和标准要求测量变电站电容器接入处的背景谐波,这在新建变电站的电容器设计工作中难以做到。

为解决新建变电站电容器设计的串联电抗率选择问题,需要对串联电抗率消谐能力的一般性,即包含电网各种因素条件下的普适性进行研究。为此,本文针对220 k V和110 k V变电站并联电容器的谐振问题,建立了并联电容器、变压器、负荷、电网短路阻抗和谐波源的普适性模型(此普适性模型适用于110 k V和220 k V电压等级的谐波谐振研究),分析了模型各个参数的范围,提出了反映电容器装置谐振水平和危害程度的目标函数,在模型的全部电网状态空间中对目标函数进行关于电抗率的最大值最小优化,得出了具有普适意义的优化的电抗率。

1 电路、模型和参数

1.1 谐振电路

根据典型的220~110 k V变电站的设备和电气接线,建立包含电容器装置、变压器、负荷、电网短路阻抗的变电站等值谐振电路。变压器考虑三绕组和双绕组两种类型,电容器接入到主变压器低压侧,三绕组变压器的负荷母线是中压侧母线,两绕组变压器的负荷母线是低压侧母线。谐波源采用恒流源模型[16,17],可以是从主变高压侧母线注入的背景谐波,也可以是注入负荷母线的非线性负荷谐波。因而形成4 种谐振等值电路,见图2。

1.2 谐波阻抗模型和参数范围

谐振电路包含了短路阻抗、变压器阻抗、电容器装置阻抗和负荷阻抗。忽略电气元件的集肤效应[23],将这些阻抗考虑为纯电阻、纯电容或纯电感性质。电容性的谐波阻抗为基波阻抗除以谐波次数,电感性谐波阻抗为基波阻抗乘以谐波次数。

为了将电路的物理量转换为电气设计要素,采用如下基准进行标幺变换。

基准容量:电容器装置实际投入的容量Q。

基准电压:主变压器实际运行时的调压分头对应的电压。

图2电路中各个谐波阻抗标幺值推导如下。

(1)系统短路阻抗的谐波阻抗

式中:0.15 是短路阻抗中的电阻与电感之比,这个比值对电容器谐振影响很小;h为谐波次数;S/ST为变压器短路比,其中S为主变压器高压侧短路容量,ST为变压器容量。在多台变压器的变电站,n台变压器可等值为一台单变压器,等值容量为n×ST。通过对大量220 k V和110 k V变电站的S/ST数据进行统计,可以确定220 k V和110 k V变电站的S/ST数值在3.6~100 之间。

Q/ST是实际投入运行的电容器补偿率,根据《电力系统电压和无功电力技术导则》[24],变电站电容器补偿率应小于0.3。因此Q/ST在0~0.3 之间。

(2) 双绕组变压器谐波电抗

可采取谐波次数乘以变压器基波电抗作为变压器谐波电抗[25]。

常数0.14是双绕组变压器阻抗电压的典型数值,δ 为变压器阻抗变动范围,220 k V和110 k V变电站的各类变压器的阻抗电压是不同的,接入的各个分接头也会对实际的阻抗产生影响,实际变压器阻抗变动范围δ 在典型数值的0.7~1.3 倍之间。

(3) 三绕组变压器谐波电抗

公式中的常数0.14、-0.007、0.09 是变压器高、中、低三个绕组的阻抗电压的典型数值。δ 是如前所述的变压器阻抗变动范围。

(4) 电容器装置谐波阻抗

x是电容器的串联电抗率,在0~0.13 之间进行研究。

(5) 负荷谐波阻抗

γ 是主变负荷率,即负荷容量与主变压器容量比,反映负荷的大小。范围在0.1~1.1 之间。cosφ为负荷功率因数,功率因数最小的负荷是交流电弧炉,功率因数可以低至0.7[26,27]。因此cosφ 范围在0.7~1 之间。

(6) 谐波源的电流谐波模型

式中:I1为非线性负荷的基波电流;ah为谐波源的h次谐波电流含量,各次ah的数值均在0~1 之间。

1.3 模型的变量说明

电抗率x是求解的控制变量,其余变量是电网的状态参数,这些状态变量可组成状态矢量

组成状态矢量的每一个变量都有确定的取值范围,所在的电网状态空间D是确定的。

2 反映电容器谐振水平的目标函数

2.1 负荷母线的电压总谐波畸变率放大倍数λ

λ是计及电容器谐振与不计电容器谐振(即是电容器不投入)的负荷母线电压总谐波畸变率之比,衡量电容器谐振对公共连接点(PCC)的谐波电能质量总体的恶化程度。

THDL为负荷母线电压总谐波畸变率

V1是负荷母线基波电压,VLh是负荷母线的h次谐波电压,见图2。VLh的解析式容易从谐波电流源、短路阻抗,变压器阻抗、电容器装置电抗和负荷阻抗推导得出。

THDL受谐波源和电容器谐振因素(即阻抗的参数配合)的双重影响。

在电容器投入很小的情况下,电容器与系统电抗参数难以配合,谐振程度很小,在电容器补偿率Q/ST→0 的极限状态下,不会发生电容器谐振。因此的数值仅受谐波源的影响,而不受电容器谐振影响。

如图3(a)电路中的λ解析式为

其中符号“||”表示阻抗的并联运算,可发现λ是以自变量(x,)组成的多元函数,其余电路的λ解析式也容易推导,本文略去。

注意到,式(1)的分式中,负荷母线基波电压V1和非线性负荷基波电流I1已被约分消除,λ是以自变量(x, z )构成的多元函数。

2.2 电容器元件的电压总谐波畸变率放大倍数μ

μ 是计及电容器装置谐振与不计谐振时, 电容器元件上的电压总谐波畸变率之比,衡量电容器装置谐振对电容器元件过压的影响,反映电容器装置谐振对设备自身的危害程度。

其中

THDC为电容器元件上的电压总谐波畸变率。Vc1是电容器元件上基波电压,Vch是电容器元件上的h次谐波电压,见图2。

THDC受谐波源和电容器装置谐振因素(即阻抗参数配合)的双重影响;

为不计电容器谐振时的电容器元件上的电压总谐波畸变率,该极限存在且容易推导。

根据标准《标称电压1000 V以上交流电力系统用并联电容器第1 部分:总则》[28],电容器元件的长时间工作电压应满足VC≤1.1VN,VC为电容器运行电压,是交流电压的方均根值,VN为电容器设计的额定电压,以此为据,文献[29]得出THDC≤0.458Vc1的结论。

本文以最严峻的运行条件进行研究,考虑了电容器接入母线的最高电压偏差,根据《电力系统电压和无功电力技术导则》规定,35k V电压偏差应在-3%~7%之内,10k V等级的电压偏差应在±7%内,电容器最高电压偏差为1.07。以此标准规定,核算电容器元件可承受的电压总谐波畸变率THDC。

《公用电网谐波》标准[24]规定,电容器装置所接入的35~10 k V母线的电压总谐波畸变率应小于5%。由于23.85%是5%的4.77 倍,在变电站谐波电能质量合格的情况下, 如果电容器元件总谐波畸变率放大倍数μ小于4.77 倍,电容器元件长时间安全运行是有保障的。

3 目标函数的最大值最小优化

3.1 关于电抗率x的目标最大值函数

目标函数 λ(x,) 是控制变量x和状态矢量&z的多元函数,,D是电网状态空间。

对控制变量x的某一个值,在状态空间D内存在一个具有最大值,x与这个最大值的映射,构成目标最大值函数λmax(x)

λmax(x)最大值函数是以x为自变量的单值函数。

类似地,可以定义关于电抗率x的目标最大值函数μmax(x)

3.2 目标函数的最大值最小优化

对目标函数λ(x, z) 关于x最大值最小优化表示为

优化解释:通过串联电抗率x优化后,使目标函数在全部电网状态空间中的最大值的数值达到最小。

类似地,对目标函数 μ(x, z) 的关于x最大值最小优化表示为

3.3 最大值最小优化的数值求解方法

(1) 计算目标最大值函数λmax(x) 和μmax(x)

对x的某一个值,求解目标函数 λ(x, z) 或μ(x, z) 在状态空间D中的最大值。

目标函数λ 和μ 是多变量非线性函数,它的最大值或最小值求解的最优化方法称为非线性规划方法,为得到非线性规划的最优解,要求λ 和μ 在多维空间D中是可微的凸函数。

λ 和μ 是连续可微的,但在多维电网状态空间D中不是凸函数。为求解最大值,采用工程数值计算中常用网格法,算法简述如下:

将D构成的多维空间划分为多个细小的子空间,保障λ 和μ 在具有最优解的子空间中是凸函数。

取子空间中的中心值作为计算的初始点,采用广义既约梯度法(GRG法)的并行算法[30],计算出λ和μ 在各个子空间中的各个最大值。

取出所有子空间各个最大值中的最大值,这个值及对应的x值,构成了最大值函数曲线中的一个点。

对x从0 至0.13 之间的点逐个计算,可绘出λmax(x) 和μmax(x)曲线,见图3。

受计算机的性能限制,谐波含量的模型的参数数量需要简化,由于电网中4 次及以上的偶次谐波和21 次及以上的谐波含量很小,可以忽略不计,因此,本文仅考虑对电容器谐振产生较大影响的2、3、5、7、9、11、13、15、17 和19 次谐波含量。因此,状态矢量z 简化为15 个变量。

本文计算时,将多维空间D划分为4 251 万个子空间。使最优解所在的子空间中,目标函数是凸函数。

(2) 电抗率x的最大值最小优化的最优解

x的最大值最小优化值,就是目标最大值函数λmax(x)和μmax(x)的最小值,从图3 中可清晰观察出电抗率x的最大值最小优化数值在11%~13%之间,此区域 λ(x, z) 和 μ(x, z) 的最大值均为1。

4 电抗率的技术经济性分析

4.1 消谐性能最优的12%电抗率

从图3 可知,电抗率的x最大值最小优化数值在11%~13%的区域内,两个目标函数最大值均为1,即是电网参数z 在整个电网状态空间D内,λ 和μ均小于等于1,这意味着,采用这样电抗率的电容器装置,当电容器装置投入时,只会减小而不会放大谐波。更重要的是,它适应于220 k V及110 k V变电站的所有参数条件,具有普适的性质。

考虑到电容器容量在制造精度上的最大偏差可达±5%,串联电抗器容量在制造精度上的偏差为0%~5% , 电抗率在制造上的相对误差会达到-5%~10%,电抗率设计为12%是合适的。

4.2 4.2%~4.5%电抗率应用范围分析

图3 可发现次优的电抗率是4%,但电抗率稍有变化就有可能导致谐振程度增加,4%的电抗率并不具有普适性的应用价值。

仔细研究发现,变压器短路比S/ST和电容补偿率Q/ST,对目标函数影响很大,在S/ST≥15 且Q/ST≤0.2 新的参数范围下,再次计算λmax(x)和μmax(x),曲线见图4。可发现电抗率在3.9%~5%区域下的目标最大值函数会降低,塌陷成一个缺口,这个缺口具有应用价值。

考虑电容器元件、电抗器元件阻抗在制造上的偏差,次优的电抗率宜设计为4.2%,这与4.5%典型电抗率的数值非常接近,差别极小。数值结果见表1。

注意到,表1 中的电抗率为4.2%~4.5%时μ数值小于4.77,根据本文2.2 的分析,在变电站谐波电能质量合格的情况下,电容器元件长时间安全运行是有保障的。

绝大多数变电站参数满足15≤S/ST且Q/ST≤0.2 的应用条件,尤其是220k V变电站更是如此。

4.3 6%电抗率的问题

国内220 k V~110 k V变电站采用6%电抗率的电容器装置较多,但它不是优化数值,尤其在三绕组变压器的变电站,6%电抗率的电容器装置存在强度较大谐振。

在文献[31] 中,总结了华北电网电容器装置运行情况,发现电抗率为4.5%的谐波放大现象远少于6%,并特别指出该发现缺乏原理上的印证。本文对此给出了原理上的说明。

4.4 电抗率12%与4.5%的经济性对比

电抗率x越大,电容器装置容量损失就越大,电抗元件和电容器元件的额定电压和电流也要提高到1/(1-x)倍,这又带来了制造成本的增加。串联电抗器的电能损耗很大,以大量使用的干式空心串联电抗器为例,损耗率可达到容量的2.4%,电抗率增加所造成的电能损失是不能忽略的。

以3 500 利用小时,20 年的生命周期进行成本分析,可以发现12%电抗率电容器装置的综合成本,是4.5%电抗率电容器的2.6 倍,因此采用12%电抗率的代价是巨大的。

5 结论

本文针对220 k V和110 k V变电站并联电容器的谐振问题,建立了并联电容器、变压器、负荷、电网短路阻抗和谐波源的普适性模型,与传统模型相比,不仅可以适用于谐波源从主变高压侧或中压侧注入的情况,而且可以很好的解决新建变电站电容器设计的电抗率选择问题,能适用于110 k V和220 k V电压等级的谐波谐振研究。

通过以上模型的分析,4.2%~4.5%的电抗率具有优良的技术经济性,消谐性能仅次于12%电抗率。在电能质量合格的、且电容补偿率Q/ST≥0.2、且短路比S/ST≤15 的变电站,应采用4.2%~4.5%电抗率,大多数220 k V~110 k V变电站满足这一条件。

12%的电抗率具有最优的消除谐振性能,并具有普适性,但经济性不如4.2%~4.5%电抗率。在谐波电能质量超标的变电站、或为大容量非线性负荷专供的变电站、或电容补偿率Q/ST>0.2、或短路比S/ST<15 的变电站,电抗率可设计为12%。