变系数模型

关键词： 物体 应力 形体 现象

变系数模型（精选八篇）

变系数模型 篇1

1 变权累加生成GM(1,1)模型的建模原理及方法

1.1 原理

灰色系统理论所提出的灰色预测模型方法避开了系统内部复杂的相互关系,它不要求那么多的信息,而是着眼于系统本身的灰色信息,寻找系统本身的内在规律,达到使灰色系统白化的目的。它在建模控制预测及系统分析方面的思想和方法有着明显的优点,较一般的建模方法所需数据量少,对数据没有特殊要求,且计算量小。GM(1,1)模型是灰色系统建模、抽象系统实体化的核心,它直接将时间序列转化为微分方程的模型,其模型的构造思想是把随机性较强的原始数据,用一次累加方法进行再生成,使其变为较有规律的生成列,并以此为基础构成预测模型。

1.2 方法

定义1[4]设X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))为原始序列,D为作用于X(0)的算子,X(0)经算子D作用后所得序列记为 XD=(x(0)(1)d,x(0)(2)d,…,x(0)(n)d),其中undefined,则称D为X(0)的一次累加生成算子,简称一次累加生成,记为1-AGO。

定义2 设X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))为原始序列,D1为作用于X(0)的算子,X(0)经算子D1作用后所得序列记为XD1=(x(0)(1)d1,x(0)(2)d1,…,x(0)(n)d1),其中undefined且0<ρ1≤ρ2≤…≤ρn≤1,则称D1为X(0)的一次变权累加生成算子,简称一次变权累加生成,记为1-VWAGO。

定义3[4] 设序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),则称undefined,为序列X的光滑比。通过对以上3个定义的讨论可以看出变权累加生成得到序列满足GM(1,1)模型建模的条件,是建立GM(1,1)高精度模型。设原始序列为X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),其变权累加生成序列为X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))其中undefined,建立GM(1,1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=b,其中参数a,b由最小二乘法确定

undefined

,求解上述GM(1,1)模型,得时间响应式undefined,k=1,2,…,n,则还原值为:undefined。

1.3 基于粒子群算法的权重的确定

通常数学描述为:设在一个n维的空间中,由m个粒子组成的种群,X={X1,X2,…,Xm},其中第i个粒子的位置为Xi={xi1,xi2,…,xin}T,其速度为Vi={vi1,vi2,…,vin}T。它的个体极值为pi={pi1,pi2,…,pin}T,种群全局极值为pg={pg1,pg2,…,pgn}T,按照追随当前最优粒子的原理,粒子X1将按照下面两个式子改变速度和位置:Vi+1=Vi+c1r1(pb-Xi)+c2r2(pg-Xi) ,Xi+1=Xi+Vi。式中i=1,2,…,m, m为种群规模, r1和r2为分布于[0,1]之间的随机数, c1,c2为学习因子或加速常数(Learning Factor,Acceleration Constant)[5]。

2 模型预测应力集中系数

工程上常用应变电测法测定应力集中区域附近的几个应变值,再用外推法来推求应力集中区的最大应力值,如拉格朗日外推法[1],但有时误差很大,本文运用粒子群算法确定变权累加生成的权重的方法。这对变权累加生成在数据处理中的应用,以及提高灰色模型的预测精度来推求应力集中区的最大应力值,取得了较好的结果。

2.1 GM(1,1)模型的精度检验

为保证模型的精度与可信度,采用两种方法来检验模型的精度,即残差检验与后验差检验[6]。设原始数列为:x(0)={ x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}。预测值为:undefined={undefined (1),undefined (2),…,undefined(n)},残差检验是一种逐点检验方法,它是把预测数据与实际数据相比较,观测其相对误差是否满足要求。设残差数列为 e=(e(1),e(2),…,e(n)),这里undefined则相对误差为undefined一般要求ε不大于10%。后验差检验:设原始数列x(0)及残差数列e的方差分别为Sundefined和Sundefined,则undefined,然后计算后验差比值 ,undefined和小误差概率undefined,模型的精度由C和p共同刻划。按p和C的大小,可将模型精度分为“好、合格、勉强、不合格”四类。

2.2 建模计算

本文运用粒子群算法来求解变权累加生成的权重,构建基于变权累加生成的GM(1,1)模型。以带小孔的拉板为例探讨变权累加生成的GM(1,1)模型在应力集中系数预测中的应用。d=15mm的无限小孔拉板,其理论集中系数K=3。计算时设远场应变为ε0,泊松比u=0.25,小孔直径为d。从应力集中点O点沿y轴以0.1d距依次取六个点,可算出各点应变值(με)的理论解[7],即得原始序列x(0)={1.1059ε0,1.1484ε0,1.2172ε0,1.3349ε0,1.5519ε0,1.9910ε0},分别建立传统的GM(1,1)模型和变权累加生成的GM(1,1)模型进行计算。利用上述方法求出权重后进行建模,并将传统GM(1,1)模型与基于变权累加生成的GM(1,1)模型的模拟与预测结果进行比较,其中前五项为模型的模拟值,第六项为模型预测值。可以看出变权累加生成的GM(1,1)模型的模拟和预测精度比传统GM(1,1)模型的模拟和预测精度有了明显的提高,变权累加生成的GM(1,1)模型的各项残差与相对误差与传统模型相比均有所降低,传统GM(1,1)模型的模拟最大相对误差达8.74%,而基于变权累加生成的GM(1,1)模型的模拟最大相对误差只有2.26%,传统模型的预测相对误差为4.09%,基于变权累加生成的GM(1,1)模型的预测相对误差只有1.83%,这表明变权累加生成的GM(1,1)模型能够提高模拟和预测精度,是一种有效的方法,为改进GM(1,1)模型提高其模拟和预测精度提供了新思路和新方法。

3 结论

本文引入了灰色预测中的变权累加生成的方法,建立了基于变权累加生成的GM(1,1)模型,并给出权重的确定方法粒子群算法,通过具体的算例验证了该模型的有效性。较其他预测方法,有所需数据少,精度高的特点。因此,变权累加生成的GM(1,1)模型具有一定的实用价值,这种方法在工程上有着积极的意义。

参考文献

[1]吴宗岱,陶宝棋.应变电测原理与技术[M].北京:国防工业出版社,1982.

[2]赵梅娟,王钟羡.组合预测在应力集中问题中的应用[J].机械强度,2006,28(1):96-98.

[3]宋中民,同小军,肖新平.中心逼近式灰GM(1,1)模型[J].系统工程理论与实践,2001,22(5):110-113.

[4]刘思峰,党耀国,方志耕.灰色系统理论及其应用[M].北京:科学出版社,2004.

[5]方峻.粒子群算法及其应用[D].成都:电子科技大学,2006.

[6]乔正明.基于粒子群算法的变权累加生成的GM(1,1)模型[J].数学的实践与认识,2011,41(1):71-78.

[7]乔正明,赵梅娟.基于GM(1,1)改进模型在应力集中预测上的应用[J].煤炭技术,2011,(11):203-205.

变系数模型 篇2

一个变系数Huxley方程的自-BT和精确解

用齐次平衡原则导出了一个变系数Huxley方程的`自-B(a)cklund变换(BT),利用BT获得了变系数Huxley方程的若干精确解.

作 者：李保安 李修勇 LI Bao-An LI Xiu-Yong  作者单位：河南科技大学,理学院,河南,洛阳,471003 刊 名：河南科技大学学报（自然科学版）  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF HENAN UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： 28(6) 分类号：O175.2 关键词：变系数Huxley方程   齐次平衡原则   自-BT   精确解  

变系数模型 篇3

我国自改革开放以来, 开始逐步引进外资, 特别是自在20世纪90年代以来, 中国的外商直接投资得到了快速发展, 由1997年的452.57亿美元上升到2011年的1160.1亿美元。外商直接投资的快速发展, 对我国的产业结构也产生了不可忽视的巨大影响, 从而也逐渐引起学者们的重视。针对外商直接投资对东道国产业结构的影响效应, 国外学者从不同的角度提出了理论解释, 并进行了一些经验性的研究。比如, Caves (1974) 发现在加拿大和澳大利亚的制造业内, 其外商直接投资具有一定的技术外溢影响效应, 因此, 这些行业的外商直接投资对其产业结构调整产生积极的影响效应[1];Fishwick (1981) [2]和Gorechi (1976) [3]的研究认为由于外商直接投资增加了东道国市场上企业的数量, 使整个市场规模扩大, 从而降低了其产销市场的集中度, 进而使得东道国的市场竞争急剧增加, 这样, 有利于促进东道国的产业结构调整并使其优化升级;达斯 (1987) 则认为, 大型跨国公司通过FDI进入东道国后, 在FDI初期在一定程度上可能会提高东道国市场的垄断性, 但从长期来看, 这些外商直接投资又可能具有一定的技术外溢效应, 使东道国企业在某些技术方面免费搭便车, 使其技术及市场竞争力都有所提升, 从而使东道国的产业结构实现一定程度的优化升级[4];卡米拉 (2000) 的实证结果发现, 在1989—1996年期间, 波兰的外商直接投资对其技术密集型产品的出口存在显著的影响效应[5];Hunya (2002) 的实证分析中发现, 由于在罗马尼亚的外商直接投资主要集中于一些劳动密集型或技术含量比较较低的出口行业, 因而, 外商直接投资没有改变东道国罗马尼亚的贸易结构, 只是在其传统优势产业上得到了一定保全和强化[6];而伊娃 (2005) 却在对捷克的外商直接投资研究中发现, 外商直接投资对东道国捷克的产业结构调整具有一定的促进效应[7]。由此可见, 外商直接投资主要是通过技术溢出、市场结构优化、外贸增强及供给增加等方面对东道国的产业结构调整及提升产生影响。

学者们大都认为我国外商直接投资存在着产业结构效应, 但是, 关于外商在三次产业的直接投资对各自产业经济增长的贡献程度上仍存在差异性。比如, 郭克莎 (2000) 通过对我国FDI产业结构特性的研究结果发现, 我国的外商直接投资在产业结构上具有一定倾斜性, 这样的倾斜性投资拉宽了我国三次产业总体的结构偏差, 进而对产业结构调整造成影响[8];李雪 (2005) 的研究发现, 在外商直接投资对三次产业的结构调整效应中, 其对第二产业的影响最大, 对其他产业的影响则较次[9];孙军 (2006) 基于1983—2003年数据的研究也显示, 外商直接投资对第二产业的贡献最大, 对第三产业的影响正在逐步上升, 对第一产业影响最少[10];刘宇 (2007) 基于我国合同利用外资额的面板数据进行实证结果发现, 在1984—2003年期间, 我国FDI对三次产业的附加值都存在正效应, 而在后面的Chow突变检验中发现, , 外商直接投资在突变点即1992年前后, 对第一、三产业工业增加值的正效应有着显著的差异, 但对第二产业附加值的正效应却无显著区别[11];李用俊 (2012) 认为, 第一产业比重的下降会促进第一产业外商直接投资增速的增长和经济增长, 第二产业外商直接投资增速的增长和第二产业比重的下降会促进经济增长, 第三产业外商直接投资增速的增长和第三产业比重上升会促进经济增长[12]。

但是, 在外商直接投资与产业结构变动间是否存在长期稳定关系上, 学者们还存在一定分歧。比如, 李雪 (2005) 基于我国1983—2003年数据的研究结果发现, 外商直接投资对我国产业结构产生一定的调整效应, 但外商直接投资与产业结构变动间并不存在长期稳定的关系[9];赵红和张茜 (2006) 基于1983—2004年数据的协整分析中也发现, 外商直接投资虽对我国的产业结构优化升级产生积极的影响, 但没有足够证据证明两者之间具有长期稳定关系[13]。而马章良 (2012) 则认为外商直接投资与中国产业结构变化存在长期因果关系[14]。

另外, 在样本的选取上, 国内学者较多依据区域数据来研究外商直接投资与产业结构二者之间的关系。比如, 秦柳 (2009) 通过分布滞后模型分析了外商直接投资对安徽三大产业生产总值的效应[15];王得新 (2011) 则分析了外商直接投资对天津产业结构的影响[16];史星际等 (2011) 分析我国中部六省产业结构现状和演进过程以及FDI在中部六省三次产业的分布特征, 采用面板数据对1987—2004年间产业结构的合理性, 特别是FDI与促进产业结构调整变动的关联性进行了实证分析[17];李用俊 (2012) 利用江苏数据对外商直接投资的产出效应进行了协整检验[18]。

总体来讲, 在外商直接投资对我国产业结构影响的实证研究相对较少, 研究的方法也较为简单, 样本区间也比较小。与以往研究相比, 本文在研究内容和范围上有所加大, 采用1997—2011年的面板数据, 加大了样本区间范围, 并引入外商直接投资要素的经济增长模型, 并加入相应控制变量, 全面分析三大产业各自的外商直接投资对其产业附加值的贡献;在研究变量的选取上, 用我国“实际利用外资额”作为解释变量, 避免其他学者采用的“合同利用外资额”而高估外商直接投资的现象, 并且在此基础上, 将外商直接投资以外的固定资产投资部分考虑进模型, 作为控制变量, 分析更全面;在研究方法上, 采用面板数据变系数固定效应模型进行分行业检验, 以区分三次产业的外商直接投资对其相应行业增加值的贡献。

2 研究设计

2.1 模型构建

考虑到外商直接投资所处产业的不同可能会对其产业附加值的影响也会不同, 本文采用了调整的柯布—道格拉斯 (C-D) 生产函数模型, 并在此基础上再运用面板数据的变系数模型进行实证检验。将资本作为投入要素 (假定只考虑资本要素) , 则经济增长模型简化成以下单要素模型:

式中, Y为表示总产出, 用国内生产总值GDP来表示经济增长;A为综合技术水平, 这里假定为常数不变;K为包括外商直接投资在内的实际资本存量;下标t表示年份, 下标i表示第i产业;α表示资本产出的弹性系数。

由于本文侧重于分析外商直接投资对经济增长的影响, 为了区分实际资本存量里外商直接投资与非外商直接投资的部分各自对经济增长的贡献, 故将实际资本存量分为两部分, 即外商直接投资部分FDI和实际资本存量里非外商直接投资的部分IFA。于是可将式 (1) 变形为如下形式, 即外商直接投资要素的经济增长模型:

在实证检验中, 将 (2) 式取自然对数, 则简化为如下计量经济模型:

其中, β为外商直接投资的产出弹性系数, β越大, 外商直接投资对经济增长的贡献就越大, 反之则相反;δ为除外商直接投资外的其他固定资产投资的产出弹性系数;α为截距项, μ为随机误差项。

考虑到三次产业增加值的相对变化是反映产业结构转变的表征变量, 利用外资对产业结构转变的影响效应, 最终要体现为三次产业实际利用外资额对其产业附加值的贡献。由此, 文章采用不同产业实际利用外资额ln FDI作为自变量, 把不同产业的附加值ln GDP作为因变量, 并引入非外商直接投资的资本ln IFA作为控制变量, 以考察三次产业的外商直接投资对我国产业结构变动的具体影响效应。

2.2 样本区间与数据来源

选取的样本区间为1986—2011年。文中有关三次产业的划分, 依旧遵循国家统计局2003年第14号文件《关于印发〈三次产业划分规定〉的通知》的分类标准。其中, 第一产业包括农、林、牧、渔业;第二产业包括采矿业, 制造业, 电力、燃气及水的生产和供应业, 建筑业;第三产业则指除第一、二产业以外的其他行业。

根据理论模型 (3) , 文中采取的变量有:GDP用各产业的增加值表示其经济增长;FDI表示以人民币计量的外商直接投资变量, 由于各产业的实际利用外资额指标是用美元计价, 故应先将外商直接投资的实际数额乘以直接标价法下的人民币汇率, 然后再与其他指标统一单位, 将万元统一成亿元 (即除以10000) ;IFA表示实际资本存量里非外商直接投资的部分, 这里用各产业的固定资产投资扣除该产业的外商直接投资后的金额表示。并根据模型的需要, 对以上所有指标均取自然对数。

研究所选取的面板数据主要来自历年《中国统计年鉴》以及国家统计数据库[19] (其中2011年的数据来源于该年统计公报) 。所有检验及面板数据处理所采用的计量经济软件为Eviews6.0。

3 结果与分析

3.1 变量的平稳性检验

注: (1) ***表示在1%显著性水平上显著, **表示在5%显著性水平上显著; (2) 符号D为一阶差分;平稳?表示不确定为平稳, 还应进一步高阶差分检验; (3) 各检验统计量对应括号内数字为其P值。

基于时序变量的回归分析及经验检验, 都有一个前提假定即系统变量的时序数据是平稳的。若忽略这个前提假定条件而直接将不平稳的时序变量进行回归分析, 无疑会导致伪回归的致命错误, 使得其分析的结果不可信, 失去了意义。因此, 有必要在对时序变量进行面板数据模型估计前, 先检验各面板时间序列的平稳性。一般来讲, 倘若某个随机过程的均值及方差, 在时序上表现为常数, 同时, 在任意两期之间的协方差只与时间间隔有关, 这样的序列我们就可以称其是平稳的。假若某原始 (随机) 序列是平稳的, 可表示为I (0) ;若某个原始时序变量是非平稳的, 但经过一阶差分过后呈现出平稳性, 那么该原始时序变量则表现为一阶单整, 也即I (1) 过程。面板时序的平稳性检验方法有多种, 比如LLC检验和Breitung检验这两种是在相同单位根情形下的平稳性检验;而IPS检验、FisherADF检验和Fisher-PP检验等则是在不同单位根情形下的检验方法[20]。根据以往文献经验, 此文主要采用Fisher-ADF检验方法, 同时参照LLC方法和Fisher-PP方法的检验结果 (结果参见表l) 。

Fisher-ADF检验的零假设为变量是非平稳的 (即存在单位根) , 备择假设为变量是平稳的 (即不存在单位根) 。检验的基准模型为AR (1) , 并在此基础上考虑截距或趋势项。当模型AR (p) 高阶自回归, 或者带有截距项以及趋势项的时候, 需要做差分ADF检验, 换句话说, 如果检验的原始模型还不能拒绝零假设即存在单位根的话, 就需要一阶差分后再检验, 如果仍然存在单位根, 再差分, 直到拒绝单位根为止。

根据表1的检验结果显示, ln GDP、ln FDI和ln IFA这三个序列在1%的显著性水平上都表现为非平稳性, 无法拒绝存在单位根的零假设。但是, 经过一阶差分之后, 变量ln FDI、ln IFA都在5%的显著性水平上表现为平稳, 从而拒绝存在单位根的零假设。由此可基本判定, 模型所引入的三个时序变量均可视为一阶单整过程, 也即I (1) 。而ln GDP在经过二次差分后也表现为平稳。换句话说, 各个变量虽不是平稳的, 但它们的一阶 (或二阶) 差分可能是平稳的, 由此判定, 除ln GDP为I (2) 外, 另两个变量ln FDI、ln IFA的面板数据均为I (l) 过程。

3.2 面板数据模型的选择

根据前面构建的理论模型 (3) 中截距项α和外商直接投资的产出弹性系数项β的不同情况, 可以将其划分为以下三类模型:

第一类是不变系数模型:也就是在横截面上不存在个体影响和结构变化假设下的混合估计模型 (相当于将不同时期的截面数据全部合在一起当作样本) , 即:

第二类是变截距模型:也就是在横截面上存在个体影响, 但不存在经济结构变化假设下的回归系数相同的固定效应模型, 即:

第三类是变系数模型:也就是假定横截面不仅存在个体影响差异, 还存在经济结构变化, 这样应建立在不同横截面上其结构参数也有所不同的无约束模模型, 即:

考虑到面板数据存在着个体与时间的两维特征, 模型设定的差异, 可能会使得最终模拟的估计结果与现实经济相差甚远。因此, 在建立面板模型前, 应先对参数αi和βi在全部个体样本点或各个时期是否都具有一致性进行检验, 从而根据其样本数据特点选择适当的Panel Data模型。这样才能从模型设定上避免偏差, 增强参数估计的有效性。根据以往文献经验, 这里采用通用的协方差分析来检验下面两个假设:

H1:模型 (3) 中的截距项αi和斜率βi相同 (真实模型为混合回归模型)

H2:模型 (3) 中不同个体的截距项αi不同, 但斜率βi相同 (真实模型为个体固定效应回归模型) 。

如果检验的结果是接受H1, 则认为样本数据符合模型 (4) 假设, 故采用不变系数的混合估计模型。如果检验结果是拒绝H1, 则需要检验H2:若接受H2, 则使用回归系数相同的变截距模型 (5) ;反之若拒绝H2, 就认为样本数据符合模型 (6) 假设, 即采用变系数面板数据模型[21]。整个检验过程是通过两个F检验来完成的, 具体计算分析过程如下:

检验H1的统计量:

临界值为F0.05[ (n-1) (k+1) , n (T-k-1) ]

检验H2的统计量:

临界值为F0.05[ (n-1) k, n (T-k-1) ]

其中, SSEr和SSEu分别表示约束模型与非约束模型的残差平方和;n代表样本数, k代表解释变量数, T代表时间。

为判断模型的具体形式, 根据式 (7) 和式 (8) 计算得到 (n=3, k=2, T=14) :

查F分布, 在给定的1%的显著性水平下, 得到相应的临界值为:

由于F14.27419>2.4, 所以拒绝H1;又由于, F210.3379>2.66, 所以也拒绝H2, 因此, 模型应该采用变系数面板数据模型。

3.3 面板数据模型的估计

根据模型 (3) 和 (6) 所建立的变系数模型, 利用1997—2011年的面板数据进行参数估计。考虑到个体样本截面数据其残差可能存在一定的截面异方差性和同步不相关, 这里采用截面权重的加权最小二乘法对模型进行参数估计。截面加权回归估计结果见表2。

从表2的估计结果看, 基于变系数面板模型的回归拟合较好, 拟合优度为95.78%;由统计量F值为167.42及其伴随概率P值可以看出, 不同产业之间的差异对模型的设定有显著影响, 这说明模型存在产业固定效应;从模型中的解释变量弹性系数来看, 除了第一产业FDI的回归系数不显著外, 其余变量的回归系数的统计量T值及其相伴概率P值均通过了1%的显著性水平检验, 并且三次产业FDI的回归系数均为正, 这说明外商直接投资对三次产业附加值具有正面的促进效应, 外商直接投资的流入促进了我国产业结构的调整和升级。

从模型中ln FDIi的βi系数来看, 外商直接投资的流量对三次产业的贡献是有差异的, 其中, 第一产业的外商直接投资对该行业的产出效应最低, 其弹性系数仅为0.03;而第二产业的外商直接投资对其行业的产出效应远远高于第一产业, 其产出弹性系数为0.57;第三产业FDI的产出弹性最高, 其产出弹性系数为0.59, 也就是说第三产业的外商直接投资每提高一个百分点, 其产业的工业附加值会随之提升0.59个百分点, 效应是非常显著的。

从模型αi的系数来看, 三次产业正常产出对平均正常产出的偏离程度也不同, 这一定程度上也说明外商直接投资存量对三次产业影响效应也存在一定的差异性。模型中的α表示三次产业的平均正常产出, αi是各产业正常产出对平均正常产出的偏离。由表2可知, 三次产业的固定效应分别为2.61, -1.28, -1.33, 这说明三次产业正常产出对平均正常产出的偏离方向是不同的, 第二、三产业与第一产业的偏离方向恰恰相反。

另外, 从ln IFA的弹性系数可以看出, 国内资本的产出效应明显低于外资。ln IFA的弹性系数约为0.27, 远远低于外资在第二、三产业的产出效应, 这也说明了与外资的高效相比, 国内资本还存在一定差距, 而外商直接投资的介入, 加剧了国内市场的竞争, 也为内资的产业调整和升级提供了机遇与挑战。

3.4 我国外商直接投资的产业结构特征的进一步分析

由图1可知, 在1997—2011年期间, 我国外商直接投资在第一产业中的比重 (用外商直接投资在第一产业的投资额占总投资额的比重来表示) 波动幅度不大, 仅占1%左右;外商直接投资在第二产业中的投资占总投资的比重较大, 占一半以上, 但基本呈缓慢下降趋势;而外商直接投资在第三产业中的比重则不断上升, 由1997年的12%上升到2011年的44%。总的说来, 1997年后, 三个产业的外商直接投资其结构变化特征为:在第一产业所占比重的波幅不大, 在第二产业的比重基本呈缓慢下降趋势, 而在第三产业的比重则呈现不断上升态势。

另外, 从图1还可以发现, 我国外商直接投资在三次产业的分布呈现出一定的结构性倾斜, 即具有向第二产业集聚的特点, 尽管其比重在逐渐下降。1997年, 我国外商直接投资在第二产业中的投资比重为86.6%, 而在第一和第三产业的投资比重则分别为1.4%和12%;到1998年, 外商直接投资在第二产业的投资比重下降到68.9%, 在第三产业的投资比重则上升到29.7%;到2000年, 外商直接投资在第二产业的投资比重又有所缓升到72.6%;而2000—2005年期间, 外商直接投资在三大产业的投资比重变动不大;但2006年后, 外商直接投资在第二产业的投资比重又继续下降到2011年的54%。

注:FDI1、FDI2和FDI3分别表示外商直接投资在第一、二、三产业中所占的比重

注:GDP1、GDP2和GDP3分别表示第一、二、三产业。

外商直接投资的结构性调整促进了我国的产业结构升级。由图2可知, 1997—2011年间, 我国三次产业附加值占当年国民生产总值的比重分别由1997年的18.3%、47.5%和34.2%, 调整为2011年的10.1%、46.8%和43.1%。总体来讲, 我国第一产业的工业附加值占国民生产总值的比重呈下降态势, 第二产业所占比重则基本稳定, 而第三产业的比重却呈现不断上升趋势。放眼国外, 2010年美国三次产业占当年国民生产总值的比重分别为1.2%、21.4%和77.4%;英国三次产业占当年国民生产总值的比重分别为0.7%、21.1%和78.2%。与英美等发达国家相比, 我国的三次产业结构尽管还有差距, 但随着产业结构的升级, 其分布也渐趋合理。

4 结论

采用1997—2011年变系数面板数据模型, 对我国实际利用外资额和三次产业工业增加值之间的关系进行实证分析, 并利用面板数据, 进一步图示解析了我国外商直接投资的产业结构特征。研究表明:

(1) 外商直接投资对三次产业工业增加值的提高都具有正效应, 但其影响呈现一定的差异性, 对第二、三产业的效应显著大于对第一产业的效应。通过面板数据模型的变系数可以看出, 第一、二、三产业的外商直接投资对其行业的产出弹性分别为0.03、0.57、0.59, 第一产业FDI的产出弹性最低, 而第三产业FDI的产出弹性最高。近年来, 由于我国的工资水平和生产成本持续上升, 劳动密集型制造业向我国大量转移的势头已经放缓, 三次产业FDI产出弹性的差异性在一定程度上也促使外资向附加值较高的第三产业转移。因此, 未来新兴产业、现代服务业、高端制造业将有望成为我国吸收外资新的增长点。

(2) 从外商直接投资的产业结构分布图中可以看出, 外商直接投资在第一产业的所占比重变动不大, 占第二产业的比重呈缓慢下降, 而在第三产业的比重呈现出不断上升的趋势, 总体而言, 其分布具有集中于第二产业的特点。我国外商直接投资的产业结构分布的变化, 跟我国引导外资流向的政策是密不可分的。1997—2011年间, 为适应国民经济社会发展和产业结构调整的需要, 我国的《外商投资产业指导目录》也先后经历五次修订调整, 我国吸收外资政策正逐渐成熟, 从《反垄断法》实施, 到《国务院关于进一步做好利用外资工作的若干意见》出台、外资并购安全审查制度的建立, 再到新版《外商投资产业指导目录》的发布, 作为全球第二大引资国, 我国的外资政策的重点已从重投资数量, 转移到注重投资质量、提高利用外资的绩效上来。另外, 我国外商直接投资的产业结构分布的变化, 还与三次产业的投入产出弹性、我国的产业结构调整及升级等因素无不相关。

变系数递推式的特殊解法 篇4

与常系数递推式相比, 变系数递推式的解法更为灵活, 对能力的要求更高, 近年来受到高考命题者的青睐.本文介绍一些中学生使用起来比较方便的解法, 期望对提高他们的解题能力有所帮助.

一、一阶递推式

对于一阶递推式an+1=p (n) an+f (n) , 虽然有公式求an , 但使用起来并不方便, 不如用如下解法更好.

1.猜想归纳法

例1 数列{an}前n项的和为Sn, 已知$a{}_1=\frac{1}{2},S{}_n=n{}^{2}a{}_n-n(n-1),n=1,2,\cdots$, 写出Sn和Sn-1关系 (n≥2) , 并求Sn关于n的表达式.

解:n≥2时, Sn=n2 (Sn-Sn-1) -n (n-1) , 可得$S{}_n=\frac{n{}^2}{n{}^2-1}S{}_{n-1}+\frac{n}{n+1}$且$S{}_1=a{}_1=\frac{1}{2},S{}_2=\frac{4}{3},S{}_3=\frac{9}{4}$, 故可猜想$S{}_n=\frac{n{}^2}{n+1}.$

以下不难用数学归纳法证之 (略) .

2.不动点法

若递推式an+1=p (n) an+f (n) (f (n) ≠0) 存在不动点, 则可借助不动点构造新数列求解.

例2 已知$x{}_{n+1}=\frac{n+2}{n}x{}_n+\frac{1}{n},x{}_1=0$, 求xn.

解:令$\alpha =\frac{n+2}{n}\alpha +\frac{1}{n}$得$\alpha =-\frac{1}{2}$ (不动点) , 原数列化为$x{}_{n+1}+\frac{1}{2}=\frac{n+2}{n}(x{}_n+\frac{1}{2})=\cdots =\frac{(n+2)!}{n!}\cdot \frac{1}{2}(x{}_1+\frac{1}{2})$

从而

$x{}_n=\frac{(n+1)!}{(n-1)!}\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{n{}^2+n-2}{4}(n\ge 2).$

3.等价转换法

可考虑将变系数递推式转化为常系数递推式来解.

例3 解递推式nan+ (n-1) an-1=2n (n≥1) , 其中a0=273.

解:令bn=nan, 则原数列化为

bn+bn-1=2n ①

其中b0=0, ①式的特征根为α=-1且①的特解为b*n=A·2n, 代入①中得

A·2n+A2n-1=2n, 得A=2/3, 故①的通解为

$b{}_n=B(-1){}^n+\frac{1}{3}\cdot 2{}^{n+1}$, 由b0=0得$B=-\frac{2}{3}.$

所以$b{}_n=-\frac{2}{3}(-1){}^n+\frac{1}{3}\cdot 2{}^{n+1}=\frac{2}{3}[2{}^n-(-1){}^n]$,

从而$a{}_n=\frac{2}{3n}[2{}^n-(-1){}^n](n\ge 1),a{}_0=273.$

即$a{}_1=2,a{}_2=1,a{}_3=2,a{}_4=\frac{5}{2},\cdots .$

例4 解递推式an=nan-1+ (-1) n (n≥1) , a0=3.

解:原式变为

$\frac{a{}_n}{n!}=\frac{a{}_{n-1}}{(n-1)!}+\frac{(-1){}^n}{n!}(n\ge 1)$①

令$b{}_n=\frac{a{}_n}{n!}$, 则①化为

$b{}_n=b{}_{n-1}+\frac{(-1){}^n}{n!}=b{}_{n-2}+\frac{(-1){}^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{(-1){}^n}{n!}=\cdots =\frac{a{}_0}{0!}+\frac{(-1){}^1}{1!}+\frac{(-1){}^2}{2!}+\cdots +\frac{(-1){}^n}{n!}=2+{\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{(-1){}^k}{k!}},$

所以$a{}_n=n!(2+{\displaystyle \sum _{k=0}^n}\frac{(-1){}^k}{k!})(n\ge 1).$

二、二阶递推式对于二阶递推式

an+2=p (n) an+1+q (n) an (1)

若满足下列情形, 可用特殊方法解

1.降价法

当 (1) 可化为an+2-λ (n+1) an+1=μ (n) (an+1-λ (n) an) , 其中λ (n+1) +μ (n) =p (n) , λ (n) μ (n) =-q (n) , 可用递推法解.

例5 (1990年巴尔干地区数学奥林匹克) 设a1=1, a2=3, 对一切自然数n有an+2= (n+3) an+1- (n+2) an, 求所有能被11整除的an值.

解:令λ (n+1) =λ (n) =1, μ (n) =1原数列化为

an+2-an= (n+2) (an+1-an)

令bn+1=an+1-an (n≥1) , 原数列又化为bn+1= (n+1) bn (n≥2) , 所以bn=nbn-1=n (n-1) bn-2=…=n!, 所以$a{}_n=(a{}_n-a{}_{n-1})+(a{}_{n-1}-a{}_{n-2})+\cdots +(a{}_2-a{}_1)+a{}_1={\displaystyle \sum _{j=1}^{n}j}!$, 由此得$a{}_4={\displaystyle \sum _{j=1}^{4}j}!=33,a{}_8={\displaystyle \sum _{j=1}^{8}j}!=46233=11\times 4203,a{}_{10}={\displaystyle \sum _{j=1}^{10}j}!=4037913=11\times 367083$, 当n≥11时, 因为${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}j}!$能被11整除, 故$a{}_n={\displaystyle \sum _{j=1}^{10}j}!+{\displaystyle \sum _{j=11}^{n}j}!$也能被11整除, 所以所求答案为n=4, n=8和n≥10.

例6 已知an+2= (2n+1) an+1-n2an, a1=0, a2=1, 求an.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{由}\{\begin{array}{l}\lambda (n+1)+\mu (n)=2n+1\\ \lambda (n)\mu (n)=n{}^2\end{array}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda (n+1)=n+1\\ \mu (n)=n\end{array}‚\text{原}\text{数}\text{列}\text{可}\text{化}\text{为}\end{array}$

an+2- (n+1) an+1=n (an+1-nan) =…=n! (a2-a1) =n!

所以$\frac{a{}_{n+2}}{n!}-\frac{a{}_{n+1}}{(n-1)!}=1.$

从而$\frac{a{}_n}{(n-2)!}=\frac{a{}_2}{0!}+(n-2)=n-1$, 所以an= (n-1) !.

例7 已知$x{}_{n+2}=\frac{2n+1}{n{}^2+n}x{}_{n+1}-\frac{1}{n{}^2}x{}_n,x{}_1=1,x{}_2=2$, 求xn.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{由}\{\begin{array}{l}\lambda (n+1)+\mu (n)=\frac{2n+1}{n{}^2+n}\\ \lambda (n)\mu (n)=\frac{1}{n{}^2}\end{array}\Rightarrow \\ \{\begin{array}{l}\lambda (n+1)=\frac{1}{n+1}\\ \mu (n)=\frac{1}{n}\end{array}‚\text{原}\text{数}\text{列}\text{可}\text{化}\text{为}\end{array}$

$x{}_{n+2}-\frac{1}{n+1}x{}_{n+1}=\frac{1}{n}(x{}_{n+1}-\frac{1}{n}x{}_n)=\cdots =\frac{1}{n!}(x{}_2-x{}_1)=\frac{1}{n!}$.所以 (n+1) !xn+2-n!xn+1=n+1, 设bn= (n-1) !xn, b1=1, 用累加法可得

$b{}_n=b{}_1+1+2+\cdots +(n-1)=1+\frac{1}{2}n(n-1)=\frac{1}{2}(n{}^2-n+2).$

所以$x{}_n=\frac{n{}^2-n+2}{2(n-1)!}.$

2.化为常系数递推式

例8 解递推式an+2= (3n+6) an+1- (2n2+6n+2) an+ (n+2) !, a1=0, a2=2, 求an.

解:原数列即

an+2=3 (n+2) an+1-2 (n+2) (n+1) an+ (n+2) !,

可化为$\frac{a{}_{n+2}}{(n+2)!}=3\frac{a{}_{n+1}}{(n+1)}-2\frac{a{}_n}{n!}+1$. ①

设$b{}_n=\frac{a{}_n}{n!},b{}_1=0,b{}_2=1$, 则①化为

bn+2=3bn+1-2bn+1

或 bn+2-bn+1=2 (bn+1-bn) +1. ②

或令cn=bn+1-bn, c1=2, 则②又可化为cn+1=2cn+1, 即cn+1+1=2 (cn+1) , 解得cn=2n-1.

所以$b{}_n=b{}_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(}2{}^k-1)=2{}^n-n+1.$

从而 an= (2n-n-1) n!.

例9 求方程xn+2= (2n+1) xn+1+ (8n2-2) xn的通项, x1=-1, x2=1.

解:原方程即为

xn+2= (2n+1) xn+1+2 (2n+1) (2n-1) xn

或

$\frac{x{}_{n+2}}{(2n+1)!!}=\frac{x{}_{n+1}}{(2n-1)!!}+2\frac{x{}_n}{(2n-3)!!}$

①

令$z{}_n=\frac{x{}_n}{(2n-3)!!}$, 则①又可化为

zn+2=zn+1+2zn ②

②的特征方程为z2=z+2, 其特征根为

α=-1, β=2.

∴②的解为zn=c1 (-1) n-1+c2·2n-1, 又

$\begin{array}{l}z{}_1=1,z{}_2=1\\ \therefore \{\begin{array}{l}c{}_1+c{}_2=1\\ -c{}_1+2c{}_2=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}c{}_1=\frac{1}{3}\\ c{}_2=\frac{2}{3}\end{array},\end{array}$

从而$z{}_n=\frac{1}{3}[2{}^n+(-1){}^{n-1}],$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}x{}_n=z{}_n{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}}(2k-1)\\ =\frac{1}{3}[2{}^n+(-1){}^{n-1}]{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}(}2k-1)(n\ge 2).\end{array}$

三、分式递推式

对于分式递推式$x{}_{n+1}=\frac{A(n)x{}_n+B(n)}{C(n)x{}_n+D(n)}$, 若B (n) =0, 可用倒数法化为$\frac{1}{x{}_n}$表示的数列来解.

例10 (2006年江西高考题) 已知{an}满足$a{}_1=\frac{3}{2}$且$a{}_n=\frac{3na{}_{n-1}}{2a{}_{n-1}+(n-1)}(n\ge 2$且n∈N+) , 求{an}通项.

解:将原式两边取倒数化为

$1-\frac{n}{a{}_n}=\frac{1}{3}(1-\frac{n-1}{a{}_{n-1}}).$

故$\{1-\frac{n}{a{}_n}\}$为等比数列, 首项是$1-\frac{1}{a{}_1}=\frac{1}{3}$, 公比是$\frac{1}{3}$, 所以$1-\frac{n}{a{}_n}=\frac{1}{3{}^n}$解得$a{}_n=\frac{n\cdot 3{}^n}{3{}^n-1}.$

类似地对$x{}_{n+1}=\frac{A(n)x{}_{n}x{}_{n+1}}{x{}_n+x{}_{n+1}}$也可同法解之.

四、高考综合题分析

用上述所讲方法来考察近年来高考中的综合题有关变系数递推式的解法是十分有益的, 下面分析如下.

例10 (2005年重庆理科高考题) 数列{an}满足a1=1且$a{}_{n+1}=(1+\frac{1}{n{}^2+n})a{}_n+\frac{1}{2{}^n}(n\ge 1),(\mathrm{Ⅰ})$用数学归纳法证明an≥2 (n≥2) ; (Ⅱ) 已知不等式lg (1+x) <x对x>0成立, 证明:an<e2 (n≥1) , 其中e=2.71828…

分析:本题递推式属于an+1=p (n) an+f (n) , 用数学归纳法可很方便地解决 (Ⅰ) , 而第 (Ⅱ) 部份为利用题设中ln (1+x) <x, 需将an放大 (利用2n≥n (n-1) ) 然后寻找对应数列的不动点来构造新数列便可计算出an的上界.

解: (Ⅰ) 略.

(Ⅱ) 用数学归纳法易证2n≥n (n-1) (n≥2) , 故$a{}_{n+1}=(1+\frac{1}{n{}^2+n})a{}_n+\frac{1}{a{}^n}\le (1+\frac{1}{n(n-1)})a{}_n+\frac{1}{n(n-1)}$.利用$a{}_{n+1}=(1+\frac{1}{n(n-1)}a{}_n+\frac{1}{n(n-1)}$的不动点α=-1, 可令bn=an+1 (n≥2) , 上述不等式可化为

$b{}_{n+1}\le (1+\frac{1}{n(n-1)})b{}_n(n\ge 2),b{}_2=3.$

所以$\ln b{}_{n+1}\le \ln (1+\frac{1}{n(n-1)})+\ln b{}_n\le \ln b{}_n+\frac{1}{n(n-1)}(n\ge 2)$, 从2到n求和可得

$\ln b{}_{n+1}-\ln b{}_2\le \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{n(n-1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}<1$

从而lnbn+1<1+ln3, 即bn+1<e1+ln3=3e (n≥2) , 故an+1<3e-1<e2 (n≥2) , 显然a1<e2, a2<e2, 从而有an<e2对n∈N+都成立.

例11 (2006年福建高考理科压轴题) 已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1 (n∈N+) ,

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ) 若数列{bn}满足4b1-1·4b2-1·…, 4bn-1= (an+1) bn, (n∈N+) , 证明{bn}是等差数列;

(Ⅲ) 证明$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}<\frac{a{}_1}{a{}_2}+\frac{a{}_2}{a{}_3}+\cdots +\frac{a{}_n}{a{}_{n-1}}<\frac{n}{2}(n\in \mathbf{{\rm N}}{}_{+})$

分析:本题第一部分用不动点法很方便, 第二部分利用 (Ⅰ) 结论得变系数递推式后可用阶差法、不动点法或猜想归纳法之一便可解之, 第三部分应用放缩法可证之.

解: (Ⅰ) 由an+1=2an+1变为an+1+1=2 (an+1) 得an+1=2n, 所以an=2n-1.

(Ⅱ) 解法1 (阶差法) , 由已知得

22[b1+b2+…+bn) -n]=2nbn

所以2[ (b1+b2+…+bn) -n]=nbn ①

又2[ (b1+b2+…+bn+1- (n+1) ]= (n+1) bn+1, ②

②-①得2 (bn+1-1) = (n+1) bn+1-nbn,

可得 (n-1) bn+1-nbn+2=0 ③

且 nbn+2- (n+1) bn+1+2=0, ④

④-③得 bn+2-2bn+1+bn=0.

所以{bn}为等差数列.

解法2 (不动点法)

解法1中③的不动点为α=2, ③可化为$b{}_{n+1}-2=\frac{n}{n-1}(b{}_n-2)=\cdots =\frac{n!}{(n-1)!}(b{}_2-2)=n(b{}_2-2)$

由③令n=1, 得b1=2, 又α=2, 得b2=2, 所以bn=2, n∈N+, 所以{bn}为常数数列, 即为等差数列.

(Ⅲ) 首先$\frac{a{}_n}{a{}_{n+1}}=\frac{2{}^k-1}{2{}^{k+1}-1}=\frac{2{}^k-1}{2(2{}^k-\frac{1}{2})}<\frac{1}{2}(k=1,2,\cdots ),$

所以$\frac{a{}_1}{a{}_2}+\frac{a{}_2}{a{}_3}+\cdots +\frac{a{}_n}{a{}_{n+1}}<\frac{n}{2}.$

又$\frac{a{}_k}{a{}_{k+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2{}^{k+1}-1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot 2{}^k+2{}^k-2}\ge \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\frac{1}{2{}^k}$, 对k=1, 2, …, n求和可得

${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{a{}_k}{a{}_{k+1}}}\ge \frac{n}{2}-\frac{1}{3}({\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{2{}^k}})=\frac{n}{2}-\frac{1}{3}(1-\frac{1}{2{}^n})>\frac{n}{2}-\frac{1}{3}.$

所以$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\frac{a{}_k}{a{}_{k+1}}<\frac{n}{2}(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{+}).$

江苏省常熟市常福一区90幢302室

广义变系数BBM方程的精确解 篇5

物理学的进展在很大程度上将依赖于非线性数学及求解非线性方程的方法的进展[1]。常系数非线性演化方程只是现实中的非线性问题的理想化和近似。事实上,这里非线性演化方程的系数是随着时间和空间变化的,对于这些变系数非线性演化方程的分析和求解已经引起了越来越多的关注[2,3,4,5,6].在求解非线性数学物理方程的周期波解方面,最近提出的F展开法[7,8,9,10]和投影Riccati方程法是很有效的工具。

本文将用推广的投射Riccati方程法求解广义变系数BBM方程

$u{}_t+\alpha \left(t\right)u{}_x+\beta \left(t\right)u{}^{2}u{}_x+\gamma \left(t\right)u{}_{xxt}=0$ (1)

式(1)中α(t),β(t)和γ(t)为关于t的任意函数。当α(t),β(t)和γ(t)为实常数,文献[11]研究了广义BBM方程的有界行波解。当α(t)=0,β(t),γ(t)为常数时,方程(1)为常系数修正组合BBM方程。因此,研究式(1)的精确解有重要的理论和实际价值。

1 方法简介

对非线性发展方程:

${\rm H}{}_k\left(x,t,u,u{}_x,u{}_t,u{}_{xx},u{}_{xt},u{}_{tt}\cdots \right)=0$ (2)

寻求它如下形式的解:

$u(\xi )={\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a}{}_i\left(t\right)f{}^i(\xi )+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b}{}_i\left(t\right)f{}^{i-1}(\xi )g(\xi )$ (3)

其中$\xi =\xi \left(x,t\right)$,a0=a0(t),ai=ai(t),bj=bj(t),(i,j=1,2,…,n),n是待定常数,由齐次平衡法确定。而$f\left(\xi \right)$和$g\left(\xi \right)$满足如下Riccati方程组。

1) f′(ξ)=-qf(ξ)g(ξ),g'(ξ)=q[1-g2(ξ)-rf(ξ)],g2(ξ)=1-2rf(ξ)+(r2+ε)f2(ξ) (4)

这里′表示$\frac{\text{d}}{\text{d}\xi }$,r、q为任何实数,ε=±1,后面雷同,方程组有下列解:

$\begin{array}{l}f{}_1(\xi )=\frac{a}{b\text{c}\text{o}\text{s}\text{h}(q\xi )+c\text{s}\text{i}\text{n}\text{h}(q\xi )+ar},\\ g{}_1(\xi )=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\text{h}(q\xi )+c\text{c}\text{o}\text{s}\text{h}(q\xi )}{b\text{c}\text{o}\text{s}\text{h}(q\xi )+c\text{s}\text{i}\text{n}\text{h}(q\xi )+ar}(5)\end{array}$

式(5)中a,b,c满足条件:当ε=1时c2=a2+b2,当ε=-1时b2=a2+c2。

2) f′(ξ)=qf(ξ)g(ξ),g'(ξ)=q[1+g2(ξ)-rf(ξ)],g2(ξ)=-1+2rf(ξ)+(1-r2)f2(ξ) (6)

方程组有解:

$\begin{array}{l}f{}_2(\xi )=\frac{a}{b\text{c}\text{o}\text{s}(q\xi )+c\text{s}\text{i}\text{n}(q\xi )+ar},\\ g{}_2(\xi )=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}(q\xi )-c\text{c}\text{o}\text{s}(q\xi )}{b\text{c}\text{o}\text{s}(q\xi )+c\text{s}\text{i}\text{n}(q\xi )+ar}(7)\end{array}$

式(7)中a,b,c满足条件:a2=b2+c2。

将式(3)、式(4)和式(3)、式(6)分别代入式(1),并令$f{}^i\left(\xi \right)g{}^i(\xi )$系数为零(i=1,2,…;j=0,1,2,…),可得一关于所有待定系数的非线性代数方程组(NAEs), 借助Mathematica软件求解该NAEs便可由式(5)、(7)得式(1)的精确解。

2 广义变系数BBM方程的精确解

由齐次平衡法可设方程(1)有如下形式的解:

$u\left(x,t\right)=A{}_0\left(t\right)+A{}_1\left(t\right)f\left(\xi \right)+B{}_1\left(t\right)g\left(\xi \right)$ (8)

式(8)中$\xi =lx+{\rm K}\left(t\right)$。

2.1 情形1

将式(4),式(8)代入式(1),并令fi(ξ)gj(ξ),(i=0,1…,j=0,1,…)系数为零可得到如下方程:A0t=C1t=0,

借助Mathmatica和吴消元法可得到下列解

$\begin{array}{l}(1)A{}_1=0,\\ {\rm K}(t)=-{\displaystyle \int \frac{2A{}_{0}B{}_{1}l\beta (t)}{4l{}^{2}q{}^3\gamma (t)+q}}\text{d}t‚\alpha (t)=\\ -(A{}_0^2+B{}_1^2)\beta (t)‚\epsilon =\pm 1‚A{}_0,B{}_1,l,q\end{array}$

和r为任意实函数,方程(1)有下列孤立波解

$u{}_1=A{}_0+B{}_1\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}\text{h}(q\xi {}_1)+c\text{c}\text{o}\text{s}\text{h}(q\xi {}_1)}{b\text{c}\text{o}\text{s}\text{h}(q\xi {}_1)+c\text{s}\text{i}\text{n}\text{h}(q\xi {}_1)+ar}$。

其中$\xi {}_1=lx-{\displaystyle \int \frac{2A{}_{0}B{}_{1}l\beta (t)}{4l{}^{2}q{}^3\gamma (t)+q}}\text{d}t$。

$\begin{array}{l}(2){\rm K}(t)={\displaystyle \int \frac{A{}_1^2\beta (t)l-6l\epsilon \alpha (t)}{6\epsilon }}\text{d}t‚\gamma (t)=\\ -{\displaystyle \int \frac{A{}_1^2\beta (t)}{6l{}^{2}q{}^2\epsilon (A{}_1^2\beta (t)-6\epsilon \alpha (t))}}\text{d}t‚A{}_0=B{}_1=r=0,A{}_1,l,q\end{array}$

为任意常数,方程(1)有下列孤立波解

$u{}_2=\frac{A{}_{1}a}{b\text{c}\text{o}\text{s}\text{h}(q\xi {}_2)+c\text{s}\text{i}\text{n}\text{h}(q\xi {}_2)}$,

其中$\xi {}_2=lx+{\displaystyle \int \frac{A{}_1^2\beta (t)l-6l\epsilon \alpha (t)}{6\epsilon }}\text{d}t$。

$(3)A{}_0=\frac{A{}_{1}r}{2(r{}^2+\epsilon )},B{}_1=0,\alpha (t)=\frac{A{}_1^2\beta (t)(11r{}^2+6\epsilon )}{4(r{}^2+\epsilon {}^2){}^2},\gamma (t)=\frac{r{}^2+\epsilon }{l{}^{2}q{}^2(17r{}^2+8\epsilon )},{\rm K}(t)=-$${\displaystyle \int \frac{A{}_1^{2}l\beta (t)(17r{}^2+8\epsilon )}{6(r{}^2+\epsilon {}^2){}^2}}\text{d}t,r,l,q$为任意实函数,方程(1)有下列孤立波解

$u{}_3=\frac{A{}_{1}r}{2(r{}^2+\epsilon )}+\frac{A{}_{1}a}{b\text{c}\text{o}\text{s}\text{h}(q\xi {}_3)+c\text{s}\text{i}\text{n}\text{h}(q\xi {}_3)+ar}$。

其中$\xi {}_3=lx-{\displaystyle \int \frac{A{}_1^{2}l\beta (t)(17r{}^2+8\epsilon )}{6(r{}^2+\epsilon {}^2){}^2}}\text{d}t$。

其中$\xi {}_{31}=lx+{\displaystyle \int \frac{4A{}_1^{2}l\beta (t)}{3}}\text{d}t‚\xi {}_{32}=lx-{\displaystyle \int \frac{4A{}_1^{2}l\beta (t)}{3}}\text{d}t$。

2.2 情形2

将式(6),式(8)代入式(1),并令fi(ξ)gj(ξ),(i=0,1…,j=0,1)系数为零可得到如下方程:

A0t=C1t=0,

借助Mathmatica和吴消元法可得到下列解

(1) A0=A1=0,K(t)=∫γ(t)dt,r=1,B1,l,q为任意实函数,方程(1)有下列孤立波解

$u{}_4=B{}_1\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}(q\xi {}_4)-c\text{c}\text{o}\text{s}(q\xi {}_4)}{b\text{c}\text{o}\text{s}(q\xi {}_4)+c\text{s}\text{i}\text{n}(q\xi {}_4)+a}$。

其中ξ4=lx+∫γ(t)dt。

$\begin{array}{l}(2)B{}_1=r=0,\\ {\rm K}(t)=-{\displaystyle \int \frac{A{}_1\beta (t)}{l{}^{3}q{}^3}}\text{d}t,\alpha (t)=-A{}_0^2\beta (t),\gamma (t)=\frac{1}{l{}^{2}q{}^2}‚A{}_0,A{}_1,l,q\end{array}$

为任意实函数,方程(1)有下列孤立波解

$u{}_5=A{}_0+A{}_1\frac{a}{b\text{c}\text{o}\text{s}(q\xi {}_5)+c\text{s}\text{i}\text{n}(q\xi {}_5)},$

其中$\xi {}_4=lx-{\displaystyle \int \frac{A{}_1\beta (t)}{l{}^{3}q{}^3}}\text{d}t$。

(3)$A{}_1=r=0,{\rm K}(t)=-{\displaystyle \int \frac{2A{}_{0}B{}_{1}l\beta (t)}{3q}}\text{d}t,\alpha (t)=B{}_1^2\beta (t),\gamma (t)=\frac{1}{2l{}^{2}q{}^2},A{}_0,B{}_1,l,q$为任意实函数,方程(1)有下列孤立波解

$u{}_6=A{}_0+B{}_1\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}(q\xi {}_6)-c\text{c}\text{o}\text{s}(q\xi {}_6)}{b\text{c}\text{o}\text{s}(q\xi {}_6)+c\text{s}\text{i}\text{n}(q\xi {}_6)}$。

其中$\xi {}_6=lx-{\displaystyle \int \frac{2A{}_{0}B{}_{1}l\beta (t)}{3q}}\text{d}t$。

3 结论

本文借助两个推广的投影Riccati方程组,成功地求出了广义变系数BBM方程的一些精确解,包括类孤立波解、类周期解,其中许多解都是新的。实践证明这种方法可以适用于许多其他非线性方程。

参考文献

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二阶变系数线性微分方程求解法探究 篇6

现行的高数微分方程理论中，仅仅对常系数类型的微分方程展开研究，即使是在《常微分方程》中也没有对二阶变系数这一类型的微分方程求解进行深入探讨．

如果p(x),q(x)是连续非常数函数，那么方程

即为二阶变系数线性微分方程，若f(x)为0，那么即为二阶变系数齐次线性类型方程，如果不为0，那么就是非齐性的二阶变系数微分方程．本文提出从二阶变系数方程的特征出发，以降阶法将二阶转嫁为一阶，利用结构系数函数对二阶边系数线性微分方程的通解及特解进行求解的一种解法．

假设非齐次中的P(x)有一阶连续倒数q(x)连续，那么就能通过方程(2)、(3)使方程(1)转变为方程(4).

方程(1)转变为方程(4)

即

那么原方程(1)最后会化简成

求解得

把其带入到(5)中，可将方程(1)利用上述变化降阶成

这个一阶非齐次微分方程求得的解即为二阶变系数非齐次线性方程的解．

但方程

的解为

即为方程(6).

方程(6)则为下面的二阶变系数非齐次线性微分方程

y″+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解公式

此外通过方程(2)能够得到

v(x)=p(x)-u(x)或是u(x)=p(x)-v(x).

将其带至方程(6)能够得出二阶变系数的非齐次方程(1)通解的其他两种形式，分别是

或是

特别地1如果f(x)为0，那么方程(1)可转换成二阶变系数微分方程，方程(6)(7)(8)则能够分别转换为

以上这些方程所对应的二阶变系数齐次方程

四、结束语

本文分析的二阶变系数线性微分方程的解法主要是通过降阶的方式，将二阶变系数线性方砖转嫁为一阶线性微分方程进行求解，这样一来只需利用结构系数函数就可以对二阶边系数线性微分方程的特解或通解进行求得，借助结构系数函数，再利用降价法就是得出二阶边系数方程的特解或是通解．

摘要：二阶线性齐次微分方程是微分理论的重要组成部分,在现代科技、工程等领域中都有广泛应用,这其中很多的应用情况都归属于二阶线性常微分方程的范畴中.在微分理论中常系数微分方程可以利用线性常微分的理论求解,但变系数类型的求解则相对较难,至今都很难找到有效的求解方法.本文以二阶边系数线性微分方程的求解意义作为出发点,对一般与特殊的二阶变系数线性微分方程的解法进行探讨,希望能为相关研究人员提供些许参考作用.

关键词：二阶变系数线性微分方程,二阶线性常系数微分方程,通解,特解

参考文献

[1]李高,李殊璇,常秀芳.二阶变系数线性微分方程可解的研究[J].河北北方学院学报(自然科学版),2013,02:1-2+21.

变系数模型 篇7

然而,热线法在测试过程中存在热线电阻随温度升高而变化,温度对导热系数变化的影响难以确定[10],被测煤体粒度不能太大[8],加热装置不稳定,煤体氧化放热影响温度的测试等问题,使测试结果存在一定的误差。因此,自行设计了松散煤体变导热系数测试装置,利用瞬态径向热流法测试松散煤体变导热系数。 利用该装置可以较准确的测定松散煤体变导热系数,减小测试误差;同时可以测出一定温度下所对应的导热系数,以确定煤体导热系数随温度的变化趋势。

1 实验装置

测试系统如图1所示,包括以下几个部分:实验加热炉、温度检测采集系统、气体检测采集系统及气流控制系统。

实验加热炉是实验的主体装置,呈圆柱形。炉体内径40cm,高 100cm。装煤高度 90cm,装煤量约 120kg; 底部留有高 10cm的自由空间, 使气流稳定, 送风均匀。 靠近煤体中心1cm、2cm、3cm的位置分别布置 5 排温度测点和4 排气体浓度采集测点。煤柱两端分别设有带孔的挡板和密闭盖,可以使煤柱敞开与空气接触或是实施煤柱密封。煤柱顶底盖上分别设置进气口及出气口,可通过气体控制器控制进入煤柱的气体流量。实验通过两端连接恒功率开关电源的加热棒加热煤体; 开关电源采用高精密单输出开关可调电源, 可实现恒功率加热煤体。

温度采集系统包括:感温探头、温度变送器、计算机三部分。内置 PT100 铂电阻的感温探头将检测温度转化成电讯号,然后通过温度变送器将信号送入计算机进行采集和显示。实验的气流控制系统由气体钢瓶、减压阀、稳压阀、稳流阀和气体流量计等组成。气样检测系统为气相色谱仪。

实验时,将筛分为一定粒度范围的煤样装入炉体内,并在炉体轴心位置放置加热棒,并连接开关电源。 为消除煤体氧化放热对测试结果的影响, 首先向煤柱内通入一定流量的氮气,并利用气体采集装置实时检测炉体内各位置的氧气浓度,直至煤体完全处于氮气环境下,然后封闭炉体两端进气口及出气口,使煤体隔绝大气,打开电源、开始加热煤体,并收集各测点的温度。当最高温度达到一定温度后关闭电源,使煤体自然降温,并连续监测煤体内测点温度,直至煤温降至环境温度。取煤体处于自然降温阶段数据进行处理,通过采集不同位置煤体的温度数据,便可计算出不同温度条件下实验煤体的导热系数。

2 实验原理

在圆柱坐标系下,导入微元体的总热流量为周围高温微元体传入的导热热流,导出微元体的总热流量为研究对象向低温微元体传出的导热热流,而氮气环境下煤体不产生氧化热,内热源的生成热为零。

图2 为煤体圆柱坐标系下微元体热量导入、导出示意图。

假定松散煤体为均匀、常物性多孔介质,由于测试煤柱采用中心加热棒加热煤体,热流主要由轴心沿径向向外传递,在极角方向的传热可以忽略。因此,可以认为qleft=qright,即微元体与左右两侧元体不传热。

根据傅立叶定律及热平衡法,可分别求得微元体周围导入、导出热流流率。

内侧点对中心节点的导热热流流率:

外侧点对中心节点的导热热流流率:

上侧点对中心节点的导热热流流率:

下侧点对中心节点的导热热流流率:

中心节点的能量变化为:

式中:qup、qdownn、qin、qout分别为上、下、内、外元体与中心元体之间的导热热流流率,W;Tup、Tdown、Tin、Tout、T0分别为上、下、内、外、中心元体煤体温度,K;r0为中心元体与圆柱轴心的距离,m;qv为中心元体的能量变化,W;T′undefined为中心元体下一刻温度,K;ρe为煤体密度,kg/m3;ce为煤体比热,J/(kg·K)。△r为径向步长,m;△z为轴向步长,m;△θ为极角步长,rad;△t为时间步长,s;λ为煤体导热系数,W/(m·K);μ为煤体空隙率。

对于中心元体,由于不存在氧化放热,元体的热量变化完全由相邻元体的热传导产生。因此,中心元体有以下热量平衡关系:

将公式(1)-(6)相应代入得热量平衡方程,化简后可得:

因此,可得松散煤体导热系数的计算公式为:

一般情况下,当温度变化时,材料的导热系数随温度的变化而变化,两者之间基本成线性关系[11]。因此,松散煤体的导热系数与温度之间存在如下关系:

式中:λ为导热系数,W/(m·K);λ0为直线段的延长线在纵坐标上的截距,W/(m·K);t为温度,℃。

因此,通过所测的温度数据可以计算出不同温度条件下所测的导热系数。已知不同温度T0以及在该温度条件下的煤体导热系数λ(T0),利用最小二乘法求出a、b值,便可得到该煤体随温度变化的变导热系数计算公式。

3 实验结果及分析

将瓷末不黏煤、榆末弱黏煤、乌石肥煤、杨庄贫瘦煤的煤样筛分成粒径 0-13mm 的混煤,分别测定不同煤质煤样的导热系数。其中温度传感器采集温度数据的时间间隔设定为30s,实验开始后通入氮气,通气流量为 200ml/min。每隔 10min 采气测定气体浓度,直至氧气浓度降到1%时停止送气,封闭炉体并打开加热棒电源。温度上升到120℃后停止加热,直至温度降至室温时实验结束。根据实验采集温度计算不同温度条件下导热系数,松散煤体导热系数与温度的关系见图3。将实验结果导热系数与温度用线性拟合,可以得到相应煤样的变导热系数计算公式,计算公式见表1。

由图3可以看出,对于不同的松散煤体,其导热系数均随温度的升高而增加,两者之间基本呈线性关系。实验结果与理论相符,且拟合度较好,利用该装置可以准确地测定松散煤体的变导热系数。

4 结论

(1)本文采用瞬态径向热流法测定松散煤体导热系数,通过装置不同位置煤体在降温过程中的热平衡关系计算导热系数,可以减小热源加热的不稳定性对实验结果的影响;在加热之前向煤体中通入氮气,可以降低煤体氧化放热对测量结果的影响。

(2)瞬态径向热流法所测数据相对其他方法较多,可以更好的分析煤体导热系数与温度之间的关系。

(3)利用该装置分别对瓷末、榆末、乌石、杨庄等不同煤样进行变导热系数的测试,测试结果表明,煤体的导热系数基本随温度线性增加,与松散煤体的导热特性及其他测试方法结论是一致的,实验结果的稳定性较好。因此,该测试方法是可行的,可以适用于不同煤体的导热系数测试。

参考文献

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液压挖掘机连续变系数PD控制系统 篇8

1 挖掘机匹配设计基础

1.1 基于作业需求的模式设定

挖掘机广泛应用于工业、农业、道路等土石方施工中, 进行挖掘、装载和平整等作业。施工环境恶劣, 其负载具有无规律性、复杂性、突变性等特点, 要求挖掘机具有强劲的动力、良好的操作、可靠的工作、燃油的经济性。根据其使用要求一般设定有重载 (H) 、正常 (S) 、轻载 (L) 等三种动力模式, 分别对应发动机高功率段、经济段、低功率段等工作区间。

1.2 基于发动机特性的匹配点及目标转速设定

图1所示是一个发动机的万有特性图, 图中H点为发动机的最大功率输出点, S、L点为发动机最低油耗点。图中1、2、3曲线为发动机某档位下的调速曲线, H、S、L点对应的转速值为相应目标转速。

2 控制原理

挖掘机在作业中因负荷变化引起发动机转速波动, 使发动机偏离设定的匹配点和目标转速, 不但会造成能量损失也会影响挖掘机的动力性、经济性和操纵性。本文所研究的控制对象为主泵功率, 控制目标是基于维持发动机工作在设定的目标转速值附近, 减少能耗。由于系统中控制对象具有较大的非线性、时变性和无规律等特点, 得不到系统的精确数学模型, 适合采用PID控制方式。

2.1 PID控制方式

PID控制是历史最久、生命力最强的基本控制方式, 其原理简单、使用方便, 蕴涵了动态控制过程中过去、现在和将来的主要信息, 且鲁棒性较强, 目前已在工程实际中得到了广泛应用, 适用于被控对象的结构和参数不能完全掌握, 或得不到精确数学模型时。随着控制理论的发展, 在经典PID基础上, 诞生了积分分离PID、不完全微分PID、模糊自整定PID等控制算法, 在不同程度上克服了传统PID控制的缺点。

PID控制中, 比例控制 (P) 与偏差E同步输出, 但单纯比例控制存在稳态误差;积分控制 (I) 有利于消除静差, 但容易产生滞后;微分控制 (D) 能敏感出误差变化趋势, 但容易放大高频噪声。由于挖掘机作业存在间歇性和负载大幅度变化的特点, 部分作业过程所需功率远低于匹配点对应功率, 不适合采用积分控制, PD控制方式更为合适。

其PD控制微分方程为式1所示。

在经典PID中, 其比例系数Kp、微分系数Kd固定, 易产生一个很大的超调量, 使系统不停地震荡, 不完全适用整个动态过程。模糊自整定PID控制方式, 建立了偏差E、偏差变化率EC与PID系数Kp、Ki、Kd之间的模糊推理关系, 虽然减少了震荡的产生, 但K值在大、中、小之间转换时, 依然存在调节不连续的情况和瞬时震荡。连续变系数控制方式是在普通模糊自整定控制方式的基础上, 将K值由阶梯变化改为连续变化, 能够很好地克服普通模糊自整定控制方式存在的弊端。

综上所述, 本研究拟采用连续变系数PD控制, 即专家分析系统。首先, 先设定Kp (Kd类似) 的典型初始值, 如:Kp1、Kp2、Kp3、Kp4、Kp5、Kp6, 初始值的整定要经过实验测试, 并使Kp1、Kp2、Kp3、Kp4、Kp5、Kp6自拟合成Kp关于 (E、Ec) 的曲线关系, 系统在运行过程中根据E和Ec的输入情况在曲线中查找相应的Kp值, 输入到PD控制器中, 即使Kp值具有连续变系数性, 使运算更精确, 更具有适应性。其Kp值曲线简图为图2所示。

其中Kp1、Kp2、Kp3、Kp4、Kp5、Kp6为初始设定值, 即为图上的拐点。

2.2 系统构成

本系统通过安装在发动机上的转速传感器检测发动机转速, 并与设定的目标转速对比, 计算两者的差值E和差值变化率EC, 输入专家分析系统, 由专家系统制定合理的控制规则, 输出比例系数Kp、微分系数Kd, 经PD控制系统的运算后输出电流I, 通过主泵上的功率调节电磁比例阀控制主泵功率, 维持发动机稳定工作。图3为系统基本控制框图。

3 应用实例

为验证连续变系数PD节能系统的稳定性, 湖南江麓重工科技有限公司在CN330履带式液压挖掘机上进行了对比试验。试验方法:选用一台工作性能正常的CN330型号履带式液压挖掘机, 分别刷入模糊PID控制系统与连续变系数PD节能系统, 实验中采用统一的档位与负载, 进行提动臂动作, 然后采集主泵2的压力曲线 (主泵1规律相似, 不赘述) 和发动机转速的工作曲线, 其工作特性曲线分别如图4、5所示。

通过图4、图5可观察挖掘机载有连续变系数PD节能系统时, 启动更加平稳, 达到目标转速更迅速, 对干扰的抵抗力更强, 并且在作业中表现得更加稳定可靠。但由于控制器计算量增大, 受现有控制器硬件的限制, 运行精度略低, 后期可通过升级硬件来改善此情况。在硬件允许的条件下, 还可通过增加K值初始值、采用高次拟合的方式, 使K值模拟曲线更加精确。并还可通过采用动态初始值的方式, 来减免整定参数时的初始误差。

4 结语

在研究节能控制系统的基础上, 开发了一种新的连续变系数PD控制系统, 并通过测试验证, 证实该系统具有作业平稳、节能降耗的特点, 为挖掘机节能控制研究提供了一种新方法。

参考文献

[1]Masayuki Kagoshima, Masayyuki Komiyama, TaKao Nanjo, Development of New Hybrid Excavator[J], KOBELCO TECHNOLOGY REVIEW, 2007, (27) :78-83.