泰勒公式及其应用论文

关键词： 函数 公式

泰勒公式及其应用论文（精选10篇）

篇1：泰勒公式及其应用论文

目录

1.1泰勒公式的背景............（1）

1.2泰勒公式的意义...........（2）

1.3 不同类型的泰勒公式的余项的作用..........（5）

2.泰勒公式.......................（5）

2.1 带有皮亚诺余项的泰勒公式...............（6）

2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式...............（6）

3.二元函数的泰勒公式.................（8）

4.泰勒公式的应用................（10）

4.1 泰勒公式对于某些函数的应用................（10）

4.2用泰勒公式求极限...................（11）

4.3用泰勒公式求高阶导数...............（11）

4.4泰勒公式在证明不等式中的应用.........（12）

篇2：泰勒公式及其应用论文

摘要：本文通过对利用泰勒公式求解两道全国大学生数学竞赛题的分析，总结概括了泰勒公式在证明导数相关结论时的思考方法，为学生学习掌握泰勒公式提供了一种有效帮助.

关键词：泰勒公式;导数;证明

一、引言

在高等数学中，泰勒公式作为微分中值定理的一种推广，有着重要的应用，它提供了一种用导数值多项式近似表示一般函数的方法。泰勒展开为解决一些求解极限、判定级数敛散性、证明导数相关结论等问题提供了一种非常有效的方法。但是在学习过程中，很多同学觉得泰勒公式在证明等式和不等式中的运用比较难懂，特别是感觉技巧性太强，根本不会去联想到答案中的方法，总感觉有些方法是空穴来风。一般来说，泰勒公式的证明是有一定难度的，证明确实是有一定技巧性的，但这种技巧也并不是无迹可寻的，大部分的证明题所要证的结论和题干中的信息还是很具有暗示性的，如果能敏锐地观察到这些暗示信息，可能你就会找到突破口在哪里，焦点就在于这个泰勒公式展开到底在什么点展开，展开到几阶的问题。本文通过两道全国大学生数学竞赛试题分析泰勒公式在证明一些导数相关结论时的应用，为学生学习掌握泰勒公式提供一种帮助。

二、泰勒公式进行函数展开的定理

定理1 设函数f(x)在点x 的某个邻域内有直到n+1阶的导数，则对此邻域内任意点x均有

f(x)=f(x )+f ′(x )(x-x )+ (x-x ) +…+ (x-x ) +R (x) (1)

且 R (x)= (x-x ) (ξ介于x 与x之间) (2)

(1)式称为函数f(x)在x=x 处的泰勒公式或泰勒展开式，(2)式称为f(x)在x=x 处的拉格朗日余项。也可记R (x)=o(x-x ) ，称之为f(x)在x 处的皮阿诺余项。

特别地，在(1)式中令x =0则得到

f(x)=f(0)+f ′(0)x+ x +…+ x +R (x)

R (x)= x (ξ介于0与x之间)

称之为f(x)的麦克劳林(Maclaurin)展开式。

应用上面的定理可以将函数f(x)在一个合适的`点x 展开，从而完成关于一些导数结论的证明。下面从两道竞赛题来看。

三、两道全国大学生数学竞赛试题

例1(第三届全国大学生数学竞赛预赛)设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有连续的三阶导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f ′(0)=0，求证在开区间(-1，1)内至少存在一点x ，使得f ?苁(x )=3.

分析 结论是关于存在性的证明，并且是关于三阶导数，从而可以想到是应用泰勒公式，而且最好展开最高阶导数到三阶.题目条件中给出了函数在0点的一阶导数值，从而我们可以考虑将函数在0点展开，即考虑函数f(x)的麦克劳林展开式。结论中只出现了三阶导数，从而展开式中的前三项肯定经过适当处理化简掉。若注意到条件f(-1)=0，f(1)=1应该就不难想到是将点-1，1带入展开式中，两式相减即可。详细证明如下：

证 将函数f(x)应用麦克劳林公式展开，得

f (x)=f (0)+f ′(0)x+ x + x ，ξ介于0与x之间，x∈[-1，1]

在上式中分别取x=1和x=-1，再由f ′(0)=0得

1=f(1)=f(0)+ f ″(0)+ f ?苁(ξ )，0<ξ <1

0=f(-1)=f(0)+ f ″(0)+ f ?苁(ξ )，-1<ξ <0

上面两式相减，得

f ?苁(ξ )+f ?苁(ξ )=6

由于f ?苁(x)在闭区间[-1，1]上连续，因此f ?苁(x)在闭区间[ξ ，ξ ]上有最大值M和最小值m，从而

m≤ (f ?苁(ξ )+f ?苁(ξ ))≤M

再由连续函数的介值性定理，至少存在一点x ∈[ξ ，ξ ]?奂(-1，1)，使得

f(x )= (f ?苁(ξ )+f ?苁(ξ ))=3

例2(第五届全国大学生数学竞赛决赛)设f∈C (-∞，∞)，

f(x+h)=f(x)+f ′(x)h+ f ″(x+θh)h

其中θ是与x，h无关的常数，证明f是不超过三次的多项式。

分析 结论表面看起来与导数无关，但是证明f是不超过三次的多项式，我们很容易想到只要说明f的四阶导数等于零即可。另外条件已经出现了f(x+h)的泰勒公式，我们自然也就会沿着这一思路进行分析。但是条件只是展开到二阶导数，而证明我们的结论需要四阶导数，从而我们可以重新对函数f(x+h)进行四阶泰勒展开.之后想法说明f的四阶导数等于零。详细证明如下： 证 将f(x+h)在x点处泰勒展开

f(x+h)=f(x)+f ′(x)h+ f ″(x)h + f ?苁(x)h + f (ξ)h ①

其中ξ介于x与x+h之间。

再将f ″(x+θh)在x点处泰勒展开

f ″(x+θh)=f ″(x)+f ?苁(x)θh+ f (η)θ h ②

其中η介于x与x+θh之间。

由上面①②式及已知条件f(x+h)=f(x)+f ′(x)h+

f ″(x+θh)h 可得

4(1-3θ)f ?苁(x)=[6f (η)θ -f (ξ)]h

当θ≠ 时，令h→0得f ?苁(x)=0，此时f是不超过二次的多项式;

当θ= 时，有 f (η)=f (ξ)，令h→0，此时ξ→x，η→x，有f (x)=0

从而f是不超过三次的多项式。

四、应用举例

关于导数结论的证明的题目一般分为关于存在性和关于任意性的证明两类。由上面两道竞赛题来看，使用泰勒公式时关键是确定出对哪个函数在哪一点进行泰勒展开，展开到几阶导数。一般来讲，题目中有若有关于某点导数的信息，或者哪个点的导数值比较好确定，就将函数在这一点展开，若有给定点的函数值，就将这点代入展开式。下面我们再通过两道例题进行分析。

篇3：泰勒公式及其应用

多项式是函数中最简单的一种, 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用多项式表示函数.为了更好更方便的研究一些复杂的函数, 我们寻求更广泛的、更高精度的近似公式来表示, 这就引入了泰勒公式.

泰勒公式及其常见展开式

泰勒中值定理:若函数f (x) 在x0的某区间 (a, b) 内有直到 (n+1) 阶的导数, 则当x∈ (a, b) 时, f (x) 可表示为 (x-x0) 的一个多项式Pn (x) 和一个余项Rn (x) 之和:

undefined, 其中undefined介于x0与x之间) .

注 1.上式称为f (x) 按 (x-x0) 的幂展开到n阶的泰勒公式, Rn (x) 的表达式称为拉格朗日型余项;

2.当n=0时上式变为f (x) =f (x0) +f′ (ξ) (x-x0) (ξ介于x0与x之间) , 这就是拉格朗日公式;

3.若特别地, 取undefined, 这里undefined介于0与x之间) , 我们称为f (x) 的麦克劳林公式.

常见函数的展开式

undefined;

undefined;

undefined;

undefined;

undefined

泰勒公式的应用

一、利用泰勒公式求近似值

当要求的算式不能得出它的准确值时, 即只能求出近似值, 这时泰勒公式是解决这种问题的好方法.

例1 计算e准确到0.000001.

解 利用undefined,

得undefined

显然, 当n=10时, 可算得e约等于2.718282.

二、利用泰勒公式证明不等式

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物, 不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替, 往往使证明方便简捷.

例2 当x>0时, 证明:undefined

证明 取f (x) =ln (1+x) , 则undefined

代入泰勒公式, 其中n=0,

得undefined

其中0<ξ

三、利用泰勒展开式求极限

有时利用洛必达法则求待定型极限, 会遇到很复杂的计算, 而利用泰勒公式求极限却简单很多.

例3 求极限:undefined

解 由于分母sin3x～x3 (x→0) , 因此我们将分子用三阶麦克劳林公式表示:

undefined,

于是undefined,

故undefined

四、利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式

例4 求f (x) =ln (1+x) 的幂级数展开式.

解f (x) =ln (1+x) =undefinedundefined

五、利用泰勒公式估计导数的值

例5 已知函数f (x) 在[0, 1]上二阶可导, 当0≤x≤1时, |f (x) |<1, |f″ (x) |<2.试证:当0≤x≤1, |f′ (x) |≤3.

证明 由泰勒公式知,

undefined

undefined

摘要：本文简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式, 阐述了泰勒公式的应用.

关键词：泰勒公式,麦克劳林公式,拉格朗日

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上, 下) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

篇4：泰勒公式及其应用论文

关键词：压缩映射;不动点;微分;泰勒公式;近似计算

Abstract：We are difficult to calculate the accurate numbers of the results in production and life and scientific research，but can use approximate numbers to replace them within the limits of allowable error. In this paper，three methods of application for compress mapping theorem and differential and Taylor formula in approximation algorithm are showed.

Keywords：compress mapping;fixed point;differential;Taylor formula;approximation algorithm

一、压缩映射原理在近似计算中的应用

1 压缩映射原理

定义 （泛函分析中的定义）给定度量空间 及映射 ，若存在 ，使得 ，则称 为映射 的不动点，若存在正常数 ，使得对任给的 ，都有 成立，则称 是 上一个压缩映射.

定理 （巴拿赫压缩映射原理）设 为完备的度量空间， 是压缩映射，则 有且仅有一个不动点.

注 压缩映射是连续的.

注 空间 的完备条件是为了保证映射 的不动点存在.

定义 （高等数学上的定义）设 在闭区间 上有定义，方程 在 上的解被称为 在 上的不动点.若存在常数 ，使得 ，都有 成立，则称 是 上的压缩映射.

定理 设 是有界闭区间 上的压缩映射，那么函数 在闭区间 上存在唯一的不动点.

推论 如果函数 在闭区间 上可导，且 ，则函数 在闭区间 上存在唯一的不动点.

推论 如果函数 是 到自身的映射， 在 上连续，且 ，则函数 在 上存在唯一的不动点.

定理 设函数 是闭区间 上的压缩映射，且 ，而 ， ，对 ，有 ，则函数 在 上存在唯一的不动点 ，而且 .

注 若 非闭，函数 是压缩映射，但是函数 在 中的不动点未必存在.

2 在近似计算中的应用

例1 试用压缩映射的原理计算 的近似值.

解 注意到 是方程

的是实根，构造辅助函数

，

则任给 ，都有

，

可令

，

容易验证，当 时，有

，

，

所以 是压缩因子 的压缩映射.由于 是 中的有界闭集，故有 ，使得 进而可用迭代法求得 的近似值.

取 ，从而有

，

， ， ，

由上述说明可知

，

从而还可求出近似值与精确值之间的误差.

由上可知，巴拿赫不动点定理不仅能够证明一定条件下不动点的存在性和唯一性，而且提供了计算不动点的方法，即迭代法.一般地，我们可以从任意选取的一点初值出发，逐次作点列的迭代运算，其最终收敛到所求方程的解.这种方法又称为逐次逼近法，这也是计算数学中的一种重要方法.

二 微分公式在近似计算中的应用

1 微分的概念

定义 设函数 在某区间 内有定义，当自变量 在点 处产生一个改变量 （其中 ）时，函数的改变量 与 有下列关系

，

其中 是与 无关的常数，则称函数 在点 处可微，称 为函数 在点 处的微分，记为 .

注4 由可微与可导的关系，进一步可得

忽略掉高阶无穷小 ，有 .

2 在近似计算中的应用

例 2 试用微分计算 的近似值.

解 注意到 ，且 可直接开方得2，于是设函数

，

有

， 且 ，

取 给 一个增量 ，对应函数 增量

即 .

例 3 试用微分计算 的近似值

解 注意到 ，且 ，于是设函数

，

有

，

取 给 一个增量 ，对应函数 增量

即 .

由于近似公式 里，省略了高阶无穷小 ，因此，选择微分作近似计算时，误差取决于自变量的增量 ，随 的减小而减小.

三 泰勒公式在近似计算中的应用

1 泰勒中值定理

定理 （泰勒中值定理）如果函数 在含有点 的某个开区间 内具有直到 阶的导数，那么对于 ，有

称为 在点 处关于 的 阶泰勒公式.其中 （ 在 与 之间）稱为拉格朗日型余项.

注5 当 时， 是比 的高阶无穷小，故

.

注6 在泰勒中值定理中，若取 是，泰勒公式变成如下形式

，

称其为 的 阶麦克劳林公式.

2 在近似计算 中的应用

例4 应用 阶泰勒公式计算 的近似值.

解 注意到要计算 的近似值，需利用函数 在点 的 解泰勒公式而得到，由 阶泰勒公式

得到

误差 （ 在 与 之间）.

例5 应用 阶泰勒公式计算 的近似值.

解 注意到 与0很接近，因此应用函数 的3阶麦克劳林公式

得到

误差 （ 在 与 之间）

由泰勒公式可以观察到，利用泰勒公式作近似计算时，选取泰勒公式的阶数越高，近似计算的精确度越高.并且微分的近似计算公式就是一阶泰勒公式的特殊情况，因此微分近似计算的精确度并不高，但是在精确度要求不高的情况下，选择微分作近似计算更加简单.

参考文献：

[1] 刘炳初. 泛函分析[M]. 北京：科学出版社. 1998：3-22.

[2] 邓志颖，潘建辉. 巴拿赫不动点定理及其应用[J]. 高等数学研究，2013（4）：78-81

[3] 强文久，李元章，黄雯荣.数学分析基本概念与方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993：29-35.

[4] 刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义：上册[M]. 4版. 北京：高等教育出版社. 2003：57-60.

[5] 孔繁亮，张立斌，巨小维，朱捷，高等数学：上册[M]. 2版. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社. 2011：55-60.

[6] 同济大学数学系. 高等数学：上册[M]. 6版. 北京：高等教育出版社. 2008：139-144.

作者简介：

巨小维（1982-），女，山东临朐人，讲师，主要研究方向：非线性泛函分析。

篇5：二倍角公式及其应用

郴州综合职业中专

张文汉

教学目的：

引导学生导出二倍角的正弦、余弦以及正切公式并且能够熟练掌握其应用 教学重点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式 教学难点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式的变换及公式的应用，特别是逆应用公式 引入：

回顾正弦、余弦以及正切的和角公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin

tantantan1tantan

要求：

掌握三个公式的形式与结构并熟记公式 新授：

一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出

在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中

以“”代“”得二倍角的正弦、余弦以及正切公式如下：sin22sincos，cos2cos2sin2，tan22tan1tan2, 另外、根据sin2cos21可得二倍角的余弦的另外两个公式：

cos22cos21，cos212sin2.二、应用训练 ㈠、公式的正用：

已知cos34,1800,2700,求sin2、cos2的值.解：因为cos3,1800,2700,43132

所以，sin1cos2144,所以，sin22sincos21334439,82

cos22cos2123415.8㈡公式的反用：求下列各式的值

12sin22.50cos22.50

2sin150cos150 32cos222.5041sin25212

解1原式sin(222.50)sin45022.解2原式122sin150cos15011112sin300224 解3原式cos(222.50)cos45022.解4原式1212sin2515122cos6

11132cos62cos62234.㈢公式的灵活运用：化简或求值

1化简：21sin822cos8;2求值：cos2417cos17cos17cos817.sin2sin23已知tan222，且0,，求21的值.2cos4解1原式212sin4cos4222cos241

2sin4cos424cos24

2sin4cos42cos42sin42cos4.因为，sin4与cos4皆为负.248coscos1717171717 解2原式24sin17224844823sincoscoscos22sincoscos17171717171717 24sin24sin171788162sincossinsin()sin17171717171.1624sin24sin24sin24sin171717172tan解3：因为tan222,所以22, 21tan24sincoscos整理得：2tan2tan20,解之，得tan2或tan2, 22若0,，则tan，此时222 1sincostan1原式2223;cossintan1212tan121若,，则tan2，此时 原式322.tan1212

三、课堂练习

求下列各式的值：1sin67.50cos67.50;2sin750cos150.四、课堂小结：

1、二倍角公式的导出；

2、二倍角公式的熟练应用；

3、二倍角公式的灵活应用.五、作业：

已知等腰三角形的一个底角的正弦值等于0.6,求这个等腰三角形的顶角的正弦、余弦值.六、课后思考训练



1、求值：sin60sin420sin660sin780;

2、已知sincos2,,,求tan;2

22sinsin2

篇6：泰勒公式及其应用论文

一、教学内容：举一反三P39--P43

二、教学目标：等差数列三个公式及其应用

1、求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2

2、项数公式：项数＝（末项－首项）×公差＋1

3、通项公式：第N项＝首项＋（项数－1）×公差

三、教学难点：根据已知量和未知量，确定使用公式。

四、教学设计：

1、复习上节课内容。

2、由高斯小故事引入新课

【P41例题3】有这样一个数列： 1、2、3、4…99、100，请求出这个数列所有项的和。

【分析】：如果我们把1、2、3、4…99、100与列100、99…3、2、1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 总结：上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

那么我们来看看，什么叫数列，什么又是等差数列？【P39】

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，（即任意相邻两个数的差是一定的），后项与前项的差称为公差。

关于等差数列求和的问题，我们需要记住三个公式，即求和公式、通项公式和项数公式。这也是我们这节课的重点。

前面我们得出的是求和公式。练习：疯狂操练3：（1）、（2）

3、接下来我们来学习另外两个公式：“通项公式”和“项数公式”。

I、项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

【例题1】有一个数列：4、10、16、22…52，这个数列共有多少项？ 【分析】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是6，所以这是一个以4为首项，以公差为6的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。

由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习：疯狂操练1(1)、(2)、(3)

II、通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

【例题2】有一等差数列：3，7，11，15…这个等差数列的第100项是多少？ 【分析】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于4，所以这是一个以3为首项，以公差为4的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答。

由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得，第100项=3+4×（100－1）=399.练习：疯狂操练2(1)、(2)总结：在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这四个量中的三个，就可以利用三个公式求出第四个。

4、综合练习。

【例题4】求等差数列2，4，6…48，50的和。

【分析】仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。

因为首项是2，末项是50，公差是,2，所以,项数=（50－2）÷2+1=25。再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出

2+4+6+8+…+50=(2+50)×25÷2=650。

练习：疯狂操练4(1)、(2)总结：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。

5、能力升级。

【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

【分析】方法一：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。

被减数的项数=(100-2)÷2+1=50，所以被减数的总和=(2+100)×50÷2=2550;减数的项数=(99-1)÷2+1=50,所以减数的总和=(1+99)×50÷2=2500。所以原式=2550-2500=50。

方法二：进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1 =50 练习：疯狂操练5(1)

6、作业：

P42疯狂操练4（2）P42疯狂操练4（3）

篇7：泰勒公式及其应用

一、泰勒公式的提出及内容

不论在近似计算或理论分析中, 我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数, 这将会带来很大的方便。一般来说, 最简单的是多项式, 因为多项式是关于变量加、减、乘的运算, 但是, 怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢?

1.带有皮亚诺余项的泰勒公式

定理1:若函数f在点x0存在直至n阶导数, 则有f (x) =Tn (x) +0 ( (x-x0) n) , 即:

即函数f在点x0处的泰勒公式;Rn (x) =f (x) -Tn (x) 称为泰勒公式的余项。形如0 ( (x-x0) n) 的余项称为皮亚诺 (peano) 型余项。

注:泰勒公式x0=0的特殊情形———麦克劳林 (Maclauyin) 公式:

这个特殊形式的公式使用非常广泛, 在下面的例子中我们可以看出。

引申:定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y=f (x) 时余项大小的一种估计, 但这种估计只告诉我们当x→x0时, 误差是较 (x-x0) 高阶的无穷小量, 这是一种“定性”的说法, 并未从“量”上加以描述;也就是说, 当点给定时, 相应的误差到底有多大?这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来。为此, 我们有必要对余项作深入的讨论, 以便得到一个易于计算或估计误差的形式。

2.带有Lagrange型余项的Taylor公式

定理2: (泰勒) 若函数f在[a, b]上存在直至n阶的连续导函数, 在 (a, b) 内存在n+1阶导函数, 则对任意给定的x, x0∈[a, b], 至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得:

注:当n=0时, 泰勒公式即为拉格朗日公式, 所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广;当x0=0时, 则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式:

二、泰勒公式的应用

在数学分析中, 我们主要学习了泰勒公式在函数在指定点处展开及在近似计算方面的应用, 接下来我们将看到泰勒公式在极限运算、级数与广义积分的敛散性判断、确定无穷小量的阶与表达式中的常数、中值公式的证明、不等式的证明、估计及函数方程等方面的具体应用。

在应用泰勒公式时, 应注意选择适当的展开形式.有关近似计算的问题一般使用拉格朗日余项, 而涉及极限的问题一般使用皮亚诺余项.根据具体需要还应对其项数进行适当的取舍.下面举例说明泰勒公式在如上几个方面的具体应用方法:

1.计算近似值

例1.求姨82的近似值.

注:此题虽然也可以用微分法做近似计算, 但因公式为, 得出的结果误差较大.而应用泰勒公式做近似计算, 则可以根据具体误差要求来控制近似计算的精度.

2.确定无穷小量的阶与表达式中的常数

例2. (说明无穷小量的阶) 当x→0时, lncosx+是x的几阶无穷小?

所以当x→0时, lncosx+是x的4阶无穷小量。

3.证明中值公式

例3.设若f (x) 在[a, b]上有二阶导数, 试证:∃c∈ (a, b) 使得

证明:记x0=2a+b, 在Taylor展开式中f (x) =f (x0) +f′ (x0) (x-x0)

两端同时取[a, b]上的积分.注意右端第二项积分为0, 第三项积分由导数的介值性, 第一积分中值定理成立:埚c∈ (a, b) 使得

因此 (1) 式成立.

泰勒公式成功地将一些函数表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能使得泰勒公式成为分析和研究许多数学问题的有力杠杆, 这点可以从以上介绍的泰勒公式在极限运算、级数与广义积分的敛散性判断、确定无穷小量的阶与表达式中的常数、中值公式的证明、不等式的证明、估计及函数方程等方面的具体应用中体现出来。

对于广大数学爱好者及研究者而言, 我们有必要更加深入地探讨泰勒公式的应用, 用简单的例子说明其应用的方法, 并使其得到广泛的运用, 这样才能将抽象的泰勒公式学“活”.

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社, 1993-05:170-184.

[2]费定晖, 周学圣, 郭大钧, 等.吉米多维奇数学分析习题集题解.济南:山东科学技术出版社, 1999-09:336-362.

[3]安世全.泰勒公式及其研究[J].高等数学研究, 2001 (3) .

[4]王素芳, 陶荣, 张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用[J].洛阳理工学院学报:自然科学版, 2003 (02) :50-51.

[5]方继光, 项明寅.谈带皮亚诺余项的泰勒公式的应用[J].安庆师范学院学报:自然科学版, 2003 (02) .

篇8：用数学归纳法证明泰勒公式

1 引言

一般的高等数学教材中［1］都介绍了关于泰勒公式的如下两个命题：

命题1 带皮亚诺（Peano）余项的泰勒(Talor) 公式：

f(x)在［a,b］上具有n阶导数，则衳∈［a,b］有

f(x)=f(a)+f ′(a)(x-a)+f(2)(a)2!(x-a)2+…+f(n)(a)n!(x-a)琻+Rn(x)(1)

其中Rn(x)=o((x-a)琻),

即﹍imx→x0Rn(x)(x-x0)琻=0.

命题2 带拉格朗日（Langrange)余项的泰勒公式：

函数f(x)在x0的邻域内x∈U(x0)内n+1阶可导，对衳∈U(x0),靓巍剩踴0,x］使得f(x)=f(a)+f′(a)(x-a)+f(2)(a)2!(x-a)2+…+f(n)(a)n!(x-a)琻+Rn(x)(2)

其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1

两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数

公式（1）非普通的等式，而是反映了极限性质的渐进等式，因此公式（1）在求极限时很有用处，对余项可以提供充分小量的估计

公式（2）的余项有确定表达式，当然也有不确定因素，即有中值，但不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据

这两个命题的证明都需要多次使用柯西（cauchy）中值定理或者罗比达（LHospital）法则，非常繁琐本文给出泰勒公式的一个简洁的证明，给出的余项既可以进行误差的阶的估计，又可以进行近似计算

2 主要结果

引理1 f(x)在［a,b］上可导，且f ′(x)≥0,则f(x)≥f(a)，x∈［a,b］

证明：由于f ′(x)≥0,所以f(x)在［a,b］上递增，f(x)≥f(a)

推论1 f(x)和g(x)在［a,b］上可导，且ゝ ′(x)≥g ′(x)，

则f(x)-f(a)≥g(x)-g(a),x∈［a,b］

特别地f(a)=g(a)=0，则有f(x)≥g(x)，

x∈［a,b］

证明：令h(x)=f(x)-g(x)，对h(x)使用引理1

引理2 H(x)在［a,b］上可导，且有

（1）H(k)(a)=0,k=0,1,2,…，n-1,

（2）m≤H(n)(a)≤M，x∈［a,b］,

则有 m(x-a)琻n!≤H(x)≤M(x-a)琻n!.

证明：对n用数学归纳法证明

n=0时，显然成立

若已有m(x-a)琻n!′≤H ′(x)≤M(x-a)琻n!′，

由推论1得到m(x-a)琻n!≤H(x)≤M(x-a)琻n!

定理 若函数f(x)在［a,b］上n+1阶连续可导，则存在A和B，使得［a,b］中的任意x0和x，有下式成立

f(x)=f(x0)+f ′（x0)(x-x0)+f(2)(x0)2!(x-x0)2+…+

f(n)(x0)n!(x-x0)琻+Rn(x) （3）

其中Rn(x)介于A(x-x0)n+1(n+1)!和B(x-x0)n+1(n+1)!之间

特别地，若记M=max{|A|,|B|}，

则﹟Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!

证明：由于f(n+1)(x)连续，必有A≤f(n+1)(x)≤B

令Rn(x)=f(x)-f(x0)+f ′(x0)(x-x0)

+f(2)(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)琻，

则有：

（1）R(k)n(x0）=0，k=0,1，2，…，n

（2）A≤R(n+1)n(x)=f(n+1)(x)≤B

由引理2，有|Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!，M=max{|A|,|B|}

注：由|Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!，有Rn(x)=o((x-x0)琻),(x→x0)

因此，命题2可以看成定理的一个推论，但比较而言，定理的证明不需要较多的中值定理的知识，证明简单

由定理, 可以直接写出以下几个基本初等函数的泰勒公式：

1)e瑇=1+x+x22!+…+x琻n!+Rn(x)

2)sinx=x-x33!+x55!+…+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!+R2n(x)

3)cosx=1-x22!+x44!+…+(-1)nx2n(2n)!+R2n(x)

4)ln(1+x)=x-x22+x33+…+(-1)n-1x琻n+Rn(x)

5)(1+x)α=1+αx+α(α-1)2!x2+…+α(α-1)…(α-n+1)n!x琻+Rn(x)

6)11-x=1+x+x2+…+x琻+Rn(x)

3 应用举例

例1 求e的近似值，使得其误差<10-6

解 取f(x)=e瑇

由于e瑇在［0,1］上具有任意阶连续导数，且

|(e瑇)n+1|=|e瑇|≤e，所以M≤e，由公式（3）

e瑇=1+x+…+1n!x琻+Rn(x),

取x=1，有e≈1+1+12!+13!+…+1n!

|Rn(1)|≤M(n+1)!≤e(n+1)!<3(n+1)!取n=9，可得3(n+1)!<10-6，此时e≈2.718282即为所求

例2 求极限﹍imx→0sinx-xx3

解 由于sinx=x-x33！+R4（x)，因为﹟sin(n)x|=|sin(x+nπ2)|≤1

所以|R4(x)|≤x44!，因此R4(x)=o(x3)，所以

﹍imx→0sinx-xx3=﹍imx→0-x33!+o(x3)x3=-16

例3 证明二项式展开定理：(a+b)琻=∑nk=0C琸na琸bn-k.

证明：设函数f(x)=(x+b)琻,则函数f(x)存在任意阶的导函数

f(k)(x)=n(n-1)…(n-k+1)(x+b)n-k (k=0,1,…,n),

f(k)(0)=n(n-1)…(n-k+1)bn-k (k=0,1,…,n)

且f(n+1)(x)=0,由定理得

f(x)=f(0)+f ′(0)x+f ″(0)2!x2+…+f (n)(0)n!x琻

=∑nk=0f (k)(0)k!x琸

=∑nk=0n(n-1)…(n-k+1)bn-kk!x琸

=∑nk=0C琸nbn-kx琸

所以f(a)=∑nk=0C琸nbn-kx琸

又f(a)=(a+b)琻,所以(a+b)琻=∑nk=0C琸na琸bn-k.

参考文献

［1］ 高等数学第四版上册，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社

［2］ 数学分析第三版上册，华东师范大学数学系编，高等教育出版社

作者简介 迟炳荣（1972—），女，潍坊工商职业学院建筑工程系讲师，鲁东大学数学与信息学院教育硕士，主要从事高等数学教学研究

篇9：一元函数的泰勒公式及其应用

1泰勒公式的概述

若函数f ( x) 在x = a处n阶可导, 则函数f ( x) 可以表示成:

注:1. 若, 称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.

2. 若, 称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式.

3. 当a = 0时称为麦克劳林公式.

2泰勒公式的应用

2. 1用泰勒公式求未定式的极限

现设, 并已求得f ( x) 与g ( x) 的泰勒公式:

其中A≠0, B≠0, 则:

∞当f ( x) , g ( x) 的泰勒公式易求, 而f ( x) , g ( x) 的导数计算较复杂时, 可考虑用泰勒公式求此极限. 在应用此方法时, 必须熟记某些基本初等函数的泰勒公式.

例1. 求

解: 因

又, 所以

2. 2用泰勒公式确定无穷小量的阶

设, 如何用泰勒公式确定f ( x) 是x - a的几阶无穷小? 我们知道:

若, 则:

因此, f ( x) 是x - a的n阶无穷小.

例2. 确定常数a与b的值, 使当x→0时是x的5阶无穷小.

解:利用, 则:

不难看出, 应当设1 - a - b = 0与同时成立, 才能满足题设条件。由此可解得常数, 并且得到

2. 3用泰勒公式证明不等式

设f ( x) 有带拉格朗日余项的泰勒公式, 如三阶泰勒公式:

其中θ∈ (0, 1) 。若对余项能给出估计就可得到相应的不等式.

例3. 设0 < x <π/2, 证明:

证明:由带拉格朗日余项的泰勒公式:

则:

注意0 < x <π/2, , 则:

2. 4用泰勒公式的系数求f ( n) ( x0)

若利用间接求得泰勒公式:

则由此可求得:

例4. 求的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式, 并求

解

则

2.5用泰勒公式证明函数或导数存在某种特征点

当要证存在某些点使得它们的函数值或高阶导数值满足等式 ( 不等式) 或具有其他特性时, 也常用到泰勒公式, 所求的点常常是公式中的中间值。

例5. 设f ( x) 在[a, b]三次可微, 证明: ξ∈ ( a, b) , 使得:

证明:从要证明的结论来看, 可考虑在处展开泰勒公式,

其中. 两式相减得:

注意:届于之间, 由导函数取中间值定理, 可得:

, 使得, 因此结论得证.

本文就以上五个方面讨论了泰勒公式的应用, 使之内涵更加具体化, 利用其展开式及余项解决一些复杂的问题, 体现了泰勒公式在数学计算中的重要地位。

摘要：一元函数泰勒公式是研究数学应用问题的重要工具, 它建立了函数增量、自变量增量与高阶导数的关系。通过具体实例, 分析并探讨了泰勒公式的若干应用。

关键词：泰勒公式,极限,余项,无穷小量,不等式

参考文献

[1]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版社, 2008.208-211.

[2]孙贺琦.泰勒公式的一种推广[J].数学通报, 1994, (1) .

[3]余力, 刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用[J].高等数学研究, 2003, (6) :15-17.

篇10：泰勒公式及其应用论文

关键词：定理；椭圆；双曲线；离心率

求椭圆、双曲线离心率一般涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，可先找出含a，b，c的等式关系，再求离心率. 在教学过程中，笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果！现用定理的形式叙述并证明.

离心率公式

定理1（如图1）设椭圆+=1（a>b>0）的两个焦点为F1，F2，P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，在△PF1F2中，记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是椭圆的离心率，则有=e.

图1

证明在△PF1F2中，==，则=.

所以=?圯==e.

定理2（如图2）设双曲线-=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点，在△PF1F2中，记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是双曲线的离心率，则有=e.

图2

证明在△PF1F2中，==，则=.

=，

所以=?圯==e.

定理3（如图3）设A，B是椭圆+=1（a>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上异于A，B的任意一点，∠PAB=α，∠PBA=β，e是椭圆的离心率，则tanαtanβ=1－e2.

证明设P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）＝kPB=，

所以tanβ=－，

所以tanα•tanβ=－•= -.（1）

又+=1，所以y=b21-=（a2-x），代入（1），

所以tanα•tanβ=-•（a2-x）===1－e2.

定理4（如图4）设A，B是双曲线－=1（a>b>0）的实轴两端点，P是双曲线上异于A，B的任意一点，∠PAB=α，∠PBA=β，e是双曲线的离心率，则tanαtanβ=1－e2.

证明设P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）=kPB=，

所以tanβ=－，所以tanα•tanβ= －•=-.?摇 （2）

又-=1，y=b2-1=（x-a2），代入（2），

所以tanα•tanβ=-•（x-a2）= -=-=1－e2.

注：若椭圆、双曲线的焦点在y轴，或中心不在原点，同样得到相应的结论.

公式应用

例1如图5，正六边形ABCDEF的顶点A，D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B，C，E，F均在椭圆上，求椭圆的离心率.

图5

分析本题关键是从正六边形ABCDEF中找出一个内角都已知的椭圆的焦点三角形，如△EAD，这样可利用定

理1直接求解.

解析如图5，连结AE，易知∠AED=90°，∠DAE=30°，∠ADE=60°.

由定理1得e====－1.

点评：本题也可设出正六边形的边长，利用椭圆的定义进行求解.

例2（２００７安徽）如图6，F1和F2分别是双曲线-=1（a>0，b>0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A. B.

C. ?摇D. 1+

图6

分析解本题的关键是寻找一个内角都已知的双曲线的焦点三角形，如△AF1F2，这样可利用定理2直接求解.

解析如图6，连结AF1，由于△ABF2是正三角形，利用对称性得∠AF2F1=30°. 又因为F1F2是圆O的直径，所以∠F1AF2=90°，∠AF1F2=60°. 由定理2得

e====1+，故选D.

点评本题也可求出A点坐标－c，c，再将此坐标代入双曲线方程，且利用b2=c2－a2进行求解，比较麻烦.

例3（东北区三省四市２００８年第一次联合考试）椭圆的长轴为A1A2，B为短轴一端点，若∠A1BA2=120°，则椭圆的离心率为（）

解析由椭圆的对称性可知△A1BA2是等腰三角形. 又∠A1BA2=120°，所以∠BA1A2=∠BA2A1=30°. 由定理3得

tan∠BA1A2•tan∠BA2A1=1－e2，

即 tan30°•tan30°=1－e2?圯•=1－e2，e2=，所以e=，故选B.

点评本题也可由tan30°=，再利用e=求解.

例4设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为顶点且过点C的双曲线的离心率为 .

解析因为△ABC是等腰三角形，且∠ABC=120°，所以∠BAC=30°. 由定理4得

tan∠BAC•tan∠ABC=1－e2?圯tan30°•tan120°=1－e2?圯•（－）=1－e2，

?圯e2=2，所以e=.

点评本题也可设AB=BC=2a，求出C点坐标（2a，a），而后代入双曲线方程-=1（a>0，b>0），再利用e=求解.