线性方程

关键词：数据管理数学应用

线性方程（精选十篇）

线性方程篇1

Excel在统计学、数据管理等方面有着广泛的应用,但是很少有文献介绍它在数学中的应用Microsoft Excel有强大的数学运算能力,它能完成一些专业数学软件如MATHLAB,MATHCAD等才能做的事。

本文探讨利用Microsoft Excel求解线性方程组和非线性方程数值解法。

1 用Excel求解线性代数方程组

1.1 用Gauss消去法解方程组

使用Excel计算的具体操作步骤如图1:

(1)在第1行的单元格a1,b1,c1,d1依次输入变量x1,x2,x3和常数列b的记号,在区域a2:c4输入系数矩阵,在区域d2:d4输入常数列。

(2)用鼠标选中区域a2:d2,点击复制,粘贴到a6:d6;

在a7中输入公式:=a3-2*a2,选择a7,自动填充到d7;

在a8中输入公式:=a4-0.5*a2,选择a8,自动填充到d8;

(3)用鼠标选中区域a6:d6,点击复制,粘贴到a10:d10;

用鼠标选中区域a7:d7,点击复制,粘贴到a11:d11;

在a12中输入公式:=a8-0.625*a7,选择a12,自动填充到d12;

回代解得:x1=9,x2=-1,x3=-6。

以上步骤见图1:

1.2 用Gauss-seidel迭代法解方程组:

由于严格对角占优,所以用高斯—赛德尔法解此方程组收敛。

写出高斯—赛德尔法的分量形式:

,代入上边迭代公式:

使用Excel的过程是:

第一步打开Excel工作表,在A1中输入k,在B1中输入X1(k),在C1中输入X2(k),在D1中输入X3(k);在A2中输入初始值0,在B2中输入初始值0,在C2中输入初始值0,在D2中输入初始值0。

第二步在B3、C3、D3单元格分别输入迭代公式x1(k+1)=0.2x2(k)+0.3x3(k)+0.1,x2(k+1)=0.2x1(k+1)+0.1x3(k)+0.05、x3(k+1)=0.25x1(k+1)+0.25x3(k)+0.25,再将B3、C3、D3公式向下拷贝(选定B3、C3、D3,鼠标放在右下角成黑十字星后,按住鼠标左键向下拖曳到得到)。

用Excel结算结果如图2:

所以方程的近似解为X1=0.189655,X2=0.12069,X3=0.327586。

1.3 用Excel函数求解线性方程组:

使用Excel计算的具体操作步骤如下:

第一步求系数行列式的值

将系数行列式的元素依次输人到Al:D4区域中去。

选择单元格E1,单击“常用”工具栏中“fx函数”。

在“函数分类”中选择“数学与三角函数”类,然后选择MDETERM函数。

在“Array”输入框中输入区域Al:D4,单击“确定”按钮。

由结果得知该方程组系数行列式的值不为0。因此系数矩阵有逆矩阵,方程组有唯一解,下面求矩阵的逆。

第二步求矩阵的逆

根据数学知识,当一个矩阵所对应的行列式的值不为0时,则该矩阵一定存在逆矩阵,逆矩阵可以用MINVERS函数求得。

在表中再选4行4列的一个区域F1:I4,单击“常用”工具栏中“fx函数”按钮。

在“函数分类”栏中选择“数学与三角函数”类,然后选择MINVERS函数。

在“Array”输入框中输入区域Al:D4。

将光标定位在编辑栏中所输入公式的结尾处,然后同时按下Ctrl、Shift、Enter三个键,则在区域F1:I4中显示出矩阵A的逆矩阵。

第三步求方程的解,即矩阵的逆与列向量b的乘积:x=A-1b

再选定一个4行1列的区域J1:J4,将列向量b输入到该区域中去。

另选一个4行1列的区域K1:K4,单击“常用”工具栏中“fx函数”按钮。

在“函数分类”栏中选择“数学与三角函数”类,然后选择MMULT函数。

在“Array1”输人框中输人区域Fl:I4,在“Array2”输入框中输入区域J1:J4。

将光标定位在编辑栏中所输入公式的结尾处,然后同时按下Ctrl、Shift、Enter三个键,则区域KI:K4中显示出两个矩阵乘积结果,即方程的解:x1=-1.8;x2=0;x3=0;x4=-0.4。

以上步骤见图3:

公式说明:

MDETERM(array)返回一数组所代表的矩阵行列式的值;

MINVERS(array)返回一数组所代表的矩阵的逆;

MMULT(array1,array2)返回两数组矩阵的乘积,结果矩阵的行数与array1相等,列数与array2相等。

1.4 运用Excel的“规划求解”解线性方程组

操作步骤如下:

第一步打开Excel表格,在单元格按如下所示进行输入

在B1中输入公式:=A1+A2+A3+A4,

在B2中输入公式:=A1+2*A2-A3+4*A4,

在B3中输入公式:=2*A1-3*A2-A3-5*A4,

在B4中输入公式:=3*A1+A2+2*A3+11*A4。

第二步规划求解:点击“工具”菜单中的“规划求解”,出现规划求解参数对话框。

第三步选取目标单元格和可变单元格:在对话框中“设置目标单元格”的窗口中填入B1,在“等于”标签中点击“值为”单选框,并在窗口中输入5。在“可变单元格”中输入A1:A4。

第四步设置约束条件:在“约束”窗口中,点击添加按钮,在单元格引用位置输入B2,在“约束值”外输入-2,同上,分别将B3、B4输入-2、0。

以上步骤见图4:

第五步求解计算:按“求解”键,出现结果对话框。此时在A1-A4的位置上依次出现:1,2,3,-1。即原方程组的解为:X1=1,X2=2,X3=3,X4=-1。

2 用Excel求解非线性方程

2.1 用迭代法求方程x3-3x+1=0的实根近似值(精确到三位小数)

构造等价方程为:x=(x3+1)/3,取初始值为区间中间值,即x0=0.5。

使用Excel计算的具体操作步骤如下:

第一步打开Excel表格,在单元格按图5所示进行输入。

第二步在C2单元格中输入公式:=(B2~3+1)/3,然后拖动C2的“填充柄”,将C2填充到J2,可得如图6所示的结果。

从图6可知,当k>6时,x值已趋于稳定,因此,在保留3位有效数字的基础上,可得x=0.3473为方程在区间[0,1]的近似解。

2.2 求方程x=e-x在x=5附近的一个根

使用Excel计算的具体操作步骤如下:

第一步在A1处输入0.5。在B1处输入公式“=A1-EXP(-A1)”。

第二步单击“工具”中“单变量求解”,打开“单变量求解”对话框。

第三步在“目标单元格”中输入B1,在“目标值”中,输入0,在“可变单元格”中输入A1。单击“确定”按钮,此时图7中A1的值就是该方程的一个近似解。

3 结论

探讨了利用Excel求解线性方程组和非线性方程数值解法,详细演示了利用Excel求解线性方程组的Gauss消去法,Gauss—seidel迭代法,Excel函数法,Excel的“规划求解”方法,以及求解非线性方程的操作过程。Excel软件安装普及,图形显示方便,应用到数值计算的功能是强大的,亟待进一步开发。

摘要：文章探讨了利用Excel求解线性方程组和非线性方程数值解法,详细演示了利用Excel求解线性方程组的Gauss消去法,Gauss-seidel迭代法,Excel函数法,Excel的“规划求解”方法,以及求解非线性方程的操作过程。

关键词：Excel,线性方程组,消元法,迭代法,非线性方程

参考文献

[1]孙红艳,何丽娟,胡斌.Excel在数值计算中的应用[J].华北航天工业学院学报,2002,12(4):23-25.

[2]徐文秀.基于Excel的插值与拟合[J].水利与建筑工程学报,2007,5(1):86-89.

[3]王国枝.利用Excel解决数值计算问题的探讨[J].电力学报,2003,18(1):29-31.

[4]杨明波,卢建立.在Excel中实现用牛顿法求解非线性方程组[J].电脑学习,2006,(4):62-63.

[5]孙海东.Excel在数值计算方法方面的应用[J].软件世界,1999,11:23-25.

[6]周均应.用Excel进行数学实验的探索[J].浩陵师范学院,2003,6(1):131.

线性方程组教案篇2

章节题目： §3.1 线性方程组的消元解法；§3.2 向量与向量组的线性组合； §3.3 向量的线性相关性；§3.4向量组的秩；§3.5线性方程组解的结构；习题课学时分配：共12学时。

§3.1 线性方程组的消元解法；

3学时 §3.2 向量与向量组的线性组合 1.5学时 §3.3 向量的线性相关性

1.5学时； §3.4向量组的秩；

3学时 §3.5线性方程组解的结构；习题课

3学时本章教学目的与要求：：

目的：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系及线性方程组的求解方法。

要求

1）．理解线性方程组的消元解法与系数矩阵的初等变换的关系； 2）．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；

3）．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变换求矩阵秩的方法； 4）．掌握线性方程组有解的判定定理及应用； 5）．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；

课堂教学方案

课程名称：§3.1 线性方程组的消元解法

授课时数：3学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系，熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；

教学重点、难点：线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，消元法解线性方程组的具体做法，教学内容

§3.1 线性方程组的消元解法

现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为

a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxnb1,a2nxnb2,amnxnbm

(3.1)的方程组，aij(i1,2，m;j1,2，n)称为线性方程组的系数，bj(j1,2，m)称为常数项.系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数.其中x1,x2,,xn代表n个未知量，m是方程的个数，方程组中未知量的个数n与方程的个数m不一定相等.若记：

a11a12a21a22Aam1am2a1nx1b1a2nxb22

X

b

xamnbsna1na2namnb1b2

（3.2）bm而系数和常数项又可以排成下表：

a11a12a21a22Aam1am2显然AXb，实际上，有了(3.2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(3.1)就确定了，方程解的情况与采用什么文字来代表未知量没有关系.这里矩阵A称为线性方程组的系数矩阵，A 称为增广矩阵。

在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法。解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例1，解方程组

2x12x2x36,x12x24x33, 5x7xx28.231不难看出，在消去未知量的过程中，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

1.互换两个方程的位置，2.用一非零数乘某一方程； 3.把一个方程的倍数加到另一个方程。

以上三种变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.所谓方程组(3.1)的一个解就是指由n个数k1,k2,,kn组成的有序数组(k1,k2,,kn)，当x1,x2,,xn分别用k1,k2,,kn代入后，(3.1)中每个等式都变成恒等式.方程组(3.1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组

线性方程组有没有解完全取决于（3.1）的系数和常数项，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组的解就基本上确定了.显然，消元法求方程组解的过程就是相当于对线性方程组的增广矩阵反复施行初等变换的过程.线性方程组的初等变换对应于矩阵的初等行变换，因此，以下从矩阵的初等变换入手讨论方程的解。

定理3.1 线性方程组(3.1)的增广矩阵总可以通过矩阵的初等行变换和第一种列变换化为以下形式：

c11c120c210000c1rc2rcr,r1c1nc2ncrn0d1d2dr（3.3）dr10相应地，线性方程组(3.1)化为

c11x1c12x2c1rxrc1nxnd1,c22x2c2rxrc2nxnd2,crrxrcrnxndr,

（3.4）0d,r100,00.因此线性方程组（3.1）有解的充要条件是rA,brA，并且当rA,bn时方程组有唯一解，当rA,bn时有无穷多解。简要证明：对于方程组(3.1)，首先检查x1的系数.如果x1的系数a11,a21,,as1全为零，那么方程组(3.1)对x1没有任何限制，x1就可以取任何值，而方程组(3.1)可以看作x2,,xn的方程组来解.如果x1的系数不全为零，那么利用初等变换1，不妨设a110.利用初等变换3，分别把第一个方程的(i2,,n).于是方程组(3.1)就变成

a11x1a12x2a1nxnb1,x2a2nxnb2,a22

as2x2asnxnbs,ai1倍加到第i个方程a11其中

aijaijai1a1j,i2,,s,j2,,n a11相应的，增广矩阵的第一列除a110外，其余元素全变为0 这样，解方程组(3.1)的问题就归结为解方程组

x2a2nxnb2,a22

axaxbsnnns22的问题.这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为

c11x1c12x2c1rxrc1nxnd1,c22x2c2rxrc2nxnd2,crrxrcrnxndr,

(3.5)0d,r100,00.相应的矩阵为 c11c120c21 0000c1rc2rcr,r1c1nc2ncrn0d1d2dr(3.6)dr10其中cii0,i1,2,,r.方程组(3.5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(3.11)的解.而且(3.1)与(3.5)是同解的.现在考虑的解的情况.如(3.5)中有方程0dr1，而dr10.这时不管x1,x2,,xn取什么值都不能使它成为等式.故(3.5)无解，因而(1)无解.当dr1是零或(3.5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1）rn.这时阶梯形方程组为

c11x1c12x2c1nxnd1,c22x2c2nxnd2,

（3.7）cnnxndn,其中cii0,i1,2,,n.由最后一个方程开始，xn,xn1,,x1的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(3.7)的解也就是方程组(1)有唯一的解.2）rn.这时阶梯形方程组为

c11x1c12x2c1rxrc1,r1xr1c1nxnd1,c22x2c2rxrc2,r1xr1c2nxnd2, crrxrcr,r1xr1crnxndr,其中cii0,i1,2,,r.把它改写成

c11x1c12x2c1rxrd1c1,r1xr1c1nxn,c22x2c2rxrd2c2,r1xr1c2nxn,

(3.8)crrxrdrcr,r1xr1crnxn.由此可见，任给xr1,,xn一组值，就唯一地定出x1,x2,,xr的值，也就是定出方程组(3.8)的一个解.一般地，由(3.8)我们可以把x1,x2,,xr通过xr1,,xn表示出来，这样一组表达式称为方程组(3.1)的一般解，而xr1,,xn称为一组自由未知量.从这个例子看出，对线性方程组的增广矩阵实施初等变换，有时不一定是（3.5）的样子，但总可以适当调换矩阵的列，相当于同时交换方程组中某两个未知量的位置，这并不影响方程的解。以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.例2 解线性方程组

x15x2x3x41,x2xx3x3,1234 3x18x2x3x41,x19x23x37x47.例3 解线性方程组

x12x23x3x45,2x4xx3,124 x12x23x32x48,x12x29x35x421.课后作业：P152 1，3

课堂教学方案

课程名称： §3.2向量与向量组的线性相关性授课时数：1.5学时授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明教学内容

§3.2 向量与向量组的线性组合

（一）向量及其线性运算

定义3.1 所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组

(a1,a2,,an)

(1)ai称为向量(1)的第i分量.用小写希腊字母,,,来代表向量.向量通常是写成一行：

(a1,a2,,an).有时也可以写成一列：

b1b2.bn为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.如果n维向量

(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)的对应分量都相等，即

aibi(i1,2,,n).就称这两个向量是相等的，记作.分量全为零的向量(0,0,,0)称为零向量，记为0;向量(a1,a2,,an)称为向量(a1,a2,,an)的负向量，记为.定义3.2 向量

(a1b1,a2b2,,anbn)

称为向量

(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)的和，记为

定义3.3 设k为数域P中的数，向量(ka1,ka2,,kan)称为向量(a1,a2,,an)与数k的数量乘积，记为k

定义3.4 所有n维实向量的集合记为Rn，Rn的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为实n维向量空间.显然线性空间中元素满足以下规律：

交换律：

.(2)结合律：

()().(3)

0.(4)

()0.(5)k()kk，(6)(kl)kl，(7)k(l)(kl)，(8)

1.(9)(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：

00，(10)

(1)，(11)

k00.(12)如果k0,0，那么

k0.(13)例1．计算

11（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；

321（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）．

3例2．证明：如果

a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 0．

（二）向量组的线性组合

两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数k使

k.定义3.5 向量称为向量组1,2,的数k1,k2,,ks，使

k11k22如果有数域P中,s的一个线性组合，kss, ,s其中k1,k2,,ks叫做这个线性组合的系数.当向量是向量组1,2,的一个线性组合时，也说可以经向量组1,2，s线性表出.例如，任一个n维向量(a1,a2,,an)都是下面向量组的一个线性组合.1(1,0,,0),(0,1,,0),2 

n(0,0,,1)向量1,2,,n称为n维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合.a1jb1a2jb2定理3.3设，向量i（j1,2,abmmj组1,2，n），则向量可由向量,n线性表示的充要条件是：以1,2，n为列向量的矩阵与以1,2，n，为列向量的矩阵有相同的秩

若向量组1,2，s的中每一个向量i(i1,2,s,都)可以经向量组1,2，t线性表出，那么向量组1,2，s就称为可以经向量组1,2，t线性表出.定理3.4如果向量组1,2,组1,2，s可以经向量组1,2，t线性表出，向量,s可以,t可以经向量组1,2,,p线性表出，那么向量组1,2,经向量组1,2,,p线性表出.定义3.5如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.向量组之间等价具有以下性质：

1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.2）对称性：如果向量组1,2,,s与1,2,,t等价，那么向量组1,2,,t与1,2,,s等价.3）传递性：如果向量组1,2,,s与1,2,,t等价，1,2,,t与1,2,,p等价，那么向量组1,2,,s与1,2,,p等价.课后作业：P159 4，6（1），8

课堂教学方案

课程名称： §3.3向量组的线性相关性授课时数：1.5学时授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

§3.3向量组的线性相关性

定义3.7向量组1,2,,s(s1)称为线性相关的，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,,ks，使

k11k22kss0

如果当且仅当k1k2线性无关。

从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组1,2线性相关就表示

ks0上式成立，则称向量组,,,(s1)12s1k2或者2k1(这两个式子不一定能同时成立).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量1与2共线.三个向量1,2,3线性相关的几何意义就是它们共面.并且如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.不难看出，由n维单位向量1,2,,n组成的向量组是线性无关的.定理3.5 向量组1,2，n，其中

a1ja2jij1,2,amj,n，则1,2，n线性相关的充要条件是：以1,2，n为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n。

具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.向量组1,2，n线性相关齐次线性方程组x11x22xnn0有非零,n线,n解。或者说齐次线性方程组x11x22性无关。

推论1 设n个向量ia1j,a2j,线性相关的充要条件是：

a11a21an1a12a22an2xnn0只有零解1,2,，向量组1,2，n）,anj（j1,2,a1na2nann0

注：这里把1,2，n应理解为列向量。

也可以说向量组1,2，m线性相关A(12m)的秩小于向量个数m；向量组线性无关A(12m)的秩为m.从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n1维的向量组

i(ai1,ai2,,ain,ai,n1),i1,2,,s(5)也线性无关.例1 判断P3的向量

1(1,2,3),2(2,1,0),3(1,7,9)

是否线性相关。

例2 若向量组1,2,3线性无关，则向量组212,253,4331也线性无关.例3若向量1,2，m的部分组1,2，s(sm)线性相关,s线性无关。1,2，m线性相关。反之，1,2，m线性无关1,2,证：因为1,2，s线性相关，则存在不全为零的k1,k2,kss0s1,ks，使

k11k22则1,2,（2）记 kss0k110m0 ,m线性相关。

a1ja1j,(j1,j,jarjarjar1j,m)

若1,2，m线性无关1,2，m线性相关。,m线性无关。反之，若1,2，m线性相关1,2,证：1°记A(1,2,,m),B(1,2,m,，)显然r(A)r(B)，因为1,2，m线性无关，知r(A)m，因而r(B)m.2°因为B只有m列，所以r(B)m.由1°和2°知r(B)m，知1,2，m线性无关。,m，当nm时1,2，m线（3）m个n维向量组成的向量组1,2,性相关。

证：记Anm(1,相关。

（4）设向量组1,2，m)，因为nmr(Anm)nm，则1,2，m线性,m线性无关，1,2，m,线性相关可由1,2，m表示，且表示法唯一。

证：记A(1,2,1°因为1,2,2°因为1,2，m),B(1,2，m,)，显然r(A)r(B).,m线性无关，知r(A)m ,m,线性相关，知r(B)m1 ,m)xb有解且唯一。可由因此r(B)m，知，Ax(1,2,1,2，m表示，且表示法唯一。□

推论1 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关。定理3.6 如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.（二）关于线性组合与线性相关的定理

定理3.7 向量组1,2,,s(s2)，线性相关向量组1,2,,s中至少存在一个向量能由其余s1个向量线性表示。

定理3.8 设1,2,以由1,2,而向量1,2，s线性相关，则可,s线性无关，,s线性表示，且表示法唯一。,s与1,2，t是两个向量组.如果向量组定理3.9 设1,2,1,2，t可以经1,2，s线性表出，且ts，那么向量组1,2，t必线性相关.反之如果向量组1,2，t可以经向量组1,2，s线性表出，且1,2，t线性无关，那么ts.推论两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.例4（1）设1,2,3线性无关，证明1,12,123也线性无关；对n个线性无关向量组1,2,,n，以上命题是否成立？

（2）当1,2,3线性无关，证明112,223,313也线性无关，当1,2,,n线性无关时，12,23,,n1n,n1是否也线性无关？

解：令x11x22x330，代入整理得：.因为1,2,3线性无关，则应有

x30x10x1x2x2x30

（﹡）

(x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30 101101A110011B011001

r(A)r(B)3，所以（﹡）式只有零解，由定理5推论1知1,2,3线性无关。

例5 设在向量组1,2,,n中，10且每个i都不能表成它的前i1个向量1,2,,i1的线性组合，证明1,2,,n线性无关.例6 研究下面向量组的线性相关性

10112,2,230352

解：解法1.令k11k22k330，整理得 k3k12k12k23k15k22k3因为线性方程组的系数行列式

000

101002

所以方程组必有非零解，知1,2,3线性相关。

（2）解法2.由

101101行220022B352000 2235知1,2,3线性相关。□

小结：(1)若所给的向量为行向量，转置成列向量，再用上面的方法求解即可。（2）解法2一般说来比较好，今后尽可能用解法2.例7已知1,2,3线性无关，112，223，331，证明向量组1,2,3线性无关。

课后作业P160

11，13，15，16（1）

课堂教学方案

课程名称： §3.4 向量组的秩授课时数：3学时授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握向量组的秩的定义，掌握有关定理及推论教学重点、难点：向量组的秩的定义、有关定理及推论教学内容

（一）向量组的极大线性无关组

定义3.8 n维向量组1,2,,s的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.比如看R3的向量组

1(1,0,0),2(0,1,0),3(1,1,0)

在这里｛1,2｝线性无关，而312，所以｛1,2｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛1,3｝，｛2,3｝也都是向量组｛1,2,3｝的极大线性无关组.定理3.10如果 j1,j2，jr是1,2,,s的线性无关部分组，它是极大,jr线性表示。无关组的充要条件是1,2,,s中每一个向量都可由j1,j2,上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.（二）向量组的秩

一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.因此，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有

定义3.9 向量组1,2,,s的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.例如，矩阵

10A00的行向量组是

1321000014 501(1,1,3,1),2(0,2,1,4),3(0,0,0,5),4(0,0,0,0)

它的秩是3.它的列向量组是

1(1,0,0,0),2(1,2,0,0),3(3,1,0,0),4(1,4,5,0)

它的秩也是3.矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的.定理3.11 A为mn矩阵，rAr的充要条件是A的列（行）秩为r。推论：A的列秩与行秩相等。（因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.）

例1求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1),4(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。

例2设1,2,以经1,2，s与1,2，t是两个向量组.如果向量组1,2，s可,t线性表出，r1,2，sr1,2，t

定理3.11 设向量组1,2，s与1,2，t等价，则：

r1,2，sr1,2，t

例3 设A是数域F上mn矩阵，B是数域F上ns矩阵，于是

r(AB)min[r(A),r(B)]，即乘积的秩不超过各因子的秩.特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一个因子的秩。

课后作业P161

17，18，19

课堂教学方案

课程名称： §3.5 线性方程组解的结构授课时数：3学时授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：理解基础解系的概念，掌握线性方程组解的结构教学重点、难点：线性方程组解的结构教学内容

§3.5 线性方程组解的结构

设线性方程组为

a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxnb1,a2nxnb2,amnxnbm

当用初等行变换把增广矩阵A化成如下阶梯形

其中cii0,i1,2,c1100000c12c1r0000crr000c1nc2ncrn000c22c2rd1d2dr 000,r时方程组有解.以下讨论线性方程组解的结构。所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.首先讨论齐次线性方程组。

一、齐次线性方程组的解的结构设

a11x1a12x2axax211222 am1x1am2x2a1nxn0,a2nxn0,amnxn0(1)是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质： 1.两个解的和还是方程组的解.2.一个解的倍数还是方程组的解.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？

定义3.10 齐次线性方程组(1)的一组解1,2,,t称为(1)的一个基础解系，如果

1）(1)的任一个解都能表成1,2,,t的线性组合； 2）1,2,,t线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.定理3.13在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于nr，这里r表示系数矩阵的秩(nr是自由未知量的个数).设齐次线性方程组经过初等变换化为

x1k1,r1xr1xkx22,r1r1xrkr,r1xr1knx1x1k1r,x1r1n，xkxkx,2r,1r1n2n,2k1,nxn,k2,nxn,xr1krnx

即

xrkr,r1,n，xxr1r1kr,nxn.xr2xr2xnxn用矩阵表示即为：

k1,r1k1,r2x1kk2,r12,r2x2kkr,r1xr,r2xxrr1r201xr101xn00k1,nk2,nkr,nxn0

01k1,r1k1,r2kk2,r12,r2kkr,r1r,r2，记12100100x1x2则xnkk1122k1,nk2,nkr,n,r0称作原方程组的一个基础解系

01krr 二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2(2)as1x1as2x2asnxnbs的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1).齐次线性方程组(1)称为方程组(2)的导出组.方程组(2)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：

1.线性方程组(2)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2.线性方程组(2)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理3.14 如果是线性方程组(2)的一个特解，是其导出组的全部解，那么即为线性方程组(2)的全部解。

定理说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0是线性方程组(2)的一个特解，1,2,,nr是其导出组的一个基础解系，那么(2)的任一个解都可以表成

0k11k22knrnr

线性方程组的案例教学篇3

【关键词】线性方程组；案例教学

线性代数课程在大学数学中占有重要地位，这使得广大数学教育工作者对其教学内容，教书手法进行了大量的研究.就目前的大部分教学内容来看，过于强调数学的严谨性和系统性，缺少线性代数与实际相结合的教学.使学生对这门课程只是学会了一些理论，而不知道线性代数的实际应用。在国家大力倡导应用型人才培养的大背景下，这种情况是需要改变的。也就是在线性代数教学中，要适合地融入案例教学，以提高学生的实际运用水平和学习兴趣。本文作者就线性方程组的案例教学进行了这方面的尝试。

在32学时的线性代数教学中，线性方程组是核心内容，利用初等行变化求解线性方程组也是学生必须掌握的手法。但是讲完这章以后，作者发现学生只是会了求解线性方程组，往往对其实际应用很模糊，就慢慢地在教学中融入案例教学。让学生感到学有所用的同时，强化了学生的应用意识，培养学生应用能力，进而增强了学生对知识的掌握和理解。

本文将给出几个典型的线性方程组应用实例。

1. 人力资源分配问题

例1. 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数表所示。

设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？

解：设表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数，

这样我们建立如下的数学模型。

这本来是运筹学中的线性规划模型，在线性代数中，我们只考察约束条件，这和线性方程组非常相似，但是不一样。为了转化成方程组，首先引进6个变量让六个约束左边分别减去这六个变量，则得到如下线性方程组：。

2. 套裁下料问题

例2. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的需求切割后售出. 从钢管厂进货时得到原料钢管都是19m长. 现有一客户需要50根4m长，20根6m长和15根8m长的钢管，应如何下料最节省？

解：首先考察所有的下料方案，见[1]。通过下料方案可以引进7个变量。用表示按照第i种模式（i=1，2，…，7）切割的原料钢管的根数。这样我们建立如下的数学模型。

3. 生产计划问题

生产计划问题

例3.某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？

通过以上分析，可建立如下的数学模型：

目标函数： max=

约束条件：

为了转化成方程组，首先引进3个变量让三个约束左边分别减去这三个变量，则得

到如下线性方程组：

通过以上两个案例，就把线性方程组与实际问题联系起来了。使学生了解了线性方程组是如何应用于实际的，进而对这门课程的理论有了新的认识，提高了学习兴趣，从而增强了学生的应用意识。另外为了求解这些方程組，可以在教学中融入数学软件 Matlab、Mathematic，从而使学生更加觉着线性代数不仅有用，而且好学。

参考文献：

[1] 谢金星，薛毅. 优化建模与lindo/lingo软件[M]. 北京：清华大学出版社，2005.

[2] 黄玉梅. 应用型人才培养的《线性代数》课程教学改革探索[J]. 西南师范大学学报（自然科学版）， 2013， 38（11），157-161.

基金项目：

线性方程篇4

1.相关概念

定义1设V, W是数域F上的两个向量空间, 如果映射:τ:V→W满足

τ (aα+bβ) =aτ (α) +br (β) , α, β∈V, a, b∈F, 则称τ是V到W的一个线性映射.

定义2向量空间V在τ之下的象集是W的一个子集, 叫作τ的象, 记作Im (τ) , 即Im (τ) ={τ (α) |α∈V}.

定义3把W的零子空间{0}在τ之下的原象的集合, 叫作τ的核, 记作核 (τ) , 即核 (τ) ={α|α∈V, 且τ (α) =0}.

2.基本性质

设τ是数域F上向量空间V到向量空间W的一个线性映射.

性质1 Im (τ) 是V的一个子空间, 核 (τ) 是W的一个子空间.

性质2设α1, α2, …, αn是向量空间V的一个基,

则Im (τ) ={a1τ (α1) +a2τ (α2) +…+anτ (αn) |ai∈F, i=1, 2, …, n}=L (τ (α1) , τ (α2) , …, τ (αn) ) .

性质3设dim V=n, 则dim Im (τ) +dim核 (τ) =n.

以上性质在一般的高等代数教材中均有证明, 在此不予证明.

二、线性方程组理论

一般线性方程组的基本问题有三个:解的存在性、解的数量、解的结构.下面我们用线性映射的性质来解决这些问题.

设数域F上的n元线性方程组为

简记为AX=B, 其中A为 (1) 的系数矩阵, B= (b1, b2, …, bm) T, X= (X1, X2, …, Xn) T.

定义τ:α|→Aα, α= (a1, a2, …, an) T∈Fn.

由定义1容易得τ是向量空间Fn到Fm上的一个线性映射, 并且

τ (α) =Aα, α∈Fn;Im (τ) =L (A1, A2, …, An) ;dim Im (τ) =秩 (A) .其中, Ai= (a1i, a2i, …, ami) T∈Fm, (i=1, 2, …, n) , A= (A1, A2, …, An) .

1.齐次线性方程组AX=0的解及结构

由上述向量空间Fn到Fm上的一个线性映射τ的定义可知:对于α∈Fn, α是AX=0的解当且仅当α是核 (τ) 中的元素, 因此, AX=0的解集就是核 (τ) .于是, 我们有

当AX=0有非零解时, 设γ1, γ2, …, γs是向量空间核 (τ) 的一个基, 那么AX=0的全部解构成的集合为{a1γ1+a2γ2+…+asγs|ai∈F, i=1, 2, …, s}.

2.线性方程组AX=B的解及结构

AX=B有解, 则存在α∈Fn, 使得τ (α) =Aα=B∈Fm, 所以

设α0是AX=B的一个固定解, 对AX=B的任意解γ, 令α0-γ=β, 则β是AX=0的解, 所以, AX=B的解的集合是{α0+β|β∈核 (τ) }.于是

因此, 当线性方程组AX=B有无穷多个解时, 它有解集为:

3线性方程组典型习题解析篇5

3.1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1 基本概念

a11x1a12x2axax2112221、方程组 am1x1am2x2a1nb1a2nb2amnbm 

称为含n个未知量m个方程的线性方程组，i)倘若b1,b2,....,bm不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组；

ii)若b1=b2==bm0，则该线性方程组就是齐次线性方程组，a1nc1a2nc2amncma11x1a12x2axax21122

2这时，我们也把该方程组称为 am1x1am2x2的导出组，（其中c1,c2,...cm不全为零）

a11

2、记A=am1x1b1a1nxb22,x,b amnxnbm

则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式

Axba1ja2j

3、又若记 j,j1,2,amjn

则上述方程游客一写成向量形式

x11x22xb.nn 。同时，为了方便，我们记A(A,b)，称为线性方程组（*）的增广矩阵。3.1.2 线性方程组解的判断

1、齐次线性方程组Ax=0，（n=线性方程组中未知量的个数

对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它的解），i)那么，当r=秩(A)=n时，有唯一零解；

ii)当r=秩(A)

秩(A)<秩A(无解；)秩A()=有唯一解，n,秩(A)=A)秩=A()秩（秩A()<有无穷多解，且基础解系个数为n,-秩nA().秩(A)=秩A(不可能)秩(A)>3.1.3 线性方程组的解空间

1、齐次线性方程组的解空间

（作为线性方程组的一个特殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间）

定理：对于数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为

dim(W)=n-秩(A)=n-r，其中A是方程组的系数矩阵。那么，当齐次线性方程组[(*)--ii)] 有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的数目都等于n-秩(A)。

2、非齐次线性方程组的解空间

我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系，那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解0（称其为方程组特解）；然后在求对应的导出组的解空间（设该解空间的基础解系为1，2，...n-r），则(*)解空间的维数为n-r，且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为：

0+k11k22+...+kn-rn-r.................()

我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解.3.2 经典题型解析

1x1112

1、已知方程组23a2x23无解，试求a的取值

1a2x031112 解：方程组的增广矩阵A23a23（初等行变换不影响线性方程组的1a20解）

2111进行一系列的初等行变换01a10a2311002101aa(3a)(11 1)a3由于方程组无解秩(A)<秩(A),秩(A)<3(a3)(a1)0a3 或a1

i)当a3时，秩(A)=2=秩(A)，方程组又无穷多解； ii)当a1时，秩(A)=2<3=秩(A)，方程组无解综上可得，a1

易错提示：对方程组有解、无解时的条件把握不牢固；在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误。所以，我们在做题的过程中，一定要善于总结，通过练习找到自己的不足点。对于关于线性方程组解的判定、性质以及解的结构失无必要进行总结的，已做到深刻的理解与领悟。

2、设A为n阶方阵，r(A)=n-3，且1，2，3是Ax0的三个线性无关的解向量，则下面哪个是Ax0的基础解系()

(A)12，2,3.,131.(B)21,32(C)221,132,1.(D)1 3,,22 .233132解：由r(A)=n-3Ax0的基础解系个数为nr(A)=n-(n-3)=3

又因为1，2，3是Ax0的解，所以四个选项中的向量都是方程组的解，而我们只要验证看其是否线性无关即可，现在我们利用矩阵这里工具来进行求解：

101,31，，)110(1，，2)A 3

(12，231)=(23011101(21,32,13)=(1，2，3)110(1，2，3)B

0111011(221,32,13)=(1，2，3)210(1，2，3)C

21102101(123,32,123)=(1，2，3)110(1，2，3)D

112因为：A20,BCD0

所以，向量组12，23,31线性无关，而其余三个都是线性相关的，故选A。

评析：本题解法颇多，只要验证选项中的向量组线性无关即可，但上述方法是较为简单的方法，且不易出错；同时，我们可以看到，在解决一些有关向量组和线性方程组问题时，有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不是一种简便！

3、设1,2，s是齐次线性方程组AX0的一个基础解系。而1t11t22,2t12t23，st1st21，其中t1，t2是实数，问当t1，t2满足什么关系时，1,2,解：显然，1,2，s也是方程组AX0的基础解系？ ,s线性无关时，t1，t2,s为AX0的解，下证在1,2,应满足的关系。设k11k22kss0 k1(t11t22)k2(t12t23)ks1(t1s1t2s)ks(t1st21)0 (ks1t2k3t1)30(k1t1kst2)1(k1t2k2t1)2由1,2，3线性无关知

t1k1kst20tktk02112  t2ks1t1ks0由于1,2，s线性无关，此方程组只有零解，即

t1t2000t1t2000t10000t2t20s0t1s(1)s1t2 t1s故当t1s(1)s1t20时，即s为偶数时，t1t2，s为奇数时，t1t2，这时1,2，s为AX0的一个基础解系。

(1a)x1x2xn02x(2a)x2x012n4、设齐次线性方程组，(n2)，试问a为何值时， nx1nx2(na)xn0该方程组有非零解，并求其解。解：方法一

对系数矩阵进行初等行变换

111a2a22A333annn11a11122aa0033a0a0B nana00a（1）若a0，R(A)1，方程组有非零解，其同解方程为x1x2xn0

故其基础解系为

11,1,0,,0T，21,0,1,0,,0T，…n11,0，0,1

T所以方程组的通解为 k11k22kn1n1（k1,,kn1为任意常数）

（2）若a0，对矩阵B继续作初等行变换，有

1a111a2100B3010n0011n(n1)223n010001000 100当an(n1)时，R(A)n1n，方程组有非零解，其同解方程为

2x1x203x1x30得基础解系为1,2,,nT所以通解为k（k为 nx1xn012任意常数）

方法二

由于系数行列式

1a122aAnn12n(n1)n1aa

2na故当a0或an(n1)时，方程组有非零解。2111111222000（1）当a0时，有A故方程组的同解方

nnn000程为

x1x2xn0

由此行基础解系为

1(1,1,,0)T，2(1,0,1,,0)T，…，n1(1,0,,1)T

通解为k11k22kn1n1（k1,,kn1为任意常数）（2）当an(n1)时，对系数矩阵进行初等行变换，有 1211a2a2Ann11a1122aa0

na0ana001a110210210

n01n01故方程组的同解方程为

2x1x203x1x30  nx1xn0可得基础解系为(1,2,,n)T，故通解为k（k为任意常数）

5、求下述数域K上的非齐次线性方程组的解空间

x32x4，4x13x25

-2x1x23x3x47，-x7x9x4x2.2341解：

第一步，求解方程组的特解。为此，先求出它的一般解公式，4105135247进行一系列初等行变换21317015179420001175531 5500所以，方程组的一般解为

4117xxx,34155（其中x3，x4都是自由变量）

731xxx,234555由式可以推出方程组的一特解：

1751

0.500第二步，求导出组的一个基础解系。

由于原非齐次线性方程组的系数矩阵与其导出组的系数矩阵相同，因此，我们只要把原方程组一般解公式的常数项去掉，就可得到导出组的一般解。

41xxx4,3155



（其中x3，x4都是自由变量）

73xxx,23455从而得到导出组的一个基础解系

4171，2

5005第三步，写出非齐次线性方程组的解空间 ,1k2K

U0k1 1k22k评析：本题写出了求解一般非齐次线性方程组的最一般的解法及其步骤，作为线性方程组的最一般解法，我们是必须掌握的。

1241156、已知向量1=，2=，3，0132411a1x12x2a3x3a4x4d1,

是方程组4x1b2x23x3b4x4d2,的三个解，求该方程组的解。

3xcx5xcxd.2234431解：即方程组的系数矩阵为A，则 i)由已知条件知：2-1，31时相应的齐次线性方程组的两个线性无关的解向量

由4-r(A)2r(A)2

又系数矩阵A有二阶子式110

3系数矩阵A的秩r(A)2因此，由*）与**）r(A)=2

ii)由i)齐次线性方程组基础解系由2(4-r(A)=4-2=2)个解向量构成，即



2-1，31是齐次线性方程组的一基础解系

所以，该线性方程组得通解为：1+k1(2-1)+k2(31).易错提示：按常规思路，如果把三个解代入方程组先求其参数，再求通解，则计算是非常繁琐的，在限定时间内是很难达到很好的效果，有时这种方法也是行不通的；而倘若我们对方程组的性质与其解的结构都能够很好的理解，那么当遇到相关类型的题目时也就不至于困惑了。

x1x2kx34,

7、问k为何值时，线性方程组-x1kx2x3k2，有唯一解，无解，无穷多解？

xx2x4231并且，当有解时求出其所有解。

11k解：记线性方程组的系数矩阵为A，即A=1k1，则

11211k1(k4)(k，1)21k

A11i)

当A0，即k1且k4时，方程组有唯一解，我们用克莱姆法则求之，k22kk22k+42kx1，x2，x3。

k+1k+1k+1ii)

当k=-1时，11-141114方程组的增广矩阵A1-111初等行变换0005，1-12-40238r(A)=2<3=r(A)因此，方程组无解； iii)

当k=4时，11441030方程组的增广矩阵A14116初等行变换0114，1-12-40000

r(A)=2=(rA)，可知方程组有无穷多解，于是

3c03x3x13，令x3c，则通解为x4c，亦即x4c1。x2x34c01点评：本题属于含有参数变量的线性方程组问题，这类问题一直都是本章的一个重要考察点，务必要好好把握。

8、设有两个4元齐次线性方程组

（I）xxx30x1x20；（II）12

x2x40x2x3x40（1）求线性方程（I）的基础解系；

（2）试问方程组（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。解:（1）（I）的基础解系为

10,0,1,0T，21,1,0,1T

（2）关于共公解有下列方法：方法一

把（I）（II）联立起来直接求解，令

001111010101

A11100001110000101012000001000101

1200由nR(A)431，基础解系为1,1,2,1T，从而（I），（II）的全部公共解为k1,1,2,1T，（k为任意实数）

方法二

通过（I）与（II）各自的通解，寻找公共解。可求得（II）的基础解系为

10,1,1,0T，21,1,0,1T

则k11k22，L11L22分别为（I），（II）的通解。令其相等，即有

k10,0,1,0Tk2(1,1,0,1)TL10,1,1,0TL21,1,0,1T

由此得

k2,k2,k1,k2TL2,L1L2,L1,L2T

比较得

k1L12k22L2

故公共解为

2k20,0,1,0Tk21,1,0,1T

Tk21,1,2,1

方法三

把（I）的通解代入（II）中，在为其解时寻求k1，k2应满足的关系式而求出公共解。

由于k11k22k2,k2,k1,k2T，要是（II）的解，应满足（II）的方程，故

k2k2k10 kkk0122解出

k12k2，从而可求出公共解为 k21,1,2,1T。

非线性电子元件的线性处理及应用篇6

一、基本半导体器件的非线性问题

1.晶体二极管

图1给出了晶体二极管的电压——电流特性曲线,整条曲线BOD非常曲折,表明二极管是一种非线性器件。进一步观察发现,在正向特性段OAB,以及反向特性段OCD上,即把曲线分为两段来看,每一段呈现的非线性仍然显著。学生虽然在此前已经学习了电工基础课的直流电路部分,但对于这种非线性的导电特性,即电压与电流之间不再是欧姆定律所描述的那种正比例关系(U/I= R)。对于这个问题,笔者认为可以这样讲解:将二极管的电压电流特性曲线分为三部分,即导通段(AB部分)、截止段(AOC部分)、反向击穿段(CD部分)。截止段的电流可以忽略不计,二极管可看成开路;其它两段有个共同点,就是在局部范围内曲线都有接近直线的形状,即ΔU/ΔI近似为一常数。

2.晶体三极管

(1)如何让三极管工作在放大状态。三极管是一种电流控制型器件,图2为某三极管的输出特性曲线。假设曲线1对应的基极电流为零,则该曲线与UCE轴之间的区域为截止区,曲线10与IC轴之间的区域为饱和区,处在这两个区域之间的是放大区。由图可见,三极管工作在截止区时,IB≤0,IC≤ICEO,显然不具有电流放大作用;在饱和区的右侧边缘,所有的输出特性曲线全部重合在一起,也体现不出IB对IC的有效控制;只有在放大区时,每一个不同数值的IB,都会有一个不同数值的IC与之对应,且IB越大,IC也越大,充分体现了IB对IC的控制作用,即三极管此时具有电流放大作用。因此,在模拟电路中只要给发射结加上正向电压使IB>0,给集电结加反向电压使UCE>>UBE,即工作区远离纵轴和横轴,处于第一象限的腹地,则三极管各极电流满足IC =IB。三极管的放大条件,可以简单地概括成两句话:发射结正偏,集电结反偏。以上分析表明,只要合理设置三极管的工作电压,就能使三极管特性曲线中的线性部分得到充分运用,实现电流按比例放大,而非线性部分却被避开。

(2)如何提高三极管放大的线性度。这里的放大线性,是指三极管在放大状态下,交流电流放大系数的稳定性。影响值稳定性的因素主要有两个:环境温度的变化、三极管在动态时IC的大范围变化。

首先,环境温度变化的影响。当温度升高时,值将会增大,集电极电流静态值ICQ随之增大,从而导致电路的电压放大倍数也增大。在实际应用中,放大电路通过引入直流负反馈,实现静态工作点的稳定。

其次,值与IC变化的关系。在图2中,三极管相邻两条输出特性曲线的纵向间隔大小,反映了三极管值的大小。当三极管工作在曲线4到曲线6之间的区域时,曲线间隔较为均匀,即三极管的值为恒定值;在该区域以上及以下的部分,曲线间隔都显得更小。由此可以给出一定温度下的—IC关系图,如图3所示。为了充分发挥管子的放大能力,并保持值相对稳定,三极管的集电极静态工作电流应选为集电极最大允许电流ICM的一半左右,电路的动态范围也不宜过大。因此,为避免三极管的值产生较大波动,应使三极管的工作点变化范围尽量小一些,并根据放大电路输出动态范围的要求,选择电流容量合适的三极管。

二、放大电路中非线性问题的解决对策

图4是一个典型的共发射极放大电路,设输入电压为Ui,发射结上的交流电压降为Ube,基极电流的交流分量为ib,集电极电流的交流分量为ic,集—射间交流电压为Uce,输出交流电压为Uo。则交流信号的放大过程可分析如下:

1.Ui→Ube

Ui加在电容C1与三极管发射结构成的串联回路两端,带来又一个非线性问题:电容的容抗是与信号频率成反比的,因此Ube与Ui的关系将是一个与频率相关的复数函数,分析起来很复杂。其实,在选择电路元件参数时,已经提供了简化分析的可行性:对于频率高于1kHz的交流信号,电容C1的容抗远小于三极管发射结的交流等效电阻Rbe;若忽略C1上的交流压降,则Ube与Ui近似相等,即Ube≈Ui。

2.Ube→ib

如前所述,在合理设置三极管静态工件点的前提下,ib与Ube可认为符合正比例关系,三极管b、e间的交流阻抗Rbe为一常数,则ib=Ube/Rbe。

3.ib→ic

三极管在小信号放大状态下,工作点变化范围不大,其β值可看作常数,故ic=ib。

4.ic→Uce

根据KVL定律,有UCE=UCC-icRC;根据UCE=UCEQ+Uce,UCEQ=UCC-ICQRC,ic=ICQ+ ic,可推得Uce=-icRC。

5.Uce→Uo

与信号输入回路相比,电容C2的交流容抗小于C1;三极管集—射间的交流阻抗Rce远大于Rbe。因此,同样可以忽略C2的容抗,得出Uo=Uce。

将以上算式合并、化简,可得Uo=-RC/Rbe。

在上述五个分析步骤中,除第4步外,都进行了近似处理:第2步是对三极管的输入特性进行线性处理;第3步是对三极管的输出特性进行线性处理;第1、5步则是将耦合电容器看作短路,否则不仅要考虑分压问题,还要考虑相位上的影响,复杂程度将大大增加。

线性方程篇7

对于Δ≥0的情况, 很多研究已经给出, 下面考虑Δ<0即p2+4q<0, 则r2=pr+q有一对共轭复根;差分方程出现复数域的幂函数, 根据复变函数相关书籍可知, 差分方程出现幂函数仍然是有意义的, 且其相关定义规定可作为实数 (特别是x取自然数仍保持其相关性质) 的推广;故

解得:即{an}通项公式为:

( 1) 二阶常系数线性微分方程的通解

问题: 求二阶常系数线性微分方程y″ = py' + qy的通解?已有文献给出:

记的特征方程, 令 Δ = p2+ 4q, 则有

(Ⅰ) Δ>0, 两个不同实根通解为

(Ⅱ) Δ=0, 两个相同实根r1, 2=p/2, 通解为: (C1, C2为任意常数)

(Ⅲ) Δ<0, 共轭复根通解为: (C1, C2为任意常数)

( 2) 两者的关系

对于特征方程是共轭复根的情况, 一般地将微分方程通过欧拉公式处理成三角函数, 处理之前的形式为从上述结论可以看出:二阶线性数列的通项公式与二阶常系数线性微分方程通解具有类似的特点.记方程r2=pr+q为两者的特征方程, 方程r2=pr+q的根为特征根, 通项公式与通解的推导过程与结果形式均是相似的.对于高阶的常系数齐次线性微分方程 (二阶的推广) 的通解有一般的形式, 那么高阶的线性递推数列是否有类似的结论呢.

一、高阶线性递推数列的通项公式与高阶常系数线性微分方程的通解

对于高阶常系数线性微分方程的通解是通过线性微分方程组求出的, 其推导过程用到了矩阵的特征多项式与矩阵特征根; 在这里, 我们也可以用矩阵对角化的方法获得高阶线性递推数列的通项公式, 具体的过程可以参考文献[1] ( 文献给出的结果适用没有重根的情况) ; 下面运用类似的思想猜测并用差分方程的方法推导高阶线性递推数列的通项公式.

问题: 已知数列{ an} ( n = 0, 1, 2, …) 前k项为a0, a1, …, ak -1并且满足如下:

其中k≥2为阶数, ai, bi∈C (i=0, 1, …, k-1) 为常数, 求{an}的通项公式?

构造差分方程记此方程为数列{an}的特征方程.根据复系数多项式唯一因式分解定理可知:特征方程有k个复根 (包括重根, 重根按重数计) , 令:多项式g (r) 具有如下标准分解式:其中, ri (i=1, …, m) 为不同的复数, di (i=1, …, m) 是正整数, 且即ri是特征方程的根, di是对应的根ri的重数;特别地, 重数等于1时, 对应的根是单根.

( Ⅰ) 当di全部等于1, 即特征方程有k个单根时, 则

代入f ( i) = ai ( i = 0, 1, …, k - 1) 可得线性方程组:

所以, {an} 通项公式为:

( Ⅱ) 当存在di> 1 时, 即特征方程有重根时, 不防设di>1, 先证如下di个线性无关的函数均满足原差分方程:

将f1 (x) =x0rxi代入原差分方程可得:rxi (rki-bk-1rk-1i-…-b1r1i-b0r0i) =0 (只须证此式是恒等式) , 由于g (ri) =rkibk-1rk-1i-…-b1r1i-b0r0i=0, 即f1 (x) 满足差分方程;将fd1 (x) =xdi-1rxi代入原差分方程可得:

由计算可知:fdi (x) 也满足原差分方程.

综上可得结论:特征方程rk=bk-1rk-1+…+b1r1+b0r0存在k个复根:ri (di重) , 其中di为正整数, 且, 那么函数满足差分方程

下面代入前k项, 得到线性方程组RC=A, 其中:

由于R为广义范德蒙行列式[2], ri≠0 (由b0≠0得, 若b0=0则数列可降阶) 且互不相等, 所以, 即R可逆, 所以线性方程组存在唯一解C=R-1A.所以通项公式为:

二、总结

(1) 线性递推数列与常系数微分方程的特征方程存在对应的关系, 通项公式与通解的形式完全类似, 包括特征方程有重根的情况.

(2) 平分复平面单位圆的复根可用于“控制”周期的循环数列.

参考文献

[1]张智广, 闫立梅.一类线性递归数列通项公式的证明和应用[J].长春师范学院学报, 2007 (4) :46.

利用EXCEL确定线性相关方程篇8

在生产和科学研究工作中,经常要研究两个或几个变量之间的关系。数理统计中研究几个变量之间关系最基本的是回归分析和相关分析。常用相关系数r来度量相关程度,用线性方程来描述变量之间的数学关系,常用的线性方程数学表达式为:

式中:k,b为参数

使用者较多使用的参数估计方法是单方向最小二乘回归法。根据实测样本可估算出k、b,从而确定y倚x的回归方程。此方程的目的是要确定因变量和自变量之间变化的趋势函数,因变量和自变量的地位是不可变更的,求出的方程带有方向性,因坐标选取不同而有差异。鉴于此,最小距离平方和法和最小面积和法避免了这个麻烦,它们所确定的方程与坐标选取无关,是经实践证明了的两种有效方法。

Excel是微软公司出品的Office系列办公软件中的一个组件,确切地说,它是一个电子表格软件,可以用来制作电子表格、完成许多复杂的数据运算,进行数据的分析和预测并且具有强大的制作图表的功能。本文通过算例,主要利用EXCEL软件的绘图跟计算功能解决日常学习和工作中遇到的相关计算问题。

2 最小距离平方和法

线性方程误差估算公式

式中:di为点(xi,yi)到相关直线的距离经过复杂的数学推导,可得

式中:kx,ky分别为y向、x向最小二乘法斜率,r为相关系数。

3 最小面积和法

线性误差估算公式

式中:为xi,yi的估计值

(12)式可写成

经过复杂的推导可得

下面通过算例来具体说明利用EXCEL,应用三种方法如何确定相关方程。

4 算例

取蚌埠站和怀远站的年降雨量值,如表1。

4.1 单方向最小二乘回归法

在EXCEL表中输入这两列数据,鼠标点击“插入”,选择“图表”,选择“xy散点图”,根据提示绘出x与y的相关关系散点图。在散点图上点击某散点,点击鼠标右键,选择“添加趋势线(R)…”,在“类型”标签上选择“线性”,在“选项”标签上选择“显示公式(E)”和“显示R平方值(R)”两个复选框,点击“确定”,自动绘出趋势线。相关系数r=0.90。

此方程为y倚x的回归方程。

把两个系列数据掉换,用上述方法就得出又一回归方程

单位:mm

此方程为x倚y的回归方程。

4.2 最小距离平方和法

根据回归方程式(18)结合式(11)计算得出参数k。再根据式(3),求出参数b。因此得出最小距离平方和法的相关方程

4.3 最小面积和法

在EXCEL表中输入这两列数据,求出各列的均值,在原始数据系列旁计算再分别对此求和。利用式(16)、(17)求出参数k、b,得出最小面积和法的相关方程

5 结语

单方向最小二乘回归法利用EXCEL直接绘出图表,得出回归方程。

最小距离平方和法利用与单方向最小二乘法参数的关系,同样得出自己的相关方程。

最小面积和法利用EXCEL的计算功能,通过计算2个公式,求出相应的相关方程。

总的来说,EXCEL软件在相关统计中还是有很大用处的,体现了其方便快捷的优越性。

摘要：文章介绍了如何利用EXCEL软件,分别运用三种方法:单方向最小二乘法、最小距离平方和法和最小面积和法来确定线性相关方程。

关键词：EXCEL,相关方程,最小二乘,最小距离,最小面积

参考文献

[1] 汪荣鑫编.数理统计[M].西安:西安交通大学出版社.1996.

[2] 朱春龙,杨诚芳.建立线性相关方程的最小距离平方和法[J].人民长江.2001.

[3] 金光炎编.水文统计计算[M].北京:水利水电出版社.1985.

求解微分方程的线性多步法篇9

将区间[0, T]作N等分，小区间的长度h=T/N称为步长，点列tn=nh (n=0, 1，…，N)称为节点，t0=0。由已知初值u (t0)=u0，可算出u (t)在t=t0的导数值u′(t0)=f (t0, u (t0))=f (t0, u0)。利用Taylor展式得u1=u0+hf (t0, u0), u1就是u (t1)的近似值。利用u1又可算出u2，如此下去可算出u在所有结点上的值，一般递推公式为un+1=un+hf (tn, un) , n=0, 1, …, N-1。由文献知求解该类方程

由文献[1]知，求解该类方程分为单步法和多步法。只要利用h, tm和um即可算出um+1的算法称为单步方法，单步法包括Euler法、梯形法、Runge-kutta法，其一般形式为um+1=um+hφ(tm, um h)，函数φ称为增量函数，它依赖于所给的微分方程。用单步法求出{φm}，m=1, 2，…，N只需要一个初值u0。

需要用到h, tm, tm+1，…，tm+k-1和h, um, um+1，…，um+k-1才能求出um+k (k>1)的算法称为多步方法，线性多步法包括数值积分法和待定系数法，其一般形式为，这里αj，βj (j=0, 1, K, k)是常数，它需要有k个初值u0, u1，…，uk-1才能得到整个序列{um}，m=1, 2，…，N。

2. 线性多步法的改进

常微分方程初值问题只给我们提供了一个初值，但线性k步方法需要k个初始值u0, u1，…，uk-1，所以这其余的k-1个初始值就要通过其他方法来先期得到。最容易想到的是采用简单的单步方法，如Euler方法，或改进的Euler法，但它们的收敛阶较低。为保证整个计算的精度，我们应使初始值的计算精度至少与所用的线性多步方法同阶。

因此，若使用的线性多步方法为q阶[2]，[3]的，可以用q阶Taylor展开方法或Runge-kutta方法来求u0, u1，…，uk-1，然后进入正式的求解过程。用Taylor展开确定初始值的同时还能得到关于选择h的信息。如要求计算误差不超过ε，则应使

同时成立。当微商次数增大时，计算量也将急速增大，因此利用低阶微商构造高精度的方法对实际计算是很有意义的，对u (tn+1)=u (tn)+蘩ntn+1u′(t) dt利用u′(t)在点tn+1, tn处的函数值及其各阶导数值构造Hernite型插值多项式，再代积分，舍去误差项即可得到带导数值的计算公式。

对隐式的计算格式一般采用迭代解法，将隐式线性多步方法改写成

由于Fm是已知的，于是(2)式可用迭代法求解。

无疑是十分重要的，很自然的想法是用显格式算出un+k (0)———这称为预测，再用隐格式进行迭代求un+k———这称为校正，因此整个过程称为预测—校正算法[4]，简称PC算法。显然，预测的P式与校正的C式的阶一般应取成相同的。

预测—校正算法求un+k的过程一般如下：

由于使用了同阶的预测公式求得初始近似un+k (0)，因此一般说来校正次数不会太多，大约两三次就够了。若校正步数太多则往往提示步长过大，应适当减小步长后再进行计算。实际计算中经常利用算式与算式同阶的特点，对(3)式再作一些修正。用线性组合的方法消去每个格式中的截断误差主项。仅花费很小的代价就使方法的精度再提高一阶，从而不需要再通过迭代来改善计算的近似值。

设预测算式和校正算式的局部截断误差分别为

整理后分别得到：

这两个式子告诉我们，在求(un+k (c)和un+k (p))后，再利用它们的局部截断误差[5]，[6]的主项系数的某种组合对它们进行修正，可使得修正后的局部截断误差比原来高一阶，即达到o (hq+2)。这里被称为修正系数。

直接按照(5)式对un+k (p)进行修正是不行的，因为此时的un+k (c)还没有算出。但是，在计算un+k的近似值时，un+k-1已经算出来了，因此u (c) n+k-1和u (p) n+k-1也都已经有了，这时可以用u (c) n+k-1-u (p) n+k-1去代替(5)中的un+k (c)-un+k (p)。

综上所述，我们可以将带修正的预测—校正算法的一般形式表示如下：

在多步方法中，改善步长将带来一个新问题，就是结点变了。在预期结点处已经算出的近似值，对于计算当前结点说，很多都用不上了，而在以新步长为单位的结点处，往往没有计算过相应的近似函数值。在使用的方法中，一般采用值的方法去补上所需的这些点上的近似值再进行计算。

下面给出几种常用的带修正的预测—校正算法。

(1) Milne预校算法。Hamming针对Milne算法绝对不稳提出了如下修正：

P和C均为四阶方法，M1和M2中的修正系数分别为

(2) Hamming预校算法。该预校算法的P式和C式分别为：P∶与Milne预校算法相同。

P和C也均为四阶方法，M1和M2中的修正系数分别为

(3) Adams四阶预校算法。此算法中的P算式和C算式分别为：P∶Adams四步四阶外插公式。P∶Adams三步四阶内插公式。

M1和M2中的修正系数分别为270251和-19270。理论研究表明，这个算法的稳定性比前两个算法好，是常用的预校算法。

3. 结语

针对微分方程初值问题的线性多步法，我们利用局部截断误差的主项系数的某种组合对其进行修正，使修正后的局部截断误差比原来高一阶，即达到o (hq+2)，并给出了带修正的预测—校正算法的一般形式，见文中(7)式。

摘要：微分方程初值问题的求解一直是人们所关注的热点问题, 本文针对微分方程初值问题的线性多步法, 利用它们的局部截断误差的主项系数的某种组合对它们进行修正, 提出了预测—校正算法, 并给出了几种常用的预测—校正算法。

关键词：微分方程,初值问题,线性多步法

参考文献

[1]李立康, 於崇华, 朱政华编著.微分方程数值解法[M].复旦大学出版社, 2005.

[2]胡健伟.微分方程数值方法[M].科学出版社, 1999.

[3]李荣华.微分方程数值解法 (第三版) [M].高等教育出版社, 1996.

[4]Dennis G.Zill编著.微分方程与边界值问题[M].机械工业出版社, 2003.

[5]黄振侃.编著.数值计算——微分方程数值解[M].北京工业大学出版社, 2006.

非线性代数方程的探讨篇10

非线性方程组的求解乃是非线性科学的核心;很多来自工程、机械、科学研究等的实际问题最终都化为求解一个非线性方程组;而非线性方程组的求解, 是一个至今没有彻底解决的数学问题;特别地, 来自工程、机械等的几何约束问题, 最终都将产生一个非线性方程组, 且该方程组中方程和未知量的个数都非常多, 且往往其中的未知量的次数还非常高.因此, 解决这些几何约束问题极其困难.

二、非线性代数方程

线性代数是数学的一个分支, 它的研究对象是向量, 向量空间 (或称线性空间) , 线性变换和有限维的线性方程组.向量空间是现代数学的一个重要课题;因而, 线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几何, 线性代数得以被具体表示.线性代数的理论已被泛化为算子理论.由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型, 使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中.

而顾名思义, 非线性代数就是把线性代数的一些基本对象推广到非线性情形.

三、非线性代数方程求解

非线性代数方程的求根方法很多, 常用的有牛顿迭代法, 但该方法需要求原方程的导数, 而在实际运算中这一条件有时是不能满足的, 所以又出现了弦截法, 二分法等其他方法.MATLAB提供了有关的函数用于非线性方程求解

1.单变量非线性方程求解

在MATLAB中提供了一个fzero函数, 可以用来求单变量非线性方程的根.该函数的调用格式为:

z=fzero (‘fname’, x0, tol, trace) .

其中fname是待求根的函数文件名, x0是为搜索的起点.一个函数可能有多个根, 但fzero函数只给出离x0最近的那个根.to1控制的相对精度, 缺省时取to1=eps, trace指定迭代信息是否在运算中显示, 为1时显示, 为0时不显示, 缺省时取trace=0.

例1 求f (x) =x-10^x+2=0在x0=0.5附近的根.

步骤如下:

(1) 建立函数文件funx.m.

function fx=funx (x)

fx=x-10.^x+2.

(2) 调用fzero函数求根.

z=fzero (‘fun’, 0.5) , z=0.3758.

2.非线性方程组的求解

线性方程组时经常遇到的一类数学问题, 这部分内容已超出MATLAB的基本部分, 他需要用到MATLAB的优化工具箱 (Optimization Toolbox) .

对于非线性方程组F (X) =0, 用fsolve函数求其数值解.fsolve函数的调用格式为:

X=fsolve (‘fun’, X0, option) .

其中X为返回的解, fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名, X0是求根过程的初值, option用于设定最优化工具箱的选项.最优化工具箱提供了20多个选项, 用户可以使用optimset命令将它们显示出来.如果想改变其中某个选项, 则可以调用optimset () 函数来完成.例如, Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式, 其中“off”为不显示, “iter”表示每步都显示, “final”只显示最终结果.Optimset (‘Display’, ‘off’) 将设定“Display”为“off”.

3.符号代数方程求解

代数方程是指未涉及微积分运算的方程, 相对比较简单.在MATLAB中, 求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现, 其调用格式为:

solve (s) :求解符号表达式s的代数方程, 求解变量为默认变量.

solve (s, v) :求解符号表达式s的代数方程, 求解变量为v.

solve (s1, s2, …, sn, v1, v2, …, vn) :求解符号表达式s1, s2, …, sn组成的代数方程组, 求解变量分别为v1, v2, …, vn.

例2 解下列方程.

${\begin{cases} x + 2 y - z = 27 ‚ \\ x + z = 3, \\ x^{2} + 3 y^{2} = 12 . \end{cases}$

命令如下:

[x y z]=solve (‘x+2*y-z=27’, ‘x+z=3’, ‘x^2+3*y^2=12’, ‘x’, ‘y’, ‘z’) .

解为:

x=45/4-1/4*i*627^ (1/2)

45/4+1/4*i*627^ (1/2)

y=15/4+1/4*i*627^ (1/2)

15/4-1/4*i*627^ (1/2)

z=-33/4+1/4*i*627^

摘要：近几十年来, 随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善, 各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视.特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题, 归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解.所以无论在理论研究方面, 还是在实际应用中, 非线性方程的求解都占有非常重要的地位.本文所提出的主要基于MATLAB程序设计教程, 介绍了非线性代数方程和非线性微分方程求解的几种方法.

关键词：非线性代数,符号方程,数值解法,MATLAB

参考文献

[1]刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京:中国水利水电出版社.

[2]何汉林, 梅家斌.数值分析.北京:科学出版社.

[3]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松.常微分方程第三版.北京:高等教育出版社.

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