浅议构件的平面应力状态分析——主应力大小和方向

关键词：结构设计

对于任何一个结构构件进行设计时, 都必须遵循设计的基本原则, 即安全适用, 经济合理, 技术先进。安全是第一位的, 安全于否决定于结构上荷载的大小、形式, 材料性能的好坏等多种因素, 履属于结构承载力的设计问题。具体到结构的设计, 必须使构件的材料力学性能充分得到发挥, 且不会沿任何一个方向发生破坏。如钢筋混凝土梁, 它的破坏有两种, 一种是正截面破坏, 另一种是斜截面破坏。根据梁在弯曲变形时的拉、压区域, 在受拉区配置了足够的纵向受力钢筋, 保证了梁的正截面强度, 但是梁还可能由于斜向主拉应力的作用而产生斜裂缝, 导致梁发生斜截面破坏。所以, 我们就有必要在讨论构件设计前, 先研究构件内部各点的主应力的大小、方向及变化规律。掌握构件内部各点主应力的变化规律, 对于结构设计来讲是必要的, 且很重要。如上述所说的梁, 若知道了梁中各点主应力方向的变化规律, 就可判断梁上可能出现的斜裂缝方向, 从而可洽当地配置钢筋, 更有效地发挥钢筋的抗拉作用, 保证斜截面的承载力。

构件在荷载作用下是否破坏, 取决于应力大小和方向的变化规律, 主要表现于通过一点的主拉 (压) 应力的大小和方向的变化。研究一点处的应力变化情况, 即点的应力状态;通过点的截面上只有正应力, 无切应力的平面称为主平面, 主平面上的正应力称为主拉 (压) 应力。主应力的大小和方向确定一般有两种方法:解析法和图解法。下面就解析法来阐述主应力大小和方向的确定。

1 任一斜截面上的应力计算

在构件中围绕一点任取一单元体如图1所示, 单元体上反映了各截面上的应力状态。用截面法, 沿斜截面处截断, 取下部为研究对象 (见图2) , 利用平衡条件得出斜截面上的应力计算公式。

σx、σy为任意截面上的正应力, 以拉为正;

τx为任意截面上的切应力, 以对单元体上任一点矩顺时针旋转为正;

α为任意斜截面的方位角, 从x轴到截面的外法线方向逆时针转向为正。

图1、图2中σx、σy、τx、α都为正方向。

2 主应力计算

利用数学上求极值的方法得到主应力的计算公式, 即将对α进行一次求导, 令其等于零, 解出α值 (取得极值, 此时此平面即为主平面, 主平面上的应力为主应力σz, 主平面的方位角用α0表示, 图3所示) , 再代入的计算公式, 得出主应力的计算公式:

大小:

方向:

3 主应力方向的讨论

(1) 由三角关系可知, , 从而α0有两个根, 即α0和α0+90°, 说明主平面有两个, 且相互垂直;

(2) 当→∞时, 2α0→90°, 即2α0≤90°, 所以α0≤45°。说明主应力总是偏向于某个正应力的, 但究境是偏向x面还y面上的正应力, 就需要进一步判别。

(3) 分析:当σx>σy, α0是σx与σmax之间的夹角;

当σx<σy, α0是σx与σmin之间的夹角;

当σx=σy, α0=4 5°。

(4) 为便于学生理解和记忆, 在多年的教学中, 总结和归纳了主应力方向的判别规律如下。

大偏大来小偏小 (即大的主应力偏向与大的正应力, 小的主应力偏向与小的主应力) , 夹角没有45°大 (大与大之间的夹角, 小与小之间的夹角都是小于45°的) ;σmax随着切应力跑 (σmax方向与τx、τy共同指向的方向相一致) , 正应力之和为恒定 (σx+σy=σmax+σm i n) 。

【案例】如右图所示一应力单元体, 已知σx=50MPa, σy=0, τx=20MPa, 试计算主应力的大小和方向, 并在单元体上画出主应力单元体。

解: (1) 主应力大小

(2) 主应力方向

因为σx>σy, 所以σx与σmax之间的夹角则为19.33° (大偏大) , 同时σy与σmin之间的夹角也为19.33° (小偏小) ;σmax指向与τx、τy共同指向的方向相一致;σx+σy=σm a x+σm i n=5 0 M P a。

主应单元体如图4。

(5) 为了避免主应力方向的繁琐判别, 主应力的方位角也可按下式直接计算。

式中α0为恒为σ1与σx之间的夹角。

此公式乃是根据图解法, 利用几何关系推得, 其中σm a x、σy和τx都以代数值代入。

如上案例, 我们利用此公式计算如下:

(即第三象限) 。

关于平面应力状态分析, 一直都是一个比较难易理解、抽象、看不见摸不着和不易接受的知识。如何能够让学生正确理解和接受, 是教育者多年来探讨的一个重要问题。相信通过大家的努力, 总结归纳出便于理解, 易操作, 易接受的规律, 同时充分利用现代信息技术手段, 将构件内部看不见的内力、应力的变化以立体化的形式呈现给学生, 并结合大量的实际案例分析, 使学生接受相关的知识, 掌握其分析方法, 提高综合应用所学知识的能力, 解决实际应用中相关问题。

此乃本人在多年实践过程中总结而得, 有不详之处, 希望同行们多多批评指正。

摘要：通过对基本构件的平面应力状态分析, 从理论教学、实践和设计等方面进行了综合论述, 提出了平面应力状态的主应力大小和方向的计算、判别方法, 解决了主应力的方向不易确定的应力状态分析问题。

关键词：结构设计,点的应力状态,主应力大小和方向