求值域方法

关键词：

求值域方法（精选十篇）

求值域方法 篇1

一、直接观察法

例如等可以通过直接观察, 它们的值域分别为{y|y≠0}, {y|y≤0}

二、图像法

例1已知函数f (x) =x2-2x+3

(1) 求函数f (x) 的值域 (2) x∈[-1, 0]求值域

(3) x∈[3, 4]求值域 (4) x∈[0, 3]求值域

评注:因同学们对二次函数的图像比较熟悉, 所以该类函数应用图像法求值域, 先分析对称轴在区间内还是在区间外则可根据单调性直接代入端点求值域, 若对称轴在区间内, 则在对称轴处取得最小值, 再看哪个端点离对称轴远, 在离对称轴远的端点处取最大值。

三、单调性法

例2求函数的值域

可知函数为增函数, 可先求定义域{x|x≥1}因此值域为{y|y≥2}.

四、换元法

例3求函数的值域

分析:此函数单调性不明确, 因此本题可用换元法将该题转化为二次函数求值域。

评注:换元法为求值域问题的常用方法, 有时可将复杂的问题简单化或将我们不熟悉的类型转化为熟悉的类型, 但在换元时应注意变元的取值范围, 即x与t之间应是等价代换。

五、分离常数法

六、反函数法

若上题中x∈[0, +∞]求f (x) 的值域则为第6种方法:反函数法。

评注:对于这种类型的函数, 其求值域的方法有两种, 第一种叫分离常数法, 即将函数分解成一个常数和一个只在分母含x的式子之和, 一般用于f (x) 的自然定义域内求值域, 第二种, “反解x法”即去分母, 反解出x, 根据x的范围, 确定y的取值范围。常用于定义域不是自然定义域的函数值域的求解问题。

七、判别式法

评注:对型的且不可约的函数解析式, 常去分母化为关于x的一元二次方程, 使该方程有解故Δ≥0, 据此求出函数的值域为“判别式”法, 使用判别式求值域, 首先应验证二次项系数为0的情况。但此类问题有一种特殊情况, 在做题时应注意。

摘要：函数的值域及其求法是近几年高考考察的重点内容之一。求函数值域是重点, 也是一个难点, 很多同学对求值域的问题找不到下手点, 本文归纳了函数值域的几种常见类型和常用的方法。

求函数值域的方法 篇2

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

②逆求法（反求法）：通过反解x，用y 来表示，再由 x的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

求函数值域的几种常用方法 篇3

求函數值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，下面举例说明几种常见的求函数值域的方法。

一、配方法

例1求函数y=2x2-6x+3的值域

解：y=2（x-3）2-

函数 的值域为【 ，

二、判别式法

对于某些有理数分式函数，y=f（x）（分子或分母最高次数为2），可把函数的解析式化为关于x的一元二次方程，再根据判别式 得到一个关于y的不等式。解此不等式就可求得函数的值域。

例2求 的值域

解：原方程可化为（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

当 y 时，

解得

当y=1时，x=0属于定义域

函数的值域为

三、非负数法

当函数的解析式中出现绝对值，偶次方幂，算数根和指数幂时，常根据他们的非负数这一性质确定函数的值域。

例3. 求函数 的值域

解：原方程可化为

视为关于x的方程化为

所以函数的值域为

四、分部分式法

当函数的解析式y=f（x）是分式且分子的次数大于或等于分母的次数时，可分部分式求函数的值域。

例4.求函数 的值域

解：

因为

所以

故该函数的值域为[

五、换元法

对于某些特殊的函数y=f（x），可利用设辅助未知数的方法求得其值域。

例5. 求函数 的值域

解：令

所以 （当且仅当t=1时取等号）

故原函数的值域为

六、函数的单调性法

对于某些单调函数可根据函数的单调性求函数的值域。

例6.求函数 的值域

解：设

因为

当 时，t有最小值

又因为 是增函数

所以当

故原函数的值域为

七、反函数法

因为原函数的值域正好是它的定义域，所以要求原函数的域可以转换为先求其反函数再求其定义域，即得原函数的。

例7. 求函数 的值域

解：求得 的反函数为 ，

其定义域为

故所求函数的值域为

八、数形结合法

例8.求函数 的值域

解：原函数化为

将此函数化为分段函数的形式

通过图像可知

故所求函数的值域为

求函数值域与最值的常用方法 篇4

求函数的值域与最值没有通性通法, 只能根据函数解析式的结构特征来选择相应的方法求解.因此, 对函数解析式结构特征的分析是十分重要的.下面将常见函数解析式的结构模型与对应求解方法加以归纳.

一、二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 及二次型函数 y=a[f (x) ]2+b[f (x) ]+c (a≠0) 可用配方法.

例1 求函数 y=sin2x+4cosx+1的值域.

解:y=-cos2x+4cosx+2

=- (cosx-2) 2+6.

因为-1≤cosx≤1,

所以当 cosx=-1时, ymin=-3;

当 cosx=1时, ymax=5.

所以值域是[-3, 5].

二、形如$y=\frac{a{}_{1}x{}^2+b{}_{1}x+c{}_1}{a{}_{2}x{}^2+b{}_{2}x+c{}_2}$ (其中 a1, a2不全为0, 且定义域为R) 的函数可选用判别式法.

(注:分子、分母不能约分时适用.若分子、分母能约分, 则参看类型五.)

例2 求函数$y=\frac{x{}^2-x+3}{x{}^2-x+1}$的值域.

解:因为 x∈R, 所以由$y=\frac{x{}^2-x+3}{x{}^2-x+1}$得

(y-1) x2+ (1-y) x+ (y-3) =0.

当 y=1时, 此等式不成立.

故 y≠1, 所以

Δ= (1-y) 2-4 (y-1) (y-3) ≥0,

解得$1\le y\le \frac{11}{3}.$

所以函数值域为$(1‚\frac{11}{3}].$

三、形如$y=ax+b+\sqrt{cx+d}(a‚b‚c‚d$为常数, ac≠0) 的函数, 当ac>0时, 可用单调性法;当ac<0时, 可用换元法.

例3 求函数$y=2x-5+\sqrt{15-4x}$的值域.

解:令$t=\sqrt{15-4x}$, 则$x=\frac{15-t{}^2}{4}$, 且 t≥0.所以

$y=\frac{15-t{}^2}{2}-5+t=-\frac{1}{2}(t-1){}^2+3.$

由 t≥0, 得值域是 (-∞, 3].

四、形如$y=ax+b-\sqrt{cx+d}(a‚b‚c‚d$为常数, ac≠0) 的函数, 当ac>0时, 可用换元法;当ac<0时, 可用单调性法.

例4 求函数$y=2x-\sqrt{1-x}$的值域.

解:因为$y{}_1=2x‚y{}_2=-\sqrt{1-x}$均为 (-∞, 1]上的增函数, 所以$y=y{}_1+y{}_2=2x-\sqrt{1-x}$为 (-∞, 1]上的增函数.

所以$y\le 2\times 1-\sqrt{1-1}=2.$

故该函数的值域为 (-∞, 2].

五、形如$y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0)$的函数, 可用逆求法.

例5 求函数的值域:

$(1)y=\frac{1-x}{2x+5}$;$(2)y=\frac{2{}^x-1}{2{}^x+1}.$

解: (1) 由$y=\frac{1-x}{2x+5}$得$x=\frac{1-5y}{2y+1}.$

因为 2y+1≠0,

所以函数值域为$\{y\in \mathbf{R}|y\ne -\frac{1}{2}\}.$

(2) 由$y=\frac{2{}^x-1}{2{}^x+1}$解得$2{}^x=\frac{1+y}{1-y}.$

因为 2x>0, 则$\frac{1+y}{1-y}＞0.$

从而可得值域是{y|-1<y<1}.

六、形如$y=x+\frac{k}{x}(k＞0)$的函数可用均值定理法.

例6 求函数$y=\frac{3x}{x{}^2+x+1}(x＜0)$的值域.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{知}y=\frac{3x}{x{}^2+x+1}\\ =\frac{3}{x+\frac{1}{x}+1}(x＜0).\end{array}$

又$x+\frac{1}{x}\le -2\Rightarrow x+\frac{1}{x}+1\le -1\Rightarrow -3\le \frac{3}{x+\frac{1}{x}+1}＜0.$

故函数的值域为[-3, 0) .

七、对于分段函数或含绝对值符号的函数可用数形结合法.

例7 求函数 y=|x+1|+|x+4|的值域.

解:|x+1|+|x+4|表示数轴上的点到表示数-1, -4的点的距离之和.而此距离之和的最小值为3, 故函数的值域为[3, +∞) .

八、定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值.

其解题程序为第一步求出极值;第二步求出端点值;第三步比较极值与端点值的大小.

例8 求函数 f (x) =x3-3x2+1, x∈[-2, 3]的值域.

解:由 f (x) =x3-3x2+1求导, 并令

f ′ (x) =3x2-6x=3x (x-2) =0,

得极值点 x=0, x=2.

当 x∈ (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 时, f ′ (x) >0;当 x∈ (0, 2) 时, f ′ (x) <0.

故 f (x) 在 x=0处取得极大值1, 在 x=2处取得极小值-3.

又 f (-2) =-19, f (3) =1,

所以函数的值域为[-19, 1].

四川省内江市第二中学

高中数学必修求值域方法 篇5

函数作为高中数学的重点知识之一，常常成为不少同学困扰的焦点。那么高中数学函数的值域该怎么求呢?下面分享几点高中数学必修一求值域方法。

在高中函数定义中，是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。 一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大(小)值的几何意义——函数图像的最高(低)点的纵坐标即为该函数的最大(小)值。

2三角函数

多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。在高考中，多以解答题的形式和三角函数的概念、简单的三角恒等变换、解三角形联合考查三角函数的最值、单调区间、对称性等，属于难题。

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。三角函数求最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。三角函数求最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

3函数值域

换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p>0)的单调性：增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间，减区间为(-√p,0)和(0,√p)

反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。

注重数形结合的思想，解析几何，很显然，解析是数字的，公式的，而几何是图形的，图形一目了然，给人直观的感受，而公式抽象，能准确的描述图像的特征，结合之后一定会对解题有很大的帮助。并且解析几何想比较其他题型的优点在于，它可以带回试题中检验，如果算出答案后有时间，建议同学们花一两分钟检验一下你的答案，这样也有利于你对算出来的答案更有信心，提高准确率。

4一次函数

象限:y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图像是是一条经过原点的直线)

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>0时，直线必通过一、三象限;

当b<0时，直线必通过二、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。

画法:一次函数的图象为直线,由于两点确定一条直线,所以只要过直线上的两个点作直线就是该一次函数的图象了。

答:作出一次函数y=2x-6的图象。

当X=0时,y=2_0-6=-6;

当Y=0时,0=2x-6,x=3。

求值域方法 篇6

一、化为复合型代数函数, 利用三角函数有界性求值域

例1求下列函数的值域:

解析 (1) 原函数可看成由外函数y=log2t, 内函数复合而成.

∴-1≤y≤1, ∴函数的值域为[-1, 1].

(2) 由题意1+sinx≠0,

∴原函数可看成由外函数内函数t=sinx复合而成.

又∵-1

-4, 1 (]2.

(3) 原函数可化为:y=sinxcosx-2 (sinx+cosx) +4.令

∴原函数可看成由外函数内函数t=sinx+cosx复合而成,

∴原函数的值域为

(4) 原函数可化为故可看成由外函数内函数复合而成, 其中内函数又可转化正弦函数与对偶函数的复合型函数.

∴原函数的值域为 (0, 1/2].

二、将原函数收成一个三角函数式, 如y=Asin (ωx+φ) +B, 再利用三角函数性质求其值域

例2 (1) y=1+sinxcosx.

(2)

(3) y=sin2x+2sinxcosx+3 cos2x.

(4)

解析 (1) 逆用二倍角公式, 原函数可化为根据三角函数有界性, 得原函数值域为

(2) 利用辅助角公式, 原函数可化为.

又∵根据三角函数单调性可知原函数值域为[1, 2].

(3) 先逆用二倍角公式, 再利用辅助角公式, 原函数可化为:可得

(4) 由利用辅助角公式可得:

这里

根据三角函数有界性知|sin (x+φ) |≤1,

通过解关于y一元二次不等式得原函数的值域为

上述两种解决三角函数值域 (最值) 问题的方案都用到了一些基本的数学思想, 如化归思想、数形结合思想、函数与方程的思想等, 如果能恰当使用这些思想方法, 将会大力加强学生对基本概念内涵与外延的理解, 提升对数学通性通法的掌握和运用, 从而提高学生的基本能力和一般能力.下面针对这几种思想方法, 我们再看几个值域问题的特殊解决方案.

三、巧用函数与方程的转化思想

例3求函数的最大值、最小值.

解析将问题转化为一元二次方程在闭区间有解的充要条件:

原函数解析式可化为sin2x+ (4-y) sinx+3-2y=0.

令t=sinx, t≤1, 则原问题转化为关于t的一元二次方程t2+ (4-y) t+3-2y=0在区间[-1, 1]有解, 求参数y的问题, 设f (t) =t2+ (4-y) t+3-2y, 故有f (-1) ·f (1) ≤0.解得0≤y≤8/3.故原函数值域为[0, 8/3].

四、巧用建立函数模型, 数形结合思想

例4求函数的最大值、最小值.

解析由于函数属于分式函数, 且同时出现一次的正、余弦函数, 故联想到线性规划知识, 原函数解析式可变为原问题转化为过点 (3, 2) 作单位圆的切线, 求切线斜率的最值问题:设切线方程为y-2=k (x-3) , 即kx-y+3k+2=0.

设圆心到切线的距离为d, 则

解得

故原函数值域为

求值域方法 篇7

1. 形如y = asinx + bcosx

此类题型引入辅助角转化为 ,其中tanφ =b/a.

例1函数 在区间 [0,π]上的最小值是______ .

2. 形如y =(a + sinx)/(b + cosx)

此类题型先转化为sinx -ycosx = yb - a,再依据上面题型引入辅助角进行解答.

例2求y =(2 - sinx)/(2 - cosx)的最大值和最小值.

二、利用换元法

形如sinx +cosx,sinxcosx,此类题型解决方法: 令sinx +cosx = t,t∈

三、利用基本不等式( 当 a,b >0 时,,a +b≥2（ab）1/2）

求三角函数的最值与值域的主要方法有: 1. 利用单调性与有界性;2. 利用换元法; 3. 利用基本不等式等. 其关键是转化为只含一角的某一种三角函数,然后利用此三角函数的值域,求得所求函数的最值. 其中,使用换元法时( 如例3) ,特别要注意新元的范围. 另外,对于基本不等式的应用时不能忽略其使用条件.

摘要：三角函数的最值是三角函数性质的一部分,是历年各省市高考热点问题之一.由于三角函数本身的有界性和单调性比较特殊,并且三角函数还能与函数、不等式联系起来,使三角函数的最值与值域的求法变得更为复杂.本文通过举例列举了三角函数最值与值域的几种常用求法.

破译函数结构 巧求函数值域 篇8

例1:求函数$\text{f}(\text{x})=\frac{\text{x}{}^3-\text{x}}{(\text{x}{}^2+1){}^2}$的值域。

解法一:用导数解。

由f (-x) =-f (x) , 得函数f (x) 为奇函数, 则根据奇函数的对称性, 定义域只需考虑$\left[0,+\infty \right)$。

$\begin{array}{l}{\text{f}}^{\prime }(\text{x})=\frac{(3\text{x}{}^2-1)(\text{x}{}^2+1){}^2-(\text{x}{}^3-\text{x})\cdot 2(\text{x}{}^2+1)\cdot 2\text{x}}{(\text{x}{}^2+1){}^4}\\ =\frac{(\text{x}{}^2+1)(3\text{x}{}^4-\text{x}{}^2+3\text{x}{}^2-1-4\text{x}{}^4+4\text{x}{}^2)}{(\text{x}{}^2+1){}^4}\\ =\frac{-\text{x}{}^4+6\text{x}{}^2-1}{(\text{x}{}^2+1){}^3}。\end{array}$

令f′ (x) =0, 得$\text{x}=\pm (\sqrt{2}+1),\text{x}=\pm (\sqrt{2}-1)$, (舍负)

则函数在$(0,\sqrt{2}-1),(\sqrt{2}+1,+\infty )$为单调减函数, 在$(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)$为单调增函数。

当$\text{x}=\sqrt{2}-1$时, f (x) 取得极小值$-\frac{1}{4}$;

当$\text{x}=\sqrt{2}+1$时, f (x) 取得极大值$\frac{1}{4}$。

当x→+∞时, f (x) >0。

所以f (x) 的值域为$\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$。

【注】利用导数求解时, 极值较复杂, 且必须考虑x→+∞时, f (x) >0。

解法二:用勾形函数的性质解。

当x=0时, f (x) =0,

当x≠0时, $\text{f}(\text{x})=\frac{\text{x}{}^3-\text{x}}{\text{x}{}^4+2\text{x}{}^2+1}=\frac{\text{x}-\frac{1}{\text{x}}}{\text{x}{}^2+\frac{1}{\text{x}{}^2}+2}=\frac{\text{x}-\frac{1}{\text{x}}}{(\text{x}-\frac{1}{\text{x}}){}^2+4}$。

令$\text{t}=\text{x}-\frac{1}{\text{x}},\text{t}\in \text{R}$, 则$\text{y}=\frac{\text{t}}{\text{t}{}^2+4}$,

当x=±1时, t=0, f (x) =0。

当x≠±1时, $\text{y}=\frac{\text{t}}{\text{t}{}^2+4}=\frac{1}{\text{t}+\frac{4}{4}}$。

由$\text{t}+\frac{4}{\text{t}}\in (-\infty ,-4]{\displaystyle \cup [}4,+\infty )$, 得$\text{y}\in [-\frac{1}{4},0){\displaystyle \cup (}0,\frac{1}{4}]$。

综上, 函数的值域为$\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$。

【注】函数f (x) 是一个分式函数, 通过分式性质, 最终转化勾形函数。但在变形的过程中一定要注意等价转化。

解法三:用三角函数的知识解。

$sin2\text{α}=2sin\text{α}cos\text{α}=\frac{2tan\text{α}}{tan{}^2\text{α}+1},cos\text{α}=cos{}^2\text{α}-sin{}^2\text{α}=\frac{1-tan{}^2\text{α}}{1+tan{}^2\text{α}}$,

而函数$\text{f}(\text{x})=\frac{\text{x}{}^3-\text{x}}{(\text{x}{}^2+1){}^2}=\frac{\text{x}}{\text{x}{}^2+1}\cdot \frac{\text{x}{}^2-1}{\text{x}{}^2+1}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2\text{x}}{\text{x}{}^2+1}\cdot \frac{\text{x}{}^2-1}{\text{x}{}^2+1}$,

令$\text{t}=tan\text{α},\text{t}\in \text{R},\text{α}\in (-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2})$,

则$\text{y}=-\frac{1}{2}sin2\text{α}\cdot cos2\text{α}=-\frac{1}{4}sin4\text{α}$,

所以函数f (x) 的值域为$\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$。

【注】通过观察函数解析式, 利用万能公式, 把函数转化为三角函数。

例2:已知函数f (x) =x4-4x3+ (3+m) x2-12x+12, m∈R, 若对于任意实数x, f (x) ≥0恒成立, 求m的取值范围。

解;由题意得, x4-4x3+ (3+m) x2-12x+12≥0对∀x∈R恒成立。

当x=0时, 不等式恒成立, m∈R;

当x≠0时, $-(3+\text{m})\le \text{x}{}^2-4\text{x}-\frac{12}{\text{x}}+\frac{12}{\text{x}{}^2}$。

设函数$\text{g}(\text{x})=\text{x}{}^2-4\text{x}-\frac{12}{\text{x}}+\frac{12}{\text{x}{}^2}$。

解法一:导数解。

${\text{g}}^{\prime }(\text{x})=2\text{x}-4+\frac{12}{\text{x}{}^2}-\frac{24}{\text{x}{}^3}=\frac{(\text{x}-2)(\text{x}{}^3+6)}{\text{x}{}^3}$

令g′ (x) =0, 得$\text{x}=2,\text{x}=-\sqrt[3]{6}$,

函数g (x) 在$(-\infty ,-\sqrt[3]{6}),(0,2)$为单调减函数, 在$(-\sqrt[3]{6},0),(2,+\infty )$为单调增函数。

而极小值$\text{g}(2)=-7,\text{g}(-\sqrt[3]{6})=-\sqrt[3]{6{}^2}+\sqrt[3]{6{}^4}＞0$,

所以g (x) 最小值为-7, 则- (3+m) ≤-7得m≥4。

【注】利用导数求解时, 划分单调区间是关键, 不要忘了考虑0, 因为x=0是函数的渐近线。

解法二:用勾形函数的性质解。

设函数$\text{g}(\text{x})=\text{x}{}^2-4\text{x}-\frac{12}{\text{x}}+\frac{12}{\text{x}{}^2}=(\text{x}-2){}^2+12(\frac{1}{\text{x}}-\frac{1}{2}){}^2-7\ge -7‚$

(当且仅当x=2时, 取“=”)

所以则- (3+m) ≤-7得m≥4。

【注】通过观察, 函数g (x) 可以配方成两个完全平方式, 且当x=2时, 两个完全平方式同时取0。

例3:已知函数$\text{f}(\text{x})=(\frac{\text{x}}{\text{a}}-1){}^2+(\frac{\text{b}}{\text{x}}-1){}^2$的定义域是[a, b], 其中0<a<b, 求函数f (x) 的最小值。

解法一:导数解。

${\text{f}}^{\prime }(\text{x})=2(\frac{\text{x}}{\text{a}}-1)\frac{1}{\text{a}}+2(\frac{\text{b}}{\text{x}}-1)(-\frac{\text{b}}{\text{x}{}^2})=2\frac{\text{x}{}^4-\text{a}\text{x}{}^3+\text{a}{}^2\text{b}\text{x}-\text{a}{}^2\text{b}{}^2}{\text{a}{}^2\text{x}{}^3}$,

令f′ (x) =0, 即x4-ax3+a2bx-a2b2=0,

(x2-ab) (x2-ax+ab) =0, 得$\text{x}=\pm \sqrt{\text{a}\text{b}}$, (舍负)

则f (x) 在$(0,\sqrt{\text{a}\text{b}})$上单调递减, 在$(\sqrt{\text{a}\text{b}},+\infty )$上单调递增。

所以, 当$\text{x}=\sqrt{\text{a}\text{b}}$时, f (x) 取得最小值, 即$\text{f}{}_{min}(\text{x})=\text{f}(\sqrt{\text{a}\text{b}})=2(\sqrt{\frac{\text{b}}{\text{a}}}-1){}^2$。

【注】利用导数求解时, 四次方程的分解有点困难。

解法二:用勾形函数的性质解。

$\text{f}(\text{x})=(\frac{\text{x}}{\text{a}}-1){}^2+(\frac{\text{b}}{\text{x}}-1){}^2=(\frac{\text{x}}{\text{a}}+\frac{\text{b}}{\text{x}}){}^2-2(\frac{\text{x}}{\text{a}}+\frac{\text{b}}{\text{x}})+2-\frac{2\text{b}}{\text{a}}$,

令$\text{t}=\frac{\text{x}}{\text{a}}+\frac{\text{b}}{\text{x}},\text{x}\in [\text{a},\text{b}]$, 则$\text{t}\in [\frac{2\sqrt{\text{a}\text{b}}}{\text{a}},1+\frac{\text{b}}{\text{a}}]$,

所以$\text{f}(\text{x})=\text{y}=\text{t}{}^2-2\text{t}+2-\frac{2\text{b}}{\text{a}}$, 对称轴为t=1,

当$\text{t}=\frac{2\sqrt{\text{a}\text{b}}}{\text{a}}$, 即$\text{x}=\sqrt{\text{a}\text{b}}$时, 函数取得最小值$\text{f}{}_{min}(\text{x})=\text{f}(\sqrt{\text{a}\text{b}})=2\left(\sqrt{\frac{\text{b}}{\text{a}}}-1\right){}^2$。

求复合函数的值域例析 篇9

一、观察法

对于一些简单的复合函数,可通过观察其解析式的特点,直接得出值域.

故此函数的值域是0≤y<3.

点评:对于一些简单的复合函数,我们运用观察法可快速求解,但如果不仔细观察解析式,极易出现漏解、错解.比如,例1易漏掉y>0,而得出错解y≤1;例2易漏掉y≥0,而得出错解y<3.

二、单调性法

有些复合函数的值域可借助于基本初等函数的单调性求解.

【例4】求函数y=ln(ex+2)的值域.

解析:因为ex+2>2,根据对数函数的单调性,有ln(ex+2)>ln2,即y>ln2,故此函数的值域是y>ln2.

点评:用单调性法求复合函数的值域的本质是借助外函数的单调性.我们要留心外函数的值域,否则就会疏忽致错.比如,例3最易疏忽y>0.

三、换元法

在高中阶段,学生经常接触的复合函数y=f[φ(x)]一般是由内函数t=φ(x)和外函数y=f(t)两个函数复合而成的,外函数的自变量就是内函数的函数值.因此,许多复合函数的值域问题只要求出内函数的值域,再借助外函数的单调性就可轻松解决.

【例6】求函数y=sin2x-3sinx-1的值域.

四、有界性法

有些复合函数的值域可借助一些常见函数的有界性来求解.比如x2≥0,槡x≥0,ex>0,-1≤sinx≤1等.

浅谈“判别式法”求函数值域 篇10

例1:求函数的值域。

解:原函数变形为关于x的方程得 (y-2) x2+2 (y-2) x+3y+7=0。∵原函数定域为R。∴上述方程在x∈R内有实根。

(1) 当y-2=0时, 方程化为13=0在x∈R内无实根, 不合题意, 故y≠2;

(2) 当y-2≠0时, 上述方程为一元二次方程, 要使该方程在x∈R内有实根, 必须满足△=4 (y-2) 2-4 (y-2) (3y+7) ≥0, 解得。

综合 (1) (2) , 得原函数的值域为。

例2:求函数的值域。

解:原函数变形为关于x的方程得: (y-2) x2+x-y-7=0。又原函数的定义域为 (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞) 。所以上述方程在 (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞) 上有实根。

(1) 若y-2=0, 方程化为x-3=0, 其在上述区间内有实根, 此时y=2;

(2) 若y-2≠0, 方程为一元二次方程, 要使其在上述区间内有实根只须, 解得。

综合 (1) (2) , 得原函数值域为

例3:已知, 求函数的值域。

解:原函数变形为关于x的一元二次方程得x2- (2y+4) x+5+4y=0。∵原函数定义域为, ∴上述方程在上有根, 则,

解得y≥1。∴原函数的值域为[1, +∞) 。

例4:已知函数的定义域为R, 值域为 (0, 2) , 求m、n的值。

解:∵f (x) 的值域为 (0, 2) , ∴, 设, 则1≤y≤9, 化为关于x的方程为 (y-m) x2-8x-y-n=0, 由函数定义域为R知, 上述方程在R内有实根。

(1) 若y-m=0, 则上述方程化为一元一次方程8x+m-n=0在R内有实根, 此时y=m, 又1≤y≤9, 所以1≤m≤9。

(2) 若y-m≠0, 上述方程为一元二次方程, 要使其在R内有实根, 则△= (-8) 2-4 (y-m) (y-n) ≥0, 即y2- (m+n) y+ (mn-16) ≤0。由1≤y≤9知, 关于y的一元二次方程y2- (m+n) y+ (mn-16) =0的两根为1和9。由韦达定理得, 解得

综合 (1) (2) , 得m=n=5。