经济极限投资

关键词：计算

经济极限投资（精选三篇）

经济极限投资篇1

考虑年利率为r的一笔投资,若每年计息一次,则第一年末的本利和为

第二年末的本利和为:

第t年末的本利和为:

若不按年计算,而按季度计息,每年计算4次,t年计利次数为4t次,每季度的利率为,则第t年末的本利和为

同理可知,如按月计算,则第t年末的本利和为

一般地,若每年计息n次,t年共计利n t次。每次利率为,则第t年末的本利和为

如果随时生息,随时结算计利,则成为瞬时复利,相当于,于是第t年末的本利和为

上式称为连续复利计算公式。也称为以时间t为自变量的连续复利函数。该式除用来计算连续复利外,由于它还反映了实际经济活动和自然现象的连续变化规律,如商业周期的连续性、人口的增长、林木生长、细胞的繁殖等,还可用来计算与连续变化有关的其他问题。具有重要的实际意义[1]55。

例1.年利率是6%的连续复利,需要多长时间使本利值加倍?

解:设本金为,。因为是连续复利,即随时生息,随时结算。

在上式两边取对数得:

即所需1 1.5 5年时间本利值加倍。

2 求解贴现问题

当函数中r为负值时,也认为r是瞬时增长率,这是负增长。这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长问题。

利用上述贴现公式能用未来t年的资金值推算出现值。当然它也可以利用现值计算未来t年的资金值[2]6 3。

例2.设某酒厂有一批新酿的好酒。如果现在(假定t=0)就售出,总收入为(元),如果窖藏起来,待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为,假定银行的年利率为r,并以连续复利计息。试求窖藏多年售出可使总收入的现值最大,并求r=0.06时的t值。

解:根据计算连续复利公式知,这批酒在窖藏t年末售出总收入R的现值为,其中为t年末的总收入。

又已知现值确有最大值,故该点就是的极大值点即最大值点,故窖藏年售出总收入的现值最大。

(年),这表明应将这批酒窖藏约1 1年,到那时售出所获总收入的现值最大。

3 计算生产函数的极限

生产函数是指产量Q与各种投入要素之间的函数关系。

,其中为n种要素的投入量。

如果只考虑两种投入要素:资本K和劳动L,则生产函数为:

常见的生产函数有:

⑴线性生产函数

(a,b>0)

⑵Cobb-Douglas生产函数

⑶常替代弹性生产函数

证:所求极限为型极限,则:

参考文献

[1]张从军,李辉,鲍远圣,刘玉华.常见经济问题的数学解析[M].南京:东南大学出版社,2004.9.

投资模型中收益率的极限定理篇2

关键词投资模型；收益率；似然比；极限定理

中图分类号 O211.4 文献标识码 A

Some Limit Theorems Of Return Rate in Investment Modeling

LI Wenhan1,LIU Zhiqiang2

(1. College of Mathematics and Physics, Shijiazhuang University of Economics,Shijiazhuang,Heibei 050031,China;

2.Science College,Beijing University of Civil Engineering and Architecture; Beijing 100044,China)

Abstract In virtue of the notion of likelihood ratio ,the limit properties of the sequence of continuous random variables were studied ,and a class of strong deviation theorems represented by inequalities with return rate and their estimated expectation were obtained when there are deviations between the estimated and the real distributions of the return rate.

Key words investment modeling; return rate; likelihood ratio;limit property

1 引言

收益率是投资的收益率，是检验投资行为很重要的一个指标．Cover等［1］通过选择投资策略，系统的研究了log-最优投资组合问题；文献［2，3］进一步推广了他们的工作，得到了关于投资组合的一些极限定理；文献［4］通过引入似然比作为随机变量序列相对于不同测度差异的一种度量，建立了一种新型的定理-强偏差定理．本文将文献［4］方法引入到证券市场模型中来，讨论了证券收益率变量的估计分布与真实分布的一些极限性质，推广了文献［3，5］的应用．

2 模型假设

假设投资者的初始财富为单位资金(即S0=1)，在证券市场上进行风险投资(比如股票)．他每次都将上一周期末，所得的财富进行整合，然后全部投资到下一个周期，这里假设每一个周期都是单位时间，用Rn表示在第n个周期中股票的收益率，那么在第n个周期末投资者总的资产为 Sn=e∑nk=1Rk．

假设1）在证券市场中，进行连续交易过程中没有手续费、税费等任何其他收费；2）在每一个周期初投资，都是利用上一个周期末的财富，投资何种股票没有要求；3）收益率Rn是一个随机变量，可以取任意的实数，但是对于任意n,满足e∑nk=1Rk＜∞．

3 定义及符号表示

设n个周期收益率的随机过程{R1,…,Rn}为概率空间(Ω,F,P)上的连续性随机变量序列，其真实的联合分布密度为

fn(x1,…,xn)＞0,n=1,2,….(1)

假如投资者对每一个周期的收益率都有一个估计，也就是对于n个周期上的收益率R1,…,Rn在概率空间(Ω,F,Q)上存在一个估计分布 (或者称为经验分布)，概率密度函数记为 qn(x1,…,xn)．若投资者考虑每个周期上的收益率的概率密度函数都与以前周期上的收益率有关，那么在这里给出投资者n个周期上的收益率R1,…,Rn估计分布的密度函数

qn(x1,…,xn)=

f1(x1)∏nk=2fk(xk|x1,…,xk－1),k＞1，(2)

其中，fk(xk|x1,…,xk－1)表示在R1=x1,…,Rk－1=xk－1的条件下，第k个周期收益率Rk的估计条件概率密度函数．

为了表征{R1,…,Rn}的真实联合分布密度fn(x1…xn)与估计联合分布密度qn(x1,…,xn) 之间的差异，引进如下的似然比的概念．

定义1 在{R1,…,Rn}的真实联合分布密度与估计联合分布密度分别为fn(x1…xn)和qn(x1,…,xn), 令

rn(ω)=fn(x1,…,xn)/qn(x1,…,xn)

=fn(x1,…,xn)/［f1(x1)∏nk=2fk(xk|x1,…,xk－1)］(3)

经济数学第 29卷第1期李文汉等：投资模型中收益率的极限定理

为{R1,…,Rn}的真实分布相对于估计分布密度的似然比,其中ω是样本点．

定义2 在R1=x1,…,Rk－1=xk－1的条件下,第k个周期收益率Rk的估计数学期望定义为：

E(Rk|R1=x1,…,Rk－1=xk－1)=

∫∞－∞xkfk(xk|x1,…,xk－1)dxk ，

记为mk.(4)

定义3 对于Rk,设

Mk(t,x1,…,xk－1)=E(etRk|R1=x1,…,

Rk－1=xk－1)=∫∞－∞etxkfk(xk|x1,…,xk－1)dxk.(5)

Mk(t,x1,…,xk－1)称为第k个周期收益率Rk在R1=x1,…,Rk－1=xk－1的条件下,关于估计分布的条件矩母函数,简记为Mk(t)．

4 主要结果

定理1 设n个周期收益率的随机过程{R1,…,Rn}为概率空间(Ω,F,P)上的连续性随机变量序列，rn(ω),Mk(t)如前定义，c≥0为常数，t0＞0，使得在t∈［－t0,t0］内,Mk(t)＜∞,k=1,2,…n.设

D(c)={ω:r(ω)=limn→∞sup1nln rn(ω)≤c} ，(6)

则有

limn→∞inf1n∑nk=1［Rk－mk］≥α(c),

a.e.,ω∈D(c),(7)

其中

α(c)=sup{φ(t),－t0≤t＜0}, (8)

φ(t)=limn→∞inf1n∑nk=1［ln Mk(t)/t

－mk］+c/t,－t0≤t＜0. (9)

注：1)数值c可以看成真实分布密度和估计分布密度偏差的一种度量,c越小,偏差越小,当真实密度函数和估计密度函数相同时,没有偏差； 2)结论说明了n个周期收益率均值和其估计分布数学期望的一种偏差，偏差由式(7)和式(26)决定．

证明

令gk(t,xk)=etxkfk(xk|x1,…,xk－1)/Mk(t), (10)

则

∫+∞－∞gk(t,xk)dxk=1.(11)

令

fn(t;x1,…,xn)=∏nk=1g(t,xk)

=∏nk=1［etxkfk(xk|x1…xk－1)/Mk(t)］,(12)

由式(11)知fn(t;x1…xn)是n元概率密度函数.令

tn(t,ω)=fn(t;R1,…,Rn)fn(R1,…,Rn)． (13)

由于{tn(t,ω)}是a. e.收敛的非负上鞅［6］，故存在A(t)∈F,P(A(t))=1，使得

limn→∞sup1nln tn(t,ω)≤0,ω∈A(t).(14)

通过式(10)，式(13)~(14)，有

limn→∞sup1n－∑nk=1ln Mk(t)+

t∑nk=1Rk－ln rn(ω)≤0,ω∈A(t), (15)

令t=0得

limn→∞inf1nln rn(ω)≥0,ω∈A(0), (16)

由此得到

limn→∞sup1nln rn(ω)≥0,ω∈A(0), (17)

即

r(ω)≥0,ω∈A(0).(18)

当－t0≤t＜0时,由式(15)与式(6)有

tlimn→∞inf1n∑nk=1Rk≤limn→∞sup1nlnMk(t)

+r(ω)≤limn→∞sup1nlnMk(t)+c,ω∈A(t)∩D(c)． (19)

利用下极限的性质

limn→∞inf(an－bn)≥dlimn→∞inf(an－cn)

≥liminfn→∞(bn－cn)+d.

并将式(19)两边同除以t，得

limn→∞inf1n∑nk=1［Rk－mk］

≥limn→∞inf1n∑nk=1［lnMk(t)t－mk］

+c/t,ω∈A(t)∩D(c). (20)

设Q是负有理数的全体，A=∩t∈QA(t),则P(A)=1.由式(20)有

limn→∞inf1n∑nk=1［Rk－mk］

≥limn→∞inf1n∑nk=1［lnMk(t)t－mk］

+c/t,ω∈A∩D(c),t∈Q. (21)

由式(21),式(18)与式(9)，得到

limn→∞inf1n∑nk=1(Rk－mk)≥φ(t),

ω∈A∩D(c),s∈Q.(22)

因为φ(t)关于t连续,且当－t0≤t＜0时,limc→∞φ(t)=－∞,故由式(8) 与式(18)知,对每个ω∈A,存在sn(ω)∈Q,n=1,2,….使得

limn→∞φ［sn(ω)］=α(c).(23)

由式(22)知

limn→∞inf1n∑nk=1(Rk－mk)≥φ［sn(ω)］,

ω∈A∩D(c),n=1,2,…. (24)

通过式(23)与(24)，得到

liminfn→∞1n∑nk=1［Rk－mk］≥α(c),

ω∈A∩D(c). (25)

因为P(A)=1,故由式(25)知式(7)成立.

定理证毕.

定理2 设n个周期收益率的随机过程{R1,…,Rn}为概率空间(Ω,F,P)上的连续性随机变量序列，rn(ω),Mk(t)如前定义，c≥0为常数，t0＞0，使得在t∈［－t0,t0］内, Mk(t)＜∞,k=1,2,…n.设

D(c)={ω:r(ω)=limn→∞sup1nlnrn(ω)≤c},

则有

limn→∞sup1n∑nk=1［Rk－mk］≤β(c),

a.e.,ω∈D(c), (26)

其中 β(c)=inf{ψ(t),0＜t≤t0}, (27)

ψ(t)=limn→∞sup1n∑nk=1［lnMk(t)/t

－mk］+c/t,0＜t≤t0, (28)

当0＜t≤t0时，同样的方法可以得式(26)成立．

设随机过程{R1,…,Rn}关于估计概率分布具有马氏性的连续型随机变量序列，即式(2)变为［7］，

πn(x1,…,xn)=f1(x1)∏nk=2fk(xk|xk－1),(29)

则式(3)变为

r′n(ω)=fn(x1,…,xn)/f1(x1)∏nk=2fk(xk|xk－1). (30)

下面重新定义2和定义3为：

定义4 设随机过程{R1,…,Rn}关于估计概率分布具有马氏性的连续型随机变量序列，定义第k个周期收益率Rk的估计数学期望为： E(Rk|xk－1)=∫∞－∞xkfk(xk|xk－1)dxk，记为m′k．

定义5 设随机过程{R1,…,Rn}是关于估计概率分布具有马氏性的连续型随机变量序列, 定义它的条件矩母函数为

Mk(t,xk－1)=E(etRk|Rk－1=xk－1)

=∫∞－∞etxkfk(xk|xk－1)dxk. (31)

于是,由定理1容易得到

定理3 设周期平均收益率的随机过程{R1,…,Rn}为概率空间(Ω,F,P)上的连续性随机变量序列, r′n(ω),m′k,Mk(t,xk－1)如前定义,c≥0为常数,t0＞0,使得在t∈［－t0,t0］内,Mk(t,xk－1)＜∞,k=1,2,…n.设

D(c)={ω:r(ω)=limn→∞sup1nlnr′n(ω)≤c}

则有

limn→∞inf1n∑nk=1［Rk－m′k］≥α′(c),

a.e.,ω∈D(c), (32)

limn→∞sup1n∑nk=1［Rk－m′k］≤β′(c),

a.e.,ω∈D(c),(33)

其中 α′(c)=sup{φ′(t),－t0≤t＜0}, (34)

β′(c)==inf{ψ′(t),0＜t≤t0}, (35)

φ′(t)=limn→∞inf1n∑nk=1［lnMk(t,xk－1)

/t－m′k］+c/t,－t0≤t＜0,(36)

ψ′(t)=limn→∞sup1n∑nk=1［lnMk(t,xk－1)

/t－m′k］+c/t,0＜t≤t0,(37)

由定理1的证明,很容易得到结论.

推论1 在定理1的条件下,若估计分布和真实分布是同分布,则有

limn→∞1n∑nk=1［Rk－mk］=0,a.e. (38)参考文献

［1］ T M COVER,J A THOMAS.Element of information theory［M］.New York:John Willey Sons,Inc,1991.

［2］叶中行,周煦,徐云.投资组合的增长率及其极限定理［J］.上海交通大学学报,2005,39(6):1020-1024.

［3］包振华,叶中行,杨卫国.Log-最优投资组合的极限定理［J］.数学杂志,2007,27(4):467-470.

［4］刘文.强偏差定理与分析方法［M］.北京：科学出版社,2003.

［5］白云芬,叶中行.序列投资模型中的强偏差定理［J］.上海交通大学学报,2008,42(12):2056-2059.

［6］ K L CHUANG.A course in probability theory［M］.New York：Academic Press,1974.

经济极限投资篇3

目前我国大多数油田已经进入开发中后期,其中注水油田进入高含水、高采出的“双高”阶段,稠油热采也进入了高轮次吞吐阶段,产量递减已不可避免,剩余可采储量逐年减少,开采成本逐年递增[1]。因此,研究油田的经济极限产量对于油田设计开发方案,确定剩余开采时间等都具有重要的现实意义。所谓经济极限产量,是指油田生产进入中后期,产量开始递减,经济效益随之下降,当产量下滑到某一数值时,油田的生产效益只能满足生产成本的需要,此时的产量称之为经济极限产量QEL[2]。在产量递减到经济极限产量之后,如果继续开采,就意味着亏本生产。

为此,研究与探讨油田经济极限产量,具有重要的经济意义,尤其对于拥有两个或两个油田以上的公司而言,如何在所有油田同时开采的情况下,计算出油田的经济极限产量,并使总的综合效益最大化,则更具有现实价值。由于油气开采受自然、地质等复杂因素的影响,在考虑综合效益下计算出的油田经济极限产量,在经济上并非为最优的经济极限产量,但可称之为次优的经济极限产量,且绝对是综合效益最大的经济极限产量,这里所说的综合效益包括经济效益,社会效益,资源效益。

1 油田经济产量计算方法

油田经济产量的计算方法有很多,比如老井经济产量计算方法,新井经济产量计算方法,措施经济产量计算方法[3]等。相关的模型有:威布尔(Weibull)预测模型、HCZ模型、广义翁氏模型、逻辑斯蒂(Logistic)预测模型、Arps双曲递减模型[4]等。每个油田应结合自身的条件和特点,并根据公司的战略和目标,选定一个或几个模型进行预测分析,然后结合各个模型的预测分析结果,进行组合预测分析,以得出最终的预测结果,对企业的生产运营进行指导。

2 油田经济极限产量分析

对于油田经济极限产量的计算分析,方法很多,模型也很多,本文的目的是在现有基础上,通过综合考虑多方面的效益,对多油田条件下的油公司进行产量、成本、效益分析,最终得出一个总的经济极限产量。

2.1 单油田(区块)

对单个油田(区块)而言,当其收益等于成本时的产量,就是该油田的经济极限产量[5]。经济极限产量与成本、油价、日常管理费、税率等有关。可通过相关公式表示如下:

销售收入与油价和销售量有关,销售量等于产量与商品率的乘积[6]。

R=PM (1)

M=Qη (2)

销售收入减去生产成本、相关税费之后,即可得到销售收益L,表示为:

L=PQη(1-Τ)-C (3)

C=CVQ+CF (4)

式中

R—销售收入,元;

P—产品单价,元∕吨;

M—销售量,×104吨;

Q—产量,×104吨;

η—产量的商品率;

L—销售收益,元;

T—单位产品综合税率;

C—总成本,元;

CV—单位产品的可变成本,元∕吨;

CF—固定成本总额,元。

当L=0时,对应的产量为经济极限产量,即L=PQη(1-Τ)-C=0 (5)

由(5)可推导出经济极限产量计算公式:

$Q_{E L} = \frac{C}{Ρ η (1 - Τ)} (6)$

QEL为经济极限产量。

2.2 多油田(区块)

对于传统观点而言,多油田条件下的经济极限产量,即等于分别计算各个油田的经济极限产量,然后相加所得。用公式表示为:

QEL总=QEL1+QEL2+……+QELn (7)

式中QEL1,QEL2,……,QELn分别表示油田1,油田2,……,油田n的经济极限产量。其中,

$Q_{E L 1} = \frac{C_{1}}{Ρ η (1 - Τ)} (8)$

$Q_{E L 2} = \frac{C_{2}}{Ρ η (1 - Τ)} (9)$

$Q_{E L n} = \frac{C_{n}}{Ρ η (1 - Τ)} (10)$

假设各油田达到经济极限产量的时间分别为:t1,t2,……,tn。一般而言,由于每个油田的储量和所处的环境不同,其经济产油的年限也不相同;在这种独立计算各油田经济极限产量的情况下,t1,t2,……,tn可能会存在少数相等,甚至全不相等的情况,也就是说,若全不相等,即t1≠t2≠……≠tn时,油田1在t1年达到其经济极限产量,油田2在t2年达到其经济极限产量,……,油田n在tn年达到其经济极限产量。现实意义就是,每个油田都按照经济最优的方式进行生产,但随着年限的增加,逐年有油田被废弃掉,因为再生产对该油田来说就意味着亏本经营,也就是随着年限的增加,我们可开采的油田越来越少,这是一个必然趋势,但就按每年来讲,此种方式下,可开采的油田数几乎每年都在减少。

因此,若单单从经济的角度来看,式中的产量绝对是最经济的极限产量,因为不管是哪个油田,再生产的结果只有一个,那就是亏本,但若在经济的基础上,综合考虑就业,产量的增加,油田的产油年限增加,资源的充分利用等因素,可进一步计算多油田条件下的油田经济极限产量。

计算如下:

油田1,油田2,……,油田n同属于一家油公司所有,当t时刻时,各油田的产量分别为Q1t,Q2t,……,Qnt,对应的成本分别为C1t,C2t,……,Cnt。各自的收益为:

L1t=PQ1tη(1-Τ)-C1t (11)

L2t=PQ2tη(1-Τ)-C2t (12)

………………

Lnt=PQntη(1-Τ)-Cnt (13)

此时,L1t,L2t,……,Lnt中,出现了有小于0的情况,即Lit<0(i=1,2,……n;且Lit不全为0)。

对于油公司来说,此时的收益为:

L总=L1t+L2t+……+Lnt (14)

当L总=0时,联立解方程组,得到

L总=L1t+L2t+……+Lnt=0 (15)

即L总=[PQ1tη(1-Τ)-C1t]+[PQ2tη(1-Τ)-C2t]+……+[PQntη(1-Τ)-Cnt]=0 (16)

可计算出总的经济极限产量:

$Q_{E L 总} = \frac{C_{1 t} + C_{2 t} + \dots \dots + C_{n t}}{Ρ η (1 - Τ)} (17)$

此时的情况是,一个油公司有n个油田(区块),且n个油田同时进行生产,此时收入等于成本,即收益为0,若n个油田仍然继续全部生产,那必然要亏损,那么,应该如何进行下一步生产呢?最简单的方法,就是把已达到经济极限产量的油田全部停止生产,未达到经济极限产量的油田继续生产,直到最后一个油田也达到经济极限产量,所有的油田全部停止生产。

稍微复杂一点的方法,我们可以通过试算法。即所有油田同时都生产,当达到经济极限产量时,我们下一步的生产方案应该是把一些达到经济极限产量的油田废弃掉,剩下的油田继续生产,继续求出剩余油田总的经济极限产量,如此循环,直至最后一个油田也达到经济极限产量。我们现在需要做的就是如何逐个把已达到经济极限产量的油田筛选出来,使得剩下的油田生产仍然是经济的。我们可以通过试算的方法,比如在t1时刻,所有的油田同时生产,且此时刚好达到总的极限经济产量,那么在t2时刻,如何把已达到经济极限产量的油田去掉一个,使得剩下的油田生产仍然是经济的呢?我们可以试算出,t2时刻已达到经济极限产量的油田1到油田i(i<n)的产量和成本,比如油田1的产量为Q1t2,成本为C1t2;油田2的产量为Q2t2,成本为C2t2;若Q1t2=Q2t2,即产量相等的情况下,若C1t2>C2t2,我们把油田1废弃掉,即把成本大的去掉;若Q1t2<Q2t2,此时有两种情况:(1)若C1t2>C2t2,我们把油田1废弃掉;(2)若C1t2<C2t2,需分别计算出t2油田1的收益L1t2和油田2的收益L2t2(此时收益都为负值),把收益小的油田废弃掉;同理,当Q1t2>Q2t2时,我们也是把收益小的油田废弃掉。

我们通过以上方法,逐次筛选,直至最后一个油田停止生产。这样,我们保证了每次生产都是经济的,各时刻的产量仍为经济极限产量,只不过它不是最经济的,但从社会效益、资源的合理利用、油田产量增加的等角度考虑,它具有一定的价值,且增加了综合效益,我们可以用以下关系式表示:

L综合=f(L,S,R) (18)

式中

L综合—总的综合效益;

L—销售收益;

S—社会效益;

R—资源效益;

若我们赋予一定的权重,可以得到关系式:

L综合=αL+βS+λR (19)

其中L表示销售收益,即所谓的经济效益;S为社会效益,即我们通过让独自计算时已达到经济极限产量的油田继续生产,它可以带来很多的社会效益,比如提高了就业率,不仅仅体现在石油工人身上,还会影响加工、运输等产业链上的各部门,从而维护了社会的和谐与稳定;R为资源效益,就目前来讲,石油是不可再生资源,也就是我们越用越少了,如果一个油田只能开采10年,那么资源利用的年限为10年,若稳产年限为20年,我们就提高了资源的利用率。

3 结论

如何提高油田产量,是各油公司都比较关心的问题,通过技术上的改进,取得了一定的效果,但在油田开采的中后期,同样会面临成本急剧上升,产量急剧下降的情况,很多企业因此都不愿意再生产。但目前提倡绿色环保,资源的合理利用,国家也通过一系列的政策,倡导绿色环保,不造成资源浪费,鼓励就业等,以维护社会的和谐稳定与可持续性发展。从这个层面上来看,油公司在保证盈利的前提下,对达到经济极限产量的油田继续开采一定的年限,可使油田产量在更长的年限内维持在一定的水平上。从而不仅提高了产量,也具有一定的盈利水平,并能使综合效益最大化,其结果对资源的开发利用,对企业,社会而言,都具有重要的现实意义。

摘要：国家“十二五”规划纲要指出,推动能源生产和利用方式的变革,坚持节约优先。不同油田之间,其储量、产量以及可开采年限都存在一定的差异,按照传统的经济产量预测方法,通过协调成本和油价,我们可以分别求出不同油田的经济极限产量。若只考虑经济因素,在经济极限产量条件下,油田产量减少,资源利用率下降,社会效益也将减少;若综合考虑经济效益,社会效益,资源效益,我们可以计算出此时的油田经济极限产量,并使综合效益最大化。

关键词：油田开发,经济极限产量,综合效益,成本,油价

参考文献

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