雷达偏差估计

关键词： 系统误差 目标

雷达偏差估计（精选三篇）

雷达偏差估计 篇1

在情报雷达网中, 当两部雷达在重叠覆盖区域内观测到同一批目标时, 经坐标转换到公共的统一坐标系后, 由于存在雷达系统误差, 两航迹往往发生较大分裂, 严重时会影响两部雷达的交接跟踪, 把一批目标误判为两批目标。为保证同一批目标在空间上的迭合, 减少相关处理中的错误关联概率, 提高情报综合的准确性, 对坐标转换之后的各雷达数据进行系统误差修正是雷达组网数据处理中的重要内容之一。

修正雷达测量数据中包含的系统误差有两种方法[1], 一是设备校准, 二是数据校准。设备校准是采用更精密的仪器对雷达测距、测角进行标校, 提高定位精度。该校准方法具有很大的局限性。而数据校准是较通用、可实际操作的校准方法。在中心坐标系中对各雷达测量数据进行修正, 以达到在同一坐标系内观测结果的一致性。传统的数据配准方法有:实时精度控制法、最小平方配准法、相对系统误差估计法等。

在舰船和飞机导航、目标跟踪等领域, 卡尔曼滤波方法以其递推算法简单、数据存储量小、实时性好等优点而得到了广泛的应用。特别是当跟踪相对稳定的系统时, 在经历了滤波初期的过渡状态之后, 滤波估计值比较准确。然而当要求系统快速进入稳定的工作状态, 或者其他雷达加入系统工作, 或空中目标很少时, 要求快速确定目标在空间的准确位置, 传统的卡尔曼滤波器在雷达偏差估计中的收敛速度不够快, 需要较长的时间, 将对目标的跟踪造成较大的延误, 影响了使用效果。

提高卡尔曼滤波效果的方法有两个:一是相应地提高增益矩阵;二是改进一步预测值$\widehat{\mathit{X}}$ (k+1 / k) , 使之最大限度地接近系统的真实状态。本文主要从一步预测值$\widehat{\mathit{X}}(k+1/k)$的改进入手, 探讨卡尔曼滤波算法中观测噪声线性化误差问题, 改进其算法中观测噪声的计算, 仿真结果表明, 该方法简单实用, 效果良好。

1 卡尔曼滤波算法

卡尔曼滤波[2]是解决状态最优估计问题的一种常用方法。设有一随机动态系统, 其数学模型如下:

$\{\begin{array}{l}\mathit{x}(k+1)=\mathit{\Phi }(k+1,k)\mathit{x}(k)+\\ \mathit{\Gamma }(k+1)\mathit{w}(k)\\ \mathit{z}(k+1)=\mathit{C}(k+1)\mathit{x}(k+1)+\mathit{v}(k+1)\end{array}(1)$

式中:x (k+1) 是系统状态向量, z (k+1) 是系统观测向量, w (k) 是系统噪声向量, v (k+1) 是观测噪声向量, Φ (k+1, k) 是系统状态转移矩阵, Γ (k+1) 是系统噪声矩阵, C (k+1) 是系统观测矩阵。根据观测值统计特性可知, 系统噪声{w (k) , k≥0}和观测噪声{v (k) , k≥0}是不相关的零均值高斯白噪声。

随机系统的状态估计问题, 就是根据选定的估计准则和获得的量测信息对系统状态进行估计, 卡尔曼滤波的估计准则是:$J[\tilde{\mathit{x}}(k)]=J[\mathit{x}(k)-\widehat{\mathit{x}}(k)]=E[\tilde{\mathit{x}}(k)\tilde{\mathit{x}}{}^{\text{Τ}}(k)]=\min ‚E[\widehat{\mathit{x}}(k)]=E[\mathit{x}(k)]$, 即估计量$\widehat{\mathit{x}}$ (k) 是x (k) 的无偏估计和最小方差估计。根据这两个准则可推导出系统的完整滤波算法, 即:

$\begin{array}{l}\widehat{\mathit{X}}(k/k-1)=\mathit{\Phi }(k,k-1)\widehat{\mathit{X}}(k-1/k-1)(2)\\ \mathit{v}(k)=\mathit{{\rm Z}}(k)-\mathit{C}(k)\widehat{\mathit{X}}(k/k-1)(3)\\ \widehat{\mathit{X}}(k/k)=\widehat{\mathit{X}}(k/k-1)+\mathit{{\rm K}}(k)\mathit{v}(k)(4)\\ \mathit{{\rm P}}(k/k-1)=\mathit{\Phi }(k,k-1)\mathit{{\rm P}}(k-1/k-1)\\ \mathit{\Phi }{}^{\text{Τ}}(k,k-1)+\mathit{\Gamma }(k-1)\mathit{Q}(k-1)\mathit{\Gamma }{}^{\text{Τ}}(k-1)(5)\end{array}$

K (k) =P (k / k-1) CT (k) Pv-1 (k) =

P (k / k-1) CT (k)

[C (k) P (k / k-1) CT (k) +R (k) ]-1 (6)

P (k / k) =[I-K (k) C (k) ]P (k / k-1) (7)

卡尔曼滤波算法采用递推算法。计算最优滤波值时, 进行反复递推运算, 但这个计算顺序并不唯一。

2 卡尔曼滤波在雷达距离和角度偏差估计中的应用和改进

如图1所示, ra、θa和rb、θb分别表示传感器a和b的斜距和方位角, xsa、ysa和xsb、ysb分别表示传感器a和b在全局坐标平面上的位置, xa、ya和xb、yb分别表示传感器a和b对同一目标在全局坐标平面上的量测。

这一配置的基本方程为:

$\{\begin{array}{l}x{}_{\text{a}}=x{}_{\text{s}\text{a}}+r{}_{\text{a}}\sin \theta {}_{\text{a}}\\ y{}_{\text{a}}=y{}_{\text{s}\text{a}}+r{}_{\text{a}}\cos \theta {}_{\text{a}}\\ x{}_{\text{b}}=x{}_{\text{s}\text{b}}+r{}_{\text{b}}\sin \theta {}_{\text{b}}\\ y{}_{\text{b}}=y{}_{\text{s}\text{b}}+r{}_{\text{b}}\cos \theta {}_{\text{b}}\end{array}(8)$

如果忽略掉噪声项, 则有:

$\{\begin{array}{l}r{}_{\text{a}}=r{}_{{\text{a}}^{\prime }}+\text{Δ}r{}_{\text{a}}\\ \theta {}_{\text{a}}=\theta {}_{{\text{a}}^{\prime }}+\text{Δ}\theta {}_{\text{a}}\\ r{}_{\text{b}}=r{}_{{\text{b}}^{\prime }}+\text{Δ}r{}_{\text{b}}\\ \theta {}_{\text{b}}=\theta {}_{{\text{b}}^{\prime }}+\text{Δ}\theta {}_{\text{b}}\end{array}(9)$

式中:ra′、θa′和rb′、θb′分别表示目标相对于传感器a和b的真实斜距和方位角;Δra、Δθa和Δrb、Δθb分别表示传感器a和b的斜距和方位角偏差。将式 (9) 代入式 (8) , 并将得到的方程相对于Δra、Δθa、Δrb和Δθb进行一阶泰勒级数展开, 可以得到:

$\{\begin{array}{l}x{}_{\text{a}}-x{}_{\text{b}}\approx \sin \theta {}_{\text{a}}\text{Δ}r{}_{\text{a}}-\sin \theta {}_{\text{b}}\text{Δ}r{}_{\text{b}}+\\ r{}_{\text{a}}\cos \theta {}_{\text{a}}\text{Δ}\theta {}_{\text{a}}-r{}_{\text{b}}\cos \theta {}_{\text{b}}\text{Δ}\theta {}_{\text{b}}\\ y{}_{\text{a}}-y{}_{\text{b}}\approx \cos \theta {}_{\text{a}}\text{Δ}r{}_{\text{a}}-\cos \theta {}_{\text{b}}\text{Δ}r{}_{\text{b}}-\\ r{}_{\text{a}}\sin \theta {}_{\text{a}}\text{Δ}\theta {}_{\text{a}}+r{}_{\text{b}}\sin \theta {}_{\text{b}}\text{Δ}\theta {}_{\text{b}}\end{array}(10)$

下面就式 (10) 用卡尔曼滤波方法研究雷达偏差。

假定传感器偏差向量时不变, 且与噪声无关, 则可以构造状态方程:

$\{\begin{array}{l}\mathit{x}(k)=\mathit{x}(k-1)\\ \mathit{z}(k)=\mathit{C}(k)[\mathit{x}(k)+\mathit{v}]=\\ \mathit{C}(k)\mathit{x}(k)+\mathit{C}(k)\mathit{v}\end{array}(11)$

式中:

$\mathit{v}=[v{}_{r{}_{\text{a}}}‚v{}_{\theta {}_{\text{a}}}‚v{}_{r{}_{\text{b}}}‚v{}_{\theta {}_{\text{b}}}]{}^{\text{Τ}}$

v服从Gauss分布, 且:

$\{\begin{array}{l}E[\mathit{v}]=0\\ \mathit{r}=\mathrm{cov}[\mathit{v}]=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}\{\sigma {}_{r{}_{\text{a}}}^2,\sigma {}_{\theta {}_{\text{a}}}^2‚\sigma {}_{r{}_{\text{b}}}^2,\sigma {}_{\theta {}_{\text{b}}}^2\}\end{array}$

由式 (1) 的观测方程和状态方程与式 (11) 比较可知:

$\begin{array}{l}\mathit{\Phi }(k,k-1)=1\\ \mathit{Q}(k)=0\end{array}$

可以应用卡尔曼滤波算法对传感器的偏差进行估计, 即:

$\{\begin{array}{l}\widehat{\mathit{X}}(k/k-1)=\widehat{\mathit{X}}(k-1/k-1)\\ \mathit{{\rm P}}(k/k-1)=\mathit{{\rm P}}(k-1/k-1)\\ \widehat{\mathit{X}}(k/k)=\widehat{\mathit{X}}(k/k-1)+\\ \mathit{{\rm K}}(k)[\mathit{{\rm Z}}(k)-\mathit{C}(k)\widehat{\mathit{X}}(k/k-1)]\\ \mathit{{\rm K}}(k)=\mathit{{\rm P}}(k/k-1)\mathit{C}{}^{\text{Τ}}(k)\\ [\mathit{C}(k)\mathit{{\rm P}}(k/k-1)\mathit{C}{}^{\text{Τ}}(k)+\mathit{R}(k)]{}^{-1}\\ \mathit{{\rm P}}(k/k)=[\mathit{{\rm I}}-\mathit{{\rm K}}(k)\mathit{C}(k)]\mathit{{\rm P}}(k/k-1)\end{array}(12)$

式中:

$\mathit{R}(k)=\mathit{C}(k)\mathit{r}\mathit{C}{}^{\text{Τ}}(k)(13)$

对于相对稳定的系统, 卡尔曼滤波估计效果很好, 但在系统紧急启动或系统中雷达状态突然变化时, 传统的卡尔曼滤波估计结果不能很好地满足实时要求或很快地跟上这样的变化, 为了加快其收敛速度, 需要将卡尔曼滤波算法加以改进。

下面来分析误差产生的原因[3]。从式 (4) 可知, k时刻的最优状态估值与实际状态接近程度取决于两个因素:一是状态预测值$\widehat{\mathit{x}}(k/k-1)$接近真实状态x (k) 的程度, 二是滤波增益k (k+1) 对状态预测值$\widehat{\mathit{x}}(k/k-1)$的修正程度。下面将重点针对一步预测值$\widehat{\mathit{x}}(k/k-1)$的改进算法, 以使$\widehat{\mathit{x}}(k/k-1)$最大限度地接近系统的真实状态。由式 (11) 可知, 传统的卡尔曼滤波算法在观测噪声线性化过程中放大了许多倍, 使得卡尔曼滤波在多次迭代计算的过程中, 收敛速度减慢, 计算滤波值的时间延长。

将雷达的观测噪声限定在一定范围内, 如图1所示, 若不考虑噪声情况, 估计值就在以所得观测值为原点的椭圆内, 这样将观测噪声计算改为如下情形:

a雷达的横向观测噪声为:

$\text{Δ}x{}_{\text{a}}=(r{}_{\text{a}}+v{}_{r{}_{\text{a}}})\sin (\theta {}_{\text{a}}+v{}_{\theta {}_{\text{a}}})-r{}_{\text{a}}\sin \theta {}_{\text{a}}(14)$

a雷达的纵向观测噪声为:

$\text{Δ}y{}_{\text{a}}=(r{}_{\text{a}}+v{}_{r{}_{\text{a}}})\cos (\theta {}_{\text{a}}+v{}_{\theta {}_{\text{a}}})-r{}_{\text{a}}\cos \theta {}_{\text{a}}(15)$

b雷达的横向观测噪声为:

$\text{Δ}x{}_{\text{b}}=(r{}_{\text{b}}+v{}_{r{}_{\text{b}}})\sin (\theta {}_{\text{b}}+v{}_{\theta {}_{\text{b}}})-r{}_{\text{b}}\sin \theta {}_{\text{b}}(16)$

b雷达的纵向观测噪声为:

$\text{Δ}y{}_{\text{b}}=(r{}_{\text{b}}+v{}_{r{}_{\text{b}}})\cos (\theta {}_{\text{b}}+v{}_{\theta {}_{\text{b}}})-r{}_{\text{b}}\cos \theta {}_{\text{b}}(17)$

对应观测值的最大噪声为:

$\mathit{V}=[|\text{Δ}x{}_{\text{a}}|+|\text{Δ}x{}_{\text{b}}|‚|\text{Δ}y{}_{\text{a}}|+|\text{Δ}y{}_{\text{b}}|]{}^{\text{Τ}}(18)$

则式 (11) 中的观测方程变为:

$\begin{array}{l}\mathit{z}(k)=\mathit{C}(k)[\mathit{x}(k)+\mathit{v}]=\\ \mathit{C}(k)\mathit{x}(k)+\mathit{C}(k)\mathit{v}=\mathit{C}(k)\mathit{x}(k)+\mathit{V}(19)\end{array}$

则式 (13) 中的R (k) 变为:

$\mathit{R}(k)=\mathit{V}(k)\mathit{V}{}^{\text{Τ}}(k)(20)$

3 仿真与分析

下面用仿真的方法说明卡尔曼滤波方法在估计传感器偏差方面的有效性并比较改进前后的效果。

假设在两传感器共同覆盖的空域有一目标并同时对该目标进行测量, 两传感器采样周期相同, 并且所得的数据已经配准。传感器a在统一坐标系中的坐标为 (0 km, 0 km) , 传感器b在统一坐标系中的坐标为 (450 km, 70 km) 。由传感器的战术技术性能[4]可知, 传感器a和传感器b的测量噪声均为白噪声, 均值都为0, 传感器a的测距误差≤1 km, 测角误差≤0.6°;传感器b的测距误差≤0.5 km, 测角误差≤1.5°。根据概率论“3σ规则”[5], 有量测噪声方差阵:

$\begin{array}{l}\mathit{r}=\mathrm{cov}[\mathit{v}]=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}\{\sigma {}_{r{}_{\text{a}}}^2,\sigma {}_{\theta {}_{\text{a}}}^2‚\sigma {}_{r{}_{\text{b}}}^2,\sigma {}_{\theta {}_{\text{b}}}^2\}=\\ \{0.111,0.04,0.0278,0.25\}\end{array}$

仿真结果如图2、图3所示, 数据 (模拟数据) 如表1所示。

图2中, (a) 、 (b) 为传感器a的距离偏差和角度偏差随卡尔曼滤波算法迭代次数的变化曲线, (c) 、 (d) 为传感器b的距离偏差和角度偏差随卡尔曼滤波算法迭代次数的变化曲线, (e) 、 (f) 为改进算法后传感器a的距离偏差和角度偏差的方差随卡尔曼滤波算法迭代次数的变化曲线, (g) 、 (h) 为改进算法后传感器b的距离偏差和角度偏差的方差随卡尔曼滤波算法迭代次数的变化曲线。

图3中, (a) 为传感器a的改进前后的距离偏差方差比较, (b) 为传感器a的改进前后的角度偏差方差比较, (c) 为传感器b的改进前后的距离偏差方差比较, (d) 为传感器b的改进前后的角度偏差方差比较, 实线是改进后各滤波估计值方差的收敛曲线, 虚线是改进前各滤波估计值方差的收敛曲线。

从图2可以看出, 当第10组数据参与滤波估计计算后, 改进算法后滤波估计值接近稳定状态。与未改进的相比较, 得出可以接受的估计结果的时间提前约50%, 而且与理论数据 (Δra=-5 km, Δθa=-2°, Δrb=3 km, Δθb=-0.9°) 相比较, 精度更高。图3中两条线的比较表明, 改进后的算法收敛速度加快, 克服了观测模型线性化误差带来的不良影响, 以及由于观测噪声的统计特性不能精确已知而导致的滤波收敛速度问题, 在数据处理实时性方面显示出很强的优越性。

4 结束语

针对信息融合系统中传感器偏差估计, 将卡尔曼滤波算法应用到传感器偏差估计上效果较好, 为提高卡尔曼滤波算法的收敛速度, 对其观测噪声进行单独计算, 然后代入算法中, 从仿真结果可知, 效果明显。

参考文献

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[3]李春霞.卡尔曼滤波方程的改进算法及应用[J].哈尔滨商业大学学报:自然科学版, 2002, 18 (3) :264-267.

[4]空军司令部雷达兵部.雷达兵军官资料手册[M].1999:146-149.

若干随机变量序列的大偏差估计 篇2

设{Xi, i≥1}是定义在概率空间 (Ω, F, μ) 上的随机变量序列, 令undefined。近些年来, 一些国内外学者研究了概率:μ (Sn>nx) 的渐近行为, 可参见文献[1,2,3,4,5,6,7,8]。Lesigne等在文献[1]中提出了大偏差的概念, 并给出了序列{Xi, i≥1}为鞅差序列时在p>2的情形下的大偏差估计。LI Yulin对文献[1]的结果进行了推广, 得到了在1

根据文献[1,2,6,10]中的方法以及文献[3,4,5]中的结论, 利用Markov不等式和Cr-不等式, 得到了{Xi, i≥1}为线性负象限相依 (LNQD) 序列, α混合序列, ρ混合序列的大偏差估计。

2 主要结果

2.1 线性负象限相依 (LNQD) 序列的大偏差估计

引理2.1 ([3], 引理 1.4) 设{Xi, i≥1}是零均值的线性负象限相依 (LNQD) 的随机变量序列。那么对p>1, 存在正常数D使得:

定理2.1 设{Xi, i≥1}是零均值的线性负象限相依 (LNQD) 的随机变量序列。若存在正常数M<∞, 使得‖Xi‖p≤M<∞, 那么当n≥1时, 对任意x>0, 有:

证明 1) 若1

根据 Markov 不等式和式 (1) , 有:

2) 若p>2, 则undefined。利用Cr-不等式, 有:

根据Markov不等式和式 (1) , 有:

2.2α混合序列的大偏差估计

引理 2.2 ([4], 定理1.1) 设10, {Xi, i≥1}是零均值的α混合随机变量序列, 且E|Xi|r+δ<∞。假设undefined, 且对于C>0, α (n) ≤Cn-θ。那么, 对任意的ε>0, 存在正常数K=K (ε, p, δ, θ, C) <∞。使得:

定理 2.2 设10, {Xi, i≥1}是零均值的α混合随机变量序列, 且E|Xi|r+δ<∞。假设undefined, 且对于C>0, α (n) ≤Cn-θ。那么, 对任意的ε>0, 存在正常数K=K (ε, p, δ, θ, C) <∞。当max{‖Xi‖p, ‖Xi‖p+δ}≤M时, 对任意的x>0, 有:

证明 根据 Markov 不等式和式 (4) 式可知:

2.3 ρ混合序列的大偏差估计

引理 2.3 ([4], 引理1.2) 设{Yi, i≥1}是ρ混合随机变量序列。若Xi∈σ (Yi) , 且EXi=0。以及对任意的i≥1, p>2, 有E|Xi|p<∞。那么存在一个正常数C, 使得:

定理2.3 设{Yi, i≥1}是ρ混合随机变量序列。若Xi∈σ (Yi) , 且EXi=0。若i≥1, p>2, 存在正整数M使得‖Xi‖p≤M。那么对任意的x>0, 有:

证明 若p>2, 则undefined。利用凸不等式, 则有:

故有:undefined

通过Jensen不等式, 有:

因此, 利用Cr-不等式有:

根据 Markov 不等式和式 (6) 可知:

结合上述证明, 可得如下结论:

参考文献

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MIMO雷达角估计算法研究与改进 篇3

MIMO雷达[1,2,3]是基于MIMO技术提出的一种新体制雷达。与传统的相控阵雷达相比, MIMO雷达能够获得更优的目标检测和参数估计性能[4,5,6]。MIMO雷达发射不相关或正交的信号, 在接收端对信号进行匹配滤波。就信号的处理方式而言, MIMO雷达可分为两大类:一类是基于相控阵体制下的相干MI-MO雷达, 包括收发共置的单基地和收发分置的双基地MIMO雷达。该类雷达其特点是阵元间距小, 利用波形分集和多通道相干处理增加雷达系统的自由度, 提高角度分辨率和参数的估计性能;另一类是基于多基站的非相干处理MIMO雷达, 其特点是阵元间距足够大, 每一对收发阵元都相当于一组双基地雷达, 利用目标回波在空间衰落不同, 使目标RCS的波动平均输出基本上不变, 从而获得空间分集增益, 提高闪烁目标的检测性能[5,6,7,8,9]。

本文是研究第一类双基地MIMO雷达的角度估计。文献[4]是研究MUSIC算法在MIMO雷达中DOA的估计性能, 但并没有分析MIMO雷达DOD的估计方法。文献[5]指出, 由于MIMO雷达发射多个独立信号, 使不同目标反射的回波相互独立, 在接收端直接应用Capon自适应处理方法, 并给出了Capon算法在MIMO雷达中的应用。文献[6]将ESPRIT算法同时应用到发射端和接收端, 利用信号子空间的旋转不变性, 分别估计目标的DOD和DOA。本文主要是研究二维MUSIC算法和二维Capon算法的DOD和DOA的分辨能力, 以及用本文提出的MU-SIC-ESPRIT进行一维搜索的角度估计算法, 并把本文算法与二维MUSIC算法和二维Capon算法进行比较。

1 MIMO雷达信号模型

双基地MIMO雷达发射和接收阵列如图1所示。假设发射和接收阵列均为均匀线阵, 有MT个发射阵元、MR个接收阵元, 发射和接收阵元间距分别为dT和dR, 设d=dT=dR=λ/2, λ为工作波长。假设远场空间有p个目标, 图中第i个目标相对阵列法线的目标发射角DOD为φi, 目标接收角DOA为θi, 发射站距第i个目标的距离为R1i, 接收站距该目标的距离为R2i, 而发射站和接收站之间的基线距离为D。

那么MIMO雷达的接收阵列接收到得信号可表示为:

式中:βi和fi分别为第i个目标的反射系数和多普勒频率, 为发射阵列的导向矢量, 为接收阵列的导向矢量, S (t) =[s1 (t) , …, sMT (t) ]T为发射信号矢量, W为附加的高斯白噪声矩阵。由于发射信号具有正交性SSH/K=IMT×MT, 其中K为快拍数, IMT×MT为MT×MT的单位矩阵。用对接收信号进行匹配滤波之后的输出信号为:

2 角度估计算法

2.1 二维Capon角度估计算法

Capon最小方差法使输出功率最小, 也使干扰信号的贡献最小, 由式 (2) 可以得到空间目标的二维空间谱:

其中, 为信号矢量的协方差矩阵。对目标的发射角和接收角进行二维搜索就可以得到目标的DOD和DOA。

2.2 二维MUSIC角度估计算法

信号与噪声是相互独立的, 因此对信号矩阵的协方差RY作特征值分解, 可分为信号和噪声两部分, 如:RY=UsΛsUHs+UnΛnUHn其中是LT个大特征值所组成的对角阵, Us是大特征值所对应的信号子空间是MTMR-LT个小特征值所组成的对角阵, Un是小特征值所对应的噪声子空间。在理想条件下, 信号子空间和噪声子空间是相互正交的, 也就是说信号子空间中的导向矢量与噪声子空间正交:

但由于噪声的存在, A (φ, θ) 和Un并不能完全正交, 也就是说式 (4) 不一定成立。所以实际中求DOD和DOA是通过最小化搜索实现的, 即:

因此二维的MUSIC算法的谱估计公式为:

所以当φ, θ为某一信源的DOD和DOA时, 通过谱峰搜索时, 谱函数将出现一个峰值。

本文算法都是用Matlab软件进行编程仿真, 下面是MUSIC算法的计算步骤:

(1) 由匹配滤波后的阵列接收数据计算出数据协方差矩阵为RY;

(2) 对RY进行特征值分解;

(3) Us是大特征值所对应的信号子空间, Un是小特征值所对应的噪声子空间;

(4) 根据DOD和DOA的角度范围, 利用式 (6) 进行二维谱峰搜索;

(5) 极大值点所对应的角度就是目标的DOD和DOA。

MUSIC角估计算法核心程序片段如下:

2.3 MUSIC-ESPRIT角度估计

由于二维谱峰搜索的运算量比较大, 本文提出一种MUSIC-ESPRIT角度估计方法。用MUSIC方法估计DOD, 用ESPRIT方法估计DOA。

首先假设接收端只有一个接收阵元, 则式 (2) 变为:

其中, X1=X, n1为匹配滤波后的输出噪声, 信号的协方差矩阵为:

信号矩阵的协方差RY1作特征值分解, 则有:

根据MUSIC谱峰搜索公式:

可以估计出目标的发射角度。

在接收端用ESPRIT方法, 对目标进行DOA估计。首先定义:

ar1 (θi) 和ar2 (θi) 分别是取ar (θi) 的前MR-1和后MR-1个元素。由ar (θi) 可知:

由式 (11) 和 (12) 可得Ar2=Ar1Φr, Φr是第i个对角元素是的LT×LT的对角阵。

信号子空间Us和阵列流形矩阵A满足:Us=AT, T是一个特定的LT×LT的非奇异矩阵。用构造Ar1, Ar2相同的方法构造Ur1, Ur2则有:Ur1=Ar1T, Ur2=Ar2T代入式 (11) 得:

令Ψr=Ur2U#r1, 上标#表示矩阵的伪逆, 则式 (13) 可写成:

由以上两式可得:Φr是Ψr的特征值矩阵。对Ψr进行特征值分解, 其特征值为γri (i=1, 2, LT) , 因此, 目标的DOA的估计值为:

angle (·) 表示取相角。最后通过发射角和到达角, 对目标进行一一配对。

3 算法仿真

假设为双基地MIMO雷达, 收发阵元间距均为λ/2, 发射阵元数MT=4, 接收阵元数MR=4。发射端各个阵元均发射正交的线性调频信号, 信噪比SNR=20, 发射信号的采样快拍数K=100, 各目标的雷达横截面积RCS均为1。当信噪比越大、快拍数越多、RCS越大的时候, 角估计仿真的效果越好, 各目标之间越容易辨认, 反之则旁瓣升高, 目标之间相对较难辨认。假设空间存在4个目标分别为: (10°, 20°) , (20°, 40°) , (-20°, -30°) , (-40°, 50°) 。则用以上三种算法进行角度估计。如图2至图10所示, 图11为三种算法的复杂度比较图。

由实验可知, 二维的Capon算法和二维MUSIC都可以对多目标的收发角度进行准确的估计。由图2和图5比较可得, 二维MUSIC算法比二维Capon算法的性能更好, 但是MUSIC算法实现起来相对复杂, 且MUSIC算法必须在已知信源数的前提下对角度进行估计, Capon算法可以在信源数未知的情况下也可以估计角度。但是这两种算法都需要进行二维的谱峰搜索, 运算量是比较大的, 而本文的MUSIC-ESPRIT算法的运算复杂度明显减少。从理论上讲, 用二维Capon算法对收发角进行估计的算法复杂度为O (KMT2MR2+MT3MR3+n2 (MT2MR2+MTMR) ) , 而二维的MUSIC算法的复杂度为:O (KMT2MR2+MT3MR3+n2 ( (MTMR-p) (MTMR2+MR2) +MR2) ) 。本文的算法复杂度为:

其中, K=100是快拍数, MT=4, MR=4, n是谱峰搜索的次数, p=4。由以上实验可以知, 本文的MUSIC-ESPRIT角度估计算法也可以精确地估计出多目标的发射角和到达角, 相比前面两种算法, MUSIC-ESPRIT算法做的是一维搜索, 大大减少了运算量。实验证明以上三种算法对目标的角度估计都是可行的, 但是本文算法大大降低运算的复杂度, 提高了计算的效率。

4 结语

本文介绍了MIMO雷达的基本原理以及几种收发角度估计方法:二维Capon算法、二维MUSIC算法, 还重点分析了本文所提出的MUSIC-ESPRIT算法, 并用Matlab作了空间谱仿真, 验证了算法的有效性。本文提出的MUSIC-ESPRIT算法将二维的空间谱搜索转换为一维空间谱搜索, 有效实现目标的收发角度联合估计, 降低了运算复杂度。天波超视距雷达 (OTHR) 可以对上百万平方公里的海面进行监视, 它对付低空突防、反辐射导弹以及隐身飞机等具有天然的优势, 然而, 由于干扰、电离层的多层性和不稳定性、固有的低分辨特征等问题限制了OTHR的广泛应用, 面对OTHR现存的问题, 将MIMO技术引入到OTHR中, 可以明显提高OTHR的分辨率, 使原来的角度分辨率得到明显的提高, 可以使雷达在较少的发射和接收阵元的情况下也可以精确地进行DOD和DOA估计。所以研究MIMO技术的OTHR的角度估计是很必要的。本文提出的MUSIC-ESPRIT算法应用在OTHR角度估计中, 不仅可以提高雷达的角度分辨率, 还可以大大减少运算量。从本文也可以看出各种算法的优势和局限性, 从而使我们在今后的研究中扬长避短, 使MIMO雷达的角估计性能进一步得到提高, 并充分发挥其优势。

摘要：角估计是雷达参数估计的一个重要内容, 主要目的是确定各个信号到达阵列参考阵元的方向角。MIMO雷达可有效提高角估计分辨力和精度而得到广泛的关注, 但MIMO雷达角估计算法却比较复杂。主要对MIMO雷达角估计的几种算法——二维Capon角估计算法、二维MUSIC角估计算法以及提出的改进的MUSIC-ESPRIT角度估计算法进行深入系统地研究。通过计算机仿真分析各种不同算法的特点, 发现提出的算法明显降低了角估计算法的时间复杂度, 从而得出各种算法的优缺点和局限性, 为正确分析MIMO雷达回波信号提供重要依据。

关键词：角估计,MIMO雷达,MUSIC,Capon,ESPRIT,复杂度

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