合情推理

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合情推理（精选十篇）

合情推理 篇1

笔者:我这两个月的用水量太不正常了,26吨,我怀疑是否抄错了。

收费员:一般不会抄错的,这是两个月的用水量,分一下,一个月的用水量不就少下来了。

笔者:我知道是两个月的用水量,但每个月13吨,也是太多了。你看我这一年每个月的用水量,最多时12吨,只有一个月;最少时6吨,大部分是7吨、8吨。而且这两个月雨水特别多,不存在大量用水洗地板、洗衣的情况。

收费员:那你回去看看水表上有没有“1880”,如果有就没抄错,如果没有就抄错了。

笔者回家后查看水表上有“1875”吨,没有“1880”吨。减去4月份的水表数1854吨,应该是21吨,果真抄错了!证明我的推理是合情合理的。

生活中像笔者经历的这样需要合情推理的事情无处不在。合情推理顾名思义是一种合乎情理的推理。小学数学教材中也含有丰富的显性或隐性的合情推理素材,需要教师用心挖掘,以培养学生的合情推理能力,从而较好地解决生活中遇到的问题。

一、挖掘显性合情推理素材培养合情推理能力

显性合情推理素材,教材里面或多或少都有明示。有的明示了合情推理依据,使学生知道为什么这么推理。如小数乘小数(见下图):

有的明示了合情推理方法,让学生懂得怎么推理。如一年级下册的实践活动一“摆一摆,想一想”呈现的是“从摆圆片到不用摆”的从具体到抽象逐渐提升的合情推理方法:你们能用2个○表示不同的数吗?你们能用3个O表示不同的数吗?用4个○、5个○……分别能表示哪些不同的数?不用摆,你能说出用9个O表示哪些数?教师应充分挖掘这些合情推理依据素材、方法素材的教育作用,让学生既明了为什么这样推理,又知道怎样推理,从而形成合情推理能力。

1. 挖掘合情推理依据素材培养合情推理能力。

任何一个数学知识都不是孤立存在的,都能找到与其有关联的基础或衍生。挖掘合情推理的依据素材,就是要找到新知识的“前世今生”,找到与新知识有密切联系的旧知识,解决从哪里开始入手思考的问题。

如“一个数除以小数”,在探究算理,明确算法(见下图)环节,重点在于让学生理解在竖式计算中,为什么除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也同时要向右移动几位的算理。这就必须引导学生思考:可以把除数“0.85米”转化成整数“85厘米”进行计算,那么被除数“7.65米”就变成“765厘米”。即0.85米=85厘米,7.65米=765厘米,765÷85=9(个)。表现在竖式中,就是把除数“0.85”扩大到它的100倍后,除数就变成了整数“85”,为了使商不变,被除数“7.65”也要扩大到它的100倍,变成“765”。765除以85商是9。其依据是商不变规律。

在随后的练习中,一是要多让学生叙述竖式中除数、被除数是如何变化的,也就是变化的依据是什么。二是可以出一些除数、被除数的小数点移动位数不对应的错题,让学生当“小医生”,诊断其错因。

在小学数学中占比重最多的计算,都要依据一定的公式、法则、运算定律等规则,明确算理的过程也就是进行合情推理的过程。因此,挖掘合情推理的依据素材,就成了计算算理教学不可缺少的一部分。分数的基本性质、比的基本性质的推导也同样要注意挖掘其依据素材,有意识地引导学生对相关知识展开合情推理,从而培养合情推理能力。

2. 挖掘合情推理方法素材培养合情推理能力。

学生对合情推理方法掌握得如何,决定着学生进行合情推理的速度和简洁度,体现其思维的敏捷与否、简洁与否。合情推理方法可以采用如上文中提到的一年级下册的实践活动“摆一摆,想一想”中的动手做——用圆片摆,或不用摆直接思考;还可以采用画示意图、线段图、列表等方法。在“空间与图形”领域则普遍使用转化方法,从长方形的面积计算公式到正方形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程,从长方体的体积计算公式到正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式的推导过程,教材都明示了转化方法。在“统计与概率”中可能性的推理有时采用实验方法,有时采用收集、整理、分析数据的方法。

例如教学六年级下册“统计”(见右图),书中“上面这幅统计图提供的数据不清,无法全面地反映有关彩电市场各品牌占有率的情况”就提示了进行合情推理的方法是要观察、分析统计图中的数据。因此,教学时,应先让学生观察扇形统计图,交流说出自己了解到的信息;然后老师提出问题:有人认为A牌彩电是市场上最畅销的彩电吗?学生可能会产生几种不同的看法:一部分会认为A品牌最畅销,还有一部分则认为A品牌不是最畅销的,从而引起认知冲突。接着教师引导学生观察、思考统计图里“其他”部分可能包含了哪些信息?让学生分别说说“其他”的具体含义,从而明确“其他”里面可能含有比A品牌更畅销的彩电品牌。由此,使学生明白这幅统计图提供的数据比较模糊,不够完整,我们无法从中得到有关彩电市场占有率的完整信息,所以从该统计图中不能得出A牌彩电最畅销这样的结论。并进一步使学生认识到在制作统计图时,一定要客观准确地反映信息;在分析统计图时,不要被数据模糊的统计图误导,一定要认真分析,找出问题的症结。

二、挖掘隐性合情推理素材培养合情推理能力

而隐性合情推理素材,教材没有明示,它或隐藏在数学各知识点之间的关系中,或隐藏在数学抽象中,需要教师有一双慧眼,引导学生透过现象看到问题的本质,找到合情推理的方法,寻找解决问题的途径。

1. 挖掘没有明示的其他合情推理素材。

由于教材篇幅的限制,教材中呈现的合情推理过程往往只体现一个视角的推理过程,而转换视角,从另一个角度的推理过程,则要教师引导学生去挖掘。

如“三角形的面积”,书中只明示了“拼”(见右边合情推理1)的方法,而折的方法、剪拼的方法则要教师引导学生自己去探究(见下面合情推理2、合情推理3)。通过这样的挖掘,可以让学生从多个角度探寻将三角形转化成学过的平面图形(长方形或平行四边形),体会三种合情推理方法,从而推导出“三角形面积计算公式”,并深刻理解该公式的来历。

2. 挖掘表面现象后的合情推理素材。

“存在即是合理的”。德国哲学家黑格尔的这句名言用在数学上,也是恰当的。有的数学知识,表面上看来好像没有道理,说不通。但如果能深挖隐藏在知识表面现象后的本质,就会发现其存在的合理性。

如“圆柱的表面积”,书中只呈现了“圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积”这一计算方法。这种方法先要分别计算圆柱的侧面积、两个底面的面积,然后求出侧面积和两个底面的面积之和,计算过程最少要三大步。尤其是π要参与两次运算,计算量相对较大,要保证计算100%正确不太容易。那么有没有可以让π少参与运算,计算量较小的相对简单的计算公式呢?答案是有的。笔者让学生推导出了“S=2πr(h+r)”这一简化公式。更进一步思考:这个公式有具体的意义吗?这就需要进行合情推理。下面是学生对其进行的合情推理(笔者对学生的推理过程进行了整理、完善):

首先看圆柱的表面积公式的逐步提炼简化过程:

其次,从下图1可以看出圆柱表面展开变成一个长方形和两个圆形。长方形的长是2πr,宽是h,面积是2πrh。根据圆面积计算公式的推导过程,把圆剪拼成一个近似的长方形(如下图2),长方形的长是圆周长的一半πr,宽是圆的半径r,这个长方形的面积是πr2。

第三,如果把圆柱侧面展开后的长方形和2个底面转化成的两个长方形拼在一起就形成一个大的长方形(如下图3),长是2πr,宽是(h+r),面积是2πr(h+r),这个大的长方形的面积就是圆柱的表面积,圆柱的表面积也就是2πr(h+r)。

经过这样的合情推理,学生对圆柱表面积的计算就会有深刻的认识,从而为提高圆柱表面积计算的准确率打下良好的基础。

3. 挖掘数学抽象中的合情推理素材。

有的数学问题没有具体的数据,学生思考时往往束手无策,找不到解决问题的突破口。这时教师应引导学生挖掘数学抽象中的合情推理素材,把具体问题上升为更一般的数学问题。

如“一个圆的半径扩大a倍,直径扩大()倍,周长扩大()倍,面积扩大()倍”,大多数学生都采用例举数据法来解决(见下表)。

合情推理 篇2

广州市86中学 张科

【教学目标】

知识与技能目标：1：理解归纳推理的思想；

2：能够通过观察一些等式，猜想、归纳出它们的变化规律。3：能够归纳、猜想出某些数列的通项公式。

过程与方法目标：让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生的积极参与，亲身经历归纳推理定义的获得过程，培养学生归纳推理的思想。

情感态度与价值观目标：通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识，了解数学文化的积极态度。

【教学重点与难点】

重点：归纳推理的概念及应用。难点：归纳推理的应用。【教学方法】 启发、探索 【教学手段】

运用多媒体辅助教学 【教学过程】

一：创设情景，引入概念

师：今天我们要学习第二章：推理与证明。那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。

（学生观看flash动画）。

师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？

生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。

师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？

生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。

师：非常好！

（引出推理的概念）。师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）

师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。大家看这3个等式都是什么运算？

生：加法运算。

师：对。我们看来这些式子都是简单的加法运算。但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？

生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。

师：大家看等式右边的这些数有什么特点？ 生：都是奇数。

师：那么等式右边的数又有什么特点呢？ 生：都是偶数。

师：那我们就可以得到什么结论？ 生：偶数=奇数+奇数。

师：这个结论我们在小学就知道了。大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？

（学生观察，有人看出这些数还都是质数。）

师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。

生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？ 生：不行！

师：那么继续往下验证。

（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？

生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。

师：这就是哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想的过程就是一个归纳推理的过程。他根据上述部分等式的基本特征，（什么特征呢？即等式左边的数都是大于6的偶数，右边是两个奇质数之和），就猜想出：任何大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。或者说，由这些个别等式的特征，就得出一个一般性的猜想。那么现在大家能不能用一般性的语言来描述归纳推理的定义？（学生得出归纳推理的概念）。

师：归纳推理的思想我们在日常生活中也经常用到。大家能不能结合自己生活的实际，举出几个例子说明归纳推理的运用。（学生思考，讨论，给出例子）。

二：讲解例题，巩固概念

师：应用归纳推理可以发现新事实、获得新结论。我们来看一个数学中的例子。

例题1：观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，你能猜想到一个怎样的结论？ 练习：观察下列等式：

1=1

1+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，你能猜想到一个怎样的结论？ 例题2：已知数列an的第一项a11，且an1an(n1,2,3...)，试归纳1an出这个数列的通项公式。

练习：已知an(n25n5)2，求a1,a2,a3,a4的值？根据a1,a2,a3,a4的值，你能够猜想出an的值吗？你能得到什么结论？

三：问题探究，加深理解

观察下面的图形,请指出每个图形分别有几个球？按照这个规律，猜想第5个图形的形状应该是怎么样的？它应该由多少个球构成？第n个图形有几个球？

四：布置作业，巩固提高。

1：课本P44，A组1，2题，B组1题。

合情推理PK演绎推理 篇3

我们先从三个例题入手.

例1 已知数列{an}的通项公式为an=1(n+1)2(n∈N*),记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值.

分析 计算得f(1)=34,f(2)=46,f(3)=58.

由此猜想f(n)=n+22(n+1).

例2 小光和小明是一对孪生兄弟,刚上小学一年级.一次,他们的爸爸带他们去密云水库游玩,看到了野鸭子.小光说:“野鸭子吃小鱼.”小明说:“野鸭子吃小虾.”哥俩说着说着就争论了起来,非要爸爸给评评理.爸爸知道他们俩说得都没错,但没有直接告诉他们俩,而是用例子来进行比喻.爸爸说完后,哥俩都服气了.

以下哪一项最可能是爸爸讲给儿子们听的话?

A. 一个人的爱好是会变化的.爸爸小时候很爱吃糖,你奶奶管也管不住.但现在,你让爸爸吃,爸爸都不吃了.

B. 凡事都有两面性.咱们家养了猫,耗子就没了.但是如果猫身上长了跳蚤,也是很讨厌的.

C. 动物有时也通人性.若是主人喂它某种饲料,则吃得很好;若是陌生人喂,则怎么也不吃.

D. 你们兄弟俩的爱好几乎一样,只是对饮料的爱好有所不同,一个喜欢可乐,一个喜欢雪碧.你妈妈就不在乎,可乐、雪碧都行.

分析

在题干中,兄弟俩说的“野鸭子吃小鱼”和“野鸭子吃小虾”都没错.因为可能是一部分野鸭子吃小鱼,另一部分野鸭子吃小虾,也可能是野鸭子既吃小鱼又吃小虾,所以两个孩子的话并不矛盾.他们只是片面地看到了野鸭子的某一种行为,然后各执一词,争论不休.

选项A虽然用了比喻,但是说的是小孩和大人的区别,而题干中并未讨论小鸭子和大鸭子的区别.

在选项D中,爸爸用哥俩对可乐、雪碧各有偏好和妈妈既喝可乐又喝雪碧的例子进行类比,说明同一个群体中的不同个体可能有不同偏好,同一个体也可以有不同行为.由于比喻恰当,哥俩便服气了.

选B项讲的是事物的两面性,含有人的主观评价,与题干内容相去甚远.

选项C用的不是比喻,与题干内容不符.

故正确答案为D.

例3 用三段论的形式写出命题“函数y=lg(x+1+x2)是奇函数”的演绎推理过程.

分析 若对x∈R,有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数,(大前提)

函数f(x)=lg(x+1+x2)满足对x∈R,有f(-x)=-f(x),(小前提)

所以函数y=lg(x+1+x2)是奇函数.(结论)

例1是通过求一个数列(或定义域是正整数集的函数)的前几项的值,去猜想它的通项公式,这个过程是一个推理过程,它是由特殊到一般的推理,即在研究事物的特殊情况下的结论的基础上,得出有关事物的一般情况下的结论的推理方法,这种推理叫做归纳推理,归纳推理也称为归纳法.根据所研究的是否是事物的一切特殊情况,归纳推理一般又可分为完全归纳推理和不完全归纳推理,也称为完全归纳法和不完全归纳法.

例2实际上是用比喻进行说理,在数学上叫做用类比进行推理.类比推理是根据两个对象都具有一些相同或类似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一属性,从而推出另一个对象也具有与该属性相同或类似的属性的推理方法,它是从特殊到特殊的推理.

以上两种推理有一个共同的性质,它们都是根据已有的事实、正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验或实践的结果以及个人的经验或直觉等推测某些新结果的推理过程,这样的推理叫做合情推理.合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用.

例3实际上是一个证明过程,证明过程本身就是一个推理过程,是从一般到特殊的推理,它是以某类事物中一般(普遍)事物的判断为前提作出这类事物中个别(特殊)事物的判断的推理方法,我们称之为演绎推理.演绎推理的过程刚好与归纳推理的过程相反.它是逻辑论证和数学证明中常用的推理方法.三段论是演绎推理的主要形式,指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理形式.三段论的三个简单判断中共只包含三个不同的概念,每个概念都只重复出现一次.这三个概念都有专门的名称:结论中的宾词叫“大词”,结论中的主词叫“小词”,结论不出现的那个概念叫“中词”.在两个前提中,包含大词的叫“大前提”,包含小词的叫“小前提”.

习题1 设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),n∈N*,求f2 007(x).

答案 -cosx.

习题2 类比正三角形的性质:三边长相等,三内角相等,可推知正四面体的下列一些性质:

① 各棱长相等,各共顶点的两条棱的夹角相等;

② 各个面都是全等的正三角形,各相邻两个面所成的二面角相等;

③ 各个面都是全等的正三角形,各共顶点的两条棱的夹角相等.

你认为其中比较恰当的性质是.(填序号)

答案 ③.

习题3 指出下列推理中的错误.

(1) 自然数是整数,(大前提)

-6是整数,(小前提)

所以-6是自然数.(结论)

(2) 中国的(一个)大学分布于中国各地,(大前提)

清华大学是中国的(一个)大学,(小前提)

所以清华大学分布于中国各地.(结论)

答案 (1) 小前提错误;

(2) 大前提错误.

由上述例题及习题,我们可以看出合情推理与演绎推理都是数学推理过程中常见的一些方法,它们之间联系紧密、相辅相成;同时,我们又可以看到合情推理仅仅是一种猜想,它的结论不一定正确,还需要我们进一步去研究、论证,而这个过程正好就是演绎推理.因此我们在解题时,往往先用合情推理猜想一个结论,然后再用演绎推理进行证明.

例4 已知:sin230°+sin290°+sin2150°=32,

sin25°+sin265°+sin2125°=32.

观察上述两个等式的规律,请你写出一般性的等式:

=32.

并证明该等式.

分析

一般性的等式为:sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=32.

证明如下:左边=1-cos2α2+1-cos(2α+120°)2

+1-cos(2α+240°)2

=32-12[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]

=32-12(cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2αcos240°-sin2αsin240°)

=32-12cos2α-12cos2α-32sin2α-12cos2α+32sin2α

=32=右边,

所以原式得证.

点评 将一般性的等式写成sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=32,或sin2(α-240°)+sin2(α-120°)+sin2α=32等均正确.这里先利用归纳推理猜想一般性的结论,再利用演绎推理证明该结论.

习题4 观察以下各等式:

sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34,

sin220°+cos250°+sin20°cos50°=34,

sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34.

分析上述各等式的共同特点,猜想反映一般规律的等式,并对其正确性作出证明.

解 一般等式为:sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=34.

证明过程略.

例5 已知数列{an}中,a1=1,an+1=an1+2an

(n=1,2,…),

试归纳出这个数列的通项公式并证明.

分析 a2=13,a3=15,….

一般地,有an=12n-1.

证明如下:由an+1=an1+2an,得1an+1=1+2anan=1an+2,即1an+1-1an=2,

所以数列1an是首项为1a1,公差为2的等差数列,则1an=1a1+2(n-1),

所以1an=2n-1,则an=12n-1.

点评 实际上,这里的证明通项公式的过程及方法也就是求通项公式的过程及方法.由例5以及后面的习题5,你能总结出什么规律?

若数列{an}满足an+1=aana+ban(ab≠0),则采用取倒数的方法即可得出数列1an是等差数列,再根据等差数列的通项公式即可求出数列{an}的通项公式.

习题5 设数列{an}中,a1=1,an+1=2an2+an

(n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式并证明.

解 a2=23,a3=24,….

一般地,有an=2n+1.

本题也可以直接求出通项公式.

证明(求法)如下:由an+1=2an2+an,得1an+1=2+an2an=1an+12,即1an+1-1an=12,

所以数列1an是首项为1a1,公差为12的等差数列,则1an=1a1+(n-1)×12,

所以an=n+12,则an=2n+1.

例6 将平面内的三角形和空间中的四面体进行类比.

分析 这里的类比可分为以下两类(这里分别列举部分性质,请同学们自己完成证明):

(1) 平面内的直角三角形与空间中的直角四面体的性质类比.

平面内的直角三角形的性质空间中的直角四面体的性质

在△ABC中,∠BCA=90°,点C在斜边AB上的射影为D,则有结论:

(1) 点D在线段AB上.

(2) AB>AC,AB>BC, 即直角三角形的三边中,斜边最长.

(3) 射影定理:

AC2=AD•AB,CB2=DB•AB,CD2=AD•DB.

(4) 1CD2=1AC2+1CB2.

在四面体SABC中,平面SAB,平面SBC,平面SAC两两垂直,点S在底面ABC上的射影为O,则有类似结论:

(1) 点O在△ABC内.

(2) 直角四面体的四面中,底面面积最大.

(3) S2△SAB=S△OABS△ABC,

S2△SAC=S△OACS△ABC,

S2△SBC=S△OBCS△ABC.

(4) 1SO2=1SA2+1SB2+1SC2.

(2) 平面内的一般三角形与空间中的一般四面体的性质类比.

三角形四面体

三角形中任意两边之和大于第三边.

四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.

三角形的三条内角平分线交于一点,且该点是三角形内切圆的圆心.

四面体的六个二面角的平分面交于一点,且该点是四面体内切球的球心.

三角形中任意两边中点的连线平行于第三边,且等于第三边的一半.

四面体中过任意顶点的三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的14,且该三角形所在平面平行于第四个面.

三角形的三条中线交于一点,且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2∶1.

将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接,所得四条线段交于一点,且其中每一条线段被交点分成的两段的比是3∶1.

在△ABC中,若∠A的平分线交边BC于点D,则ABAC= BDDC.

在四面体ABCD中,二面角CABD的平分面交棱CD于点E,则S△BCES△BDE=S△ABCS△ABD.

在△ABC中,有asinA=bsinB=csinC.

在四面体ABCD中,设棱AB与面ACD,BCD的夹角分别为α,β,则S△BCDsinα=S△ACDsinβ.

设△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆的半径为r,外接圆的半径为R,则有:

(1) r=2Sa+b+c;

(2) R≥2r.

设四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,体积为V,内切球的半径为r,外接球的半径为R,则有

(1) r=3VS1+S2+S3+S4;

(2) R≥3r.

点评 这里是将三角形与三棱锥进行类比.事实上,平面几何与立体几何之间有许多类似的类比,比如说平面中的点与空间中的线,平面中的线与空间中的面,平面中的圆与空间中的球等都可以建立这样的类比.同学们不妨对三角形与三棱柱进行类比.

总之,就数学其公理化的严谨体系而言,它是演绎性的科学;而从数学的发现过程和研究方法来说,它又是归纳的科学.只有把合情推理与演绎推理、猜想与证明辨证地结合起来,才能在较高的层次上认识数学的本质,把握数学的思维,也才能有效地增强创新意识,提高创新能力.

巩 固 练 习

1. 平面几何中,有结论“周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大”,类比到立体几何中,可得的结论是“ ”.

2. 将全体正整数排成一个三角形数阵:

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

……

按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右数的第3个数为.

3. 为确保信息的安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方则由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如:明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得明文为 .

4. 已知f(x)=bx+1(ax+1)2x≠-1a,a>0,且f(1)=log162,f(-2)=1.

(1) 求函数f(x)的解析式;

(2) 已知数列{xn}的通项xn=[1-f(1)][1-f(2)]…[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4;

(3) 猜想{xn}的通项公式.

合情推理媲美演绎推理 篇4

教学活动设计如下:

活动1:动手剪:教师引导学生将准备的长方形纸片按教材要求对折后剪下, 再把它展开, 看得到了一个什么图形?猜想得到的△ABC是什么形状?

活动2:动手折:把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折, 看看有什么发现?

活动3:观察与猜想: (1) 剪出的等腰三角形ABC是轴对称图形吗?它的对称轴是什么? (2) 等腰三角形的两底角有什么关系? (3) 顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗? (4) 底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗? (5) 底边上的高所在的直线呢?

活动4:动手填一填:把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折, 找出其中重合的线段和角, 并填在书上的表格中, 发现了什么现象?能猜一猜等腰三角形ABC有哪些性质吗?

1∠A=∠CB→两个底角相等。

2AC=BC→OC为底边AB上的中线

3∠AOC=∠BOC→OC为顶角∠BOA的平分线。

4∠ACO=∠BCO=90°→OC为底边AB上的高。

教师在学生猜想的基础上, 引导学生观察、完善、归纳性质:性质1:等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”) ;

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重 (简写成“三线合一”)

通过教师的引导, 学生利用等腰三角形的对称性, 动手操作, 观察、猜想, 讨论, 初步直观的归纳出等腰三角形的两条性质, 在这个过程中训练学生文字语言与符号语言的互换, 培养学生自主探究的学习品质和观察分析、归纳概括、合情推理的能力。

活动5:动手推理:师:通过上面折叠过程, 你获得了什么启发?性质1 (等腰三角形的两个底角相等) 的条件和结论分别是什么?用数学符号如何表达条件和结论?如何证明?学生学习热情高涨, 跃跃欲试, 通过折叠容易添加辅助线, 利用三角形的全等来证明。鼓励学生用多种方法证明, 证明方法展示如下:

已知:在△AOB中, AO=BO

求证:∠A=∠B

方法1:过O作OC⊥AB于点C, 利用HL可以证明△OAC和△OBC全等, 进而得到∠A=∠B

方法2:过O作OC平分∠AOB交AB于点C, 利用SAS可以证明△OAC和△OBC全等, 进而得到∠A=∠B

学生通过大胆猜想、小心求证, 经历性质证明的过程, 增强理性认识, 体验性质的正确性, 培养了学生合情推理和演绎推理的能力, 同时也体现了两者密不可分的重要关系。

合情推理 篇5

1.教学目标

1、知识与技能：

（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义（2）能利用归纳方法进行简单的推理，2、过程与方法：

通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。

3、情感态度与价值观：

体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。

2.教学重点/难点

【教学重点】：

（1）体会并实践归纳推理的探索过程（2）归纳推理的局限 【教学难点】：

引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论

3.教学用具

多媒体

4.标签

2.1.1 合情推理与演绎推理

教学过程

课堂小结 1．归纳推理的几个特点

1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.注：归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论

引导学生合情推理，不断创新 篇6

合情推理能力是数学解题的关键，合情推理能力强的同学会根据已知条件很顺利地一步步推出结论。反之，不善于合情推理的同学会举步维艰，常常思路中断而失败。因此在日常教学中就要从培养观察、归纳、猜测等能力着手，提升合情推理能力，让学生顺利解题，不断创新。

一、培养和提升进行合情推理的一些基础能力

（一）观察能力。解题时要培养学生多角度、多种可能性观察已知和未知的联系。

1，观察条件和问题的特征

例1：（1）、运用多项式的乘法计算（x+y）（x2-xy+y2）=----， （x-y）（x2+xy+y2）=------

（2）、运用（1）中的等式把下列各式分解因式a3+b3=（ ）（ ），

a3+（2b）3=（ ）（ ）， x3-8y3=（ ）（ ）。

这题关键是观察、发现已知和结论间的符号特征和各项之间的联系。

，2，观察数式相应的图像，用数形结合思想解题

例2：下列各三角形图案是由若干个五角星组成的，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）五角星，每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断：s与n的关系.

让学生多角度地观察图形，发现每条边上的五角星数包括了两个顶点，若每边按n个计算，则重算了三个顶点上的三个，故有s=3n-3。也可以观察总数之间的关系，发现每幅多3，于是猜想：s= ，从而求得s=3n-3。观察、推理是解决本题的关键。

3，观察发现、推理题目中的隐含条件

如：例3：（1）、计算下列各组算式并观察它们的共同特点。

①： 7 9= 8 8= ②： 11 13= 12 12= ③： 79 81= 80 80=

（2）、从以上的算式中，你发现了什么？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性。

分析：这类题中除了要观察算式的特征，还要观察到（1）的计算结果中的隐含规律。

2、发现问题，提出问题的能力。在学习新知识和解题中，引导学生捕捉自己的一些疑问和思维断点，时常发现和提出一些问题。

3、归纳能力

教学中要注意多创设机会，让学生大胆归纳、猜想。

（1）用归纳法发现问题的结论。从几个特殊例子中归纳、猜测出结论。

例4： 计算：⑴ = 3 ⑵ =33

⑶ =333 （4） =3333

请根据上述规律写出下式的结果： =.......

关键让学生在观察特例的基础上，归纳各个数的数字个数之间的规律，再从特殊推广到一般。

（2）用归纳法发现解决问题的途径。很多题组类的问题都是在归纳前几小题

的解题方法上，用于解决后面几小题。

如，例5：一直一个面积为S等边三角形，先将其个边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点像外做小等边三角形（如图所示）。

（1）、当n=5时，共向外作出了――个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为------，

（2）、当n=k时，共向外作出了---个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为-----------（用含k的式子表示）。

分析：从当n=3，n=4，n=5中，发现每条边向外作了n-2个小三角形，归纳出

当n=k时，得出总数为3（k-2）个。同样，每个小三角形的面积根据相似三角形的面积比与边长比的关系可得出n=5时，为 。于是由特殊到一般得出n=k时的所有小三角形的面积和为 。

4、猜测（或猜想）能力

数学猜测是一种创造性的思维。在解题中，要多创造机会鼓励学生大胆猜测题目的结论、解题的方向与方法等等。

二、合情推理的教学与应用

在教学中，观察，归纳，猜测的思想并不是截然分开运用的，而是一个交互运用的过程。

1、在新课的定义教学中，提升观察、归纳、猜测的思想与能力

在教材中，许多定义的得出都为我们安排了观察、归纳的内容。

如例6，一元一次不等式的教学：观察下列不等式：（1）、x 4， （2）3 x，

（3） （4）、1.5x+12 0.5x+1，这些不等式有哪些共同的特点？

这时我们一定要留时间让学生观察、归纳它们的共同点，尝试得出一元一次不等式的概念，从中获得创新的喜悦。

2、在新课的定理、法则教学中，培养观察、归纳、猜测的能力

如，浙教版七下第五章，同底数幂的乘法法则、除法法则等类似内容，都是先编排了几个特殊例子。这时应让学生充分观察它们的计算结果，大胆归纳、猜想。还有在特殊平行四边形的性质和判定的教学中，放手让学生观察、推理，大胆猜测有哪些性质和判定，再进行验证。

若学生在学习中习惯了主动观察、归纳、猜测的思维方式，就会达到主动学习、大胆创新的目的。

3、在解题中培养观察、归纳、猜测的能力

在解题中，可以引导学生观察，归纳、猜测题目的结论，猜测解题的方向与方法等，再进行合理的推理。

如例7，如图， 中，A 、A 、A 、……A 是边AC上不同的n个点，首先连接BA ，图中有3个不同的三角形，再连接BA 图中共有6个不同的三角形（1）连接到A 时，请用n的代数式表示图中共有三角形的个数。

（ 2）若出现45个三角形，则共需连接多少个点？

分析：可以观察发现，当AC上有1个点时，所得三角形的个数为（2+1）个；有2个点时，有（3+2+1）个；有3个点时，有（ 4+3+2+1）个；…… 由此归纳、猜测：当AC上有n个点时，三角形有[（n+1）+n+（n-1）+ ……+3+2+1 ]个。

解决此题，关键是从个别情况中，合情推理、归纳出一般情况下的结论。

如例8，如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，当 时，求 的值。

类比归纳，在图（1）中，若 ，则 的值等于----------。若 ，则 的值等于-------。

若 （n为整数），则 的值等于----------（用含n的式子表示）。

解决此题，在图中，都可连接BM，EM，设AM=y，所以可得y2+22=BM2=（2-y）2+12，所以y= ，而在三角形ENC中，设BN=x，则（2-x）2+1=x2可得x= ，所以 = 。同理，在 ， ，时，也可观察发现也能用这一方法，、很快得出，答案为 ， 。但这时思考，它们的答案是否有什么规律呢？还是没有规律，又都重新用勾股定理再算一次呢？猜想，后一种情况是不太可能的。于是引导学生观察、归纳这三个答案的规律： ， ， ，这三个分数分别与对应的 ， ， 相联系观察、归纳出，最后一小题的答案为 。这题的解决充分显示了观察、归纳、猜测在探索解题思路、解题结论中的作用。

合情分析演绎推理自然解题 篇7

一、火眼金睛辨真伪———真假命题

例1判断下列命题是真命题还是假命题?说明理由.

(1)相等的角是对顶角;

(2)如果a>b,那么ac>bc;

(3)四边形内角和是360°.

【解析】

(1)假命题.如图1、2所示,∠1=∠2,但∠1与∠2不是对顶角.

(2)假命题.当c≤0时不成立,如5>3,但5×0=3×0.

(3)真命题.如图3所示,连接一条对角线即可把一个四边形分成两个三角形,从而可知该命题是真命题.

【变式1】下列命题为假命题的是( ).

A. 三角形两边之和大于第三边

B. 三角形三个内角和等于180°

C. 三角形两边的平方和等于第三边的平方

D. 三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半

【解析】选项A、B中的命题分别为三角形三边关系和三角形的内角和定理;对于选项C,只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,而其他三角形的三边都不具有这一关系,可以通过画图测量计算判断出这是假命题;选项D中的命题是三角形的面积计算公式,也是真命题.故选C.

【变式2】下列选项中,可以用来证明命题“|a|>1,则|a|>1”是假命题的反例是().

A. a=-2 B. a=-1

C. a=1 D. a=2

【解析】选项A,满足|a |>1,但不满足a>1,故选项A是证明原命题为假命题的反例;选项B和C都不满足原命题的条件a >1,故选项B和C都不是证明原命题为假命题的反例;选项D,当|a|=2时,|a| >1,|a|>1,命题的条件和结论都成立,故不是反例. 故选A.

【点评】要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使命题的条件成立,而命题的结论不成立,这种例子称为反例.要说明一个命题是真命题,则需要根据基本事实和定理进行推理证明. 解决此类题的关键是从条件和结论两个方面来考虑.

二、条条大路通罗马———一题多解

例2如图4所示,已知AB∥EF,求证:∠ABC+∠BCE+∠CEF=360°.

【解析】从证题的结论360°这个特殊角切入,展开联想,进行分析和推理.

证法1:如图5,过C作CD∥AB,

∴∠B+∠1=180°.

∵CD∥AB, EF∥AB,

∴CD∥EF,

∴∠E+∠2=180°,

∴∠B+∠1+∠E+∠2=360°,

即∠ABC+∠BCE+∠CEF=360°.

证法2:如图6,过B作BD∥CE交EF于D,

∴∠2=∠3,

在四边形BCED中,

∴∠1+∠2+∠C+∠E=360°,

∴∠1+∠3+∠C+∠E=360°,

即∠ABC+∠BCE+∠CEF=360°.

证法3:如图7,连接BE,

∵EF∥AB,

∴∠1+∠3=180°.

∵∠2+∠4+∠C=180°,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°,

即∠ABC+∠BCE+∠CEF=360°.

证法4:如图8,过C作CD∥AB,

∴∠1=∠B.

∵CD∥AB, EF∥AB,

∴CD∥EF,

∴∠2=∠E,

∵∠1+∠2+∠BCE=360°,

即∠ABC+∠BCE+∠CEF=360°.

【变式】如图9,AB∥CD,求证:∠A+∠C=∠AEC.

【解析】证法1:如图10,过E作EF∥AB,

∴∠1=∠A,

∵CD∥AB,∴EF∥CD,

∴∠2=∠C,

∴∠A+∠C=∠1+∠2=∠AEC.

证法2:如图11,连接AC,

∵AB∥CD,

∴∠BAC+∠ACD=180°,

即∠BAE+∠DCE+∠1+∠2=180°,

∴∠BAE+∠DCE=180°-(∠1+∠2).

∵∠AEC=180°-(∠1+∠2),

∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.

证法3:如图12,延长AE交CD于F,

∵AB∥CD,

∴∠1=∠A,

∵∠AEC是△CEF的外角,

∴∠AEC=∠1+∠C=∠A+∠C.

【点评】本题揭示了两条平行线间“折线”与“拐角”问题的解题方法,平行线间的折线问题主要分下面两种情况:平行线间夹折线凹进去的模型和凸出来的模型,无论是哪一种,一般可采用在拐点处作平行线的方法,把线的关系转换成角的关系,或者通过添线将图形分解成常见的三角形或四边形,再利用多边形内角和定理来解决. 这些添辅助线的实质是构造基本图形,使已知和未知一目了然,合情推理,从而达到解题的目的.

三、侦探思维训练营———生活推理

例3华罗庚戴帽问题:著名数学家华罗庚曾提出这样一个问题:一位老师让三个聪明的学生看了事先准备好的五顶帽子:3白2黑. 然后让三位学生闭上眼睛并给每个人戴上一顶帽子,将余下的两顶收起,随后请三位学生睁眼并说出自己头上帽子的颜色. 三人睁开眼睛后看了一下,踌躇了一会儿,觉得很为难,随后三人几乎同时说出自己头上所戴帽子的颜色. 请问:这三人是如何判断自己头上所戴帽子颜色的?这三人头上各戴什么颜色的帽子?

【解析】戴帽的情况有3种可能:①一白两黑,②两白一黑,③三白. 既然三人睁眼后相互看了之后,没有马上作出反应,都“踌躇”了一会儿,于是我们可以推断出没有一人看到其他两人都戴的是黑帽子,这说明情况①不成立,只能在②③中选择. 排除了情况①后再看情况②,如有一个戴的黑帽子,那么其他两人必然会立即猜中自己头上的一定是白帽子,而三个聪明的学生都在“踌躇”,这说明三人谁都没有看见其他两人头上戴的是黑帽子,所以三个人才会异口同声说出自己头上戴的是白帽子.

【变式】老师与学生小王、小张、小李玩帽子游戏,老师先给三位学生看了四顶帽子,其中二顶是红色的,一顶蓝色的,还有一顶是黄色的. 然后让他们先闭上眼睛,给他们每人戴上一顶帽子后,睁开眼睛看其他人头顶帽子的颜色,然后说出自己所戴帽子的颜色.小李看到的颜色是:小王的帽子是红色的,小张的帽子是黄色的,同时看到小王、小张无法马上说出自己帽子的颜色,这时小李立刻猜出自己所戴帽子的颜色,小李帽子的颜色是什么?

【解析】红色. 小李戴帽的情况有2种可能:①蓝色②红色.若小李戴蓝色帽子,则小王必能马上说出自己帽子颜色为红色,但小王、小张都无法马上说出自己帽子颜色,所以小李的帽子颜色为红色.

数学合情推理能力的培养 篇8

因此, 我们可以说逻辑推理和合情推理是数学思维的两翼, 两者相辅相成, 互相补充, 缺一不可。

一、教师要转变思想观念, 重视合情推理的教学

长期以来, 中学数学教学一直强调数学的严谨性, 过分渲染演绎推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理, 使教师和学生误认为数学就是一门纯粹的演绎科学, 凡是结论, 都必须要证明, 不能有“猜想”, 不允许“可能”, 这在很大程度上束缚了教师的思想, 扼杀了学生的合情推理欲望, 使师生不敢“越雷池一步”。因此, 当前首要的任务就是广大教师要切实转变思想观念, 认识到合情推理对学生数学学习和终身发展的重要性, 从根本上重视合情推理的教学, 具体做到认真钻研教材, 多看、多练, 善于总结各种解决问题的方法;不断加强自己的思维训练, 使自己具有较强的基本功;不断探索培养学生合情推理能力的方法, 总结经验。这样在平时的教学中才能积极创设条件, 引导学生使用合情推理。

二、培养学生提出数学猜想的能力

提出数学猜想是发展合情推理能力的重要基础。发展学生的数学推理能力, 首先要提高学生提出数学猜想的能力。因此教学过程中教师要有意识地结合数学史向学生介绍猜想在数学发展中所起的作用, 激发学生的学习兴趣, 培养学生提出猜想的意识。在教学中营造民主氛围, 让学生敢于猜想。教师还要根据教学内容有计划地教给学生提出猜想的方法。如借助观察, 运用归纳提出猜想;借助联想, 运用类比提出猜想。

三、把对合情推理的能力培养融合在各个知识领域的教学过程中

在“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域都为学生发展合情推理能力提供了丰富的素材, 以用字母表示数为例, 需要依靠对具体的数的观察、比较、归纳上升到字母的高度, 实现从特殊到一般的飞跃, 这个思维过程中, 几乎完全依靠合情推理;在空间与图形部分, 学生也常常要运用观察、操作、猜想等各种合情推理的手段学习图形的性质;用样本估计整体实际上也属于合情推理。这就需要我们恰当设计, 把突出问题放在“需要”与“认知结构”矛盾的风口浪尖上, 激发学生进行合情推理的欲望和热情;提供给学生足以探索的数学材料, 合作交流的时间和空间, 做好组织者、引导者、合作者;在课堂教学中, 我们还应该重视学生的语言表达能力的培养, 使学生能够把“高度情境性”的内部语言转化为数学语言, 做到言之有理、落笔有据, 有条理地、清晰地阐述自己的观点。

四、把合情推理和现实生活有机结合起来, 拓宽推理训练的途径

这里有两层意思, 一个意思是说, 现实生活是丰富多彩的, 其中有很多地方需要依靠合情推理来作出判断, 这样的例子更容易激发学生合情推理的热情。我们要把握好这些机会, 因势利导, 提高学生的合情推理能力;第二个意思是说, 学生在学习课本知识时, 可以与生活经验相结合, 不断把课本知识转化为自己的经验。教师在主观上应把培养学生的推理能力作为数学教学的一项重要任务来抓, 要结合学生的实际情况, 以教材的内容为依托, 创造性地开发和利用推理素材。

五、全面提升合情推理的质量

1. 找准培养数学推理能力的突破口。

在数学教学中应经常鼓励学生提出不同看法, 并引导学生积极思考和自我鉴别, 促进推理能力、批判性思维的培养。

2. 教会数学推理思维能力的方法。

推理培养在数学教育中具有至关重要的作用。

3. 调动学生推理思维能力的积极性。

“合情推理”应贯穿教材的始终 篇9

近三十年来, 我国高中数学一线的教师在教学实践中取得的成绩是有目共睹的, 我们培养的高中生的数学能力无论在国际数学竞赛中还是在各种国际测试中, 相对于西方国家, 我们每次都取得了比较好的成绩, 可在发明创造方面我们的高中生远远没有美国学生活跃, 所以我们对西方的教学思想和手段要采取哲学意义上的“扬弃”的态度。

当今, 教育领域正在全面推进, 旨在培养学生创新能力的教学改革。但长期以来, 中学数学教学十分强调推理的严谨性, 过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理, 使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上, 数学发展史中的每一个重要的发现, 除演绎推理外, 合情推理也起重要作用, 合情推理与演绎推理是相辅相成的。在证明一个定理之前, 先得猜想、发现一个命题的内容, 在完全作出证明之前, 先得不断检验、完善、修改所提出的猜想, 还得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合, 然后加以类比, 你得一次又一次地进行尝试, 在这一系列的过程中, 需要充分运用的不是论证推理, 而是合情推理。合情推理的实质是“发现——猜想”, 在解决问题时的合情推理的特征是不按逻辑程序去思考, 但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合起来的一种跳跃性的表现形式。

合情推理即根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想, 再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理。所以合情推理又分为归纳推理和类比推理。归纳推理是一种由特殊到一般的推理, 即从个别或特殊扩大为同类一般事物的判断的思维过程, 可分为完全归纳和不完全归纳。完全归纳出的结论是完全可靠的;不完全归纳出的结论还有待于进一步验证、辩明是非。类比推理是一种由特殊到特殊的推理, 即根据两个 (或两类) 事物已经具有相同或相似的性质, 判定它们在别的性质上也可能有相同或相似。德国数学家开普勒曾指出“我珍视类比胜过任何别的东西, 它是最可信赖的老师, 它能揭开自然界的秘密。”学生在学习中, 若能正确运用合情推理, 不仅能提高分析、解决问题能力, 更能提高发现、探索问题的能力。这很适合新教材的理念, 也合乎我国的国情。

人教版教材很好的渗透了这一理念。在必修教材中大量采用了合情推理, 尤其是《立体几何》由长方体很好的展示了点、线、面的位置关系, 首先让学生在不知不觉中认识了合情推理, 然后在选修教材理科2-2, 文科2-1中安排了《推理与证明》, 作为一章内容出现在高中数学教材是人教版新课标的亮点之一, 本章内容将归纳与推理的一般方法进行了必要的总结和归纳, 对合情推理做了系统的阐述, 同时也对后继知识的学习起到引领的作用, 使学生对合情推理的理解由感性上升到理性。

人教版新课标必修教材是按着知识的螺旋式上升设置的, 按着必修一、二、三、四、五的课本顺序正体现了这一设计。必修一学习了《集合与函数概念》、《基本初等函数》、《函数的应用》, 必修二安排了《空间几何体》、《点、直线, 平面之间的位置关系》、《直线与方程》、《圆与方程》。

在学习《立体几何》时, 先通过长方体的观察, 认识点、线、面的位置关系, 类比到空间点、线、面的位置关系, 又由长方体中的异面直线、平行直线定义了空间异面直线、平行直线, 又以类比推理的方法定义了线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理, 这样通过直观感知, 让学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论, 将合情推理作为学习过程中的一种重要推理方式, 而没有进行严格的理论证明。这一变化是根据新课标“高中立体几何以培养学生的逻辑思维能力和空间想像能力为主要目标。认识空间图形, 培养和发展学生的几何直观、运用图形语言进行交流的能力、空间想像能力与一定的推理论证能力。”

可学习第三章《直线与方程》是在没有学习《三角函数》的前提下进行的, 这使斜率的教学很困难。

课本先后介绍了两个诱导公式, 这使学生很茫然。新知应该在旧知基础上导出, 这样的水到渠成、自然生根。

通过介绍新公式导出规律, 学生对所介绍公式本身就持怀疑态度, 更何况连续给出两个公式, 再用它推导规律学生更加茫然。为什么不应用一下合情推理呢?

第一个公式tan (1800-α) =-tanα (课本83页) 的直接给出学生还能接受, 因为学生只会求锐角的三角函数, 通过这个公式学生就会求钝角的三角函数了, 而且这个公式形式简单, 学生容易理解。

第二个公式 (课本88页) 的给出笔者认为就不太妥了。一是上次课刚刚介绍了一个公式, 这节课又介绍一个公式, 在心理上使学生感到三角函数的学习没有基石, 有空中楼阁的感觉;二是这个公式形式复杂, 学生疑惑不解, 不易接受。这样学生对新知的正确性产生怀疑, 只能茫然认可, 这样的知识结构不利于学生对后续知识的学习, 也不符合认知规律。

而公式一tan (1800-α) =-tanα的给出是为了求钝角的三角函数, 公式二的介绍是为了推导有斜率的二直线互相垂直时斜率间的关系, 这两个关系都可以通过合情推理得到, 这样设置就显得自然流畅, 与立体几何的编写思路一致, 体现课本编写思路的整体性, 也体现新教材的理念。

以下是笔者的设计, 与大家商榷:

一、tan (1800-α) =-tanα的教学设计:

计算器是学生的计算工具, 初中要求学生熟练使用, 所以设问:

用计算器计算下列4组值, 你能发现什么规律?请同学们按小组合作探究, 并验证所发现规律的正确性。

(1) tan300, tan1500

(2) tan600, tan1200

(3) tan450, tan1350

(4) tan210, tan1590

这样学生不难总结tan (1800-α) =-tanα。

设两条直线l1与l2的倾斜角分别是α1与α2 (α1、α2≠900) , 试求出它们的斜率,

(1) α1=300, α2=1200

(2) α1=450, α2=1350

(3) α1=600, α2=1500

探究一:两条直线的位置关系怎样?

探究二:两条直线的斜率有什么关系?由此你能得到什么规律?

如果学生探究受阻, 教师可启发学生:斜率是数字, 两个数字的关系初中学过互为相反数、互为倒数。这样学生一定可以得到l1⊥l2圳k1k2=-1。

这样的设置既体现了合作探究的高效学习方法, 又体现了知识的发生发展过程。两个设置都采用了不完全归纳法, 即合情推理。

合情推理 篇10

刚讲完《梯形的面积》时,我出示了下题:一块梯形田地的下底是35米, 上底是25米,面积是1080平方米,这块田地的高是多少米?本来我是想以梯形的面积公式为等量关系式列方程解答的。谁知,刚一出示这题,一只小手就高高地举起,于是我就请这名学生到黑板上书写。下面是他的解答过程: h=2S÷(a+b)=2×1080÷(25+35)= 2160÷60=36(米)。等下面的学生基本上做好了后,我问这位学生:这个公式老师又没教过,你是怎么想到这样来求梯形的高呢?该生回答:三角形的面积公式是S=ah÷2,要除以2。梯形的面积公式是S=(a+b)h÷2,也要除以2。老师在前面还讲过了求三角形的高可以用公式h=2S÷a,所以我就猜想出用公式h=2S÷(a+b)来求梯形的高。我一听,心中惊喜不已:学生竟然能从三角形和梯形面积公式的相同之处,由已知的求三角形的高的公式合情地推理出未知的求梯形高的公式,多强的推理能力啊!我连忙追问:你能不能具体推导出这个公式?或者你能够用别的方法来验证用这个公式求出来的高对不对呢?该生说:我还可以列方程解答,设这块田地的高是x米,根据梯形的面积公式可列方程(25+35)x÷2=1080, 60x÷2=1080,x=36,求出来的高也是36米。我说:“你用两种方法求出来的高都是36米,说明你前面猜想的公式是完全对的。你真了不起 , 能触类旁通,合情地推理!”在上面的教学中, 我非常重视合情推理能力的培养,即使学生的这些合情推理是错误的,“错误也是一种学习资源”。而且我认为,合情推理和演绎推理功能不同,它们相辅相成。

班上还有两个学生也是这样列式的,但他们都不能具体推导出这个公式。看来,学生是“心有所感触而苦于口不能言”,不知“其所以然”。于是我干脆改变原来的教学计划,引导学生探究平行四边形、三角形、梯形的面积公式之间的内在联系,帮助学生构建完整的知识体系。

我先在黑板上画好了方格图,在方格图中画了一个上底2厘米,下底4厘米,高4厘米的梯形,再画了一个上底1厘米,下底5厘米,高4厘米的梯形。我问:这两个梯形之间有什么相同的地方?学生通过观察和计算可以发现两个梯形的高和面积都相等。我又问:第一个梯形的上底缩短1厘米,把这1厘米补到下底上,就变成了第二个梯形,它的面积没有变是因为什么没有变?大部分学生发现高相等的梯形,如果上底和下底的和不变,那么面积也不变。我指着第二个梯形问:如果再把上底缩短1厘米,还把这1厘米补到下底上, 那上底变成什么?整个图形变成什么? 它的面积又是多少?在学生思考、想象和交流后,我边画图边归纳:这时梯形的上底消失了,变成了一个点,图形由梯形变成了三角形,而且三角形的底就等于原梯形上底和下底的和,高就是原梯形的高,所以三角形的面积会等于梯形的面积。我再次追问:在高相等时, 什么情况下三角形的面积会等于梯形的面积?对照后两个图形及三角形面积公式S=ah÷2、梯形面积公式S=(a+b) h÷2,学生纷纷发言,说:只要三角形的底会等于梯形上底和下底的和,面积就会相等。我趁机又问:那三角形可以看做是上底为几的梯形?也就是梯形的上底是几时,梯形的面积公式和三角形的面积公式可以合二为一,相互通用? 经过上面的学习和思考交流,学生很自然地想到三角形可以看做是上底为0的特殊梯形,这样两个面积公式实质上就可以用一个公式S=(a+b)h÷2来表示。因此,求三角形高的公式h=2S÷a也就是求梯形高的公式h=2S÷(a+b)的特殊情形,两者实质上也是同一个公式。所以,上面那位学生的猜想是完全对的, 他是从特殊推向一般!

那梯形与平行四边形的面积公式之间又有什么关系呢?同样一个上底2厘米,下底4厘米,高4厘米的梯形, 把下底的1厘米移补到上底,那上底就与下底相等,都是3厘米,梯形就变成了一个平行四边形。从上面的学习可知, 梯形的面积会等于平行四边形的面积, 也就是说平行四边形的面积其实也可以用(上底 + 下底)×高÷2来计算, 特别是平行四边形的上底等于下底,(上底 + 下底)÷2就等于底,而高不变, 即S=(a+b)h÷2=(a+b)÷2×h=ah, 而S=ah就是平行四边形的面积公式。因此,平行四边形的面积和梯形的面积都可以用S=(a+b)h÷2来计算。

这样,平行四边形、三角形、梯形的面积公式都可以用S=(a+b)h÷2来表示,而长方形和正方形都是特殊的平行四边形,自然它们的面积都可以像梯形一样,用S=(a+b)h÷2来计算。在这节课中,我将这些零散而又相关的知识梳理成结构化的知识体系,丰富了学生的认知,促进知识的迁移,培养了学生的推理能力,发展了学生的思维。