稳定性与控制

关键词： 负荷 电压 损耗 线路

稳定性与控制（精选十篇）

稳定性与控制 篇1

电力系统经受非正常运行工况, 接近负荷中心的大发电机组退出运行, 结果某些高压传输线路负荷加重, 网络损耗增加, 使无功备用资源处于最小。继电保护动作, 跳开重负荷线路, 负荷转移到其余邻近的线路, 在该线路中的无功损耗急速增大, 电压降低, 引起线路级联跳闸。在失去高压传输线路之后, 特别大的无功需求引起邻近负荷中心电压的很大的降低, 这将引起负荷的减少, 然而, 发电机将通过增加励磁快速恢复其端电压, 综合结果引起无功潮流在变压器和线路这些元件两端的电压降落。在负荷中心超高压和高压网电压的降低将反过来影响配电系统, 使其二次侧电压降低。变电所的变压器将力图恢复配电电压, 从而在几分钟内使负荷达到故障前的水平。变压器分接头每一次动作, 都使得高压侧线路上的负荷增加同时增加线路损耗, 它反过来又引起高压侧线路上电压进一步下降。如果高压线路负荷超过波阻抗负荷, 随着每一次分接头动作, 整个系统中发电机的无功输出将增加。慢慢地发电机就一台接一台地达到它的无功容量极限。

2 电压稳定性指标

按照分析方法的不同, 常用的电压稳定指标分为状态指标和裕度指标。状态指标只取用当前运行状态的信息, 计算比较简单, 但一般来说存在非线性。裕度指标的计算涉及到过渡过程的模拟和临界点的求取问题, 蕴含的信息量较大, 能够考虑到各种限制的发生, 但是计算速度较慢, 而且事先要设定过渡过程。两类指标都能给出系统当前运行点离电压崩溃点距离的某种量度。电压稳定通常都是从局部开始, 逐渐扩散到系统其他地区, 与此相应, 也可分为局部指标和全局指标。电压稳定指标的构造可以选用物理量, 也可选用非物理量。目前广泛应用的电压静态稳定分析指标主要有灵敏度指标, 阻抗模指标, 网损灵敏度及其二阶指标, 裕度指标等。灵敏度方法属于静态电压稳定研究的范畴, 它以潮流方程为基础, 利用系统中某些物理量的变化关系, 即它们之间的微分关系来研究系统的稳定性。

灵敏度方法是最早应用的静态稳定分析的指标之一, 它利用系统中某些量的变化关系来分析静态电压稳定问题, 这类方法往往从简单系统出发, 然后直接推广到复杂系统, 原理及实现都比较简单。它不仅给出了电压崩溃的指标, 而且从其提供的有用信息中可以方便地识别系统中各节点的强弱, 以及所需要采取的相应对策。

3 电力系统扰动下的动态电压稳定性分析

目前, 我国正在进行大区域电网互联, 电网建设在向大电网、超高压、远距离输电方向发展。同时, 现有的电力系统正在承担着越来越重的负荷需要, 发、输电设施使用的强度日益接近其极限值。随着电力系统联网容量的增大和输电电压的普遍提高, 输电功率变化和高压线路投切都将引起很大的无功功率变化, 系统对无功功率和电网电压的调节、控制能力要求越来越高。我国电网也在近几十年内发生过类似的事故, 如1972年7月27日的湖北电网, 1973年7月大连电网, 1987年6月张家口电网等。目前国内电压稳定问题之所以不突出, 原因之一可能是由于大多数有载调压变压器分接头 (OLTC) 未投入自动和电力部门采用甩负荷的措施, 而后一措施应该是防止电压不稳定问题的最后一道防线, 不应过早和过分使用。将来电力市场化之后, 甩负荷的使用将受到更大的限制。

3.1 系统大扰动情况下的动态电压稳定性分析

大扰动电压稳定性是系统发生大的故障以后 (如短路, 断线, 切除发电机等) , 系统控制电压的能力。系统大扰动后保持电压稳定的能力与系统和负荷的特性、连续和离散的保护与控制之间的相互作用有关。为了确定大扰动后系统是否保持电压稳定, 需要检验扰动后一段时间内一些设备 (如电动机、发电机励磁限制器等) 的响应特性及相互间的作用情况。本文利用PSASP软件的时域仿真功能和暂态计算功能, 以WSCC3机9节点系统为例, 分析在不同负荷模型、感应电动机所占比例、短路切除时间与短路点位置及线路参数等不同条件下系统在故障过程中及在故障切除后的动态电压稳定情况及恢复过程。

3.2 系统小扰动情况下的动态电压稳定性分析

小扰动电压稳定是指遭受诸如负荷逐渐增加变化的小扰动后, 系统保持电压稳定的能力。此时, 在适当的假设条件下, 可以首先把系统的方程线性化, 然后基于线性化的系统方程计算得到一些重要的灵敏度信息, 从而识别出影响系统稳定的因素。小扰动分析是电力系统稳定性分析的一般方法, 也适用于电压稳定性分析。它将描述电力系统的微分-代数方程在当前运行点处线性化, 消去代数约束后形成系统矩阵, 通过该矩阵的特征值和特征向量来分析系统的稳定性和各元件的作用。由于电压稳定问题涉及到得时间框架很广, 从几秒一直到几十分钟, 几乎牵涉到全部电力系统机电和机械动态元件, 这给完全意义上的小扰动分析造成了困难。实际使用时, 总是根据所研究的时间范围采取一些简化。小扰动分析的分析对象是系统在某一个平衡点处的稳定性。由于电压稳定涉及的时间框架很长, 所以就相应地出现了中长期小扰动分析和暂态小扰动分析, 以及他们对应的准稳态平衡点和暂态平衡点。准稳态平衡点就是通常的电力系统稳态运行点, 但它会随系统运行状态的变化而缓慢变化;准稳态平衡点的小扰动分析是中长期电压稳定问题分析方法的一部分, 它要求系统的暂态稳定, 且已平息。暂态平衡点和准稳态平衡点不同, 它对应于电力系统中长期过程中的某一时间点, 在该时间点上, 系统的暂态已经平息, 分析暂态平衡点稳定性的小扰动分析方法是暂态电压稳定分析的一部分。处于暂态平衡点的系统可能并不在准稳态平衡点上, 也即系统中动作较慢的控制设备有可能仍处于动作之中, 从而导致暂态平衡点不断迁移。

参考文献

[1]赵彤, 李庆民, 陈平.OLTC振动信号特征提取的动力学分析方法.电工技术学报, 2007.

[2]R.Wilkins.Practical Aspectsof System Stability.AIEE Trans, pp.41-50, 1926.

[3]吴浩.电力系统电压稳定研究 (博士学位论文) .杭州:浙江大学, 2002.

稳定性与控制 篇2

水泥稳定碎石基层(底基层)的施工与质量控制

从水泥稳定碎石路面基层(底基层)施工技术出发,结合原材料试验、配合比设计、施工工艺及质量控制等方面,提出了施工注意事项及质量控制措施,从而确保工程质量.

作 者：杭敏 HANG Man 作者单位：丹阳市公路管理处,江苏丹阳,212300刊 名：山西建筑英文刊名：SHANXI ARCHITECTURE年，卷(期)：200935(4)分类号：U416.1关键词：水泥稳定碎石 底基层 施工技术 质量控制

稳定性与控制 篇3

【关键词】时滞；双线性广义系统；渐进稳定；严格无源；状态反馈；无源控制

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1672-5158（2013）07-0330-02

【Abstract】 The stability and passive control problem of Discrete-Time Bilinear Singular Systems with time-delay is discussed under bounded energy exogenous inputs .By means of linear matrix inequalities and generalized algebra Riccati inequalities， and a sufficient condition is derived as such that a prescribed discrete-time bilinear singular system with time-delay is asymptotically stable and strictly passive. Moreover， a sufficient condition is provided for the existence of a state feedback controller such that the closed-loop system is both asymptotically stable and strictly passive. The design method for such state feedback controller is also given.

【Keywords】 Time-Delay； Bilinear Singular Systems； Asymptotically stable； Strictly Passive； State Feedback； Passive Control

1 引言

双线性系统是一类重要的非线性系统。它可以描述工程、经济、生物、生态和化学等过程中的许多现象，具有一定的实际背景。因此对双线性系统的研究将会具有很大的实际价值和理论意义。一方面，双线性系统形式上很接近于线性系统，有利于运用经典线性系统理论去研究；另一方面，由于双线性系统出现了双线性项，因而它的研究又要比线性系统困难许多，有待于人们进一步研究。

耗散性理论在系统稳定性研究中起着重要作用，而无源性则是耗散性的一个重要方面，很多学者已做了大量的工作，C.B.Feng等讨论了非线性系统的无源性；L.Yu， C.N.Li与M.S.Mahmoud等讨论了不确定线性系统的鲁棒无源控制问题；X.Z.Dong等讨论了离散广义系统的无源控制问题，但关于不确定双线性广义系统无源控制的研究结果还很少。

本文研究不确定广义双线性系统的稳定性和无源控制问题，首先将严格无源的概念引入到离散双线性广义时滞系统中，然后利用线性矩阵不等式给出不确定广义双线性系统广义二次稳定和严格无源的充分条件，并且存在一个状态反馈控制器，使得闭环系统是广义二次稳定且严格无源的。

2 问题描述

考虑如下形式的离散双线性广义时滞系统

3 主要结果

定理1 对于系统（1），如果存在可逆对称矩阵 P和正定矩阵 Q，使得不等式

成立，则存在状态反馈控制律（8）使得闭环系统（9）是广义二次稳定且严格无源的。

证明 根据定理1立即可证得闭环系统（9）是广义二次稳定且严格无源的。

4 结论

本文研究了不确定广义双线性时滞系统的无源控制问题，利用矩阵不等式和广义代数Riccati不等式，给出了不确定广义双线性时滞系统是广义二次稳定且具有严格无源的充分条件，并且给出存在状态反馈控制器，使得闭环系统是广义二次稳定且具有严格无源性。

参考文献

[1] 冯纯伯.反馈系统无源性分析及其应用[J].自动化学报，1985，11（2）：111-117.

[2] 冯纯伯.应用无源性研究时变非线性系统的稳定性[J].自动化学报，1997，23（6）：775-781.

[3] 冯纯伯.基于无源性分析的鲁棒控制系统设计[J].自动化学报， 1999，25（5）：577-582.

[4] Yu L，Zhang K J，Feng C B. Passivity Approach to Stability Analysis of Nonlinear and Time-varying Dynamic Systems[J].Techniques of Automation and Applications，2007，26（3）：15-17.

稳定性与控制 篇4

近年来,常规模糊控制已成为控制工程界的研究热点,已被广泛地应用于实际工业控制对象中。它是把模糊数学理论应用于自动控制领域,对难以建模的对象和复杂的非线性系统都能进行很好的控制。但是,在我们的研究对象中,存在着大量的非线性动态模糊系统,而模糊控制并不能解决非线性动态模糊系统过程控制中的动态性问题,所以我们提出了非线性动态模糊系统过程控制模型,并给出了动态模糊控制器的设计算法及该模型的稳定性分析。文献[1,2]对动态模糊数据和动态模糊系统做了深刻的阐述,本文在此基础上做了进一步的工作,解决了非线性动态模糊系统的控制问题。

1 非线性动态模糊系统过程控制模型描述

考虑由以下m条规则构成的非线性动态模糊系统:

Rl:if$(\stackrel{\leftharpoonup }{\zeta }{}_1‚\stackrel{\rightharpoonup }{\zeta }{}_1)\text{i}\text{s}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}{}_1^l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}}{}_1^l)\text{a}\text{n}\text{d}\cdots \text{a}\text{n}\text{d}(\stackrel{\leftharpoonup }{\zeta }{}_p‚\stackrel{\rightharpoonup }{\zeta }{}_p)\text{i}\text{s}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}{}_p^l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}}{}_p^l)\text{t}\text{h}\text{e}\text{n}$

$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k+1)=(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_l)(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_l)(\stackrel{\leftharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{u})(k)l=1,2,\cdots ,m(1)$

其中:Rl代表第l条模糊规则,m是模糊规则数,$(\stackrel{\leftharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{u})(k)$是系统的输入量,$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)$是状态变量,$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)=[(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)(k)‚(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_2,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_2)(k)‚\cdots ‚(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_n,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_n)(k)]{}^{{\rm T}}\in (\stackrel{\leftharpoonup }{R}‚\stackrel{\rightharpoonup }{R}){}^n‚(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_l)\in (\stackrel{\leftharpoonup }{R}‚\stackrel{\rightharpoonup }{R}){}^{n\times n}‚(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_l)\in (\stackrel{\leftharpoonup }{R}‚\stackrel{\rightharpoonup }{R}){}^{n\times p}$为动态模糊常数矩阵。称每条动态模糊规则对应的线性状态方程为动态模糊子系统。

由这m条规则构成的非线性动态模糊系统,通过反模糊化方法,得到系统全局模型:

$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k+1)={\displaystyle \sum _{l=1}^m(}\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_l)(k)((\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_l)(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_l)(u,u)(k)=(\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A})(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}‚\stackrel{\rightharpoonup }{B})(\stackrel{\leftharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{u})(k)(2)$

其中:$(\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A})={\displaystyle \sum _{l=1}^m(}\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_l)(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_l)$

$(\stackrel{\leftharpoonup }{B}‚\stackrel{\rightharpoonup }{B})={\displaystyle \sum _{l=1}^m(}\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_l)(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_l)$

$(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_l)(k)=\frac{{\displaystyle \prod _i^n(}\stackrel{\leftharpoonup }{\mu },\stackrel{\rightharpoonup }{\mu }){\rm M}{}_i^l(k)}{{\displaystyle \sum _{l=1}^m{\displaystyle \prod _i^n(}}\stackrel{\leftharpoonup }{\mu },\stackrel{\rightharpoonup }{\mu }){\rm M}{}_i^l(k)}(3)$

$(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\le (\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_l)(k)\le (\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})$

${\displaystyle \sum _{l=1}^m(}\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_l)(k)=(\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})$

由于每个动态模糊子系统都是线性描述的,在选择全局动态模糊控制律时,我们首先利用线性系统理论正定子系统,得到满足子系统设计要求的局部动态模糊控制律,而全局动态模糊控制律是子系统控制律的加权组合,动态模糊控制器和系统(1)具有相同的动态模糊推理前件:

R${}_c^l$:if$(\stackrel{\leftharpoonup }{\zeta }{}_1‚\stackrel{\rightharpoonup }{\zeta }{}_1)\text{i}\text{s}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}{}_1^l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}}{}_1^l)\text{a}\text{n}\text{d}\cdots \text{a}\text{n}\text{d}(\stackrel{\leftharpoonup }{\zeta }{}_p‚\stackrel{\rightharpoonup }{\zeta }{}_p)\text{i}\text{s}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}{}_p^l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}}{}_p^l)\text{t}\text{h}\text{e}\text{n}$

$(\stackrel{\leftharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{u})(k)=(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_l)(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)l=1,2,\cdots ,m$

全局控制为:

$(\stackrel{\leftharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{u})(k)={\displaystyle \sum _{l=1}^m(}\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_l)(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_l,\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_l)(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)(4)$

于是,可得到闭环动态模糊控制系统的全局模型:

$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k+1)={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^m[}}(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_i,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_i)(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_j,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_j)(k)((\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_i)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_i)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_j,\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_j))(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)](5)$

为便于分析,记:

$(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C})={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^m(}}\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_i,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_i)(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_j,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_j)(k)[(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_i)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_i)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_j,\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_j)]$

2 稳定性分析

定理1[3] 对于如式(5)所示的动态模糊控制系统,如果存在一个公共动态模糊正定矩阵$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})$,使得:

$\begin{array}{l}((\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_i)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_i)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_j,\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_j)){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})((\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_i)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_i)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_j,\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_j))-(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})<(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})(6)\\ i,j=1,2,\cdots ,m\end{array}$

则动态模糊控制系统(5)是全局渐近稳定的。

通常情况下,即使所有的子系统都是稳定的,也有可能不存在公共动态模糊正定矩阵$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})$使得式(6)成立,特别是在动态模糊规则较多时更不便于应用甚至失效。为了避免求解$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})$的困难,我们基于区间矩阵、鲁棒控制理论,提出简便有效的判别闭环动态模糊控制系统稳定性的方法。

$(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C})$是随着各个时刻的状态值$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)$改变的,但$(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C})$中任一元素$(\stackrel{\leftharpoonup }{c}{}_{ij},\stackrel{\rightharpoonup }{c}{}_{ij})$都是其子系统对应元素的加权和,则可知$(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C})$中元素在确定的闭区间内,记:

$(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\max }=\underset{l}{{\displaystyle \max }}(\stackrel{\leftharpoonup }{c}{}_{ij}^l,\stackrel{\rightharpoonup }{c}{}_{ij}^l)‚(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\min }=\underset{l}{{\displaystyle \min }}(\stackrel{\leftharpoonup }{c}{}_{ij}^l,\stackrel{\rightharpoonup }{c}{}_{ij}^l)$,

$\begin{array}{l}\text{则}(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C})\in [(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\min },(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\max }]。\text{令}(\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)=((\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\max }+(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\min })/2\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm H}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm H}})=((\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\max }-(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\min })/2\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm H}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm H}})=((\stackrel{\leftharpoonup }{h}{}_{ij},\stackrel{\rightharpoonup }{h}{}_{ij}))\end{array}$

利用区间矩阵性质,$(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C})$可等价地表示为下列形式:

$\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C})=(\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)+(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}})\\ ({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}\end{array}$

$[(\stackrel{\leftharpoonup }{\epsilon }{}_{11}‚\stackrel{\rightharpoonup }{\epsilon }{}_{11})(k),\cdots ‚(\stackrel{\leftharpoonup }{\epsilon }{}_{1n}‚\stackrel{\rightharpoonup }{\epsilon }{}_{1n})(k),\cdots ‚(\stackrel{\leftharpoonup }{\epsilon }{}_{n1}‚\stackrel{\rightharpoonup }{\epsilon }{}_{n1})(k),\cdots ‚(\stackrel{\leftharpoonup }{\epsilon }{}_{nn}‚\stackrel{\rightharpoonup }{\epsilon }{}_{nn})(k)](7)$

其中:

$\begin{array}{l}|(\stackrel{\leftharpoonup }{\epsilon }{}_{ij}‚\stackrel{\rightharpoonup }{\epsilon }{}_{ij})(k)|\le (\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})i,j=1,2,\cdots ,n\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})=[\sqrt{(\stackrel{\leftharpoonup }{h}{}_{11},\stackrel{\rightharpoonup }{h}{}_{11})}(\stackrel{\leftharpoonup }{e}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{e}{}_1)\cdots \sqrt{(\stackrel{\leftharpoonup }{h}{}_{1n},\stackrel{\rightharpoonup }{h}{}_{1n})}(\stackrel{\leftharpoonup }{e}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{e}{}_1)\cdots \sqrt{(\stackrel{\leftharpoonup }{h}{}_{n1},\stackrel{\rightharpoonup }{h}{}_{n1})}(\stackrel{\leftharpoonup }{e}{}_n,\stackrel{\rightharpoonup }{e}{}_n)\cdots \sqrt{(\stackrel{\leftharpoonup }{h}{}_{nn},\stackrel{\rightharpoonup }{h}{}_{nn})}(\stackrel{\leftharpoonup }{e}{}_n,\stackrel{\rightharpoonup }{e}{}_n)]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}})=[\sqrt{(\stackrel{\leftharpoonup }{h}{}_{11},\stackrel{\rightharpoonup }{h}{}_{11})}(\stackrel{\leftharpoonup }{e}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{e}{}_1)\cdots \sqrt{(\stackrel{\leftharpoonup }{h}{}_{1n},\stackrel{\rightharpoonup }{h}{}_{1n})}(\stackrel{\leftharpoonup }{e}{}_n,\stackrel{\rightharpoonup }{e}{}_n)\cdots \sqrt{(\stackrel{\leftharpoonup }{h}{}_{n1},\stackrel{\rightharpoonup }{h}{}_{n1})}(\stackrel{\leftharpoonup }{e}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{e}{}_1)\cdots \sqrt{(\stackrel{\leftharpoonup }{h}{}_{nn},\stackrel{\rightharpoonup }{h}{}_{nn})}(\stackrel{\leftharpoonup }{e}{}_n,\stackrel{\rightharpoonup }{e}{}_n)]{}^{{\rm T}}\end{array}$

这里,$(\stackrel{\leftharpoonup }{e}{}_i,\stackrel{\rightharpoonup }{e}{}_i)$为第i个元素是$(\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})$其余元素为$(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$的单位动态模糊列向量;$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})\in (\stackrel{\leftharpoonup }{R}‚\stackrel{\rightharpoonup }{R}){}^{n\times n{}^2}‚(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}})\in (\stackrel{\leftharpoonup }{R}‚\stackrel{\rightharpoonup }{R}){}^{n{}^2\times n}‚({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })\in (\stackrel{\leftharpoonup }{R}‚\stackrel{\rightharpoonup }{R}){}^{n{}^2\times n{}^2}$为动态模糊对角矩阵,它的值随各个时刻规则权重值而改变,但$({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup }){}^{{\rm T}}(k)({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)\le (\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm I}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm I}})$。于是闭环动态模糊控制系统的全局模型可表示为:

$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k+1)=((\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)+(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}}))(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)(8)$

定义1[4] 对不确定动态模糊自治系统$\stackrel{\cdot }{{\displaystyle (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})}}(t)=((\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_0)+\Delta (\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}))(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(t)$,若存在一个n阶动态模糊矩阵正定$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})$和一个动态模糊常数$(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })>(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$,使得对任意允许的不确定性Δ(

$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x}){}^{{\rm T}}(t)((\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_0){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})+(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}},\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}})(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_0))(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(t)+2(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x}){}^{{\rm T}}(t)\Delta (\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}){}^{{\rm T}}(t)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(t)\le -(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })\parallel (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(t)\parallel {}^2$

,$\stackrel{\rightharpoonup }{A})$,

对任意解$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(t)$和t都成立,则称该系统是二次稳定的。

$\begin{array}{l}\text{其}\text{中}:(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_0)=((\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}){}_{\max }+(\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}){}_{\min })/2\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}){}_{\max }=\underset{l}{{\displaystyle \max }}((\stackrel{\leftharpoonup }{a}{}_{ij}^l,\stackrel{\rightharpoonup }{a}{}_{ij}^l))\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}){}_{\min }=\underset{l}{{\displaystyle \min }}((\stackrel{\leftharpoonup }{a}{}_{ij}^l,\stackrel{\rightharpoonup }{a}{}_{ij}^l))\end{array}$

定理2 如果带扰动系统(8)是二次稳定的,则闭环动态模糊控制系统(5)是渐近稳定的。

证明 带扰动系统(8)是二次稳定的,则由定义1可知:

$\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x}){}^{{\rm T}}(k)\left\{\begin{array}{l}((\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)\\ +(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}})){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})((\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)\\ +(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}}))-(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})\end{array}\right\}\\ \times (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)\le -(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })\parallel (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(t)\parallel {}^2\end{array}$

对于闭环动态模糊控制系统(5),设其Lyapunov函数为:

$V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)]=(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x}){}^{{\rm T}}(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)$

其中,$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})$为一动态模糊对称正定矩阵。由于系统全局表示矩阵$(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C})$是一个区间矩阵,且$(\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C})=(\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)+(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}}),({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup }){}^{{\rm T}}(k)({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)\le (\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm I}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm I}}){}_{n{}^2}$,则有:

$\begin{array}{l}\Delta V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)]=V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k+1)]-V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)]=\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x}){}^{{\rm T}}(k)\left\{\begin{array}{l}((\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)\\ +(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}})){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})((\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)\\ +(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}}))-(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})\end{array}\right\}\\ \times (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)\le -(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })\parallel (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(t)\parallel {}^2<(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\end{array}$

即闭环动态模糊控制系统(5)是渐近稳定的。证毕。

引理$1(\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A})‚(\stackrel{\leftharpoonup }{D}‚\stackrel{\rightharpoonup }{D})‚(\stackrel{\leftharpoonup }{E}‚\stackrel{\rightharpoonup }{E})$和$(\stackrel{\leftharpoonup }{F}‚\stackrel{\rightharpoonup }{F})$是动态模糊适维阵,且如果对任意动态模糊对称阵$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})$及标量$(\stackrel{\leftharpoonup }{\epsilon }‚\stackrel{\rightharpoonup }{\epsilon })>(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$,有$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})-(\stackrel{\leftharpoonup }{\epsilon }‚\stackrel{\rightharpoonup }{\epsilon })(\stackrel{\leftharpoonup }{D}‚\stackrel{\rightharpoonup }{D})(\stackrel{\leftharpoonup }{D}‚\stackrel{\rightharpoonup }{D}){}^{{\rm T}}>(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$成立,则:

$\begin{array}{l}((\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A})+(\stackrel{\leftharpoonup }{D}‚\stackrel{\rightharpoonup }{D})(\stackrel{\leftharpoonup }{F}‚\stackrel{\rightharpoonup }{F})(\stackrel{\leftharpoonup }{E}‚\stackrel{\rightharpoonup }{E})){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}){}^{-1}\\ ((\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A})+(\stackrel{\leftharpoonup }{D}‚\stackrel{\rightharpoonup }{D})(\stackrel{\leftharpoonup }{F}‚\stackrel{\rightharpoonup }{F})(\stackrel{\leftharpoonup }{E}‚\stackrel{\rightharpoonup }{E}))\le (\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}){}^{{\rm T}}((\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})-(\stackrel{\leftharpoonup }{\epsilon }‚\stackrel{\rightharpoonup }{\epsilon })(\stackrel{\leftharpoonup }{D}‚\stackrel{\rightharpoonup }{D})(\stackrel{\leftharpoonup }{D}‚\stackrel{\rightharpoonup }{D}){}^{{\rm T}}){}^{-1}(\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A})+(\stackrel{\leftharpoonup }{\epsilon }‚\stackrel{\rightharpoonup }{\epsilon }){}^{-1}(\stackrel{\leftharpoonup }{E}‚\stackrel{\rightharpoonup }{E}){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{E}‚\stackrel{\rightharpoonup }{E})\end{array}$

定理3 如果存在标量$(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })>(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$和动态模糊对称正定矩阵$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})$,使得下式

$\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0){}^{{\rm T}}((\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}){}^{-1}-(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}}){}^{{\rm T}}){}^{-1}(\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)+(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha }){}^{-1}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}}){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}})-(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})<(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}){}^{-1}-(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}}){}^{{\rm T}}>(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\end{array}$

成立,则闭环动态模糊系统(5)是渐近稳定的。

证明 设闭环动态模糊控制系统(5)的Lyapunov函数为:

$V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)]=(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x}){}^{{\rm T}}(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)$

其中$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})$为动态模糊对称正定矩阵。则:

$\begin{array}{l}\Delta V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)]=V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k+1)]-V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)]\\ =(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x}){}^{{\rm T}}(k)\\ \left\{\begin{array}{l}\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^m\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_i,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_i)(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_j,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_j)(k)((\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_i)\\ +(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_i)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_j‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_j))\end{array}}}\right]{}^{{\rm T}}\\ \times (\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^m\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_i,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_i)(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_j,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_j)(k)((\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_i)\\ +(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_i)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_j‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_j))\end{array}}}\right]-(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})\end{array}\right\}\end{array}$

$\times (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)$

由式(8)得:

$\Delta V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)]=(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x}){}^{{\rm T}}(k)\{((\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)+(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}})){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})((\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)+(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})({\displaystyle \sum }^{\leftharpoonup }‚{\displaystyle \sum }^{\rightharpoonup })(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}}))-(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})\}(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)$

利用引理1,如果存在标量$(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })>(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$和动态模糊对称正定矩阵$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})$,满足$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}){}^{-1}-(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}}){}^{{\rm T}}>(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$,则:

$\Delta V[(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)]\le (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x}){}^{{\rm T}}(k)\{(\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0){}^{{\rm T}}((\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}){}^{-1}-(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha })(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}}){}^{{\rm T}}){}^{-1}(\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)+(\stackrel{\leftharpoonup }{\alpha },\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha }){}^{-1}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}}){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm N}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm N}})-(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})\}(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)<(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$

根据Lyapunov稳定性定理,闭环动态模糊系统(5)是渐近稳定的。证毕。

3 动态模糊控制器的设计算法

根据定理3来设计稳定的动态模糊控制器,其设计算法如下:

1) 对于闭环动态模糊控制系统(5),其对象参数$(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_l)$和$(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_l)$以及它们相应的隶属函数为已知,而动态模糊控制器参数$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_l)$和其隶属函数$(\stackrel{\leftharpoonup }{\mu },\stackrel{\rightharpoonup }{\mu }){}_{(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_l)}$是待设计的,通常是选定隶属函数$(\stackrel{\leftharpoonup }{\mu },\stackrel{\rightharpoonup }{\mu }){}_{(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_l)}$,并根据定理3来设计参数$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_l)$。

2) 选取参数$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_l)$使得近似线性子系统均为稳定。根据式(5),近似线性子系统为:$(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k+1)=(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_i,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_i)(\stackrel{\leftharpoonup }{w}{}_j,\stackrel{\rightharpoonup }{w}{}_j)(\stackrel{\leftharpoonup }{Q}{}_{ij}‚\stackrel{\rightharpoonup }{Q}{}_{ij})(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k),(\stackrel{\leftharpoonup }{Q}{}_{ij}‚\stackrel{\rightharpoonup }{Q}{}_{ij})=(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_i)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_i)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_j‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_j)$。

3) 寻找动态模糊正定矩阵$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}{}_i)$,使得$(\stackrel{\leftharpoonup }{Q}{}_{ij}‚\stackrel{\rightharpoonup }{Q}{}_{ij}){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}{}_i)(\stackrel{\leftharpoonup }{Q}{}_{ij}‚\stackrel{\rightharpoonup }{Q}{}_{ij})-(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}{}_i)<(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$。若对于给定的i*∈{1,2,…,m},存在$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}{}_{i{}^{*}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}{}_{i{}^{*}})$,使得$(\stackrel{\leftharpoonup }{Q}{}_{ij}‚\stackrel{\rightharpoonup }{Q}{}_{ij}){}^{{\rm T}}(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}{}_{i{}^{*}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}{}_{i{}^{*}})(\stackrel{\leftharpoonup }{Q}{}_{il}‚\stackrel{\rightharpoonup }{Q}{}_{ij})-(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}{}_{i{}^{*}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}{}_{i{}^{*}})<(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$,则选取$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})=(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}{}_i)$;否则返回第2)步,重新设计参数$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_l‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_l)$直至找到$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})=(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}{}_i‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}}{}_i)$为止。

4 仿真实例

关于倒立摆系统:

$\begin{array}{l}\stackrel{\cdot }{{\displaystyle (\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)}}=(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_2,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_2)\\ g\sin (\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)-(aml(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_2,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_2){}^2\sin (2\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,2\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1))/2\\ \stackrel{\cdot }{{\displaystyle (\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_2,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_2)}}=\frac{-a\text{c}\text{o}\text{s}(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)u}{4l/3-aml\text{c}\text{o}\text{s}{}^2(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)}\end{array}$

其中:$(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)$为摆杆与水平方向的夹角$(\text{r}\text{a}\text{d}),(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_2,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_2)$为摆杆的角速度(rad/s), g=9.8m/s2为重力加速度,m为摆杆的质量,M为小车质量,2l为杆长,u为施加在小车上的水平力。各参数取值如下:m=2.0kg,M=8.0kg,2l=1.0m,a=1/(m+M)。采用如下动态模糊模型[7]:

R1:if$(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)(t)\text{i}\text{s}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\text{t}\text{h}\text{e}\text{n}\stackrel{\cdot }{{\displaystyle (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})}}(t)=(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_1‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_1)(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(t)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_1‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_1)u(t)$

R1:if$(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)(t)\text{i}\text{s}\left(\frac{\stackrel{\leftharpoonup }{\pi }}{2},\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{\pi }}{2}\right)\text{t}\text{h}\text{e}\text{n}\stackrel{\cdot }{{\displaystyle (\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})}}(t)=(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_2‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_2)(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(t)+(\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_2‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_2)u(t)$

其中:

$\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_1‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_1)=\left[\begin{array}{cc}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})\\ \left(\frac{\stackrel{\leftharpoonup }{g}}{4l/3-aml},\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{g}}{4l/3-aml}\right)& (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_1‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_1)=\left[\begin{array}{c}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\\ \left(\frac{\stackrel{\leftharpoonup }{a}}{4l/3-aml},\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{a}}{4l/3-aml}\right)\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_2‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_2)=\left[\begin{array}{cc}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})\\ \left(\frac{2\stackrel{\leftharpoonup }{g}}{\pi (4l/3-aml\beta {}^2)},\frac{2\stackrel{\rightharpoonup }{g}}{\pi (4l/3-aml\beta {}^2)}\right)& (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{B}{}_2‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}{}_2)=\left[\begin{array}{c}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\\ \left(\frac{\stackrel{\leftharpoonup }{{\displaystyle \alpha \beta }}}{(4l/3-aml\beta {}^2)},\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{{\displaystyle \alpha \beta }}}{(4l/3-aml\beta {}^2)}\right)\end{array}\right]\\ \beta =\cos (88°)\end{array}$

动态模糊集$(\stackrel{\leftharpoonup }{G}{}_1‚\stackrel{\rightharpoonup }{G}{}_1)$和$(\stackrel{\leftharpoonup }{G}{}_2‚\stackrel{\rightharpoonup }{G}{}_2)$的隶属函数为:

$\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{\mu }{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{\mu }{}_1)(x)=\\ \left(\left(1-\frac{1}{1+\exp \left(-7\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right)}\right)\frac{1}{1+\exp \left(-7\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right)},\leftarrow ‚\to \right)\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{\mu }{}_2,\stackrel{\rightharpoonup }{\mu }{}_2)(x)=(\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})-(\stackrel{\leftharpoonup }{\mu }{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{\mu }{}_1)(x)\end{array}$

则得到系数矩阵的区间表示形式为:

$\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}){}_{\max }=\left[\begin{array}{cc}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})\\ (17.2\stackrel{\leftharpoonup }{9},17.2\stackrel{\rightharpoonup }{9})& (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{A}‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}){}_{\min }=\left[\begin{array}{cc}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})\\ (9.3\stackrel{\leftharpoonup }{6},9.3\stackrel{\rightharpoonup }{6})& (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{B}‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}){}_{\max }=\left[\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\\ (0.1\stackrel{\leftharpoonup }{8},0.1\stackrel{\rightharpoonup }{8})\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{B}‚\stackrel{\rightharpoonup }{B}){}_{\min }=\left[\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\\ (0.00\stackrel{\leftharpoonup }{5},0.00\stackrel{\rightharpoonup }{5})\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\max }=\left[\begin{array}{cc}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (1.000\stackrel{\leftharpoonup }{2},1.000\stackrel{\rightharpoonup }{2})\\ (-22.4\stackrel{\leftharpoonup }{6},-22.4\stackrel{\rightharpoonup }{6})& (-8.6\stackrel{\leftharpoonup }{8},-8.6\stackrel{\rightharpoonup }{8})\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{C}‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}){}_{\min }=\left[\begin{array}{cc}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})\\ (-30.0\stackrel{\leftharpoonup }{8},-30.0\stackrel{\rightharpoonup }{8})& (-10.7\stackrel{\leftharpoonup }{2},-10.7\stackrel{\rightharpoonup }{2})\end{array}\right]\end{array}$

对子系统进行极点配置,得子系统1、2的状态反馈增益为:

$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_1‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_1)=[(-211.\stackrel{\leftharpoonup }{3},-211.\stackrel{\rightharpoonup }{3})(-45.\stackrel{\leftharpoonup }{3},-45.\stackrel{\rightharpoonup }{3})]$

$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_2‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_2)=[(-5607.\stackrel{\leftharpoonup }{5},-5607.\stackrel{\rightharpoonup }{5})(-1527.\stackrel{\leftharpoonup }{9},-1527.\stackrel{\rightharpoonup }{9})]$

进而:

$\begin{array}{l}(\stackrel{\leftharpoonup }{A}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{A}{}_0)=\left[\begin{array}{cc}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})\\ (13.32\stackrel{\leftharpoonup }{5},13.32\stackrel{\rightharpoonup }{5})& (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{C}{}_0‚\stackrel{\rightharpoonup }{C}{}_0)=\left[\begin{array}{cc}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (\stackrel{\leftharpoonup }{1},\stackrel{\rightharpoonup }{1})\\ (-26.2\stackrel{\leftharpoonup }{7},-26.2\stackrel{\rightharpoonup }{7})& (-9.\stackrel{\leftharpoonup }{7},-9.\stackrel{\rightharpoonup }{7})\end{array}\right]\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}})(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm M}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm M}}){}^{{\rm T}}=\left[\begin{array}{cc}(0.000\stackrel{\leftharpoonup }{1},0.000\stackrel{\rightharpoonup }{1})& (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (4.8\stackrel{\leftharpoonup }{3},4.8\stackrel{\rightharpoonup }{3})\end{array}\right]\\ ({\rm N},{\rm N})=\left[\begin{array}{cccc}(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (1.95\stackrel{\leftharpoonup }{2},1.95\stackrel{\rightharpoonup }{2})& (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})\\ (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (0.0\stackrel{\leftharpoonup }{1},0.0\stackrel{\rightharpoonup }{1})& (\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})& (1.0\stackrel{\leftharpoonup }{1},1.0\stackrel{\rightharpoonup }{1})\end{array}\right]\end{array}$

最后得到动态模糊正定矩阵:

$(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm P}}‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm P}})=\left[\begin{array}{cc}(0.01\stackrel{\leftharpoonup }{3},0.01\stackrel{\rightharpoonup }{3})& (1.01\stackrel{\leftharpoonup }{2},1.01\stackrel{\rightharpoonup }{2})\\ (-27.46\stackrel{\leftharpoonup }{2},-27.46\stackrel{\rightharpoonup }{2})& (-10.0\stackrel{\leftharpoonup }{5},-10.0\stackrel{\rightharpoonup }{5})\end{array}\right]$

因此,由定理3,倒立摆系统在状态反馈控制器$(\stackrel{\leftharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{u})(k)=((\stackrel{\leftharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{u})(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_1‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_1)+(\stackrel{\leftharpoonup }{u}{}_2,\stackrel{\rightharpoonup }{u}{}_2)(k)(\stackrel{\leftharpoonup }{{\rm K}}{}_2‚\stackrel{\rightharpoonup }{{\rm K}}{}_2))(\stackrel{\leftharpoonup }{x},\stackrel{\rightharpoonup }{x})(k)$

控制下是渐近稳定的。

分别取初始点:

$(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)(0)=(6\stackrel{\leftharpoonup }{0}°,6\stackrel{\rightharpoonup }{0}°),(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_2,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_2)(0)=(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$和$(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_1,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_1)(0)=(8\stackrel{\leftharpoonup }{9}°,8\stackrel{\rightharpoonup }{9}°),(\stackrel{\leftharpoonup }{x}{}_2,\stackrel{\rightharpoonup }{x}{}_2)(0)=(\stackrel{\leftharpoonup }{0},\stackrel{\rightharpoonup }{0})$得到仿真曲线,如图1和图2所示。由图可知,系统在1s后稳定在平衡点(0,0)处,即(0,0)点是闭环系统的稳定平衡点。而文献[7]中的倒立摆系统在1.05s后稳定在平衡点(0,0)处,因此,本系统的性能更加优越。

5 结 论

我们对非线性动态模糊系统的过程控制进行了研究,解决了模糊控制系统所不能解决的动态性问题。本文结合区间系统理论和鲁棒控制理论,给出了非线性动态模糊系统过程控制的稳定性分析并在此基础上给出了动态模糊控制器的设计算法,由最后的仿真实例可以看出,它们是有效的,为解决非线性动态模糊系统的控制问题提供了更加简单方便的途径。

摘要：针对自动控制领域中存在的大量的非线性动态模糊系统,提出了非线性动态模糊系统过程控制模型,并给出了动态模糊控制器的设计算法和该模型的稳定性分析,很好地解决了模糊控制系统所不能解决的动态性问题。

关键词：非线性动态模糊系统过程控制模型,动态模糊控制系统,动态模糊控制器

参考文献

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[3]TANAKA K,SUGENO M.Stability analysis and design of fuzzy controlsystems[J].Fuzzy Sets and Systems,1992,45:135-156.

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[7]何希勤.一类多变量模糊系统稳定性分析及应用研究[D].东北大学博士学位论文,2000,02.

[8]蔡自兴,肖晓明.动态模糊系统的鲁棒稳定性分析与控制器设计[J].中南工业大学学报,1999,30(4):418-421.

稳定性与控制 篇5

基于直接横摆力矩控制方法,设计了一种前馈一反馈补偿控制的车辆稳定性控制器.其中控制器以4WS为期望的车辆模型,通过前馈补偿控制可使车辆的`质心侧偏角趋于理想值,而反馈补偿控制可使车辆模型在较好地跟踪理想模型的基础上,有效抵抗外界干扰.通过前轮角阶跃输入与正弦输入仿真,就控制效果的稳定性与对前轮转角的跟随特性两方面而言,所设计的控制系统能较好地控制车辆的操纵稳定性.

作 者：周红妮 王莉 陶健民 Zhou Hongni Wang Li Tao Jianmin 作者单位：周红妮,陶健民,Zhou Hongni,Tao Jianmin(湖北汽车工业学院,湖北,十堰,44)

王莉,Wang Li(东风汽车股份有限公司,商品研发院,湖北,武汉,430057)

稳定性与控制 篇6

关键词：继电保护；控制系统；隐性故障

中图分类号： TM588 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）18-177-2

0 引言

电力系统出现大范围内的停电，通常情况下都是由于继电保护与控制安全系统之间出现隐性故障引起的。出现的隐性故障实际上就是指存在的故障具有一定的隐蔽性，主要是两个方面的原因造成的，一方面是装置设备本身的缺陷引起的；另一方面是人为的原因，在操作上出现了一定的失误。出现隐性故障会带来很大的影响，造成国家经济的损失，所以隐性故障造成的停电现象不容忽视，因此必须要加强对继电保护系统和安全控制系统的管理。

本文主要研究故障出现的现象，根据安全系统的特点，分析出隐性故障的原因，通过对故障问题以及对隐性故障原因进行分析，二次设备运行的管理等方面提出一定的要求，为电力正常运行提供一定的保障，采取有效措施对电网的运转路径进行调控，这样可以提供有效的规避隐性故障。

1 继电保护隐性故障的分析

一般情况下，即使继电保护系统存在一定的故障问题，在正常的运行中是不会带来任何的影响，不会造成大规模停电的情况，但是如果继电保护系统运行时非常吃力，出现装置不运行的现象，或者在断开某电路元件的方式不正确时，才会导致继电保护装置失灵，会出现大面积停电的事故。继电保护系统出现隐性故障的原因主要有几个方面导致的，装置设备出现一些缺陷，也有可能是因为软件版本出现的错误，保护的定值设置的不合理，天气情况也会造成隐性故障，除此之外也有认为操作导致隐性故障。继电保护装置存在的一些缺陷造成很多隐性故障问题的出现，除了人为的损坏，还有一部分原因是硬件或者软件不能适应电网的运行方式。

2 隐性故障的影响和研究方法

一般情况下，电力系统中会设置三道防线，第一道防线是继电保护系统，所以必须要具备一定的可靠性，同时要保障电网处于正常的运行状态，如果一旦出现问题就会导致继电保护系统出现一些隐性故障，就会存在一定的风险。对继电保护系统中出现的问题进行分析，根据相关的风险评估的方法，与现代的技术和分析方法相结合，通过对继电系统进行分析研究隐性故障出现的原因。继电保护系统中的装置对电力的正常运行也有一定的影响，应该加强辨识在系统中起到关键的作用的装置，提高继电保护系统的安全性和可靠性。

继电保护系统中出现的隐性故障对系统也会造成一定的影响。通过借助仿真的工具，运用仿真的方法，模拟电力系统的正常运行状态。对隐性故障进行监控是预防保护系统发生故障的重要的方法。在筛选事故时，有时会暴露出诸如系统连锁故障等隐患问题，针对这种情况可以给对脆弱的路线进行保护，有效地控制隐性故障的出现。

3 安全控制装置隐性故障分析

安控装置主要是保障电力系统的安全性和可靠性，同时安全控制系统是电力系统中的第二道防线，安控装置的运行状态直接影响电网的安全，所以必须要对安控装置的运行状态进行及时检测。要根据电网的出现故障进行研究，一般情况下，安控装置的隐性故障主要出现在策略、通信、定值、测量方面以及表决的模式上，因此，我们要逐一进行探究。

3.1 在测量方面

安控装置在测量方面主要是电压互感器断线事故，这就会造成了隐性故障。也会因为测量回路芯片失效，导致测量时测量值出现误差，这也是造成故障误判的原因之一。

3.2 在策略方面

安控装置起到一个载体的作用，实现策略控制主要是通过两种方式来实现，一种是在线决策的方式，另一种方式是离线决策的方式。如果安控装置不能适应电网的运行方式，就会导致在安控装置出过切、欠切甚至误切的现象，这会造成故障的进一步扩大。

3.3 在定值方面

安控装置中的定值必须要保持正确，如果装置的定值错误，则安控装置不能有效的发挥作用，并且直接影响到故障检测的及时性。

3.4 在通信方面

一般情况下，安控装置需要系统的规划，实现的功能，以及控制范围方面进行配置，可以实现大范围内的操控。电力系统会采取把多个电厂的安控装置的通信通道连接到一起工作，这样可以使区域内电力系统的安全得到有效控制。如果在通信中出现了误码的现象，就会出现通信通道在传输时不稳定现象，以及信息传送不及时的情况，这会影响命令的接受和执行。如果通信中出现命令不及时的情况，就会导致错过最佳的执行时间，安控装置就会出现拒动或者误动，引起更严重的故障。

3.5 表决模式

安控系统在设计方面采取了冗余的设计方式，主要是为了提高安控装置的安全性和可靠性。安控系统在冗余设计过程中，必须要考虑到表决模式的类型。表决模包括以下几种模式，集体的分析，首先是三取二的模式，实际上就是指在三套装置中至少要有两套动作，这种情况可以防止因单套装置性的原因造成的安控装置的拒动或者误动。这种模式的成本比较高，接线方面也比较复杂，在运行和维护方面也比较困难，所以这中模式很少被采用。其次是二取二的模式，就是指把两套安控装置出口连接起来，只有在两套装置都运行的情况下，才能跳闸出口，这种模式使安控装置的安全性和可靠性大大提高。如果其中一个装置出现了问题，就可以避免因装置故障而使另一个装置也拒动。最后是二取一的模式，这种模式被广泛地运用。

4 继电保护和安控系统配合隐患分析

出现大规模的停电现象，主要是因为继电保护系统之间、安控系统等配合的不协调，以及設置的参数不匹配，这些都会成为影响系统安全的隐患问题。

4.1 继电保护之间的配合隐患问题的分析

继电保护间的安控系统出现不协调的原因主要是因为定值的配合不合理，选择的主保护与后备保护支架配合的的不够协调。除此之外，继电保护之间的隐患问题出现在设计方面，比如安控装置中的母联保护与母差保护之间的保护逻辑设计不合理，并且具有一定的缺陷，如果电网出现单一的故障时不会暴露。

4.2 安控系统之间的配合存在的隐患问题

一般情况下安控系统常常局限在一定的而范围内，在局域网内运行。在一定范围内设立一定数量的装置对局域网进行控制，并且每一个安控系统都有对应的预防方式。但是这种方式有一定的不利影响，局域网之间可能会互相干扰，因此，应该重视安控系统区域之间的协调与配合。

5 结论与展望

通过对继电保护系统与安控系统的故障的研究与分析，在未来可以从以下几个方面来研究和改善故障现象。

首先，是对隐性故障的建模上分析，对继电进行保护避免出现隐性故障的建模主要是通过距离保护和过流保护为主要研究对象进行分析和研究。安控系统的隐性故障是研究的主要内容，不同的隐性故障引发的后果也不相同。

其次，在隐性故障的风险评估方面，可以把继电保护系统和安控装置系统作为二次设备，这也是电网运行风险来源的之一。可以把二次装备作为风险评估因子，参与评估计算结果，对二次系统的监控要做好记录，通过对一定的风险评估进行研究。

再次，是主要針对继电保护和安控系统中存在的隐患问题，要重视区域之间的协调问题，除此之外，还应该注意安控系统、继电保护系统与电网设置参数的匹配问题，这也是影响电网正常运行的原因，因此，必须要加强管理。

最后，是对二次设备运行的管理，针对继电保护与安全控制系统支架出现的隐性故障的问题进行分析，也有一定的原因是人为的原因。所以电网的管理人员在操作时应该遵循电力管理规章制度，减少不必要的安全隐患问题。根据电网运行的状况来判定继电保护系统与安控装置系统的数据是否正确，根据呈现出来的数据来判断故障的原因。

参 考 文 献

[1] 赵丽莉，李雪明，倪明，程雅梦.继电保护与安全稳定控制系统隐性故障研究综述及展望[J].电力系统自动化，2014，22：128-135.

[2] 吴智杰.继电保护与安全稳定控制系统隐性故障研究综述及展望[J].科技展望，2015，36：84.

[3] 杨绍卓.继电保护与安全稳定控制系统隐性故障研究综述及展望[J].中小企业管理与科技（下旬刊），2016，01：287.

稳定性与控制 篇7

国外对于角联的研究较早,1925年波兰学者H.Czeczott首先提出角联的概念[1];之后,人们对角联分支的风流特性进行了大量的研究,提出了复杂通风网络角联分支的自动识别方法[2],运用通风网络风流流动基本方程推导了多种典型角联网络的风向判别式,并由此定义了角联风向稳定性系数[3,4],但对于推导任意复杂网络中的角联风向判别式是极其困难的,故应用受到极大的限制。为了分析影响角联风流稳定性的关键因素,运用敏感度分析方法,寻找影响角联风流稳定性的敏感分支[5,6];由于风流的稳定性主要体现在风流的强弱上,因此,又提出了用风流功率(强度)作为评价风流稳定性的指标[7]。上述方法均不能综合体现角联风流的稳定性和安全性。笔者在分析角联风流稳定性与安全性的基础上,建立相应的评价指标体系,将模糊优选法[8,9,10]运用于角联风流安全稳定性的综合评价,提出了治理角联分支无风或微风的控制方法,并在平煤五矿进行了现场应用。

1 角联分支安全稳定性评价

1.1 评价准则

为了合理评价角联分支风流的安全稳定性,提出如下的评价准则:

1) 内因决定原则 使用风流功率(风量×压差)评价其风流的稳定性。

2) 外因促进原则 根据角联分支所属敏感分支风阻变化难易程度评价其风流的稳定性。

3) 安全性原则 根据角联分支所处位置、长度、风速和温度对瓦斯积聚及其影响的范围大小评价其安全性。

1.2 评价指标体系

根据角联安全稳定性评价准则,并遵循指标科学性、可操作性和独立性原则,建立通风网络角联分支风流安全稳定性评价指标体系,如图1所示。

D1,D5,D6,D8可通过实测或者风网模拟得出;D7指角联分支有无瓦斯积聚的危险性大小,其取值见表1。

影响角联分支风流稳定性的外因指标由其敏感性分支风阻变化的可能性大小得出,包括D2,D3,D4,反映了实际矿井中敏感分支常见的3种风阻变化形式对角联分支风流稳定性的综合影响。

分支敏感矩阵的计算模型如下[5,6]:

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CTQydiagCTQy (1)

式中:C为网络基本回路矩阵;R为分支风阻列向量;Q为分支风量列向量;Qy为余树分支风量列向量;下标diag表示由列向量构成的对角矩阵; f为风网稳定状态方程。

根据上述模型,在通风网络解算程序的基础之上,编制了分支敏感矩阵的计算程序。

1.3 指标权重的确定

引起通风网络风流不稳定的因素指标较多,各因素指标对风流稳定性和安全性的影响程度存在差异,故用指标权重来表示。在充分征求专家意见的基础上,建立了如图1所示的评价指标体系层次结构模型,其中包含4个层次、 8项指标,按1～9比率法构造出各层次上的判断矩阵,采用幂法求解判断矩阵的特征向量及其最大特征根,经层次分析法程序计算,得出了最底层8项指标的权重向量W=(w1,…,w8),如图1所示。各层次随机一致性比率CR均小于0.1,判断矩阵具有满意的一致性。

1.4 模糊优选综合评价模型

设X是由n条角联分支对应于m个评价指标组成的集合,xij为集合X中的一个元素,表示第j条角联分支对应的第i个指标值。引入相对隶属度消除量纲不同所带来的不可公度性。

第1类指标属性值越大越好,其隶属度为

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第2类指标属性值越小越好,其隶属度为

undefined

式中:i=1,2,…,m;j=1,2,…,n;max{}和min{}分别表示取集合中元素的最大值和最小值。确定出相对隶属度矩阵Ri×j,表示第j条角联分支对第i个评价指标的优属度。

标准优等角联的m个指标隶属度是全体角联相应指标隶属度的最大值,其向量表达式为

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同理,标准劣等角联隶属度的向量表达式为

undefined

对于通风网络中的n条角联分支,定义模糊分划矩阵:

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满足约束条件:

undefined

系统中第j条角联分支以隶属度u1j隶属于优等角联分支,同时,以隶属度u2j=1-u1j隶属于劣等角联分支。则第j条角联分支的权异优度undefined;第j条角联分支的权异劣度undefined。设n条角联分支的权异优度平方与权异劣度平方之总和最小为目标函数:

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令undefined,可得出最优模糊分划矩阵元素:

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2 角联分支风流稳定性优化控制

对于多角联复杂风网,在控制角联分支风流稳定性和安全性方面,提出了2种优化控制方法:

1) 在不影响用风地点供风量的前提下,优先选择在角联分支的可调负导线敏感风路上增阻,在对被调系统总阻力影响较小的情况下,使关键角联分支风量得到明显增加。

2) 设法给关键角联分支创造1条可控回风通道,使其形成独立回风。在不影响用风地点供风量的前提下,优先选择在角联分支的可调正导线敏感风路上减阻,使关键角联分支风量得到明显增加。

3 实例分析

3.1 模糊优选综合评价法的应用

在平煤五矿通风网络图中存在34条角联分支,且均处在进风侧。根据表2中的各指标属性值,按式(2)或式(3)进行无量纲处理,其中,风流功率D1、角联位置D7和风速D5取第1类指标属性值,其他取第2类指标属性值,再按模糊优选综合评价法模型进行计算,得出各角联分支安全稳定性排序,部分结果见表2,隶属度u1j离0越近,角联分支的安全稳定性越差。通过对u1j较小的分支风流控制,可以提高通风网络风流的安全稳定性。

3.2 角联分支风流稳定性优化控制的应用

以安全稳定性最差的己三胶带暗斜——161角联分支为例,说明所提出的优化控制方法。161分支是连接副井和北山风井2个进风井的联络巷,长度为1 057 m,风流方向为下行,阻力为15.9 Pa。为确保此巷道风流的安全稳定性,提出下列2种控制方案。

方案一,增强161分支下行风强度。如图2所示,在负导线117分支上增阻,并在满足工作面需风量的前提下,使161分支的风量增加到8.137 m3/s,如表3所示,保证了其下行风的风流稳定性。

方案二如图3所示,使117分支的风流方向由15节点流向6节点,与180工作面回风并联进入己三回风下山,调节136分支(180风巷出煤道),分别将117分支风量定为20,30,35 m3/s,模拟解算出主要巷道风流参数见表3。当117分支风量定为30 m3/s,可使胶带暗斜161分支的风向由下行风变为上行风,风量达到8.15 m3/s,并且能够保证180工作面的供风量。

从提高己三胶带暗斜通风稳定性和防火安全性考虑,161分支上行通风要明显优于下行通风,故选择方案二,将117分支设定为30 m3/s进行实施。

4 结论

1) 提出了复杂通风网络中角联分支风流的稳定性和安全性评价准则,建立了角联分支风流稳定性与安全性的评价指标体系,结合层次分析法,确定了各因素指标权重,运用模糊优选评价法,得出平煤五矿通风网络各角联分支的稳定性与安全性的优劣排序,其中己三胶带暗斜的风流安全稳定性最差。

2) 提出了角联风流稳定性控制的2种优化方法。结合对平煤五矿己三胶带暗斜角联分支风流稳定性的治理,对2种优化方案进行了对比分析,选择了安全性和稳定性较好的风流控制方案进行实施,消除了角联分支风流不稳定的现象,取得了显著的效果。

参考文献

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[9]周福宝,王德明,李正军.矿井通风系统优化评判的模糊优选分析法[J].中国矿业大学学报,2002(3).

稳定性与控制 篇8

控制回路通过实时网络形成闭合的反馈控制系统称为网络控制系统[1](Networked Control System,NCS),它是上世纪九十年代初提出的概念,是计算机技术、通信技术和控制技术发展与融合的产物。网络控制系统充分体现了控制系统网络化、集成化、分布化、节点智能化的发展趋势,在工业过程控制等许多领域得到了广泛应用,同时也是目前国内外研究的一个热点。

NCS的典型结构如图1所示:

由于实时网络的引入,在设计NCS时会出现通信带宽不够的现象,从而导致采样数据的传输失败,影响整个系统的稳定性。

相对于传统控制系统而言,网络控制系统的特点主要在于网络节点之间的数据不是直接传输,而是通过网络间接传输。网络的引入使得NCS的分析和设计变得非常复杂,这种复杂性主要体现在两个方面[2]:一是由于网络负载变化不定及数据流传输路径不唯一等原因,会产生随机的网络时延;二是由于网络拥塞,带宽限制或连接中断等原因,会产生数据包丢失。

作为网络控制系统核心问题之一的单包传输时丢包率固定的丢包稳定性问题,一直受到广泛关注,并且已经取得了一些研究成果。

Nilsson针对数据包丢失问题给出了两种解决方法:一是使用上一次传输成功的数据包,二是对已丢数据包进行估计;并给出了这两种方法下的最优LQ控制器。然而这些工作都只是通过示例给出的,并没有给出详细的分析和证明过程[3]。Ling等人将丢包率视为一种评价网络控制系统QoS (Quality of Service) 的指标,引入功率谱密度作为一种评价网络控制系统性能QoP (Quality of Performance) 的指标,并给出了这两种指标之间的关系,然而并没有给出整个系统的指数稳定性分析[4]。本文把有数据包丢失的网络控制系统建模成一个具有四个事件的异步动态系统。所谓的异步动态系统是一个同时包含离散和连续动态的系统,其中离散动力学由有限的自动开关描述,并由异步的离散事件驱动,连续动力学由微分或者差分方程描述[5]。Zhang 等人虽然利用异步动态系统建立了有数据包丢失的网络控制系统的数学模型,但却只考虑了系统为状态反馈时的情况[6]。而实际控制工程中的网络控制系统多是采用输出反馈或PID控制,所以本文将此理论推广至控制器为PID和输出反馈的有丢包的网络控制系统。

2 NCS模型建立

存在数据包丢失的NCS模型可以抽象为一个有速率约束的异步动态系统模型。即将系统的不同状态用开关的通和断来描述。当开关的状态为断时,表明NCS传输数据丢失;当开关的状态为通时,表明NCS传输数据成功,如图2所示。

NCS中通信网络的数据成功传输的概率称为网络开关率,或有效数据传输率。用r1来表示控制器和执行器间的网络开关率,用r2来表示传感器和控制器间的网络开关率,用$\overline{r}{}_1$来表示控制器和执行器间的丢包率,用$\overline{r}{}_2$来表示传感器和控制器间的丢包率。则有$r{}_1=1-\overline{r}{}_1‚r{}_2=1-\overline{r}{}_2$。S1和$\overline{S}{}_1$分别表示控制器和执行器之间数据包正常传输与数据包丢失;S2和$\overline{S}{}_2$分别表示传感器和控制器之间数据包正常传输与数据包丢失。

在图2中两个开关分别表示为K1和K2,两个开关分别有通、断两种状态。相应的系统就会有四种不同的状态,具体如表1所示。

即当开关K1断时,控制器节点传输到执行器节点的数据包丢失,这时需要用过去的数据进行补偿,即uk是一个关于uk-i的函数uk=f(uk-1,uk-2,…)。当开关K1通时,控制器节点传输到执行器节点的数据包传输正常,uk是关于$\widehat{u}$k的函数,即$u{}_k=f(\widehat{u}{}_k)$。同理可以得到上表中的其它函数表达式。

常用的网络控制系统的控制策略包括PID控制、输出反馈和状态反馈三种形式。针对不同的控制策略和不同的丢包补偿策略,NCS系统将表示为不同的有速率约束的异步动态系统。

假设所建模型中一旦数据丢失则采用上次接收到的数据。采用不同的增广向量Zk作为状态向量,可描述出每种情况所对应的状态矩阵Φi(i=1,…,4)。整个系统的模型表示如下:

Zk+1=ΦiZk (i=1,…,4) (1)

式中:Zk——状态向量;i——系统中不同状态的个数,此处总共有四种不同的状态;Φi——不同状态所对应的状态矩阵;$\tilde{r}$i——各个状态出现的概率,且${\displaystyle \sum _{i=1}^4\tilde{r}}{}_i=1$。

本节将针对这三种不同控制策略依次建立模型。特别指出:

①不失一般性,NCS中的系统对象和系统控制器均写成状态空间形式;

②本文所涉及的状态空间表达式皆为离散化状态空间表达式。其中对象和控制器分别描述如下:

$\{\begin{array}{l}x{}_{k+1}=\Phi x{}_k+\Gamma u{}_k\\ y{}_k=Cx{}_k\end{array}(2)$

$\{\begin{array}{l}z{}_{k+1}=Fz{}_k+G\widehat{y}{}_k\\ \widehat{u}{}_k=Jz{}_k+{\rm H}\widehat{y}{}_k\end{array}(3)$

(1) PID控制。

当控制器采用PID控制时,其中r为参考输入。用增广向量${\rm Z}{}_k=[x{}_k,z{}_k,u{}_{k-1},\widehat{y}{}_{k-1}]$作为状态向量。

情况1:两开关均为接通状态,即系统中没有数据包丢失。

$u{}_k=\widehat{u}{}_k=Jz{}_k+{\rm H}r-{\rm H}Cx{}_k(4)$

$\widehat{y}{}_k=r-y{}_k=r-Cx{}_k(5)$

xk+1=Φxk+Γuk=Φxk+ΓJzk+ΓHr-ΓHCxk (6)

$z{}_{k+1}=Fz{}_k+G\widehat{y}{}_k=Fz{}_k+Gr-GCx{}_k(7)$

此情况下的状态矩阵为:

$\Phi {}_1=\left[\begin{array}{cccc}\Phi -\Gamma {\rm H}C& \Gamma J& 0& 0\\ -GC& F& 0& 0\\ -{\rm H}C& J& 0& 0\\ -C& 0& 0& 0\end{array}\right](8)$

情况2:开关K1断,K2通,即控制器节点传输到执行器节点的数据丢失。

uk=uk-1 (9)

$\widehat{y}{}_k=r-y{}_k=r-Cx{}_k(10)$

xk+1=Φxk+Γuk-1 (11)

$z{}_{k+1}=Fz{}_k+G\widehat{y}{}_k=Fz{}_k+Gr-GCx{}_k(12)$

$\Phi {}_2=\left[\begin{array}{cccc}\Phi & 0& \Gamma & 0\\ -GC& F& 0& 0\\ 0& 0& {\rm I}& 0\\ -C& 0& 0& 0\end{array}\right](13)$

同理,情况3、4的状态矩阵分别为:

$\Phi {}_3=\left[\begin{array}{cccc}\Phi & \Gamma J& 0& \Gamma {\rm H}\\ 0& F& 0& G\\ 0& J& 0& {\rm H}\\ 0& 0& 0& {\rm I}\end{array}\right](14)$

$\Phi {}_4=\left[\begin{array}{cccc}\Phi & 0& \Gamma & 0\\ 0& F& 0& G\\ 0& 0& {\rm I}& 0\\ 0& 0& 0& {\rm I}\end{array}\right](15)$

(2) 输出反馈。

当控制器采用输出反馈控制时,其中r为参考输入。用增广向量${\rm Z}{}_k=[x{}_k,z{}_k,u{}_{k-1},\widehat{y}{}_{k-1}]$作为状态向量,分别得到各种情况下的状态矩阵如下:

$\Phi {}_1=\left[\begin{array}{cccc}\Phi -\Gamma {\rm H}C& -\Gamma J& 0& 0\\ GC& F& 0& 0\\ -{\rm H}C& -J& 0& 0\\ C& 0& 0& 0\end{array}\right](16)$

$\Phi {}_2=\left[\begin{array}{cccc}\Phi & 0& \Gamma & 0\\ GC& F& 0& 0\\ 0& 0& {\rm I}& 0\\ C& 0& 0& 0\end{array}\right](17)$

$\Phi {}_3=\left[\begin{array}{cccc}\Phi -\Gamma {\rm H}C& -\Gamma J& 0& 0\\ 0& F& 0& 0\\ -{\rm H}C& -J& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\rm I}\end{array}\right](18)$

$\Phi {}_4=\left[\begin{array}{cccc}\Phi & 0& \Gamma & 0\\ 0& F& 0& G\\ 0& 0& {\rm I}& 0\\ 0& 0& 0& {\rm I}\end{array}\right](19)$

(3) 状态反馈。

当控制器采用状态反馈控制时,用增广向量Zk=作为状态向量矩阵。分别得到各种情况下的状态矩阵如下:

$\Phi {}_1=\left[\begin{array}{cccc}\Phi & 0& \Gamma & 0\\ 0& F& 0& G\\ -{\rm H}\Phi & -JF& -{\rm H}F& -JG\\ \Phi & 0& \Gamma & 0\end{array}\right](20)$

$\Phi {}_2=\left[\begin{array}{cccc}\Phi & 0& \Gamma & 0\\ 0& F& 0& G\\ 0& 0& {\rm I}& 0\\ \Phi & 0& \Gamma & 0\end{array}\right](21)$

$\Phi {}_3=\left[\begin{array}{cccc}\Phi & 0& \Gamma & 0\\ 0& F& 0& G\\ 0& -JF& 0& -JG-{\rm H}\\ 0& 0& 0& {\rm I}\end{array}\right](22)$

$\Phi {}_4=\left[\begin{array}{cccc}\Phi & 0& \Gamma & 0\\ 0& F& 0& G\\ 0& 0& {\rm I}& 0\\ 0& 0& 0& {\rm I}\end{array}\right](23)$

3 稳定性分析

引理[7] 对于具有事件率约束的异步动态系统,连续动力学由离散化后的差分方程描述xk+1=Φixk,其中i=1,2,…,N,N为系统中存在的事件个数,ri为这些事件的发生率,则该系统指数稳定的充分条件如下:

存在Lyapunov函数V(x)=xTPx,其中P为正定矩阵,且存在标量α1,α2,…,αN>0,使得:

ΦiTPΦi≤αi-2P (i=1,…,N)

α1r1α2r2…αNrN>α>1

定理1 对任意矩阵Φ,如果存在一个标量β和正定矩阵P,使得ΦTPΦ≤βP,那么β≥λ2max(Φ)。

证明 设矩阵Φ的任一特征值为λ,对应的特征向量为ξ,那么则有Φξ=λξ。由已知ΦTPΦ≤βP,得:

ξTΦTPΦξ≤βξTPξ

λ2ξTPξ≤βξTPξ

(λ2-β)ξTPξ≤0

又因为P是正定的,所以λ2-β≤0。又根据λ的任意性可知β≥λ2max(Φ)。

即证。

定理2 对于具有事件率约束的异步动态系统,连续动力学由离散化后的差分方程描述xk+1=Φixk,其中i=1,2,…,N,N为系统中存在的事件个数,且指定事件的发生率为ri,则应用引理来证明该系统在事件的发生率为ri条件下指数稳定的必要条件是存在标量βi,满足βi≥λ2max(Φi)且${\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}r}{}_i\log \beta {}_i＜0$成立。

证明 若可以用引理来证明系统在事件的发生率为ri条件下是指数稳定的,那么就必然同时满足以下两式:

V≤αi-2V (i=1,…,N) (24)

α1r1α2r2…αNrN>α>1 (25)

根据式(24),ΦTPΦ≤αi-2P,由定理得 βi≥λ2max(Φi)。根据式(25),α1r1α2r2…αNrN>α>1,得${\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}r}{}_i\log \alpha {}_i>0‚{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}r}{}_i\log \alpha {}_i{}^{-2}＜0$。

记βi=αi-2,则${\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}r}{}_i\log \beta {}_i＜0$。即存在$\beta {}_i\ge \lambda {}_{\max }^2(\Phi {}_i)‚{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}r}{}_i\log \beta {}_i＜0$。

即证。

4 实例分析

考虑如下离散时间线性时不变状态反馈控制系统,其中控制对象为:

$\{\begin{array}{l}x{}_{k+1}=\left[\begin{array}{cc}0.9& 0.2955\\ 0& 1.0704\end{array}\right]x{}_k+\left[\begin{array}{c}0.00456\\ 0.0296\end{array}\right]u{}_k\\ y{}_k=[\begin{array}{cc}8.05& 0\end{array}1〗x{}_k\end{array}$

状态反馈控制律为:

${\rm K}=[\begin{array}{cc}3.45& 11.5\end{array}1$

将状态反馈控制器描述成状态空间式:

$\{\begin{array}{l}z{}_{k+1}=0z{}_k+0\widehat{y}{}_k\\ \widehat{u}{}_k=0z{}_k+[\begin{array}{cc}3.45& 11.5\end{array}1〗\widehat{y}{}_k\end{array}$

根据状态反馈控制策略的讨论,根据式(20)～(23)列出四个状态矩阵Φi(i=1,…,4),分别求出各矩阵最大特征值的平方λ2max(Φi)为0.670 3,1.145 8,1.145 8,1.145 8。

(1)令r1=r2=0.5,即网络丢包率为0.5。

当βi≥λ2max(Φi)时,根据对数函数的单调性可知:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^{4}r}{}_i\log \beta {}_i\ge 0.5\times 0.5\times \log \lambda {}_{\max }^2(\Phi {}_1)\\ +(1-0.5)\times 0.5\times \log \lambda {}_{\max }^2(\Phi {}_2)\\ +0.5\times (1-0.5)\times \log \lambda {}_{\max }^2(\Phi {}_3)\\ +(1-0.5)\times (1-0.5)\times \log \lambda {}_{\max }^2(\Phi {}_4)\\ =0.0021＞0\end{array}$

此时无法找到四个标量βi,使其满足βi≥λ2max(Φi)且${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}r}{}_i\log \beta {}_i＜0$成立。根据定理2可知,不能用引理来证明系统是指数稳定的。

(2)令r1=r2=0.9,即网络丢包率为0.1。

存在标量β1=0.789 4,β2=1.652 2,β3=1.652 2,β4=4.741 1,满足

${\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}r}{}_i\log \beta {}_i=-0.0078＜0$

根据定理2可知,此时系统满足用引理的必要条件,所以可以尝试用引理来判定其指数稳定性。运用引理最终得出,存在标量α1,α2,α3,α4>0及正定矩阵P满足引理中的两个条件。

α1=1.136 1,α2=0.624 7,α3=0.728 8,α4=0.652 4

${\displaystyle \prod _{i=1}^4\alpha }{}_i{}^{\widehat{r}{}_i}=1.0287＞1$

正定矩阵P为:

${\rm P}=[\begin{array}{cccccc}19.2717\hfill & 10.6107\hfill & 0\hfill & 0.3947\hfill & -11.4160\hfill & -3.3728\hfill \\ 10.6107\hfill & 54.4173\hfill & 0\hfill & 1.4621\hfill & -3.5917\hfill & -21.1168\hfill \\ 0\hfill & 0\hfill & 17.822\hfill & 0\hfill & 0\hfill & 0\hfill \\ 0.3947\hfill & 1.4621\hfill & 0\hfill & 0.1912\hfill & 0.3306\hfill & 0.9676\hfill \\ -11.4260\hfill & -3.5917\hfill & 0\hfill & 0.3306\hfill & 13.8894\hfill & 8.9767\hfill \\ -3.3728\hfill & -21.1168\hfill & 0\hfill & 0.9676\hfill & 8.9767\hfill & 40.1390\hfill \end{array}7$

可知在上述条件下系统是指数稳定的。

5 结 论

针对控制器为PID、输出反馈和状态反馈的有丢包的网络控制系统,本文依次建立了包含四个事件的有速率约束的异步动态系统模型。现有文献中提出了证明上述系统为指数稳定的一个充分条件,然而用此方法证明指数稳定性需要求解多个矩阵不等式,求解过程复杂且结果未知。本论文提出了一个使用上述充分条件的必要条件,降低了经过大量运算却不能证明系统指数稳定的可能。最后通过实例验证了该定理的有效性。

另外,如果可以不依赖于现有的充分条件提出一个新的判断系统指数稳定性的充分必要条件,这将是一个更有实际意义的研究方向。

参考文献

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[4]LING Q.Robust Performance of Soft Real-time Networked ControlSystems with Data Dropouts[C]//Proceedings of the 41st IEEEConference on Decision and Control.Las Vegas,Nevada USA:IEEE,2002:1225-1230.

[5]HASSIBI A,BOYD S P,HOW J P.Control of AsynchronousDynamical Systems with Rate Constraints on Events[C]//Pro-ceedings of the 38th Conference on Decision&Control.Phoe-nix,Arizona,USA:IEEE,1999:1345-1351.

[6]ZHANG W,BRANICKY M S,PHILIPS S M.Stability of Net-worked Control System[J].IEEE Control Systems Magazine,2001,21(1):84-99.

稳定性与控制 篇9

关键词：多采样率,MIMO网络控制系统,时滞,稳定性

0 引言

网络控制系统 (NCS, Networked Control System) 是指以网络作为信息传输的通道从而将被控对象、传感器、控制器和执行器连接起来而形成的反馈控制系统。目前, 对MIMO (Multi-Input & Multi-Output, MIMO) 网络控制系统的研究也有了一些研究成果。Zhang W针对传感器采用多包传输的网络控制系统, 在不考虑网络时延情况下建立了切换系统模型, 分析了传感器数据封装为两个数据包时系统的稳定性;李静等针对MIMO网络控制系统中同时存在时延、数据包丢失以及多包传输问题进行了研究, 根据数据寄存和静态调度方法建立系统模型, 并利用Lyapunov函数和线性矩阵不等式方法 (LMIs) 导出了系统稳定的充分条件;张俊等针对多延时的MIMO网络控制系统进行了建模与稳定性分析, 并用Lyapunov函数和Razumikhin定理得出了系统稳定的时延参数和稳定性条件。

本文将针对一类多采样率MIMO网络时滞控制系统, 利用提升技术建立准确合理的多采样周期 NCSs 数学模型, 并对所建立的模型进行了稳定性分析, 并利用Lyapunov函数和线性矩阵不等式方法 (LMIs) 导出了系统稳定的充分条件。通过MATLAB仿真实验, 证明系统在多采样率的情况下, 不仅具有较强的分散控制能力并仍可以保持较高的稳定性。

1 多采样率MIMO网络控制系统的数学模型

MIMO网络控制系统结构图如图1所示。在建立数学模型时先做如下假设:①假设同一回路采用相同的周期采样和保持, 且各回路状态参数之间相互独立;②通过网络传输数据时, 同一回路的输入或输出数据用单包传输, 不考虑数据包错序与丢失;③假设传感器、控制器和执行器都为时钟驱动。

被控对象为线性时不变连续控制系统, 其状态方程描述如下:

undefined

(1)

其中, xp (t) ∈Rnp, up (t) ∈Rm, yp (t) ∈Rr分别是被控对象的状态向量、输入向量和输出向量。设第i个输入通道的输入采样周期为Ti, Ti=qiT, 其中T为基本采样周期, 整个系统的循环周期为T0=qT, q=LCM (q1, q2, …qr) 。以T0为采样周期, 并设图1中所有的保持器均是零阶保持器, 可以得到连续时间被控对象Gp在采样各采样点时刻的离散时间状态方程为:

undefined

(2)

被控对象状态方程中的系数矩阵都是以T0为周期的时变矩阵, 这就给闭环系统的分析和控制系统的分析带来了很大的不便, 为了克服这一困难, 可以利用提升技术定义被控对象状态方程中的扩展输入与输出向量:

undefined

,

undefined

同时定义相应的矩阵:

undefined;undefined为undefined矩阵, undefined为undefined矩阵。

由此我们得到多采样率MIMO网络控制系统被控对象的状态空间描述为:

undefined

(3)

若考虑控制器的处理时延, 即采样τc来表示, 多采样率MIMO网络控制系统控制单元采用状态反馈方程控制方式, 其状态反馈控制方程可以描述为:

undefined

(4)

其中, undefined分别是控制器的状态、输入和输出向量。当考虑网络时延且其值小于一个采样周期时, 根据图1的信号关系, 并利用 (3) 和 (4) 式, 则:

undefined

undefined

将上面undefined与xp的关系式代入式被控对象Gp和控制单元Gc状态方程中, 被控对象Gp状态方程变为:

undefined

控制单元Gc的状态方程变为:

undefined

取

undefined

作为网络控制系统的广义状态空间向量, 则有:

undefined

undefined

undefined

其中, 令

undefined

, A1=

undefined

,

undefined

。

2 网络控制系统的稳定性分析

多采样率多输入多输出网络控制系统是由多个采样和保持周期不同的控制回路组成, 若将每个回路看成一个子系统, 若其中的任意一个子系统稳定则整个系统是稳定的。

从系统 (9) 中取其中的第j条子系统网络控制回路来分析, 其状态方程描述为:

x[ (k+1) T0]=Aundefinedx (kT0) +Aundefinedx (kT0-τundefined) +

Aundefinedx (kT0-τundefined-τundefined-τundefined) (10)

其中,

undefined

undefined

,

undefined

。

为便于讨论令kT0=k, 则式 (10) 可以表示成:

undefined (11)

网络中由于受网络带宽的限制, 总会存在一定大小的时延, 由上述式 (11) 为一个时延不一致的时滞系统。

子系统 (11) 稳定的条件是:

undefined (12)

网络控制系统极点落在以坐标原点为圆心, 以r为半径的圆形区域内, 则称该子系统为稳定的。其中undefined可对角化, 且QundefinedAjiQ0=diag[λψ (Aundefined) ], λψ (·) 表示矩阵第ψ个特征值。

证明:由线性控制系统的相关理论知识可知, 系统稳定的充要条件是系统极点必须分布在以坐标原点为圆心, r为半径的D (0, r) , 若极点值落在圆外, 则系统不稳定。

undefined

(13)

若令z=δr, 则可得undefined并将之代入上述式 (13) , 得:

undefined (14)

显然, 只要不等式:

undefined (15)

成立, 子系统极点便分布在圆D (0, r) 内。

由文献中引理和定理和上述知undefined, 所以0

可以得到:

undefined

由上述说假设的条件undefined可知则:

undefined (17)

由式 (16) 变化可得:

undefined

由式 (17) 和式 (18) 可知:

undefined

即由上述式 (19) 可知, 该子系统极点分布在以原点为圆心的单位圆内, 所以可证上述整个多采样率MIMO网络时滞系统是稳定的。

3 仿真实例

假设多采样率控制系统的线性时不变的状态空间模型为:

undefined

(21)

其中系统中各常数矩阵为:

undefined

;

undefined

undefined

;

undefined

选择所要配置的特征向量集合为:{0.1227, 0.5219, 0.6524}, 它所对应的特征向量构成的矩阵P为:

undefined

该系统中Cr为列满秩, Br为行满秩, 根据undefined和K (Cr+DrΠ2) =Π2两式可可计算出闭环系统的反馈增益K为:

undefined

再结合上述稳定性分析可知:

undefined;

Q0=

undefined

;

A1=

undefined

。

根据上述所得结果与式 (12) 可知, 当取半径undefined

使系统稳定时的最大时延的取值范围为:τmax≤0.035s。

本文在MATLAB6.5环境下, 得出了多输入多输出网络控制系统的状态曲线, 如图2所示, 实验结果表明多采样率在MIMO网络控制系统的应用能够使系统的具有较好的稳定性。

4 结束语

本文对一类多采样率MIMO网络时滞控制系统进行了研究, 通过采用提升技术将多采样率系统的时变特性转化为高维的时不变系统, 建立基于状态反馈的离散时间数学模型。从此数学模型中取其中任意一个子系统来分析, 根据线性控制系统稳定性理论的相关知识, 得到了单个子系统的极点分布在以原点为坐标原点的单位圆内, 从而证明了整个系统的稳定性, 并求出了使系统稳定的最大时延。最后用MATLAB进行系统仿真, 证明了本文所设计的多采样率MIMO网络控制系统是稳定的。

参考文献

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[6]张俊, 罗大庸.一类多延时多输入多变量网络控制系统的建模及稳定性[J].控制与决策, 2011 (8) .

关于继电保护与稳定分析控制的探讨 篇10

随着互联电网规模日益增大, 逐渐形成了全国性的跨地区互联电网。在全国性的大电网中, 各区域、各部分互相联系、互相影响。如果电网缺少必要的安全措施, 即使一个局部发生异常也可能引起事故的联锁性扩大, 电网将逐渐失去稳定, 最终导致全网的大面积瓦解和崩溃。因此, 电网的安全稳定问题越来越突出。区域电网稳定控制系统能很好地解决现代化电网的安全稳定问题。对区域电网稳定控制系统进行研究, 不仅可以提高电网运行的可靠性, 而且可以提高经济效益。随着计算机技术、通信技术的进步, 对稳定分析方法进行深入研究, 发展控制理论, 在新形势下寻求电网稳定分析控制的有效方法, 在理论和实践上都有着十分重要的意义。

1 电网稳定性分类

我国对电网的安全稳定控制技术关注较早, 使用较多的稳定分析控制方法是用继电保护装置或断路器来控制。后来某些系统采用了根据事故前运行方式进行预定的逻辑控制, 实现逻辑控制的装置由机电式继电器构成, 它可以实现更灵活更复杂的控制。

电力系统能够在正常运行条件下保持其整个系统的同步运行, 并且在受到扰动后仍能达到一种可以接受的运行状态, 电力系统所具有的这种特性称之为电力系统同步运行稳定性。按照我国现行规程, 依据干扰的大小和分析方法的不同, 将电力系统的稳定性分为静态稳定、暂态稳定和动态稳定3类。 (1) 静态稳定:指电力系统受到外界干扰后, 不会发生振荡和失步, 并自动恢复到起始状态的能力。 (2) 暂态稳定:指电力系统受到外界干扰后, 各个同步电机继续保持同步运行并且过渡到新的稳定运行方式, 或恢复到原来的稳定运行方式的能力, 通常指保持第一、二个振荡周期不失步。对于暂态稳定, 必须用非线性微分方程分析。 (3) 动态稳定:指电力系统受外界干扰后, 在自动调节控制装置的作用下, 保持稳定运行的能力。保证动态稳定的必要条件是运行中的发电机都具有真正的阻尼力矩。用干扰对电力系统的稳定性进行分类时, 干扰的“大”与“小”是相对而言的。在电力系统稳定性中, 除了包括维持各个发电机之间的同步运行稳定性外, 还包括电力系统的电压、频率稳定性。本文仅对电力系统同步运行稳定的控制方法展开讨论。

2 提高电网稳定性的控制方法

提高电力系统稳定性的控制方法有两种:一种是为防止出现紧急状态而采取的预防性控制。对于小概率的严重事故, 控制并不总是有效。这时采取紧急控制措施更为合理。在某些情况下, 紧急控制措施是防止系统失稳的唯一方法。紧急控制根据故障状态变量以及扰动判断系统的稳定性。通常在时间和量值上都是离散的, 因此紧急控制方式也是离散的。以下是常用的暂态稳定控制措施。

2.1 减小扰动对系统的冲击

包括快速切除故障及线路重合闸等措施, 这是目前使用较多的两类措施。在高压输电线路上快速切除故障, 能有效抑制故障期间送端发电机和受端发电机积累不平衡功率, 对提高系统暂态稳定性起着决定性作用。由于电力系统中大多数故障是瞬时性故障, 因此采用快速重合闸可使系统状态很快恢复。若系统需要装设重合闸, 应充分考虑重合到永久性故障时对系统暂态稳定的冲击以及高压电网上的重合闸对发电机轴系扭振的影响。

2.2 减小送、受端系统功率不平衡程度

(1) 投入制动电阻。基本原理:在发生故障时, 快速将大容量电阻投入到加速端发电厂母线上, 通过增加发电机的电磁功率, 产生制动作用以达到提高暂态稳定的目的。实际应用中投入制动电阻的控制方式为“保护启动、定时切除”, 其制动容量和动作时间是通过大量的离线计算确定下来的, 对某些特定的运行方式和故障情况才是最合适的。由于故障的不确定性, 这种控制方式在某些情况下可能会引起过制动或欠制动。 (2) 汽轮机快速阀门控制。汽轮机快速阀门控制可根据发电机轴上的不平衡转矩来调节故障后原动机的输入功率, 通过消除其与输出电磁功率间的不平衡以提高发电机的稳定性。

2.3 对电网的控制

其目的在于提高系统的输送能力, 保持和提高系统各节点的电压, 减小输电系统的阻抗。 (1) 强行励磁和快速励磁控制。基本原理是当发电机端电压低于0.8倍额定电压时强行动作励磁装置, 迅速增加励磁, 提高发电机的电势, 增加输出电磁功率。电力系统发生故障时, 快速励磁装置检测到发电机端电压的异常, 即刻升高或降低发电机的励磁电流, 使得发电机端电压维持到正常值, 从而提高系统的稳定性。 (2) 加装电力系统稳定器。电力系统稳定器是一种附加的励磁控制装置, 通过增加系统的阻尼, 提高和改善电力系统长运行过程的稳定性。 (3) 故障时投切串联补偿电容器。我国在超高压输电线路中通常加装了串联电容器的补偿装置, 目的是为补偿输电线路的阻抗, 提高输电线路的最大输电功率。当系统发生故障时, 由于有很大的短路电流经过故障相电容, 为保护电容, 常强行将电容器退出运行, 但这不利于保持系统的暂态稳定, 因此在高压输电线上常采用串联补偿电容器的投切控制, 对尽快恢复故障后串联电容器起着相应的作用。

参考文献

[1]国家电力调度通信中心.电力系统继电保护规定汇编.中国电力出版社, 2000.5

[2]袁季修.电力系统安全稳定控制的规划和应用.中国电力, 1999 (5)