关键词:
非平稳性(精选九篇)
非平稳性 篇1
企业活动趋于活跃。随着春节长假的结束,企业生产经营活动开始步入常态。与企业生产经营相关的服务业也开始回升。一是批发业和物流业的商务活动指数和新订单指数均回升至50%以上,意味着企业采购活动趋于活跃。二是住宿业和电信服务业升幅明显,表明企业间的业务往来趋于频繁。企业经营活动的活跃反映出市场运行开始逐步向好。随着简政放权的继续推进和“双引擎”的启动,改革红利有望持续显现,有利于企业经营环境的改善,为市场活力的增强奠定基础。
信息消费升级趋势进一步增强。3月数据显示,以互联网为代表的信息服务业的商务活动和新订单指数较上月均有明显提升,特别是商务活动指数水平高于去年同期,创出自2 0 1 4年1月以来的新高。互联网及信息技术服务业的提升是信息消费升级趋势进一步增强的体现。特别是现阶段,互联网与各产业的融合已经成为宏观经济全面升级的突破口和着力点。预期由此引发的信息消费升级将会在今年持续发酵。
基础建设需求持续发力。随着天气转暖,建筑业施工活动开始启动,商务活动指数环比上升。值得关注的是建筑业新订单指数连续两个月环比上升,本月升幅继续加大,预示着基础建设需求有望持续发力。支持建筑业需求增长的不仅局限于前期审批的基础建设项目。随着《推动共建“一带一路”愿景与行动》的发布,“一带一路”战略有望进入实质推进阶段,将会带来更多的可持续的基础建设需求。建筑企业对未来市场预期也趋于乐观,业务活动预期指数环比升幅明显,创近5个月新高。
房地产活动有所回升。3月份,房地产业商务活动指数结束连续三个月回落走势,本月升至50%以上,较去年同期也有上升。当前房地产业活动的回升不排除季节性因素。从需求端看,新订单指数较上月有明显回升,但指数仍运行在50%以下,行业需求仍未见明显好转迹象。值得关注的是在稳定住房消费的主基调下,房地产业相关政策会有所改善。近期国土部和住建部联合下发通知,重申了房地产业是国民经济的重要行业,有利于稳定房地产业发展预期。而新出台的房贷新政在首付比例和营业税免征年限上均作出调整,继续关注房贷新政对房地产业需求端的积极影响。
非平稳性 篇2
非平稳环境下混沌信号的小波去噪方法
针对传统的去噪方法对混沌信号除噪的盲目性,及往往仅对平稳环境或缓慢变化的噪声有效的局限性,本文提出根据信号与噪声在小波域的分布特性及信号和噪声的.模极大在细尺度下收敛的横坐标点来检测信号的奇异性,以分形维树理论为依据决定阈值,得到噪声在小波域中的位置以及小波系数大小实现去噪.实验结果证明此法有效可行.
作 者:赵颖 孙鹏勇 ZHAO Ying SUN Peng-yong 作者单位:辽宁工程技术大学通信与信息系,辽宁,阜新,123000刊 名:电光与控制 ISTIC PKU英文刊名:ELECTRONICS OPTICS & CONTROL年,卷(期):13(6)分类号:V271.4 TN911.4关键词:非平稳环境 混沌信号 离散小波变换 分形维数
非平稳性 篇3
摘要:以2014年云南鲁甸6.5级地震的加速度记录为研究样本,分别对强震动三分量的加速度时程进行持续时间与穿零率分析,通过对三分量记录间频率特性差异的研究,总结了鲁甸6.5级地震中强震动记录三个分量的相对峰值持时离散特点,以及穿零率随震中距的走势特征,侧重分析了强震动频率的非平稳变化。
关键词:鲁甸地震;频率非平稳特性;持时;穿零特性
中图分类号:P315.9 文献标识码:A 文章编号:1000-0666(2016)04-0613-09
0 引言
地震动过程的频率非平稳特性研究近几年来引起了较多的关注和重视(廖振鹏,1994),研究地震动频率非平稳的特性,是作为分析结构弹塑性反应的一个重要因素。地震动时程的强度和频率非平稳特性对于结构物对非线性地震动力的反应具有不可忽略的影响,国内多位学者主要是从理论上对地震动非平稳特性机制进行了分析和讨论,同时以国内外获取的强震动记录为基础数据对该特性进行了进一步的研究。赵凤新和胡聿贤(1994)在讨论地震动强度、频率非平稳性与幅值谱和相位差谱关系的基础上,对地震动非平稳性作用的机制作了进一步的分析。王君杰和周晶(1997)应用合成的人工地震加速度时程作为输入,计算了一个框架结构建筑的地震反应,得出了人工合成的用于结构抗震设计的地震加速度时程时呈现出的地震动频谱非平稳特性。李英民等(2000)通过穿零率研究地震动频率的非平稳特性,进行了三维地震动穿零率参数相关性的统计分析,给出三维相关的参数取值建议。王国权等(2001,2003)以“9·21”台湾集集地震的30组近断层加速度时程为样本,研究了周期频率和幅值的随机特性,并对30级数据的相关特性进行分析,结果表明,三分量(东西、南北、垂直)集系上的自相关、互相关矩阵的三分量加速度时程均为非平稳随机过程,且相关系数的分布也是随机的,无法用确定的数字模型来模拟。董娣等(2006)采用美国、日本、墨西哥、台湾集集地震和其它地区在基岩场地上的156组共468条强震动记录作为基础数据,按地震的震级、震中距分组分析了持续时间随震级、震中距的变化规律,并利用这些记录对其穿零特性进行了研究,结果表明,穿零率随着时间的变化呈现出了频率的非平稳性,在一定程度上反映了地震动的时频变化特性。“九五”“十五”期间,我国强震动台网建设得到了快速发展(卢大伟,李小军,2010),在2007年后的多次强震中获取了一定数量的近断层强震动记录。2008年5月12日的汶川8.0级地震,中国强震动台网获取了数千条强震动记录,谢俊举等(2011)利用这些记录,对近断层地震动的强度和频率的非平稳特征进行研究,并对其非平稳特征原因进行初步分析,结果表明在近断层的地震动出现了明显的非平稳性。杨黎薇等(2016)利用2014年10月7日景谷6.6级地震的37组加速度记录为分析样本,研究总结了景谷地震强震动的非平稳特性。
地震动频域非平稳特性描述目前主要方法有两大类:一类是利用能够反映地震动频域非平稳特性的某些特征量作描述,如穿零率特征,这类方法主要考虑能反映地震动时频非平稳特性某些特征量的变化规律,在客观描述地震动非平稳特性上具有较好效果;另一类是利用现代时频分析手段对地震动频域非平稳特性进行定量描述,如傅里叶变换法,该方法的分析能够反应出地震动能量在频率上的分布,却不能反映地震动频率与时间相关的非平稳特性。本文选取2014年8月3日云南鲁甸6.5级地震的58组共174条(每组3条记录,包括竖直向 UD,北南向 NS 和东西向EW)加速度记录为研究样本,利用穿零率特征法分别对强震动三分量的加速度时程进行持续时间与穿零率进行分析,对三分量场地时变特性进行讨论,初步总结鲁甸6.5级地震的强震动频率非平稳特性,并对主震记录强震动数据进行相关分析。
1 统计数据基础
中国数字强震动台网布设于云南、四川省周边的共80个强震动台站获取了这次地震的主震记录,本文挑选其中有代表性的记录共58组强震数据进行计算分析,所选地震动记录采样频率均为200 sps,图1为地震震中与选取的58个强震动台站分布情况。
2 持时特性分析
持续时间(简称持时)主要作为描述地震动强度变化的指标去体现其对地震动破坏性作用的影响力。记录持时包括绝对持时和相对持时,绝对持时主要是Bolt括号持时,它以记录的加速度绝对峰值首次和末次达到或超过规定值(0.1 g,0.05 g)所经历的时间段作为持时定义(谢礼立,周雍年,1984),一般较少采用,尤其是远震记录较多时,会出现零值持时。相对持时包括Kawashinat括号持时、二阶矩持时和Husid持时,本文采用其中的Kawashinat括号持时定义,以首末两次到达或者超过加速度最大峰值的几分之一之间的时段长度为持时,由于它是根据加速度峰值的分数值来确定,也称为分数持时或相对峰值持时,可选用的分数通常在1/5~1/2之间,本文选用0.3来进行计算分析(赵艳等,2007)。
以2014年8月3日鲁甸6.5级地震获取所有强震动记录为数据基础,经校正处理后,挑选出川滇地区的可用记录进行持时计算。挑选出的强震动记录中,距离震中最近的龙头山台震中距为4.38 km,最远的九河乡台站震中距为333.97 km,几十个记录分布于不同震中距内,部分计算结果如表1所示,三分量持时随震中距的变化如图2所示。
由于地震动强度很低时阈值触发会导致强震动加速度记录不完整,故而在统计过程中需将PGA小于0.3倍设定触发阈值的记录剔除。
由图2a可见,东西分量的相对峰值持时最小持时为5 s,其震中距是4.38 km,最大持时为66.885 s,其震中距是245.94 km,持时随着震中距增大而增大。
由图2b可见,北南分量的相对峰值持时最小持时为4.94 s,其震中距是4.38 km,最大持时为82.925 s,其震中距是234.84 km。随着震中距的变化趋势其持时比东西分量更为明显,持时随着震中距增大而增大的幅度高于东西分量。
由图2c可见,竖直分量的相对峰值最小持时为4.28 s,其震中距是4.38 km,最大持时为89.62 s,其震中距是234.84 km。其持时随着震中距的变化最为清晰,明显是随着震中距增大而增大。
综上所述,鲁甸6.5级地震所计算得到的强震动记录持时,三分量的相对峰值持时中水平分量的离散性大于竖直分量的离散性,持时随着震中距的变化,整体上是离散分布于0~45 s范围内,且持时随着震中距增大而增大。
将三分量的相对峰值持时随震中距变化趋势拟合为直线表达,如图3所示。由图3可见,竖直分量增大与减小走势最强,其次是北南分量,最后是东西分量。
3 穿零率相关特性
本文用单位时间内地震波穿过零点的次数(即穿零率)来反映地震波的周期随时间变化特征,零点为地震波曲线与横轴(零线)的相交点。穿零率随时间的变化可体现频率的非平稳性,在一定程度上反映了地震动的时频变化特性,同时,穿零率也在一定程度上描述出地震波的周期特征,通常情况下,穿零率越大,相应的周期就会越小,频率就越高(杨黎薇等,2016)。
3.1 实例分析
归一化是一种无量纲处理手段,主要是使物理系数值的绝对值变成某种相对值的关系,这种方法是简化计算、缩小量值最有效的方法。本文拟采用线性函数法中的最大最小值法进行归一化处理,即将样本数据归一化到范围内,采用方法的公式为
y(k)=〔x(k)-min(x(n))〕/〔max(x(n))-min(x(n))〕.(1)
其中,x(n)表示样本数据,n=1,2,……N;k=1,2,……N;min(x(n))表示样本数据x(n)的最小值;max(x(n))表示样本数据x(n)的最大值。
为了消除地震波记录触发时刻与末端时刻的边界影响,本文取每条记录 P 波初动前5 s至整个地震波形结束后5 s这一时间段为研究对象,同时,将穿零率曲线横轴的时间与纵轴的穿零率一致经过归一化处理,即时间在0~1之间变化,穿零率在0~1之间变化,以满足不同条件下的穿零率具有的可对比性。为保证统计结果的一致性,本节以上节选取的记录为基础,全面了解震中距对强震动记录穿零率的影响。将强震动记录按震中距为0~20 km、20~60 km、60~100 km、100~200 km以及200 km以上这5种情况分组,分别算出各分向对应穿零率的均值。
图4 a~e代表了5种不同震中距分组条件下,东西分量记录的穿零率曲线异同。整体来看,穿零率曲线均为不规则震荡的随机曲线,可见地震波有较为复杂的周期成分,且随着时间增长,穿零率整体上有逐渐减小的趋势。通过对不同震中距的对比发现,震中距在60 km范围内的穿零次数明显小于震中距大于60 km的穿零次数,且随着震中距增加,地震动的低频成分更加丰富。图4f以线性方式绘出了不同震中距条件下东西分量穿零率均值的走势。由图4f可见,震中距20~60 km范围内的穿零率随着时间增长衰减下降最快,其次是震中距60~100 km范围内的穿零率衰减,再者是震中距100~200 km范围内的穿零率衰减,衰减最慢的穿零率震中距已超过200 km。
图5a~e代表了5种不同震中距分组条件下,北南分量记录的穿零率曲线异同。整体来看,其穿零率曲线所有变化与东西分量相似,在此不做过多介绍。相比东西分量的穿零次数,当震中距大于60 km后,北南分量的穿零次数就明显增加。图5f以线性方式绘出了不同震中距条件下北南分量穿零率均值的走势,该分量穿零率的衰减速度随着震中距增大而减小。
图6a~e代表了5种不同震中距分组条件下,竖直分量记录的穿零率曲线异同。与水平分量相比,竖直分量记录穿零曲线的穿零次数明显增多。图6f线性方式绘出了不同震中距条件下竖直分量穿零率均值的走势,该分量穿零率的衰减速度随着震中距增大而减小。
综上而论,穿零率曲线的不规则随机震荡特性表现了地震波复杂的周期成分。随着时间增长,三分量的穿零率呈减小趋势;随着震中距增加,三分量的穿零次数明显增多,即地震波的振动幅度随着震中距增大呈减小趋势,且振动频率随震中距增大而增快。同时可见,震中距越大,穿零率随着时间的衰减越慢。
3.2 穿零率拟合曲线变化
由上节分析与图示可知,地震波穿零率成分复杂,以最简洁的线性拟合来描述穿零曲线特性,可清晰直观了解穿零曲线的相关特性。
图7a~d代表了三分量的穿零率在不同震中距条件下随着时间增长的衰减变化。总体而言,竖直分量记录的穿零率大于水平分量的穿零率,可见竖直分量加速度记录中高频成分更多一些,此外,竖直分量的穿零率随时间的衰减最慢,水平分量的穿零率衰减速度相差不大。
4 结论
本文以2014年8月3日云南鲁甸6.5级地震中的58组强震动记录为基础,详尽分析了相对峰值持时随震中距的变化规律,并按不同震中距分布统计研究穿零率的特性,以此了解本次强震动频率的非平稳性。研究表明,云南鲁甸6.5级地震动频率非平稳性有以下特征:
(1)三分量的相对峰值持时水平分量的离散性大于竖直分量的离散性,持时随着震中距的变化,整体上是离散分布于0秒至45秒范围内,且持时随着震中距增大而增大。
(2)随着时间增长,三分量的穿零率呈减小趋势;随着震中距增大,三分量的穿零次数也明显增长,即地震波的振动幅度随着震中距增大呈减小趋势,振动频率随着震中距增大而速度增快。同时可见,震中距越大,地震动所包含的低频成分越多,且随着震中距增大,穿零率随着时间的衰减逐渐减慢。
(3)竖直分量记录的穿零率大于水平分量,且竖直分量的穿零率随时间的衰减最慢,水平分量的穿零率衰减速度相差不大。
参考文献:
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多维非平稳信号的时频分析方法研究 篇4
关键词:时频分析,多维信号,Wigner-Ville分布,Cohen类分布
0 引言
对于非平稳信号,传统的基于傅里叶变换的信号处理方法从时域或频域分析,不能描述非平稳信号中时变频谱随时间变化的规律与不同频率分量出现的具体时间。为了描述和分析具有非平稳特性的信号,人们在时频分析领域作了大量的研究工作,多种时频分布已成功应用于地震勘探、雷达、声纳、生物医学等研究领域[1]。
在双线性时频分析领域,Wigner于1932年在量子力学领域提出Wigner分布,Ville在1948年将该分布引入到信号分析处理领域,为双线性时频分析的发展奠定了基础。之后各国学者不断提出许多双线性联合时频方法。Cohen[2]发现它们均可以用统一的形式来表示,统称为Cohen类分布,不同的时频分布由不同的核函数来确定。
一维信号的时频分布也可以相应地被推广到多维[3]。多维信号的Wigner-Ville分布也可以定义为自相关函数的傅里叶变换,用于表征多维信号的功率谱。
本文首先对Wigner-Ville分布及其性质进行研究,然后针对交叉项抑制的问题,分析几种固定核函数的Cohen类分布在典型非平稳信号时频分析中的应用。通过对典型合成信号的分析,对多维信号Wigner-Ville分布抑制交叉项的问题进行了讨论。
1 Wigner-Ville分布与Cohen类分布
Wigner-Ville分布是一种最基本的双线性时频分析方法。由于未采用窗函数,时间-带宽积可以达到不确定性原理给出的下界。
信号d(t)的Wigner-Ville分布可以定义为该信号时变自相关函数的傅里叶变换:
Wigner-Ville分布不仅具有最高的时频聚集性,而且具有许多好的性质,如时移不变性、频率调制不变性、满足时间和频率边缘条件等。但是对于多分量信号,会产生严重的交叉项干扰。
Wigner-Ville分布是通过对信号的时变自相关函数R(t,τ)的时延τ作傅里叶变换得到的。如果对变量t作傅里叶变换,可以得到另一种联合时频表达形式,称为模糊函数。
Cohen将信号d(t)的时变自相关函数定义为:
因为信号时变自相关函数的傅里叶变换为信号的时频分布,所以有:
Cohen类分布是等效为模糊域上的二维低通滤波,可以抑制模糊域上远离原点的交叉项。不同的Cohen类分布只是由于采用了不同的核函数。许多方法被用来抑制Wigner-Ville分布的交叉项,比较著名的有伪Wigner-Ville分布、平滑伪Wigner-Ville分布[4]、Choi-Williams分布[5]、锥形核分布[6]等。这些方法采用固定的核函数,在模糊平面对信号进行滤波来抑制交叉项。也有一些学者提出了自适应核函数的时频分布,根据不同信号的特点自适应地调整核函数[7,8]。
下面用一个例子比较上述几种Cohen类分布在抑制交叉项方面的效果。选取的信号包含两个平行的线性调频信号。图1(a)为信号的时域波形图。
图1(b)中,由于短时傅里叶变换存在着时间分辨率与频率分辨率之间的矛盾,不能同时达到最佳的时频联合分辨率,时频分辨率比Wigner-Ville分布低,优点是不同信号分量间不存在交叉项的干扰;图1(c)中,Wigner-Ville分布的联合时频分辨率最高,但存在交叉项。交叉项位于两自项的中间,且能量是自项的两倍;图1(d)中的伪Wigner-Ville分布对交叉项的压制不明显;图1(e)中的平滑伪Wigner-Ville分布能有效地压制交叉项,但降低了自项的分辨率;图1(f)中的Choi-William分布在压制交叉项的同时,使自项能量也有所损失,说明在模糊域低通滤波时,自项并没有完全通过;图1(g)中的锥形核分布对交叉项的压制不是很彻底;图1(h)中的Barkat分布未能有效压制交叉项;图1(i)中改进的Barkat分布消除了交叉项的影响,但是在模糊域滤波的过程中,使自项的能量有所损失。
由于多维Wigner-Ville分布的计算复杂度较高,且自适应核函数的Cohen类分布的优化算法本身也具有很高的计算复杂度,以三维信号为例,如果采用自适应核算法,需要将信号各点在模糊域对六维的模糊函数进行自适应滤波,这样的计算量在实际应用中是不可想象的,所以需要将计算复杂度与处理效果二者之间进行折衷。本文将固定核函数的Cohen类分布推广到多维,而对自适应核方法不做更多的讨论。
2 多维信号的Cohen类分布基本原理
首先引入三维傅里叶变换算子。对于给定的函数u(a),a∈R3,它的三维傅里叶变换定义为[3]:
逆傅里叶变换定义为:
以地震信号为例,由于地震信号是一种复杂的非平稳信号,对于三维地震信号d(t,x),x={x1,x2},-∞<xi<+∞,i=1,2,可将Wigner-Villle分布定义为:
多维信号d(t,x)的模糊函数定义为:
多维信号的Wigner-Ville分布与一维信号的Wigner-Ville分布类似,也存在严重的交叉项。为了抑制交叉项,在模糊域引入核函数Φ(ν,κ;τ,ξ),得到Cohen类分布:
Cohen类分布是用核函数Φ(ν,κ;τ,ξ)在模糊域对信号的模糊函数A(ν,κ;τ,ξ)进行低通滤波,抑制模糊域上远离原点的交叉项。
3 多维信号的Cohen类分布仿真分析
算例1:该二维信号包含两个复指数信号,信号的表达式如下:
d1(t,x)=exp(-j2πk1x)+exp(j2πf1t),取k1=5m-1,f1=10Hz。信号的实部如图2(a)所示。
Wigner-Ville分布为:
该信号的Wigner-Ville分布含有交叉项,且交叉项的能量是自项的两倍。
图2(b)给出了W(t,x;f,k)的一个时间切片W(0,0;f,k)。
通过以上模型算例看出,对于多分量信号,Wigner-Ville分布也存在交叉项。多维信号WignerVille分布交叉项的压制可以借鉴一维信号交叉项压制的思想,在时空域或模糊域通过滤波实现。
Wigner-Ville分布交叉项压制最直接的方法是给待分析信号加窗,即伪Wigner-Ville分布。实际计算中,可以选为具有低通特性的矩形窗或高斯窗。选用矩形窗的优点是窗函数的构造简单,缺点是矩形窗的截断效应会引起大的旁瓣,Steeghs等[9]所用的就是三维矩形窗,这时的窗函数就是一个小的数据体。选用高斯窗优点是计算结果较平滑,不会出现大的抖动,缺点是窗函数的构造较矩形窗复杂。本文计算时均采用高斯窗函数。
短时傅里叶变换模的平方称为谱图,可以反映信号的时频能量分布。谱图实际上也是对WignerVille分布的平滑,是Cohen类分布中的一种。与其它形式的Cohen类分布不同,谱图虽然时频分辨率有限,但不会受到交叉项的影响,因此在实际中有广泛的应用。尤其是在分析多维信号的Cohen类分布时,谱图以其计算简单和不受交叉项影响的特性体现出了优越性。
平滑伪Wigner-Ville分布也是一种抑制交叉项的有效方法。基本思想是对Wigner-Ville分布的时-空域与频率-波数域独立加窗函数,在三维情况下窗函数表现为一个小的数据体。在小的数据体内、而不是在整个时空域内计算信号的Cohen类分布,可以有效抑制交叉项。如果采用矩形窗,由于矩形窗的截断效应会导致明显的旁瓣,出现谱泄漏的现象,降低分辨率。在本文中采用高斯窗函数,在时-空域与频率-波数域分别独立构造高斯形式的窗函数,不但可以有效压制交叉制,而且分辨率较高。
本文通过典型信号研究Cohen类分布在抑制交叉项方面的效果。图3(a)是信号d1(t,x)的伪Wigner-Ville分布在(t,x)=(0,0)处的时间切片,采用高斯窗函数。从图中可以看出,伪Wigner-Ville分布对交叉项具有一定的平滑作用,但交叉项没有得到压制;图3(b)是采用二维矩形窗函数的平滑伪Wigner-Ville分布,抑制交叉项的效果明显,但是由于矩形窗的截断效应,出现了很多小的旁瓣,对分辨率有所影响;图3(c)是采用二维高斯窗函数的平滑伪Wigner-Ville分布,分辨率较高,对交叉项的压制也很明显;图3(d)是利用高斯窗计算的谱图时间切片S(0,0;f,k),谱图的优点是不存在交叉项干扰,计算简单,而且谱图的分辨率也比较高。
4 结束语
针对Wigner-Ville分布中交叉项压制的问题,分析了几种固定核函数的Cohen类分布在典型非平稳信号时频分析中的应用。本文研究并实现了多维信号的Cohen类分布算法,仿真结果表明,采用多维高斯窗函数的平滑伪Wigner-Ville分布不仅对交叉项有明显的压制,而且分辨率较高。在进行多维信号处理时,当Cohen类分布中交叉项压制问题变得更加复杂时,谱图以其不受交叉项干扰的特性,而且计算简便,在多维情况下比在一维情况下有更强的优越性,一般情况下分辨率较平滑伪Wigner-Ville分布略低。下一步将针对多维信号自适应的核函数的选取方法进行研究。
参考文献
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非平稳性 篇5
小波分析属于时频分析的一种,它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。它是一种信号的时间——尺度(时间——频率)分析方法,具有多分辨率分析的特点,而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,是一种窗口大小固定不变,但其形状可改变,时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,被作为分析信号的显微镜。由小波分析理论,信号可以通过小波分解,一层一层分解到不同的频率通道上。由于分解后的信号在频率成分上比原始信号单一,并且小波分解对信号作了平滑,因此分解后信号的平稳性比原始信号好得多。
我们在实践遇到的时间序列一般是各种因素交织在一起的结果,大多是一个非平稳的时间序列。平稳实际上是一个理想化过程,而非平稳才是自然界的本来面目。如果用George E.P.Box和Gwilym M.Jenkins 1976年创立的ARIMA模型进行分析与预测,其基本思想是用差分消除序列中的趋势项和周期项,而对平稳项用ARMA模型进行分析与预测。这种方法最大的其结果最大的缺点是丢掉了最重要的信息即趋势项和周期项;或用Kitagawa等1984年提出的状态空间模型,但建模过程大都是基于ARIMA模型向状态空间模型转化的技巧。[1]
一些学者用小波诊断技术对农业中粮食产量作了定性预测。如刘会玉等利用Morlet小波变换方法来研究粮食产量变化特征的时间尺度和周期性特征,并预测江苏省粮食产量的走势[2]。张明阳等用类似的方法研究湖南省建国以来粮食产量变化情况[3]。还有学者利用小波分析技术对金融等领域的具体问题作了定量预测。高静等利用上证综合指数的10分钟间隔数据,研究其取对数后的收益率序列。由分解出的高频和低频部分分别建立模型,确定参数,得到一种基于小波分析高频金融时间序列的预测方法[4]。李全亮等提出一种用正交尺度函数代替RRF网络中的激活函数的小波网络,给出相应小波网络学习算法[5]。龚亚琴2006年将非平稳时间序列的住宅房产均价分解成主要趋势和细节两大部分,用这种方法预测的平均相对误差比直接用二次多项式进行拟合预测的平均相对误差小0.7%,反映了小波预测方法的有效性。
本文利用小波分解与重构方法,采用Daubechies小波将时间序列分解成趋势项、周期项和随机项。趋势项用二次多项式拟合,关于周期项,根据Morlet小波的类周期特性,分析并挑选出合适的周期,结合逐步最小二乘估计方法,计算出该时间序列周期项的近似表达式。作为应用,用此小波混合方法研究建国后中国玉米产量变化情况,最后所得结果表明小波混合预测方法比直接二次多项式拟合预测的平均相对误差小2.336%,说明该方法较一般的小波预测方法可能更具有实际应用价值。
1 小波分析原理介绍
这里只介绍本文要用到的小波变换、小波分解和重构的基本原理,它们来自于多本小波分析的著作,参见文献[6]、[7]、[8]。小波变换把原始信号f(t)转化到时间——频率平面上,可以把原始信号中看不见的信息在时频域上显示出来。通过小波变换,得到时间序列在任一时刻的频率特征及在时间——频率域上的变化特征。这种分析方法,目前已经成功应用于信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别以及许多非线性科学领域等。
多分辨分析是小波的一个重要应用方面, 是一种对信号的空间分解的方法,在其基础上,产生了小波分解的Mallat算法[9]。运用Mallat算法,可以将信号一层层进行分解,每一层分解的结果是将上次分解得到的低频信号再分解成低频和高频两部分。
简而言之,从第一层开始分解,结果有高频部分D1和低频部分A1;接着,对低频部分进行进一步的分解,结果有高频部分D2和低频部分A2,如此,一直把信号进行分解,经过4次分解之后,原始信号A分解为:A=A4+D4+D3+D2+D1,式中D1、D2、D3、D4分别为第1层、第2层、第3层、第4层分解得到的高频信号;A4为第4层分解得到的低频信号。如果能对D1、D2、D3、D4和A4进行预测,然后通过小波重构算法,即可实现对原始信号的预测。这里分解层数的选择根据预测误差最小而定。
2 小波混合方法具体步骤
实际中遇到的时间序列经常含有趋势项、周期项和随机项,其中趋势项和周期项在时间序列中是非常重要的。我们可以对原时间序列进行小波变换,将其分解成不同尺度的成分。使复杂问题简单化,再用小波逆变换合成。
关于趋势项的处理, 常见的方法有线性拟合、多项式拟合、指数拟合等,其中以多项式形式拟合的居多。趋势项的预测比较简单,可用最小二乘法拟合小波分解后的低频部分。
关于周期项的周期的选定,已经存在的方法是:设差值ηt(实际数据减去相应的趋势项拟合值,下同)的波峰和波谷数总共为s个,它们的位置记为ti,1≤i≤s,则差值波形的平均周期可以取为:
选取一系列周期(T1,T2,T3,…)后,再用一簇具有所选周期的正弦和余弦函数去逼近差值使方差最小,估计出周期项中的其它参数。
设差值序列为x1,x2,…,xN,待拟合的函数
ai=cicosφi,bi=-cisinφi为未知参数,用最小二乘法逐步求出
第一组
第二组
的极小化估计得到。类似地,可以得到
最后将趋势项和周期项合并,得到原时间序列的拟合函数,并可以用于预测。
3 小波混合方法分析实例——对中国玉米产量的分析与预测
粮食安全是特别受关注的问题。在我国的三大粮食作物中,玉米产量已经超过小麦,成为仅次于稻谷的主要粮食品种,2002年玉米总产量已经达到粮食总产量的26%(据中国统计年鉴2003)。中国也已成为世界玉米的第二生产大国, 近三年玉米总产量约为世界玉米总产量的20%。长期以来,玉米是我国口粮消费中的一个重要品种。近年来,随着经济的持续发展,玉米已经成为饲料粮和工业用粮的主要对象。玉米广泛应用于酿造、食品加工等方面,更重要的是,玉米既可以作为汽油的替代品乙醇的原材料,还可以作为塑料制品的原材料。随着人均畜产品及有关食品消费需求的不断增加,各种新兴工业崭露头角,再加上我国13亿人口的广大市场,今后对玉米需求的增加是必然的。因此,现在对我国玉米产量的分析与研究具有必要性和紧迫性。我们试图寻找玉米产量发展的内在规律, 从而建立抽象系统发展变化的动态预测模型,对玉米产量作出准确的预测, 为指导玉米生产提供科学的理论依据。图1是建国以来中国玉米的历年产量yt(单位万吨),数据来源于中国种植业信息网的农作物生产统计数据。
3.1 玉米产量的非平稳性和周期性特征分析
利用Eviews 5.0软件对玉米产量进行Augmented Dickey-Fuller检验,检验式中不包括趋势项和截距项。相应的检验式是:
DW=1.76,ADF=1.43,而检验水平为1%、5%和10%时的临界值分别为-3.557472、-2.916566和-2.596116。ADF统计值都大于这三个临界值,所以玉米历年的产量是一个非平稳序列。
图2是对图1中的玉米产量序列做Morlet小波变换得到的小波系数实部等值线图。图中的符号反映振荡的位相,正负中心值反映了不同尺度振荡的振幅最大值。其中正值对应着玉米生产偏多时期,负值则对应着玉米生产偏少时期。波幅中心所在的周期长短也与玉米生产的偏多(少)期相对应。
从图2可以看出玉米产量多个特征时间尺度的周期变化特征及其在时间域中的分布情况。玉米产量存在明显的年际变化,有5年、13年、21年以及30年左右尺度的周期变化规律。
3.2 产量序列的小波分解
常见的小波有Haar正交小波、Daubechies正交小波、样条小波、双正交小波等,不同的小波其特点有较大的差异,在预测中可根据不同的问题选取不同的小波。我们用Daubechies正交小波对原时间序列数据进行分解,分解四次,其图形见图3。
图3(d)的上半部分作为趋势项,用二项式函数x=a0+a1t+a2t2拟合,得到结果
R2=0.992208,F=3438.073,(t=1,2,…,57)拟合的系数和整体效果都很好。
下面确定周期项。设
根据3.1节的分析, 逐步取周期为T1=5, T2=13, T3=21, T4=30的正弦和余弦函数去逼近差值,用最小二乘法求出每一对(ai,bi), i=1,2,3,4。 这四组值分别为(-42.338,31.617), (-250.72,-135.04), (-21.833,381.36),(-142.39,272.42)。将趋势项和周期项相加可以得到玉米产量的小波预测表达式:
定义平均相对误差为
由表1可以看出小波混合预测方法比二次多项式拟合预测的平均相对误差小2.336%,总体来看,小波混合预测的方法是比较好的。由于这种方法能够比较准确地把握玉米产量的长期趋势,并且从总体上刻画出玉米产量的非线性波动特征,因此用这种方法预测的平均相对误差比直接用二次多项式进行拟合预测的平均相对误差要小。我们用小波混合预测方法所建立的模型来预测2006~2010年中国玉米产量如表2。
4 结语
本文将小波混合方法引入到中国玉米产量趋势的预测中,利用小波多尺度分析的功能,分解和重构了原时间序列数据,结合二次多项式,正、余弦逼近方法模型,提出了一种可以较为准确地预测未来中国玉米产量方法,在理论和实践中都具有重要的意义。
非平稳性 篇6
非平稳信源是现实世界中较为普遍存在的一类信源, 因其统计特性随着时间的推移而不断的变化, 所以成为信源编码领域中较难处理的一类信源。目前, 绝大多数的分布式信源编码系统都是建立在两个相关信源的相关性信息的统计特性是非时变的基础之上, 通过充分利用斯理篇-伍夫[1]定理的理论极限来实现信源的无损或是一定保真度内的有损压缩。然而在许多实际的分布式信源编码的应用中, 编码器无法预先获知相关信源的交叉概率, 因此编码器需要首先估计出相关性信息以便确定编码速率, 最终达到压缩信源的目的。
在分布式信源编码的框架下, 针对相关性统计特性的估值问题, 许多学者提出了不同的实现方案, 总体上分为两大类:离线估计方案和在线估计方案。目前绝大多数是基于非现实的针对平稳信源的离线估计方案, 即假设边信息或者部分边信息在编码器端可见或者是原信源的部分信息在译码器端可见[2,3,4,5]。同时由于斯理篇-伍夫编码与信道编码之间的密切关系, 这些信源的参数离线估计方案也经常被用来进行信道噪声的估计[6]。一种针对像素域与转换域的视频编码相关性噪声建模应用则进行了相关信息统计特性的在线估计[7]。
然而现实世界中更普遍存在的随机过程是非平稳的, 因此深入研究非平稳信源的参数估计问题具有重要的意义。本文探索了一种基于隐马尔科夫模型的非平稳信源参数估计方法。首先建立模型, 将非平稳信源与隐马尔科夫模型对应起来;接着对隐马尔科夫模型的前向算法和后向算法进行改进并利用改进后的算法计算相应的变量;最后根据非平稳信源每一时刻偏移概率的实际意义, 利用算法得到的结果对非平稳信源进行参数估计。
1 基于HMM的非平稳信源参数估计系统框架
1.1 隐马尔科夫模型的构造
HMM是在Markov链的基础上发展起来的, 由于实际问题比Markov链模型所描述的更为复杂, 观察到的事件并不是与状态一一对应的, 而是通过一组概率分布相联系, 这样的模型被称为HMM[8,9,10]。它是一个双重随机过程, 其中一个描述的是状态之间的转移;另一个描述的是状态和观察符号之间的统计对应关系。观察符号与状态之间并没有一一对应的关系, 因此, 只能通过观察符号感知到状态的存在及其特性。
隐马尔科夫模型作为一种统计工具, 其模型本身也是由一系列参数来刻画其特性的。一阶隐马尔科夫模型主要由隐状态数目N、观察符号数目M、隐状态转移概率矩阵A、观察符号概率矩阵B以及隐状态初始概率分布向量π来描述其特性。由于本文主要研究二进制非平稳信源的统计特性, 因此观察符号数目M选择为2;为了更好地逼近非平稳信源的统计特性同时尽量降低计算量, 将隐状态数目N选为27;由于高斯分布更加接近现实生活中的随机过程, 因此状态转移概率矩阵A选为服从高斯分布的概率矩阵;为了降低计算复杂度, 观察符号概率矩阵B选为与隐状态成正比的整数;隐状态初始概率分布向量π选为等概分布。需要指出的是本文的隐马尔科夫模型不同于传统的隐马尔科夫模型, 而是经过了一定程度的变形, 目的是使变形后的模型参数能够适应本文的研究问题。
1.2 非平稳信源参数估计原理
本文首先将非平稳信源的输出对应为隐马尔科夫模型的可观测序列;其次对选取的隐马尔科夫模型进行适当的变形, 主要是调整隐状态转移概率矩阵A、观察符号概率矩阵B以及隐状态初始概率分布向量π以解决模型参数过小所导致的计算精度问题;接着改进前向算法和后向算法, 以确保算法适用于本文的研究问题;最后对观测序列的时变统计特性进行实时估计。其系统框架如图1所示。设o={ot}Tt=1代表二进制的非平稳信源, 即ot∈{0, 1};p={pt}Tt=1代表该信源的偏移概率, 其中pt=Pr{ot=1}, 即pt代表某一时刻观察值ot等于1的局部偏移概率。本文的目的就是根据观察值序列, 结合选定的隐马尔科夫模型, 估计出决定该观察值序列的偏移概率向量p。
2 算法改进
2.1 隐马尔科夫模型的参数调整
为了解决隐马尔科夫模型参数过小所导致的计算精度问题, 本文主要调整了隐状态转移概率矩阵A、观察符号概率矩阵B以及隐状态初始概率分布向量π, 这也是本文构造的隐马尔科夫模型与传统的隐马尔科夫模型的不同之处。本文的隐状态转移概率矩阵A是由一个变形的高斯分布所产生的对称矩阵, 决定该高斯分布的主要参数为其方差σ。其中状态之间的转换概率根据状态之间的汉明距离决定, 即距离越小, 转换概率越大;距离越大, 转换概率越小。观察符号概率矩阵B则是根据当前时刻的输出值, 选取一个对应的与所处状态成正比的整数值。而隐状态初始概率分布向量π的各个分量固定为1, 以确保每一种隐状态在初始时刻具有同等的重要性。
2.2 前向算法
在采用HMM来完成实际的各项课题研究时, 前向算法用来进行输出概率的计算问题。即给定隐马尔科夫模型λ= (π, A, B) , 和观察值序列o={ot}Tt=1, 如何有效地计算观察序列O对隐马尔科夫模型λ的输出概率P (o∣λ) 。然而本文利用前向算法的目的是计算每一时刻每一种状态所对应的前向变量αt (j) , 然后再计算同一时刻所有状态前向变量的统计平均值作为该时刻使用前向算法的估值结果, 记为p Estimate Ft。其中前向变量αt (j) 表示隐马尔科夫模型λ在t时刻, 处于状态sj时观察到部分序列 (o1, o2, …, ot) 的概率。即αt (j) =P (o1, o2, L, ot, zt=sjθ) , j=1, 2, …, N, t=1, 2, …, T。具体的算法实现步骤如下:
(1) 初始化:α1 (i) =πibi, o (1) , 其中i=1, 2, …, N。
2.3 后向算法
给定隐马尔科夫模型λ= (π, A, B) , 和观察值序列o={ot}Tt=1, 针对隐马尔科夫模型的后向算法, 本文提出了两种实现方法, 如下所示:
第一种方案的实现步骤如下:
(1) 初始化:βT (i) =1, 其中i=1, 2, …, N。
第二种方案的实现步骤如下:
(1) 初始化:βT (i) =1, 其中i=1, 2, …, N。
2.4 混合算法
当计算出每一时刻的前向变量αt (j) 和后向变量βt (i) 以后, 可以通过综合利用这两个变量计算混合变量γt (i) , 然后再利用γt (i) 进行参数估计, 记为p Estimate Mt。具体的实现步骤如下:
(1) 计算γt (i) :γt (i) =αt (i) ×βt (i) , 其中i=1, 2, …, N;t=1, 2, …, T。
3 实验结果与讨论
在利用本文提出的方案进行非平稳信源的参数估计时, 将非平稳信源序列长度设为T=212, 图2-图5分别显示了使用本文实现的三种算法对一种非平稳信源进行参数估计的效果图。其中p表示原始的非平稳信源;p Estimate F表示使用前向算法进行参数估计得到的估值结果;p Estimate B表示使用后向算法进行参数估计得到的估值结果;p Estimate M表示使用混合算法进行参数估计得到的估值结果。
分析图2-图5可以得出:对隐马尔科夫模型的前向算法和后向算法进行适当地改进之后可以用来进行非平稳信源统计特性的估计;同时可以看出混合算法得出的估值结果最为逼近原始的非平稳信源, 这一点也可以从三种算法的估值结果与原始信源之间的均方误差中得出, 前向算法得出的均方误差为0.005148, 后向算法和混合算法分别是0.004553和0.002210, 这也说明通过综合利用前向算法和后向算法可以更好地逼近原始信源的变化规律。图6和图7分别显示了使用两种不同实现方案的后向算法对同一种非平稳信源进行参数估计的效果图, 其中的变量说明同如2-图5。
分析图6和图7可知:两种不同的后向算法都可以用来进行非平稳信源的统计特性估计。本文通过大量的实验分析两者之间的优劣, 最终得出两种方案对不同的非平稳信源进行参数估计时的效果差距不大, 各有优点, 都能用于逼近原始信源的变化规律。表1记录了对十五种随机产生的非平稳信源进行参数估计的结果, 其中p表示原始的非平稳信源, Error F列表示p Estimate F与p的均方误差;Error B列表示p Estimate B与p的均方误差;Error M列表示p Estimate M与p的均方误差。
分析表1的数据可以得出与图2-图5相同的结论:即隐马尔科夫模型可以用来估计非平稳信源不断变化的统计特性;另外相比前向算法和后向算法, 混合算法得出的估值结果能更好地逼近原始信源的变化规律, 为后续的数据压缩提供了实现基础。
4 结语
针对非平稳信源不断变化的统计特性, 本文提出了一种基于HMM的参数估计方案。通过构造合适的HMM, 改进前向算法和后向算法, 并在此基础上提出估值效果更优的混合算法, 最后对随机产生的大量非平稳信源进行验证。实验结果表明应用本文提出的参数估计方案可以较准确地掌握非平稳信源的变化规律, 为进一步实现该类信源的压缩提供了实现基础。
参考文献
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非平稳性 篇7
关键词:遥测,非平稳信号,阈值函数,降噪
0 引言
在航空、航天、导弹等飞行器的研制试飞中,通常采用遥测系统获取飞行器内部各系统的工作状态参数和环境参数,通过实时及事后的数据处理为评定飞行器的性能和进行故障分析提供依据[1]。研究表明,飞行器飞行过程中的动态响应是非平稳的,非平稳响应的动态信号中包含丰富的动态结构等多方面的信息,所以遥测非平稳信号的处理在武器系统试验中极具重要性[2]。由于飞行器上遥测系统工作环境恶劣,测量及变换环节多,遥测信号在采集、转换和传输过程中经常受到设备、环境等因素的影响,致使测得的信号受到噪声的污染。
在实际任务中,为抑制干扰推荐使用的两种方法为点阻滤波法和傅里叶变换法。两种方法都存在明显的缺陷,如傅里叶变换法其基本思想是:先进行正变换得出频谱,再将其干扰频率去掉,最后进行逆变换并调整时域数据的加窗畸变,从而得到较为准确的复合值[3],存在的不足是极易造成有用成份的丢失。在对小波阈值去噪算法进行研究的基础上,本文引入了改进的阈值处理函数,并将其应用于遥测非平稳信号的预处理中,获得了较为理想的降噪效果。
1 小波变换阈值降噪的相关理论
1.1 遥测非平稳信号小波阈值降噪的理论基础
遥测非平稳信号是指某阶统计量随时间改变的信号(如随时间变化的频率)。该类信号适于应用小波分析方法进行处理,这是因为小波分析具有下述特点:小波函数采用不同于傅里叶变换中的余弦波的基波,使它同时在时域和频域具有良好的局部性,这也决定了可在不同的尺度上对信号实施分解,并可在测不准原理的前提下在时频平面上表示这种分解;小波具有的自适应性确保了可使信号被分解为最佳基波的叠加。上述特性为应用小波变换开展非平稳信号的处理分析提供了基础。
对非平稳信号进行小波分解的过程一般可描述为:先把非平稳信号分解为小波系数,然后对分解出来的系数根据需求做相应的处理,再用小波重构方法对信号进行恢复。工程实际中,有用信号和噪声通常表现出不同的频率特性。而很强的去数据相关性是小波变换的显著特性之一,应用小波对信号分解时,它能够使噪声的能量和信号的能量在小波系数上具有不同的分布形式[4,5,6,7]。基于上述论述,通过对分解后各层小波空间上的细节系数进行阈值处理,让绝对值较大的系数保留或收缩,就可达到非平稳信号降噪的预期目的。
1.2 基本去噪模型[8]
设实际测量信号序列s(n)具有如下形式:
式中:f(n)为实际处理分析时真正需要的信号;第二项为噪声,e(n)是服从(0,1)分布的白噪声,σ是噪声的标准差。式(1)称为基本的噪声模型。在这个模型下,应用小波变换对信号降噪的过程如图1所示。降噪处理的目的就是尽量抑制σ⋅e(n)对f(n)的影响。
1.3 小波变换阈值去噪算法流程
小波阈值去噪策略中的核心实际上是阈值处理。文献[9-10]中,对小波变换后信号的能量和噪声的能量在小波系数上的分布规律和特点进行了详细的介绍。并描述了针对小波系数的阈值处理方法。通过分析和总结,对应用小波变换阈值去噪算法进行非平稳信号处理的流程归纳如下:
步骤1:对含噪信号s(n)作小波变换,得到一组小波系数wj,k(由f(n)的系数uj,k和e(n)的系数vj,k两部分组成);
步骤2:通过对wj,k进行阈值处理,得到估计小波系数ŵj,k,使得||ŵj,k-uj,k||尽量小;
步骤3:利用进行小波重构,得到估计信号ŝ(n),即为去噪后的信号。
2 阈值处理函数的改进
阈值函数体现了对偏离阈值的小波系数的处理策略及估计方法。常用的经典阈值函数有两种:一种是硬阈值函数,另一种是软阈值函数。两种阈值方法各有优缺点。在小波系数相对较大的情况时,采用第一种阈值处理方法,真实信号中的高频成份会损失掉一些,导致的结果是重构信号与真实信号相比逼近程度不好。采用第二种阈值处理方法时,由于得到的估计小波系数连续性差,会给重构信号带来一些附加振荡,使重构信号的光顺性变差。
为克服上述缺点,文献[11]推荐了一种新的阈值处理函数:半软阈值函数,其表达式如下:
式中0<λ1<λ2。
该方法通过选择合适的阈值λ1和λ2,可以在软阈值和硬阈值方法之间进行很好的折中,表现出很好的去噪效果,但它需要估计两个阈值,实现起来比较困难。
文献[12-13]中给出了对分段阈值进行估计的方法,该方法是在半软阈值的基础上提出的一种改进方案:
在半软阈值基础上的改进方案采用的阈值,是根据来确定,新阈值是随尺度而变化的可变阈值。在参数选取上根据3σ准则,a=3λi,bL=(1~1.5)λi。其与软硬阈值函数的比较如图2所示。
在阈值去噪策略中,有两个关键因素直接影响着信号的去噪效果,一方面是选择哪一类形式的阈值函数;另一方面是阈值如何确定。计算产生的阈值不合适会导致两种极端的情况出现:一种极端情况是噪声没有被完全消除掉;另一种极端情况是真实信号的部分信息被当作噪声滤除掉了。
3 实验结果及分析
为检验新的阈值去噪算法对遥测非平稳信号降噪的效果,本文选择了含噪多普勒信号进行了去噪实验,信噪比(SNR)为12.125 5 d B(可应用Matlab的awgn(x,snr)为信号添加高斯白噪声)。信号长度为1 024点,使用式(3)定义的阈值函数,实验中采用sym6小波,选择进行6层小波分解。表1为分解时各层含噪多普勒信号的局部阈值情况,图3所示的是原始含噪信号和去噪后重构信号对比图。
去噪性能的评定:为衡量改进的去噪方法的实用性,采用信噪比对该方法进行了定量分析。信噪比SNR(单位:d B)的定义为:
式中:x(n)为原始信号;为估计信号。
表2为应用三种阈值方法对加噪多普勒信号降噪处理后信噪比对照表。
去噪结果表明:新阈值函数方法较经典阈值方法具有更好的去噪能力,图3也直观显示出降噪后的信号保持了与原信号高度的相似程度。
4 结论
非平稳性 篇8
实际中的许多采样信号均具有非平稳性 (如机械设备振动信号、地震随机噪声信号等) , 对非平稳信号的检测和性能分析一直是信号处理领域研究的难点和热点问题之一。线性调频 (Linear Frequency Modulated, LFM) 信号是一类特殊的非平稳信号 (首先, 它是大时间-频带积扩频信号;其次, 探测系统的目标多普勒频率与目标速度近似成正比, 当目标作等加速运动时, 回波即为线性调频, 且复杂运动目标回波在一段短的时间里, 也可用LFM信号近似[1]) , 广泛应用于通信、雷达、声呐和地震勘探等各种信息系统中。本文以LFM信号为例, 探讨噪声背景下非平稳信号的检测及性能分析问题。
单分量LFM信号的Wigner-Ville分布具有良好的能量聚集性, 因此用Wigner-Ville分布研究单分量LFM信号是十分有利的。但是当用Wigner-Ville分布分析多分量LFM信号时, 由于Wigner-Ville分布本身的特性, 即分量间存在固有的交叉项, 这些交叉项会使时频平面变得模糊不清, 特别是在信噪比不高的场合, 甚至会出现无法检测出各个信号分量的情形。理想LFM信号的Wigner-Ville分布是直线型冲激函数, 经过截断后成为有限长度的LFM信号的Wigner-Ville分布则为背鳍状, 但在时频平面沿相应直线做积分平滑, 该背鳍状的Wigner-Ville分布的能量会在相应的积分直线上得到聚集[2]。Radon-Wigner变换 (RWT) 是一种直线积分的投影变换, 因此, 利用Radon-Wigner变换对实际现实中的有限长度LFM信号进行分析是一种较好的选择。
2 LFM信号的Wigner-Ville分布
2.1 Wigner-Ville分布定义
信号s (t) 的Wigner-Ville分布是一种最基本、也是应用最多的时频分布, 定义为[1]:
其中, z (t) 是s (t) 的解析信号。Wigner-Ville分布满足时频边缘特性等时频分布所期望的数学性质。
2.2 LFM信号的Wigner-Ville分布
若设单分量LFM信号为
为简便, 这里假设LFM信号的幅度为1。将 (2) 式带入 (1) 式, 得到单分量LFM信号的Wigner-Ville分布为:
由 (3) 式可以看出, 单分量LFM信号的Wigner-Ville分布为沿直线ff0mt分布的冲激谱线, 即分布的幅值集中出现在信号的瞬时频率变化的直线上, 也可以说, 单分量LFM信号的WignerVille分布具有理想的时频聚集性[3]。
如果z (t) 是多分量L F M信号 (设分量数为q) , 则。由于Wigner-Ville分布的双线性会产生交叉项, 当信号为多个LFM信号的组合时, 多分量LFM信号的任意两个分量之间就会产生相干项[4]。
3 Radon-Wigner变换
3.1 Radon变换
Radon变换是1917年J.Radon提出的一种变换形式, 1962年P.Hough又从图形特征检测的角度提出了Hough变换。实际上, 以直线图形为特征的Hough变换与Radon变换是等价的, 均可用于检测与估计平面上的直线[5]。Radon变换示意图如图1所示。
从图中可以看出Radon变换实际上就是将x-y平面上任意一条直线映射到r-фn平面上的某一个点, 而平面r-фn平面上的任意一个点 (r0, ф0) 都唯一的与x-y平面上的一条直线对应, 也可以说这种映射关系是一对一的。由于有限长度LFM信号的Wigner-Ville分布为背鳍状, 而噪声或交叉项却不具有此性质, 所以对Wigner-Ville平面通过Radon变换后再进行积分就可以实现信号项的聚集和交叉项的平滑抑制。
3.2 Radon-Wigner变换
Radon变换直线积分的参数用原点至该直线的距离r和幅角фn来表示, 为更直观地与LFM信号联系起来, 本文采用该直线与时频面频率轴的截距 (即初始频率) 和调频斜率m作为Radon变换后的参数, 如图1所示。由此可以得到Radon-Wigner变换表示形式如下:
其中, Wz (t, ω) 是信号z (t) 的Wigner-Ville分布。 (r, фn) 与 (m, ω0) 的对应关系为
Radon-Wigner变换对多目标分量信号也是适用的。虽然在多分量的情况下, Wigner-Ville分布导致时频平面上有很强的交叉项, 但由于Radon变换只对呈直线的目标分量敏感, 因而, 散布在时频面上的交叉项无法累积形成峰值, 因此, 各LFM分量 (即有用信号) 经过Radon-Wigner变换后, 会在不同位置形成很强的峰值, 有利于实现信号的检测[6]。
4 仿真结果及分析
在高斯白噪声环境下, 对单分量LFM信号和多分量LFM信号 (以两分量LFM信号为例) 进行了仿真, 仿真结果如图2, 图3所示。图2 (a) 为3d B噪声环境下, 单分量LFM信号的Wigner-Ville分布, 由于此时单分量LFM信号为有限长度, 所以其Wigner-Ville分布为背鳍状, 在噪声信号的干扰下, 无法将有用信号与噪声信号有效分离;图2 (b) 为3dB噪声环境下, 单分量LFM信号的Radon-Wigner变换, 可以看出在相应参数位置处呈现尖峰, 幅值明显高于噪声等信号的幅值, 再采用遮隔等方法即可将有用信号分离出来;图3 (a) 为3d B噪声环境下, 两分量LFM信号的Wigner-Ville分布, 由于交叉项和噪声信号影响, 无法将有用信号有效分离出来;图3 (b) 为3d B噪声环境下, 两分量LFM信号的Radon-Wigner变换, 可以看出在相应参数位置处呈现尖峰, 幅值明显高于交叉项和噪声等信号的幅值, 采用遮隔等方法即可将有用信号分离出来。对于分量数q2时也有同样的结果。
5 结语
文中分别采用Wigner-Ville分布和Radon-Wigner变换的方法, 对噪声环境下单分量LFM信号及多分量LFM信号的检测进行了仿真分析, 仿真结果表明对LFM信号检测, Radon-Wigner变换方法性能明显优于Wigner-Ville分布法。
摘要:采用Radon-Wigner变换方法, 实现了噪声背景下单分量线性调频信号和多分量线性调频信号的检测。仿真结果表明, 对于线性调频信号检测, Radon-Wigner变换方法性能明显优于Wigner-Ville分布法。
关键词:Radon-Wigner变换,线性调频信号,Wigner-Ville,分布,检测
参考文献
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非平稳性 篇9
时间序列分析方法是经济领域中常用的研究方法。它用适当的模型描述历史数据随时间变化的规律, 并预测经济变量值。也就是说, 可以通过时间序列以前时间点的信息, 建立模型拟合以前信息, 进而预测未来的信息。然而, 对于一个非平稳的时间序列而言, 时间序列的数字特征是随着时间的变化而变化的, 难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的随机性。
在实践中遇到的时间序列一般是各种因素交织在一起的结果, 大多是一个非平稳的时间序列。平稳实际上是一个理想化过程, 而非平稳才是自然界的本来面目。目前相关研究可能的缺陷包括: (1) 缺乏平稳性检验, 常常定性观察而假设平稳, 这虽能简化问题, 但因忽略了具有决定性影响的非平稳因素而会导致错误结论。 (2) 非平稳时序建模通常采用差分或变换方法平稳化, 如Box和Jenkins (1976) 创立的ARIMA模型进行分析与预测[1], 其基本思想是用差分消除序列中的趋势项和周期项, 而对平稳项用ARMA模型进行分析与预测。这种方法最大的缺点是其结果丢掉了最重要的信息即趋势项和周期项[2]。有时变换后的序列可能失去直接的经济意义, 使得化为平稳序列后所建立的时间序列模型不便于解释实际现象[3]。
本文创立非平稳时间序列分析WAVELET—ARMA组合方法。本文第2节介绍WAVELET—ARMA方法原理, 第3节阐述WAVELET—ARMA组合方法分析的一般步骤, 即利用小波分解与重构, 通过采用Daubechies小波将时间序列分解成趋势项和一般项; 趋势项的平稳性检验; 以及用ARMA方法拟合已经成为平稳序列的趋势项, 并应用于原时间序列的预测。最后, 将该方法应用于江苏粮食产量变化情况的研究, 结果表明该方法比直接二次多项式拟合预测的平均相对误差小0.4824%, 反映了WAVELET—ARMA组合方法的有效性。
2 WAVELET—ARMA方法原理
2.1 小波分析原理
这里只介绍本文要用到的小波变换、小波分解和重构的基本原理, 它们来自于多本小波分析的著作[4,5,6]。小波变化把原始信号f (t) 转化到时间——频率平面上, 可以把原始信号中看不见的信息在时频域上显示出来。通过小波分析, 得到时间序列在任一时刻的频率特征及在时间——频率域上的变化特征。这种分析方法, 目前已经成功应用于信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别以及许多非线性科学领域等。
一般地, 设ψ (t) ∈L2 (R) , 其傅立叶变换为
其中, a, b∈R, a≠0。 (Wψf) (a, b) 也称为f的小波系数。记
多分辨分析是小波分析与应用中的重要方法, 是一种对信号的空间分解的方法, 在其基础上, 产生了小波分解的Mallat算法[7]。运用Mallat算法, 可以将信号一层层进行分解, 每一层分解的结果是将上次分解得到的低频信号再分解成低频和高频两部分。算法如下:
j为分解尺度, k, m为平移变量, Aj, m为近似系数, 是低频部分; Dj, k为细节系数, 是高频部分, h0, h1分别是低通和高通滤波器。
利用分解后的小波系数可以重构原来的序列, 小波系数的重构公式为
简而言之, 从第一层开始分解, 结果有高频部分D1和低频部分A1; 接着, 对低频部分进行进一步的分解, 结果有高频部分D2和低频部分A2, 如此, 一直把信号进行分解, 经过4次分解之后, 原始信号A分解为:A=A4+D4+D3+D2+D1, 式中D1, D2, D3, D4分别为第1层、第2层到第4层分解得到的高频信号;A4为第4层分解得到的低频信号。这里分解层数的选择根据实际需要而定。
2.2 ARMA分析原理
Box和Jenkins提出的ARMA (Autoregressive Moving Average) 模型, 可以译为综合自回归移动平均模型, 也称为Box-Jenkins法[1]。如果一个序列在t时刻的Yt不仅与它以前时刻t-1, t-2, …的响应Yt-1, Yt-2, …有直接关系, 而且与以前时刻t-1, t-2, …进入系统的扰动εt-1, εt-2, …存在一定的相关关系, 那么这类序列称为自回归移动平均模型。
该模型适用于平稳时间序列, 对平稳时间序列进行定阶和参数估计, 得到p, q的值和参数值。这些估计模型能否真实地反映实际问题的基本统计特性, 还必须对模型的适用性进行检验。在满足适用性的情况下, 可以依据ARMA (p, q) 模型对时间序列进行预测分析。
若Yt满足ARMA (p, q) 模型:
即
φ (B) Yt=θ (B) εt
φ (B) =1-φ1B-φ2B2-…-φpBp
θ (B) =1-θ1B-θ2B2-…-θqBq
且φ (B) =0和θ (B) =0的所有根的模大于1;φ1, φ2, …, φp为自回归参数;θ1, θ2, …, θq为滑动平均参数;随机项εt为服从0均值、方差为σ2的正态分布且互相独立的白噪声序列。
3 WAVELET—ARMA组合方法分析的一般步骤
WAVELET—ARMA组合方法在非平稳时间序列分析中主要有三个步骤, 对原非平稳时间序列进行小波分解, 得到原时间序列的趋势项;接着对趋势项进行平稳性检验, 如果是平稳序列, 可以用ARMA方法进行估计和预测;如果不是平稳序列, 可以对趋势项进行进一步分解, 直到得到平稳序列为止, 然后再用ARMA方法进行估计和预测。将本组合方法得到的趋势项的拟合值和预测值, 作为原时间序列的估计值。
3.1 时间序列的小波分解
实际中遇到的时间序列经常含有趋势项、周期项和随机项, 其中趋势项和周期项在时间序列中是非常重要的[8]。趋势项是非平稳时间序列变化的主体部分, 可以用Hodrick-Prescott滤波方法[9]和频谱滤波 (BP) 方法[10]等得到趋势项。现拟对原时间序列进行小波变换, 将其分解成不同尺度的成分。使复杂问题简单化, 再用小波逆变换合成。常见的小波函数是Harr小波, Daubechies小波, Symlet小波, Meyer小波等。针对不同的问题类型, 可以选择不同的小波函数。
3.2 趋势项的平稳检验
从数据的数字特征确定性角度, 时间序列可以分为平稳序列和非平稳序列。一个平稳序列的数字特征, 如均值、方差等不随时间的变化而变化, 时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的概率分布。检验序列平稳性的标准方法是单位根检验, 主要有Augmented Dickey-Fuller test (ADF) , Dickey-Fuller Test with GLS (DFGLS) , Phillips-Perron, KPSS, ERS以及NP等六种检验方法。本文拟采用Augmented Dickey-Fuller test (ADF) 检验方法。如果是平稳序列, 可以进行下一步的建模工作; 如果不是平稳序列, 需对趋势项进行进一步层次分解, 直到得到平稳序列为止。
3.3 趋势项的ARMA方法建模
已经成为平稳时间序列的趋势项的ARMA方法建模的一般过程包括模型识别、模型定阶、参数估计和诊断检验四个环节。为了确定时序的ARMA (p, q) 模型, 先计算样本的自相关函数
在模型定阶部分, 有利用时间序列的相关特性, 即自相关系数和偏自相系数的拖尾或截尾性来确定模型的合适阶次;利用数理统计方法如检验模型残差的相关特性来确定模型的合适阶次; 利用信息准则函数定阶法, 选取使该参数达到最小值的阶数作为模型的阶数, 常用的信息准则有AIC、BIC、FPE等[11,12]。模型识别后, 需要对参数进行估计。估计方法有矩估计、最小二乘估计、极大似然估计等。
4 WAVELET—ARMA组合方法应用实例
粮食是国民经济发展的重要战略物资, 粮食安全是特别受关注的问题, 直接影响社会经济稳定。确保粮食供应成为当前及今后相当长一段时期农业的首要目标。江苏省是一个粮食生产大省, 对江苏粮食产量的分析与研究具有必要性和紧迫性。本文试图建立抽象系统发展变化的动态预测模型, 为指导江苏粮食生产提供科学的理论依据。
图1是1983~2007年江苏粮食的历年产量yt, 数据来源于中国种植业信息网的农作物生产统计数据。
4.1 数据平稳性检验
用Eviews 5.0对江苏粮食历年产量进行Augmented Dickey-Fuller检验, 检验式中不包括趋势项和截距项。相应的检验式是:
DW=2.4933, ADF=-0.09299312, 而检验水平为1%、 5% 和10%时的临界值分别为: -2.66485323, -1.95568082, -1.60879297。ADF统计值都大于这三个临界值, 所以江苏粮食历年产量是一个非平稳序列。
利用Daubechies小波将江苏粮食历年产量序列进行五次小波分解:Yt=A5+D1+D2+D3+D4+D5, A5为江苏粮食历年产量的趋势部分, D1~D5为小波分解1~5次江苏粮食历年产量的一般部分, 如图2。
利用Eviews 5.0对江苏粮食历年产量的趋势部分A5进行Augmented Dickey-Fuller检验, 检验式中不包括趋势项和截距项。相应的检验式是:
DW=1.063835, ADF=-2.856898, 而检验水平为1%、 5%和10%时的临界值分别为: -2.66485323, -1.95568082, -1.60879297。ADF统计值都小于这三个临界值, 所以江苏粮食历年产量在第5次分解后的趋势部分A5是一个平稳序列。
4.2 趋势项的ARMA方法建模
利用Eviews 5.0软件求出江苏粮食历年产量的趋势部分A5的滞后1~12期时的自相关系数和偏自相关系数以及其他统计量。
从数值上看, 趋势项A5的自相关系数在3阶后拖尾, 而偏自相关系数在1阶后截尾。可以将模型识别为ARMA模型, 初步将模型的阶数确定为p=3, q=0。
4.3 模型定阶与参数估计
ARMA (3, 0) 模型即为AR (3) 模型, 利用Eviews5.0软件, 取最小二乘法沽计参数, 得到模型参数估计结果。
采用公式法输入方程, 将AR系数列出, 形式为:
A5=2841.695802+[AR (1) =2.402446629, AR (2) =-1.810371699, AR (3) =0.4072595495]
可以应用这个预测表达式, 采用条件期望预测方法, 并且是动态的, 即用前面的预测结果对后面的结果进行预测, 对2008~2012年江苏粮食产量进行预测。
4.4 误差结果讨论
定义平均相对误差为
由表4可以看出WAVELET—ARMA组合方法比二次多项式拟合预测的平均相对误差小0.4824%。2009年江苏的粮食产量为3175.49万吨 (江苏统计年鉴2009) , WAVELET—ARMA组合方法预测值与实际值的相对误差为3.25%, 而二次多项式拟合的相对误差为12.4%, 反映了WAVELET—ARMA组合方法的有效性。
5 结语
本文创立了WAVELET—ARMA组合方法。利用小波分解与重构, 通过采用Daubechies小波将时间序列分解成趋势项和一般项, 用ARMA方法拟合已经成为平稳序列的趋势项, 并应用于原时间序列的预测。WAVELET—ARMA组合方法在理论和实践中都具有重要的意义。
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