泰勒思想

关键词： 线性

泰勒思想（精选十篇）

泰勒思想 篇1

一、泰勒公式蕴涵的重要科学思想

泰勒公式是高等数学的核心内容之一, 它的基本思想是将一些复杂函数关系近似地表示为简单的幂级数和的形式, 这种化繁为简的功能, 使它成为分析和研究数学问题的有力杠杆, 也成为早期理论自然科学家的基本思想, 在自然科学上建树颇丰。从前的自然科学家在对大自然的众多现象进行探索时, 由于自然界的复杂性, 为了简化问题, 总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型, 用线性模型近似或局部地代替非线性原型, 形成人类认识世界的独特方式, 直至现在这种方式仍然有重要的意义。泰勒公式体现了怎样的科学思想, 对一个科学工作者有何重要意义?

首先让我们来回忆一下泰勒公式, 若函数在x0某邻域内存在直至阶的连续导数, 则有:

其中Rn (x) 称拉格朗日余项, 表达式为:

(式中ξ在x与x0之间) 。

特殊情况下, 即当x0=0时, 上式变成:

称此式为麦克劳林公式。

泰勒公式中的各项都有其重要的含义, 都能从自然科学中得到对应解释。泰勒公式中的常数项代表什么呢?它可以代表测量杨氏模量时初始加的砝码, 可以代表模拟放大电路中的直流分量, 也可以表示宇宙学中的宇宙背景辐射等等;前面我们所谓的线性关系, 主要是自然科学家关注了泰勒公式中的第二项而已, 它给出了自然现象中两个相关量的近似关系;一个复杂的非线性自然规律可以用泰勒公式的各级近似去描述, 每级表达式的系数代表了该级在物理量关系中所占的权重, 各种数学软件中的多项式拟合正是这一思想的体现。部分自然科学研究, 可以当作是对泰勒公式各项的解释的探索, 找寻每一项的微观本质这正是公式蕴涵的重要科学思想。

为了很好地说明这一观点, 我们可以从泰勒公式在物理学研究中的应用中加以具体分析:

低温物理学家卡默林·昂尼斯在研究氢、氦等沸点极低的气体液化时, 于1901年曾经利用泰勒公式的思想, 提出了描述实际气体的物态方程———昂尼斯方程:

并将理想气体物态方程当作一级近似下的昂尼斯方程, 将范德瓦耳斯方程当作是二级近似下的昂尼斯方程, 为了更适用于实际气体, 可以采用昂尼斯方程的更高级形式, 方程中的系数A、B、C、…分别称为第一、第二、第三位力系数…, 位力系数是温度、气体种类的函数, 通常由实验确定, 探究昂尼斯方程中各项的物理本质也成为物理学的重要内容。

当然昂尼斯方程还可以用泰勒公式展开为压强的形式:p V=A'+B'p+C'p2+…加以研究。

在研究阻尼振荡、布朗运动的动力学过程中, 人们提出了阻尼振荡方程、郎之万方程。设微粒的质量为m, 所受到的作用力分为两个部分:一部分是与速度有关的阻尼力f (V) , 一部分是作用在微粒上的随机力F (t) 。按照牛顿第二定律, 微粒的的运动方程为:

似乎这里的方程和泰勒公式无关, 实际上对低速运动而言f (V) 是常数, 对于布朗粒子来说f (V) 和速度成正比, 更高速情况下还和速度的二次方、三次方…, 这里也体现了泰勒公式的思想。

另外柯西运用泰勒公式的思想, 研究对光波透明的几种介质的色散曲线, 折射率n随波长λ增加而减小, 这种色散称为正常色散 (图1) 。色散曲线的方程可用经验公式:

表示, 具有泰勒公式的形式, 此即柯西方程, 其中λ为真空中的波长, A、B、C是由介质决定的常数, 可由实验测定。在波长λ变化不大时, 柯西公式可以取低一级的近似为:

科学家在磁学研究中应用泰勒公式, 当他们对铁磁质磁化时, 磁化曲线如图2, 在磁场H较小, 处于图中2位置时, 称为瑞利磁化区域, 磁化满足瑞利的经验公式:

可以看作泰勒公式的二级近似, 当磁场H较大, 处于图中4位置时, 趋近饱和区, 磁化曲线的经验关系满足:

式中a、b、c是常数, χp是顺磁磁化率。磁学研究的重要内容之一就是解释每一项形成的原因。现在认为第二项a/H来自参杂、内应力等微结构因素, 第三项b/H2来自克服磁晶各向异性的可逆磁转动过程。

泰勒公式用于电介质在强外电场作用下产生的非线性极化, 得到描述极化强度和电场强度关系式如下:

这里的χ (1) 是线性项, 适用于电场强度比较小时的极化强度和电场强度关系。χ (2) 、χ (3) 、…分别为二阶、三阶、…非线性极化率, 适用于不同的强外电场情况。

从以上可以看出, 一个复杂的非线性自然规律可以用泰勒公式的各级近似去描述, 每级表达式的系数代表了该级在物理量关系中所占的权重。在物理学和其他自然科学中这样的例子众多, 象薛定谔方程中势能的几种描述 (无限深势阱、有限势垒、谐振子模型等) 、量子力学的微扰理论、固体物理中的理想晶体和缺陷、能带理论中巡游电子和局域电子模型、化学反应速度和浓度的关系描述等等不胜枚举。我们现在可以认为线性关系只能在一定条件下成立, 线性相关性都不足以反映真实的世界, 这就要求我们用处理非线性的泰勒公式来描述。采用泰勒公式建立自然现象的唯象理论, 研究泰勒公式每一展开项的微观本质及其在所研究自然现象中的影响, 成为人类认识自然的重要科学思想。

二、结语

面对复杂的自然现象, 方显得人类认识能力的不足, 当我们还不能够很完美的解释自然时, 前面的讨论给我们以启示, 从研究线性系统这种简单对象出发, 给出自然现象中两个相关量的近似关系, 在一定程度上满足实践的要求。当我们面对一个复杂的现实世界, 采用泰勒公式建立自然现象的非线性唯象理论, 用泰勒公式的各级近似去描述真实世界, 寻找解释泰勒公式每一展开项的微观本质, 以及各展开项在所研究自然现象中的权重, 直至能够正确认识世界, 泰勒公式成为人类认识自然的重要科学思想。基于上述思想, 可以想象光吸收的朗伯定律, 旋光现象、核衰变中线性关系, 都将被打破。核衰变公式:

推导出的半衰期结果和化合状态、压强无关这个结论, 在超高压的超固体中是否成立?核衰变公式在超固体中会否变成:

地球内部存在超固体, 是否可以通过探测火山喷发的岩浆的放射性水平来加以研究?需要科研工作者去加以研究。泰勒公式部分的指导着我们的研究方向, 公式蕴含的科学思想价值值得我们去思考、探索。

参考文献

[1] .黄昆, 韩汝琦.固体物理学[M].北京:高等教育出版社, 1988.

[2] .姜寿亭, 李卫.凝聚态磁性物理[M].北京:科学出版社, 2003

[3] .褚圣麟.原子物理学[M].北京:高等教育出版社, 2007

[4] .王正行.近代物理学[M].北京:北京大学出版社, 1998

泰勒博士说幸福 篇2

泰勒博士在哈佛大学开设的积极心理学被学生推选为最受欢迎的课程，而他本人也成为哈佛大学最受欢迎的“人生导师”。积极心理学被称为国际心理学界的第四次浪潮，是一门关于“幸福的科学”，它不是解决心理问题，而是关注积极力量和积极品质，研究如何让人活得更幸福。

由积极心理学课程讲义整理而成的《幸福的方法》一书已出版。此书颠覆了许多传统的幸福观，给我们带来了关于幸福的新空气、新理念和新方法。人们在传统心理学里已经找不到真正能获得幸福的解药,他们开始在积极心理学中寻找答案。

积极心理学就是连接象牙塔和每日生活的桥梁，既有学术的严谨性与精确性，同时也具备自助运动给人带来的愉悦和乐趣。积极心理学被人们称为“心理健身房”，它颠覆了传统的幸福观：

1．幸福=快乐+意义---人生的至高财富

在绝大多数人的传统观念中，幸福=成功+金钱+地位。为了得到它们，忙碌奔波型的人从一个目标奔向另一个目标，却没有时间享受当下的快乐；享乐主义型的人为逃避痛苦，放纵于当下的刺激与快乐，从不考虑后果；虚无主义型的人被过去的阴影所缠绕，终日抱怨使他们放弃现在与未来，听天由命。

但泰勒博士告诉我们：忙碌奔波型是未来的奴隶；享乐主义型是现在的奴隶；而虚无主义型则是过去的奴隶。幸福型的人把快乐+意义看作幸福，这是人生的至高财富。人和事业一样，有利润也有亏损，所不同的是，衡量人的标准既不是金钱，也不是知名度或者权力，唯有幸福才是衡量人生的标准：财富与幸福的关联度非常低；有目标才能更好地享受过程，而享受过程有助于更好地实现目标；外界环境对人的幸福感影响甚微，真正给予我们幸福的是我们内心的改变。

2．幸福并非无苦无获，成功并不一定要以牺牲幸福为代价 我们的传统教育和大多数人都认为：所谓“没有痛苦，就没有收获”、“吃得苦中苦，方为人上人”的道理说明：要成功和获得幸福就必须以经历痛苦为代价。

但泰勒博士告诉我们，从来没有规定说成功一定要以牺牲快乐为代价。有很多为了学业和工作而努力的人，他们也过得十分开心。其实，你完全可以去选择做既让自己快乐又有意义的事情，这样就不一定非要经历痛苦才能成功，也更容易感到幸福。因为人在做自己最擅长的事情时，通常是快乐而觉得有意义的。

3．学习可以是快乐的，是获得幸福的方法

老师和家长从小就教育我们，上学的目的就是为了取得好成绩，长大后才能找到好工作。他们并没有让我们明白，学校是个可以获得快乐的地方，学习本来就是一件令人开心的事情。

但泰勒博士告诉我们：所有的教育者---父母和老师们都希望孩子得到幸福，但前提是他们自己必须先相信---幸福才是至高的、最重要的财富。一个热爱学习的学生，可以在学习的过程中享受创造的快乐，而这快乐的成果也可以帮助他取得好成绩，助其获得未来的幸福。

4．幸福是做“减法”，而不是做“加法”

我们一向认为，只要不断提出新的目标，不断努力和超越自己，心灵就会得到成长；只有紧张而忙碌的工作，才能使我们感到充实和快乐。

但泰勒博士告诉我们：一个增强我们幸福感的方法，就是增加想要做的事和减少不得不做的事，同时关注自己内心的感受。无论是从人生或是日常生活的角度都应该如此。就像梭罗（Thoreau）所说：“生命并不长，别再赶时间了。”如果老是马不停蹄地前进，我们等于只简单地对每日的生活作出反应，没有给自己时间去创造属于自己的幸福。

5．幸福并非遥不可及，人人都可以通过学习养成幸福的习惯

谈起幸福，人人都会无限地向往，但却认为幸福遥不可及，离我们很远。

泰勒：《英国史小品》 篇3

他已是一位七十五岁高龄的学者了。历史知识的普及工作好象很使这位老人感到兴趣，经常在通俗性的杂志如《星期日快报》、《观察家》上发表短篇小品，或者在BBc电视台播讲。之后将这些短小论文汇编成书，题名为《英国史小品》，三十年来，已再版了十次，每次都有新增的篇章。这里所介绍的，就是他这本小品论文集的一九七八年版，应该是第十一版了。

泰勒对这种历史的普及工作，近几年来好象特别热心，这也许是一种老年人的心情：把祖国的光辉、珍贵的文化传诸下一代。这又未始不是一位诚恳的学者的社会责任感：要把自己钟爱的知识告诉青年。

第十一版的《英国史小品》一共选编了三十一篇短小的历史论文。我把Essays一词译成“小品”，不知是否有违原义，但觉颇能说明泰勒文章的特色：娓娓而谈，文词优美。全书内容几乎涉及到英国历史的各门各类，从克伦威尔到维多利亚，从科佩特到劳合乔治，从克里米亚战争到第二次世界大战，从历史小说到政治理论。既谈了一个城市的发展，也论述了历史学家如麦考莱和加莱尔。真是无所不谈，无所不论！

最近的一版里，新编选了四篇“小品文”；内容有关于历史小说、关于爱尔兰、关于曼彻斯特城的。其中引人入胜的是那篇：《爸爸，邱吉尔是怎么回事》(Daddy，What wasWinstonChurchill)。我读了多遍，爱不释手，不觉技痒，试译片断，以飨同好：

“一九四○年六月，巴黎沦陷，法国投降。人们议论着：英国可以接受德国的条件进行妥协，然后站在一旁冷观德苏厮杀。哈里发克斯内阁致力于此，张伯伦尤其热衷。邱吉尔，他却对同僚说：‘是啊！不管敦克尔刻的情况怎样，我们必须战斗。’他出任战时内阁首相后，第一次在下院讲演，说：‘你们要问：我们的目标是什么？我只有一句话奉告：胜利——不惜一切代价；胜利——不顾一切惊险；胜利——不管道路怎样艰难困苦而又遥远’。当时，英吉利民族面对统治了全欧洲的希特勒，那真是孤军苦战啊！但是英吉利人民乐于听到这种声音。邱吉尔和整个英吉利人民与死神已订下了合同：要不是取得战争的胜利，就与自己的伟大事业一起灭亡。”

民族的自豪、民族的自尊，这使他们在十分严重的艰难困苦中得救而取得胜利：何等的民族自信啊！

诚然，邱吉尔是一个帝国主义分子。作者泰勒想心平气和地记录他一生的是非功过，所论不能说全无偏颇。但是泰勒的有些论点仍然可取。例如他认为，邱吉尔在第二次世界大战期间确曾作了一次历史所赋予的决定。可是历史的最后定论不仅在于已经取得的胜利，而且还要看到随之而来的影响和后果。从这点出发，可以说邱吉尔在第二次大战中某些作为的后果，是令人忧虑的。邱吉尔本人在晚年时也自觉到，他曾感叹地说：“从这个标准来说，我不能说我做得完美无缺”。

这是一篇令人信服、感人甚深而又使人清醒的人物传记：作者笔下的邱吉尔有功也有过，严峻而又机智，令出如山却又平易近人(例如他对阁员的谦逊诚挚)。《爸爸，邱吉尔是怎么回事》这篇小品文，实际上是一篇邱吉尔的传记，撷取其在第二次世界大战时期的言行，真实地记录了邱吉尔这一个历史人物，反映了英国历史中的一个重要篇章。

人物传记，不同于檄文。一篇写得好的檄文，义正词严，尽斥其罪过恶行，笔锋所指可以使之死。人物传记，也不同于悼词。一篇写得动人的悼词，哀思不绝，五内俱裂，情挚意真，仿佛把亡灵唤回。但是人物传记首先应该是历史，历史应该公正，需要真实。泰勒这篇短文，就一个资产阶级史学家所能作的来说，也算是真实的了。话说到这里，已近于赘言了。但是泰勒所写的这篇关于邱吉尔的小品文，确值得一读，也颇能瞰视其他各篇的风格，欣赏这本历史小品文集的特色。其他三十篇也篇篇可读。例如《曼彻斯特》一文，把这个城市的兴衰变化，写来脉脉含情。历史论著而到此境界，令人羡悦。

泰勒公式及其应用 篇4

多项式是函数中最简单的一种, 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用多项式表示函数.为了更好更方便的研究一些复杂的函数, 我们寻求更广泛的、更高精度的近似公式来表示, 这就引入了泰勒公式.

泰勒公式及其常见展开式

泰勒中值定理:若函数f (x) 在x0的某区间 (a, b) 内有直到 (n+1) 阶的导数, 则当x∈ (a, b) 时, f (x) 可表示为 (x-x0) 的一个多项式Pn (x) 和一个余项Rn (x) 之和:

undefined, 其中undefined介于x0与x之间) .

注 1.上式称为f (x) 按 (x-x0) 的幂展开到n阶的泰勒公式, Rn (x) 的表达式称为拉格朗日型余项;

2.当n=0时上式变为f (x) =f (x0) +f′ (ξ) (x-x0) (ξ介于x0与x之间) , 这就是拉格朗日公式;

3.若特别地, 取undefined, 这里undefined介于0与x之间) , 我们称为f (x) 的麦克劳林公式.

常见函数的展开式

undefined;

undefined;

undefined;

undefined;

undefined

泰勒公式的应用

一、利用泰勒公式求近似值

当要求的算式不能得出它的准确值时, 即只能求出近似值, 这时泰勒公式是解决这种问题的好方法.

例1 计算e准确到0.000001.

解 利用undefined,

得undefined

显然, 当n=10时, 可算得e约等于2.718282.

二、利用泰勒公式证明不等式

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物, 不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替, 往往使证明方便简捷.

例2 当x>0时, 证明:undefined

证明 取f (x) =ln (1+x) , 则undefined

代入泰勒公式, 其中n=0,

得undefined

其中0<ξ

三、利用泰勒展开式求极限

有时利用洛必达法则求待定型极限, 会遇到很复杂的计算, 而利用泰勒公式求极限却简单很多.

例3 求极限:undefined

解 由于分母sin3x～x3 (x→0) , 因此我们将分子用三阶麦克劳林公式表示:

undefined,

于是undefined,

故undefined

四、利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式

例4 求f (x) =ln (1+x) 的幂级数展开式.

解f (x) =ln (1+x) =undefinedundefined

五、利用泰勒公式估计导数的值

例5 已知函数f (x) 在[0, 1]上二阶可导, 当0≤x≤1时, |f (x) |<1, |f″ (x) |<2.试证:当0≤x≤1, |f′ (x) |≤3.

证明 由泰勒公式知,

undefined

undefined

摘要：本文简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式, 阐述了泰勒公式的应用.

关键词：泰勒公式,麦克劳林公式,拉格朗日

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上, 下) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

泰勒简介 篇5

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。

由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题。1708年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。从1714年到1719年，是泰勒在数学牛顿产的时期。他的两本著作：《正和反的增量法》及《直线透视》都出版于1715年，它们的第二版分别出于1717和1719年。从1712到 1724年，他在《哲学会报》上共发表了13篇文章，其中有些是通信和评论。文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。

在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本著作《哲学的沉思》在他死后由外孙W.杨于1793年出版。

泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。

浅析“泰勒原理” 篇6

关键词：泰勒原理；内容；优缺点；启示

“泰勒原理”这一概念最早在《课程与教学的基本原理》中出现，该书是美国教育家拉尔夫·泰勒（Ralph w.Tyler）在1949年出版的，这一原理被学术界誉为“经典课程范式”、“西方现代课程理论的基石”，还被认为是现代课程领域中最有影响力的理论构架。这本书提出了四个问题：第一，学校应该达到哪些教育目标；第二，提供哪些教育经验才能实现这些目标；第三，怎样才能有效地组织这些教育经验；第四，我们怎样才能确定这些目标正在得到实现。并且以这四个问题为核心，为教育界提供了一个关于课程开发的历经多年不衰的课程研究的主导范式。

一、“泰勒原理”的基本内容

要解决泰勒提出的这四个问题，首先就是要面临课程开发的四个阶段和步骤——确定学习目标、选择学习经验、组织学习经验和评价学习结果，同时阶这四个段正好构成了“泰勒原理”的基本内涵。

1.确定学习目标

目标是一切行动开始的基础，只有首先确定了目标，才能为以后的过程指明方向。但是学习目标的确定是有条件的，那就是必须要有足够的信息，这些信息可以帮助课程编制者获得学习目标。信息的获得主要有三个来源：对学习者的研究、对现实生活的研究和学科专家的建议。与此同时，在选择学习目标时，应该注意把哲学和学习心理学的内容应用于实践，用一种最有助于选择学习经验和指导教学的方式来陈述这些目标。我们所需要的信息在经由这三个来源之后，再经过教育理论和学习理论的选择，最后才能得到符合实际需要的学习目标。

2.选择学习经验

“学习经验”，是指学习者与外部环境条件之间的相互作用。学习是通过学生的主动行为而发生的，因此，学生的学习主要取决于他自己做了什么，而不是教师教了什么。学生是整个教学过程的积极主动参与者，教师则只是担当协助者的角色，他的任务是培养学生的创造思维能力和批判思维能力，引导学生积极主动地探究问题。归根结底，“学习经验”是以学生为中心的。但教师的作用也不容忽视，学习经验的选择是由教师决定的，科学的学习经验有助于培养学生的思维技能、获得信息的能力、形成正确的社会态度、并培养学生良好的学习兴趣。

3.组织学习经验

在组织学习经验的过程中，要遵守三个准则、五个步骤。三个准则是：连续性、顺序性和整合性。五个步骤：一是对课程组织的总体框架取得一致的看法；二是对已确定的每一个学科领域内所要遵循的一般组织原则取得一致的看法；三是对采用的教学单元取得一致的看法；四是制定一些供教师使用的灵活的方案；五是由学生和教师共同设计某一特定的活动。

4.评价学习结果

泰勒认为，评价学习结果应该是一个剖析图，或一组综合的描述性术语，用来反映学生目前的学习状况。评价本身其实就是让教师、学生和有关人士了解教学的成效。也可以说，评价的目的就是要全面地检验学习经验是否实际上起到了作用， 并指导教师去改善自己的教学行为以向所期望的目标发展。同时，评价过程中运用的方法也是至关重要的，如，纸笔测验、交谈、问卷、观察、抽样、记录等。灵活的运用这些方法，就可以很好的解说学习目标，确定评价情境，最后确定评价结果。

二、“泰勒原理”的启示

为人们提供了—个广为采用的课程研究范式是“泰勒原理”的突出贡献，这也引起人们在课程研究中的方法论思考。

1.完整科学的课程目标应是预期性目标与生成性目标的和谐统一

在课程实施之前，就应该有一目标，成为预期性目标，它只是一个模糊的方向。在课程实施过程中，课程目标也会随着教育教学环境的改变而发生变化，这时教师应运用自己的教学经验调整教学活动，形成教学中的生成性目标。这种生成性的目标既给了学生和教师很大的主动权，同时也是对实际教育情况的尊重，更有利于学生的全面发展。因此，“预期性目标”和“生成性目标”的结合，更适合学生的全面、自主发展，它也是对泰勒原理单纯“预期性目标”的超越。

2.树立“以学生为主”的思想，促进学生的全面发展

泰勒认为，在课堂教学中，学生是主体，教师应该充分激发学生的学习积极性和主动性，让学生的被学习，改变成为要学习。每一个学生都是一个处于发展中的人，教师要尽可能为所有学生提供一切机会和条件，满足每个学生终身发展的需要，培养学生终身学习的愿望和能力，使学生各个方面得到和谐、自由、全面的发展。

3、评估中隐藏重要内容

首先，我们应该评估学生的行为；其次，评估应该是多次的，是一定时间段的评估。评估是为了学生能够对过去学习进行总结，对现在学习有所提高，对未来学习有益。因此，要注意评价主体、内容与方式的全面性，注意形成性评价与终结性评价的有效结合。而且，评价不仅要关注学生学习知识的能力，还应关注学生情感态度的变化。所以，泰勒认为教育是一种改变人们行为模式的过程。这种行为模式是广义上的，包括知识、情感、行为等多个方面。对学生学习行为的评价不但要看学生是否参与，还要关注学生在这个学习过程中的情感态度及主动性。这样既能使学生学到知识，而且能够快乐、幸福地学习。

三、结语

“泰勒原理”是课程研究中的经典范式，正如瑞典学者胡森所评论的：“不管人们是否赞同‘泰勒原理’，不管人们持什么样的哲学观点。如果不探讨泰勒提出的四个基本问题。就不可能全面地探讨课程问题。”但是对待泰勒原理，我们必须全面的看待，分析其中的利弊，并扬长避短，为我国的新课改提供良好的范例

参考文献：

[1]郑邦春，余明莉.简论课程的“泰勒原理”[J].四川教育学院学报，2006，6（22）：27-28

[2][美]拉尔夫·泰勒.课程与教育的基本原理[M].北京：人民教育出版社，1994

[3]曹春凤.试论“泰勒原理”[J].辽宁教育行政学院学报，2007（7）：63-65

[4]施良方.课程理论—-课程的基础、原理与问题[M].北京：教育科学出版社.1996

[5]泰勒.课程与教学的基本原理[M].罗康，张阅译.北京：中国轻工业出版社，2008

[6]郑国民.制约课程目标取向选择的因素[J].课程·教材·教法，2002，（12）：3

[7]吴永军.课程社会学[M].南京南京师范大学出版社，1999：27

泰勒公式及其应用 篇7

一、泰勒公式的提出及内容

不论在近似计算或理论分析中, 我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数, 这将会带来很大的方便。一般来说, 最简单的是多项式, 因为多项式是关于变量加、减、乘的运算, 但是, 怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢?

1.带有皮亚诺余项的泰勒公式

定理1:若函数f在点x0存在直至n阶导数, 则有f (x) =Tn (x) +0 ( (x-x0) n) , 即:

即函数f在点x0处的泰勒公式;Rn (x) =f (x) -Tn (x) 称为泰勒公式的余项。形如0 ( (x-x0) n) 的余项称为皮亚诺 (peano) 型余项。

注:泰勒公式x0=0的特殊情形———麦克劳林 (Maclauyin) 公式:

这个特殊形式的公式使用非常广泛, 在下面的例子中我们可以看出。

引申:定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y=f (x) 时余项大小的一种估计, 但这种估计只告诉我们当x→x0时, 误差是较 (x-x0) 高阶的无穷小量, 这是一种“定性”的说法, 并未从“量”上加以描述;也就是说, 当点给定时, 相应的误差到底有多大?这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来。为此, 我们有必要对余项作深入的讨论, 以便得到一个易于计算或估计误差的形式。

2.带有Lagrange型余项的Taylor公式

定理2: (泰勒) 若函数f在[a, b]上存在直至n阶的连续导函数, 在 (a, b) 内存在n+1阶导函数, 则对任意给定的x, x0∈[a, b], 至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得:

注:当n=0时, 泰勒公式即为拉格朗日公式, 所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广;当x0=0时, 则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式:

二、泰勒公式的应用

在数学分析中, 我们主要学习了泰勒公式在函数在指定点处展开及在近似计算方面的应用, 接下来我们将看到泰勒公式在极限运算、级数与广义积分的敛散性判断、确定无穷小量的阶与表达式中的常数、中值公式的证明、不等式的证明、估计及函数方程等方面的具体应用。

在应用泰勒公式时, 应注意选择适当的展开形式.有关近似计算的问题一般使用拉格朗日余项, 而涉及极限的问题一般使用皮亚诺余项.根据具体需要还应对其项数进行适当的取舍.下面举例说明泰勒公式在如上几个方面的具体应用方法:

1.计算近似值

例1.求姨82的近似值.

注:此题虽然也可以用微分法做近似计算, 但因公式为, 得出的结果误差较大.而应用泰勒公式做近似计算, 则可以根据具体误差要求来控制近似计算的精度.

2.确定无穷小量的阶与表达式中的常数

例2. (说明无穷小量的阶) 当x→0时, lncosx+是x的几阶无穷小?

所以当x→0时, lncosx+是x的4阶无穷小量。

3.证明中值公式

例3.设若f (x) 在[a, b]上有二阶导数, 试证:∃c∈ (a, b) 使得

证明:记x0=2a+b, 在Taylor展开式中f (x) =f (x0) +f′ (x0) (x-x0)

两端同时取[a, b]上的积分.注意右端第二项积分为0, 第三项积分由导数的介值性, 第一积分中值定理成立:埚c∈ (a, b) 使得

因此 (1) 式成立.

泰勒公式成功地将一些函数表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能使得泰勒公式成为分析和研究许多数学问题的有力杠杆, 这点可以从以上介绍的泰勒公式在极限运算、级数与广义积分的敛散性判断、确定无穷小量的阶与表达式中的常数、中值公式的证明、不等式的证明、估计及函数方程等方面的具体应用中体现出来。

对于广大数学爱好者及研究者而言, 我们有必要更加深入地探讨泰勒公式的应用, 用简单的例子说明其应用的方法, 并使其得到广泛的运用, 这样才能将抽象的泰勒公式学“活”.

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社, 1993-05:170-184.

[2]费定晖, 周学圣, 郭大钧, 等.吉米多维奇数学分析习题集题解.济南:山东科学技术出版社, 1999-09:336-362.

[3]安世全.泰勒公式及其研究[J].高等数学研究, 2001 (3) .

[4]王素芳, 陶荣, 张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用[J].洛阳理工学院学报:自然科学版, 2003 (02) :50-51.

[5]方继光, 项明寅.谈带皮亚诺余项的泰勒公式的应用[J].安庆师范学院学报:自然科学版, 2003 (02) .

浅析泰勒公式的应用 篇8

一、利用泰勒公式求极限

例1求极限

解:这是一个“”的极限, 利用泰勒公式展开

∵分子关于x的次数为2

注:有些复杂的待定型的极限问题, 用泰勒公式比用罗必达法则求解更为便利。

二、利用f (x) 的一阶泰勒公式证明不等式

f (x) 的一阶泰勒公式:

例2设函数f (x) 二阶可导, 且f" (x) ≥0, x∈ (-∞, +∞) , 函数u在区间[0, a] (a>0) 上连续, 证明:

证明:令, 将f (x) 在x=x0处展成一阶泰勒公式:

上式两边在[0, a]上对t积分, 得:

三、利用泰勒公式判断级数的敛散性

例3设f (x) 在点x=0的某一邻域内具有连续的二阶导数, 且,

证明:级数绝对收敛。

证明:由, 又 (x) 在x=0的邻域内具有连续的二阶导数, 可得:f (0) =0, f' (0) =0。

将f (x) 在x=0的某邻域内展开成一阶泰勒公式

又由题设f" (x) 在属于邻域内包含原点的一个小区间连续, 因此存在M>0, 使|f" (x) ’|≤M

注:级数的敛散性判断有时很困难, 而泰勒展开公式则提供了一个便利的方法。

四、利用泰勒公式研究根的唯一性问题

例4设f (x) 在[a, +∞) 中二阶可导, 并满足f (a) =A>0, f' (a) <0, 当x>a时, f" (a) <0, 证明:方程f (x) =0在 (a, +∞) 内有且仅有一个实根。

证明:∵f" (x) <0∴f' (x) 单调递减, 因而当x>a时, f' (x)

下面证明f (x) =0在 (a, +∞) 内至少有一个实根

由题设可知f (x) 在x=a的右侧可展成泰勒

∵f" (x) <0∴f" (!) <0, 于是f (x)

当x充分大时, 不妨设

又f (a) >0由零值定理可知, 至少存在一个!∈ (a, x0) , 使f (ξ) =0

由此可得, 方程f (x) =0在 (a, +∞) 内有且仅有一个实根。

综上可知, 高阶 (二阶及二阶以上) 导数的存在是提示使用泰勒公式最显著的特征之一, 只要题设条件中给出函数f (x) 二阶及二阶以上可导, 此时, 先把f (x) 在指定点展成泰勒公式, 一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式, 然后根据题设条件恰当选择展开点。只要在解题过程中注意分析、研究题设条件及其形式特点, 并把握上述解题原则, 就能很好的利用泰勒公式解决解决问题。

参考文献

[1]同济大学数学教研室, 高等数学, 高等教育出版社1993[1]同济大学数学教研室, 高等数学, 高等教育出版社1993

[2]华东师大数学系, 数学分析, 华东师大出版社2000[2]华东师大数学系, 数学分析, 华东师大出版社2000

浅谈泰勒公式的应用 篇9

关键词：泰勒公式,行列式,微分方程

泰勒公式是微分学的基本理论, 在计算及证明问题中有很重要的应用。利用泰勒公式不仅能将一些初等函数展成幂级数, 进行函数值的近计算, 证明不等式, 求极限, 判断拐点, 证明某些积分, 而且还可以计算行列式和对某些微分方程求解, 本文主要介绍利用泰勒公式计算行列式和对某些微分方程的求解方法。

一、求行列式的值

利用泰勒公式计算行列式的主要思路:根据所求行列式的特点, 构造相应的行列式函数, 再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开, 只要求出行列式函数的各阶导数值即可。

例1、求阶行列式

解:记fn (x) =D, 按泰勒公式在Z处展开:

由 (2) 得, fx (x) =z (z-y) k-1, k=1, 2, L, n时都成立。 (3)

根据行列式求导的规则, 有

于是在处的各阶导数 (注意到公式3) 为

于是fn (x) 在x=z处的各阶导数 (注意到公式3) 为

把以上各导数代入 (1) 式中, 有

二、求某些微分方程的解

微分方程的解可能是初等函数或非初等函数, 如微分方程

y''+r (x) y'+s (x) y=0 (1) 的求解问题便是如此, 因而解这类方程我们可以设想其解y (x) 可以表示成泰勒级数的形式, 进一步, 我们可以大胆设想可以表示成更为一般的幂级数形式, 从而的出了解这类方程的一种重要方法。事实上, 若r (x) , s (x) 在某点x0的邻域D:|x-x0|

例2、解微分方程y''+xy'+y=0

解:显然r (x) =x, s (x) =1可在x0=0的邻域内展成泰勒级数, 故方程有形如

的幂级数解。将 (2) 及其导数代入原方程。得

以上我们就两个方面讨论了泰勒公式的应用, 特别是用泰勒公式求解行列式这一方法在高等代数中没有介绍过, 从而使行列式的求解又多了一种新方法, 也是用数学分析手段研究高等代数问题中作了一个初步探索, 以便为高等数学的教学起到促进作用。

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析[M].高等教育出版社, 1999.

[2]王新, 任佩文.泰勒展开式不同形式的各种应用[J].高等函授学报, 2009.

泰勒公式及其应用技巧 篇10

关键词：泰勒公式,函数,应用

泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式,也是进行数学理论研究与计算的重要的工具,但大多数的高等数学教材中,对泰勒公式应用的介绍都较少,导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧.本文将以例题的形式总结归纳泰勒公式的应用技巧,提高高等数学学习者对泰勒公式的应用能力与解题技巧.

一、泰勒(Tayloy)公式

定理1(带有佩亚诺型余项的泰勒公式)若函数f(x)在点x0处存在直至n阶导数,则在x0的邻域内有:

公式(2)也称为带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式.

定理2(带有拉格朗日型余项的泰勒公式),若函数f(x)在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在(a,b)内存在导数,则对任意给定的x,x0∈[a,b],至少存在一点ξ∈(a,b),使得:

公式(4)也称为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式.

说明:定理1中给出的带有佩亚诺型余项的泰勒公式是一种定性形式的余项,多用于计算函数极限、判断级数的敛散性等,而定理2给出的带有拉格朗日型余项的泰勒公式是定量形式的余项,主要用于函数值的计算与函数性态的研究.另外,在条件或结论中含有高阶导数时,也常利用泰勒公式来解决问题.

二、泰勒公式的应用及其技巧

(一)应用泰勒公式求函数的极限

解题技巧:利用泰勒公式求极限一般采用佩亚诺余项的麦克劳林公式,当极限为分式时,一般要求将分子分母展成同一阶的麦克劳林公式,进而通过比较求出极限.

(二)应用泰勒公式证明等式

证明令f(x)=ex由泰勒公式(4),则

当x=1时,有

以及(比上式多去一项)

(三)应用泰勒公式证明不等式

解题技巧:当所要证明的不等式是多项式与其他初等函数的混合式时,常构造辅助函数并用其泰勒公式来代替,并进行适当放缩来证明不等式.

(四)应用泰勒公式进行近似计算

例4计算e的值,使其误差不超过10-6.

解令f(x)=ex,则由泰勒公式(4)

解题技巧:利用微分进行近似计算产生的误差较大,而泰勒公式(4)用n次多项式逼近函数,并构造了一个定量形式的余项,可以较好地对逼近误差进行估计与控制.

(五)应用泰勒公式判断级数的敛散性

解令f(x)=ln(1+x),利用泰勒公式(2),

解题技巧:当级数的通项包含不同类型的函数时,常利用泰勒公式将其通项转化为统一形式,再利用级数收敛的判定方法来判别敛散性.

(六)应用泰勒公式研究方程根的唯一存在性

解题技巧:泰勒公式利用其可以在一点展开为多项式函数的优势来证明一些抽象函数的根的唯一存在性的问题.

四、结论

泰勒公式是用一个n次多项式来逼近函数f(x),而多项式具有形式简单易于计算等优点,因此泰勒公式为处理函数的若干问题提供了简便而有效的解决方案.本文通过对泰勒公式进行多方面的应用举例,弥补了高等数学教材对泰勒公式应用的不足,有助于高等数学学习者对泰勒公式的理解和灵活应用,提高学生的逻辑思维能力和创新能力.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.