圆知识点分类练习题

关键词： 练习题 知识点 分类

第一篇：圆知识点分类练习题

11 水文水井钻探工知识分类练习题

1综合水文地质图平面，镶图，剖面图三部分组成。 2钻机由回转、升降、钻进、传动、变速等机构组成。 3硬质合金钻头的结构要素有 钻头体、合金片类型数量、 切削具排列方式、镶焊角度和水口水槽数量及规格

4大口径全面钻进常用牙轮和刮刀前由软到硬后用于松软。

5八项指标钻孔直径、岩心采取整理、校对孔深、钻孔弯曲度、 简易水文观测、止水和封孔、抽水试验、原始记录和档案 6安装井管的方法可概括为卷扬机提吊、钻杆托盘法、 二次下管、钢丝绳托盘和综合下管法

7井(孔)身结构即井(孔)的技术剖面，它包括 各井段直径和井管直径、井深和歌井段深度、 虑水结构和形式、止水位置和方法等方面。

8松软冲击定深取样配合电测井，可用 刮刀钻头无岩芯钻进。

9滤水管类型骨架、桥式、缠丝、包网、角式、砾式、贴砾、塑料、 10洗井方法应根据含水层类型、地下水压力、井管、井深选择 11抽水设备应根据水文地质、井深结构钻孔类型合理选择

12台月效率完成工作量和台月数之比，台月数计入台月时间除以720 13快速扩孔的关键是：保持泥浆性能，保证钻具强度。 14止水效果的检验方法有 压力和食盐扩撒。

15油压钻机的油压操纵器总成调压溢流阀与若干 换向阀组合而成。 32. 岩石磨损与之接触的工具表面的能力叫岩石的研磨性。

33普通合金钻头钻压计算方法是钻压每颗合金压力乘以合金片数 34泵吸反循环冲洗液上返速度以2.5-3.5米秒为宜。

35器举反循环组合方式双通道水龙头、主动钻杆、双壁钻杆、 混合器、单臂钻杆、钻铤、钻头

36避雷针应高1.5引下线截面铝线 16钢质线28 与钻塔距离3，接地电阻 大于15。

37钢粒钻进向内收拢，锥面光滑一般是由于泵量太大。 38采用正循环回转粘性土和完整基岩采取率应大小70%。

39冲击钻进中硬以下的岩石钻进时，悬距值约为3～4 厘米。 40绳索取心钻具卡簧与钻头内台阶合理的间隙是(2-4毫米 。 41在强研磨性地层钻进，为减轻硬质切削具的磨损应降低转速。 42提钻后观察，钢粒钻头底唇呈锥形，锥面光滑，原因是(冲洗量过小 )。 43在三种反循环方法中，(气举 )能进行较深孔钻进。

44在易溶于水的盐岩层钻进，采用的冲洗液应该是(饱和盐水 )，

45HPAN为睛纶废丝水解而成，呈白色纤维状，分子量为(5～8万 ) 46饱和盐水泥浆在一升的泥浆中含(30～33万 )毫克

- 176井管底部如不悬空，只能发生折断、滑扣、而不能回扣。(ν ) 77岩土的容水度就是它的持水度。 (× ) 78硬质合金、钢粒、金刚石三种磨料，前者应用历史最长，者最短。 (× ) 79硬质合金钻进研磨性地层，应加大内、外出刃以抵抗磨损。 (× ) 80浅孔段纠斜，需要钻孔向右偏时，可将钻机机架左边垫高。 (× ) 81伊利石与蒙脱石晶体构造相同。 (ν ) 82钠粘土可直接造浆，而不需加纯碱予处理。 (ν ) 83钙处理泥浆的PH值越大，钙离子浓度愈小。 (ν ) 84减水剂的作用是减少水泥浆中的自由水。 (× ) 85其它条件相同时，浅孔段发生弯曲比深孔段弯曲的偏距小。 (× ) 86定向钻探可用于打辐射井，增加水井的出水量。( ν ) 87当井内下人两段以上滤水管时，钻杆拉压活塞洗井，应自下而上逐层抽洗。 (× ) 88盐水泥浆含盐<3%，化学处理以稀释为主，降失水为辅;含盐>3%时则相反。 (ν ) 89细分散泥浆钻遇盐侵，应设法沉淀钠离子。 (× ) 90粘土颗粒在水中带负电。 (ν) 91粘土改型时，纯碱加量按粘土重量的百分比计算。(ν ) 92遇孔壁坍塌、涌、漏、井喷等复杂情况，需专门治理时，应属孔内事故。 (ν ) 93通天公锥小径段磨损后，在适当位置锯短，可用于锥捞钻杆通孔及锁接头锥形母扣。 (×) 94固相含量即泥浆中固相所占重量百分比。 (× )

第二篇：最新初中圆的知识点考点总复习总结归纳《圆》章节知识点复习

《圆》章节知识点复习

圆的记忆口诀：

常把半径直径连，有弦可做弦心距，它定垂直平分弦，直圆周角立上边。

圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆，

直角相对成共弦，试试加一个辅助圆，若是证题打转轴，四点共圆可解难，

要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连

直线与圆未给点，需证半径作垂线，四边形有内切圆，对边和等是条件，

如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，圆相切做公切，两圆想交连工弦。

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内

点在圆内;

2、点在圆上

点在圆上;

3、点在圆外

点在圆外;

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离

无交点;

2、直线与圆相切

有一个交点;

3、直线与圆相交

有两个交点;

四、圆与圆的位置关系

外离(图1)

无交点

;

外切(图2)

有一个交点

;

相交(图3)

有两个交点

;

内切(图4)

有一个交点

;

内含(图5)

无交点

;

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①是直径

②

③

④

弧弧

⑤

弧弧

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙中，∵∥

∴弧弧

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①;②;

③;④

弧弧

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角

∴

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;

即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角

∴

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙中，∵是直径

或∵

∴

∴是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙中，

∵四边形是内接四边形

∴

九、切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵且过半径外端

∴是⊙的切线

(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵、是的两条切线

∴

平分

十一、圆幂定理

(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙中，∵弦、相交于点，

∴

(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙中，∵直径，

∴

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙中，∵是切线，是割线

∴

(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。

即：在⊙中，∵、是割线

∴

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：垂直平分。

即：∵⊙、⊙相交于、两点

∴垂直平分

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

(1)公切线长：中，;

(2)外公切线长：是半径之差;

内公切线长：是半径之和。

十四、弦切角定理

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

十五、圆内正多边形的计算

(1)正三角形

在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：;

(2)正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行，：

(3)正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行，.

十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：(1)弧长公式：;

(2)扇形面积公式：

：圆心角

：扇形多对应的圆的半径

：扇形弧长

：扇形面积

2、圆柱：

(1)圆柱侧面展开图

=

(2)圆柱的体积：

3、侧面展开图

(1)=

(2)圆锥的体积：

第三篇：小学圆知识点总结

第一单元

圆

一、圆的概念和性质

1、

圆是由一条曲线围成的平面图形。

(以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形)

2、

画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示;

连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示;

通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。

在同一个圆里，有无数条半径和直径。

在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。

3、

用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。

画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变;要旋转一周。

4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。(d=2r,

r

=d÷2)

5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。

6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

7、正方形里最大的圆。两者联系：边长=直径;圆的面积=78.5%正方形的面积

画法：(1)画出正方形的两条对角线;(2)以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。

8、长方形里最大的圆。两者联系：宽=直径

画法：(1)画出长方形的两条对角线;(2)以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。

9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。

二、圆的周长

10、圆围成的长度就是圆的周长。

车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。

每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数

11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……

我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.14

12、如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C

=

2πr

13、求圆的半径或直径的方法：d

=

C÷π

r

=

C÷

π÷2=

C÷2π

14、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。

C半圆=

πr+2r=5.14r

C半圆=

πd÷2+d=2.57d

15、常用的3.14的倍数：

3.14×2=6.28

3.14×3=9.42

3.14×4=12.56

3.14×5=15.7

3.14×6=18.84

3.14×7=21.98

3.14×8=25.12

3.14×9=28.26

3.14×12=37.68

3.14×14=43.96

3.14×16=50.24

3.14×18=56.52

3.14×24=75.36

3.14×25=78.5

3.14×36=113.04

3.14×49=153.86

3.14×64=200.96

3.14×81=254.34

三、圆的面积

16、圆所占(平方

)的大小就是圆的面积。

圆的面积公式：S=πr2。圆的面积是半径平方的π倍。

17、圆的面积推导：

圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等(即S长方形=S圆);

长方形的宽是圆的半径(即b=r);

长方形的长是圆周长的一半(即a=C÷2=πr)。

即：S长方形=

a

×

b

↓

↓

S圆=

πr

×

r

=

πr2

所以，S圆

=

π

r2

18、半圆的面积是圆面积的一半。S半圆=πr2÷2

四、补充

19、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数，面积的倍数=半径倍数的平方

(即r扩大n倍，直径扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大n2倍)

20、

周长相等的平面图形中，圆的面积最大;

面积相等的平面图形中，圆的周长最短。

21、求阴影部分的面积的常用方法有割补法、和差和等分法等。

22、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长(如图)

几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的周长

n

23、常用的平方数：112=121

122=144

132=169

142=196

152=225

162=256

172=289

182=324

192=361

202=400

第四篇：初中数学知识点圆总结

今天小编为大家精心整理了一篇有关初中数学圆的知识点内容，以供大家阅读，谢谢!

知识点：

一、圆

1、圆的有关性质

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。

由圆的意义可知：

圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧;小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆

l、过三点的圆

过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心

定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法

反证法的三个步骤：

①假设命题的结论不成立;

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾;

③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角

则两个钝角之和>180°

与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推理2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

六、圆的判定性质

1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4.圆是定点的距离等于定长的点的集合

5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

7.同圆或等圆的半径相等

8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

9.定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等

10.推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角

12.①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 dr

13.切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14.切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18.圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角

19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

20.①两圆外离 dR+r ②两圆外切 d=R+r

③.两圆相交 R-rr)

④.两圆内切 d=R-r(Rr) ⑤两圆内含dr)

[初中数学知识点圆总结]相关文章：

第五篇：初三数学圆知识点总结

初三数学

圆知识点总结

一、本章知识框架

二、本章重点

1.圆的定义：

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

2.判定一个点P是否在⊙O上.

设⊙O的半径为R，OP=d，则有

d>r点P在⊙O

外;

d=r点P在⊙O

上;

d

内.

3.与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.

(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角.

弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.

弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.

4.圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夹的弧相等.

5.三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三边高线的交点.

6.切线的判定、性质：

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

7.圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

8.直线和圆的位置关系：

设⊙O

半径为R，点O到直线l的距离为d.

(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R.

(3)直线l和⊙O

有两个公共点直线l和⊙O

相交d

9.圆和圆的位置关系：

设的半径为R、r(R>r)，圆心距.

(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R+r.

(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d

(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d=R+r.

(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d=R-r.

(5)有两个公共点相交R-r

10.两圆的性质：

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.

11.圆中有关计算：

圆的面积公式：，周长C=2πR.

圆心角为n°、半径为R的弧长.

圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl

，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.

【经典例题精讲】

例1

如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变?

分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律.

解：

连结OP，

P点为中点.

小结：此题运用垂径定理进行推断.

例2

下列命题正确的是(

)

A.相等的圆周角对的弧相等

B.等弧所对的弦相等

C.三点确定一个圆

D.平分弦的直径垂直于弦.

解：

A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确.

B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确.

C.三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆.

D.平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦.

故选B.

例3

四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，求∠D.

分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等.

解：

设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠D=∠A+∠C-∠B=2x.

x+2x+3x+2x=360°，

x=45°.

∴∠D=90°.

小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD=1︰2︰3，求AD的长.

例4

为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径.若测得PA=5cm，则铁环的半径是__________cm.

分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过

P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解.

解：

.

小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型.

例5

已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距.

解：分两种情况讨论：

(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴.

又∵AB=16

∴AC=8.

在中，.

在中，.

故.

(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结.

∵垂直平分AB，

∴.

又∵AB=16，

∴AC=8.

在中，.

在中，.

故.

注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题.

三、相关定理：

1.相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等)

说明：几何语言：　　若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

例1.

已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为。

解：由相交弦定理得，即，其中

2.切割线定理

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB

例2.

已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。

解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：

即

，(舍)

由切割线定理，

由勾股定理，

∴

∴

∴

四、辅助线总结

1.圆中常见的辅助线

1).作半径，利用同圆或等圆的半径相等.

2).作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明.

3).作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.

4).作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.

5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角.

6).遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角.

7).遇到切线，作过切点的半径，构造直角.

8).欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.

9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.

10).遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点.

11).遇相交两圆，常作：(1)公共弦;(2)连心线.

12).遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.

13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边.

2、圆中较特殊的辅助线

1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线.

2).将割线、相交弦补充完整.

3).作辅助圆.

例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD=DE.设AE=x，则在Rt△CEO中，，即，则，(舍去).

答案：A.

例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于(

)

A.35°

B.90°

C.110°

D.120°

分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB=2∠BAC=2×55°=110°.答案：C.

例3

如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于(

)

A.

B.

C.

D.

分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长;另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即.答案：B.

例4

如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，.

求：EM的长.

简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是.设EM=x，则AM·MB=x(7-x)，即.所以.而EM>MC，即EM=4.

例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根.

(1)求证：BE=BD;

(2)若，求∠A的度数.

简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m=-2.所以，原方程为.得.故BE=BD.

(2)由相交弦定理，得，即.而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP=∠ACB=90°.又易证∠BPD=∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，，所以，所以.在Rt△ACB中，，故∠A=60°.