特征映射

关键词： 故障 特征

特征映射（精选八篇）

特征映射 篇1

现代机械设备的故障数据往往呈现出海量、高维、非平稳性、非高斯分布和结构非线性的特征[1,2,3,4]。如何从高维非线性故障数据中,提取能反映其运行状态的低维故障特征,具有重要的理论意义和工程应用价值。

传统的非线性特征提取算法,如核主成分分析(kernel principal component analysis,KPCA)算法[5]没有考虑样本的类别信息,核判别分析(kernel discriminant analysis,KDA)算法[6]要求故障数据服从高斯分布。自组织特征映射(self organizingmaps,SOM)算法[7]计算复杂度比较高,在循环迭代寻优过程中易陷入局部极值。另外,它们大多在欧氏空间分析故障数据,不能充分挖掘蕴含在高维数据中的潜在信息。流形学习能很好地挖掘非线性数据中的潜在几何结构和内在规律,为基于数据几何结构驱动的机械故障诊断技术开辟了新思路[3,4,8,9,10,11,12]。

从机械设备获取大量有标记样本费时费力,但传统的机械故障分类,需要利用大量有标记样本训练分类器。另外,经典的流形学习算法,如拉普拉斯特征映射(Laplacian eigenmaps,LE)算法,大多是无监督的,在特征提取的过程中没有考虑样本的类别信息,不利于后续的故障模式分类。针对这些情况,本文在LE算法基础上,提出了一种基于半监督LE算法的故障诊断模型并应用于机械设备的故障识别。该模型直接运用LE算法,从原始的高维振动信号中提取反映故障数据内蕴几何结构的低维流形特征,随后将该特征输入到基于LE的半监督分类器中,从而识别机械设备的运行状态。

1 基于LE的半监督分类

给定高维空间RD的一组观测数据集X=[x1x2…xN],xi∈RD,N为观测数据集中样本总数。假设其在低维嵌入空间Rd上的映射数据集Y=[y1y2…yN],yi∈Rd,

1.1 LE算法

LE算法[13]是一种基于谱图理论的局部非线性特征提取和降维方法,其基本思想是:在高维空间中离得很近的点,投影到低维流形上也应该离得很近,即保持投影前后局部近邻关系不变。该算法利用Laplace-Beltrami算子(定义为流形切空间上梯度向量的负散度函数),将两点间的加权距离作为损失函数,通过求解图拉普拉斯算子的广义特征值来实现流形的最优嵌入。其算法流程如下:

(1)构造近邻图G。计算数据集X中所有样本点对之间的欧氏距离,根据k?近邻法,确定每个样本点的k个近邻点,如果样本点xi和xj是近邻点,那么这两个点在图G上有边连接,否则断开。

(2)构建邻接权值矩阵W=[Wij]。根据样本点对之间的近邻关系,其邻接权值定义如下:

(3)计算低维嵌入。嵌入空间的代价函数定义为

其中,L为图G的拉普拉斯矩阵,L=D-S;为对角矩阵。则式(2)可以转化为如下广义特征值分解问题,其解为Le=λDe的最小特征值对应的特征向量。因此,数据集X的低维嵌入Y由Le=λDe中的d个最小特征值对应的特征向量e1,e2,…,ed组成。

1.2 基于拉普拉斯特征映射的分类器

假设数据集X的前M个样本的类别标签为ci,其中M<N,ci∈{-1,1}(i=1,2,…,M),则在低维流形上可利用已标记的前M个样本构造基于LE的两类分类器来估计其他未标记样本的类别[14]。基于LE的两类分类器的最小化误差函数定义为

式(3)的解可表示为

其中,eji为已标记样本利用Le=λDe进行拉普拉斯特征映射后,d个最小特征值对应的特征向量。

根据式(3)、式(4)构造的分类器对未标记样本xi(i=M+1,M+2,…,N-1)进行分类,其类别标签判别如下:

机械故障诊断的实质往往为多类故障模式识别与分类的过程,因而要构造一个基于LE的多类分类器。那么,只需对每类样本分别构造1个一对多的基于LE的两类分类器,即将所有属于该类别的样本标记为正类,将不属于该类的样本标记为负类,然后根据式(3)、式(4)对该类样本构造基于LE的两类分类器。对于C分类问题,需分别构造C个一对多的基于LE的两类分类器。最后,对每个未标记样本分别计算C个基于LE的两类分类器的决策函数值,并选择最大决策函数值所对应的类别为该未标记样本的类别。

2 基于半监督LE算法的故障诊断模型

如图1所示,本文提出的基于半监督LE算法的故障诊断模型的基本思想是:根据机械设备不同类型的故障样本在高维空间中呈现出的不同流形拓扑结构,采用LE算法,直接学习机械设备的原始高维故障信息,提取故障数据的潜在低维流形特征。随后,将该低维特征输入到基于LE的半监督分类器中,利用大量廉价的未标记故障样本学习出故障数据的潜在流形结构。然后通过少量昂贵的有标记故障样本学习出整个流形上的类别信息,从而识别机械设备的工作状态和故障类型。该算法的故障诊断过程如下:

(1)数据采集。从故障设备上采集多种运行状态下的振动信号,采用最小值-最大值标准化法对信号进行归一化预处理后,得到一个由原始振动时间序列构建的高维模式空间。

(2)运用LE算法提取低维流形特征。采用LE算法直接对高维模式空间中的故障样本进行流形学习,挖掘原始高维振动信号中的潜在几何结构,提取反映故障本质的低维流形特征,并将原始高维样本映射到一个低维的特征空间。

(3)故障分类。将特征空间中的低维流形特征分成两部分,将将有标记的特征作为训练样本(有标记样本),将未标记的特征作为测试样本(未标记样本)。依据少量昂贵的有标记样本训练出基于LE的半监督分类器,从而构造一个类别空间,并将大量廉价的未标记样本输入该类别空间进行故障分类,找出故障原因。

本模型由于采用LE算法,因而选择合适的嵌入维数d和近邻点数k,对低维流形的构建和最终的故障诊断精度至关重要。根据文献[15,16]]的研究结果,本文最优的嵌入维数d=C-1,并根据最高的故障识别精度来选取最优的近邻点数k。

3 故障诊断实验

滚动轴承和齿轮广泛应用于支撑国民经济的现代机械设备中,其运行状态往往直接影响到整台机器的可靠性。因此,实验采用美国Case Western Reserve University电气工程实验室的滚动轴承故障数据[17]和布鲁塞尔自由大学的齿轮箱试验数据[18]来验证本文提出方法的有效性。同时,将其与经典的模式识别方法,如KPCA+KNN算法、KDA+KNN算法以及LE+KNN算法进行了比较。这3种经典的模式识别算法的故障诊断过程为:分别采用KPCA算法、KDA算法或者LE算法,从原始的高维振动信号中提取低维故障特征后,再采用K近邻(K-nearest neighbor,KNN)分类器进行故障模式分类。通过五折交叉验证,分别确定KPCA算法和KDA算法对应的最佳核(本文全部选用RBF核函数)宽度σ。

3.1 滚动轴承故障识别

滚动轴承实验台由1个1491.4W的三相电动机、1个扭矩传感器和1个加载电机组成。待测试的滚动轴承(型号为6205-2RS JEM SKF)安装在电动机的驱动端,加速度传感器粘贴于电动机驱动端正上方的机壳上。故障轴承的振动数据由一个16通道的数据记录仪(采样率为12kHz)获取。模拟了滚动轴承的4种故障状态:①正常运行状态(转速为1797r/min,工作载荷为0);②内圈严重故障(转速为1772r/min,工作载荷为745.7W);③滚动体严重故障(转速为1750r/min,工作载荷为1491.4W);④外圈严重故障(转速为1730r/min,工作载荷为2237.1W)。后3种故障状态的损伤直径均为0.54mm。分别采集这4种故障状态的振动信号后,每种状态选取100个故障样本,每个故障样本均包含1024个采样点,从而构建了一个1024维的模式空间,得到N×D=(4×100)×1024的高维故障样本矩阵。根据第2章的方法,确定LE算法对应的嵌入维数d=3。

原始高维振动数据的低维可视化表示,有助于直观地识别故障设备的运行状态。因此,当有标记样本数目为10时,采用LE算法(近邻点数k=5)直接对由原始振动信号构建的1024维故障样本提取低维流形特征,并与KPCA算法和KDA算法(核宽度σ分别为10和3)进行比较,图2所示为90个未标记样本的前两个主分量(原始高维样本提取低维特征后所得到的前两个低维特征)对应的可视化结果。如图2所示,因为滚动体故障和正常状态这两类样本的聚类性太差,因此KPCA算法不能完全区分这四类故障;虽然KDA特征有很好的聚类效果,但滚动体故障和正常状态这两类样本的分界面不太清晰;相比而言,LE特征表现出较好的分离性能和聚类效果,能更好地表达和区分轴承的故障状态。

为了进一步验证基于半监督LE算法的智能诊断模型的有效性,考察了不同数目的未标记样本对其故障识别性能的影响,每类未标记样本数目以步长为10,在区间[10,90]递增变化,相应的剩余样本为有标记样本。不同数目的未标记故障样本在4种算法下对应的故障识别精度见图3,其对应的参数设置见表1。从图3可以看出,当每类未标记样本数目不超过70时,KDA+KNN算法的故障识别性能要优于KPCA+KNN算法。虽然每类未标记样本数目不超过40时,KPCA+KNN算法的故障识别性能比较接近本文提出的方法,但是每类未标记样本数目为90时,其故障识别精度不到60%。尽管LE+KNN算法的故障识别精度要高于前面两种算法,但每类未标记样本数目为90时,其故障识别率要略低于95%。另外,这3种经典的模式识别算法的故障识别精度,基本上都是随着未标记样本数目的增加而降低。相比之下,本文提出的方法比较稳定,对于不同数目的未标记样本,一直保持100%的分类精度。可见,基于全局结构的KPCA算法和KDA算法都不能很好挖掘故障轴承的潜在信息;基于局部结构保持特性的LE算法虽能很好地从故障轴承的高维振动信号中提取最具代表性的低维流形特征,然而基于监督分类的KNN分类器仅利用了少量标记样本,容易引起过拟合,降低分类精度;本文提出的基于半监督LE算法的故障诊断模型,不仅能很好地从故障轴承的高维振动信号中挖掘低维流形的潜在几何分布规律,而且大量未标记样本有助于少量标记样本学习出整个流形上的类别信息,因而该模型具有更好的分类能力。

3.2 齿轮故障识别

实验采用齿数比为41∶37、模数为5mm的低碳钢斜齿轮副,齿轮箱信号采集装置如图4所示。待测试对象为41齿的斜齿轮,其输入扭矩为80N·m,齿轮轴转频为10Hz,其振动加速度信号由垂直固定在箱体外轴承座上的压电式加速度传感器拾取,采样频率为10kHz。实验模拟了该齿轮的3种故障状态(正常状态、齿面点蚀、齿面磨损)。分别采集这3种故障状态的振动信号后,每种状态选取35个故障样本,每个故障样本均包含1024个采样点,从而构建了一个1024维的模式空间,得到N×D=(3×35)×1024的高维故障样本矩阵。根据第2章的方法,确定LE算法对应的嵌入维数d=2。

当有标记样本数目为5时,分别采用LE算法(近邻点数k=5)、KPCA算法和KDA算法(核宽度σ分别为1和8)进行特征提取,30个未标记样本的低维可视化结果如图5所示,可知LE特征的3类故障样本分别聚集于一点,并具有清晰的分类边界。相比而言,KPCA特征和KDA特征的聚类性太差,3类故障样本之间存在交叉区域,因而它们完全不能分辨出3类故障。每类未标记样本数目为30时,不同数目的有标记故障样本在4种算法下对应的故障识别精度及其对应的参数设置见表2。随着有标记样本数目的增加,4种算法的故障识别率都不断提高。然而,对于不同数目的有标记样本,基于全局结构的KDA+KNN算法和KPCA+KNN算法的故障识别精度均远低于其余两种基于局部流形结构保持的算法。另外,当有标记样本数目相同时,基于半监督LE算法的故障识别率均高于LE+KNN算法,可见,半监督学习的引入,提高了LE算法的故障识别精度。因此,相对其他3种算法而言,本文提出的方法能提高齿轮的故障诊断性能。

4 结语

本文在LE算法基础上,提出一种基于半监督LE算法的故障诊断模型。该模型采用LE算法,直接从原始高维故障信号构成的观测样本空间中,提取反映故障数据内蕴几何结构的低维流形特征,并将其输入到基于LE算法的半监督分类器中进行故障模式分类,从而获取整个流形上的类别信息。轴承和齿轮箱故障诊断实验验证了该模型的有效性和优越性。实验结果表明,与KPCA算法和KDA算法相比,LE算法表现出较好的分离性能和聚类效果。与KPCA+KNN算法、KDA+KNN算法以及LE+KNN算法比较,本文提出的基于LE算法的故障诊断模型大大提高了轴承和齿轮箱的故障分类精度。因此,与传统方法相比,本文提出的基于半监督LE算法的故障诊断模型,能更好地表征机械设备的运行状态,并明显提高它们的故障识别性能。

摘要：针对有标记故障样本不足和故障数据高维非线性的问题,提出了基于半监督拉普拉斯特征映射(LE)算法的故障诊断模型。该模型运用LE算法,直接从原始高维振动信号中提取低维流形特征,并将其输入到基于LE的半监督分类器,从而识别出机械设备的运行状态。与传统方法相比,该模型能明显提高滚动轴承和齿轮的故障识别性能。

特征映射 篇2

1.关联映射

概念：关联映射，就是将关联关系映射到数据库中，所谓的关联关系，在对象模型中，就是一个或多个引用

分类：

(1)多对一关联映射

many-to-one

多对一关联映射原理：在多的一端加入一个外键，指向一的一端

在多的一端采用如下标签映射：

(2)一对一关联映射

one-to-one

A主键关联：即让两个对象具有相同的主键值，以表明它们之间的一一对应的关系;数据库表不会有额外的字段来维护它们之间的关系，仅通过表的主键来关联

示例1:

hibernate一对一主键关联映射(单向关联Person--->IdCard)

一对一关联映射原理：让两个实体的主键一样，这样就不需要加入多余的字段了(扩展性不好)

idCard

示例2:

hibernate一对一主键关联映射(双向关联Person<--->IdCard)

需要在IdCard加入标签，

指示hibernate将关联对象Person根据主键加载上来

不影响存储，只影响加载

标签fetch属性默认为”join“.

B唯一外键关联：外键关联，本来是用于多对一的配置，但是如果加上唯一的限制之后，也可以用来表示一对一关联关系

示例1:

hibernate一对一唯一外键关联映射(单向关联Person--->IdCard)

一对一唯一外键关联映射，其实是多对一的特例

采用标签来映射，指定多的一端unique为true,

这样就限制了多的一端的多重性为一，就是这样来映射的，

示例2:

hibernate一对一唯一外键关联映射(双向关联Person<--->IdCard)

一对一唯一外键关联双向，采用标签映射，

必须指定标签中的property-ref属性为关系字段的名称

(3)一对多关联映射

one-to-many

示例1:

hibernate一对多关联映射(单向Classes--->Student)

一对多和多对一的映射原理是一样的，都是在多的一端加入一个外键指向一的一端

它们的区别在于维护的关系不同：

*多对一维护的关系：多指向一的关系，如果维护了多指向一的关系，那么加载多的时候会把一加载上来

*一对多维护的关系：一指向多的关系，如果维护了一指向多的关系，那么加载一的时候会把多加载上来

在一的一端维护关系存在缺陷：

*因为多的一端Student不知道Classes的存在(也就是Student没有维护与Classes的关系)

所以在保存Student的时候关系字段classesId是为null的，如果将该字段设置为非空，则将无法保存数据

*另外因为Student不维护关系，而Classes维护关系，Classes就会发出多余的update语句，保证Classes和Student有关系，这样加载Classes的时候才能把该Classes对应的学生集合加载上

--会发出多余的update语句来维持关系

示例2:

hibernate一对多关联映射(双向Classes<--->Student)

采用一对多双向关联映射的目的主要是为了解决一对多单向关联的缺陷

而不是需求驱动的

一对多双向关联的映射方式：

*在一的一端的集合上采用标签，在多的一端加入一个外键

*在多的一端采用标签

!!!注意：

标签和标签加入的字段保持一致，否则会产生数据混乱

(4)多对多关联映射

many-to-many

示例1:

hibernate多对多关联映射(单向User--->Role)

具体映射：

把第三张表也抽取出一个类出来，使用两个many-to-one来完成

示例2:

hibernate多对多关联映射(双向User<--->Role)

具体映射：

需要注意：

*生成的中间表名称必须一样

特征映射 篇3

关键词：自组织特征映射,人工神经网络,聚类,拓扑结构

0 引言

由于人工神经网络可以处理那些难以用传统数学模型描述的系统, 可以逼近任何非线性的特性, 具有很强的自适应、自学习、联想记忆、高度容错和并行处理能力, 故近些年来, 人工神经网络用于模式分类成为当今的一个研究热点问题。自组织特征映射 (Self-organizing Feature Mapping, SOFM) 神经网络能够根据学习获得的知识经验对复杂问题进行合理的判断决策, 它采用无监督的人计算方法, 在对样本数据进行聚类的同时, 具有保持拓扑有序性和特征提取的性能, 特别适合于解决聚类问题[1,2]。本文将SOFM神经网络应用于二维随机向量的聚类分析中, 基于MATLAB7.0平台, 构建了SOFM神经网络, 测试了不同网络拓扑结构对于聚类结果的影响, 并给出了在不同的训练步数条件下, 所建SOFM模型的权值向量的调整过程及其聚类效果。

1 SOFM神经网络的结构

自组织过程是指学习的结果总是使聚类区内各神经元的权重向量保持向输入向量逼近的趋势, 从而使具有相近特性的输入向量聚集在一起[3]。SOFM神经网络由输入层和竞争层组成, 输入层接收样本, 竞争层对样本进行分类, 这两层的神经元进行完全相互连接, 竞争层的神经元按二维形式排列成一个节点矩阵, 一般输入层节点数等于能够代表分类问题模式的维数, 输出节点数根据具体问题来决定[4,5]。特征映射可以看成是信息从n维的输入模式空间向二维输出特征平面的非线性投影。

2 SOFM神经网络的算法

自组织特征映射算法是一种无教师的聚类方法, 与传统的模式聚类方法相比, 它所形成的聚类中心能映射到一个曲面或平面上, 而保持拓扑结构不变。SOFM神经网络的算法迭代过程如下[6,7,8]。

①初始化。对N个输入神经元到输出神经元的链接权值赋予较小的权值, 选取输出神经元j个邻接神经元的集合Sj。其中, Sj (0) 表示t=0时的神经元j的邻接神经元的集合, Sj (t) 表示t时刻的神经元j的邻接神经元的集合。区域Sj (t) 随时间的不断延长而减小。

②提供新的输入模式X。

③计算欧式距离dj, 如式 (1) 所示, 并计算出一个具有最小距离的神经元j*, 即确定某个神经元k, 使得对于任意的j都有。

④给出一个周围的邻域Sk (t) 。

⑤按照式 (2) 所示修正输出神经元j*及其邻接神经元的权值。

其中, η (t) 为增益项, 它随时间变化逐渐趋于0, 一般取

⑥计算输出Ok。

式 (3) 中f (·) 一般为0-1函数或其他非线性函数。

⑦提供新的学习样本来重复上述学习过程。

3 仿真实验及结果分析

通过一个实例来说明SOFM神经网络在聚类中的应用。利用SOFM神经网络对输入二维向量进行聚类分析。具体实验过程如下:①基于MATLAB7.0平台编程建立SOFM网络模型。②随机生成1000个二维向量作为样本, 并对这些输入向量聚类, 待聚类向量分布如图1所示。③测试在输出层神经元节点形式为六边型的条件下, 不同输出层神经元的拓扑结构对于SOFM网络模型聚类效果的影响。④测试在相同的输出层神经元的拓扑结构条件下, 不同训练步数对SOFM神经网络聚类结果的影响, 并绘制相应的权值分布。

3.1 拓扑结构对SOFM神经网络聚类结果的影响

为了探究不同拓扑结构对于SOFM神经网络聚类结果的影响, 本文在建立SOFM网络时, 输出层神经元分别采用2×2、3×4、5×5、15×15的六边型拓扑结构, 并对4种结构的SOFM网络模型进行训练。4种拓扑结构的SOFM网络的聚类结果如图2-5所示。由图2-5可以看出, SOFM神经网络的聚类误差随着训练步数的增加呈现下降趋势, 相比之下, 输出节点为15×15的六边型拓扑结构时, SOFM神经网络的聚类准确率明显优于2×2、3×4、5×5拓扑结构的SOFM神经网络, 由此可以得出结论, SOFM神经网络采用不同的拓扑结构可以得到不同的聚类结果, 输出层神经元的个数越多, 划分的聚类类别就越细致且越接近样本向量的实际分布, 聚类结果也就越准确。

3.2 训练步数对SOFM神经网络的聚类结果的影响

为了研究训练步数对SOFM神经网络的聚类结果的影响, 考虑到上文所提及的不同拓扑结构对SOFM神经网络聚类结果的影响, 将输出层神经元都取为225, 且输出节点拓扑结构都设为15×15的条件下, 以所有的输入向量作为训练样本, 利用训练函数train和仿真函数sim对网络进行训练和仿真。由于训练步数影响网络的聚类性能, 所以文中设置epochs=10, 50, 100, 200, 分别观察其聚类性能。利用plotsompos函数画出在不同的训练步数条件下, SOFM神经网络的特征映射图。SOFM神经网络的权值分布如图6-9所示。由图6-9可以看出, SOFM神经网络的学习就是使权值向量的方向朝着输入模式向量的方向进行调整, 使各个权向量分别向各个聚类模式群的中心位置靠拢。同时, 使网络权向量几何点的排列与竞争层各神经元的自然排列基本一致, 即拓扑结构基本一致, 从图6-9的权值的调整过程来看, 调整的目标是使网络权向量几何点的排列与竞争层各神经元的拓扑结构基本一致, 即15×15六边型结构。

仿真实验表明, 当epochs=10, 50, 100时, SOFM神经网络的聚类结果与样本向量的实际分布不相符和;当epochs大于200时, 网络权值的分布就不再发生明显改变, 如果再提高训练步数, 就没有实际意义了。最终网络权值的分布如图9所示, 输出节点拓扑结构为15×15的SOFM神经网络的聚类命中率如图10所示, 可见本文所构建的SOFM神经网络聚类模型成功地将图1中的样本数据分为225类, 聚类结果与实际二维向量的分布是完全吻合的。

4 结束语

本文利用所建立的SOFM网络聚类模型对随机产生的二维向量进行聚类分析, SOFM网络聚类模型在聚类分析时, 只需要为网络提供一些学习样本, 而不需要提供理想的输出, 网络即可根据输入样本进行自组织学习, 并将样本划分到相应的模式类中。由于并不需要提供理想输出样本, 这使得SOFM网络聚类模型的建立过程大为简化。仿真结果表明, 在输出层神经元节点形式为六边型条件下, SOFM神经网络采用不同的拓扑结构对于聚类结果产生影响很大, 输出层神经元的个数越多, 划分的聚类类别就越细致, 聚类结果就越准确。在相同的输出层神经元的拓扑结构条件下, 一般来讲, 训练步数越大, SOFM网络聚类结果越准确, 但过大的训练步数对于聚类结果的影响甚微, 最终导致训练时间冗长, 所以在建立的SOFM网络聚类模型时应充分考虑样本集数量和预聚类数量。

参考文献

[1]Ding Shuo, Chang Xiao-heng, Wu Qing-hui.Approximation Performance of BP Neural Networks Improved by Heuristic Approach[J].Applied Mechanics and Materials, 2013:411-414, 1952-1955.

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[7]Ding Shuo, Chang Xiao-heng, Wu Qing-hui.Pattern Classification Based on Self-organizing Feature Mapping Neural Network[J].Applied Mechanics and Materials, 2014, 448-453:3645-3649.

高一数学映射课件 篇4

【学习导航】

知识网络

映射

学习要求

1、了解映射的概念,能够判定一些简单的对应是不是映射。

2、通过对映射特殊化的分析,揭示出映射与函数之间的内在联系。

自学评价

1、对应是两个集合元素之间的一种关系,对应关系可用图示或文字描述来表示。

2、一般地设A、B两个集合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作:f:A→B

3、由映射的概念可以看出,映射是函数概念的推广,特殊在函数概念中,A、B为两个非空数集。

【精典范例】

一、判断对应是否为映射

例1、下列集合M到P的对应f是映射的是( )

A.M={-2,0,2},P={-1,0,4},f:M中数的平方

B.M={0,1},P={-1,0,1},f:M中数的平方根

C.M=Z,P=Q,f:M中数的倒数。

D.M=R,P=R+,f:M中数的平方

【解】:

判定对应f:A→B是否是映射,关键是看是否符合映射的定义,即集合A中的每一个元素在B中是否有象且唯一,若不是映射只要举一反例即可。

答案:选择A

二、映射概念的应用

例2、已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B是从A到B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中的元素 在B中的象和B中元素( , )在A中的原象。

思维分析:将x= 代入对应关系,可求出其在B中对应元素,( , )在A中对应的`元素可通过列方程组解出。

【解】:

将x= 代入对应关系,可求出其在B中的对应元素( +1,3). 可通过列方程组也可求出( , )在A中对应的元素为

三、映射与函数的关系

例3、给出下列四个对应的关系

①A=N*,B=Z,f:x→y=2x-3;

②A={1,2,3,4,5,6},B={y|y∈N*,y≤5},f:x→y=|x-1|;

③A={x|x≥2},B={y|y=x2-4x+3},f:x→y=x-3;

④A=N,B={y∈N*|y=2x-1,x∈N*},f:x→y=2x-1。

上述四个对应中是函数的有( )

A.① B.①③ C.②③ D.③④

思维分析:判断两个集合之间的对应是否构成函数,首先应判断能否构成映射,且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应。

【解】:

①中,对x∈A,在f作用下,在B中都有唯一的象,因此能构成映射.由于A、B均为非空数集,因而能构成函数;②中,当x=1时,y=0 B,即集合A中的元素1在集合B中无象,因而不能构成映射,从而也不能构成函数;④中,当x=0时,y=-1 B,即0在B中无象,因而不能构成映射,也就不能构成函数;③中的两个对应符合映射的定义,且两个集合均为非空数集,因而能构成函数。

答案:B

【选修延伸】

求映射的个数问题

例4、已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f: A→B的个数。

思维分析:可让A中元素在f下对应B中的一个、两个或三个元素,并且满足f(a)+f(b)=f(c),需分类讨论。

【解】:(1)当A中三个元素都是对应0时,则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有1个映射。

(2)当A中三个元素对应B中两个时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,分别为1+0=0,0+1=0,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.

(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有两个映射,分别为(-1)+1=0,1+(-1)=0.

因此满足题设条件的映射有7个。

追踪训练

1、下列对应是A到B上的映射的是( )

A.A=N*,B=N*,f:x→|x-3|

B.A=N*,B={-1,1, -2},f:x→(-1)x

C.A=Z,B=Q,f:x→

D.A=N*,B=R,f:x→x的平方根

答案:B

2、设f:A→B是集合A到B的映射,下列命题中是真命题的是( )

A.A中不同元素必有不同的象

B.B中每一个元素在A中必有原象

C.A中每一个元素在B中必有象

D.B中每一个元素在A中的原象唯一

答案:C

3、已知映射f: A→B,下面命题:

(1)A中的每一个元素在B中有且仅有一个象;

(2)A中不同的元素在B中的象必不相同;

(3)B中的元素在A中都有原象

(4)B中的元素在A中可以有两个以上的原象也可以没有原象。

假命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

4、已知映射f: A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象,且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是( )

A.4 B.5 C.6 D.7

答案:A

5、若f:y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射,该映射满足B中任何一个元素均有原象,求自然数a、k及集合A、B.

特征映射 篇5

滚动轴承是旋转机械中最常用也是最易损坏的零部件。据统计,旋转机械中30%的故障是由轴承缺陷引起的。因此,对滚动轴承进行工况监测和故障诊断是非常必要的。然而在工程实际应用中,轴承的运行状态是动态变化的,尤其在设备故障突发期间,机械系统的驱动力、阻尼力及弹性力等动力学参数呈现非线性变化,往往会导致所观测的振动信号表现出较强的非平稳特性。

局部均值分解(local mean decomposition,LMD)方法是一种自适应时频分析方法,通过自适应的信号分解和降噪能力兼顾了信号在时域和频域的局部化特征和全貌。相比线性时频分析、双线性时频分析及参数化时频分析方法[1],LMD可解决固定类型基函数可能会产生虚假的时频信息问题、多参数优化导致计算量大问题及Heisenberg原理在时频域的限制性问题,在轴承故障信号处理中应用广泛。文献[2,3,4,5,6,7]应用LMD处理轴承振动信号,取得了较好的应用效果;文献[8-11]分别将LMD与非局部均值去噪、双树复小波降噪、奇异值差分谱、改进形态滤波法结合,实现了振动信号及分量的降噪处理;文献[12,13,14,15]分别利用马氏距离、灰色相似关联度、变量预测模型、隐马尔可夫模型等故障分类方法实现了基于LMD的轴承故障分类。

然而,在信号分量中提取的丰富信号特征集往往存在着大量冗余信息和相关信息,反而会彼此干扰并产生模式混淆,在很大程度上影响故障模式识别的效果。因此,有必要对冗余信号特征集进行维数优化处理以实现数据降噪。但现有基于LMD的轴承故障诊断方法并未对高维特征矩阵进行优化处理,故本文进一步提出了融合LMD与拉普拉斯特征映射(Laplacian eigenmap,LE)算法的轴承故障诊断方法,将局部均值分解的特征集合作为LE算法的高维特征输入,完成高维特征集的准确提取,最终实现不同故障程度、不同故障类型的轴承故障分类。

1 基于LMD的非平稳信号分解

近年来,众多学者提出了一些结合复杂信号自身特点的自适应分解时频分析方法,其中应用最为广泛的是经验模态分解(empirical model decomposition,EMD)。LMD是由EMD方法原理发展而来的,可以有效解决EMD有可能产生的物理意义无法解释的瞬时频率问题,避免EMD的过包络和欠包络问题,成为现有自适应时频分析方法的研究热点。对于任意检测信号x(t),其LMD算法步骤如下。

首先,令中间变量ui(t)=x(t),找出振动信号x(t)的极值点ni,j(k),分别计算出振动信号的局部均值与局部幅值,并对散点连线进行平滑处理,获得平滑曲线

其次,由计算中间变量hi,j(t)与纯调频信号si,j(t),若si,j(t)的包络不为1,则令ui(t)=si,j(t),直至。即

然后,分别计算瞬时幅值ai(t)、瞬时频率fi(t)及信号分量PFi(t),并获得新的信号ui(t)=x(t)-PFi(t),若ui(t)不是单调函数,则将ui(t)作为新的信号重复上述步骤,直至ui(t)满足单调函数条件。即

最终,LMD通过三重循环将x(t)分解为一系列PFi(t)分量与余项ui(t)的和,将非平稳信号的特征提取问题转换为平稳分量的特征提取问题。即

2 基于LE的故障特征集维数优化

现有的高维数据降维方法可分为线性降维方法、基于核函数的非线性降维方法以及基于特征值的非线性降维方法,其代表性方法分别为主元分析(principle component analysis,PCA)法、核主元分析(kernel principle component analysis,KPCA)法及LE算法。研究表明LE算法适用于设备工况特征的高维数据的非线性特征挖掘和降维,并取得了良好的去冗余效果[[16,17,18,19]。

根据图谱理论,如果数据均匀采样自高维空间中的低维流形,流形上的拉式算子可以由图上的Laplacian逼近,而图上最前面的几个特征向量就是流形上L-B算子特征函数的离散逼近,最终实现高维流形的最优嵌入。若第i个节点xi和第j个节点xj之间有边连接,由热核法确定边的权值为

构建拉普拉斯特征矩阵L=D-W,假设构建的近对邻图是连通的,那么寻找低维嵌入的问题就归结为对广义特征向量问题的求解:

其中,D为对角权值矩阵,其元素。L经过特征分解后得到的最小d+1个特征值所对应的特征向量p1,p2,…,pd+1即构成低维嵌入坐标T=[p1p2…pd+1]T,其中维数优化目标维数由故障类型数确定[20?21]。

可见,LE算法通过对矩阵特征值和特征向量的求解实现了特征集的降维和特征提取,不需要进行迭代运算,减小了计算量,缩短了算法运行时间。为有效实现高维轴承故障特征集的维数优化,获得故障特征的精确描述,本文采用LE算法进行轴承故障冗余特征集处理,通过对高维非线性数据进行降维,从高维非线性数据中找出隐藏在高维观测空间数据中的低维结构表示,揭示数据的内在流形分布。

3 LMD与LE融合算法

如图1所示,基于LMD和LE的轴承故障诊断方法步骤如下:

(1)根据LMD算法对多样本轴承故障信号x(t)进行LMD分解。获得信号分量曲线PFi、瞬时幅值曲线a及瞬时频率曲线f。依据峭度最大原则选择PF1作为故障特征频带[22],分别提取PF1曲线的波形指标、裕度指标、峭度指标、脉冲指标、峰值指标共5个时域特征及PF1、a1、f1曲线的均方根值、绝对平均值、方根幅值、峭度、偏斜度、峰-峰值共6个线型特征,构成23维故障特征集X。

(2)根据LE算法对特征集X进行维数优化。将23维故障特征集作为LE算法的高维特征输入,选用K近邻域(KNN)法构建近邻图G,计算高维矩阵X映射到低维空间的权重矩阵W及拉普拉斯特征矩阵L的特征向量构成的低维坐标矩阵T。

(3)通过SVM分类模型完成轴承故障样本的分类识别。将特征映射矩阵T作为轴承故障样本特征参数,由多类故障数据集构成SVM模型的训练样本及测试样本,通过模型参数的交叉验证寻优完善SVM模型,实现多类轴承故障的分类识别。

4 SKF6205-2RS轴承故障实验

SKF6205-2RS型滚动轴承实验中采用的数据均来自美国凯斯西储大学电气实验室的轴承故障数据库。电机负载约1470 W,转速为1750r/min,采样频率为12kHz,其传感器位置为驱动端的轴承座上垂直位置。损伤程度a、b、c分别代表0.178mm、0.356mm、0.533mm,轴承故障A、B、C、D分别代表正常状态及不同损伤程度下故障、滚动体故障、内圈故障、外圈故障,建立故障数据库:

其中,M.n表示n损伤程度下的M类故障数据,具体故障样本分组见表1。

在本实验中,以轴承转一圈所采集的数据点数的两倍作为确定样本长度的参考[23],则轴承正常及各种故障状态下的数据采样长度N=1000,样本数为100。图2~图4所示分别为轴承滚动体故障、内圈故障及外圈故障数据经LMD获得的PF1、a1、f1曲线。提取轴承每组故障信号的100个样本构成100×23维故障数据集,作为降维算法的高维特征集输入。

分别采用PCA、KPCA及LE算法对轴承状态特征矩阵进行维数优化处理,选取优化目标维数为3。图5~图10所示分别为故障集1~故障集6的LMD特征降维效果。

由图5~图10对比发现,三种方法都成功分离出正常样本数据,但对其余三类样本的聚类效果并不相同:PCA方法处理使得不同工况样本类内距最小,有效实现了同类样本的聚集,但类间距最小,无法区分出不同类别故障样本,样本聚类可视化效果差;KPCA方法相比PCA方法,扩大了类间距,不同类样本的分离效果略有提高,但是不同类别样本重合度高,使得样本聚类效果变差,增加了轴承故障诊断的复杂度;LE方法相比前两种方法,类间距明显增大,样本点虽有重合但样本聚类效果最强,故障特征更具有代表性,有利于轴承故障类型的诊断识别。

可见,基于特征的LE降维方法对不同类型样本的类间距最大,分类识别效果优于线性降维及基于核函数的降维方法。故本文选取LE算法对LMD特征集进行维数优化,去除特征向量间的冗余性,降低轴承故障分类识别的复杂度。

为量化LMD-LE方法的特征提取效果,本文结合支持向量机(SVM)作为故障类型的分类识别工具。取每类故障的前50组样本作为训练矩阵,并对后50组样本作为测试样本进行类型预测,测试样本正确识别率见表2。可见7组故障集的测试样本识别正确率平均达到91.17%:故障集1~故障集3代表同一故障程度下的滚动体、内圈、外圈故障,其测试样本识别正确率达到92%以上,说明本文方法对不同类轴承故障特征提取效果明显;故障集4~故障集6代表不同故障程度下同一类故障,其测试样本识别正确率略低于不同类故障的识别率,测试样本的故障类型与预测结果基本吻合;故障集7属于不同故障程度、不同故障类型下的复杂多类别故障分类问题,在分类正确率上低于前6组故障集。图11为第7组故障集的测试样本类型预测图,错误分类样本均匀分布在多个故障样本中,属于全局性问题,或由信号噪声、算法误差造成,但分类正确率仍达到85%以上,基本实现了复杂故障样本的分类。

5 结论

(1)LE方法在去除故障特征集合的冗余性方面具有明显优势。

汉英翻译中的认知映射和还原映射 篇6

二十世纪七十年代末和八十年代，许多语言学家认识到生成语法研究范围的局限性，开始从认知的角度来研究语言现象(王德春、张辉，2001)。这是因为人类语言离不开人的具体经验感知，人体中的生理机制和认知机制会参与到语言的构成和表述之中。认知语言学家认为语言能力是一般认知能力的反映，并由一般的神经过程所控制。根据这一观点，各种认知之间是一个连续体，而语言不是人的心灵和大脑中独立的“模块”。认知语言学家认为，在各种认知能力中，一个主要的和普遍的认知能力是想象(imagination)，即把一些概念投射到另一些概念中去(王德春、张辉，2001)。

映射(mapping)原本是一个数学概念，指两个矩阵中子集之间的对应关系。认知语言学借此概念喻指人类独有的、对不同认知域之间意义的产生、转移和处理的认知能力。它一方面为产生意义和推理的各种现象勾勒出总的过程与原则，另一方面为我们洞察不可直接触及的认知域组织结构提供手段(王斌，2001)。只要人们思考或交谈，认知域间的映射关系即产生。下面笔者通过举例说明汉英翻译过程中原认知域与目的域的认知映射关系。

2. 汉英翻译中的认知映射

在翻译过程中，不仅会涉及词与词、句与句等这些语言单位之间的转换，而且会涉及认知模式(cognitive model)之间的认知心理单位的转换。并且，认知模式是语言单位转换的心理理据，也是基本的语言心理运作方式。在认知模式中，一般由源认知域(source domain)和目的认知域(target domain)组成，而两个认知域则分别由各自的认知价元(valence)组成。由于认知模式的形成依赖于心理经验，不同语言的认知体系就会根据各自民族的认知心理经验而有所差异。在翻译中，很多翻译的方式、结果都是把两种语言的认知模式作为依据的。所以，从认知心理上挖掘翻译的心理理据可以帮助我们从更深的层次上认识翻译的过程。

由于译出语和译入语各自包含的认知模式不尽相同，其中的相同与差异会在语际的转换过程中体现出来，因此，翻译过程就是在译入语中为被转换单位寻找认知心理理据的过程。认知模式在翻译过程中的源认知域和目的认知域之间的映射关系也会相应地发生变换。

2.1 认知模式中的等价映射

在此类映射中，原文中的认知模式所包含的源认知域和目的认知域及其映射和被映射关系没有改变，被原原本本地移植到译文中，译出语和译入语的认知模式中的价元在转换过程中既没有多也没有少，又没有受到置换。如：

(1)原文：只要你嫁过来，鸡鸭鱼肉金银财宝，享用不尽。

译文：If you marry me, you can enjoy all the luxuries.

在这里，由于译出语和译入语都存在着相类似的意象图式(image schema)(赵艳芳，2001)，它们对在事物之间的基本关系的认知基础上建立的认知结构，以及联系抽象关系和具体意象的组织结构上是可以互相通约的，都能用“luxuries”表示“富贵”、“财富”等含义，因此在译文中就把源概念域“鸡鸭鱼肉金银财宝”直译出来对应于其目的概念域“luxuries”，在译出语和译入语中保持一致，没有进行改动。源概念域的配价图式中的价元被直接而完整地移植到了译入语中。

2.2 认知模式中的附加映射

在认知模式的等价映射过程中，既然原文和译文在认知模式上可以通约，那么为了维持原文的认知经验，译文就没有增加或者减少原有的认知价元。从经验主义的认知心理学来看，认知图式的形成取决于人的两个层面的感知经验，对应于两种认知范畴体系，即基本范畴(basic-level categories)和意象图式(image schema)(赵艳芳，2001)。英语和汉语在这两个认知范畴体系上既可能会有一些重叠，又会有一些差异。所以，在语际转换过程中，出于两种民族的认知理据的不同，译者就会把符合译入语的认知心理的源概念域映射到译出语的目的概念域上，从而增加译入语的认知显著度(salience)和表达的生动性，称之为附加映射(刘华文，2003)。如：

(2)原文：北京是中国的政治、文化中心。这里你可以游览万里长城、八达岭……

译文：Beijing is China’s political and cultural center that of-fers many scenic attractions:the Great Wall, Badaling...

在这里，原文中只有“万里长城”、“八达岭”这个具有零源概念域的目的认识域(从理论上讲，每一种认知概念模型都可以包含源认知域和目的认知域，其中所隐含的认知概念域都可以找到其相对应的认知域)。在该译例中，“that offers many scenic attractions”被译者看成了是存在源域缺失的目的域，于是译者就根据汉语的认知经验对它们进行了换域映射，即所谓的对源域的添加。该段的原文讲的是北京的名胜，而非政治和文化。译文若不对加下划线部分限定，主题句和段落内容就不相符。此类的附加映射是为了使译文内容文理通达。

2.3 认知模式中的变价映射

在翻译过程中，无论是等价映射还是换域映射，都是对目的认知域的维持。前者是根据译入语的认知经验，把这种语言的认知模式中的源认知域和目的认知域的关系原原本本地予以保留;而后者则是为了把译出语通约为译入语的认知经验，给原文的目的认知域进行源认知域的附加。但是还存在一种情况，那就是在翻译的映射过程中，依然使用源认知域进行表达，只不过该认知域中的价元发生了转换，我们称之为变价映射(刘华文，2003)。如：

(3)原文：持续下了几天雨，郊区的道路境况极坏。

译文：The roads in the suburbs are very bad, owing to the continual rainy days.

在原文中，“下雨”是一价动词，而在映射到目的域中时，却用“the continual rainy days”一个名词短语来代替，实现这种替代的手段就是变换价元。再如：

(4)原文：父亲毕竟比她多吃了几年成盐，她男朋友是什么样的人，他一看就知道。

译文：After all, Father is worldly-wise.He is able to tell at a glance whether his daughter has got a boyfriend of character.

在这个译例中，原文把经验丰富称为“多吃了几年成盐”，是对目的域“worldly-wise”的映射。在译文中，依然对这一目的域进行了映射，只不过为了更加适合英语的认知经验习惯，而对其中的价元进行了调整，变换成了“worldly-wise”。这是因为“吃盐”是一个在汉语中广泛使用的认知域，表示经验丰富，如果直接译成“ea more salt”则会让英语国家人觉得莫名其妙。因此，用“worldlywise”代替“吃盐”这个原认知域，更符合目的域的表达习惯。

3. 汉英翻译中的还原映射

如果说，在语际转换过程中，出于两种民族的认知理据的需要，把符合译入语的认知心理的源域直接映射到译出语的目的域上，或者通过变价的方式把源域映射到原文的目的域上去，这些被称为顺向映射的话，那么相反，如果把译出语中的认知图式中的源域还原为目的概念域的映射则被称为还原映射(刘华文，2003)。

3.1 认知模式的句式还原映射

在翻译的认知心理活动中，译者受到两种语言不同认知模式的影响会对模式中的成分即价元予以改动。这种改动的中心参照物是在认知活动中起决定作用的“显著度”(salience)，它是“知觉心理学的一个基本概念，显著的事物是容易吸引人注意的事物，是容易识别、处理和记忆的事物”(沈家煊，1999)。汉语多数是短句和简单句，而英语多数是长句和复杂句。因此，在汉英翻译过程中，我们应尽量把短句和简单句还原成长句和复杂句。如：

(5)原文：看门人惊呆了，喘着粗气，摇摇晃晃地走下楼梯。

译文：The janitor staggered down the stairway, stunned and gasping.

这里，“惊呆”、“喘着粗气”、“摇摇晃晃地走下楼梯”可以被视作三个并列的简单句。在翻译成英文时，译者则用一个主句加两个分词短语构成目的域。类似的如：

(6)原文：我进去看了，只记得门警是瑞士兵士，穿着黄色制服，别的没有印象了。

译文：I went there to have a look.All I remember now is that the guards at the entrance were Swiss soldiers in yellow uniforms.

原文包含了四个短句，而从源目的域映射到目的域时，则只用两个句子表达。而“穿着黄色制服”这一短句直接用“in yellow uniforms”这一个介词短语来代替，在句子中作状语，更加符合英语的表达习惯。

在翻译的认知过程中，两种语言的认知经验存在着差异。译出语中表达显著的认知域不能等价地移植进译入语，否则就不符合译语的认知习惯。因此，译者就需要对原来的认知模式中的句式进行调整。既然原文中的这些复杂的句式关系不被译入语的认知习惯所容纳，那么译者就需要调整其中的句式，通过句式的变换使原文中的目的认知域恢复完整，从而维持原文的认知显著度，改变原文利用简单句式的源认知域映射句式复杂的目的认知域的映射关系，实现还原映射。于是，例(5)中，“惊呆了，喘着粗气”被译为“stunned and gasping”;例(6)中的“穿着黄色制服”被译为“in yellow uniforms”。不难看出它们都进行了不同程度的句式调整，以便保持原文意义在译文中的认知显著度，也更加符合译入语的认知习惯。

3.2 认知模式的目的域还原映射

如果在原文的认知模式中，源概念域不能被译入语的认知经验所认可，那么译者就只好把它还原为目的概念域，这种还原是逆向于源概念域的附加的。如：

(7)原文：炉子里炭火烧得正旺，映得她的脸红红的。

译文:The charcoal in the stove was crackling, which made her face rather red.

在原文中，用具有形象性的、动态化的“旺”这个认知域映射“crackling”这个目的认知域，强调了火势的旺盛。但是由于译入语不能接纳这种认知经验，不宜把它直接移植到译文中去，同时又难以在英语中找到合适的源认知域对它置换附加，所以译者只能放弃这一源认知域而还原它的目的认知域。

4. 结语

如果将语篇及其意义看作一座冰山，映射这种认知运作则是透过语篇本身(水上部分)理解其意义(水下部分)的重要手段(王斌，2001)。即使最简单的意义其实也并不简单，译者要靠认知映射、固有知识结构的集聚及适时推断才能获取。认知映射为我们洞察不可直接触及的认知域组织结构提供了手段。近几年，对认知语言学的研究可谓是方兴未艾，促进了人们对语言的研究与认识。虽然我国的认知语言学领域出现了大批介绍西方这一学科的论文和著作，但是它在我国尚处在消化吸收的阶段，需要进一步向其他学科进行延伸。我们应该尝试把认知语言学引入翻译研究，帮助加深对翻译过程的理解和认识，促进认知语言学的发展。

参考文献

[1]刘华文.英汉翻译中的认知映射与还原映射[J].解放军外国语学院学报, 2003, (5) :55-59.

[2]沈家煊.转指和转喻[J].当代语言学, 1999, (1) :3-15.

[3]王斌.映射及其认知运作[J].外语研究, 2001, (3) :36-40.

[4]王德春, 张辉.认知语言学研究现状[J].外语研究, 2001, (3) :1-10.

[5]曾诚.实用汉英翻译教程[M].北京:外语教学与研究出版社, 2002:93-96.

矩阵与映射 篇7

命题1 L (β'1, β'2, …, β'n) 与L (ξ1, ξ2, …, ξn-r) 互为正交补空间.

命题2线性变换A的值域为L (α1, α2, …, αn) .

证明yn×1=An×nxn×1可改写为

故线性变换A的值域为L (α1, α2, …, αn) 的子空间.又因为线性变换A的秩=R (A) =L (α1, α2, …, αn) , 故原命题得证.

命题3 yn×1=An×nxn×1是由L (β'1, β'2, …, β'n) 到L (α1, α2, …, αn) 的一一映射.

证明显然L (β'1, β'2, …, β'n) 中的每一个原象有唯一的象.故只需证象有唯一的原象.

反证不妨设α∈L (α1, α2, …, αn) , β11和β22∈L (β'1, β'2, …, β'n) , 且为α的两个不同原象, 故α=An×nβ11, α=An×nβ22, 两式相减得0=An×n (β11-β22) , 即β11-β22∈L (ξ1, ξ2, …, ξn-r) , 且β11-β22≠0, 由假设知β11-β22∈L (β'1, β'2, …, β'n) , 矛盾, 故原命题得证.

将结论推广到ym×1=Am×nxn×1情形,

线性方程组Am×nxn×1=om×1的基础解系为ξ1, ξ2, …, ξn-r.则可知:

命题4 L (β'1, β'2, …, β'm) 与L (ξ1, ξ2, …, ξn-r) 互为正交补空间.

命题5线性变换A的值域为L (α1, α2, …, αn) .

命题6 ym×1=Am×nxn×1是由L (β'1, β'2, …, β'm) 到L (α1, α2, …, αn) 的一一映射.

推论R (AA') =R (A) .

利用上述结论可以更深刻地认识高等代数的整体结构, 更好地理解齐次线性方程组在整个知识结构中至关重要的地位, 对初学者有很好的启发意义.

摘要：初学者在学习高等代数时, 一般感到抽象且难以理解, 下述研究通过映射的观点来对矩阵进行解释, 通过研究线性方程组与矩阵间的关系来阐明高等代数最核心的问题, 力图使高等代数体系对初学者变得容易起来.

关键词：矩阵,映射,线性变换,象,原象

参考文献

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数 (第二版) .北京:高等教育出版社, 1988242～319.

[2]赵树嫄.线性代数 (第四版) .北京:中国人民大学出版社, 2008:109～157.

[3]许以超.线性代数与矩阵论 (第二版) .北京:高等教育出版社, 2008:127～154.

[4]戴祥斌.线性代数 (第一版) .北京:北京邮电大学出版社2009:154～163.

[5]卜长江, 罗跃生.矩阵论 (第一版) .哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社, 2007:1～98.

叙事教学总结:映射 篇8

课型 概念课, 学生自主学习型.

教学目的

1) 通过学生自主学习理解映射概念;

2) 通过学生自主学习培养学生小组合作学习能力、批判性思维能力、自主学生能力;

3) 通过学生自主学习培养学生敢于交流、善于交流, 发展情商.

教学重点 映射概念.

教学难点 反思评价中操作性控制.

学生学法 自主探究.

课堂教学实录

1) 创设情景.

师:老师今天有重大发现 (学生神情凝重) .教室里有61位同学, 有61个座位, 每个座位上只坐了一位同学 (众哄堂大笑) .

为什么没有出现几个人坐一个座位的现象呢?

生:因为座位是排好的.

师:对!这是因为在61位同学与61个座位之间, 建立了某种联系 (生答:对应关系) .对!这事实上是一个61位同学与61个座位之间的一种对应.对应在现实生活中普遍存在着, 人们在从事各种工作时, 自觉或不自觉地使用了有关对应的知识, 对应在日常生活和工作实践中常常扮演着非常重要的角色.今天我们主要研究数学中的对应.请大家研究下列各式是否对应?是什么样的对应?通过你的研究, 你认为还可以有所发展吗?你认为可以如何发展?

2) 学生自主学习 (通过研究所给对应、阅读教材和相关材料, 学生自己进行独立研究) .

3) 小组交流讨论 (有了初步学习成果后, 由学生自觉进行) .

4) 学习内容评价 (随机抽查一个小组进行) .

小组评价内容如下:

①在上述各式中, 只有 (4) 不是对应, 其余都是对应.基中 (1) 是一对多; (2) 是多对一; (3) 是一对一; (5) 是多对一; (6) 是一对一.

②上述对应的共同特征:都有对应出发集、对应到达集和对应法则.确定对应的三要素为:出发集A、到达集B和对应法则f。

③在上述对应中, 有一类对应, 应当引起我们的特殊注意:集合A中每一元素, 通过对应法则f, 在集合B中都有唯一元素与之对应, 我们把这种对应叫从集合A到集合B的映射.记为:f:A→B.如上述对应中的 (2) , (3) , (5) , (6) .

特殊地, 若集合A中每一元素在集合B中有唯一元素与之对应, 而集合B中每一元素在集合A中也有唯一元素与之对应, 我们把这种对应确定的映射叫A到B上的一一映射.如上述对应中的 (3) .

5) 学习评价 (随机抽查一个小组进行) .上述发言, 层次清楚, 概念准确, 但有一个问题没有讲清:出发集A中每一元素在集合B中必须有唯一元素与之对应, 而B中每一元素是否在A中都有唯一或多个或没有元素与之对应?即B中每一元在A中是否有原象?是否有唯一原象?

我们认为, B中元在A中不一定有原象, 如上述对应 (6) , 而A中元在B中必有唯一象.只有原象与象一一对应所确定的映射才叫一一映射.

6) 精“导” (此时已不需导, 导已渗透在各个环节中, 此处只须把概念清晰化即可) .

7) 变式训练.上述对应是否从B到A的映射?是否从B到A的一一映射?

8) 归纳总结.再次看书, 完成书上练习并做出总结.

由于所抽查小组中, 前一个小组恰好比后一个小组水平略差, 故恰好由二者的结合完成了教学任务.因此, 导也就相对减少, 仅渗透在了其余各个环节之中.

反思总结

1) 自主学习课堂教学模式设计为如上8个环节, 但不一定每节课都是8个环节.这不是一个固定程式, 而要根据学生实际学习水平与教学内容的需要灵活调节.

2) 数学新课教学, 是数学知识发展与演化、内容的拓宽与延伸的过程, 是学生获取知识、培养能力的重要途径.要重视数学知识形成的思维过程, 重视对数学知识形成思维过程进一步反思、提炼, 积淀后续自我解决问题的思维品质.通过对数学新课的教学, 发展学生分析问题解决问题的能力及元认知能力 (对思维过程再思维的训练) .

在具体教学过程中, 要注意充分发挥学生的自主性, 放手让学生自己去探讨研究.即使需要教师的“导”, 也不要喧宾夺主, 一般以适当的启发为主 (苏格拉底式) .要让学生在解决问题的过程中实现渐悟与顿悟.

3) 数学中的概念教学历来是中学数学教学研究的重要课题, 学生只有理解了概念, 清晰、准确地掌握了概念, 才能充分认识客观世界中空间形式和数量关系的本质属性, 才能在解决数学问题中作出正解的判断和推理, 增强数学修养, 提高分析问题和解决问题的能力.

在具体教学过程中, 对一些主要的概念, 应使学生认识概念的产生和发展过程, 掌握概念的内涵和外延、表达形式 (包括定义、名词、符号等) , 了解与其有关概念之间的关系, 形成知识网络.为了加深对概念的理解, 要配置相关的例题, 并进行适当的变式训练.通过学生自己对概念、例题的归纳概括与交流, 通过师生多维互动式多层次交流, 通过变式训练的深化与提高, 达到掌握概念和培养能力的目的.