部分线性模型

关键词：

部分线性模型（精选十篇）

部分线性模型 篇1

关键词：部分线性模型,正则矩阵,最小二乘,补偿

0 引言

部分线性模型又称之为半参数模型,通常由两部分函数组成,一是能够参数化建模的函数模型(通常是线性模型),二是非参数模型。部分线性模型由Engle(1986)研究电力需求和气候条件之间关系时提出的[1]。部分线性模型一经提出,立刻展示了它强大的生命力,在统计学界得到了充分的肯定和研究[2,3,4]。因为相比线性模型它更能表述客观真实的实际情况。对于已知特征并能建模的部分,采用参数模型表述,如Xβ,其中β是待估参数,X是模型结构矩阵。对于未知特征不能参数化描述的部分,采用非参数模型描述,如g(T)。相对传统的线性模型,g(T)用来刻画未知模型或者不确定性误差影响部分。因此,部分线性模型要比线性模型更准确反映真实状态。部分线性模型的求解方法和结构特性一直是统计学界探求的重要方向,本文将研究基于正则化矩阵补偿的部分线性模型估计方法及其性质。

1 基于正则化矩阵补偿的部分线性模型估计方法及性质

1.1 基于正则化矩阵补偿的部分线性模型估计原理及方法

简记部分线性模型为

其中X是模型结构矩阵,β=(β1,β2,L,βd)T是待估参数,ie为i.i.d.随机误差,且E(e i)=0,E(e i2)=1,g(⋅)是定义在闭区间[a,b]上的未知函数。

误差方程可记为

令eT e=(Xβˆ+ˆg(T)-Y)T(Xβ+g(T)-Y)=min,可得

由于法方程系数矩阵奇异,因此方程的解不唯一。

采用补偿最小二乘准则对极值方程进行修改,

根据非参数模型的特征,选择相应的正定矩阵作为正规化矩阵R,组成二次型ˆg(t)TRg(t)。二次型刻画非参数分量ˆg(t)的光滑性度量。当光滑性程度超高时,模型就变为一般的常值误差估计模型;当光滑性为0时,非参数分量值等价与观测数据,此时非参数量在模型中占的比重在100%,参数值β对模型没有任何贡献,显然不符合实际情况。因此,合理选择二次型具有重要意义。

对方程(3)采用拉格朗日条件极值方法,构造函数:

Φ=eT Pe+λˆgT Rg+2KT(Xβˆ+g(T)-Y-e)

其矩阵形式为:

当矩阵R为正定矩阵时,式(4)的系数矩阵是正定可逆矩阵。因此有唯一解。则有,

从而有,

则基于正则矩阵补偿的部分线性模型估计值为:

1.2 基于正则化矩阵补偿的部分线性模型估计性质

性质1补偿最小二乘中参数统计量βˆPLS的偏差为

bia(βˆPLS)=(X TP(I-S)X)-1X TP(I-S)E(g)证明:

由于

因为

性质2补偿最小二乘中非参数统计量gˆPLS为g的有偏估计。

证明:

下面证明S(I-XM)不是单位矩阵,用反证法。设S(I-XM)=I,右乘得到:

即有X=0,因为X满足列满秩,故假设错误。所以gˆPLS为g的有偏估计。

定理[5]:当λ满足一定条件时,在MSE准则下,补偿最小二乘估计精度要优于经典最小二乘估计精度。

2 结论

部分线性模型求解方法主要包括基于最小二乘的偏残差估计、三角级数估计、偏核光滑估计、分块多项式估计、小波估计、以及本文研究的正则矩阵补偿的估计方法。事实上,几种方法的原理是一致的,都是假设部分线性模型的非参数部分在闭区间[a,b]上是二次连续的,因此,基于维尔斯特拉斯定理,一定能够用有限个参数进行无限逼近。从而将非参数问题巧妙地转换为参数问题。本文研究的基于正则矩阵的补偿方法,也是利用该原理进行计算的。

参考文献

[1]Engle,R.E.,Granger,C.W.J.et al.Semiparametric estimates of the relation between weather and electricity sales[J].JASA.,1986,81:310-320.

[2]Bickel,P.J.,Klaasen,C.A.J.,et al.Efficient and adaptive estimation in semi-parametric models[M].Baltimore:John Hopkins Univ.Press,1993.

[3]Heckman,N.E.Spline smoothing in a partly linear model[J].J R.Statist.Sec.B,48:244-249,1986.

[4]Rice,J.,Convergence rates for partly linear models[J].Statist.&Probab.Lett.,4,1986:203-208.

部分线性模型 篇2

摘 要：对大多数理工科专业而言，线性代数是一门十分重要的课程。线性代数的序言部分，主要是对线性代数课程进行宏观的介绍，并且引入二阶和三阶行列式的概念。教学中应该调节好学生的心理状态，注重定义以及之间的联系，突出重点进行讲解，以确保这部分内容的教学效果。

关键词：行列式 线性代数 序言 学习心理

《线性代数》是很多理工科专业的一门基础课程，是学习后续专业课程的基础课。同时，《线性代数》还是考研的必考科目。因此，搞好《线性代数》的教学工作具有重要的意义[1]。《线性代数》的序言部分是带领同学们进入线性代数殿堂的第一课，是学生们与线性代数的初次相识，“第一印象”十分重要。如果能够让学生们对线性代数的研究内容产生兴趣，充满信心，那么日后的教学过程都将变得简单。反过来说，如果学生们在听这部分内容的过程中不能对线性代数的研究对象进行透彻完整的了解，而只是被动地听到了教师对行列式、矩阵、向量组、方程组等等抽象的数学名词的乃至彼此之间关系的介绍，他们很可能就会对线性代数望而却步，日后再想让他们充满信心和兴趣可能相对就比较难了。总而言之，线性代数序言部分的讲解也是教学中很重要的一个环节，有必要对其教学要点进行分析。

一、教学内容总结

任何一门课程都有序言部分，《线性代数》课程的序言部分主要也是作为一个总开端，对《线性代数》进行介绍，导入后面的核心内容。从教学内容上看，序言部分包括两大方面：第一部分，主要是带领学生们认识《线性代数》这门课程，知道《线性代数》在整个专业培养计划中所处的地位，了解线性代数的研究对象与课程特色，掌握学习线性代数的方法；第二部分，主要是通过方程与行列式的关系，引入二阶和三阶行列式的定义、计算及简单的应用，为后续推广到n阶行列式的相关内容打好基础。

二、学生心态把握

大学生作为经过全国高考统一考试选拔出来的优秀人才，事实上，他们当中的大多数都是精力充沛，积极乐观，求知欲旺盛，此处主要分析学生中可能影响学习的负面心理，旨在有的放矢地促进教学效果。第一，在课程设置上，《线性代数》多安排在第一学年的第二个学期上课，学生们在经历了大一上学期的《高等数学》的学习以后，多会对数学类课程产生一种“畏难”情绪，严重的甚至会厌烦数学类的课程。因此，作为一门数学类课程，《线性代数》首先可能会或多或少地受到?W生们心理上的抵触，这就形成了《线性代数》的一个“先天劣势”。第二，课堂中的学生们往往来自不同的省份，数学功底各不相同，有的学生中学阶段没有学过任何行列式知识，有的学生甚至没有学过向量，从心理上，他们对序言部分内容的兴趣也是不同。第三，《线性代数》序言部分的讲授处于新学期的起始阶段，甚至被安排在新学期第一周的第一节课，好多学生经过了返回学校的行程，疲惫感还没有完全消除，也还没有从“假期综合症”中恢复过来。此时，学生们的心态还有所浮躁，对课程内容的吸收能力有限。第四，新学期新课程的开始阶段，学生们与教师也是初次见面，有些学生对教师本身的外在形象比较敏感，对于教师的教学特色和个人魅力还处于观望状态，对于课程本身的注意力不足，大部分同学还都存有首先观望老师的心态，想看看老师的“水平”，往往只有很少一部分同学会对即将开始的课程进行预习。第五，在当今的快节奏时代，各种各样的信息量铺天盖地，学生们主动或者被动地面对很多信息已经成为一种常态，学生们多重视应用，重视看得见摸得着的现实的事例，对于抽象的数学概念及数学逻辑兴趣不足，这也是线性代数序言教学中所无法忽视的。

三、教学设计分析

基于以上分析，在序言部分教学中应把握以下几个方面：第一，讲解的深度宜浅不宜深，尽量从实际事例中引入方程组和行列式。对于二元线性方程组，如果用诸如“鸡兔同笼”问题引入，可以很容易地使学生们契入到对问题思考中，加强他们的参与意识，使他们很快进入角色。《线性代数》本身是一个复杂的课程，其中的行列式、方程组、向量组和矩阵等各种的概念互相交叉[2]，想学好是很不容易的。但在序言部分，如果过多地引用《线性代数》的专业术语，例如用逆序数法定义行列式[3]等等，这将增大学生们听课的难度，容易使得一部分学生从课程一开始就对《线性代数》望而却步。实际上，《线性代数》也有简单的一面，从一定程度上说，《线性代数》书中的概念与中学知识的衔接并不太大，它的几乎所有定义都是独立于之前的高中数学的函数、不等式、二次曲线等复杂数学知识的。学好《线性代数》并不需要很扎实的数学基础知识，只要学生们能够入门，能够进入到《线性代数》的思维方式，教学工作就成功了一大步，后续的具体计算中，大多也都是100以内的加减乘除，所以应极力避免一上来用复杂的讲解把学生“当头打蒙”，反过来说，深入浅出地讲解更有助于增强学生们的信心，持续不断地激发他们的学习兴趣。第二，对于《线性代数》的研究对象应该讲解到位。首先，应该要介绍清楚“线性”所代表的含义。“线性”，从运算上来讲，主要也就是加减和数乘运算，不涉及到变量之间的乘积。用学生们的知识结构可以理解的话来讲，《线性代数》研究的核心问题也就是解方程组。这样的一种讲解方式，更利于学生们对《线性代数》的研究内容进行整体的很好的把握，更容易把学习与应用结合起来。第三，应当要讲解好《线性代数》的学习方法。学习方法听起来虽然抽象，但能否把学习方法讲解好却是很考验一个教师对整门课程的把握的一个重要体现。毕竟，只有在对课程整体的很好的把握的前提下，才能高屋建瓴地提出对《线性代数》的最适宜的学习方法。对大多数高校《线性代数》课程的教学和期末考试而言，对思维深度的要求并不是很高。然而，线性代数涉及到行列式、矩阵、向量组、方程组等理论，各个理论独立完善且互相之间也都有联系，因此熟练地从一种理论叙述转换到另一种理论叙述是学完本课程后所应达到的对知识“学活学透”水平的一种体现，这对思维的灵活性要求很高。而达到这一水平的前提，就是要对定义有熟练透彻的掌握。线性代数的学习方法，也应当是重视对基本定义的掌握。为了达到这一目的，要有必要的练习。这个学习方法，应该跟学生们讲解透彻。第四，在课堂上要增强学生们的参与意识，要让他们成为推动课堂活动往下进展的主人，要让他们的大脑活动起来。例如，在消元法解二元线性方程组时，可以让学生们真正动手去做，让学生们亲身体会消元的过程，让他们自己去发现方程组的系数行列式出现的过程以及该行列式在方程组解的表达式中所处的位置。从而，使得行列式的引入不会显得特别突兀，也为学生们对后续课程中克莱默法则的学习产生良好的铺垫作用。通过构造系数行列式以及通过用方程组的常数项来替代系数行列式的列向量来构造行列式，通过此类行列式的比值来求解方程组是本节中的新的方法，应努力使学生们对此种求解方法产生新的印象，看到行列式在求解方程组中的不可替代的作用，这一过程，也应当努力想办法让学生们最大限度地参与进来，充分利用好课上时间，让他们学有所得。第五，要注意讲解好二阶和三阶行列式的定义。二阶与三阶行列式虽然简单，但是它们毕竟是不同于以前的新的定义，从行列式的形式到它的内容，都要让学生们建立起完整的概念。形式上，二阶行列式，就是两行两列的数表两边加上两个竖线，内容上，行列式是一个式子，对于数表中是已知数值的情况，行列式就是一个可以计算的数值。如果行列式中存在未知变量，那么行列式与一个数值的相等，就构成了一个方程。事实上，行列式的定义也包含了它的求解方法，行列式的表达式中很容易看出来它的计算方法――对角线法则。首先要把主对角线和副对角线的概念给学生们讲解清楚。对于行列式的表达式而言，每一个乘积项的元素都是由不同行不同列的元素所组成的，注意到这一点，学生们就不会丢落元素，而能够把行列式表达式完整准确地表示出来。同时很重要的是，应当要强调对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，对于高阶行列式，对角线法则将不再成立。事实上，如果结合后续章节中关于行列式的严格定义的话，容易知道，这主要是由于行列式表达式中参与加减的各个乘积项都是且是所有的不同行不同列的元素的乘积，对角线法则中所确定各个乘积项的方法显然不可能把所有的乘积项表达出来，所以，对角线法则对于4阶及更高阶的行列式不再成立是有充分理论支撑的。

结语

综上所述，《线性代数》课程序言部分的教学工作十分重要，它关系到学生们对线性代数整个这门课程的认识问题，关系到学生们学习的信心和学习的兴趣的问题。教学中应未雨绸缪，细致地把握好现场学生的心理状态，提前重点做好教学设计，深入浅出地开展讲解，激发学生的信心与能动性，为后续克莱默法则的教学打好直接的基础，也为《线性代数》教学开一个好头，为《线性代数》整体内容的教学做好铺垫。

参考文献

[1] 段炼，方贤文.线性代数教学中高阶行列式若干计算方法探究[J].教育教学论坛，2017（36）：195-196.[2] 居余马等.线性代数（第2版）[M].北京：清华大学出版社，2002

[3] 刘玉军，陆宜清.线性代数[M].上海：上海科学技术出版社，2017.作者简介

会议筹备的线性规划模型 篇3

关键词会议筹备;多目标线性规划;优化模型

中图分类号O221.6文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)071-0216-01

1问题的提出

随着时代的前进步伐,在市场经济条件下,我们与外界的交流越来越密切,各类研讨会就为我们提供了这样一个人与人交流的平台,随之出现了“文山会海”现象,而随着研讨会的规模越来越大,会议安排统筹的难度也越来越大,越来越复杂,做好会议统筹具有重要意义。作为会议组织方,经费问题一直是个难题,那么如何在安排会议的过程中能更好的节约经费就成为摆在我们面前的亟待解决的问题。本文从整个会议安排过程中的会议室选择和车辆安排两个要素出发进行分析与研究,利用线性规划方面的相关理论知识将问题抽象成一个明确完整的数学模型,为筹备组制定一个另各方都比较满意的合理方案。

2问题的分析

在实际调查中发现,一个大型研讨会会分成几个不同的小课题分开讨论,会议人数的增加需要我们把与会代表安排在不同的宾馆中,一般的大型宾馆都附带有会议室,因此一般都会租用宾馆的会议室来进行研讨,而不再去另找会议场所,但与会代表参加哪个议题讨论是我们事先不知道的,因为可能代表会临时改变主意,这就需要我们为跨宾馆开会的代表准备车辆接送,那么如何在某些情况不确定的情况下,既能满足会议组织的要求,又能使得所花费用最少,是本文所关注并提出解决办法的的问题。

3模型假设与说明

模型假设与说明主要包括3个方面:①假设每一位与会代表去每一个分会场参加会议的概率相同。②由于不知道每位代表可能会去其他哪个宾馆参加会议,我们在每个宾馆门口都安排车辆,公车每到一个会场,各与会代表只能下车而不能上车车辆按照循环路线来行使。③每个宾馆里面的会议室一般都差不多能容纳当天去参加会议的代表,不会出现有的会议室容纳不了或者有的会议室空位太多的现象。

4符号解释说明

符号解释说明包括::需要家宾馆安排住宿;:与会代表人数为;:第i个宾馆中的会议室数量为;:我们一次同时举行个会议,即需要个会议室;

第个宾馆中第个会议室的租赁费用;第个宾馆中第个会议室的容量;第个宾馆中第个会议室;:车辆类型有种;第种车辆的租赁费用;第种车辆的标准载客人数;第个宾馆需要第种车辆的数量;第个宾馆中住宿的与会代表的人数;第个宾館需要外出参加会议的人数。

5模型的建立

制定最优化会议室及运输车辆费用最少的模型:在保证会议能顺利进行的前提下,会议室的选择和车辆的安排尽可能所花费用最少,则目标函数就是两者和的最优,模型为:

目标函数

;

约束条件

6模型的求解

根据会议前期收集到的基本资料,把与会人数、宾馆数量、车辆标准载客容量、议题数量等确定下来,带入模型,用LINGO软件进行编程运算就可找出满足会议顺利进行基础上费用最少的最优解来。如某此会议数据如下:

该会议分成6个小议题分别举行,需要6个会议室,由于事先不确定每位与会代表对哪个议题感兴趣,我们假定代表参加某个会议的概率为1/6。

按照模型编好程序利用LINGO软件求解得:

所用总费用为30780元,当然再加上其余实际客观因素会适当增加或减少费用。

7模型的不足及推广

线性规划作为运筹学的一个重要分支,它力求使所选用的决策达到最佳状态,因此受到人们的普遍关注。实际生活中的以下六类常见问题都可以通过建立线性规划模型来解决:物资调运问题、产品安排问题、原料搭配问题、损耗最小问题、区域整点问题、条件最值问题。由于时间和精力所限,该模型还存在着一些不足,例如在考虑与会代表会去参加哪个会议时的概率太过理想化的设定为1/6;本文模型只考虑了会议室及车辆安排两个方面的要素。在实际的会议筹备工作中,面临的问题及要素会比较多,因此具体问题具体对待,在本文模型基础上增加新的要素即可。本模型是求一个最小费用问题,它的推广空间很大,比如汽车运费问题、服务公司承办的各种各样的活动安排等,利用此模型,都能得出比较理想的方案。

参考文献

[1]姜启源,数学模型.北京:高等教育出版社,2005.

[2]袁新生.LINGO和Excel在数学建模中的应用.北京:科学出版社,2007.

[3]Duane Hanselman、Bruce Littlefield著,朱仁峰译.Matlab7.北京:清华大学出版社,2006年5月第一版.

[4]叶其孝,大学生数学建模大赛辅导教材.长沙:湖南教育出版社,1997:71—85.

作者简介

部分线性模型 篇4

准确计算系统谐波阻抗是用户谐波发射水平评估、电力系统仿真分析以及无功补偿设备设计的关键[1]。根据是否会对系统产生干扰,谐波阻抗估计主要有干预式和非干预式2类方法。干预式方法通过向系统强迫注入谐波电流或间谐波电流,或通过开断系统某一支路来测量谐波阻抗[2]。非干预式方法通过测量公共连接点处的谐波电压和谐波源支路接入连接点处的谐波电流估计谐波阻抗。干预式方法中注入的谐波电流过小则谐波阻抗测量结果不准确,注入谐波电流过大则影响系统的稳定运行。而非干预式方法不需要向系统注入谐波电流,不会影响系统的稳定运行,具有显著优势[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]。

工程上应用较为广泛的非干预式方法有解析法[13]、近似计算法[14,15,16]、波动量法[17,18]。解析法通过建立系统各元件的谐波阻抗模型,根据电路关系进行谐波阻抗的计算。但是,由于元件的谐波阻抗模型并不精确,计算结果的误差很难控制。同时,解析法的计算量巨大,不适用于大系统的谐波阻抗计算。国际电工委员会(IEC)推荐的方法是近似计算法,某次的谐波阻抗等于谐波阻抗次数和基波电抗的乘积。该方法非常简单,常用于实际工程的估算分析。但是,近似计算法要求各元件都是电感性的,并且忽略电阻,所以近似计算法的计算准确性较差。对于实际的电力系统,在用户侧谐波波动占主导的情况下,波动量法是非常简单有效的一种方法。波动量法通过测量公共连接点处的谐波电压和谐波源接入母线处的谐波电流进行谐波阻抗的估计,谐波阻抗等于谐波剧烈波动处的谐波电压差和谐波电流差的比值。实际上,波动量法及其改进的方法都要求:与系统侧相比,用户侧谐波占主导;在此前提下与背景谐波波动相比,关注谐波源的谐波波动也要占主导,即要求“双主导”。由于电力系统谐波主要由非线性用户产生,与系统侧相比,用户侧谐波占主导的条件往往是满足的,但是与背景谐波波动相比,关注谐波源的谐波波动占主导的条件却不一定满足。在背景谐波波动占主导的情况下,利用波动量法计算系统谐波阻抗是失效的。如果能计算出波动的背景谐波,则在背景谐波波动占主导的情况下也能准确计算系统谐波阻抗。由于在背景谐波波动占主导的情况下,系统谐波阻抗满足的数学模型实际上是部分线性回归模型[19,20],求解部分线性回归模型可得到波动的背景谐波并准确计算系统谐波阻抗。文献[21]采用部分线性核估计方法求解部分线性回归模型,实现了系统谐波阻抗的计算。但是,该算法只适用于背景谐波电压曲线光滑的情况。由于实际工程的背景谐波电压曲线不可能是光滑的,并考虑到谐波阻抗满足的部分线性回归模型是复数域的部分线性回归模型,因此,本文将研究谐波阻抗估计的非光滑复数域部分线性回归方法。

本文给出了传统波动量法的适用范围,分析了在背景谐波波动占主导情况下该方法失效的原因;然后构建了谐波阻抗计算满足的复数域部分线性回归模型,设计了模型的细分迭代算法,实现了非光滑复数域部分线性回归模型的求解;最后给出了仿真和实测数据分析,验证了所提算法的有效性。

1 波动量法适用范围及其缺陷

针对系统谐波阻抗的估计,波动量法是在工程应用中最为常用的方法。以图1为例,在某变电站母线X处接入了多个谐波源负荷,假设负荷A为炼钢厂,负荷B、C和D是其余非线性负荷。

若要估计除负荷A以外其余部分的h次系统谐波阻抗,需要利用电能质量监测仪在负荷A接入母线处采集h次谐波电压和谐波电流数据。若母线X处监测到h次谐波电压记为Uh X,负荷A接入母线X处的h次谐波电流记为Ih A,Zh X,A为除负荷A以外其余部分等效的h次系统谐波阻抗,将除负荷A以外的其余谐波源在母线X处产生的谐波电压都看作背景谐波电压Uh X,0,根据电路关系有:

因此,在2个相邻的采样时刻k和k+1,有:

式(3)与式(2)相减有:

当背景谐波波动很小或者背景谐波波动相对于关注谐波源的谐波波动很小时,式(4)中等号右端第2项的分子Uh X,0(k+1)-Uh X,0(k)可近似为0,则式(4)可以近似为:

利用上式估计系统谐波阻抗即为波动量法。波动量法的缺陷是当背景谐波波动相对于关注谐波源的谐波波动较大时,Uh X,0(k+1)-Uh X,0(k)不能近似为0,因此系统谐波阻抗不能用式(5)近似。所以在背景谐波波动较大时,波动量法是失效的。

2 等效谐波阻抗计算的复数域部分线性回归模型

考虑系统谐波阻抗满足式(1),希望通过采集到的谐波电压和谐波电流数据计算系统谐波阻抗。若背景谐波电压和系统等效谐波阻抗都是常数,则式(1)是一个复数域的线性回归模型,可以用复线性最小二乘方法求解系统的等效谐波阻抗和背景谐波电压。由于系统的运行方式往往不发生大的变化,因此系统谐波阻抗可以近似看作是不变的。但是,背景谐波源注入公共连接点处的谐波电流随时间变化经常是波动的,因此背景谐波往往不是常数。此时,式(1)不再是传统的复数域线性回归模型。记:

其中,UXR、IAR、U0R分别为相量Uh X、Ih A、Uh X,0的实部;UXI、IAI、U0I分别为各相量的虚部;Zr、Zx分别为阻抗的电阻分量和电抗分量。则式(1)可以写成:

因此,有:

写成矩阵形式为:

其中,阻抗矩阵为常数矩阵,背景谐波电压矩阵的数值随时间发生改变,因此式(12)表示的模型是数理统计学领域中的实数域部分线性回归模型。可通过核估计方法同时求解出该模型不变的系统谐波阻抗和变化的背景谐波电压,但是要求背景谐波电压随时间变化而形成的曲线是光滑的,即曲线上每一点处都应具有切线,且切线随切点的移动而连续转动。对于工程应用而言,这几乎是不可能的。因此目前数学中的实数域部分线性回归模型对于工程中计算系统谐波阻抗问题并不适用。同时,式(1)中电压、电流均为相量,有着自身特定的物理含义,不能拆分为实部与虚部分别进行参数的回归。基于以上原因,本文考虑直接在复数域上定义部分线性回归模型并设计算法进行求解更符合实际。目前,在数理统计学中未见有复数域部分线性回归模型的研究,仿照实数域部分线性回归模型的定义,给出系统等效谐波阻抗满足的复数域部分线性回归模型表达如下:

其中,n为经FFT后得到的离散值个数;Uh X(k)为在公共连接点处测量的电压经FFT后得到的第k个h次谐波电压;Ih A(k)为负荷A接入母线处测量的电流经FFT后得到的第k个h次谐波电流;Uh X,0(k)为与第k个h次谐波电压和谐波电流同时刻发生的未知的背景谐波电压相量值,在不同的时刻,背景谐波电压的取值会不一样。系统等效谐波阻抗Zh X,A也是未知的。式(13)中所有量都是复数形式的,因此,式(13)可定义为复数域部分线性回归模型。

3 模型的细分迭代求解方法

由于背景谐波电压的变化曲线是非光滑的,核光滑估计算法不适合于求解如式(13)所示的复数域部分线性回归模型,设计迭代算法求解复数域部分线性回归模型。算法描述如下。

a.设置初始值,令细分次数d=2,计算精度δ0、最小窗宽b0。

b.计算窗宽,若b<b0,求解失败,算法终止,否则转步骤c。

c.将Uh X与Ih A数据分成d段,每段窗宽为b。记第p段数据如下:谐波电压为Uh X(b(p-1)+1),Uh X(b(p-1)+2),…,Uh X(b(p-1)+b);谐波电流为Ih A(b(p-1)+1),Ih A(b(p-1)+2),…,Ih A(b(p-1)+b)。用上述数据构造复数域部分线性回归模型:

其中,l=b(p-1)+1,b(p-1)+2,…,b(p-1)+b。

将式(14)近似为复线性回归模型:

表示成矩阵形式:

则第p段系统谐波阻抗和背景谐波电压求解结果为:

令ε=y-Ax,计算,分别令p=1,2,…,d,可以求得[Zh X,A(1)Zh X,A(2)…Zh X,A(d)]以及[e(1)e(2)…e(d)]。

d.对e(1)、e(2)、…、e(d)从小到大进行排序,记结果为e(s1)、e(s2)、…、e(sd),其中s1、s2、…、sd为1、2、…、d的全排列。若e(s1)>δ0,则d=2d,转步骤b,否则,记:

则系统侧谐波阻抗为:

系统侧谐波阻抗估计的平均误差为:

e.计算背景谐波电压为:

4 仿真验证

采用如图2所示的多电压等级仿真测试系统进行仿真验证。等值系统与220 k V母线相连,经变电站2个主变压器降压为负荷侧供电。其中主变压器1所连110 k V母线所带负载为电气化铁路模型和电弧炉模型;主变压器2所连110 k V母线,经变压器降压为35 k V或6 k V,为线性负载A、B、C、D、E供电。其中电力机车[22]、电弧炉模型[23]电路示意图分别如图3、图4所示,线性负载参数如表1所示。

以5次谐波为例,在主变压器1所连110 k V母线处接入典型的谐波源负荷电力机车和电弧炉。在图2中所示的测量点1及图4所示的测量点2处,对电力机车整流电路和电弧炉炉体等效模型注入系统的5次谐波电流进行测量,谐波电流波形分别如图5和图6所示。设置计算步长为1 s,取1 min数据的平均值作为一个样本点,共取2 100个点,模拟了实际系统中连续35 h的变化情况。

本文以电弧炉支路为例,进行等效谐波阻抗的计算。将除电弧炉支路以外的系统其余部分等效为系统侧谐波阻抗,将除电弧炉以外的其余部分产生的谐波看成背景谐波。

以前6 h为例,分别测量110 k V母线1处的瞬时电压值和电弧炉支路的瞬时电流值,测量点3如图2所示。根据国家标准GB/T 14549—1993的要求,每3 s取一个有效值,经FFT后,得到一组母线处的5次谐波电压相量值和电弧炉支路的5次谐波电流相量值,分别如图7和图8所示。当关注谐波源的谐波波动存在大的突变时,在这些剧烈波动处往往可以忽略背景谐波波动的影响。但是,从图7和图8可以发现,关注谐波源没有显著的谐波突变,因此背景谐波波动的影响可能存在。

为了判断背景谐波波动的影响能否忽略,在图2所示的测量点4处测量电力机车支路的5次谐波电流,如图9所示。由图8与图9的对比可以看出,此时电力机车支路的谐波波动与关注的电弧炉支路相比幅值较大,因此背景谐波波动的影响不能忽略。

分别采用主导波动量法、独立随机矢量协方差法、二元线性回归法、稳健回归法以及本文提出的方法计算系统等效谐波阻抗,计算结果如表2所示。通过单位电流注入法求得系统等效谐波阻抗真实值为10.124 7∠32.785 3°Ω。可以看出,二元线性回归法在背景谐波波动的情况下,完全无法对等效谐波阻抗进行计算;稳健回归法在背景谐波平稳随机的情况下,可以通过反复加权进行分析以得到理想的结果,但由图5和图9可见,此时背景谐波波动较大,导致稳健回归法对等效谐波阻抗的计算误差较大,达74.72%;主导波动量法在用户谐波占主导的情况下,可通过有效的筛选手段剔除不良数据,在一定程度上避免背景谐波波动的影响,但由图8与图9的对比可见,此时背景谐波波动占据主导地位,运用主导波动量法无法得到足够的样本点,会造成估计信息删失,不能准确反映等效谐波阻抗;而本文所提方法可准确计算波动的背景谐波,在考虑了波动的背景谐波的前提下实现了系统等效谐波阻抗的计算,计算结果的相对误差为1.89%,效果非常显著。

5 实测数据计算分析

在实际工程中,准确的谐波阻抗是未知的。为了能够实现比较和分析,采用能够利用波动量法求解谐波阻抗的谐波电压和谐波电流数据,否则在不能得到用于作为对比的谐波阻抗参考值的前提下,难以说明所提算法结果的准确性。同时,也要求数据存在背景谐波波动占主导的区间,否则难以说明所提方法较波动量法及其改进方法具有更广的适用性。

实测数据来自江苏省某县某35 k V铸钢专线用户,测试点为110 k V供电变电站35 k V侧的用户进线处,用户接入系统的主接线示意图如图10所示。

利用Fluke 1760采集测试点的电能质量数据,采样频率10.24 k Hz,1 min记录一个点,采样时间为2011年6月27日16:53至23:53。以11次谐波为例进行分析,基波电流、11次谐波电压和11次谐波电流的有效值分别见图11—13,11次谐波电压与11次谐波电流的相角差见图14。

(1)计算谐波阻抗参考值。

若测试数据有大扰动,并且这种扰动由用户主导产生,用波动量法计算系统等效谐波阻抗非常有效。图11中基波电流大小主要由用户的工作情况决定,由图11可以看出基波电流存在大的扰动,在这些大扰动处图12与图13有相应的变化趋势,表明扰动是用户主导的。选择几个大的扰动点,如图中虚线框所示(从左至右记为扰动点1、2、3),利用波动量法计算谐波阻抗,结果如表3所示。

利用本文方法计算得到的系统等效谐波阻抗为3.32+j44.53Ω,与波动量法的计算结果相对误差仅为1.6%。这一结果在充分验证了本文方法正确性的同时,也表明可以将3.32+j 44.53Ω作为计算结果对比中的谐波阻抗参考值。

(2)谐波没有大波动,即背景谐波波动占主导情况下,本文方法与传统方法计算性能比较。

选择17:00至17:50之间的数据段,这段时间内没有大的扰动。波动量法是工程上应用成熟的方法,首先与波动量进行对比。对2个相邻点使用波动量法计算谐波阻抗,谐波阻抗的幅值、实部和虚部分别如图15和图16所示。

将除关注负荷以外的其余部分并联等效为系统等效谐波阻抗,其大小会随着各支路负荷的投入与退出等情况的发生而改变。但由于实际系统侧谐波阻抗远小于各支路负荷,所以等效谐波阻抗应仍与实际系统侧谐波阻抗相近。而实际系统侧谐波阻抗并不随各支路负荷的变化而变化,所以等效谐波阻抗只会在某一数值附近进行小范围的波动。而从图15和图16可以看出,传统波动量法估计值波动剧烈,因此,波动量法的估计结果很不合理。并且从图16(a)还可以看出,在很多点处谐波阻抗估计结果的实部接近0,而谐波阻抗参考值为3.32+j44.53Ω,波动量法谐波阻抗实部的估计结果误差非常大。利用本文方法计算得到的谐波阻抗为2.56+j42.32Ω,相对误差为5.23%。因此,本文方法在波动量法失效的情况下具有显著优势。

针对本段数据,分别利用主导波动量法、随机矢量协方差法、二元线性回归法、稳健回归法计算等效谐波阻抗,与本文所提方法进行比较,结果如表4所示。可见,与传统方法相比,所提方法能在谐波波动不明显的情况下得到更准确的谐波阻抗估计结果。

6 结论

a.本文提出了基于非光滑复数域部分线性回归模型的谐波阻抗计算方法,解决了背景谐波波动占主导情况下的谐波阻抗计算问题,弥补了波动量法在背景谐波占主导情况下无法计算谐波阻抗的缺陷。

部分线性模型 篇5

关键词 非线性动力系统；交叉传染；Logistic 模型；货币危机

中图分类号 F830.9 文献标识码 A

A Dynamic Cross Contagion Model of Currency Crisis

ZHANG Yi, HUI Xiaofeng

(School of Management,Harbin Institute of Technology,Harbin,Heilongjiang 150001,China)

Abstract The increasing evidences have proved that the financial market is a multilevel nonlinear dynamical system constituted by financial subsystems coupling with each other on extensive connections.Thus the nonlinear and complex properties of the system would transmit the contagion instantaneously while financial crisis erupt. In this paper we set up a dynamic differential model of currency crisis cross contagions between two countries by expanding the generalized Logistics model. According to the Ordinary Differential Equations Qualitative Theory, all kinds of possible singular point and the stable conditions were analyzed, and financial contagion can be classified into two cases: controllable situation and uncontrollable situation.

Keywords nonlinear dynamic systems; cross contagion; Logistic model; currency crisis

1 引 言

自90世纪80年代以来，金融危机发生的频率越来越高，而每次危机都愈趋严重，更具有向其他地区蔓延的危险性。且随着全球经济一体化过程的不断深入，传染效应越发突出，一国发生的危机通过贸易渠道和金融渠道等迅速传染到其他国家，而受传染国家发生危机后，又会反作用于传染源国家。各种渠道的传染效应交织在一起，使金融危机的演化过程呈现出高度的系统性、复杂性和非线性特征，这使我们迫切地需要寻找出有效的方法来动态的刻画金融危机的演化过程，捕捉金融危机传染的证据，更好地建立金融危机的预警、跟踪和防范机制。

自从早期的经典三代货币危机模型理论形成后，学者们做出了大量的研究工作以进一步揭示货币危机传染的机制及路径。Olivier Loisel和Philippe Martin（2001）［1］提出了基于宏观经济变量的模型表明在一个完全垄断竞争部门中，政府为了提高全球贸易中的份额而有使本币贬值的激励，该模型同时表明贸易竞争越重要，越容易产生自发性投机危机。然而，区域合作模式虽然能增加参与国的福利，却会使彼此之间更具有贸易依赖性，一旦发生危机会导致危机传染效应更突出。Helmut Stix（2007）［2］研究了1992—1993年欧洲货币危机期间法国政府的干预效果并建立了马尔科夫转换模型来估测市场从平稳状态向危机状态转化的可能性。Li Gang，Pan Haomin和Jia Wei［3］用空间计量分析方法对次贷危机的传染路径进行了研究，得出传染的主要路径有地理位置因素，G7团体，贸易关联因素及开放资本项目。Thijs Markwat等（2009）［4］构建了一个基于多元线性Logit回归排序模型，发现在亚洲金融危机中，泰国股票市场崩盘后以骨牌效应的形式传染到东南亚各国，在利率、汇率等共同作用下形成金融危机。Kim（1999）［5］等通过韩国1997年金融危机以前的经济指标对金融危机预警系统进行训练与检验，发现使用人工神经网络预警韩国金融危机可以起到理想的效果。Phillips（2010）［6］用美国金融市场上的长期数据证实了金融泡沫从资本市场、房地产市场蔓延到贷款市场引发美国次贷危机，再通过商品市场和汇率市场传染到其他国家的过程。

通过对现有的文献进行总结，发现国内外关于金融危机传染的文献主要集中在从实证的角度来检验金融危机传染效应，对金融危机传染的复杂性和非线性特性及市场之间的交互影响现象解释不足，缺乏从数理的角度建立危机传染的模型来动态刻画金融危机的传染过程。本文以此为出发点，建立基于Logistic模型为基础的两个国家汇率价格交互影响模型，以期对危机传染做出新的解释。

2 模型

Logistic模型最早是应用于种群生态学研究领域的经典数学模型［7］。近年来，其被大量引入到社会科学、心理学及经济学的研究中来。在文献［8］中，建立了一个基于Logistic模型的金融危机传染微分动力学方程，本文将其作为基础模型进行进一步扩展，原始模型如式（1）所示：

dxdt=γ1x［1－xk1+α1y］，

dydt=γ2y［1－yk2+α2x］. （1）

对式(1)进行简单的扩展，可得到：

dxdt=γ1xk2α1－x－α2yk1－α2y,

dydt=γ2yk1α2－α1x－yk2－α1x. （2）

在本文中，考虑建立一个基于式(2)的货币危机在两个国家交叉传染的非线性微分动力学模型：

dxdt=γ1xk2α1－x－α2yk1+β1x－α2y,

dydt=γ2yk1α2－α1x－yk2－α1x+β2y. （3）

对模型中的变量解释为：

经 济 数 学第 29卷第1期张 一等：货币危机交叉传染的非线性动力学模型

部分线性模型 篇6

1.线性规划在新教材中的位置

普通高中课程标准实验教科书 (北师大版) 《数学》必修5第三章《不等式》中的第4小节介绍了简单线性规划的基本内容.这部分内容对于文科和理科的学生要求一样, 要求学生掌握解决线性规划问题的基本步骤, 学会从实际问题中抽象出简单二元线性规划并加以解决.整个不等式章节的教学约16课时, 简单线性规划这节内容需要3～4个课时.在学习简单线性规划问题之前, 先学习了不等关系、一元二次不等式以及基本不等式等内容, 让学生感觉学习线性规划问题不会那么突兀和难以接受.

2.比较新旧教材的区别

对于不等式, 以往的课程比较关注不等式的解法, 只是告诉学生如何去解不等式, 机械地练习, 而学生并不能理解不等式的意义以及用途;新的课程中强调不等式是刻画和描述现实世界中事物在量上的区别的一种工具, 是描述、刻画优化问题的一种数学模型.增加线性规划这部分内容, 让学生了解了不等式的应用及其几何意义, 为学生理解不等式的本质、体会优化思想奠定了基础.

二、为什么要增加线性规划这部分内容

1.线性规划与函数

解决线性规划问题, 可以归结为以下步骤: (1) 确定目标函数; (2) 确定目标函数的可行域; (3) 确定目标函数在可行域内的最值.

线性规划问题是最优化问题的一部分.从函数的角度来看, 首先, 确定目标函数, 用目标函数来刻画题目中的“好”与“坏”, “大”与“小”, 实际上目标函数就是二元函数 (在中学教材中) , 学生很容易理解目标函数这个概念;其次, 确定目标函数的可行域, 就是由约束条件确定目标函数的定义域, 学生可以通过画出图形很直观地看出可行域的范围;最后, 确定目标函数在可行域内的最值, 就是通过目标函数在可行域中移动, 确定在约束条件下的定义域所对应的目标函数的值域的最值.可以看出, 线性规划这部分内容与函数的联系极为密切, 而函数是高中数学中非常重要的内容, 因此, 在高中教材中引入高等数学中的线性规划问题便不足为怪了.

2.线性规划与数形结合

由于线性规划问题可以化归为目标函数求最值问题, 而目标函数在某个区域上的最值问题又可以通过直线的平移加以解决, 因此正确地画出不等式 (组) 表示的平面区域, 平移直线就是解决此类问题的关键.这就用到了数形结合的基本思想, 画出所求目标函数的可行域, 直观地解决线性规划的问题.作为高等数学中的内容的线性规划与中等数学中最基本的数形结合思想有着如此密切的联系, 将其引入高中课程也就变得理所当然.

3.线性规划的应用价值

《数学课程标准》中列举了10项指导数学课程设计的基本理念, 其中一项就是发展学生的数学应用意识.对数学的应用意识是衡量学好数学的一个标准, 很多时候学生甚至教师将数学知识的学习与应用分开来看, 这对于我们学好数学是非常不利的.而线性规划是一个应用性非常强的工具, 可以很好地锻炼学生的数学应用意识.平时生活中的很多问题都可以抽象成简单的线性规划问题, 例如:《数学课程标准》中的案例3是一个投入产出模型, 北师大版教材上的例9是关于为病人配营养餐的问题, 这些都是生活中很常见的, 让学生感觉到用自己学的数学知识可以解决这么多实际的问题, 会激励学生学习数学的兴趣和积极性.在新教材中引入线性规划这部分内容符合《数学课程标准》中提出的发展数学应用意识的课程目标, 并能很好地联系实际, 将所学知识运用到现实问题中, 有利于培养学生发现问题、解决问题、应用所学知识的能力和意识.因此引入这部分内容有其现实意义.

三、有关线性规划这部分内容的几点教学建议

1.注重培养学生发现问题、抽象出数学模型的能力, 发展其应用意识

教师在教学过程中, 不要简单地只讲解解决线性规划问题的基本步骤, 只是为了应对考试才反复训练解题能力, 应当有意识地鼓励学生善于将所学知识延伸到现实生活中, 发现更多需要解决的问题, 从而培养学生应用数学的能力和意识.比如, 有这样一个题:某人有楼房一幢, 室内面积共计180 m2, 可以住游客5名, 每名游客每天住宿费40元, 小房间每间面积15 m2, 可以住游客3名, 每名游客每天住宿费50元, 装修大房间每间需要1000元, 装修小房间每间需要600元, 如果只能筹款8000元用于装修, 且游客能住满客房, 他应隔出大房间和小房间各多少间, 才能获得最大收益?老师可以在讲解了有关基本步骤内容以及课本上的例题后, 给出学生这个问题.这是个很实际的问题, 可以让学生想象自己需要办这么一家旅社, 考虑它的装修问题, 这会让学生感到数学就在身边, 激发学生探讨数学问题的积极性.此题的解决实际就是按照线性规划的三个基本步骤进行的, 确定目标函数、确定目标函数的可行域、确定目标函数的最值, 但老师可以借此向学生举一反三, 给出若干其他例子, 也可以让学生去发现生活中的问题, 借以体现数学应用的广泛性.从而训练学生发现问题、抽象现实问题的能力, 增强其应用数学的意识和能力.

2.扎实基础, 学好有关不等式的基本内容, 为更好地理解线性规划奠定基础

线性规划的解决是建立在不等式的基础上的, 首先要学好不等式的相关知识, 理解不等式的意义及其几何意义, 才能更好地理解线性规划的含义.新教材的编写也是根据这样的规律, 首先介绍不等式的有关内容, 然后顺其自然地引入线性规划.老师在讲解这部分内容时, 需随时复习前面不等式的有关内容, 比如从实际情景抽象出一元二次不等式模型、了解基本不等式且会用基本不等式解决简单的最值问题、了解二元一次不等式的几何意义等基本内容, 只有扎实基础, 才能更好地学习接下来的内容, 更好地理解线性规划.

3.渗透数学的优化思想以及应用

优化思想是人们思考问题、解决问题的基本和重要的思想.在日常生活、学习和工作中, 为了提高效益, 会遇到各种各样的优化问题.人们做事总要有目标, 从数学的角度考虑, 希望对目标加以量化, 量化的目标才有好坏之分.线性规划就是一个很好的优化工具, 可以帮助人们解决很多的实际问题.教师在讲解这部分内容时应注意向学生渗透数学的优化思想, 引导学生发现数学的简洁美, 体会数学的美学精神.

参考文献

[1]李三平.高等数学与中学数学[M].西安:陕西师范大学出版社, 2006.

[2]数学课程标准研制组编写.数学课程标准 (实验) 解读[M].南京:江苏教育出版社, 2004.

部分线性模型 篇7

1.线性规划在新教材中的位置

普通高中课程标准实验教科书 (北师大版) 《数学》必修5第三章《不等式》中的第4小节介绍了简单线性规划的基本内容.这部分内容对于文科和理科的学生要求一样, 要求学生掌握解决线性规划问题的基本步骤, 学会从实际问题中抽象出简单二元线性规划并加以解决.整个不等式章节的教学约16课时, 简单线性规划这节内容需要3～4个课时.在学习简单线性规划问题之前, 先学习了不等关系、一元二次不等式以及基本不等式等内容, 让学生感觉学习线性规划问题不会那么突兀和难以接受.

2.比较新旧教材的区别

对于不等式, 以往的课程比较关注不等式的解法, 只是告诉学生如何去解不等式, 机械地练习, 而学生并不能理解不等式的意义以及用途, 新的课程中强调不等式是刻画和描述现实世界中事物在量上的区别的一种工具, 是描述、刻画优化问题的一种数学模型.增加线性规划这部分内容, 让学生了解了不等式的应用及其几何意义, 为学生理解不等式的本质、体会优化思想奠定了基础.

二、为什么要增加线性规划这部分内容

1.线性规划与函数

解决线性规划问题, 可以归结为以下步骤: (1) 确定目标函数. (2) 确定目标函数的可行域. (3) 确定目标函数在可行域内的最值.

线性规划问题是最优化问题的一部分, 从函数的角度来看, 首先, 确定目标函数, 用目标函数来刻画题目中的“好”与“坏”, “大”与“小”, 实际上目标函数就是二元函数 (在中学教材中) , 学生很容易理解目标函数这个概念.其次, 确定目标函数的可行域, 就是由约束条件确定目标函数的定义域, 学生可以通过画出图形很直观地看出可行域的范围.最后, 确定目标函数在可行域内的最值, 就是通过目标函数在可行域中移动, 确定在约束条件下的定义域所对应的目标函数的值域的最值.可以看出, 线性规划这部分内容与函数的联系极为密切, 而函数是高中数学中非常重要的内容, 因此, 在高中教材中引入高等数学中的线性规划问题便不足为怪了.

2.线性规划与数形结合

由于线性规划问题可以划归为目标函数求最值问题, 而目标函数在某个区域上的最值问题又可以通过直线的平移加以解决, 因此正确地画出不等式 (组) 表示的平面区域, 平移直线就是解决此类问题的关键.这就用到了数形结合的基本思想, 画出所求目标函数的可行域, 直观地解决线性规划的问题.作为高等数学中的内容的线性规划与中等数学中最基本的数形结合思想有着如此密切的联系, 将其引入高中课程也就变得理所当然.

3.线性规划的应用价值

《标准》中列举了10项指导数学课程设计的基本理念, 其中一项就是发展学生的数学应用意识.对数学的应用意识是衡量学好数学的一个标准, 很多时候学生甚至教师将数学知识的学习与应用分开来看, 这对于我们学好数学是非常不利的.而线性规划是一个应用性非常强的工具, 可以很好地锻炼学生的数学应用意识.平时生活中的很多问题都可以抽象成简单的线性规划问题, 例如《标准》中的案例3是一个投入产出模型, 北师大版教材上的例9是关于为病人配营养餐的问题, 这些都是生活中很常见的, 让学生感觉到用自己学的数学知识可以解决这么多实际的问题, 会激励学生学习数学的兴趣和积极性.在新教材中引入线性规划这部分内容符合《标准》中提出的发展数学应用意识的课程目标, 并能很好地联系实际, 将所学知识运用到现实问题中, 有利于培养学生发现问题、解决问题、应用所学知识的能力和意识.因此引入这部分内容有着其现实意义.

三、有关线性规划这部分内容的几点教学建议

1.注重培养学生发现问题、抽象出数学模型的能力, 发展其应用意识

教师在教学过程中, 不要简单地只讲解决线性规划问题的基本步骤, 只是为了应对考试才反复训练解题能力, 应当有意识地鼓励学生善于将所学知识延伸到现实生活中, 发现更多的需要解决的问题, 从而培养学生应用数学的能力和意识.比如, 有这样一个题:某人有楼房一幢, 室内面积共计180 m2, 可以住游客5名, 每名游客每天住宿费40元, 小房间每间面积15 m2, 可以住游客3名, 每名游客每天住宿费50元, 装修大房间每间需要1000元, 装修小房间每间需要600元, 如果只能筹款8000元用于装修, 且游客能住满客房, 他应隔出大房间和小房间各多少间, 才能获得最大收益?老师可以在讲解了有关基本步骤内容以及课本上的例题后, 给出学生这个问题.这是个很实际的问题, 可以让学生想象自己需要办这么一家旅社, 考虑它的装修问题, 这会让学生感到数学就在身边, 激发学生探讨数学问题的积极性.此题的解决实际就是按照线性规划的三个基本步骤进行的, 确定目标函数、确定目标函数的可行域、确定目标函数的最值, 但老师可以借此向学生举一反三, 给出若干其他例子, 也可以让学生去发现生活中的问题, 借以体现数学应用的广泛性, 从而训练学生发现问题、抽象现实问题的能力, 增强其应用数学的意识和能力.

2.扎实基础, 学好有关不等式的基本内容, 为更好地理解线性规划奠定基础

线性规划的解决是建立在不等式的基础上的, 首先要学好不等式的相关知识, 理解不等式的意义及其几何意义, 才能更好地理解线性规划的含义.新教材的编写也是根据这样的规律, 首先介绍不等式的有关内容, 然后顺其自然地引入线性规划.老师在讲解这部分内容时, 需随时复习前面不等式的有关内容, 比如从实际情景抽象出一元二次不等式模型、了解基本不等式且会用基本不等式解决简单的最值问题、了解二元一次不等式的几何意义等基本内容, 只有扎实基础, 才能更好地学习接下来的内容, 更好地理解线性规划.

3.渗透数学的优化思想以及应用

优化思想是人们思考问题、解决问题的基本和重要的思想.在日常生活、学习和工作中, 为了提高效益, 会遇到各种各样的优化问题.人们做事总要有目标, 从数学的角度考虑, 希望对目标加以量化, 量化的目标才有好坏之分.线性规划就是一个很好的优化工具, 可以帮助人们解决很多的实际问题.教师在讲解这部分内容时应注意向学生渗透数学的优化思想, 引导学生发现数学的简洁美, 体会数学的美学精神.

参考文献

[1]李三平.高等数学与中学数学[M].西安:陕西师范大学出版社, 2006.

[2]数学课程标准研制组编写.数学课程标准 (实验) 解读[M].南京:江苏教育出版社, 2004.

桅杆纤绳等效非线性弹簧模型 篇8

1纤绳几何非线性模型

1.1平衡方程和变形协调方程

纤绳为一端铰支于地面、另一端固定于杆身的斜向柔索。为表达方便,通常假设纤绳弦向为undefined轴,纤绳弦向与竖直方向所组成的平面为纤绳平面,记为undefinedoundefined平面,垂直于纤绳平面的方向为undefined轴。简化计算时,常忽略纤绳平行于弦向的分布荷载和纤绳垂直于弦向的端点位移,此时纤绳的计算简图如图1所示[2]。

根据微分单元ds的平衡条件,得到方程式(1)

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式中,T为纤绳轴向张力;q、q分别为作用于纤绳上沿undefined、undefined向的分布荷载。

方程(1)可简化为方程(2)

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式中,S为纤绳张力的弦向分力。

方程(2)为纤绳的静力平衡方程。首先假定纤绳两端固定,若q、undefined已知,l为跨长,考虑边界条件

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通过积分可以求得纤绳的曲线方程

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式中,ξ、ζ表示纤绳弦向坐标。

要解决纤绳的实际计算问题,仅有平衡条件是不够的,还须考虑纤绳的变形。纤绳的弧线长度通过式(5)求得

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将式(5)右端被积函数用级数展开,并略去二阶以上高次项,得纤绳弧长近似计算公式为

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纤绳变形前的弦向长度为l0,曲线方程为undefined;变形后的弦向长度为l,曲线方程为undefined;由式(6),纤绳弧长变化为

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另一方面,考虑拉力增量ΔT及温度增量Δt引起纤绳的弧长变化为

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联立式(7)和式(8)可以得到纤绳的变形协调方程

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式中,Ek、A、l0、ε分别为纤绳弹性模量、截面面积、跨长、材料线温度膨胀系数;Δl、Δt、ΔS分别为纤绳的弦向变形、温度变化和弦向张力增量。

设q、q0为作用在纤绳上的均布工作荷载与初始荷载,S0为纤绳弦向初张力,纤绳的基本方程为

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式中,S、l、Δl为纤绳跨长和弦向变形;Ek、A为纤绳弹性模量和截面面积;t、t0为纤绳工作温度和初始温度;ε为纤绳材料线温度膨胀系数;Δδ为支座沉陷量。

1.2纤绳非线性弹性刚度

纤绳方程(10)中,S与Δl为非线性的关系,纤绳弦向刚度K不是常数,S与Δl的关系曲线如图2所示。

对式(10)微分可以得到

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最终得到纤绳的刚度为

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2纤绳等效非线性弹簧模型

以下从实际应用的角度出发,采用一种直接数值拟合的方法得到纤绳的张力表达式和刚度。

纤绳方程式(10)的表达形式为纤绳弦向变形Δl关于弦向张力S的显函数,其中S为自变量。但在对桅杆进行计算时,需要知道张力S关于变形Δl的显式表达式。式(10)可看作是弦向张力S的三次方程,可以根据三次方程的解析解法求得其精确解,也可以用迭代解法求解。方程(10)的解析解表达式为有理分式,项数众多,非常烦琐,既不便于使用,而且参数的物理意义不明确,这里不详细给出。为了便于实际工程应用,可以采用数值拟合的方法,根据纤绳非线性方程拟合出由多项式表示的纤绳方程,并且可以根据具体的问题的范围调整多项式的项数和次数,使用灵活方便,参数意义明确,便于采用有限元计算。

纤绳非线性刚度的数值拟合的具体步骤如下。

首先,根据已知的初张力S0、荷载q、q0、纤绳跨长l、弹性模量Ek、截面面积A、纤绳工作温度t、初始温度t0、ε为纤绳材料线温度膨胀系数、支座沉陷量Δδ来确定纤绳方程(10)中的各系数,取一系列的自变量张力S的值,计算出相应的函数值弦向变形Δl。

其次,根据具体问题的范围,如纤绳节点变形或位移的大小区间选取前一步计算出的数值[Δl,S],假设拟合多项式

undefined

通常选二次多项式可满足一般的工程需要,使用最小二乘法[3]对拟合多项式的参数进行估计和计算。

最后,根据拟合的多项式,得到纤绳的等效非线性弹簧模型,进一步可以得到纤绳非线性变刚度的等效杆件单元的刚度矩阵。

假设由数值拟合出的纤绳非线性多项式模型为

undefined

S为弦向张力,Δl为弦向位移,则纤绳的线性刚度KL和非线性刚度KNL分别表示如下

undefined

3算例

图3所示为1座150 m高的无线电桅杆,有2层纤绳,每层均有3根,纤绳在平面内的相互夹角为120°。下层纤绳截面积为A1=1.65×104 m2,上层纤绳截面积为A2=2.688×104 m2,弹性模量E=1.20×105 N/mm2,纤绳的预应力为250 N/mm2,重力荷载下层纤绳为g1=43.5 N/m,上层纤绳为g2=56.3 N/m。

考虑上层纤绳节点在水平x方向的位移与节点水平力N的关系。根据初始参数,由纤绳方程(10)解出[Δl,S],假设纤绳的非线性多项式模型为式(14),设Δl在[-1,1]变化,由最小二乘法得到S=74 211+144 360(Δl)+82 618(Δl)2。3根纤绳的水平张力合力与节点水平位移的关系如图4所示。纤绳节点位移与张力的解析值与拟合值的比较见表1所示。可以得知,纤绳位移较小时,绝对误差较小,当位移较大时,解析值与拟合值的相对误差也可满足工程精度的要求。根据具体的工程情况和要求,可以提高拟合函数的次数,减小误差。

4结论

a.由平衡方程和变形协调方程导出纤绳的几何非线性模型,从而可以得到纤绳的非线性弹性刚度。

b.利用数值拟合的方法,采用最小二乘法对纤绳的解析式模型进行拟合,得到了纤绳的等效非线性弹簧模型和刚度。算例的仿真表明该方法能满足工程精度要求。

参考文献

[1]徐建波.桅杆结构风振响应及疲劳分析[D].上海:同济大学,2004.

[2]王肇民.桅杆结构[M].北京:科学出版社,2000.

节点边际电价线性规划模型分析 篇9

在市场经济的基本原理和运行规则中,商品价格是作为“杠杆”而被使用的。在成熟敏感的市场中,价格杠杆的使用,通常能够“撬动”多重因素,起到综合调节的作用。因此电能定价机制的设计是电力市场能否成功实现和实现好坏的关键问题,国外电力市场的实践中既有成功的范例也有失败的教训,因此对电能定价机制的设计必须慎重对待。

能量市场中定价机制的发展经历了一个从全系统统一边际电价(Unit Marginal Price,UMP)到区域边际电价(Zonal Marginal Price,ZMP)到完全节点边际电价(Locational Marginal Price,LMP)的发展过程[1]。只有在输电网络容量充足,也就是说,系统不会发生阻塞的情况下,UMP才能发挥作用,否则统一电价将给出错误的价格信号,致使调度员为保证系统安全经常发出强制性的运行命令,从而违背市场竞争的目的,同时大量的附加费用也将降低市场效率。目前UMP已基本淘汰。ZMP是LMP的近似和简化,因此它的使用范围有限,个别国家或地区由于其特殊的网架结构和负荷特性才采用ZMP定价机制,例如挪威、瑞典和美国佛罗里达州[2,3]的市场。发展至今,LMP被普遍认为是当前最有效和最可靠的电力市场定价机制,它已成功应用于世界上多种结构的电力市场,例如:PJM(Pennsylvania,New Jersey,Maryland)市场,New England ISO,New York ISO和NZEM市场等[4]。在美国联邦能源管制委员会(FERC)的推动下,LMP正在成为其倡导的“标准化市场设计(SMD)”的基石[1]。在我国,华东电网的基于全电量报价、节点电价与合同电价同时结算的市场模式也已经得到国家发改委和电监会的认可,正处于积极的测试运营和完善阶段。

LMP线性规划模型以其原理简单、实现方便,在国内外各实际电力市场中得到广泛的应用。本文通过对LMP线性规划模型的分析指出,由该模型计算得到的电价能反映系统运行中各市场参与者对网络损耗和系统阻塞的影响,使输电网各方得到正确的经济激励信号和投资引导。本文采用IEEE30节点算例分析指出,基于网损微增法计算的网损系数对系统平衡节点选取存在依赖性,由此产生的网损估计误差将造成市场公平性争议和系统安全隐患。

1 节点边际电价的线性规划模型

节点实时电价理论从20世纪70年代开始发展[5],它是基于经典经济调度模型,在资源配置和各约束条件满足情况下得出的边际电价,所以,它与经济调度和最优潮流有着深刻的联系。LMP计算模型大致可分为线性规划模型和非线性规划模型两大类。一般来说,非线性规划模型较复杂,但是能全面地考虑各种因素对节点电价的影响,例如:无功源/负荷的影响,节点电压的影响等[6,7,8]。因此非线性规划模型多用于理论研究和分析。相对于非线性规划模型而言,LMP线性规划模型由于其原理简单、实现方便,在国内外各实际电力市场中得到广泛的应用,例如PJM市场,我国的华东市场等。

典型的LMP线性规划模型可概括为如下形式:

目标函数(购电费用最小):

等式约束条件:

不等式约束:

(1)发电机出力限制

(2)支路功率约束:

式中:NG为系统中发电机的数量,Nl为支路数,NB为系统中节点数,Ci为第i台发电机的报价系数,PGi为第i台发电机的有功出力,Lossi为节点i的网损系数,PDi为第i节点的有功负荷,PCi,max,PGi,min为第i台发电机的有功出力上、下限,Ski为第i台发电机对支路k的功率灵敏度系数,Plk,max为支路k的功率上限。

由模型(1)—(4)可得到节点i的电价为:

式中:ρi为节点i的电价,λ为反映系统能量平衡约束条件系数,即等式约束条件(2)的拉格朗日乘子,μk为反映网络第k条线路输电功率约束条件系数,即不等式约束条件(4)的拉格朗日乘子。

2 节点电价的构成

一般来说,任何商品的价格都应该包括商品的生产成本、运输成本和运输损耗成本3部分。商品的生产成本是该商品生产过程中所耗费的自然资源成本、人力资源成本和设备折旧等一系列成本之和,它是决定该商品价格的主要因素。商品运输成本指的是商品从生产地运输到销售地所产生的交通运输费用,如果商品直接在生产地就地销售,则不会产生运输成本。运输损耗成本指的是一些商品在运输过程中由于存在损坏或损毁的可能性而产生的经济损失。一般运输损耗成本会随着运输距离增加,或者运输时间的延长而增加。与之相符,电能的节点电价也包括这三部分,但是各部分的意义稍有不同。

(1)生产成本。当不考虑网络损耗,同时不考虑线路输电约束时(或者说线路输电容量足够大输电网络不会发生阻塞),系统有能力调用网络中任何一台机组来满足系统负荷的需求。那么满足负荷微增长的机组,即最后一台竞价成功的机组,它在该出力下的报价就是节点电价的生产成本。

(2)运输成本。当线路阻塞情况发生时,阻塞导致某些节点的负荷不能调用系统中较为经济的机组,结果只能由较为昂贵的机组通过其他非阻塞线路为这些节点提供电力,导致系统中各节点出现电价差异。这些差异体现了节点电价中的运输成本。但是与一般商品价格中的运输成本意义不同,电价中的运输成本体现的不是电能运输过程中发生的费用(电能的运输费用,技术上称为输电费用,另有一套完整的理论体系和计算方法),它体现的是各节点对完成输送电能这一任务的贡献程度,专业术语称为阻塞成本。因此电价中的阻塞成本有正有负,正表示该节点对完成输送电能这一任务承担着积极的作用,而负则表示该节点对完成输送电能这一任务起着消极的作用。

(3)运输损耗成本。电能通过电网进行传输的过程将产生电能损耗,损失的电能成本将根据每个节点对网损的影响程度进行分摊,从而在节点电价中体现出运输损耗成本,这部分专业术语称为网损成本。

很明显,式(5)的第一部分,即乘子λ体现的就是电能的生产成本;第二部分,即Lossi×λ体现网损成本;第三部分,即体现阻塞成本。

3 模型分析

3.1 网损系数的作用

在电价模型(1)—(4)中网络损耗以网损系数的形式,作为体现各市场主体在电网中位置不同的影响因素而计入模型,它在电力系统安全运行和电力市场结算等方面起着重要的作用。

3.1.1 影响运行调度。

由于网损系数是对实际网损的近似估计,因此计算结果必然与实际的系统网损存在偏差,这样的近似可能引发由电价模型得到的发电计划在实际系统运行时是不可行的,主要表现为以下两种情况。

(1)网损过估计,也就是由网损系数估计的网损大于实际系统中的网损。以IEEE14节点系统为例(IEEE14的系统参数可参见IEEE标准,),在某一时刻,由模型(1)—(4)得到的发电调度计划是:PG1=130 MW,PG2=70MW,PG6=70 MW,网损为11 MW。而实际潮流计算系统运行网损只有7.7 MW,因此网损过估计。为保证电网运行安全必须削减机组的出力3.3 MW。然而减少哪台机组的出力以及如何减少就成为一个影响各方利益的有争议的问题。

(2)网损欠估计,也就是由网损系数估计的网损小于实际系统中的网损。同样以IEEE14节点系统为例,在某一时刻,由模型(1)—(4)得到的发电调度计划是:PG1=168.26 MW,PG2=70 MW,PG6=30 MW,网损为9.26 MW。而实际潮流计算系统运行网损是9.65 MW,因此网损欠估计。实际运行时需要从实时平衡市场购买电力补充。因此如何购买以及购买的成本如何分摊也是一个容易引起争议的问题。

3.1.2 影响市场收益。

在电力市场的运营规则中,网损系数将从两个方面影响用户的收益。

(1)机组中标。电力市场的竞价过程如下:首先,各发电商向市场交易中心提交各机组的报价;接着,市场交易中心根据各节点的网损系数对报价进行修正;然后,以修正后的报价,通过模型(1)—(4)得到调度计划和节点电价。由于竞价采用的是修正后的报价,因此网损系数在一定程度上将影响机组的中标。中标与否或者中标电量的多少都会直接影响发电商的收益。

(2)节点电价。从上一节的分析知道,节点电价由生产成本、网损成本和阻塞成本3部分构成。其中网损成本的大小受网损系数的影响,进而影响节点电价的大小。市场各参与者(无论是发电商还是用户)最后都是根据节点电价进行市场结算,因此即使是电价上存在着微小的差异,在乘以电量之后的结算金额也会相差很大。

3.2 常用的网损系数计算方法

由电价模型(1)—(4)计算得到的节点电价中网损成本为Lossi×λ,其中最重要的因素是网损系数,它直接反应了各节点对网络损耗的影响程度,从而体现其应承担的网损成本。在实际市场中网损系数的计算一般采用网损微增率法。具体步骤如下:

(1)给定一种典型的系统运行方式,在上网点增加一单位的发电出力,在系统参考点增加相应负荷,全网仍能保持电能平衡,计算系统网损的增加量。网损系数定义为该增量与单位发电出力的比值。

(2)取多个典型电力系统运行方式下的网损系数的加权平均作为最终采用的网损系数。

由该网损系数产生的网损成本具备以下几方面的特点:1)公平性。公平意味着市场参与者承担的网损经济费用横向比较与实际网损分布情况相适应,使各市场参与者容易接受。此外,公平性还体现在其计算结构不与某些主观因素相关。2)透明性。指各市场参与者清楚地掌握自身和其他参与者的网损修正额度,便于制定合理的竞价策略。3)简单。亦即方法原理易于理解,便于实现。

3.3 存在的问题

由于网损系数是基于网损微增的概念产生的,其计算过程主要通过潮流计算实现。在潮流计算过程中,平衡节点起到平衡系统网损的作用,因此在平衡节点处网损微增没有意义,即平衡节点的网损微增为零。另一方面,系统中各个节点的网损微增是以平衡节点为参考而言的。从物理意义上说,就是将平衡节点看作是虚拟的负荷中心,各个节点与负荷中心的电气距离决定了各节点的网损系数,因此平衡节点选取位置的不同将会导致各节点网损系数的不同。

以下以IEEE30节点系统为例,说明平衡节点选取对于节点电价和市场结算的影响。IEEE30的系统参数可参见IEEE标准,系统中各发电机的报价见表1,其中将各节点的机组作为一台机组考虑,每台机组的出力范围被分为10个容量段,针对每个容量段报一个价格。

分别以1节点,2节点和13节点作为平衡节点,得到的节点电价、网损成本以及各节点用户在该时刻所需支付(获得)的电费分别列于表2。从表中可以看出,在同一条件下,由于平衡节点的不同造成节点电价发生偏差,从而影响各用户的收益(表中的市场结算结果只是1小时的,如果考虑一天,甚至一年,市场收益的差别会更大)。因此,网损系数对市场参与者的收益有着举足轻重的影响,而平衡节点的选取又直接影响网损系数的值。所以平衡节点的选取必然引发公平性的争论。消除平衡节点对网损系数的影响是节点电价线性规划模型进一步实用化的关键。

4 结论

相对于非线性规划模型而言,节点电价的线性规划模型由于其原理简单、实现方便,在国内外各实际电力市场中得到了广泛的应用。本文通过对节点电价线性规划模型的分析指出,网损系数是模型中的关键因素,它对系统安全运行和市场公平结算有着重要的影响力。传统的网损微增法使电价模型对系统平衡节点选取存在依赖性,由此产生的网损估计误差将造成市场公平性争议和系统安全隐患。

对节点电价线性规划模型的分析研究,有助于得到更合理、更准确的电价信号,为我国电力市场的构建和运营提供一定的建议和参考。

摘要：文章通过对节点电价线性规划模型分析指出,节点电价包含电能生产成本,阻塞成本和网损成本,能反映系统运行中各市场参与者对网络损耗和系统阻塞的影响,能提供合理的经济信号引导发电投资和系统运行。网损系数是节点电价线性规划模型中的关键因素,实际市场中通常采用固定平衡节点的网损微增法计算网损系数。文章通过IEEE14节点和IEEE30节点算例分析指出网损微增法计算的网损系数对系统平衡节点选取存在依赖性,由此产生的网损估计误差将造成系统安全隐患和市场公平性争议,影响电力系统安全运行和电力市场稳定运营。

关键词：节点边际电价,线性规划,阻塞成本,网损成本,网损系数

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基于线性基函数模型的虹膜定位 篇10

虹膜是环绕瞳孔的灰色区域。虹膜纹理具有随机性、稳定性。亚洲人虹膜色彩通常较深,看起来与瞳孔融为一体,其纹理肉眼难以分辨。但在近红外光下,虹膜纹理清晰呈现,如图1所示。利用虹膜进行身份识别已有近20年的历史,具有速度快、识别率高的优点,是当前生物特征识别技术的一个热点[1,2]。虹膜定位是虹膜身份识别的关键步骤,定位的成败与精度直接影响到后续的纹理特征提取、虹膜匹配等步骤,对整个系统的性能有关键影响[3]。目前应用最广泛的虹膜定位算法,在虹膜图像为圆形时效果很好,但遇到非圆虹膜表现可能大幅下降。而由于眼睛的偏转与虹膜的复杂形状,实际应用中获取的虹膜图像经常是非圆的。另一方面,虹膜识别系统对实时性也有极高的要求。因此,研究速度快、精度高、能应对非圆虹膜的定位算法具有重要的现实意义,也是当前虹膜身份识别领域的热点之一[4]。

1 常用的虹膜定位算法

自从1993年Daugman[5]发表了其虹膜识别领域奠基性的论文,十多年间涌现了大量的虹膜识别算法[4]。其中影响最大的,是Daugman[5]和Wildes[6]的算法,前者也是目前商用虹膜识别系统中应用最普遍的算法。

Daugman用IDO算子(Integrodifferential Operators,圆周差分算子)进行虹膜定位。如式(1)所示,IDO算子在高斯滤波后的虹膜图像中寻找圆周像素值之和差分最大的圆。Wildes首先用Canny算子对虹膜图像做边缘检测,然后如式(2)所示,在边缘图像中用霍夫变换寻找经过最多边缘点的圆。

其中

两种算法都是基于“圆形虹膜”假设的。当虹膜边缘是标准圆的时候,两种算法都可取得优异的定位效果。然而在实际应用中,采集设备获取的虹膜图像常常不是圆的。非圆虹膜主要有两种情况:off-gaze(视线偏轴)与非圆虹膜。当目标视线与摄像头中轴线不重合时,本来是圆形的虹膜在图像中呈现为椭圆,称为off-gaze,如图1(a)所示;尽管人类的虹膜都是封闭的近圆曲线,但大量的数据表明,许多虹膜边缘远非圆形,如图1(b)所示。图1中白色的圆是算法定位的结果,容易看出定位结果与实际虹膜边缘在内边缘附近有肉眼可见的明显偏差,这说明对非圆虹膜,基于“圆形虹膜”假设的算法不可能精确定位虹膜边缘。而研究表明,虹膜内边缘附近区域正是对虹膜定位效果影响最大的区域[7]。2010年,Matey[3]的研究表明,这种定位不精确可能显著降低识别系统的性能。

文献中适用于非圆虹膜的定位算法,主要是椭圆拟合法[8]与动态轮廓线法[9]。然而,椭圆拟合法不适用于卵形、栗形虹膜;动态轮廓线法往往速度较慢,而虹膜识别系统对实时性有较高的要求。

因此,研究能精确定位各种形状虹膜的算法是必要的。通过考察虹膜定位问题的特点,本文从机器学习的角度出发,提出一种基于线性基函数的虹膜定位算法。该算法先粗定位虹膜边缘点,然后用线性基函数模型对边缘点做线性回归,不仅可以准确的定位非圆虹膜,而且速度极快,额外耗时几乎可以忽略不计。

2 基于线性基函数模型的虹膜定位

对非圆虹膜,基于“圆形虹膜”假设的虹膜定位算法不能精确定位虹膜。然而,这些算法仍能大致准确的定位虹膜中心与平均半径。从图1可见,实际的虹膜边缘距离算法定位的结果,往往只有几个到十几个像素的偏差。如果用IDO算子定位虹膜中心与平均半径r,抽出虹膜图像中平均半径上下各H/2像素的环形区域,用式(3)所示的对应关系展开成矩形,如图2所示,那么从图3(a)可见虹膜边缘点基本都落在矩形中。这里(xc,yc)为圆环上点的坐标,(i,hi)为矩形上点的坐标。

然后对矩形图像做一定前处理,并求差分,差分最大的值标记为边缘点,如图3(b)所示,那么只需从边缘点求出边缘函数,由边缘函数求出新边缘点,再按式(3)的对应关系把新边缘点映射回原虹膜图像,就可得到虹膜边缘的定位。这样,虹膜定位问题就转化为机器学习中的回归问题。

该问题有三个主要难点:1)虹膜形状各异,有圆形、椭圆形、卵形、栗形等,虹膜边缘曲线难以用一个参数较少的函数统一描述;2)虹膜边缘通常受到反光、睫毛遮挡、眼皮遮挡等的干扰,造成部分错误数据;3)身份识别系统对实时性要求很高,算法耗时必须极短。综合考虑这三个难点,本文不考虑显示的虹膜边缘函数,亦不考虑非线性回归,转而考虑线性基函数模型。恰当选择基函数,可以无限逼近任何连续函数,即可以模拟各种形状的虹膜;控制基函数的项,可以调整鲁棒度,即可以消除错误数据的影响;函数是线性的,因此运算速度极快。这样,三个难点都得到解决。考虑到在矩形中,最左侧的虹膜边缘点与最右侧的相接,令矩形长度为N,则选择三角函数(cos(2πk/N),sin(2πk/N))(k=1,2,…)为基函数是最自然的,因为这些函数周期是N/k,选择它们为基函数可使边缘曲线两端自然相接。另外,基函数包括奇函数和偶函数,使其能够表达各种形状的曲线。基函数的数量越多,曲线就越不规则,越少,曲线就越平滑。特别的,选择0个基函数时,边缘曲线是圆。大量实验表明,基函数数量为4,基函数函数式为(cos(2π/N),sin(2π/N),cos(4π/N)sin(4π/N))时,即可获得满意效果,既能精确的拟合虹膜边缘,又能消除睫毛等干扰的影响。令边缘点在矩形中的高为{hi},i=1,2,…,N,边缘函数的线性基函数形式写为

其中w=(w0,w1,w2,w3,w4)T。

该函数的平方误差函数为

根据线性基函数模型,最小化该平方误差函数,即可求得线性基函数的参数w。令式(5)的导数为0,求得该问题的解为

求得的边缘函数曲线如图3(c)所示。这个线性基函数运算速度极快,几乎不耗时间。当N=360时,运行在奔腾双核CPU(2.50 GHz、2.49 GHz)上,仅需0.2 ms。而且,(φTφ)-1φT对所有图像都一样,可以事先算好,避免重复计算,进一步节省运算时间。

3 仿真实验及结果分析

仿真实验所用的虹膜图像来自于中科院自动化所模式识别国家重点实验室的虹膜图像数据库CASIA-Iris V3-Interval。CASIA-Iris V3-Interval使用中科院自制的虹膜图像采集设备,共有395只眼睛、2 639幅图像,图像解析度为320×280。选择这个数据库的原因,是该库包含大量非圆虹膜,而且瞳孔受光斑的干扰严重,部分图像虹膜区域受睫毛、眼皮遮挡严重,适合验证本文算法的有效性。

实验采用Matlab R2007a编程,运行在奔腾双核CPU E5200(2.50 GHz、2.49 GHz),内存3 GB的个人计算机上。实验结果主要从以下两个方面衡量。

1)定位准确率。CASIA-Iris V3-Interval未提供虹膜定位数据信息,因此,本文由人主观判断定位是否准确。虹膜定位结果被绘制在虹膜图像上,人通过观察判断定位是否准确。标准是:定位结果与人的主观判断没有明显的偏差。

2)定位时间。所提方法由两步组成:用IDO方法粗定位,与用线性基函数精定位。实验中主要关注的是,所提算法在精定位阶段的时间消耗。

所提方法的定位效果如图4所示。

由图4可见,对off-gaze导致的椭圆形虹膜图像,如图4(a)、(d)所示;与虹膜自身几何形状导致的非圆虹膜图像,如图4(b)、(c)所示;所提算法都能精确定位虹膜边缘,定位结果与人的主观判断吻合。而按照本文判断定位准确的标准,基于“圆形虹膜”假设的定位算法,如Wildes的算法及商业系统中应用最广的Daugman的IDO算子,对这些虹膜图像都定位失败,尽管它们能大致准确的定位虹膜圆心和半径。对受到反光、遮挡的影响严重的虹膜图像,如边缘严重反光的图4(a)、(c)、睫毛遮挡严重的图4(b)、(d)、受眼皮遮挡影响的图4(d),所提算法亦能精确定位边缘。实验结果表明,所提算法能精确定位非圆虹膜,而且能消除反光、遮挡的影响,具有良好的鲁棒性。

与Daugman的IDO算子、Wildes算法、Daugman的AC算法(Active Contour,动态轮廓线)[9]三种定位方法相比,定位准确率与定位时间如表1所示。

由表1可见,与基于“圆形虹膜”假设的定位算法相比,所提算法定位精度极大提高,定位时间与用时最短的方法相比有微小增加。这是因为所提算法是由两个部分组成的:虹膜圆心、半径的粗略定位;与基于线性基函数的精确定位。前者正是基于“圆形虹膜”假设的定位算法,后者消耗的时间正是精确定位所用的时间,这段时间极短,大约1 ms。与同样适用于非圆虹膜的Daugman的AC算法相比,定位精度相同,定位时间大大减小。AC算法与所提算法本质上都由粗定位、精定位两段组成。使用同样的粗定位算法,实现同样的精度提升,AC算法要多消耗17 ms,所提算法仅多消耗1 ms,达到精确定位需要的额外时间只有AC算法的6%。对比实验的结果表明,所提算法能有效实现各种形状虹膜的精确定位,而且定位时间极短。

4 结论

本文提出了一种基于线性基函数的虹膜定位算法。该算法先粗定位虹膜边缘点,然后把虹膜定位问题看做从边缘点求得边缘曲线的回归问题,并利用机器学习中的线性基函数模型,对边缘函数的线性基函数形式做线性回归,实现了虹膜的精确高效定位。与常用的虹膜定位算法相比,所提算法能精确定位圆形虹膜与非圆虹膜,而且速度极快,只需要额外消耗1 ms的时间。

当虹膜边缘受反光、遮挡影响更为严重的时候,所提算法仍存在需要改进之处。线性基函数模型要求误差近似的呈正态分布,大量的错误数据使该前提难以成立。此时就需要引入鲁棒回归,建立鲁棒的数学模型,就可实现精确定位。

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