状态依赖时滞

关键词：

状态依赖时滞（精选三篇）

状态依赖时滞 篇1

自然界中的周期现象通常导致人们去研究泛函微分方程周期解的存在性，特别是在一些生态模型中，由于现实意义的需要，往往还要求人们讨论周期正解的存在性。另一方面，脉冲现象在生态模型中也普遍存在着，并有着特别的意义，而脉冲微分方程正是这些脉冲现象最直接的反映，于是讨论脉冲微分方程的正周期解有着重要的意义[1,2,3,4,5]。其中文献[6]讨论了如下非自治时滞脉冲微分方程的周期解的存在性。

但是,这里研究的是滞量为一个定数的情形，对于更复杂的情况比如滞量依赖于未知函数，这类方程通常叫做时滞依赖于状态的微分方程。因此，对于脉冲微分方程周期解有待更进一步的研究，特别是在脉冲和时滞共存甚至更复杂的情形下，系统解的规律与特征尚需深入探讨。所以，在许多实际问题中，要对其准确地描述，就必须同时考虑时滞或脉冲对时滞的影响，这在研究脉冲时滞微分方程解的形态方面具有极为重要的现实意义。本文将进一步考虑如下具有状态依赖时滞的脉冲方程：

式(2)中a∈C(R,(0,∞)),a(t+T)=a(t),f∈C(R×[0,∞)),f(t+T,u)=f(t,u),τ,T>0为常数，tk为脉冲点，Ik∈C(R×[0,∞)，[0,∞))，△y(t)=y(t+k)-y(t-k),y(yk)-和y(t+k)分别是为y(tk)的左右极限，且y(t+k)=y(tk)，而且存在q∈N，使Ik+(qtk+qy)=I(ktk,y),tk+q=tk+T，且当k→∞时，tk→∞，时滞τ(y(t))是最大值存在的非负连续的T-周期函数。

令：

本文主要应用下面定理1来证明正周期解的存在性：

定理A：设E是Banach空间,K是E中的一个锥,让KT={u∈K∶‖x‖

(1)如果对,成立‖Tx‖≥‖x‖,那么(iT,Kr,K)=0

(2)如果对,成立‖Tx‖≤‖x‖,那么(iT,Kr,K)=1

1 预备知识

其中：

PC(R,R)={y:R→R│y(t)在t≠tk处连续，在t=tk处y(tk+)和,(tk-)存在且y(tk+)=y(tk)}，定义范数：

则E是一个Banach空间。

引理1对y∈PC(R,R)⌒C′(R′,R),令：

则方程(2)存在周期解当且仅当方程(3)存在周期解。

证明若y(t)是方程(1)的周期解,则t≠1时,

两边同时积分可得：

由于,

于是

另一方面，若y(t)是方程(3)的周期解，则有：

当t≠tk时,对上式微分，得到：

由于f(t+T,u)=f(t,u)，于是有：

当t=tk时,有：

因此△y(tk)=Ik(tk,y(tk-),t=tk。

令：

其中0<μ≤δ，则K奂E。

定义F∶E→E。

引理2 F(K)奂K。

证明取,则：

即有Fy∈K，所以F(K)奂K。

显然，由Arzela-Ascoli定理易知算子是全连续算子F∶K→K是全边疆算子。

2 主要结果

为行文简便，我们先设定如下假设：

定理1：若条件(H1)(H3)、(H2)(H3)、(H1)(H4)、(H2)(H4)其中之一满足，则方程(2)至少有一个T-周期解。

证明不妨假设(H2)(H3)成立，一方面，由于，则,使：

令,则对于任意的，我们有：

于是。故。

另一方面，由于maxf0,maxI0存在，则,对任意的

于是

所以.由定理A，方程(1)在上至少存在一周期解.其它情形可类似证明，这里从略。

定理2：假设存在两个正常数ρ3,ρ4，ρ3<δρ4且以下条件成立：

其中，r1,r2为正常数且满足，则方程(1)至少有一个T-周期解。

证明不妨假定，令则对任意的。

于是有

令,则对任意的,

于是‖Fy‖≥‖y‖，y∈Ωρ4⌒K,i(F，Ωρ4,K)=0所以由定理A，方程(1)在上至少存在一周期解。

注：若将定理1和定理2中的条件结合起来，我们还可以得到关于方程(1)周期解存在性的一些较好的推论。

参考文献

[1]Liu Bing.Positive periodic solution for a nonautonomous delay differential equation[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,English Series,2003,19(2):307-316.

[2]Jia Junguo,Wang Miansen,Li Meili.Periodic solutions for impulsive delay differential equations in the control model of plankton allelopathy[J].Chaos,Solitons and Fractals,2007,32:962-968.

[3]Yang Zhichun,Xu Daoyi.Existence and exponential stability of periodic solution for impulsive delay differential equations and applications[J].Nonlinear Analysis,2006,64:130-145.

[4]李建利,申建华.一类脉冲微分方程正周期解的存在性[J].应用数学,2004,17(3):456-463.

[5]张小芝,刘斌.一类非自治时滞脉冲微分方程正周期解的存在性[J].数学杂志,2007,27(2):157-163.

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[7]Han Fei,Wang Quanyi.Existence of multiple positive periodic solutions for differential equation with state-dependent delays[J].J.Math.Anal.Appl.,2006,324:908-920.

[8]Arino O.,Hadeler K.P.,Hbid M.L..Existence of periodic solutions for delay differential equations with statedependent delay[J].J.Differential Equations,1998,144,263-301.

[9]Lakshmikatham V.,Bainov D.D.,Simeonov P.S..Theory of Impulsive Differential Equations[M].Singapore:World Scientific,1989.

[10]Deimling K..Nonlinear Analysis[M],New York:Springer,1985.

状态依赖时滞 篇2

01

有没有发现，当你悲伤难过时，你会突然记起一系列悲伤难过的事?

你有想过原因吗?

要知道，大脑储存情绪记忆的分类是情绪而不是事件内容。

这其实是有真实的科学研究成果依据的。

研究表明，当我们处于某些特定的“化学脑”或“感性脑”状态时，我们很容易回想起曾经处于同样状态时的记忆和感觉，因此，要产生与这种状态无关的想法，就变得愈加困难。

比如当我们处于愤怒或恐惧状态时，我们更容易关联到其他愤怒或恐惧的想法和感觉，而要关联到那些令人平静或宽容的想法就变得困难。这种现象称为“状态依赖”。

1961年，坦普尔大学的心理学专家唐纳德・奥弗顿率先利用老鼠走迷宫的实验论证了状态依赖的存在。奥弗顿训练一群老鼠走迷宫，之后再给它们注射强力镇静剂戊巴比妥。奇怪的是，在注射镇静剂之后，那些老鼠就忘记怎么走迷宫了，它们变得漫无目的，跌跌撞撞，不断走错路，就像一个醉汉。而等药效退去，它们又可以正常走迷宫了。

然后奥弗顿开始训练之前已经注射过镇静剂的老鼠走迷宫，在药效期间，这些神情恍惚的老鼠也同样可以被训练走迷宫。但当奥弗顿不再给它们注射药物，让这些老鼠尝试在清醒的状态下走迷宫时，它们就不停走错，仿佛从没学习过怎样走迷宫，得重新训练。而一旦再给它们注射药物，它们又记得如何走迷宫了。

走迷宫和记忆有关系，药物的注射会导致大脑化学成分的改变。而一旦大脑中某一化学成分发生改变，那么之后我们可能就想不起来原来编码在那个化学成分下的记忆。

而要知道，情绪是大脑重要区域中独特的化学状态，情绪的改变很可能会改变你提取大脑重要信息的能力。

02

这种现象在挽回中也非常普遍。

你会发现，当你处在失恋以及对失去这个人的极大恐慌中时，你似乎不受控制地做很多错事。当你意识到这一问题后，你拼命想弥补，却又拼命地做出更多错事。

由此你就陷入一个怪圈：越想挽回，你越是做错事，越是想抓住，你失去得越快。

为什么会出现这样的局面?这个和我们的情绪状态有着怎样密不可分的关系?

1、你关注什么，便发生什么

事情往往是这样的，你买了一辆银色的汽车 ，然后发现街上到处都是银色轿车，你丢失了一只狗，随后发现满街都是流浪狗，却都不是你丢的那一只。

人的境遇是一种筛子，筛选了落到我们视野里的人和事，人一旦掉到一种境遇里，就会变成吸铁石，把铁屑都吸到身边来。

当你整个人悲观、消极、疑虑时，你只会也只能关注到那些灰暗的一面：比如TA绝情的态度，TA新认识的异性，TA对你的负面评价等等，并且你的潜意识会有夸大的倾向，于是急于弥补，揠苗助长，反而欲速则不达。

2、情绪的衍生作用

相信每个人都有过失声痛哭的经历，一开始你只是觉得有点悲伤，后来越想越难过，于是你小声啜泣起来，当你开始哭泣的时候，其实已经在调动一系列相关的负面情绪，这是你会变得更加难受，你开始哭到哽咽，肩膀一抖一抖的，甚至整个身体都抽动起来。

你越哭越尽情，即使哭到眼睛红肿，哭到鼻塞喘不开气，你依然觉得悲伤无法弥散开。如果一直没有外界干扰，你很可能一直哭下去，如果这时来了一个电话，让你下楼拿快递。因为这样一个干扰事件，等你拿了东西回来时，你可能就不想哭了。因为你极度悲伤的记忆被切断了，情绪恢复到相对平稳的状态。

事实上，很多人在失恋后会任由自己陷入在悲伤的情绪中，他们拒绝类似“拿快递事件”的刺激以让自己走出来，比如旅游散心，运动发泄，或者找心理导师等。他们沉浸其中无法自拔，觉得自己的悲伤是无法复制的，仿佛只有极度的痛苦才能凸显自己爱的深沉。因此，因失恋而离职，退学，甚至闹自杀的大有人在。

3、负面情绪会削弱社会支持系统

但是在日常生活中，如果一个朋友，第一次找我抱怨，我会耐心安慰，第二次找我吐槽，我会耐心安慰，第三次找我哭诉，我会耐心安慰，第四次、第五次、、、、、、我会把他拉黑。

一个人对另一个人的情绪容纳能力都是有限度的，如果你在情绪需求维度上对他们透支太多，那么在具体操作领域，你将失去他们的支持和帮助。

我经常听见求助的失恋者对我说：老师，只有你能帮我了，周围的朋友都对我烦透了!

03

情绪问题是一切挽回问题的出发点，好的情绪状态就像一个支点，能起到四两拨千斤的作用。

但是有相当一部分失恋者，往往忽视情绪的作用，他们急于寻找挽回中的“灵丹妙药”，恨不得你告诉他们一句话，就能让他们的前任答应复合。结果呢，因为他们糟糕的情绪状态，即使再高招的方法也失去原本的效力，甚至让事态变得更加严峻。

因此，挽回的第一步，你需要克服自己身上的“状态依赖”，培养平和、稳定的`情绪，这有利于你对情况的理性审视，对他人建议的合理接收，以及你自己聪明才智的有效发挥。

要知道，萎靡不振的情绪很难做出效果明显的挽回方式，就好比一个烂醉如泥的人说不出一句清醒的话，因为你本身大脑中的化学成分就摆在那里了。

如果你想给自己的挽回塑造一个良好的情绪前提，为此：

1、不要纠结于为什么这样，而要考虑“我该怎样”

经常会听到这样的表述：

他为什么这样绝情?

凭什么这样对我?

至于要和我分手吗?

难道不能多包容我点吗?

就好比一个摔伤的人，不去医院，却坐在原地怼天怼地。解决不了任何问题，还在痛苦之余，把自己搞得一肚子气，仿佛自己是最大的倒霉蛋。

事情既然已经发生了，我们只能去接受，既然你想挽回，等于你是默认了一切的客观条件，你改变不了它们已经发生或存在的事实，只能给自己更多大刀阔斧改变的勇气。

2、多接收新的观点，多尝试之前没做过的事

一直以来，我习惯于在家用跑步机锻炼身体，某天晚上，老公心血来潮拉着我出去散步。那天，我们手牵手，聊了很多，一路看见川流不息的车辆，热闹的市井，旁边学校清脆的铃声，对我来说，惬意极了，从未想过散步可以有这样温馨的体验。从那之后，我爱上了散步。

我们的心理状态也是如此，需要不定期地更新、重组、接受外界刺激，才可以变得更丰盈。如果你固执己见，如果你一成不变，你永远发现不了新的问题和转机。

不同的经历会给我们带去不同的情绪感受，并且你做的积极的事件越多，你积极的情绪体验就越强烈，到最后整个人的心境都会得到彻底改观。心态好的不一定复合成功，心态不好的一定复合失败。

状态依赖时滞 篇3

在自然界,系统未来的发展趋势既取决于当前状态,也与过去状态有关,这类现象称为时滞[1,2]。时滞现象广泛存在于电力系统的各个环节,是导致控制设备失效、系统恶化和失稳的一种重要诱因,因此研究时滞系统稳定性判据和寻求有效的时滞稳定控制手段,具有十分重要的现实意义[2,3,4]。

人们对时滞系统稳定性的研究开展较早[1]。早在20世纪50年代,O.J.Smith就提出Smith预估器的完整理论[5],在已知系统时滞变化规律时,通过它可完全消除传递函数中已知的固定时滞,从而将其简化为一般系统进行考虑;80年代[6,7]就已形成较完整的线性时滞稳定分析理论。但当时滞并非固定常数时,上述方法将难以奏效。而采用Lyapunov稳定性理论研究时滞系统稳定性,则不受此限制,因此寻求科学的Lyapunov时滞稳定判据,就成为近年来这一领域的研究热点。时滞系统Lyapunov稳定分析方法主要分为基于Razumikhin理论和基于Krasovskii理论的2类[8],前者因缺乏列解Lyapunov函数的有效方法而逐渐被后者所取代。基于Krasovskii理论的方法,主要分为时滞依赖型和时滞独立型,由于时滞独立型方法要求系统的稳定性不依赖于时滞的大小,因而其所给出的判据较时滞依赖型方法具有更大的保守性。另外,基于Lyapunov理论的稳定判据只给出时滞系统稳定的充分条件,方法本身存在一定的保守性,因此近年来的研究多集中在如何降低Lyapunov时滞稳定判据的保守性上[9,10,11,12,13,14,15]。文献[13]通过在单时滞稳定判据推导过程中加入松散项以降低方法的保守性,收到了很好的效果,并在此基础上推导出了时滞依赖型鲁棒稳定判据。文献[14]将这种方法推广应用到多时滞系统,形成了自由权矩阵(free weighting matrix)方法,但大量松散项的引入使得该方法的计算效率受到很大影响。文献[16]则利用文献[13]的思想,通过仅引入必要的松散项,在降低判据保守性的同时提高了计算效率。

本文在文献[16]的基础上推导了含不确定性扰动项的时滞系统鲁棒稳定判据。最后借助单机无穷大系统和WSCC 3机9节点系统,利用本文方法讨论了励磁放大系数扰动项对系统时滞稳定的影响,证明了本文方法的有效性。

1 电力系统时滞模型

存在时滞环节的电力系统模型可表示为:

$\{\begin{array}{l}\dot{\mathit{z}}=\mathit{f}(\mathit{z},\mathit{y},\mathit{z}{}_{\tau 1},\mathit{y}{}_{\tau 1},\mathit{z}{}_{\tau 2},\mathit{y}{}_{\tau 2},\cdots ,\mathit{z}{}_{\tau m},\mathit{y}{}_{\tau m},\mathit{p})\\ 0=\mathit{g}(\mathit{z},\mathit{y},\mathit{p})\\ 0=\mathit{g}(\mathit{z}{}_{\tau 1},\mathit{y}{}_{\tau 1},\mathit{p})\\ 0=\mathit{g}(\mathit{z}{}_{\tau 2},\mathit{y}{}_{\tau 2},\mathit{p})\\ \cdots \\ 0=\mathit{g}(\mathit{z}{}_{\tau m},\mathit{y}{}_{\tau m},\mathit{p})\end{array}(1)$

式中:z∈Rn,y∈Rm,p∈Rp分别为状态变量、代数变量和分岔变量;zτi=z(t-τi),yτi=y(t-τi)分别为时滞状态变量和时滞代数变量;τi>0(i=1,2,…,m)为时滞常数。

在平衡点(z0,y0)处对其线性化可得:

$\{\begin{array}{l}\text{Δ}\dot{\mathit{z}}=\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{A}}}{}_0\text{Δ}\mathit{z}+\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{B}}}{}_0\text{Δ}\mathit{y}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m(}\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{A}}}{}_{\tau i}\text{Δ}\mathit{z}{}_{\tau i}+\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{B}}}{}_{\tau i}\text{Δ}\mathit{y}{}_{\tau i})\\ 0=\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{C}}}{}_0\text{Δ}\mathit{z}+\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_0\text{Δ}\mathit{y}\\ 0=\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{C}}}{}_{\tau 1}\text{Δ}\mathit{z}{}_{\tau 1}+\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_{\tau 1}\text{Δ}\mathit{y}{}_{\tau 1}\\ 0=\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{C}}}{}_{\tau 2}\text{Δ}\mathit{z}{}_{\tau 2}+\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_{\tau 2}\text{Δ}\mathit{y}{}_{\tau 2}\\ \cdots \\ 0=\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{C}}}{}_{\tau m}\text{Δ}\mathit{z}{}_{\tau m}+\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_{\tau m}\text{Δ}\mathit{y}{}_{\tau m}\end{array}(2)$

式中:$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{A}}}{}_0=\frac{\partial \mathit{f}}{\partial \mathit{z}}$p;$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{B}}}{}_0=\frac{\partial \mathit{f}}{\partial \mathit{y}}$p;$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{C}}}{}_0=\frac{\partial \mathit{g}}{\partial \mathit{z}}$p;$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_0=\frac{\partial \mathit{g}}{\partial \mathit{y}}$p;$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{A}}}{}_{\tau i}=\frac{\partial \mathit{f}}{\partial \mathit{z}{}_{\tau i}}$p;$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{B}}}{}_{\tau i}=\frac{\partial \mathit{f}}{\partial \mathit{y}{}_{\tau i}}$p;$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{C}}}{}_{\tau i}=\frac{\partial \mathit{g}}{\partial \mathit{z}{}_{\tau i}}$p;$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_{\tau i}=\frac{\partial \mathit{g}}{\partial \mathit{y}{}_{\tau i}}$p。

当$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_0,\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_{\tau i}$非奇异,方程(2)可简化为:

$\{\begin{array}{l}\dot{\mathit{x}}=\mathit{A}{}_0\mathit{x}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\mathit{A}}{}_i\mathit{x}{}_{\tau i}\\ \mathit{x}(t)=\mathit{\phi }(t)t\in [-\tau ,0]\end{array}(3)$

式中:xτi=x(t-τi)=Δz(t-τi)(i=0,1,2,…,m;τ0=0);$\mathit{A}{}_0=\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{A}}}{}_0-\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{B}}}{}_0\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_0^{-1}\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{C}}}{}_0$;$\mathit{A}{}_i=\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{A}}}{}_{\tau i}-\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{B}}}{}_{\tau i}\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{D}}}{}_{\tau i}^{-1}\stackrel{\sim }{{\displaystyle \mathit{C}}}{}_{\tau i}(i=1,2,\cdots ,m)$;φ(t)为系统初始轨迹,t∈[-τ,0],τ=max(τ1, τ2,…, τm)。

进一步,系统特征方程可表示为:

$\det (\lambda \mathit{{\rm I}}-\mathit{A}{}_0-{\displaystyle \sum _{i=1}^m\mathit{A}}{}_i\text{e}{}^{-\lambda \tau {}_i})=0(4)$

设C-,C+,C0分别表示复平面的左半平面、右半平面和虚轴。令τ=(τ1,τ2,…,τm),则在(τ1,τ2,…,τm)空间中,τ确定一个方向$\overrightarrow{\mathit{k}}=(k{}_1,k{}_2,\cdots ,k{}_m)$。其中:ki=τi/‖τ‖(i=1,2,…,m);‖·‖为欧式范数。在该方向上的系统全部时滞向量可表示为:

$\mathit{\tau }{}_{\overrightarrow{\mathit{k}}}=(k{}_1,k{}_2,\cdots ,k{}_m)\stackrel{\sim }{{\displaystyle \tau }}(5)$

沿$\overrightarrow{\mathit{k}}$方向,从0开始逐渐增大$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \tau }},$若$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \tau }}<\tau {}_{\lim ,k}$,系统全部特征值位于C-内;若$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \tau }}=\tau {}_{\lim ,k}$,某一特征值λc位于C0上;若$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \tau }}>\tau {}_{\lim ,k},\lambda {}_c$进入C+,则τlim,k即为$\overrightarrow{\mathit{k}}$方向上的系统时滞稳定裕度,而时滞区间[0, τlim,k)对应着系统可稳定运行的区域。时滞稳定裕度曲线构成了时滞参数空间中电力系统小扰动稳定域的边界,因此,只需保证系统时滞向量位于稳定域内,即可保证系统的小扰动稳定性。

如果系统中存在扰动,式(3)将变为:

$\{\begin{array}{l}\dot{\mathit{x}}=(\mathit{A}{}_0+\text{Δ}\mathit{A}{}_0)\mathit{x}+{\displaystyle \sum _{i=1}^m(}\mathit{A}{}_i+\text{Δ}\mathit{A}{}_i)\mathit{x}{}_{\tau i}\\ \mathit{x}(t)=\mathit{\phi }(t)t\in [-\tau ,0]\end{array}(6)$

式中:ΔAi为系统参数扰动项,i=0,1,2,…,m。

本文目的是利用Lyapunov稳定性理论,研究上述扰动项对系统时滞稳定裕度的影响。

2 改进时滞依赖型鲁棒稳定判据

本文借鉴文献[16]稳定判据的推导思路,给出含不确定性扰动项的时滞鲁棒稳定判据,给出含双时滞情况下的判据,并将其推广到更一般的场景。

2.1 双时滞系统鲁棒稳定判据

对于含有2个时滞扰动环节的系统,式(6)将具有如下形式:

Σ2:

$\{\begin{array}{l}\dot{\mathit{x}}(t)=(\mathit{A}{}_0+\text{Δ}\mathit{A}{}_0(t))\mathit{x}(t)+(\mathit{A}{}_1+\text{Δ}\mathit{A}{}_1(t))\cdot \\ \mathit{x}(t-\tau {}_1)+(\mathit{A}{}_2+\text{Δ}\mathit{A}{}_2(t))\mathit{x}(t-\tau {}_2)\\ \mathit{x}(t)=\text{ϕ}(t)\forall t\in [-\tau ,0]\end{array}(7)$

式中:τ=max(τ1,τ2)。

设[ΔA0(t),ΔA1(t),ΔA2(t)]=DF(t)[E0,E1,E2],F(t)∈Rk×l为非线性随机扰动矩阵,满足如下条件:

$\mathit{F}{}^{\text{Τ}}(t)\mathit{F}(t)\le \mathit{{\rm I}}\forall t(8)$

则有以下定理成立。

定理1 对于式(7)所示双时滞不确定系统,当时滞常数满足条件$0<\tau \le \overline{\tau }(\tau =\max (\tau {}_1,\tau {}_2))$,若存在任意标量ε>0,正定矩阵P=PT>0,Qi=QTi>0(i=1,2),正定半对称矩阵Wi=WTi≥0,Xii=XTii≥0,Yii=YTii≥0 (i=1,2,3) 以及任意矩阵 Nl,Sl,Tl(l=1,2)和Xij,Yij,Zij(1≤i<j≤3)且满足如下条件,则系统是鲁棒稳定的。

$\begin{array}{l}{\text{ϕ}}^{\prime }=\left[\begin{array}{ccccc}\text{ϕ}{}_{11}´& \text{ϕ}{}_{12}´& \text{ϕ}{}_{13}´& \text{ϕ}{}_{14}´& \text{ϕ}{}_{15}´\\ & \text{ϕ}{}_{22}´& \text{ϕ}{}_{23}´& \text{ϕ}{}_{24}´& \text{ϕ}{}_{25}´\\ & & \text{ϕ}{}_{33}´& \text{ϕ}{}_{34}´& \text{ϕ}{}_{35}´\\ & & & \text{ϕ}{}_{44}´& \text{ϕ}{}_{45}´\\ & & & & \text{ϕ}{}_{55}´\end{array}\right]<0(9)\\ \mathit{\psi }{}_1=\left[\begin{array}{cccc}\mathit{X}{}_{11}& \mathit{X}{}_{12}& 0& \mathit{{\rm N}}{}_1\\ \mathit{X}{}_{12}^{\text{Τ}}& \mathit{X}{}_{22}& 0& \mathit{{\rm N}}{}_2\\ 0& 0& \mathit{X}{}_{33}& 0\\ \mathit{{\rm N}}{}_1^{\text{Τ}}& \mathit{{\rm N}}{}_2^{\text{Τ}}& 0& \mathit{W}{}_1\end{array}\right]\ge 0(10)\\ \mathit{\psi }{}_2=\left[\begin{array}{cccc}\mathit{Y}{}_{11}& 0& \mathit{Y}{}_{13}& \mathit{S}{}_1\\ 0& \mathit{Y}{}_{22}& 0& 0\\ \mathit{Y}{}_{13}^{\text{Τ}}& 0& \mathit{Y}{}_{33}& \mathit{S}{}_2\\ \mathit{S}{}_1^{\text{Τ}}& 0& \mathit{S}{}_2^{\text{Τ}}& \mathit{W}{}_2\end{array}\right]\ge 0(11)\\ \mathit{\psi }{}_3=\left[\begin{array}{cccc}\mathit{{\rm Z}}{}_{11}& 0& 0& 0\\ 0& \mathit{{\rm Z}}{}_{22}& \mathit{{\rm Z}}{}_{23}& k\mathit{{\rm T}}{}_1\\ 0& \mathit{{\rm Z}}{}_{23}^{\text{Τ}}& \mathit{{\rm Z}}{}_{33}& k\mathit{{\rm T}}{}_2\\ 0& k\mathit{{\rm T}}{}_1^{\text{Τ}}& k\mathit{{\rm T}}{}_2^{\text{Τ}}& \mathit{W}{}_3\end{array}\right]\ge 0(12)\end{array}$

式中:ϕ11′=PA0+AT0P+Q1+Q2+N1+NT1+S1+ST1+τ1X11+τ2Y11+|τ1-τ2|Z11+εET0E0;ϕ12′=PA1-N1+NT2+τ1X12+εET0E1;ϕ13′=PA2-S1+ST2+τ2Y13+εET0E2;ϕ14′=HAT0;ϕ15′=PD;ϕ22′=-Q1-N2-NT2-T1-TT1+τ1X22+τ2Y22+|τ1-τ2|Z22+εET1E1;ϕ23′=T1-TT1+|τ1-τ2|Z23+εET1E2;ϕ24′=HAT1;ϕ25′=0;ϕ33′=-Q2-S2-ST2+T2+TT2+τ1X33+τ2Y33+|τ1-τ2|Z33+εET2E2;ϕ34′=HAT2;ϕ35′=0;ϕ44′=-H;ϕ45′=HD;ϕ55′=-εI;H=τ1W1+τ2W2+|τ1-τ2|W3;

$k=\{\begin{array}{cc}\hfill 1& \hfill \tau {}_1\ge \tau {}_2\\ \hfill -1& \hfill \tau {}_1<\tau {}_2\end{array}$

证明过程见附录A。

2.2 单时滞系统鲁棒稳定判据

下面考虑系统中仅存在1个时滞环节的情况,定理2给出了其鲁棒稳定的条件。

定理2 当m=1,对于满足条件$0<\tau \le \overline{\tau }$的任意时滞常数τ,若存在标量ε>0,以及对称正定矩阵$\overline{\mathit{{\rm P}}}=\overline{\mathit{{\rm P}}}{}^{\text{Τ}}>0,\overline{\mathit{Q}}=\overline{\mathit{Q}}{}^{\text{Τ}}>0$,对称半正定矩阵Wi=WTi≥0,Xii=XTii≥0,任意矩阵$\overline{\mathit{X}}{}_{12}$和$\overline{\mathit{{\rm N}}}{}_i(i=1,2)$,满足以下不等式,则不确定时滞系统是鲁棒渐近稳定的。

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cccc}\overline{\text{ϕ}}{}_{11}& \overline{\text{ϕ}}{}_{12}& \overline{\text{ϕ}}{}_{13}& \overline{\text{ϕ}}{}_{14}\\ \overline{\text{ϕ}}{}_{12}^{\text{Τ}}& \overline{\text{ϕ}}{}_{22}& \overline{\text{ϕ}}{}_{23}& \overline{\text{ϕ}}{}_{24}\\ \overline{\text{ϕ}}{}_{13}^{\text{Τ}}& \overline{\text{ϕ}}{}_{23}^{\text{Τ}}& \overline{\text{ϕ}}{}_{33}& \overline{\text{ϕ}}{}_{34}\\ \overline{\text{ϕ}}{}_{14}^{\text{Τ}}& \overline{\text{ϕ}}{}_{24}^{\text{Τ}}& \overline{\text{ϕ}}{}_{34}^{\text{Τ}}& \overline{\text{ϕ}}{}_{44}\end{array}\right]<0(13)\\ \left[\begin{array}{ccc}\overline{\mathit{X}}{}_{11}& \overline{\mathit{X}}{}_{12}& \overline{\mathit{{\rm N}}}{}_1\\ \overline{\mathit{X}}{}_{12}^{\text{Τ}}& \overline{\mathit{X}}{}_{22}& \overline{\mathit{{\rm N}}}{}_2\\ \overline{\mathit{{\rm N}}}{}_1^{\text{Τ}}& \overline{\mathit{{\rm N}}}{}_2^{\text{Τ}}& \overline{\mathit{W}}\end{array}\right]\ge 0(14)\end{array}$

式中:$\overline{\text{ϕ}}{}_{11}=\mathit{{\rm P}}\mathit{A}{}_0+\mathit{A}{}_0^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}+\mathit{Q}{}_1+\mathit{{\rm N}}{}_1+\mathit{{\rm N}}{}_1^{\text{Τ}}+\overline{\tau }\mathit{X}{}_{11}+\epsilon \mathit{E}{}_0^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_0$;$\overline{\text{ϕ}}{}_{12}=\mathit{{\rm P}}\mathit{A}{}_1-\mathit{{\rm N}}{}_1+\mathit{{\rm N}}{}_2^{\text{Τ}}+\overline{\tau }\mathit{X}{}_{12}+\epsilon \mathit{E}{}_0^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_1$;$\overline{\text{ϕ}}{}_{13}=\overline{\mathit{{\rm H}}}\mathit{A}{}_0^{\text{Τ}}$;$\overline{\text{ϕ}}{}_{14}=\mathit{{\rm P}}\mathit{D}$;$\overline{\text{ϕ}}{}_{22}=-\mathit{Q}{}_1-\mathit{{\rm N}}{}_2-\mathit{{\rm N}}{}_2^{\text{Τ}}+\overline{\tau }\mathit{X}{}_{22}+\epsilon \mathit{E}{}_1^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_1$;$\overline{\text{ϕ}}{}_{23}=\overline{\mathit{{\rm H}}}\mathit{A}{}_1^{\text{Τ}}$;$\overline{\text{ϕ}}{}_{24}=0$;$\overline{\text{ϕ}}{}_{33}=-\overline{\mathit{{\rm H}}}$;$\overline{\text{ϕ}}{}_{34}=\overline{\mathit{{\rm H}}}\mathit{D}$;$\overline{\text{ϕ}}{}_{44}=-\epsilon \mathit{{\rm I}}$;$\overline{\mathit{{\rm H}}}=\overline{\tau }\overline{\mathit{W}}$。

定理2是定理1中τ1=τ2的一种特例,证明过程见附录B。

2.3 多时滞系统鲁棒稳定判据

与双时滞情况下的推导过程类似,可得到如下多时滞系统的鲁棒稳定判据。

定理3 对于满足条件0=τ0≤τ1≤τ2≤…≤τm的时滞常数τi以及任意满足$0<\tau \le \overline{\tau }(\tau =\max (\tau {}_1,\tau {}_2,\cdots ,\tau {}_m))$的时滞常数τ,如果存在任一标量ε>0,以及对称正定矩阵P=PT>0,Qi=QTi>0(i=1,2,…,m),对称半正定矩阵

$\begin{array}{l}\mathit{X}{}^{(ij)}=\left[\begin{array}{ccccccc}\mathit{X}{}_{00}^{(ij)}& 0& 0& \cdots & \cdots & 0& 0\\ & \ddots & 0& \cdots & \cdots & 0& 0\\ & & \mathit{X}{}_{ii}^{(ij)}& \cdots & \mathit{X}{}_{ij}^{(ij)}& \cdots & 0\\ & & & \ddots & \cdots & 0& 0\\ & & & & \mathit{X}{}_{jj}^{(ij)}& \cdots & 0\\ & & & & & \ddots & \cdots \\ & & & & & & \mathit{X}{}_{mm}^{(ij)}\end{array}\right]\ge 0\\ (0\le i<j\le m)\\ \mathit{W}{}^{(ij)}=(\mathit{W}{}^{(ij)}){}^{\text{Τ}}\ge 0(0\le i<j\le m)\end{array}$

,任意矩阵N${}_l^{(ij)}$(l=0,1,…,m;0≤i<j≤m),并且满足线性矩阵不等式(15)和式(16),不确定多时滞系统(6)是鲁棒渐近稳定的。

$\mathit{\Xi }=\left[\begin{array}{cccccc}\mathit{\Xi }{}_{00}+\mathit{{\rm P}}\mathit{A}{}_0+\mathit{A}{}_0^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}+\epsilon \mathit{E}{}_0^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_0& \mathit{\Xi }{}_{01}+\mathit{{\rm P}}\mathit{A}{}_1+\epsilon \mathit{E}{}_0^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_1& \cdots & \mathit{\Xi }{}_{0m}+\mathit{{\rm P}}\mathit{A}{}_m+\epsilon \mathit{E}{}_0^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_m& \mathit{G}\mathit{A}{}_0^{\text{Τ}}& \mathit{{\rm P}}\mathit{D}\\ \mathit{\Xi }{}_{10}^{\text{Τ}}+\mathit{A}{}_1^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}+\epsilon \mathit{E}{}_1^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_0& \mathit{\Xi }{}_{11}+\epsilon \mathit{E}{}_1^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_1& \cdots & \mathit{\Xi }{}_{1m}+\epsilon \mathit{E}{}_1^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_m& \mathit{G}\mathit{A}{}_1^{\text{Τ}}& 0\\ \cdots & \cdots & & \cdots & \cdots & \cdots \\ \mathit{\Xi }{}_{0m}^{\text{Τ}}+\mathit{A}{}_m^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}+\epsilon \mathit{E}{}_m^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_1& \mathit{\Xi }{}_{1m}^{\text{Τ}}+\epsilon \mathit{E}{}_m^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_1& \cdots & \mathit{\Xi }{}_{mm}+\epsilon \mathit{E}{}_m^{\text{Τ}}\mathit{E}{}_m& \mathit{G}\mathit{A}{}_m^{\text{Τ}}& 0\\ \mathit{G}\mathit{A}{}_0& \mathit{G}\mathit{A}{}_1& \cdots & \mathit{G}\mathit{A}{}_m& -\mathit{G}& \mathit{G}\mathit{D}\\ \mathit{D}{}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}& 0& \cdots & 0& \mathit{D}{}^{\text{Τ}}\mathit{G}& -\epsilon \mathit{{\rm I}}\end{array}\right]<0(15)$

$\mathit{\Gamma }{}^{(ij)}=\left[\begin{array}{cccccccc}\mathit{X}{}_{00}^{(ij)}& 0& 0& \cdots & \cdots & 0& 0& 0\\ & \ddots & 0& \cdots & \cdots & 0& 0& \cdots \\ & & \mathit{X}{}_{ii}^{(ij)}& \cdots & \mathit{X}{}_{ij}^{(ij)}& \cdots & 0& \mathit{{\rm N}}{}_i^{(ij)}\\ & & & \ddots & \cdots & & 0& \cdots \\ & & & & \mathit{X}{}_{jj}^{(ij)}& \cdots & 0& \mathit{{\rm N}}{}_j^{(ij)}\\ & & & & & \ddots & \cdots & \cdots \\ & & & & & & \mathit{X}{}_{mm}^{(ij)}& 0\\ & & & & & & & \mathit{W}{}^{(ij)}\end{array}\right]\ge 0(16)$

式中:0≤i<j≤m;$\mathit{\Xi }{}_{00}={\displaystyle \sum _{i=0}^m\mathit{Q}}{}_i+{\displaystyle \sum _{j=1}^m(}\mathit{{\rm N}}{}_0^{(0j)}+(\mathit{{\rm N}}{}_0^{(0j)}){}^{\text{Τ}})+{\displaystyle \sum _{i=0}^m{\displaystyle \sum _{j=i+1}^m(}}\tau {}_j-\tau {}_i)\mathit{X}{}_{00}^{(ij)}$;Ξ0k=-N${}_0^{(0k)}$+(N${}_0^{(0k)}$)T+τkX${}_{0k}^{(0k)}$(k=1,2,…,m);$\mathit{\Xi }{}_{kk}=-\mathit{Q}{}_k-{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}(}\mathit{{\rm N}}{}_k^{(ik)}+(\mathit{{\rm N}}{}_k^{(ik)}){}^{\text{Τ}})+{\displaystyle \sum _{j=k+1}^m(}\mathit{{\rm N}}{}_k^{(kj)}+(\mathit{{\rm N}}{}_k^{(kj)}){}^{\text{Τ}})+{\displaystyle \sum _{i=0}^m{\displaystyle \sum _{j=i+1}^m(}}\tau {}_j-\tau {}_i)\mathit{X}{}_{kk}^{(ij)}(k=1,2,\cdots ,m)$;Ξlk=N${}_l^{(lk)}$-(N${}_l^{(lk)}$)T+(τk-τl)X${}_{lk}^{(lk)}$(l=1,2,…,m;l<k≤m);$\mathit{G}={\displaystyle \sum _{i=0}^m{\displaystyle \sum _{j=i+1}^m(}}\tau {}_j-\tau {}_i)\mathit{W}{}^{(ij)}$。

证明过程同定理1,详见附录B。

3 算例分析

3.1 单机无穷大系统算例

单机无穷大系统模型及参数取值见文献[17,18],研究D=7.0,KA=180,Pm=1.0的情况,系统只存在单一时滞,其时滞方程对应矩阵如下:

$\begin{array}{l}\mathit{A}{}_0=\\ \left[\begin{array}{cccc}0& 376.9911& 0& 0\\ -0.0963& -0.7000& -0.0801& 0\\ -0.0480& 0& -0.1667& 0.1000\\ 0& 0& 0& -1.0000\end{array}\right]\\ \mathit{A}{}_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 38.0187& 0& -95.2560& 0\end{array}\right]\end{array}$

假设此时励磁放大系数存在随机扰动,则考虑扰动影响后的实际系数为:

$\stackrel{\sim }{{\displaystyle {\rm K}}}{}_{\text{A}}={\rm K}{}_{\text{A}}+r(17)$

式中:r为一标量,反映对励磁放大系数的扰动;KA为励磁放大系数整定值。

当采用第2节方法研究r对单机无穷大系统稳定性的影响时,矩阵D, E0, E1的取值分别为:

$\begin{array}{l}\mathit{D}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& r\end{array}\right]\\ \mathit{E}{}_0=0\\ \mathit{E}{}_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right]\end{array}$

在r变动时,可求得系统时滞稳定裕度结果见表1,同时将结果绘于图1。从中不难看到,当KA扰动项存在时,系统稳定运行所能允许的时滞范围是变小的,并且扰动范围越大,系统能够允许的时滞范围就越小。例如:当不存在扰动时(r=0),系统可稳定运行的时滞区间为[0, 0.065 4 s);当r=1.0,即KA取值在179 ～181之间变动时,系统可稳定运行的时滞区间变为[0, 0.055 2 s);而当r=10.0,即KA取值在170～190之间变动时,系统可稳定运行的时滞区间变为[0, 0.018 0 s),稳定运行的区间被大大缩小了。由此可见,在进行广域控制器设计时,系统参数存在的随机扰动会对控制器的性能产生不良影响,而这种不良影响则可通过本文提出的方法进行有效评估。

3.2WSCC3机9节点系统算例

采用文献[16]中的WSCC 3机9节点系统时滞模型,并考虑发电机2和3均存在时滞的情况。取负荷水平为2.0,Pm2=Pm3=1.0,Vref2=Vref3=1.03的场景,系统模型和其他参数设定均同文献[16],附录C给出此时系统时滞方程中的相关矩阵。同样假设励磁系统的放大系数存在随机扰动项,为简单起见,假设两发电机的扰动项变动规律相同,即

$\begin{array}{l}\stackrel{\sim }{{\displaystyle {\rm K}}}{}_{\text{A}2}={\rm K}{}_{\text{A}2}+r(18)\\ \stackrel{\sim }{{\displaystyle {\rm K}}}{}_{\text{A}3}={\rm K}{}_{\text{A}3}+r(19)\end{array}$

则矩阵D, E0, E1, E2的取值原则与单机无穷大系统类似,不再赘述。采用本文方法,表2给出了考虑扰动时的计算结果。

注:0°,10°,…,90°指θ值;

图2给出了在不同扰动情况下系统稳定区域的变化曲线。从中同样可以看到,随着扰动项r数值的不断增大,系统能够稳定运行的区域在不断减小,其变化规律与单机无穷大系统相同。

4 结语

本文给出了一种改进的时滞系统依赖型鲁棒稳定判据,利用Lyapunov-Krasovskii理论列解含有扰动项的系统Lyapunov泛函,在其导数推导过程中引入一些必要的松散项,进一步利用Schur补对扰动项进行变形,从而得到不确定时滞系统的鲁棒稳定判据。最后,利用单机无穷大系统和WSCC 3机9节点系统算例,验证了本文方法的有效性,并讨论了发电机励磁放大系数存在的扰动对其稳定性的影响。

附录见本刊网络版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。