不确定度关系

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不确定度关系（精选十篇）

不确定度关系 篇1

设$\widehat{A}$、$\widehat{B}$为任意两个线性厄米算符,$\overline{A}$、$\overline{B}$为其对应物理量的平均值。令

$\Delta \widehat{A}=\widehat{A}-\overline{A};\Delta \widehat{B}=\widehat{B}-\overline{B}(1)$

显然,Δ$\widehat{A}$与Δ$\widehat{B}$也是线性厄米算符。现在,我们构造如下的辅助函数。

$\phi =\lambda \Delta \widehat{A}\psi +\Delta \widehat{B}\psi (2)$

这里,λ是任意实参数,ψ为归一化的波函数。由于φ*φ=|φ|2≥0,故对整个空间积分后,下面的不等式显然成立:

${\displaystyle \int \phi }{}^{*}\phi \text{d}\tau \ge 0(3)$

将式(3)展开,并合并同类项,利用$\Delta \stackrel{⌢}{A}$与$\Delta \stackrel{⌢}{B}$的厄米性,得

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int \phi }{}^{*}\phi \text{d}\tau =\lambda {}^2{\displaystyle \int \psi }{}^{*}(\Delta \widehat{A}){}^2\psi \text{d}\tau +\\ \lambda {\displaystyle \int \psi }{}^{*}(\Delta \stackrel{⌢}{A}\Delta \stackrel{⌢}{B}+\Delta \stackrel{⌢}{B}\Delta \stackrel{⌢}{A})\psi \text{d}\tau +\\ {\displaystyle \int \psi }{}^{*}(\Delta \stackrel{⌢}{B}){}^2\psi \text{d}\tau \ge 0。\end{array}$

由此得出

$\overline{\Delta A{}^2}\lambda {}^2+\overline{(\Delta A\Delta B+\Delta B\Delta A)}\lambda +\overline{\Delta B{}^2}\ge 0(4)$

式(4)左边是实参数λ的二次三项式。根据代数二次三项式的理论。满足式(4)的条件是:

$(\overline{\Delta A\Delta B+\Delta B\Delta A}){}^2-4(\overline{\Delta A{}^2}\overline{△B{}^2})\le 0(5)$

因而我们得到

$\overline{\Delta A{}^2}\overline{\Delta B{}^2}\ge \frac{1}{4}(\overline{\Delta A\Delta B+\Delta B\Delta A}){}^2(6)$

再将不等式(6)右边展开,则式(6)又可写成[1]

$\overline{\Delta A{}^2}\overline{\Delta B{}^2}\ge \frac{1}{4}(\overline{AB+BA}-2\overline{A}\overline{B}){}^2(7)$

由此式可得出本文所说的非海森伯不确定度关系(下简称不确定度关系Ⅱ),故称此式为非海森伯不等式(下简称不等式Ⅱ)。

如果采用如下的方式构造辅助函数:

$\phi =\lambda \Delta \widehat{A}\psi +\text{i}\Delta \widehat{B}\psi (8)$

则可通过相同的推导过程得出

$\overline{\Delta A{}^2}\overline{\Delta B{}^2}\ge -\frac{1}{4}(\overline{\Delta A\Delta B-\Delta B\Delta A}){}^2(9)$

将式(9)右边展开,则式(9)可写成

$\overline{\Delta A{}^2}\overline{\Delta B{}^2}\ge -\frac{1}{4}(\overline{AB-BA}){}^2=-\frac{1}{4}[\overline{A,B}]{}^2(10)$

由式(10)可得出海森伯不确定度关系(下简称不确定度关系Ⅰ),所以可将此式称之为海森伯不等式(下简称不等式Ⅰ)。可见,由于辅助函数构造方式不同,利用式(3)所得到的不等式左边虽相同,但右边不同。

如果令$\stackrel{⌢}{A}=x,\stackrel{⌢}{B}=\stackrel{⌢}{p}{}_x=-\text{i}\text{ℏ}\frac{\partial }{\partial x}$,则由式(10)可得不确定度关系Ⅰ:

$\overline{\Delta x{}^2}\overline{\Delta p{}_x^2}\ge -\frac{1}{4}[\overline{x,p{}_x}]{}^2=\frac{1}{4}\text{ℏ}{}^2(11)$

而由式(7)得到的是另一个坐标与动量均方差的关系:

$\overline{\Delta x{}^2}\overline{\Delta p{}_x^2}\ge \frac{1}{4}\overline{(xp{}_x+p{}_{x}x}-2\overline{x}\overline{p}{}_x){}^2(12)$

这就是我们要推导的不确定度关系Ⅱ的原始形式。

下面我们将式(12)右边也变成一种与对易式有关的形式。

根据力学量平均值时间变化的一般公式,$\overline{\Delta x{}^2}$对时间的导数是:

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overline{\Delta x{}^2}=\frac{\partial }{\partial t}\overline{\Delta x{}^2}+\frac{1}{\text{i}\text{ℏ}}[\overline{\Delta x{}^2,{\rm H}]}(13)$

一般情况下,Δx2不是时间的显函数,故式(13)可简化为

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overline{\Delta x{}^2}=\frac{1}{\text{i}\text{ℏ}}[\overline{\Delta x{}^2,{\rm H}]}(14)$

现在我们来计算$[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{{\rm H}}]$。其中:$\stackrel{⌢}{{\rm H}}=\frac{1}{2m}(\stackrel{⌢}{p}{}_x{}^2+\stackrel{⌢}{p}{}_y{}^2+\stackrel{⌢}{p}{}_z{}^2)+V(x,y,z)$(以后V(x,y,z)简写作V),V为势能算符,m为粒子质量。利用量子泊松括号的基本性质可知:

$\begin{array}{l}[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{{\rm H}}]=\frac{1}{2m}[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{p{}_x^2}]+\frac{1}{2m}[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{p{}_y^2}]+\\ \frac{1}{2m}[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{p{}_z^2}]+[\Delta x{}^2,V]。\end{array}$

再根据对易式$[x,\stackrel{⌢}{p}{}_y]=[x,\stackrel{⌢}{p}{}_z]=[x,V]=0$,可证明:$[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{p{}_y^2}]=[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{p{}_z^2}]=[\Delta x{}^2,V]=0$。因此得到

$[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{{\rm H}}]=\frac{1}{2m}[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{p{}_x^2}](15)$

再利用量子泊松括号的基本性质和对易式$[x,\stackrel{⌢}{p}{}_x]=\text{i}\text{ℏ}$可证明:

$\begin{array}{l}[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{p{}_x^2}]=[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{p}{}_x]\stackrel{⌢}{p}{}_x+\stackrel{⌢}{p}{}_x[\Delta x{}^2,\stackrel{⌢}{p}{}_x]=[\Delta x,\stackrel{⌢}{p}{}_x]\times \\ \Delta x\stackrel{⌢}{p}{}_x+\Delta x[\Delta x,\stackrel{⌢}{p}{}_x]\stackrel{⌢}{p}{}_x+\stackrel{⌢}{p}{}_x[\Delta x,\stackrel{⌢}{p}{}_x]\Delta x+\times \\ \stackrel{⌢}{p}{}_x\Delta x[\Delta x,\stackrel{⌢}{p}{}_x]=[x-\overline{x},\stackrel{⌢}{p}{}_x](x-\overline{x})\times \\ \stackrel{⌢}{p}{}_x+(x-\overline{x})[x-\overline{x},\stackrel{⌢}{p}{}_x]\stackrel{⌢}{p}{}_x+\stackrel{⌢}{p}{}_x[x-\overline{x},\stackrel{⌢}{p}{}_x]\times \\ (x-\overline{x})+\stackrel{⌢}{p}{}_x(x-\overline{x})[x-\overline{x},\stackrel{⌢}{p}{}_x]=\\ \{[x,\stackrel{⌢}{p}{}_x]-[\overline{x},\stackrel{⌢}{p}{}_x]\}(x\stackrel{⌢}{p}{}_x-\overline{x},\stackrel{⌢}{p}{}_x)+(x-\\ \overline{x})\{[x,\stackrel{⌢}{p}{}_x]-[\overline{x},\stackrel{⌢}{p}{}_x]\}\stackrel{⌢}{p}{}_x+\stackrel{⌢}{p}{}_x\{[x,\stackrel{⌢}{p}{}_x]-\\ [\overline{x},\stackrel{⌢}{p}{}_x]\}(x-\overline{x})+(\stackrel{⌢}{p}{}_{x}x-\stackrel{⌢}{p}{}_x\overline{x})\{[x{}_x,\\ \stackrel{⌢}{p}{}_x]-[\overline{x}{}_x,\stackrel{⌢}{p}{}_x]\}=\text{i}\text{ℏ}(x\stackrel{⌢}{p}{}_x-\overline{x}\stackrel{⌢}{p}{}_x)+\text{i}\text{ℏ}\times \\ (x-\overline{x})\stackrel{⌢}{p}{}_x+\text{i}\text{ℏ}\stackrel{⌢}{p}{}_x(x-\overline{x})+\text{i}\text{ℏ}(\stackrel{⌢}{p}{}_{x}x-\stackrel{⌢}{p}{}_x\overline{x})=\\ \text{i}\text{ℏ}(x\stackrel{⌢}{p}-\overline{x}\stackrel{⌢}{p}{}_x+x\stackrel{⌢}{p}{}_x-\overline{x}\stackrel{⌢}{p}{}_x+\stackrel{⌢}{p}{}_{x}x-\stackrel{⌢}{p}{}_x\overline{x}+\\ \stackrel{⌢}{p}{}_{x}x-\stackrel{⌢}{p}{}_x\overline{x})=2\text{i}\text{ℏ}(x\stackrel{⌢}{p}{}_x+\stackrel{⌢}{p}{}_{x}x-2\overline{x}\stackrel{⌢}{p}{}_x)。\end{array}$

因此,式(15)的平均值可写为[2]

$\begin{array}{l}[\overline{\Delta x{}^2,{\rm H}}]=\frac{1}{2m}[\overline{\Delta x{}^2,p{}_x^2}]=\\ \frac{\text{i}\text{ℏ}}{m}(\overline{xp{}_x+p{}_{x}x}-2\overline{x}\overline{p}{}_x)(16)\end{array}$

将式(16)与式(12)联立,得到

$\overline{\Delta x{}^2}\overline{\Delta p{}_x^2}\ge -\frac{m{}^2}{4\text{ℏ}{}^2}\overline{[\Delta x{}^2,{\rm H}]}{}^2(17)$

这就是不确定度关系Ⅱ的另一种形式,式(17)还可写成:

$\overline{\Delta x{}^2}\overline{\Delta p{}_x^2}\ge -\frac{1}{16\text{ℏ}{}^2}\overline{[\Delta x{}^2,p{}_x^2]}{}^2(18)$

式(17)和式(18)的右边均为与对易式有关系的形式。按同样的步骤,还可以得出

$\begin{array}{l}\overline{\Delta y{}^2}\overline{\Delta p{}_y{}^2}\ge -\frac{m{}^2}{4\text{ℏ}{}^2}\overline{[\Delta y{}^2,{\rm H}]}{}^2(19)\\ \overline{\Delta z{}^2}\overline{\Delta p{}_z{}^2}\ge -\frac{m{}^2}{4\text{ℏ}{}^2}\overline{[\Delta z{}^2,{\rm H}]}{}^2(20)\end{array}$

式(19)和式(20)还可写成

$\begin{array}{l}\overline{\Delta y{}^2}\overline{\Delta p{}_y{}^2}\ge -\frac{1}{16\text{ℏ}{}^2}\overline{[\Delta y{}^2,p{}_y{}^2]}{}^2(21)\\ \overline{\Delta z{}^2}\overline{\Delta p{}_z{}^2}\ge -\frac{1}{16\text{ℏ}{}^2}\overline{[\Delta z{}^2,p{}_z{}^2]}{}^2(22)\end{array}$

令x1,x2,x3分别对应于x,y,z, p1,p2,p3分别对应于px,py,pz,则可将坐标均方差与动量均方差之积的各种可能组合,归纳为如式(23)。

$\overline{\Delta x{}_{\alpha }{}^2}\overline{\Delta p{}_{\beta }{}^2}\ge \left\{\frac{mi}{2\text{ℏ}}[\overline{\Delta x{}_{\alpha }{}^2,{\rm H}]}\right\}{}^2\delta {}_{\alpha \beta }(\alpha ,\beta ,=1,2,3)(23)$

式(23)还可以写为

$\begin{array}{l}\overline{\Delta x{}_{\alpha }{}^2}\overline{\Delta p{}_{\beta }{}^2}\ge \left\{\frac{\text{i}}{4\text{ℏ}}[\overline{\Delta x{}_{\alpha }{}^2,p{}_{\beta }{}^2}]\right\}{}^2\delta {}_{\alpha \beta }\\ (\alpha ,\beta ,=1,2,3)(24)\end{array}$

不等式(10)数学的正确性已得到公认。根据此式得出的不确定度关系Ⅰ(式(11))更是量子力学的基础。不等式(7)是根据与不等式(10)相同的思路和数学运算规则导出的。尽管引入的辅助函数不同,但在数学上也是正确的;因而,根据不等式Ⅱ得出的不确定度关系Ⅱ(式(12))也是正确的。当然,由于在推导两个不等 式过程中,引入的辅助函数不同;所以两个不等式的右项得到的表达式,也不一样。尽管如此,当$\stackrel{⌢}{A}$与$\stackrel{⌢}{B}$可对易时,不等式Ⅰ(即式(10))的右项为$-[\overline{A,B}]{}^2/4=0$,而不等式Ⅱ(即式(7))的右项也可利用$\stackrel{⌢}{A}$与$\stackrel{⌢}{B}$的可对易性证明:$(\overline{AB+BA}-2\overline{A}\overline{B}){}^2/4=0$。所以在$\stackrel{⌢}{A}$与$\stackrel{⌢}{B}$可对易的情况下,不等式Ⅰ与Ⅱ右项的表达方式尽管不同,但都等于0。即在“≥”号中取“=”,可以说是殊途同归。当$\stackrel{⌢}{A}$与$\stackrel{⌢}{B}$不可对易时,根据不等式Ⅰ得到的不确定度关系Ⅰ(即式(11))的右项与根据不等式Ⅱ得到的不确定度关系Ⅱ(即式(12))的右项,显然不同,不可能取同一数值。但这两个不确定度关系又是可以相容的。因为“≥”中的“>”号给二者留下了足够的相容空间。所以在数学上可以说,两个不能同时测准(确定)的物理量A与B的均方差之积,既要满足不等式Ⅰ,又要满足不等式Ⅱ。具体地说,坐标x与动量px 这两个不能同时测准(确定)的物理量的均方差之积$\overline{\Delta x{}^2}\overline{\Delta p{}_x^2}$,既要满足不确定度关系Ⅰ,又要满足不确定度关系Ⅱ。这是因为,这两个关系式在数学上同样正确。

2 讨论

首先需说明的是,承认两个不确定度关系Ⅰ与Ⅱ在数学上同样正确,并不意味着这两个关系式在物理上具有同等的重要性。因为不确定度关系Ⅰ对量子力学创立和发展过程中的重要性,是不能与不确定度关系Ⅱ相提并论的。它只是说明,两个不可对易算符所对应的物理量均方差之积,既要受不等式Ⅰ的约束,又要受不等式Ⅱ的约束。具体地说,坐标x和动量 px这两个力学量,在任何态下的涨落,其均方差之积除受不确定度关系Ⅰ的限制外,还要同时受不确定度关系Ⅱ的限制。即对$\overline{\Delta x{}^2}\overline{\Delta p{}_x^2}$的可能取值,在物理上新增加了一个约束条件。这种物理量之间的关系受两个或两个以上条件约束的情况,在自然界中并不少见。比方说,各种形式的能量在相互转换过程中,既要受能量守恒的热力学第一定律的约束,又要受自发过程熵必增加的热力学第二定律的约束。

为了举例方便,我们只考虑一维运动。在此情况下,令坐标均方差根$\sigma =\sqrt{\frac{}{\Delta x{}^2}}$,动量均方差根$\eta =\sqrt{\frac{}{\Delta x{}^2}},$所以不确定度关系Ⅰ可写为

$\sigma {}^2\eta {}^2\ge \frac{1}{4}\text{ℏ}{}^2\text{或}\sigma \eta \ge \frac{1}{2}\text{ℏ}(25)$

式(25)说明,不管σ和η怎么变化,σ与η之积必定不小于ħ/2。这是加在σ与η关系上的第一个约束条件。利用式(14)和(17),不确定度关系Ⅱ还可写为

$\sigma {}^2\eta {}^2\ge \frac{m{}^2}{4}\left(\frac{\text{d}\sigma {}^2}{\text{d}t}\right){}^2\text{或}\sigma \eta \ge \frac{m}{2}\left|\frac{\text{d}\sigma {}^2}{\text{d}t}\right|(26)$

这是加在σ与η关系上的第二个约束条件。

为了说明不确定度关系Ⅱ的物理含义,我们特意将上式写成如下形式

$\frac{\eta }{\sigma }\ge m\left|\frac{\text{d}\sigma }{\sigma \text{d}t}\right|(27)$

请注意,式(26)与式(27)只在Δx2不显含t的情况下才成立。而式(12)在任何态下都成立。

根据统计物理中定义熵的一般方式,表示粒子在x坐标几率分布无序度或不确定度的熵(坐标熵,下同)可定义为Sx=-k∫ρlnρdx。式中ρ为坐标几率密度:ρ=|ψ*ψ|。我们发现对一维谐振子和一维无限深方势阱中的粒子,均有关系[3]

$\frac{\text{d}S{}_x}{\text{d}\sigma }=\frac{k}{\sigma }\text{或}\text{d}S{}_x=k\frac{\text{d}\sigma }{\sigma }(28)$

将其代入式(27)右项。可知

$\frac{\eta }{\sigma }\ge \frac{m}{k}\left|\frac{\text{d}S{}_x}{\text{d}t}\right|(29)$

可用σ表示波包的半宽度。当波包扩展时,dσ>0,熵增加(dSx>0)。当波包编缩时,dσ<0,熵减少(dSx<0)。所以不管波包是扩展还是编缩,dSx/dt 和η/σ的关系均要受式(29)的动态约束。

处于垂直于x 轴不可穿透的两块平板间的粒子,与处于一维无限深方势阱中的粒子相当。设平板间距为a,粒子的x坐标的不确定范围就是a。测量就意味着(几率流体的)波包编缩[4]。a愈小,则测量精度愈高,波包编缩的程度愈大。由于σ与a成正比所以σ也会变小(dσ<0)。当然熵也随之减小(dSx<0)。但熵减小不是自发过程,而需外力作功。如果将维持两平板距离的外力撒走,几率流体的压力就会使两平板远离而使σ增大。这相当于波包的扩展。在扩展过程中,体系的熵增大,而熵增大有自发趋势。由于自发过程不可逆,所以波包扩展是一种自发和不可逆的过程。

我认为,不确定度关系Ⅱ最明显的物理含义是,通过揭示几率流体的坐标熵在不可逆过程中的增长,证实了朗道等人关于微观过程“在两个时间方向上的非等同性”的推测[5] 。而且利用不确定度关系Ⅱ还可以从熵变的角度对定态和量子跃迁进行新的解释。

能量保持为定值的量子态称为定态。在定态中坐标的几率密度ρ和坐标均方差根σ 不随时间变化,故在定态中dSx/dt=0,即在定态中熵取极大值。表明定态中ρ的分布是在给定条件下的最可几分布。当粒子受外界作用而使σ变化时,dSx/dt≠0。在此情况下,粒子就不能处于定态,而有可能发生从一种定态到另一种定态的跃迁。从高能态到低能态的跃迁,符合体系的能量自发减小的趋势,不需多解释。为了解释从低能态向高能态的跃迁,我们将式(27)改写成

$\eta \ge m\left|\frac{\text{d}\sigma }{\text{d}t}\right|(30)$

当外界作用使σ增加过快,从而使式(30)右项有超过左项的趋势时;为了继续满足式(30)的要求,左项η必须立即变大。由于η变大时,能量E也变高;所以粒子就必须跃迁到有更高能级的定态。一般情况下,无论是能级还是熵级,新定态都比原定态高。并存在某种对应关系。由于有这种对应关系,所以当从高能态向低能态跃迁时,熵也取相应的低值。如前所述,体系的能量有自发减小的趋势,而熵则有自发增大的趋势。正因在跃迁过程中,一般存在着均以σ表示的能量E与熵Sx同增共减的对应关系,所以在此过程中,这两种趋势相互制约,彼此限制,以求得某种平衡。在我看来,如果在量子过程中,没有这两种自发趋势的相互制约和彼此限制,就不会有什么定态,也不会有相对稳定的原子和分子结构,人也就当然不存在了。

总之,在量子力学中引入熵的概念,并将熵的变化与不确定度关系Ⅱ联系在一起以后,人们对微观世界的研究,又新增了一个角度和思路。因而可能对许多原来只知其然而不知或不甚知其所以然的现象或规律,作出新解释或更深的理解。而且,还可能对建立某些分支学科(如几率流体力学和热力学)与发现新的规律提供帮助。在这方面,可能有许多课题等待人们去探讨和研究。

参考文献

[1]张德荣.海森伯不等式与非海森伯不等式.见张德荣.科技纵横.哈尔滨:黑龙江人民出版社,2002:107—110

[2]曾谨言.量子力学卷Ⅰ(第三版).北京:科学出版社,2002:255

[3]张德荣.关于几率流体的熵.大自然探索.1988;7(3):61—66

[4]布洛欣采夫Д.И.量子力学原理上册.叶蕴理,金星南,译.北京:高等教育出版社,1956:69

三坐标测量不确定度评定 篇2

摘 要：本文对三坐标测量以?40mm3等标准环规进行了实例评定，对三坐标尺寸检测方法的改进有一定意义。

关键词：三坐标；不确定度

中图分类号： U467 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）18-190-2

1 试验部分

1.1 试验任务

测量?40mm3等标准环规刻度线处的直径D。

1.2 试验原理、方法和条件

1.2.1 试验原理

接触式，直接法，绝对测量。

1.2.2 试验方法

在三坐标测量机PRISMO上测量，测量前将标准环规固定于三坐标测量工作平台上，将仪器调整满足测量需要的状态。测量时，首先在环规刻度线处取对称两点x1、x2，构成环规的一条弦x1x2，并确定弦的中心O（以O点为坐标原点），在环规刻度线处取一点A0，连接OA0交环规另一边A（以AA0为坐标X轴），则A、A0在坐标X轴上读数差即是环规刻度线处的直径值D。

1.2.3 试验条件

试验环境温度为（20±1）C，温度变化每小时不应超过0.5℃/h，环境相对湿度为≤65%；

三坐标测量机常年固定安装在实验室内，受测标准环规置于实验室内的平衡时间24小时以上。

2 数学模型

由试验原理和方法，得到数学模型：

4 测量不确定度来源及说明

测量不确定度来源及说明见表1：

5 标准不确定度评定

5.1 由三坐标测量机的示值误差引入的标准不确定度分量u1

根據设备出厂证书三坐标测量机最大允许误差MPE为±（1.4+L/333mm）m，符合均匀分布，k=，

受测标准环规的直径按40mm计算，

则：u1=（1.4+40/333）/=0.8777μm

5.2 由测量重复性引入的标准不确定度分量u2

在各种条件均不改变的情况下，在短时间内重复性测量20次（即n=20）。实验数据见表2。

5.3 由测量环境温度变化引入的标准不确定度分量u3

由于测量设备及环规置于实验室恒温恒湿的环境中足够时间，且测量过程中启用测量设备温度补偿功能，避免温度变化引起设备与环规的热膨胀，因此此项因素引起的测量不确定度分量可忽略不计，则u3=0。

5.4 由测量原理引入的标准不确定度分量u4

测量时，在环规上取两点x1、x2，构成环规的一条弦x1x2，弦x1x2的位置及长度可引入标准不确定度分量，由三坐标测量机最大允许误差MPE为±（1.4+L/333mm）m，符合均匀分布，k=，受测标准环规的弦x1x2按30mm计算，则：

u4=（1.4+30/333）/=0.86m

5.5 由测量对象（标准环规）引入的标准不确定度分量u5

根据JJG894-1995《标准环规检定规程》3等标准环规=10～50mm的最大直径变动量和锥度分别是0.5m和0.8m，并假定其在该范围内等概率分布，则由标准环规引入的标准不确定度分量u5/=0.545m。

6 合成标准不确定度

6.1 主要标准不确定度分量汇总表

测量不确定度评定的见解 篇3

不确定度是表征合理赋予被测量之值的分散性,与测量结果相联系的参数,测量不确定度是考虑对测量影响的各种因素在受控于统计状态之下,对一个量在相同条件下进行了多次测量,其测量结果不是同一值,是以一定概率分布在某一区域内的许多值,这个分散性用不确定度定量描述,测量不确定度与测量结果在一起,构成最终测量的完整表达式。

测量不确定度的来源测量结果是测量的要素之一,而其他测量要素,如测量对象、测量资源、测量环境等均会在测量过程中对测量结果产生不同程度的影响。对测量结果会产生影响的因素,可能来自于以下几个方面:

实现测量的定义不完整或不完善;取样的代表性不够;对测量过程受环境影响的认识不周全或对环境条件的测量与控制不完善;模拟式仪器的读数存在人为偏移;仪器计量性能的局限性,测量仪器的分辨力或鉴别力不够;赋予测量标准和标准物质的标准值不准确;引用常数或其他参量不准确;与测量方法和测量程序有关的近似性或假定性;在表面上看来完全相同的测量条件下被测量重复观测值的变化等。

2 测量不确定度与测量误差的区别

测量误差是某待测物的测得值与“真值”之间的差,只决定于测量结果。测量不确定度是定量表示对测量结果的怀疑程度,测量结果的不确定度决定于所采用的测量原理、方法、测量仪器、参考标准、引用的值、测量条件和人员水平。比较测量不确定度与测量误差,两者的定义既有联系,又有截然的不同之处。所谓联系是指两者都与测量结果有关,而且两者是从不同角度反映了测量结果的质量指标。对于测量误差在严格意义上是主观不可知的,但在已知约定真值的情况下测量误差又是可知的,测量误差主要是用在测量过程中对误差源的分析,即通过这样的误差分析,设法采取措施达到减小、修正和消除误差的目的,提高测量的质量水平。对于不确定度,人们在主观上是完全可以根据所掌握的有关测量结果的数据信息来估计,不确定度的大小决定了测量结果的使用价值,成为一个可以操作的合理表征测量质量的一个重要指标,不确定度小,说明该测量结果的质量好,使用价值大,其测量的质量水平高,反之则效果相反,当然,不确定度也可用于最终对测量结果中所含误差的分析与处理。

3 不确定度的分类与评定

3.1 不确定度的A类评定

(1)

不确定度的A类评定定义:用对观测列进行数理统计方法进行评定。

(2)评定方法

被测量x在重复条件下进行n次重复测量,观测值为xi(i=1,2,…,n),算术平均值x-为:

单次测量的实验标准偏差由贝塞尔公式计算:

平均值的实验标准偏差为:

当测量结果取任一观测值时,所对应的A类不确定度标准不确定度为:u(xi)=s(xi),A类相对标准不确定度:

当测量结果取n次的算术平均值时,所对应A类不确定度的标准不确定度为:

A类相对标准不确定度:

当取若干组观测值,它们各自的平均值也散布在期望值附近,但比单个观测值更靠近期望值。也就是说多次测量的平均值比一次测量值更准确,随着测量次数的增多,平均值收敛于期望值。因此,通常以样本的算术平均值作为被测量值的估计(即测量结果),以平均值的实验标准差s(x-)作为测量结果的标准不确定度,即A类标准不确定度。

(3)A类不确定度的自由度

在方差计算中,自由度为和的项数减去对和的限制数,即为v。被测量x在n次独立测量样本方差为:

是一个约束条件,即限制数为1,因此自由度为v=n–1。

A类不确定度的标准差,即A类不确定度的不确定度以σ(u)表示,则A类相对不确定度的不确定度和自由度v的关系为:

由此可以看出,自由度越大,相对不确定度越小,不确定度的可靠程度越高。一般情况下应n>5。

(4)测量A类不确定度需要注意的几点:

不确定度是指测量结果的不确定度,不是指仪器的不确定度。如要反映仪器的不确定度,应在全量程内选取波动最大的点测量计算不确定度。当反映仪器不确定度时,如不确定度以绝对形式表示,应选全量程的最大点进行测量和计算(如千分尺)。如不确定度以相对形式表示,应选全量程的最小点进行多次测量(如材料试验机),用以代表全量程各点。当反映仪器不确定度时,可以在全量程内选取多点测量,以代表全量程,如选取m点,每点测n次,单次测量不确定度为:

si为各点n次测量实验标准差。

平均值不确定度:

其中自由度为v=m(n–1)

3.2 不确定度的B类评定

(1)

不确定度的B类评定定义:用被测量可能变化的有关信息和资料进行评定。

B类标准不确定度以u(x)表示,则相对B类标准不确定度以表示。

(2)信息来源

以前的观测数据。对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验。生产部门提供的技术说明文件。检定证书,校准报告或其它文件提供的数据、准确度等别或级别。手册或某些资料给出的参数数据及其不确定度。规定实验方法的国家标准或类似的技术文件中给出的重复性限r和复现性R。

(3)评定方法

(1)已知置信区间和包含因子

根据经验和有关信息或资料,分析判断落入区间[–a,+a]的概率分布,估计包含因子k,则。几种常见分布关系见表1。

在缺少任何信息的情况下,一般估计为矩形分布。如被测量xi出现在[–a,+a]中心附近的概率大于区间边界时,最好估计为三角分布。如果xi本身是几个观测值的平均值,则估计为正态分布。

(2)已知扩展不确定度U和包含因子k,来源于仪器说明书、校准报告、手册或其它资料,则。

(3)已知扩展不确定度Up和置信水平(置信概率)p的正态分布,来源于检定证书或校准报告,则。

(4)已知扩展不确定度Up以及置信水平p与有效自由度veff的t分布,来源于检定证书或校准报告,根据t分布表,由p和veff查得tp(v)值(t值),则。

(5)由重复性限、复现性限求不确定度。

重复性限用r的不确定度为,复现性限用R的不确定度为。

由于重复性是在相同测量条件下,对同一被测量进行连续多次测量所得结果的一致性,建议若有重复性限r,重复实验结果又满足它的要求,则可用r/2.83作为A类不确定度;复现性是在改变了的测量条件下,同一被测量的测量结果之间的一致性,建议若有复现性限R,又没有其它重要影响量,则可用R/2.83作为合成标准不确定度。

(6)以“等”使用的仪器不确定度的计算

一般采用正态分布或t分布计算,如标准砝码,所需数据由检定证书或校准报告给出。

(4)B类不确定度的自由度

B类不确定度的标准差,即B类不确定度的不确定度以σ[u(xi)]表示。

则相对不确定度的不确定度和自由度v的关系为:。

由于很难计算σ[u(xi)]得出自由度,只能定性判断估计。一般情况下,当有严格数字关系,如数显仪器的分辨力、最大允许误差和数据修约引起的不确定度的计算,自由度为∞。当数据来源检定证书,校准报告或手册等可靠资料时,可取较高自由度;当计算带有一定主管判断因素,如模拟仪器的读数误差引起的不确定度,可取较低自由度。当信息来源于难以用有效实验方法验证时,如量块检定时,标准量块与被检量块温度差的不确定度,自由度可以非常低。

3.3 合成标准不确定度的评定

(1)合成标准不确定度的概念

以上A类、B类不确定度都是对某一被测量通过测量统计计算或根据资料信息经计算得出的,其实在很多情况下,被测量不能直接测量得出,而是按若干个输入量的方差和协方差算得的标准不确定度,称为合成标准不确定度。当合成标准不确定度以uc(y)表示时,则相对标准不确定度以表示。

(2)评定方法

对于,当xi彼此独立或不相关时,

称为灵敏度系数,上式称为不确定度的传播律。u(xi)可以是A类也可是B类不确定度。

应用中常见的两种函数:

(1)线性函数:

显然:

相对形式:

常见情况:

则:

这就是常用的合成不确定度等于各不确定度的平方和的正平方根。

在评定工作中,对于同一仪器,同一变量,相同量纲(一般无固定关系式)一般采用绝对形式(也可采用相对形式),即符合的形式。

比如滴定管体积不确定度:,u1(V):由最大允许误差引入的不确定度。

u2(V):由温度波动引入的不确定度。

(2)幂函数:,它适合于乘、除、乘方、开方的情况。

如若求不确定度的绝对形式uc2(y)很复杂,但其相对形式相当简单。

在评定工作中,对于不同仪器,不同变量,不同量纲(一般有固定关系式)应采用相对形式,即符合的形式,即变量相乘积的形式。

如将上式滴定管体积不确定度与取样量不确定度合成相对合成不确定度:

(3)合成不确定度的自由度

合成不确定度的自由度称为有效自由度。有效自由度可由韦尔奇-萨特思韦特公式计算:

显然:

(1)对于符合的情况,即以绝对形式计算不确定度自由度:

(2)对于符合的情况,即以相对形式计算不确定度自由度:

3.4 扩展不确定度

(1)扩展不确定度的概念

用扩展不确定度来表示测量结果的分散性大小,是在合成不确定度前面乘上一个系数(包含因子)所构成。它有两种形式:

(1)用U表示,测量结果表示为,表示被测量Y的可能值以较高的置信度落在区间内。

(2)用Up表示,测量结果表示为,表示被测量Y的可能值落在区间的概率为p。

(2)包含因子的选择

当Uc的自由度较大时,适应,k取2(置信概率p=95%)或3(置信概率p=99%)。当Uc的自由度较小时,适应,根据置信概率p和合成不确定度的自由度veff查t分布表,查得t(p)(V)值,置信概率p可取95%和99%,当与输出估计值相关的标准差的可靠性足够高时,一般可取95%。

4 应用实例

用一台数字万用表测量和一台示波器测量低频治疗仪在额定负载电阻下单个脉冲的输出电压和脉冲宽度,然后计算出单个脉冲输出能量的不确定度并写出报告。

(1)测量电阻的不确定度

(1)读数重复性引入的A类不确定度

用一台数字万用表测量标称值500Ω的额定负载电阻,连续测量10次,得到如下数据,如表2所示:

(2)测量误差引入的B类不确定度

测量额定负载电阻用的是3位半(满刻度1999字)数字万用表,2kΩ电阻量程(对应1Ω/1个字),测量误差a=0.5%读值+1个字=0.5%×499.6Ω+1Ω=3.50Ω,属矩形(均匀)分布,

(3)分辨力引起的B类不确定度

数字万用表测量电阻的分辨力为1Ω,数字示值分散区间半宽,即0.5Ω,并取均匀分布,其标准不确定度为:

电阻不确定度由以上三项合成

(也可以用计算)

(2)测量脉冲电压的不确定度

(1)读数重复性引入的A类不确定度

用一台数字示波器测量低频治疗仪在额定负载电阻下单个脉冲的脉冲电压,连续测量10次,得到如下数据,如表3所示:

(2)测量误差引入的B类不确定度

用数字示波器测量脉冲电压时,测量误差a=1%读数=1%×202.4V=2.02V,属矩形(均匀)分布,

(3)分辨力引起的B类不确定度

数字示波器测量脉冲电压的分辨力为2V,数字示值分散区间半宽,即1 V,并取均匀分布,其标准不确定度为:

脉冲电压不确定度由以上三项合成

(3)测量脉冲宽度的不确定度

(1)读数重复性引入的A类不确定度

用一台数字示波器测量低频治疗仪在额定负载电阻下单个脉冲的脉冲宽度,连续测量10次,得到如下数据,如表4所示:

(2)测量误差引入的B类不确定度

用数字示波器测量脉冲宽度时,取样间隔=扫描时间/格÷250,测量误差a=取样间隔+100ppm读数=50µs÷250+0.01%×299.8µs=0.23µs,属矩形(均匀)分布,

(3)分辨力引起的B类不确定度

数字示波器测量脉冲宽度的分辨力为1µs,数字示值分散区间半宽,即0.5µs,并取均匀分布,其标准不确定度为:

脉冲宽度不确定度由以上三项合成

(4)合成不确定度

脉冲输出能量

由得合成不确定度:

合成不确定度的自由度为:

B类不确定度大都有严格数据关系,因此自由度为∞。根据不确定度的计算关系,在实际测量中,若该输入量测量的离散性大,误差大,灵敏度系数高,则对合成不确定度的影响就大,数据的权重就高,即主要决定了合成不确定度的最终结果。若该输入量测量的一致性好,误差小,灵敏度系数低,则对合成不确定度的影响就小,数据的权重就低,即可以忽略不计。

在实际测量时,由于计量检定中不确定度的读数重复性和实际测量的读数重复性并没有必然联系(即使数据一致,引入计量检定读数重复性的不确定度也会造成实际测量的重复计算),且计量检定中溯源检定仪器的测量误差、分辨力也不应移植到测量仪器上,所以计量检定证书的不确定度不应计入实际测量不确定度的计算过程。如果计量检定改变了某个测量仪器的测量误差,则按发生改变的测量误差进行不确定度的测量和计算。当某个输入量(如电阻)的校准证书已经给出了不确定度,则可以直接用于计算,不必进行重复的不确定度测量和计算过程。

(5)扩展不确定度

根据合成不确定度的自由度计算结果,截断尾数得Veff=50

为保证规定的置信度,当计算出的合成不确定度的自由度有尾数时,应截断尾数,按较小的自由度值查t分布表选取对应较大的数据涵盖区间。

根据JJF1059《测量不确定度评定与表示》,查t分布表得

在实际测量中,当输入量较多时,计算出的一般很大,适应情况,通常可根据实际情况直接选取。

脉冲输出能量的不确定度报告

5 结束语

标准不确定度的A类评定 篇4

减小字体 增大字体 作者：李慎安 来源： 发布时间：2007-04-28

08:52:07 计量培训：测量不确定度表述讲座 国家质量技术监督局 李慎安

5.1 A类评定的基本方法是什么？

用统计方法(参阅4.1)评定标准不确定度称为不确定度的A类评定，所得出的不确定度称为A类标准不确定度，简称A类不确定度。当它作为一个分量时，无例外地只用标准偏差表征。

标准不确定度A类评定的基本方法是采用贝塞尔公式计算标准差s的方法。

一个被测量Q(既可以是输入量中的一个，也可以是输出量或被测量)在重复性条件下或复现性条件下重复测量了n次，得到n个观测结果q1，q2，…，qn，那么，Q的最佳估计即是这n个观测值的算术平均值:

由于n只是有限的次数，故又称为样本平均值，它只是无限多次(总体)平均值的一个估计。n越大，这个估计越可靠。

每次的测量结果qi减称为残差vi，vi=(qi-)，因此有n个残差。

残差的平方和除以n-1就是实验方差s2(qi)，即一次测量结果的实验方差，其正平方根即为实验标准差s(qi)，当用它来表述一次测量结果的不确定度u(qi)时，有s(q)=u(qi)，或简写成s=u。

请注意，今后不再把s作为A类不确定度的符号，把u作为B类不确定度的符号，而是不分哪一类，标准不确定度均用u表示。

上述的计算程序就是3.1给出的程序。

平均值的标准偏差s()或其标准不确定度u()为:

必须注意上式中的n指所用的次数。在实际工作中，为了得到一个较为可靠的实验标准偏差s(qi)，往往作较多次的重复测量(n较大，自由度ν也较大)；但在给出被测量Qi测量结果q时，只用了较少的重复观测次数(例如往往只有4次)。那么，4次的平均值的标准偏差就是s(qi)/4=0.5×s(qi)

但是，如果用于评定s(qi)时的n个观测值，直接用于评定s()(n个的平均)，则成为下式:

5.2 除基本方法外还有哪些简化的方法？用于何种场合？

在JJF1059中提出了另外的一种简化方法，称之为极差法，极差R定义为一个测量列中，最大的测量结果减最小测量结果所得之差。所谓测量列，是指重复性条件下或复现性条件下的若干测量结果这一整体。

使用极差法评定s(qi)的前提是qi的分布应是正态的。对于大多数测量仪器来说，单次测量的示值，其分布往往偏离正态甚远，例如轴尖支承式仪器的示值介于正态与均匀分布之间，数字电压表的示值分布一般呈双峰状态等。但是所有qi如果已是3或4个示值之平均值，则可以认为其分布是正态的了。

在得到了极差R之后，根据这个测量列中包含的qi的多少(即测量次数n)，除以一个相应的系数C就可得出单个qi的实验标准偏差s(qi)了，即s(qi)=R/C=u(qi)。

当n=4时，C=2.06≈2；

当n=9时，C=2.97≈3；

当n=15时，C=3.47≈3.5。

必须注意，上述三种情况下的自由度ν分别只为2.7，6.8与10.5，比用贝塞尔公式所计算出来的结果自由度小，因此，可靠性也较差，一般在n较小时使用较好。

5.3 什么叫合并样本标准差sp？一般有哪几种求sp的方法？

合并样本标准差sp这一符号的下标正体小写p，来源于英文pooled一词，表示并非来自一个被测量的实验结果，但sp所给出的则仍为这一条件下单次测量结果的标准偏差。sp是根据多个被测量在重复性条件或复现性条件下重复观测所得测量结果，按统计方法计算出的一次测量结果的分散性标准偏差，一般只用于常规的规范化的测量之中。例如:按检定规程进行的校准工作，车间中的在线抽检，某种产品中成分的抽样化验等。采用sp的前提是:检测方法不变；整个过程处于正常情况，被测量值的大小变化对分散性不起主要作用。由于sp的自由度一般可以比较容易地达到20以上，认为是相当可靠的，一般把它保留下来作为一种技术档案而用于今后的相同条件下测量结果(往往只重复二、三次，甚至不重复)不确定度的评定。

例如某种测量一般进行4次观测，取算术平均值作为测量结果报出。这种规范化的测量如对10个被测量进行过了，则可以通过这10次的记录，每一次可算出4个残差vi，一共可算出40个残差vi。所有这些残差的平方和除以10×(4-1)=30后开方，就是sp，其计算式表示为:

式中的m是所用的被测量个数，上例中为10，式中的n是每个被测量的次数，上例为4。按上例，这样得出的sp的自由度υ=m(n-1)=30，也就是测量次数减被测量的个数。

如果这10个被测量每次测量的次数并非都是4次，而是各不尽相同，则可以分别计算每一次的实验标准偏差(按贝塞尔公式)si，通过这10个不同的si及其相应不同的自由度νi(按n-1)由下式得出sp，即

这时得到的sp的自由度按测量次数减被测量个数即∑νi。

此外，还可以通过一个被测量的两次测量结果之差Δ来求一次测量结果分散性标准差。例如:10个被测量，每个均测了两次，得到10个差值Δi，按贝塞尔公式计算差值Δi的标准偏差s(Δi)为:

式中:按本例n=10，为10个差值的算术平均值，s(Δi)的自由度为n-1，本例则为9。由于单次测量结果的标准差s(xi)与s(Δi)之间有: 因此，用这一方法得出的s(Δi)还要除以

就是sp，即单次测量结果xi的合并样本标准差。采用这种方法时，应有较多的被测量，以使其自由度足够大，一般应有20个以上。由于每个被测量只进行两次测量，实用中不少情况下是方便的，特别是被测量本身不很稳定的情况下，这一方法有其独特的优点。

5.4 不等精度加权平均值的实验标准差如何计算？

不管是重复性条件还是复现性条件下，只要是处于统计控制状态下，均可按贝塞尔公式计算单次测量结果或平均值的标准偏差，这种情况下，我们把这些进入贝塞尔公式的结果认为是等精度的，但如果对同一被测量的若干个测量结果的不确定度各不相等，就是非等精度的测量结果，通过这些结果求出该被测量的最佳估计时，应按加权平均的办法处理，其不确定度的计算也要考虑各个结果的权，权是表示各个测量结果可靠程度的一个比值。我们过去说权与误差的平方成反比，实际上是与不确定度的平方成反比，或说与方差成反比。由于不确定度有几种不同表达形式(u，ku，kpu)(参见3.4与3.5)，在权的计算中，应使各个结果的不确定度换算成用同一种不确定度给出。

例如:对一个被测量有以下三个测量结果:

y1=(1000.045±0.010)mm，k=2

y2=(1000.015±0.020)mm，k=1

y3=(1000.060±0.020)mm，p=95

以上三个结果±号后都是不确定度，但包含因子k不同，第三个则是用扩展不确定度U95给出的，在进行加权平均时，应把他们换算成同一种，通常是都算成k=1的标准差，成为:

y1=(1000.045±0.005)mm，k=1

y2=(1000.015±0.020)mm，k=1

y3=(1000.060±0.010)mm，k=1

设这三个结果的权分别为p1，p2与p3，当设其中不确定度最大者p2为1时，应有共同分子(20μm)2，得

加权平均值按

y=∑qiyi/∑qi

计算，得

y的标准偏差按

上式中的vi，也是残差，等于yi-y，m则为yi的个数，本例中m=3。

s(y)=6.5μm

有些书上把称为单位权的标准偏差，以简化计算。

5.5 直线拟合中表征曲线拟合参数的标准不确定度如何评定？

直线拟合为最常用也最简单的一种，它给出两个变量x、y间的线性关系。通过测量出一组数据(xi，yi)，i=1，2，…，N，得到的一条直线y=mx+b应该是所有这些点(xi，yi)与这条直线垂直距离之差的平方和为最小，所谓最小二乘即此意。式中m是直线斜率(也称回归系数)，b是直线在y轴上的截距，m由下式可算出:

例如:求测出的点(-5，-4)，(-1，-2)，(3，4)，(5，6)，(8，7)，(10，10)，(15，12)这7个点，N=7的计算列表如下:

斜率

y轴截距b=4.71-0.858×5=0.426

由此给出的回归方程为:

y=0.858x+0.426

以上所得出的m及b的标准偏差s(m)及s(b)的计算如下。

先出yi的标准偏差s(y)，按贝塞尔公式

式中yi是按测量给出的，而y则是得到的式子给出的。上式的2是由于这里有两个被测量。然后按下式分别评定m及b的标准偏差为:

列出计算表:

得:

自由度均为ν=N-2=5。

5.6 A类评定方法有什么主要特点？

a.比B类方法更为客观；

b.较具有统计学的严格性；

c.要求给定条件下的多次重复观测；

d.所得到的标准偏差，其可靠程度与重复观测次数有关；

e.计算较为复杂。

5.7 在采用A类方法评定时应注意哪些问题？

a.尽可能在重复测量中的各次观测值相互独立，例如:重新抽样、重新配制标准溶液、重新调整测量仪器的零位；

b.所有假定为随机性的效应是否在整个实验中确是随机的，他们的分布均值以及方差是否不变，是否存在未知的漂移；

c.重复性条件或复现性条件应充分保证；

d.影响量不应超出允许范围；

e.当某种测量只进行了一次，并未在重复性条件下或复现性条件下多次观测时，未必不存在A类评定方法。例如，采用合并样本标准偏差sp。

5.8 是否有可能在测量不确定度评定中，就只有一个A类不确定度？

当只有一个A类不确定度分量起主要作用，其他的不确定度分量之值甚小而可忽略不计的情况下，在评定测量不确定度时就只有这一个A类分量。例如在样品元素分析中，对样品的消化所带来的不确定度远远大于分析仪器的不确定度及其他分量。又如对样品热导率的测量中，重复条件下的分散性标准差远远大于所用测量仪器的不确定度分量等。

5.9 A类评定方法的举例

设重复性条件下，测量某一电流的8次独立重复观测值Ii为:130，141，120，110，118，124，146，128 mA，其平均值为127 mA，按贝塞尔公式，单次观测值的标准不确定度:

s(Ii)=11.9 mA=12 mA

平均值的标准偏差s():

自由度ν=n-1=8-1=7

5.10 协方差的A类评定中应注意什么？

例如用同一个50kg的标准砝码对两个50kg的工作用砝码进行校准，则在两个校准结果中既包含有校准过程中随机效应导致的不确定度分量，也包含了所用同一标准砝码证书上给出的实际值的不确定度这一系统效应导致的不确定度分量。后者的存在导致两个50kg砝码的校准结果相关。这两种分量的相对大小，决定了相关的强弱。如果上述第一种分量远小于第二种，则它们是强相关，否则为弱相关。相关程度的定量指标为相关系数r，借助于有限次数(n次)的重复测量，通过协方差s()进行A类评定的计算式如下:

式中:qk是第一个被检砝码的第k个结果，rk是第二个被检砝码的第k个结果。是第一个砝码n个结果的算术平均值，则是第二个砝码的平均值。当然，qk-以及rk-就是它们各自的n个残差。必须注意的是，应由n个50kg标准砝码来对这两个50kg砝码校准而分别得出n对测量结果:q1，r1；q2，r2；…；qn，rn。而决不是用一个50kg标准砝码对这两个砝校重复校准n次。

当得出s()后，可按下式

计算被校准的两个50kg的测量结果间的相关系数r。式中:s(qk)与s(rk)为按贝塞尔公式所计算的一次测量的实验标准偏差。很明显，本例中s(qk)=s(rk)。当s()s(qk)时，r≈1即强相关，而当即不相关。

常用玻璃量器测量结果不确定度评定 篇5

关键词：常用玻璃量器 测量不确定度 示值误差 评定

1 概述

常用玻璃量器广泛应用在石油化工、食品卫生、环境检测等实验分析工作中。它包括滴定管、分度吸量管、单标线吸量管、单标线容量瓶、量筒和量杯六类玻璃量器，JJG196-2006《常用玻璃量器》对常用玻璃量器的容量允许误差进行了详细的规定，但仍不能满足一些行业部门对玻璃量器不确定度的要求。本文就选用10mL碱式滴定管，对其5mL和10mL两个检定点进行不确定度分析，以满足各行各业应用玻璃量器的化验室的需要。

2 概论

2.1 测量依据

JJG196-2006《常用玻璃量器》检定规程

2.2 测量方法

采用衡量法，通过天平称出被测量器中蒸馏水的质量，乘以测量温度下的K（t）值，即得20℃下的实际容量。

2.3 测量环境

室温为（20±5）℃，且变化量不大于1℃/h，水温与室温之差不大于2℃。

2.4 标准器

电子天平：（0～210）g/0.1mg；温度计：（15～25）℃/±0.2℃。

2.5 被测量器

被测量器为10mL，分度值为0.05mL的A级碱式滴定管。

3 数学模型

V20=m×K（t）

式中：V20——20℃下被测量器的实际容量，mL；

m——天平称出的蒸馏水的质量，m；

K（t）——测量温度下的修正值，mL/g。

4 不确定度来源

常用玻璃量器测量不确定度由以下3个分量组成：①检定点测量重复性引入的不确定度；②标准器引入的不确定度；③人员估读引入的不确定度。

5 不确定度一览表

■

6 不确定度评定

6.1 测量仪器天平引起的标准不确定度分量u1

此分量属于B类标准不确定度，（0～210）g天平证书给出的扩展不确定度为0.06mg（k=2），因此：

u1=0.06mg/2=0.03mg。

转换为容量单位u1=0.00003mL。

6.2 液面读数误差带来的标准不确定度分量u2

此分量属于B类标准不确定度。液面的正确观察方法是：前面的标线与后面的标线相重合，此时观察者的视线与液面在同一水平线上，然后用弯月面的最低点与分度线的上缘水平相切，由于操作人员掌握的方法不一致，所以产生一定的误差。10mL碱式滴定管分度值为0.05mL，由实际操作经验，可估读至最小分度值的1/5，为0.01mL，属均匀分布，故标准不确定度：

u2=0.01/■=0.006mL。

6.3 测量重复性误差带来的标准不确定度分量u3

此分量属于A类标准不确定度。分别对10mL碱式滴定管5mL和10mL两个检定点重复测量10次，具体数据如下：

5mL检定点：

■

运用贝塞尔公式得实验标准偏差：s（x）=■=0.0023mL

标准不确定度：u3=■=■=0.00073mL

10mL检定点：

■

运用贝塞尔公式得实验标准偏差：s（x）=■=0.00276mL

标准不确定度：u4=■=■=0.00087mL

7 合成标准不确定度和扩展不确定度

以上各不确定度各不相关，故10mL碱式滴定管5mL和10mL两个检定点的合成不确定度分别为：

5mL：uc1=■

=■=0.006mL

10mL：uc2=■

=■=0.006mL

扩展不确定度分别为：

5mL：U95=2×uc1=0.012mL （k=2）

10mL：U95=2×uc2=0.012mL （k=2）

8 结束语

修正值K（t）的引入大大减少了常用玻璃量器测量结果不确定度评定的工作量，也使得不确定度评定具有很高的相近性，符合上述条件的测量结果，一般可直接使用本不确定度的评定。

参考文献：

[1]JJG196-2006，常用玻璃量器[S].

[2]JJF1059-1999，测量不确定度评定与表示[S].

电梯能效测试不确定度评定 篇6

1.1 测量依据:

DB32/T 2156-2012、DB33/T 771-2009

1.2 测量环境条件:

电网供电电压0~384.5V。机房温度保持在5-40℃之间。环境空气中无腐蚀性和易燃性气体及导电尘埃或在允许范围内无腐蚀性和易燃性气体及导电尘埃应设置检测警示牌, 已设。

1.3 测量标准:

电梯能效测试仪标准装置

1.4 被测对象:

在用及新安装电梯

1.5 测量过程:

(1) 测试点:测试点为试验电梯机房内电源闸箱的下口。 (2) 接线方式:将一台的测量线路连接好, 本测试采用三相三线接线方式, 即分别取测试三相电流和电压, 按照仪表提示完成测试测试流程。 (3) 运行模式:电梯停在1层, 测试开始后, 输入信号使电梯从1层直驶运行至顶层, 正常平层开门后, 再信号使电梯从顶层直驶运行至1层, 正常平层并完全开门后一个循环完成, 结束记录。同上、下端站直驶运行循环共进行三次, 分别记录, 取三次功耗的平均值作为最后结果。

2 数学模型及变量分析

式中:δ———修正为模拟实际工况法的电梯能源效率评价指标;

δ′———空载法测得的平均电梯能源效率评价指标;

μ1———换算系数 (2.17) ;

μ2———平衡系数修正系数 (0.45/k, k为该台电梯实际平衡系数) ;

由公式可知, μ1, μ2皆为常数, δ的不确定分量则主要来自δ′。从校验标准可知δ′=Ec/Wz

式中:Ec———电梯在规定工作周期内, 从电网输入的电能;

Wz———电梯在规定工作周期内, 轿厢完成运送负荷的运送量, 即每次运送的载荷与被移动的垂直距离乘积之和

式中:Qn———第n次轿厢内的有效载荷;

Sn———第n次运送有效载荷的垂直运行距离。

在实际测量中, 采用空载单次运行, 则总的电梯能源效率公式演变为δ=Ec/Σ (Qn×Sn) ×μ1×μ2

由于是空载, 轿厢重量基本不变, 可视为定量。

3 标准不确定度的评定

选取在用电梯, 电梯型号21VF, 额定载重量1600kg, 额定速度1m/s, 传动方式有齿, 平衡系数0.635, 调速方式VVVF, 功率18.5Kw。根据实际, 按照标准规定方法, 测得数值10组, 如表1。

根据公式推导可得, δ的不确定度是由Ec和Wz两个主要参量引入。因此分别对这两个参量进行分析。

3.1 标准不确定度u (Ec) 的评定

输入量Ec的标准不确定度u (Ec) 的来源主要是被测电梯工作变动等因素引起的测量不重复和标准器精度两个方面。

(1) 对于测量不重复, 采用A类评定。

实际测量中, 以3次均值为最终结果, 则有

考虑到标准器的读数分辨率为0.0001Kw.h, 则ua (Ec) =2.9×10-5Kw.h。

(2) 对于标准器精度, 采用B类评定

参考标准器ELE-1的技术参数, 能耗测量精度为±0.5%, 则有ub (Ec) =0.1917Kw.h×0.5%/1.732=5.5×10-4Kw.h。

(3) 合成u (Ec)

u (Ec) =5.5×10-4Kw.h。

3.2 标准不确定度u (Wz) 的评定

输入量WN的不确定度来源于被测电梯工作变动等因素引起的测量不重复和标准器精度两个方面。

(1) 对于测量不重复, 采用A类评定。

实际测量中, 以3次均值为最终结果, 则有

考虑到标准器的读数分辨率为0.0001km*t, 则ua (Wz) =2.9×10-5km*t。

(2) 对于标准器精度, 采用B类评定。

采用B类方法评定。考虑到校准器稳定度、调节细度及读数分辨力所引起的不确定度已包含在重复性条件下所得到的测量列的分散性中, 故在此不另作分析。

标准器测距仪说明书给出精度为±0.1m, 则有

(3) 合成u (WN)

u (WN) =9.6×10-5km*t。

4 合成标准不确定度的评定

(1) 灵敏系数

(2) 合成标准不确定度的计算

输入量Wx与WN彼此独立不相关, 所以合成标准不确定度可按下式得到, u (δ) =0.0061。

5 扩展不确定度的评定

取置信概率P=95%, k=2

扩展不确定度U95=ku (δ) =2×0.0061=0.0121。

参考文献

[1]朱伟.浅析电梯节能管理[J].中小企业管理与科技 (下旬刊) , 2012 (02) .

[2]陈盛康.浅谈电梯检验技术及安全[J].价值工程, 2013 (09) .

物理实验与测量不确定度 篇7

“不确定度”一词是指可疑、不能肯定或测不准的意思, 不确定度是测量结果所携带的一个必要的参数, 以表征测量值的分散性、准确性和可靠程度.不确定度反映了可能存在的误差分布范围, 即随机误差分量和未定系统误差分量的联合分布范围.一个完整的测量结果不仅要给出该量值的大小 (即数值和单位) , 同时还应给出它的不确定度, 用不确定度来表征测量结果的可信赖程度.于是测量结果应写成下列标准形式:x=x±U (单位) Er=U/x×100%式中x为测量值, 对等精度多次测量而言, x为多次测量的算术平均值;U为不确定度, Er为相对不确定度.

2 不确定的分类和评定方法

测量不确定度通常由几个分量构成, 按数值的评定方法不同可将分量分为A类和B类.A类分量是指在同一条件下多次重复测量时由一系列观测结果用统计方法计算的分量, 用符号“UA”表示.B类分量是指用非统计方法计算的其他分量, 用符号“UB”表示.测量不确定度有三种定量表达方式: (1) 标准不确定度:用标准偏差表示的测量结果的不确定度. (2) 合成标准不确定度:由若干标准不确定度合成的不确定度. (3) 扩展不确定度:用包含因子k乘以合成标准不确定度, 得到扩展不确定度, 这样可以得到一个区间的量, 该区间包含了合理赋予的被测量值分布的大部分.它将合成标准不确定度扩展了k倍, 从而提高了置信水平。

2.1 直接测量的不确定度的评定

2.1.1 单次直接测量的标准不确定度的评定

在物理实验中经常遇到单次测量的情况.原因是多次测量时A类不确定度远小于B类不确定度, 或物理过程不能重复, 因此无法多次测量.在一般情况下, 简化的做法是采用仪器误差, 作为单次测量的不确定度的估计值.故U=UB (x) =Δ仪

2.1.2 多次直接测量的标准不确定度的评定

多次直接测量的A类标准不确定度的评定

在相同条件下, 对某一物理量x进行n次等精度独立测量, 其测量值分别为x1, x2, …, xn则该测量值的最佳估计值为算术平均值, 即:

在这种情况下, 单次测量的标准偏差Sx由贝塞尔公式得到:

由于多次测量的平均值比一次测量值更准确, 随着测量次数的增多, 平均值收敛于期望值.因此, 通常以样本的算术平均值作为被测量值的估计 (即测量结果) , 以平均值的标准偏差作为测量结果的标准不确定度即A类标准不确定度所以:

(2) 多次直接测量的B类标准不确定度的评定

在物理实验中, B类标准不确定度的数值主要来自以前的测量数据, 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验, 技术说明书或其他证书以及手册等提供数据.若已知B类分量误差的极限, 则B类不确定度为

在缺乏信息难以分清分布的情况下, 以不确定度偏大假设为准, 一律按均匀分布处理.即:

(3) 多次直接测量的合成标准不确定度的评定按方和根合成原理可以得到直接测量的合成不确定度公式, 即:

2.2 间接测量不确定度的评定———不确定度的传递与合成

设间接测量量y可写成直接测量量x1, x2, …, xn的函数y=f (x1, x2, …, xn) .则间接测量y的最佳值为y=f (x1, x2, …, xn) .由误差的全微分表达式:

 (其中dy, dxi分别为y及xi的误差) , 从误差传递的代数和式可以导出标准偏差的方和根合成, 即:

(4) 式中Sy为间接测量量的标准偏差;Sxi为直接测量量的标准偏差.在各量X1, …, Xn互相独立的前提下, 式 (4) 的标准偏差传递公式在数学上是严密的.人们公认Uy为以标准偏差形式表示的不确定度, 其传递公式形同标准偏差的形式, 也是各分量与偏导数之积的方和根, 于是得到间接测量的总不确定度的近似公式为:

不确定度的概念和体系是现代误差理论发展的基础上建立和完善的, 是对测量结果评定和表示国际标准化和规范化的重要体现.掌握不确定度的概念, 应作为物理实验的基本要求, 这是物理实验内容改革的一个重要环节.

参考文献

[1]董有尔, 张天喆.近代物理实验[M].北京:科学出版社, 2006:44-55.

[2]朱鹤年.物理实验研究[M].北京:清华大学出版社, 1990:12-43.

临床生化检验测量不确定度分析 篇8

1 资料与方法

1.1 一般资料

选取2013年4-5月我院收治的64例患者进行静脉血各项的生化检验。其中男38例, 女26例, 年龄26~67岁, 平均年龄 (30.27±7.65) 岁。所有患者均接受相应治疗, 并配合调查研究。所有患者身体的基本资料没有较大差异, 无统计学意义 (P>0.05) 。

1.2 方法

1.2.1 分析方法:

选择日立公司的自动生化分析仪和配套试剂, 对本次选取的64例患者进行生化检测, 抽取空腹患者5ml的静脉血液, 采取离心操作并分离血清, 检测各项生化指标。具体程序: (1) 首先进行批内CV检测, 将1d内室内质控品的20次测定结果作为根据, 并每天对室内质控品给予批内CV检测, 共检测20d, 并计算20d的检测结果。 (2) 偏倚CV计算方式为:重复测定定值质控血清3次, 计算平均值, 然后计算百分差值和偏倚CV, 计算公式:CV (bias) =相对差值品均值。

1.2.2 测指标方法:

选择速率法检测丙氨酸氨基转移酶、γ-谷氨酰转移酶和天门冬氨酸氨基转移酶;使用尿酸酶比色法进行尿酸检测, 使用双缩脲终点法进行总蛋白的检测, 使用酶法进行尿素氮和肌酐的检测, 选择胆固醇氧化酶的方法检测胆固醇, 选择氧化酶的方法检测葡萄糖。不确定度的来源主要有:偏倚因素, 批内因素和批件因素。

1.3 统计学分析

对本文所得数据均采用SPSS14.0统计学软件进行检验, 计量资料采用t检验, 计数资料采用χ2检验, P<0.05有统计学意义。

2 结果

对患者进行各项生化检验后, 其各指标不确定度为:总蛋白:2.92%, 肌酐:9.33%, 尿素氮:9.18%, 碱性磷酸酶:8.21%, 葡萄糖:4.08%, 清蛋白:7.22%, 谷氨酰转肽酶:14.18%, 具体数值见表1。

3 讨论

不确定度的测量为数字信息, 合理补充测量结果, 显示这一结果的怀疑程度, 根据应用系统的差异, 不确定度是因为不同因素的集合[2]。测量结果是否可靠的指标来表示测量结果, 在实际的临床工作中, 不能对一个样品多次检测, 所以误差不能对所有的临床检验都适用。检测不确定度为完善发展误差理论, 实践中很难用复杂方法检测不确定度, 需要大量的物力资源、人力资源[3]。本文在分析测量不确定度的过程中, 对各项不精准度给予分量分析, 按照相关标准严格操作, 在检验中依然会受到相关因素的制约, 不同指标的不确定度差异明显, 在检验中说明测量不确定度能够清楚反映生化检验结果的分散程度和准确性, 可在一定程度上降低检验的误差。

测量不确定度的数值可对实验条件下其检验结果的分散性和准确定给予真实反映, 值得广泛推荐。

参考文献

[1]陈辉, 邓小玲, 毕小云, 等.人血清胆固醇常规测量不确定度的研究〔J〕.临床检验杂志.2013, 24 (17) :109-110.

[2]刘小娟, 江咏梅, 王泓, 等.临床生化检验测量不确定度的初步研究〔J〕.重庆医学.2013, 28 (21) :156-157.

测量不确定度的分析及应用 篇9

测量是在科学技术、工农业生产、国内外贸、工程项目以及日常生活的各个领域中不可缺少的一项工作,测量的目的是确定被测量的量值。测量结果的质量如何,测量结果是否有用,在很大程度上取决于其不确定度的大小,因此,测量不确定度是测量系统最基本也是最重要的特征指标,是测量质量的定量评定,对产品的检测质量具有很重要的意义。国家实验认可委已经实施了等同于ISO/IEC17025的新版实验室认可准则。新规则特别在不确定度评估方面,对各检测实验室增加了许多新的要求,具体到电器产品的检测中,不确定度的评估是各企业和认证实验室急需解决的一个课题。

2 测量不确定度的计算步骤

2.1 建立数学模型。

被测量量取决于输入的数据,被测量量的不确定度也取决于输入数据的不确定度,因此,首先用数学式表示其相互关系,即建立数学模型:

例如电压等于电阻乘以电流,用数学式表示为:。

2.2 确定不确定度来源。

每一个输入自变量Xi都是由xi作为其估计值,该值是不能准确知道的,它有一个固有的不确定度,主要来自于以下方面:a.标准结果的不确定度或误差;b.仪器本身固有的测量误差;c.操作人员对测量结果的影响;d.环境对测量结果的影响;e.重复测量引入的数据离散性;f.其它。

2.3 不确定度的分类及评定。

不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类:符合统计规律的,称为A类不确定度,用实验标准偏差表征,而不符合统计规律统称B类不确定度,用根据经验或资料及假定概率分布估计的标准偏差表征。

2.3.1 A类评定。

用对一系列观测值进行统计分析的方法,得到的实验标准偏差就是A类标准不确定度值。

一般情况下,对同被测量X,独立重复观测n次,用算术平均值作为测量结果时,测量结果的A类评定的标准不确定度为:

其中,n-1为自由度

2.3.2 B类评定。

用非统计的方法进行评定,用估计的标准偏差表征。一般,根据经验或有关信息和资料,分析判定被测量可能值的区半(-δ,δ),假设被测量的值落在该区间的概率分布,由要求的置性水平和选取的k因子,就可以估计标准偏差。如何假设其概率分布,主要有以下几种方法:a.只要测量次数足够多,其算术平均值的概率分布为近似正态分布。b.若被测量量既受随机影响又受系统影响,而对影响量缺乏任何其他信息的情况下,一般假设为均匀分布。c.有些情况下,可采用同行的共识。

2.4 合成标准不确定度的确定。

当被测量Y是由n个其他独立的可测量X1,X2,…,Xi,…,Xn通过函数关系得到,如(1)式,则合成标准不确定度为:

其中,u(xi)为输入量xi的标准不确定度

为偏导数值,称为灵敏系数u(y)为被测量Y的合成标准不确定度

uc(y)为被测量Y的合成标准不确定度

如果(4)式中所有的偏导数值(灵敏系数)等于1,则(4)式可变为:

2.5 扩展不确定度的确定。扩展不确定度用U表示:

包含因子k表示在某些涉及安全、卫生健康检测的领域,为了提高不确定度的置性水平而将误差极限放宽所采用的系数。当数据为正态分布,k为2时的不确定度置性水平约为95%。

3 关于不确定度应用的几点说明

3.1 单次测量测量值的不确定度。

A类不确定度分量是在对重复测量测得的一系列数据进行数理统计后获得的。在电器产品的检测中,进行重复测量有时会受到时间和资源的限制,A类不确定度分析和评定是很难实现的,也是没有意义的。以测量温升为例,首先工程师根据样品的设计和工作原理,选出可能产生发热危险的部位,通常在20~30个部位之间,部位选定后,用水玻璃将热电偶粘贴在选定的部位。待水玻璃固化后,使样品通电直至温度达到热平衡后开始测量。由于粘贴热电偶的时间需要几个小时,而且,水玻璃固化后,撕脱热电偶要损坏热电偶,必须重新焊接和整理,因此不可能将热电偶重复粘贴进行可重复测量,对工程类检测已无实际意义,因此检测实验室必须建立单次测量的不确定度的评估方法。

3.2 关于不确定度的应用范围。

由于电器产品的检测中,如果所有检测项目都给出不确定度,势必增加很多成本。是不是所有检测项目都必须给出不确定度呢?从IEC/ISO17025的5.10.3.1条和其中的C项规定可以看出,IEC/ISO17025并不要求所有检测项目都要给出一个测量不确定度。

4 测量不确定度应用实例

例如:在25℃环境下,测得流过一个标准电阻的电流为20m A。已知该标准电阻在20℃时的校准值为100.05",证书给出的校准不确定度为0.01"(k=2),电阻的温度系数α为15×10-3/℃,其误差极限为±1×10-5/℃,测温用的温度计的允许误差极限为±0.02℃;电压表的测量误差为读数的±0.2%。求标准电阻的电压降及其测量不确定度。

4.1 建立数学模型:

4.2 各分量标准不确定度及灵敏系数

4.3 求合成标准不确定度

4.4 扩展不确定度

取k=2,则:(置信水平为95%)

结果表达为:标准电阻的电压降

结束语

测量不确定度是测量技术的重要概念,也是保证计量、检测质量的重要要素。被我国纳入法制计量管理范畴。随着我国加入WTO后,在实验室认证、计量、检测等领域全面贯彻国家计量技术规范,与国际上通用的做法接轨,是向我们从事计量、检测工作的专业人员提出的一项十分迫切的任务。在产品检测工作中,为了避免因测量方法和测量条件的不同对测量结果引起争议,对重要数据的测量应制定相应的检测规程,并依据测量不确定度的原理对测量结果进行不确定度的评定,这样可以有效地提高效益并降低风险,在此基础上推广应用国家计量标准规定的术语和测量不确定度评定方法,停止使用并逐步淘汰传统上习惯采用的但不确切的术语和做法,有利于我国计量、检测领域的整体水平提高。

参考文献

[1]中国质量技术监督局,JJF1059-1999测量不确定度评定与表示[M].北京:计量出版社,2000.

[2]王克勤.不确定度在检测实验室的应用.安全与电磁兼容.主办单位:中国电子技术标准化研究所,2001,4.

[3]杨世元,吴国平等.电器质量检测不确定度[M].北京:中国标准出版社,2002.

[4]赵家瑞.关于电器产品检测不确定度相关问题的探讨,家电科技,主办单位:中国家用电器研究所,2004,7.

[5]鲁绍曾.现代计量学概论[M].北京:中国计量出版社,1987.

测长仪示值误差的测量不确定度 篇10

2.数学模型

测长仪对零点的示值误差为

Δ=D（1+αDΔtD）-L（1+αLΔtL） （1）

式中：D——仪器在标准条件下的读数值（受检点与零点间的长度）（mm）；

L——量块在标准条件下的长度（mm）；

αD，αL——仪器玻璃尺与量块的热膨胀系数（℃-1）；

ΔtD， ΔtL——仪器与量块的温度对标准温度（20℃）之差（℃）。

测长仪的示值误差为

e=△mal-△min

=Dmax（1+aD△tD）-Lmax（1+aL△tL）

-Dmin（1+aD△tD）-Lmin（1+aL△tL）

=（Dmax-Dmin）（1+aD△tD）-（Lmax-Lmin）（1+aL△tL） （2）

式中： △mal，△min——对零点的示值误差的最大值与最小值（mm）；

Dmax，Dmin——对零点的示值误差为最大值与最小值的受检点至零点间的长度（mm）；

Lmax，Lmin——对零点的示值误差为最大值与最小值的受检点检定所用量块的实际长度（mm）。

取δa=aD-aL，δt=△tD-△tL得

e=（Dmax-Dmin）-（Lmax-Lmin）+（Dmax-Dmin）aDδt+（Lmax-Lmin）δa△tL+（Dmax-Dmin）-（Lmax-Lmin）aD△tL）=Dmax-Dmin-Lmax+Lmin+（Dmax-Dmin）aDδt-（Lmax-Lmin）aD△tL （3）

式（3）已将微小量项（Dmax-Dmin）-（Lmax-Lmin）aD△tL舍去；量块的仪器平衡温度时间充分时，ΔtD=ΔtL，有δt=0（其不确定不为零）； （Lmax-Lmin]aD△tL ）项在实验检定中计算示值误差时不做修正，在计算合成标准不确定度时把该项作为一个不确定度分量处理。故计算示值差可用式（Dmax-Dmin）-（Lmax-Lmin）表示。