三角曲线

三角曲线（精选七篇）

三角曲线篇1

1 正弦函数、余弦函数

y=sinx(x∈R,y∈[-1,1])称为正弦函数,y=cosx(x∈R,y∈[-1,1])称为余弦函数,y=tanx(x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z)称为正切函数。y=sin x(x∈R)的图像叫做正弦(余弦)曲线(图1),y=cosx(x∈R)的图像叫做余弦曲线(图2),y=tanx(x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z)的图像叫做正切曲线(图3)。在科学研究中,三角函数曲线有较多的用处。在Vb60中,有对应三角函数,但无法直接绘制曲线,文章将使用绘图方法绘制正弦曲线、余弦曲线和正切曲线。

2 程序设计

利用VB60创建一个标准可执行文件,在工程中窗体中按照表1信息添加各种组件并设置其属性。

利用菜单编辑器,添加一个弹出式菜单,按照表2所示添加并设置各菜单项。

根据以上参数,界面设计如图4所示。

3 程序实现

编写Form_pain函数,画出坐标轴系统,该函数核心代码如下所示。

编写菜单单击函数,实现画各种曲线功能,代码如下。

编译工程,运行程序,结果显示如图4所示。右键单击窗体,选择某项,如“全显”,画出正弦、余弦和正切曲线,程序运行结果如图5所示。

4 结语

在以上程序基础之上,可以推广画出y=A s i n(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)或者y=tan(ωx+φ)等类型三角函数图像。

参考文献

[1]白雪.用VB编写函数曲线.电脑编程技巧与维护[J].2009(22).

[2]常晓兵.三角函数的图像和性质.数学通讯[J].2007(22).

[3]蒋靖.VB图形一例通.电脑开发与应用[J].2006(01).

双曲线焦点三角形的几何性质篇2

在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：x2y2设若双曲线方程为221,F1,F2

ab分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：

性质

1、若F1PF2则SF1PF2b2cot2特别地，当F1PF290时，有

SF1PF2b2

性质

2、焦点三角形PF1F2在P处的内角平分线，过F2作平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是？

性质

3、以r1,r2为直径做一个圆与大圆（以A1A2为直径的圆）相切。

性质

4、双曲线焦点三角形的内切圆与F1,F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。

x2y2证明：设双曲线221的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，PF2于点A,B,C，ab双曲线的两个顶点为A1,A2

||PF1||PF2||||CF1||BF2||||AF1||AF2|| ||PF||AF1||PF2||2a,1||AF2||2a

所以A点在双曲线上，又因为A在F1F2上，A是双曲线与x轴的交点即点A1,A2

性质

5、在双曲线中A，B在双曲线上且关于原点对称，P为椭圆上任意一点，则kPAkPBa22 b性质

6、P点在x=c上移动的过程当中，张角APB的取值范围（A，B为两顶a点）。[0,arctan]

b性质

7、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F延长线于点B，则|BA|e |AP|证明：由角平分线性质得

|BA||F1B||F2B||F1B||F2B|2ce |AP||F1P||F2P||F1P||F2P|2a性质

8、双曲线的焦点三角形PF1F2中，PF1F2,PF2F1

e1

22e1e1当点P在双曲线左支上时，有cottan

N次三角多项式B样条绘制自由曲线篇3

关键词：曲线；三角多项式；函数

中图分类号：TP39 文献标识码：A文章编号：1007-9599 （2012） 01-0000-02

N times Trigonometric Polynomial B-spline Draw Free-form curve

Liu Wei

(Chengdu Industrial Vocational and Technical College Department of Computer Science,Chengdu 610213,China)

Abstract:N times trigonometric polynomial uniform B-spline strip foundation spline curve can be expressed straight line,parabola,ellipse,

spiral.This article describes a trigonometric polynomial with shape parameter uniform B-spline,the last use of the trigonometric polynomial uniform B-spline with shape parameter of the shape parameter of zero to draw an ellipse and spiral,reflecting the class method of drawing curves effectiveness in CAGD

Keywords:Curve;Trigonometric polynomial;Function

一、引言

在参数曲面造型技术中，Bezier方法在理论上是通过逼近特征多边形而获得曲线，在参数曲线曲面上扩展了三角多项式B-Spline多项式。de Boor和Cox于1972年提出了B样条算法，继承了Bezier方法，多项式的次数独立于控制顶点的数目，使多边形的边数与基函数的次数无关，解决了在参数连续基础上的拼接问题。Versprille后来又提出了有理B样条方法和非均匀有理B样条NURWS，该方法既能表示自由曲线曲面，也能精确表示圆锥曲线、二次曲面和旋转曲面。许多学者不断深入研究B样条方法，文献[1]提出均匀三角多项式B样条曲线，既可表示多项式曲线，又可表示三角函数曲线。文献[2]提出带形状参数的三角多项式均匀B 样条。文献[3]提出带多形状参数的三角多项式均匀B样条曲线曲面。本文利用文献[2]提出的方法来做实例实现，并把次数设定为3次，即利用带形状参数的三角多项式均匀B 样条曲线来绘制自由曲线

二、带形状参数的三角多项式均匀B样条原理

（一）均匀B样条曲线

设有控制顶点P0，P1，…，Pn，则k次（k-1次）B样条曲线的数学表达式为：

（1）

式中Ni，k（t）是k-1次B样条曲线的基函数。

根据（1）式可以推导出三次均匀B样条曲线的表达式，对于n+1个控制顶点P0，P1，…，Pn，每四个顺序点构造相应的一段三次B样条曲线：

（2）

其中，N0，4（t）=1/6（1-t）3 ， N1，4（t）=1/6（3t3-6t2+4）， N2，4（t）=1/6（-3t3+3t2+3t+1）， N3，4（t）=1/6t3

根据（2）式可以得到Pi（t）的矩阵表达式为

根据上式可以在平面直角坐标系中设计三次B样条曲线生成的程序.

（二）均匀三角多项式B样条曲线

均匀三角多项式B样条基函数的构造：

由{sint，cost，tk-3，tk-4，…t，1}得到的线性组合为k次三角多项式，由分段的k次三角多项式组成的曲线为k次三角多项式样条，控制顶点有n个，对参数t作均匀分割的步长为α。

k<3的情况，不存在三角多项式B样条基函数

其他情况为零

，

（3）

利用已经构造的基函数（3）式就能够定义在整个参数空间上的均匀三角多项式B样条曲线

Pi 为控制顶点，Ni，k（ t）为构造的基函数。

上述为三角多项式B样条曲线的离散公式，这类曲线没有有理形式，所以既可以表示多项式曲线，又可表示三角函数曲线

（三）带形状参数三角多项式均匀B样条基函数的构造

k 次带形状参数三角多项式均匀B 样条基函数构造如下：

控制顶点有n个，对参数t作均匀分割的步长为α。

k<3的情况，不存在三角多项式B样条基函数

（4）

其中λ为形状参数.

利用（4）式就能够定义在整个参数空间上的均匀三角多项式B样条曲线

（5）

Pi 为控制顶点，为构造的基函数。

三、带形状参数的三角多项式均匀B样条绘制应用

本文利用在形状参数λ=0时的带形状参数的三角多项式均匀B样条来绘制椭圆和螺旋线。

（一）椭圆的应用

根据（4）构造可以推导出带形状参数的三次三角多项式均匀B样条的基

（6）

利用已经构造的基函数（6）式就能够在整个参数空间上构造带形状参数的三次三角多项式均匀B样条曲线（7）式

（7）

椭圆的参数方程为：

（8）

（7）式是（8）式的部分形态，当形状参数λ=0时，如图1

（二）螺旋线的应用

根据（4）式构造可以推导出带形状参数的四次三角多项式均匀B样条的基

（9）

利用已经构造的基函数（9）式就能够在整个参数空间上构造带形状参数的四次三角多项式均匀B样条曲线（10）式

（10）

螺旋线的参数方程为：

（11）

（10）式是（11）式的部分形态，当形状参数λ=0时，如图2

图1 椭圆图2 螺旋线

四、小结

带形状参数的三角多项式均匀B样条对于曲线的参数化设计提供了一个新途径，当形状参数λ发生变化时，曲线的形状也随λ的变化而改变，由于样条曲线上的点都是控制顶点的仿射组合，所以曲线的形状和坐标系的选取无关。

参考文献：

[1]吕勇刚,汪国昭.均匀三角多项式B样条曲线.中国科学（E辑）,2002,32(2):281~288

[2]王文涛，汪国昭.带形状参数的三角多项式均匀B样条[J].计算机学报,2005,28(7):1192-1198

[3]邬弘毅,左华.多形状参数的二次非均匀双曲B-样条曲线[J].计算机辅助设计与图形学学报,2007,19(7):877-883

三角曲线篇4

数学科《考试大纲》明确要求, 要从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题, 在知识网络交汇点设计试题, 使对数学基础知识的考查达到必要的深度.随着新课程改革的不断深入, 知识网络的交汇点正在不断丰富, 在全国及各省市的高考数学试卷中, 与三角函数相结合的圆锥曲线问题层出不穷.我在日常教学中, 对此作了一些研究, 总结出来供大家参考.

一、运用三角函数的定义解与三角函数相结合的圆锥曲线问题

例1 (2009年江西理) 过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, F2为右焦点, 若∠F1PF2=60°, 则椭圆的离心率为 ( )

$\begin{array}{l} (A) \frac{\sqrt{2}}{2} (B) \frac{\sqrt{3}}{3} \\ (C) \frac{1}{2} (D) \frac{1}{3} \end{array}$

解析:因为 $Ρ (- c, \pm \frac{b^{2}}{a})$ , 再由∠F1PF2=60°, 根据三角函数的定义得 $\tan ∠ F_{1} Ρ F_{2} = \sqrt{3}$ , 所以 $\frac{2 c}{\frac{b^{2}}{a}} = \sqrt{3}$ , 所以 $2 a c = \sqrt{3} (a^{2} - c^{2})$ 从而可得: $\sqrt{3} e^{2} + 2 e - \sqrt{3} = 0$ , 所以 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , 故选 (B) .

点评:本题主要考查椭圆离心率的知识, 关键是通过三角函数, 把a、b、c的关系表示出来, 从而得出关于离心率的方程式.

二、运用勾股定理解与三角函数相结合的圆锥曲线问题.

例2 (2009年上海卷理) 已知F1、F2是椭圆C: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点, P为椭圆C上一点, 且 $\vec{Ρ F_{1}} ⊥ \vec{Ρ F_{2}}$ , 若△PF1F2的面积为9, 则b=____.

解析:依意可得:

${\begin{cases} | Ρ F_{1} | + | Ρ F_{2} | = 2 a \\ | Ρ F_{1} | \cdot | Ρ F_{2} | = 18 \\ | Ρ F_{1} |^{2} + | Ρ F_{2} |^{2} = 4 c^{2} \end{cases}$

, 所以4c2+36=4a2, 即a2-c2=9, 故有b=3.

点评:本题主要考查椭圆的定义、几何性质.

三、运用正弦定理解与三角函数相结合的圆锥曲线问题.

例3 (2007年江苏理15) , 在平面直角坐标系xOy中, 已知△ABC顶点A (-4, 0) 和C (4, 0) , 顶点B在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y}{9} = 1$ 上, 则 $\frac{s i n A + s i n C}{s i n B} =$ .

解析:由正弦定理可知: $\frac{s i n A + s i n C}{s i n B} = \frac{| B C | + | B A |}{| A C |} = \frac{2 a}{2 c} = \frac{a}{c} = \frac{5}{4}$

点评:本题主要考查椭圆和第一定义, 关键是利用正弦定理, 把三角关系转化为三边关系.

例4 (2009年重庆卷理) 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为F1 (-c, 0) 、F2 (c, 0) , 若双曲线上存在一点P, 使 $\frac{\sin Ρ F_{1} F_{2}}{\sin Ρ F_{2} F_{1}} = \frac{a}{c}$ , 则该双曲线的离心率的取值范围是____.

解析:因为在△PF1F2中, 由正弦定理得: $\frac{| Ρ F_{2} |}{\sin ∠ Ρ F_{1} F_{2}} = \frac{| Ρ F_{1} |}{\sin ∠ Ρ F_{2} F_{1}}$ , 则由已知, 得 $\frac{a}{| Ρ F_{2} |} = \frac{c}{| Ρ F_{1} |}$ , 即a|PF1|=c|PF2|, 且知点P在双曲线的右支上,

设点P (x0, y0) 由焦点半径公式, 得

|PF1|=a+ex0, |PF2|=ex0-a

则a (a+ex0) =c (ex0-a) , 解得: $x_{0} = \frac{a (c + a)}{e (c - a)} = \frac{a (e + 1)}{e (e - 1)},$

由双曲线的几何性质知 x0>a则 $\frac{a (e + 1)}{a (e - 1)} > a$ , 整理得:e2-2e-1<0, 解得:

$- \sqrt{2} + 1 < e < \sqrt{2} + 1$ , 又e∈ (1, +∞) , 故椭圆的离心率 $e \in (1, \sqrt{2} + 1) .$

点评:本题主要考查双曲线的定义、离心率的取值范围, 关键是利用正弦定理, 把三角形关系转化为双曲线焦点半径与a、b、c的关系.

四、运用余弦定理解与三角函数相结合的圆锥曲线问题

例5 (2009年北京理) 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点为F1, F2, 点P在椭圆上, 若|PF1|=4, 则|PF2|=____;∠F1PF2的大小为____.

解析:如图1, 依题意得:因为a2=9, b2=3,

所以 $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{9 - 2} = \sqrt{7},$

所以 $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{7},$

又|PF1|=4, |PF1|+|PF2|=2a=6,

所以|PF2|=2,

又由余弦定理, 得

$\cos ∠ F_{1} Ρ F_{2} = \frac{2^{2} + 4^{2} - (2 \sqrt{7})^{2}}{2 \times 2 \times 4} = - \frac{1}{2},$

所以∠F1PF2=120°, 故应填, 2, 120°.

点评:本题主要考查椭圆的定义, 利用余弦定理是解本题的突破口.

例6 (2009年湖北卷文) 如图2, 过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点, 自M、N向准线l作垂线, 垂足分别为M1、N1

(Ⅰ) 求证:FM1⊥FN1;

(Ⅱ) 记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、S2、S3, 试判断S $_{2}^{2}$ =4S1S3是否成立, 并证明你的结论.

(Ⅰ) 证明:|MF|=|MM1|,

|NF|=|NN1|,

所以∠MFM1=∠MM1F, ∠NFN1=∠NN1F

如图, 设准线l与x的交点为F1

QMM1//NN1//FF1

所以∠F1FM1=∠MM1F, ∠F1FN1=

∠NN1F

而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=180°

即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180°

所以∠F1FM1+∠F1FN1=90°

故FM1⊥FN1

(Ⅱ) 解:如图, 设直线MNM的倾角为α,

|MF|=r1, |NF|=r2, 则由抛物线的定义得

|MM1|=|MF|=r1, |NN1|=|NF|=r3,

QMM1//NN1//FF1,

Q∠FMM1=α, ∠FNN1=π-α

于是 $S_{1} = \frac{1}{2} r_{1}^{2} \sin α, S_{3} = \frac{1}{2} r_{2}^{2} \sin (π - α) = \frac{1}{2} r_{2}^{2} \sin α$

在△FMM1和△FNN1中, 由余弦定理可得

|FM1|2=2r $_{1}^{2}$ -2r $_{1}^{2}$ cosα=2r $_{1}^{2}$ (1-cosα) ,

|FN1|2=2r $_{2}^{2}$ +2r $_{2}^{2}$ cosα=2r $_{2}^{2}$ (1+cosα)

由 (1) 的结论, 得 $S_{2} = \frac{1}{2} | F Μ_{1} | \cdot | F Ν_{1} |$

所以 $S_{2}^{2} = \frac{1}{4} | F Μ_{1} |^{2} \cdot | F Ν_{1} |^{2} = \frac{1}{4} \cdot 4 r_{1}^{2} \cdot r_{2}^{2} \cdot (1 - \cos α) (1 + \cos α) = r_{1}^{2} r_{2}^{2} \sin^{2} α = 4 S_{1} S_{3}$

即S $_{2}^{2}$ =4S1S3, 得证.

点评:本题主要考查抛物线的概念和几何性质、综合运用数学知识进行推理的能力, 关键是平面几何知识和余弦定理的运用.

例7 (2008年重庆卷21) 如图3, M (-2, 0) 和N (2, 0) 是平面上的两点, 动点P满足:|PM|+

|PN|=6.

(Ⅰ) 求点P的轨迹方程;

(Ⅱ) 若 $| Ρ Μ | \cdot | Ρ Ν | = \frac{2}{1 - \cos ∠ Μ Ρ Ν}$ , 求点P的坐标.

解析: (Ⅰ) 如图4, 由椭圆的定义, 点P的轨迹是以M、N为焦点, 长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2, 长半轴a=3, 从而短半轴

$b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{5} .$

所以椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1 .$

(Ⅱ) 由 $| Ρ Μ | \cdot | Ρ Ν | = \frac{2}{1 - \cos ∠ Μ Ρ Ν}$ 得

|PM|·|PN|cos∠MPN=|PM|·|PN|-2.

因为∠MPN≠1, P点不为椭圆长轴顶点, 故P、M、N构成三角形.在△PMN中, |MN|=4, 由余弦定理有

|MN|2=|PM|2+

|PN|2-2|PM|·

|PN|cos∠MPN ②

将①代入②, 得

42=|PM|2+|PN|2-2 (|PM|·|PN|-2) .

故点P在以M、N为焦点, 实轴长为 $2 \sqrt{3}$ 的双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 上.

由 (Ⅰ) 知, 点P的坐标又满足 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ , 所以

由方程组

${\begin{cases} 5 x^{2} + 9 y^{2} = 45, \\ x^{2} + 3 y^{2} = 3 . \end{cases}$

解得

${\begin{cases} x = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2}, \\ y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} . \end{cases}$

即P点坐标为 $(\frac{3 \sqrt{3}}{2} ‚ \frac{\sqrt{5}}{2})$ 、 $(\frac{3 \sqrt{3}}{2} ‚ - \frac{\sqrt{5}}{2})$ 、

$(- \frac{3 \sqrt{3}}{2} ‚ \frac{\sqrt{5}}{2})$ 或 $(- \frac{3 \sqrt{3}}{2} ‚ - \frac{\sqrt{5}}{2}) .$

点评:本题主要考查椭圆的概念、综合运用数学知识进行推理的能力和运算能力, 关键是余弦定理的运用, 转化与化归的解题思想.

练习:

1. (2008年全国Ⅰ) 在三角形ABC中, AB=BC, 若以A、B为焦点的椭圆经过点C, 则此椭圆的离心率e=____.

参考答案:

$1 . \frac{3}{8}$

三角曲线篇5

自由曲线曲面造型是计算机辅助几何设计( CAGD) 中重要的研究课题之一,三次均匀B样条曲线曲面由于结构简单、使用方便而倍受关注。然而,随着控制顶点的给定,均匀B样条曲线曲面的形状就随之而定,而且它们在精确表示飞机外形或机械零件中经常使用的圆锥曲线和曲面时显得无能为力。为解决这些问题,非均匀有理B样条曲线曲面得到了广泛研究,但其求导和求积计算复杂以及权因子选择和参数化问题至今没有完全解决［1］。近年来,基于三角函数空间的曲线曲面造型方法受到诸多学者的青睐,取得了丰富的研究成果［2 － 6］,文献[2]提出了均匀三角多项式B样条曲线; 文献[3]基于三角函数空间提出了2阶、3阶和4阶均匀T-B样条曲线; 文献[4 - 6]研究了带形状参数的三角多项式均匀B样条曲线和曲面; 文献[7]基于三角函数空间{ 1,sint,cost,sin2t,cos2t} 提出了拟三次三角样条插值曲线曲面,该曲线曲面具有C2连续性而且可以直接插值控制顶点,解决了传统B样条曲线在插值过程中需要通过解方程组反求算控制顶点的问题。另一方面,数字图像处理的对象涉及社会生活的很多领域,而图像放缩是数字图像处理的基本内容,在图像显示、动画制作、电影合成等领域有广泛应用。图像插值技术是图像处理中重要内容,传统的插值模型主要有: 最近邻域插值法、双线性内插法和双三次内插法等。长期以来, 将样条插值方法用于图像放缩得到了国内外学者的深入研究［8 － 15］,文献[8]将Bézier插值曲面用于图像放大,但为了提高连续阶则需要联立求解方程组; 文献[9,10]分别研究了双线性插值和样条插值图像放缩方法,这些方法退化了图像高频部分, 会丢失重要的边缘特征; 文献[11 - 14]分别研究了有理样条［11］、双二次B样条［12］、混合插值样条［13］、自适应Catmull-Rom样条［14］图像放缩方法。

基于上述分析,本文在三角函数空间{ 1,sint,cost,sin2t, cos2t} 中构造一类带有一个形状参数的三次三角B样条( Cubic Trigonometric B-Spline) 基函数。定义相应的三次三角B样条曲线曲面,并拓展形状参数的取值构造了三次三角B样条插值曲线曲面,使文献[3,7]中所构造的T-B样条曲线和拟三次三角插值样条曲线与曲面成为本文的特例。一方面,将带形状参数的逼近型三次三角B样条曲线曲面用于曲线曲面设计,使设计更加灵活; 另一方面,将插值型三次三角B样条曲线曲面用于图像放缩,比传统放缩方法相效果更佳。实例本文所构造的逼近型和插值型三次三角B样条曲线曲面在曲线曲面设计和图像放缩方面有较好的应用。

1三次三角B样条基函数定义及性质

定义1对 α ∈[0,1],t ∈[0,1],称:

为带形状参数三次三角B样条基函数。

图1给出了带形状参数三次三角B样条基函数的图形,从上自下形状参数分别为: α = 1,α = 0. 7,α = 0. 3,α = 0 。从图1可以看出形状参数使得基函数图形更加丰富,比三次均匀B样条基函数更有表现力,这有利于曲线形状的调节。

由定义1易知,三次三角B样条基函数具有以下性质:

性质1. 1非负性,即: Bi( α,t) ≥ 0,i = 0,1,2,3,α ∈ [0,1],t ∈[0,1]。

性质1. 2规范性,即:

性质1. 3对称性,即: α ∈[0,1],t ∈[0,1],Bi( α,t) = B3 － i( α,1 - t) ,i = 0,1,2,3 。

性质1. 4端点性质,即: 对 α ∈[0,1]

2三次三角B样条曲线曲面及形状参数调节

2. 1三次三角B样条曲线曲面定义及性质

定义2给定4个控制顶点P0,P1,P2,P3,以及任意实数 α ∈ [0,1],t ∈ [0,1],则称:

为带形状参数的三次三角B样条曲线,简称CTBS-曲线( Cubic Trigonometric B-Spline Curve) ,其中Bi( α,t) ,i = 0,1,2,3为带形状参数三次三角B样条基函数。由基函数的性质及定义2知, CTBS-曲线具有以下性质:

性质2. 1端点性质

性质2. 2对称性,对于相同的形状参数 α,由控制顶点P0,P1,P2,P3与P3,P2,P1,P0定义的CTBS-曲线是同一条曲线。

性质2. 3几何不变性,CTBS-曲线的形状与坐标系的选取无关,用户如需对CTBS-曲线进行仿射变换,只需对该曲线的控制顶点实施相应的仿射变换。

性质2. 4凸包性,整条CTBS-曲线位于由控制顶点P0, P1,P2,P3张成的多边形内。

定义3给定16个控制顶点Pij( i,j = 0,1,2,3) 以及任意实数 α,β,u,v ∈[0,1],则称:

为带形状参数的双三次三角B样条曲面,简称为CTBS-曲面,其中Bi( α,t) ,Bj( β,t) 为带形状参数三次三角B样条基函数。

2. 2形状参数对曲线曲面形状调节

通过引入控制参数 α ,使得CTBS-曲线曲面比传统三次均匀B样条曲线曲面具有更强的表现力。对于固定的控制顶点,当形状参数 α 从0变化到1时,可以得到一簇CTBS-曲线和曲面,图2和图3分别给出了当控制顶点固定时形状参数对曲线曲面形状的调节作用示意图。其中,图2中虚线为三次均匀B样条曲线

3三次三角B样条插值曲线曲面及图像放缩方法

为了保证基函数的非负性,在第1节定义基函数时设置了形状参数的取值范围,特别地,当 α = 1时,带形状参数三次三角B样条基函数就退化成了文献[3]中定义的三次T-B样条基函数,所以文献[3]中定义的三次T-B样条曲线曲面是本文CT- BS-曲线曲面的特例。同时,为了继续拓展CTBS-曲线曲面的应用,可以适当放松对形状参数的限制,基于这个想法,选取参数 α = 2 ,类似于定义2和定义3,可以定义三次三角B样条插值曲线和曲面,简称为CTBSI-曲线和曲面( Cubic Trigonometric B- Spline Interpolation Curves and Surfaces) 。记为:

其中,Bi( t) ,i = 0,1,2,3为参数 α = 2时对应的三次三角B样条基函数。事实上,当参数 α = 2时,三次三角B样条基函数退化为文献[7]中所定义的拟三次三角样条基函数,所以文献[7] 中所定义的拟三次三角样条插值曲线曲面也成为本文定义的CTBS-曲线曲面的特例。由文献[7]知,CTBSI-曲线曲面直接插值控制顶点而且保持C2连续性。

设I( x,y) 表示一副大小为m × n的灰度图像,fi，j( i = 0,1, …,m; j = 0,1,…,n) 是灰度图像I( x,y) 中第i行第j列像素的灰度值,与像素平面( i,j) 相对应。对于像素平面中的区域{ ( x, y) | i ≤ i ≤ i + 1,j ≤ y ≤ j + 1} ,令u = x - i,v = y - j ,根据CTBSI-曲面的定义,构造分片插值曲面,记为:

假设放大后的图像I'( x,y) 大小为M × N ,首先构造C2连续的图像插值曲面CTBSIS( x,y) ,( 0 ≤ x ≤ m - 1,0 ≤ y ≤ n - 1) ,然后只需对CTBSIS( x,y) 进行重采样,即在CTBSIS( x,y) 上均匀取M × N个像素点。于是,输出图像I'( x,y) 中第i1行第j1列像素的灰度值为: fi1，j1= CTBSTS( u,v) ,其中:

4三次三角B样条曲线曲面设计与实验分析

4. 1三次三角B样条曲线曲面设计

考虑到带有形状参数的CTBS-曲线曲面是逼近型的,而且形状参数对曲线曲面的形状有较好的调节作用,这就使曲线曲面的设计更加灵活方便。图4给出了CTBS-曲线在图形设计中的应用,图5分别给出了CTBS-曲面在酒杯曲面造型和花瓶曲面造型中的应用。

4. 2图像放缩实验分析

在PC机上( CPU: Inter( R) Core( TM) i3-3240,3. 40 GHz, RAM: 4. 00 GB) 用MATLAB ( R2013a) 软件对大小为256 × 256 ( 8 bit) 的Lena图、Barbara图和Cameraman图进行放大实验,图6中给出了3幅原始图像。所有实验都是先用最近邻插值将原始图像缩小一半,然后再用本文算法、最近邻插值、双线性插值和双三次插值将图放大2倍,再与原始图像比较,计算峰值信噪比,并用Prewitt算子进行边缘检测。实验结果表明,本文方法放缩后的峰值信噪比比传统方法高,而且放大后的图像相对保留了更完整的边缘信息,图像轮廓清晰。表1给出了不同方法的峰值信噪比比较,图7给出了用不同方法将Lena图像放大2倍的图像,图8给出了Lean原始图像及其Prewitt边缘检测,图9给出了不同方法将Lena图像放大2倍的边缘检测结果。

( d B )

5结语

基于函数空间{ 1,sint,cost,sin2t,cos2t} 构造了逼近型和插值型三次三角B样条曲线与曲面,分别将它们用于曲线曲面设计与图像放缩中。在曲线曲面设计方面,利用形状参数的调节,使设计更为方便灵活、图形更加丰富; 在图像放缩方面,比传统放缩方法效果有所改进,插值曲线曲面自身保持C2连续而且插值控制顶点,处理起来比较方便。因此,本文所构造的三次三角B样条曲线曲面是一种比较有效的曲线曲面造型和图像放缩方法,有一定的实用价值。基于非线性空间的样条曲线曲面构造方法以及本文提出的三次三角B样条方法在其他领域的应用将是下一步的研究工作。

摘要：针对样条曲线曲面构造及其在图像放缩中的应用问题,在三角函数空间{1,t,sint,cost,sin2 t,cos2 t}中构造一类带有形状参数的三角B样条基函数,并定义相应的三角B样条曲线和曲面,分析该曲线曲面的性质以及形状参数对曲线曲面形状的调节作用。拓宽形状参数的取值,构造了满足C2连续且可以直接插值控制顶点的三角B样条插值曲线和曲面,并将其应用于图像放缩中。实例说明了所构造的三角B样条曲线曲面在曲线曲面造型和图像放缩方面有较好应用。

三角曲线篇6

本文主要从以下三个例题出发讨论如何在题目中挖掘隐含条件, 即从所给条件以及结合三角函数图像的性质, 判断一个点或者几个点在曲线上, 再根据有关式子计算相关参数。

小结:

1.妙解1是运用三角函数图像的对称轴的性质在图像上直接找点, 再代入已知式子, 即可求得所要求的参数值。这个方法不用思考很多, 掌握三角函数性质即可。

2.妙解2是运用三角函数图像的性质以及对称轴与函数值的关系, 进而分析得出关于的方程, 继而求解。此种方法要求学生需要有一定的思考能力。

3.妙解3从三角函数解析式出发并结合三角函数图像性质找到解决问题的突破点, 这种方法技巧性很高, 一般很难想到, 但只要学生能意识到这一点, 这方法是最简单的。所以, 教师可培养学生综合考虑问题的能力, 一旦这种思想被学生所注意到, 进而掌握, 那么对于学生学习并解决此类问题的帮助甚大。

4.当然, 曲线上的对解题有帮助的可取的点是很多的, 怎样取点也就是每种解法的妙处所在。取点的方法多, 解法自然就比较多, 这里就不再一一列举了。

常规解法虽然能解答题目, 但是比较麻烦, 计算过程中还需格外小心不能出错才行。并且需要推算与演绎的过程比较耗时间, 在考试时, 学生的时间是很珍贵的, 如果学生能够在前面的小题都能节省下一点时间留给解答后面大题的话, 是非常可取的, 也是非常必要的。下面给出妙用点在曲线上的解法来解决这道题, 会非常省时省力。

小结:

1.妙解1的最妙之处在与充分运用奇函数图像过原点 (0, 0) 的性质解决复杂问题, 此方法非常容易理解, 也容易计算的答案, 并且基本不会出现运算失误, 非常节约时间。

2.妙解2其实同妙解1有相似的地方, 都是根据奇函数图像与x轴交点的纵坐标为0计算而得, 也比较容易理解。

3.妙解3是运用奇函数图像的两个极值点坐标之间关系来讨论的。妙解3与妙解1和妙解2相比似乎不算是非常妙, 但是如果碰到题目不能确定是否过诸如原点 (0, 0) 或者点 (π, 0) 这些特殊的点时, 妙解3就很有帮助了。

例3已知f (x) =sin (x+θ) +姨3 cos (x-θ) 为偶函数, 试求θ。

分析:乍看此题, 学生会觉得无所是从, 因为已知的函数是比较复杂的复合三角函数, 并且函数中x与θ之间有两个不同的关系式, 还不容易化简。就算通过原函数为偶函数写出相关式子也很难再继续进行下一步了。

常规解法:因为函数f (x) 为偶函数, 所以f (x) =f (-x) .

接下来很难再往下计算了, 因为计算量太大。

按照这样经过很多步骤的推导解此填空题必定花费很长的时间, 并且在做题时很容易出现错误。所以在考试过程中学生这样做是很不合理的。下面的妙解将巧妙运用某些点必在曲线上的三角函数的知识, 解决此问题。

妙解:

例3相比例1与例2较复杂, 但这种方法也很容易理解。

三角曲线篇7

三维空间数据是三维复杂地质对象建模与可视化的主要依据,其中地形数据是地形表面重构的主要数据来源。由于地形表面复杂且三维空间数据很难获得等原因,导致在实际应用中很难准确地描述地形特征[1]。因此,人们希望现有三维数据能够尽可能完全地在重构结果中存在。在众多三角网格生成算法中约束Delaunay三角剖分算法能够更好地体现地形的各种特征从而能够合理表达地表形态,生成的网格质量好,并且地形数据中的点、线、面均可以作为约束条件进行运算。基于这点原因,在实际应用中多用约束Delaunay三角剖分算法实现地形重构[2,3]。

1 约束Delaunay三角剖分

约束Delaunay三角剖分是指允许在域中加点细分从而使得域的所有边界存在于剖分结果中,并且生成的每个三角形都满足Delaunay准则[4,5,6,7]。

算法1 Delaunay三角网格生成算法

1)以任意一点为起始点;

2) 找出与起始点最近的数据点,相互连接形成Delaunay三角网的一条边作为基线,按照三角网格判别法则,找出满足条件的第三点;

3) 基线的两个端点与第三点形成新的基线;

4)迭代以上两个步骤直至所有的基线都被处理。

算法2约束Delaunay三角剖分算法[8,9,10,11]

1) 读取实体数据;

2) 由实体数据得到剖分的约束条件即约束边的集合和约束点的集合和约束面的集合;

3) 对数据中的点及约束点用算法1 进行Delaunay三角剖分;

4)进行约束边的恢复;

5)进行约束面的恢复;

6) 将实体外部初始三角网删除,得到最终的剖分结果。

2 问题提出及现有解决方案

在实际应用中约束条件复杂多样。例如地表的山脊线、断层边界、山谷线、断裂线等。这些约束条件可能为直线、折线等线性条件,也有可能为曲线等非线性条件。

当约束条件为直线段或者折线等线性约束条件时,可以先对约束条件进行规范化,再用边界细分算法进行细分,即可使得约束直线段在三角网格中存在[12,13]。由于Delaunay三角网格自身的特点限制,只有点、直线段和三角面片存在于网格中。因此,当约束条件为曲线或曲面等非线性条件时,应先将其离散成线性单元的集合,再进行Delaunay三角剖分[14,15]。在对曲线进行离散化时需要注意离散误差问题,即直线段对原曲线的拟合程度[16]。离散误差越大则拟合程度越小、离散点越少、产生的直线段越长将不能保证对原始约束条件的逼近效果,而离散误差越小则拟合程度越大、离散点越多、产生直线段越短就会产生过多的不必要的小尺度单元格。

目前针对约束曲线离散化问题,许多文献都采用简单的等间隔法、等弦长、等误差法[17,18]等对约束曲线进行离散化得到离散点集,从而实现将曲线离散为直线段的集合。这些算法虽然便于计算机的实现,运行的速度较快,但是使用此种算法对曲线进行离散时,容易使得逼近弦长不均匀,有可能产生对曲线形状变化影响不大的点,也有可能漏掉反映曲线形状变化特点的点。

在将曲线离散为直线段的集合后进行约束Delaunay三角剖分时,直线段不一定都在三角网格中,此时许多文献[19,20,21]都是通过局部变换边或者边界细分算法BS在直线上取点进行加点细分,以恢复约束线段在网格中的存在。这种算法加入的是离散后直线段上的点而不是曲线上的点,这种方法不利于直线段集合对原曲线的逼近。

3 基于特征点提取的曲线约束Delaunay三角剖分

本文针对约束曲线离散化问题采用基于特征点提取的曲线离散化算法,因为特征点能够准确反映曲线形状,所以从提取特征点的角度对曲线进行离散化能够更好地实现曲线的逼近。

针对在将曲线离散化为直线段后进行约束Delaunay三角剖分时采用在原约束曲线上加点细分的算法,能在保证直线段集合在三角网格中存在的同时提高原直线段集合对原曲线里逼近程度。

由于地形数据量庞大,在进行Delaunay三角网格生成时会非常耗时,为了减少运算时间,提出了改进的Delaunay三角网格生成算法。

本文算法基本流程如图1 所示。

3. 1 离散误差控制下的特征点提取

特征点[22,23]是曲线形状变化的关键点,它能够反映曲线的基本形状,所以如果在对曲线进行离散化的过程中保证曲线特征点在结果中的存在性,则可以使用较少的点来表达曲线形状的完整信息。对逼近误差的控制能够保证产生的网格质量和尺寸更好。

3. 1. 1 局部特征点的定义

表1 列出了几种常规曲线的特征点所包含的内容。

以上种类的特征点不足以完全表达曲线的特征,因此需要在这些特征点所确定的范围内增加其他特征点,我们称为局部特征点。

定义1[24]( 局部特征点) 设曲线方程为:

若存在一点Pk( f( tk) ,g( tk) ,φ( tk) ) 满足到曲线端点A( f( α) ,g( α) ,φ( α) ) 端点B( f( β) ,g( β) ,φ( β) ) 所在直线的距离最大,则称点Pk为该曲线的局部特征点。

3. 1. 2 特征点的提取

( 1) 由函数的表达式得到曲线端点Pα、Pβ。

( 2) 求曲线的切向量与xoy面平行的点,我们称为全局特征点: 由z' = φ'( t) = 0 即可求得t值,从而求得对应x、y、z值,因此可得曲线所有全局特征点Pi其中i = { 1,2,…} 。

( 3) 局部特征点: 根据Pα、Pβ及Pi( i = 1,2,…) 将曲线分段,如图2 所示,局部特征点Pk( xk,yk,zk) 所在的曲线段的端点分别为Pj、Pj +1,则过Pj、Pj +1的直线的方向向量为( xj +1- xj,yj +1- yj,zj +1- zj) ,由局部特征点的定义过Pk点的曲线的切线方程为:

其中j = α,1,…,β 。

由曲线方程可得过Pk点的切线方程为:

式( 1) 、式( 2) 相等即可得到tk值,从而求得Pk。

( 4) 局部特征点的选取,求Pk到曲线两端点所确定直线的距离为dk。

若dk> δ,则Pk为最后保留的局部特征点,否则舍弃。

3. 1. 3δ 取值分析

针对 δ 的取值问题本文进行了简单分析并设计了如下实验方案。用离散后得到的约束直线段数( N) 、在DTS剖分结果中存在的数目( M) 和三角网格中三角形最小角小于20 度的个数( L) 三个参数来进行对比实验。判断不同函数在离散误差取值是多少时参数结果最理想。实验结果如表2 所示。

由于离散后的直线段对原曲线的拟合程度越高 δ 的取值越小,理想情况下 δ 取值为0,即完全拟合。所以实验中验证 δ 时的取值是合理的。

由以上实验结果可得,随着 δ 取值的增大,导致对原始约束曲线的逼近程度降低的同时使得离散后的约束直线段过长从而使得直线段在网格中的存在性降低。这样就必须在曲线上额外加点进行细分。如果需要细分的情况过多,则计算机在进行计算和显示时所需要的内存和计算量就会加大。当 δ < 0. 5 时,虽然能够提高对原始曲线的逼近程度,但是会产生过多的不必要的三角形,且生成的网格中的三角形尖角过多,网格质量下降。而计算机在对这些三角形进行处理时也会耗费大量的时间和内存。当 δ = 1. 0 时,三个参数的取值平均效果最好。

注: δ 取值并不绝对,可以根据实际需要进行调节。若对拟合程度要求不高可以适当加大 δ 取值,若对拟合程度要求高但是可以忽略算法复杂度时可以减小 δ 取值。

3. 1. 4 离散化

设Pk为曲线的特征点,dk( i,j) 为Pk到曲线端点Pi和Pj所在直线的距离,Cf为所求的特征点的集合,δ 为允许逼近误差。

( 1) 将曲线端点加入到特征点Cf集中;

( 2) 由函数表达式求出函数曲线所有全局特征点Pm并将其与曲线的端点一同加入到特征点集Cf中;

( 3) 按照特征点集内点的x坐标顺序将函数曲线分段。每段的起始点Pi,终点为Pj。求出每段的局部特征点Pk,并求出其到直线PiPj的距离dk( i,j) ;

( 4) 若dk( i,j) > δ,则将Pk加入特征点集Cf并重复步骤( 2) ;

( 5) 若dk( i,j) < δ,则放弃此时求得的Pk、Cf就是最终求得的特征点集;

将上述离散方法所得到的特征点按照x坐标顺序依次连接所得到的折线即是对原曲线的逼近直线段逼近。

3. 2 约束Delaunay三角剖分

经过上述方法的离散化后约束曲线就转化为了直线段的集合。将这些直线段加入到约束直线段中进行Delaunay三角剖分。由三角网格的点集生成特性可知约束直线段不一定在最终生成的网格中。此时若在原约束曲线上加点细分的算法,能在保证直线段集合在三角网格中存在的同时提高原直线段集合对原曲线的逼近程度。

3.2.1改进的Delaunay三角网格生成算法

算法3

1) 以任意一点为起点;

2) 找出与起点最近的点,两点相连形成Delaunay三角网的一条边作为基线;

3) 寻找与这条基线形成的三角形中基线所对应的角度数最大的点;

4) 基线的两个端点与第三个点形成新的基线;

5) 判断剩余点与基线的位置关系,选出与第三点分别位于对应基线两侧的点,执行步骤3) ;

6) 迭代执行步骤4) 、5) 直到所有基线都被处理。

算法3 中步骤3) 每次选取的都是角度最大点,保证了网格质量最优,避免进行后续优化处理; 步骤5) 进行的位置判断将数据分成两类,将不可能形成三角形的点去除,减少了运算次数。

3. 2. 2 曲线上加点细分

为了方便将约束条件集记为CCS ( Constrained Condition Set) ,将CSS中的约束点记为CP( Constrained Point) ,将约束点组成的集合记为CPS( Constrained Point Set) ,将约束线段CS( Constrained Segment) 组成的集合记为CSS( Constrained Segment Set) ,将离散后得到的直线段DS( Discrete Segment) 组成的集合记为DSS( Discrete Segment Set) ,将Delaunay三角剖分记为DTS( Delaunay Triangulation ) 。Cf为离散后所得的特征点的集合。

(1)将Cf加入到CPS中;

(2)将DSS加入到CSS中;

( 3) 对CPS进行Delaunay三角剖分;

( 4) 若∀CS∈CSS且,如果以CS为直径的圆包含DTS的其他顶点,则:

① 取CS的中点M;

② 将M加入到CPS中;

③ 将CS从点M处分成两段CS1和CS2,将CS1和CS2加入到CSS中,最后删除CS;

( 5) 若∀CS∈CSS且CS∈DSS,如果以CS为直径的圆包含DTS的其他顶点,则:

① 在CS所对应的曲线段上取局部特征点M( 局部特征点按照3. 1. 2 所述方法求得) ; 此时CS被点M分成两部分记为P0M和P1M 。

②将P0M和P1M加入到CSS中,最后删除CS;

(6)所有CSS都在DTS中存在,算法结束。

3. 2. 3 算法分析

由于在曲线上加点破坏了原约束线段的连续性,下面证明这种方法所得到的两个约束线段一定在约束Delaunay三角剖分中。

定理1 对于平面点集中的两个点,如果存在任意一个过这两个点的圆中不包含点集中的任何点,则这两个点的连线一定是该点集Delaunay三角剖分中某个三角形的边。

文献[8]给出了定理1 的证明并且证明了在直线段上加点细分后限定线段在Delaunay三角剖分中的存在性。

定理2 在原约束曲线上加点细分后限定线段在Delaunay三角剖分中存在。

证明如图3 所示,在原约束曲线上加点有图3( a) 和图3( b) 两种可能。但是由于 δ 取值限定,当 δ 取值一定小时,直线段对其所对应的曲线拟合程度很高,因此图3( b) 的情况不会在离散后的结果中出现。因此由图3( a) 可知∠ACB为钝角,即AC < AB,CB < AB不断加点细分下去越是直线段会越来越小,当直线段不断趋近于0 时,总会存在一个圆过被加点所在线段的两个端点,且圆中不包含点集中的任何点,由定理1 可知该直线段为Delaunay三角剖分中某个三角形的边,由Delaunay三角网格的唯一性可知此直线段在最终的剖分结果中。

因此,曲线上加点所产生的约束线段在CDT剖分中存在。

综上所述,在曲线上加点的方案在理论上是可行的,并且算法可以结束。

4 算法实例与对比

本文以实际的曲线为例,分别用等间隔算法和本文算法对曲线进行离散,离散后的结果对比图分别如图4 和图5 所示。

由离散结果可知同样曲线,等距离算法离散点较多,这些离散点仅仅表示间隔相等,不能包含曲线几何特征的信息,而且可能发生在曲线特征变化较大处没有离散点的情况,不能很好地表示曲线,而本算法离散点多集中在曲率变化较大的范围内,效果更好。

本文采用地形中山坡的构建为例,以山坡的山脊线作为约束曲线进行对比验证,结果如图6 和图7 所示( 加粗的线为曲线离散后效果) ,本文算法对山脊线的表示更完整和平滑,且山脊线附近网格质量较好。等距离算法生成的网格在对山间线的体现不平滑比较尖锐,山脊线附近的网格质量不好。

5 结语

本文针对在进行地形重构时三维地形数据中有曲线约束条件的情况下进行约束曲线离散化的问题采用提取特征点的方法对原约束曲线按照所提取的特征点进行直线段逼近,并对逼近误差 δ 进行分析。这种方法很好地抓住了曲线特征点能够准确表示曲线形状这一特点,使得逼近结果更真实。逼近误差的恰当选取也使得生成的三角网格质量更好。