加法原理乘法原理教案

关键词：

加法原理乘法原理教案（精选7篇）

篇1：加法原理乘法原理教案

加法原理和乘法原理教案设计

【教学目的】

1.使学生理解和掌握加法原理和乘法原理并能准确、熟练地运用两个基本原理。

2.加强对学生思维条理性的训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。【教学重点和难点】重点是两个基本原理的应用，难点是对两个基本原理的准确理解。

【教学过程】

一、讲授新课

加法原理和乘法原理是有关排列、组合问题所遵循的两条基本原理，深入理解和准确运用这两个原理是学好排列、组合这一单元的重要一环。

请同学们考虑下面两个问题：

问题

1从甲地到乙地，旱路有3条，水路有2条，间从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

从图中很容易找到答案：从甲地到乙地共有5种不同的走法。

问题

2由A村到B村的路有3条，由B村到C村的路有2条，问从A村经过B村到达C村共有多少种不同的走法？

从图中不难看出此题的答案是：共有6种不同的走法。

我们从上面两个问题中可以抽象出一般性的规律，得出以下的结论：

（一）完成一件工作的两种不同的方式。

问题1和问题2的共同之处在于：它们都是在研究做一件事（或工作）完成它共有多少种不同的方法？这两个问题的不同点是完成工作的方式不同。问题1中的每条旱路或水路都可以从甲地直接到达乙地，其中旱路和水路只不过是完成从甲地到乙地这件工作的两类不同的办法。

问题2中的从A村到B村的3条路和从B村到C村的2条路的任意一条路都不能把从A村经过B村到达C村这件工作做完，只能完成这件工作的一部分。问题2中的工作是分两个步骤完成的：第一步从A村到达B村，第二步从B村到达C村。

我们不难总结出：完成一件工作有以下两种不同的方式：

第一种方式：用不同类的办法去完成一件工作，每类办法中的任意一种方法都可以从头至尾把这件工作做完。

第二种方式：分成几个步骤去完成一件工作，每个步骤中的任意一种方法只能完成这件工作的一部分，这几个步骤都完成了，这件工作才能做完。

（二）加法原理和乘法原理。

下面我们来研究：完成一件工作的不同方法的总数怎样计算：

问题1的答案是共有5种不同的走法，已知旱路3条，水路2条，显然5=3+2。问题2的答案是共有6种不同的走法，已知从A村到B村3条路，从B村到C村2条路，显然6=3×2。

总结一般规律如下：

加法原理

做一件事，完成它有n类办法，其中第一类办法中有m种方法，第二类中有m2种方法„„，第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+„+mn种不同的方法。

1如问题1从甲地到乙地的走法可以分为两类： 第一类办法是走旱路有3种不同的走法。第二类办法是走水路有2种不同的走法。由加法原理共有3+2=5种不同的走法。

乘法原理

做一件事，完成它需要分成n个步骤，第一个步骤有m种不同的方法，第二个步骤有m2种不同的方法„„，第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2„„mn种不同的方法。

1如问题2从A村经过B村到达C村可分为两个步骤完成： 第一步A村→B村，有3种不同的走法。第二步B村→C村，有2种不同的走法。由乘法原理，共有3×2=6种不同的走法。例1 从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车或轮船。一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

解：完成由甲地到乙地这件事有三类办法： 第一类办法坐火车，一天中有4种不同走法。第二类办法坐汽车，一天中有2种不同走法。第三类办法坐轮船，一天中有3种不同走法。由加法原理得：4+2+3=9 答：有9种不同的走法。

例2由数字1、2、3、4、5可以组成多少个允许有重复数字的三位数？无重复数字的三位数？

解：（1）组成允许有重复数字的三位数这件事可分三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字：有5种不同方法。第二步确定十位上的数字：有5种不同方法。第三步确定个位数字：有5种不同方法。由乘法原理：5×5×5=125。

答：可组成允许有重复数字的三位数125个。

此题第（2）问由同学们自己完成，提醒大家注意：允许有重复数字和无重复数字这两个条件的区别。第（2）问答案是60个。

（三）运用两个基本原理时要注意以下几点：

1.抓住两个基本原理的区别不要用混，不同类的方法（其中每一个方法都能把事情从头至尾做完）数之间做加法，不同步的方法（其中每一个方法都只能完成这件事的一部分）数之间做乘法。

2.在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则。如：从若干件产品中抽出几件产品来检验，把抽出的产品中至多有2件次品的抽法分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有一件次品，这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况。又如：把能被

2、被3或被6整除的数分为三类：第一类能被2整除的数，第二类能被3整除的数，第三类能被6整除的数，其中第一类、第二类都和第三类有重复，这样分类是不行的。

3.在运用乘法原理时，要注意每个步骤都做完这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，在下个步骤中都得有m种不同的方法。

二、巩固练习

1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书：（1）从中任取一本书，有多少种不同的取法？

（2）从中任取数学、语文书各一本，有多少种不同的取法？（答案：（1）11种，（2）30种。）

2.有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码，一个袋子装有白色小球15个，每个小球上标有1至15中的一个号码。第三个袋子装有8个黄色小球，每个球上标有1至8中的一个号码。（1）从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从袋子里任取红、白、黄色小球各一个，有多少种不同的取法？（答案：（1）43种，（2）2400种）

三、布置作业

1.复习本节内容：读书和看笔记。

2.做教科书2.1基本原理后的练习1至7题。（答案：1.有9种选法；2.有7种选法；3.列出200个式子；4.共有60项；5.有14种走法；6.（1）9种，（2）20种；7.（1）有6种，（2）有8种）

篇2：加法原理乘法原理教案

教学目标

①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

教学重点 理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题.教学难点 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”.教学过程

一、引入课题

引例： ①我从二中到泗中有两量不同的马自达，三量不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从二中到泗中有多少种乘坐交通工具的方式？ ②从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法？

这就是用我们这节课要研究的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来解决问题.二、讲授新课：

1、分类加法计数原理

问题1：十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法? 有３＋２＝５种方法

探究１：你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法.那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。

发现新知：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.（也称加法原理）知识应用

例1：（多媒体展示）在1，2，3，，200中能被5整除的数有多少个？

变式：若把例题中的5换成2其余条件不变答案是什么

可以用：10+10+10+10+10=50（分成5类）

也可以直接得到50（分成2类——奇数与偶数）分类加法计数原理特点：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2、分步乘法计数原理

问题2：从A村道B村的道路有3条，从B村去C村的路有2条，从C村去D的道路有3条，小明要从A村经过B村，再经过C村，最后到D村，一共有多

少条路线可以选择？

从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法, 第二步, 由B村去C村有 2 种方法, 第三步，从C村到Ｄ村有３种方法

所以从A村经 B村又经过C村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 种不同的方法 探究2：你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有３种不同的方法，在第2步中有２种不同的方法，第三步有３种不同的方法.那么完成这件事共有3 ×2 ×３= １８种不同的方法.一件事就是：从Ａ村到Ｄ村的一种走法

发现新知

分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法„„做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.（也称乘法原理）

知识应用

例2：有一项活动，需在3名教师、8名男生和5名女生中选人参加.(1)若只需1人参加，有多少种选法？

(2)若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法？

变式：学校准备召开一个座谈会，要在3名教师、8名男学生和5名女学生中选一名教师和一名学生参加，有多少种不同的选法？ 分步乘法计数原理的特点：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.思考：分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么异同点？要注意什么问题？

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法；

不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事；分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。

三、课堂练习1.填空：

①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是.②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.2.现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名.①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有 种.4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种不同的推选方法.5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？ 6.乘积(a+b+c)(d+e+f+g)展开后共有多少项？

四、课堂小结

（１）分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是什么？不同点什么？

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法；

篇3：加法原理乘法原理教案

当前, 我国资源“红灯”已经亮起, 电力、石油、土地和水资源等普遍紧缺。在严峻的国情下, 温家宝总理指出, 能源短缺是我国经济社会发展的“软肋”, 淡水和耕地紧缺是中华民族的“心腹之患”。这种基本国情, 决定了我国必须走建设节约型社会的路子。因此大力提倡建立资源节约型社会是树立和落实科学发展观的一个重要战略举措, 也是全国人民共同努力的目标[1]。

社会的快速发展使人们的生活水平得到提高, 同时人们的着装心理也发生改变。人们对服装的需求不再是简单的遮体、御寒、保暖等基本功能, 而是更注重款式造型的新颖多变, 勇于尝试不同的风格变化, 力求塑造一个更完美的自我。在这种消费心理的驱使下, 人们会积累许多因款式过时或喜新厌旧心理等原因造成的“崭新”的旧衣。这种情况尤其体现在18到30岁左右年龄层次的女性消费者为多。在服装面料质量不断提高而使用时间和频率不断缩减的情况下, 质量完好的旧衣越来越多, 与此同时因大量生产加工, 印染面辅料以及配件所产生的化学物质在不断破坏着我们的自然环境[2]。在大力倡导建立资源节约型社会的大背景下, 如何寻找一种绿色环保的处理旧衣的办法成为亟待解决的问题。

1 旧衣改造的现状分析

许多爱动手动脑的人们在日常生活中积累了很多的旧衣改造经验。随着网络逐渐渗透到生活的方方面面, 许多网络论坛上开辟有专门教授“旧衣DIY”的专区, 同时一些带有制作过程的视频和图片的网上生活馆也搭建了人们交流和获取旧衣改造方法的平台。

电视作为另一强大媒体, 在许多频道设有如《十大省钱时尚方式》等教人们如何将旧衣改造成时尚搭配衣服的节目, 诸如如何将一件T恤改造为比基尼等的节目, 十分实用, 深受许多观众的追捧。此外, 教人们如何旧衣改造的书籍也层出不穷, 如《旧衣换心情》等。它们大多是彩页, 附有文字说明和图片, 展示制作过程的细节。

然而, 虽然网络、电视和书籍等媒体传播迅速而广泛, 能提供大量的信息指导人们的旧衣改造, 但是网络上的信息较杂乱, 无法形成系统, 有些稍嫌幼稚, 有些又过于流行, 这就需要我们浪费大量时间精力来筛选适合的信息[3]。

此外, 几乎所有的论坛、节目和书籍都是教授人们具体某一类的旧衣改造, 并没有归纳和总结这些表象背后蕴含的统一的原理, 是授之以鱼而非授之以渔。

2 运用“广义加法”原理在旧衣改造中的意义

“广义加法”原理是创新思维的方法和内容。它分为三个部分:思维路线, 思维法则和思维技法。其中最重要的是思维法则, 它又由三部分内容组成, 即概念解构, 存在与互补和核心判断原则。

首先旧衣改造的实际范例可以验证创造学中的“广义加法”原理的正确性和普遍性, 即实践检验真理。其次“广义加法”原理可以指导旧衣改造的实践操作, 帮助人们找到更多更好的解决办法, 即理论指导实践。

3“广义加法”原理在几种简单的旧衣改造中的体现及举例分析

3.1 思维路线在旧衣改造中的体现与分析

创造学的思维路线即思维的轨迹, 指人们如何建立产品或结果的思维过程, 思维如何起源, 经历何种逻辑过程到达何种目的。思维路线的选择有多种方法, 可单节点, 双节点和多节点, 思维的过程可平行也可串接。

在旧衣改造的实际运用中, 思维路线的起点是旧衣改造的灵感来源。一件旧衣最终的改造效果, 十分中有三分是旧衣的基础, 两分是改造的手艺, 剩下的五分全部取决于改造的灵感。去掉哪些部分、增加哪些部分、搭配哪些元素决定了一件旧衣的最终面貌。

T台秀场是个很好的灵感源泉。如今在电视和网络上都能看到巴黎、纽约的当季时装秀, 这有利于人们在国际大师的设计作品上汲取养分。此外除了镁光灯下的秀台外, 还有现实生活中的秀台———街头, 街头也能给予人们设计灵感。世界各地的街拍网站比较多, 他们大多选取的是对生活拥有热情的年轻人, 这其中自然不乏旧衣改造达人[3]。

拥有了旧衣改造的灵感, 还需仔细选择改造对象。旧衣改造的入门课程是旧T恤, 因为旧T恤简单, 价格低廉, 容易改造, 另外牛仔裤因其极大的普遍性和良好的重塑性也成为旧衣改造的典型对象。

最后一步是利用工具和一系列的制作过程达到旧衣改造的最终效果。这三步便是旧衣改造的思维路线的组成, 理清顺序之后才能按照正确的方向进行合理的旧衣改造。

3.2 思维法则在旧衣改造中的体现与分析

思维法则是思维方法和内容的重点。它由三部分组成:概念解构, 存在与互补和核心判断原则。概念解构是指将思维路线中的每个节点进行分解、剖析, 用广义加法通过重组从而产生新的思维方向。存在与互补原理是指事物的存在具有合理性, 可以考虑其相反面, 将其改善, 从而达到互补的目的, 这能提高其整体性。核心判断原则需要人们在思维过程中充分考虑成本原则、细节原则、心理原则以及首因效应、倍数效应等等。

总之, 在旧衣改造中除核心原则和存在与互补的原则外, 概念解构的应用非常普遍。加一加, 减一减, 移一移, 借一借, 代一代, 这些都是在旧衣改造中常用的方法。

比如, 一件旧T恤可以简单地通过手绘图案和拼贴这两种形式来进行改造。手绘图案的方法较简单, 可手绘个人喜爱的图案, 使旧T恤变得原创而具有个性。其次采用拼贴的方法也可以达到良好的改造效果, 拼贴法可以分为贴图案和贴装饰品两类, 不管哪种方式都是运用了简单的“加一加”原理。即将图案和珠片等装饰品简单地点缀和安附在旧T恤上, 由于图案的美观性和珠片等的装饰性使得旧T恤焕然一新, 变化成一种新的时尚的感觉。其实“加一加”原理在旧衣改造上的应用相当广泛, 例如在文胸的改造中我们利用文胸本身的造型特点制成一个小手提包的样式, 之后便可以加上珠链作为手提, 当然也可以充分发挥自我想象力和创造力点缀蕾丝或者彩色的珠子, 蝴蝶结等等平时闲置不用的装饰品零件。最后, 一件旧文胸便改造成了一个小巧又别致的手提袋。手绘旧T恤如图1所示。贴片旧T恤如图2所示。文胸手提袋如图3所示。

“移一移”的方法在旧衣改造中也有体现, 例如一条旧牛仔裤可以将其口袋, 腰头等部件拆下, 重新组合后形成如下图所示的精美收纳袋。旧T恤的改造中贴图案的方法也是运用了移一移的原理, 可以将其他旧衣上喜爱的图案剪下然后用缝纫或粘贴的方法完成旧T恤的改造。精美收纳袋如图4所示。贴图案旧T恤如图5所示。

3.3 思维技法在旧衣改造中的体现与分析

思维技法提供给人们创新的技巧, 引导人们创新。可以通过论坛, 峰会, 学术研讨会, 大奖赛, 问卷调查等多种形式吸纳群体的智慧进行创新, 这种思维技法在旧衣改造中被广泛运用。例如网络上有许多专门介绍旧衣改造方法的论坛, 也有不少网站定期举行旧衣改造的比赛, 我们可以充分利用网络资源, 吸收广大群体的智慧, 寻找多种旧衣改造的方法。

4 结语

资源节约型社会需要社会中的每个人共同创造, 旧衣的改造只是体现环保绿色生活的一个方面。创造学中的原理和理论与实际紧密结合可以增添生活的趣味性, 更重要的是实现了环保和节约的目的。掌握了创造学的思维路线原则和技法并且运用到旧衣改造中, 可以使我们在对旧衣服进行改造的时候思维活跃, 思路清晰, 从而达到更好的改造效果。同时我们也可以在旧衣改造的过程中深化理解创造学的基本原理, 掌握精髓, 使之更好地服务实践。

参考文献

[1]人民网.温家宝总理“加快建设节约型社会”讲话摘要[EB/OL].http://finance.people.com.cn/GB/1037/3514267.html, 2005-7-4.

[2]齐雪源.旧衣改造少年装的可行性分析[J].山东纺织科技, 2009, (1) :48-51.

篇4：加法原理乘法原理教案

有一种小鼠体色有黑色与黄色两种，经分析，它们是由一对等位基因控制的相对性状，在不考虑突变发生的情况下，一对黑色小鼠生育七只子代小鼠，这七只子代小鼠体色为六黑一黄，问这七只小鼠都是纯合子的概率是多少？

这道试题虽然比较简单，但也比较典型，我在对学生讲解类似试题时，常用数学中的两个原理解决。

在学习中学数学的排列组合模块时，有两个重要的计数原理，一是加法原理，另一个是乘法原理，这两个原理在生活中有非常广泛的应用，在中学生物学关于遗传概率的计算中，应用也非常广泛。

比如：从甲地到乙地可以乘火车、汽车与航班，其中火车每天有3列，汽车有4班，同时有2个航班，因此，在同一天从甲地可以有3+4+2=9种去乙地的方法。这就是加法原理，而如果从甲地到乙地，必须经过丙地，从甲地到丙地可以有3种走法，从丙地到乙地有4种走法，所以从甲地到乙地共有3×4=12种方法。这就是乘法原理。

加法原理与乘法原理不但可以应用于计数，在概率计算中也可以根据类似的情况进行叠加或连乘，如下图，是位于常染色体上的一对等位基因（A、a）控制的相对性状。

P           ♀黑色×♂黑色         ♀黑色×♂黑色

↓                               ↓

F1        白色            黑色×黑色               白色

↓

F2                                   ？

求子代中黑色的基因型与概率：通过对题意的分析可知，亲本黑色为杂合子，而F1代的黑色个体基因型有两种情况，如下表：

因此，F2代是黑色杂合子的概率可用以下方法计算：每一种婚配类型所产生的后代可用乘法原理计算，将这件事分为三个步骤，先定F1中的父本，再定F1中的母本，最后一步是所生子代概率，比如上表中第三种婚配类型子代的黑色杂合子为（2/3×2/3）×1/2，我通常将这种方法称为“先算婚配概率，再算子代概率”。

由于F1的婚配有四种类型，所以其产生的子代应该用回法原理将这四种婚配所产生的子代情况叠加，即：

[（1/3×1/3）×0]+[（1/3×2/3）×1/2]+[（2/3×1/3）×1/2]+[（2/3×2/3）×1/2]

为4/9。

现在我们讨论所提出的话题，黑色和黑色杂交，得到6黑1黄，求这7只全为纯合子的概率多少，答案给出的是1/2的7次方，一对等位基因控制。

从题中可以看出，雌雄亲本黑色都是显性杂合子，其所生子代如上表中的第四种杂交类型，而6黑1黄可以是下表几种情况：

对于第一种，黄色是纯合子为1，黑色为纯合子为1/3，所以概率为1×1/3×1/3×1/3×1/3×1/3×1/3，因为有七种情况，所以将每一种情况的概率叠加，是1/3的6次方再乘以7。

这一方法还可应用于符合自由组合定律的多对等位基因的概率计算中，如下题：

已知亲本的基因型为AabbDDEeFf×aaBbDdEeff且各等位基因分别位于不同的同源染色体上，则这对杂交亲本可以产生子代的基因型与表现型各是多少？

由于各等位基因位于不同的同源染色体上，相互独立遗传，因此可以将此题分为五个步骤，第一步考察A、a的遗传情况，第二步考察B、b遗传情况，以此类推，最后用乘法原理解决，如下表：

从表格中可知，我们不但可以算出这对亲本所产生子代的基因型或表现型的种数，而且可以进一步计算每种基因型的概率，比如子代为AaBbDdEeFf概率为（1/2）×（1/2）×（1/2）×（1/2）×（1/2）。

篇5：加法原理乘法原理教案

六、本节课的说明：

1、充分利用多媒体，节省板书时间，腾出足够时间让学生阅读、思考、回答，讨论，交流。因此教学环节的问题、探究、思考、例题都适合用多媒体展示。

2、通过引例、例题、练习及学生举的例子，多次强调要完成的“一件事”是什么。以此突破难点。通过学生实际举例说明两个计数原理，比较两者的不同，及小结来突出重点。

3、两个计数原理的理解学生并不难，归纳得出两个计数原理，学生感到不困难。因此适合问题式、螺旋上升为主的教学方法。

4、整节课以提出问题，解决问题，归纳原理，简单应用，两个原理比较，逐步升华为主轴。总之这节课从导入新课到新知识的教学，从练习到课堂的结束都给学生创设了一个自主参与，自主学习，自主探索，自主创新，自我发展的学习情境，使学生通过自己的亲身体验和合作、对话等方式，轻松完成知识意义的建构。

篇6：加法交换律和乘法交换律教案

【教学目标】

1.学生通过观察、比较，数形结合，发现并概括加法、乘法交换律； 2.学生初步学习加法、乘法交换律进行简便计算，并用来解决实际问题； 3.通过自主探究与合作交流，经历发现规律的过程，学会观察、比较、归纳；

4.感受数学在生活中的应用价值，增加应用意识。【教学重点】

理解并掌握加法交换律和乘法交换律 【教学难点】

能通过观察、分析、概括出加法交换律和乘法交换律，会用符号或字母表示加法交换律和乘法交换律。【教学过程】

一、复习引入

师：上新课之前我们一起来做几道练习题热热身，看看我们班的哪些同学头脑最灵光。比价大小，在〇里填上适当的符号。

+ 56〇56 + 40 36 + 60〇60 + 36 62 + 53〇53 + 62 34 + 24〇53 + 42 43 + 22〇22 + 43 78 + 20〇78 + 12 35 + 20〇40 + 15 比较大小时，刚开始先让学生说一说为什么这么做，说出计算过程。

二、探究规律

（一）加法交换律

1.观察发现

师：请仔细观察，这几个算式，说一说你发现了什么？ 2.学生汇报 3.举例子

让说了“其中有几道等式的两个数交换了位置，结果不变”的学生再重复自

己的发现。让学生在自己的纸上举一举像这样的例子。

学生汇报 5.交流讨论

师：我们举了这么多的例子，你能不能说一说自己发现了什么规律，请用简洁的语句概括出来，同桌之间小声地交流。

6.反馈交流，揭示定律 学生汇报

小结:科学家们也举了很多这样的例子和大家一样总结出了这样的规律：交换两个加数的位置，和不变，并把这样的规律叫做加法交换律。

问：（1）把加数换成其他任意的数，交换律还成立吗？

（2）怎样表示两数相加，交换加数位置和不变呢？ 7.小练笔

600 + 300 =()+()78 + 64 =()+()()+ 35 = 35 +()8.用符号表示

师：刚刚我们列了这么多算式，都运用了加法交换律，你能不能用一个算式来表示叫法交换律呢？可以用自己喜欢的符号来表示，可以使字母、文字或者用图案，请在自己的草稿纸上列一列。

学生可能会出现： 甲数+乙数=乙数+甲数 △+☆=☆+ a+b=b+a „„

（二）乘法交换律

师：刚刚同学们发现了加法里可以适用加法交换律，把两个加数位置交换一下，和不变，那么减法、除法、乘法里适用交换律吗，试着当一当科学家自己举例验证，并总结出规律，四人一小组互相交流讨论。

学生交流

通过举例子说明减法和除法不适合，乘法里有交换律。让学生当数学家。小结：两个因数交换位置，积不变，这就叫乘法交换律。用字母表示：a×b=b×a

三、练习巩固

1.填一填，并说一说你是根据什么填的。56+44=44+ ；

a+204= +a； 35×16 = × ； ×c= ×560。

2.想一想，我们在哪里用到过加法交换律。876＋1924 验算： 2800 3.做数学课堂练习本

四、总结

1、通过这节课的学习，你有什么收获？

2、布置作业。练一练2、3题。板书设计

加法交换律和乘法交换律

40+56=56+40 40×56=56×40 62+53=53+62 62×53=53×62 43+22=22+43 43×22=22×43 加法交换律： 乘法交换律：

两个加数交换位置，和不变。两个乘数交换位置，积不变

篇7：加法原理乘法原理教案

【摘要】在数学建模课程的教学中，人口模型、汽车刹车距离模型以及传染病模型等均涉及用最小二乘法对模型的参数作估计[1]，足见最小二乘法在数学建模课程教学中的特殊地位和作用。本文以一个简单的实例阐述最小二乘法的原理以及MATLAB的程序实现，这样可以帮助学生理解和掌握最小二乘法在其他数学模型中的参数估计。

【关键词】最小二乘法 ； 数学模型 ； 参数估计

【基金项目】重庆理工大学教研项目，高等数学实验课程教学改革及探讨，编号：2013YB33。重庆市教委科研项目，对流扩散方程的小波算法以及应用研究，编号：KJ130818。

【中图分类号】G64 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）15-0002-01

在大学数学建模课程中，一般没有单独的讲解最小二乘法的原理以及MATLAB程序实现，但有些学生对这一方法并没有掌握好，从而影响到学生对数学模型中的参数估计的理解以及应用。因此，有必要在课程教学的开始，增设最小二乘法的原理及MATLAB程序实现的教学，以便学生能清楚、准确地理解和掌握课程中与最小二乘法相关的数学模型，从而可以提高学生综合应用知识解决实际问题的能力。

1.最小二乘法的原理

在解决实际情况以及科学研究中，经常会处理这样的问题：给定两个变量x，y的实验数据，如何从中找出这两个变量之间的函数关系的近似解析表达式（也称为经验公式），使得能对x与y之间的除了实验数据外的对应情况作出某种判断。在数学建模中表现为：依据对问题所作的分析，通过数学建模或者通过整理归纳实验数据，能够判定出x与y之间满足或大体上满足某种类型的函数关系式，即数学模型（通常带有参数）。解决这类问题的原则通常是：使拟合函数在x处的值与实验数值y的偏差平方和最小，即取得最小值。这种在方差意义下对实验数据实现最佳拟合的方法称为“最小二乘法”。

非线性带参数的模型一般可记为：

（2）的实质是：求多元函数（自变量为参数？兹）的多元函数最小值问题。若f对参数？兹连续可微，则可利用微分法建立正规方程组，从而求解出最优的参数。具体的分析为：根据多元函数取得极值的必要条件，将Q（？兹）分别对参数？兹j求偏导，并令其为 0，则得p+1个方程

该方程组的解就是最小二乘法估计参数的最优值。为了容易理解这个方法，此处以一个简单的实例讨论f为线性、自变量为一元的情况。

2.实例分析

例 已知某种药品在生产过程中的失败率y与某种化学成分x有关，表1记载了药厂生产中y与相应的x的几次数值。

这里的任务是依据这组数据找出能反映y与x关系的一个近似公式。通过散点图，可以看到变化趋势接近一条直线，故可以假设y=ax+b来近似表达这一关系。以最小二乘法估计这个问题的最优参数a，b的具体计算为：

方程（5），（6）就是关于参数a，b的线性方程组，可以比较容易地求得最优参数。

当然，许多实际问题并非这么简单，通常函数f为非线性的。比如，数学建模课程中的人口模型、汽车刹车距离模型、传染病模型等。这些问题一般是：通过对实际问题的分析处理、建立模型，最后归结为一带参数的非线性模型，需要结合已知的数据估计出参数。有的非线性问题可以通过适当的变换转化为线性问题处理，有些不能转化的，可以先将f对参数作一次Talor展开，通过逐次线性逼近的方式估计最优参数，这些内容可以指导学生课外参阅相应的参考资料自学。另外，MATLAB软件就最小二乘法编写了一些函数，这些内容让人觉得计算非常方便。

3.最小二乘法的程序实现

这里简单阐述MATLAB的最小二乘法估计参数的函数。注意MATLAB函数ployfit主要是解决多项式模型的系数的最优估计。本文的实例就是一次多项式的系数的最小二乘估计，程序为：

xk=[3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2]； yk=[1.00 0.9 0.9 0.81 0.6 0.56 0.35]；

P=polyfit（xk，yk，1） % P为返回的多项式系数

y=polyval（P，xk）； % 計算多项式模型的值

plot（xk，yk，'o'，xk，y，'？鄢'）； xlabel（'化学成分'）； ylabel（'失败率'）； title（'实验数据以及模型估计数据'）

Legend（'实验数据'，'模型估计数据'）

计算结果：P=-1.0464 4.8125；即a=-1.0464，b=4.8125。

从图1知，尽管实验数据和模型估计数据相差比较多，但这是最小二乘意义下的最优估计值，而误差大的原因是：这个实际问题假设为一次多项式模型。要提高估计精度，就需要改进该模型。另外，MATLAB函数lsqcurvefit可以完成非线性模型的参数估计，在数学模型的参数估计中可以指导学生学习和应用该函数以及课外学习该函数的算法。从而提升学生的数学理论知识以及应用计算软件解决实际问题的能力。

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003.