数学大师启示录

关键词： 个人得失 哲学家

数学大师启示录（精选6篇）

篇1：数学大师启示录

这是惊人的，起源于赌博的概率理论，竟会成为人类知识的最重要的对象。

——拉普拉斯 我找到了许许多多极其优美的定理。

——费马

出类拔萃

在法国中南部僻静的克莱蒙费朗城，有一座雅致的白色楼房，四周大树环抱，前面绿草如茵。1623年6月19日，一个婴儿呱呱 地哭叫着在这里诞生。他就是法国杰出的数学家、物理学家、哲学 家和文学家——布莱斯·帕斯卡。

布莱斯的父亲埃利纳·帕斯卡是地方救护会会长，学识渊博，乐善好施，在当地很有名望。母亲安东尼达·白戈妮是位心地善良、容貌美丽的妇女。可惜红颜薄命，在一次突发的急病中，她撇下年 仅4岁的布莱斯和他的姐妹吉尔帕蒂和杰克琳，猝然去世。1630年，帕斯卡一家由克莱蒙费朗迁到巴黎。这时候布莱斯刚 7岁。孩子早熟，普通学校里的课程他学起来毫不费力。可是，他 体弱多病。父亲为了避免孩子用脑过度，亲自指导他学习，只教他 古典语言，不让他接触数学。谁知“弄巧成拙”，埃利纳对数学讳 莫如深的态度，反而激起孩子强烈的好奇心。他常常询问父亲有关 数学的问题，埃利纳总是避而不答。布莱斯12岁了。有一回他又缠 着父亲，提出他的老问题：“爸爸，几何是什么?您给讲讲吧!”经 不住孩子不断的请求，埃利纳终于给他做了一个简明而生动的介绍。这不啻在干柴上点了一把火。长期被压抑的热情一下子迸发出来。几何学的大门虽然刚露出一道细缝，里面透出来的诱人光芒已经使 布莱斯头晕目眩，如醉如痴。他按捺不住心头的激动，决心用自己 的智慧和毅力去敲开这扇庄严的大门。

布莱斯·帕斯卡钻研几何的事迹，在数学史上传为美谈。一开 始，没有任何书本暗示，他证明出一个重要的几何定理：三角形三 内角之和等于两直角。这一了不起的成就使他大受鼓舞。父亲更是 高兴得热泪盈眶。这件事似乎还不够神奇。据姐姐吉尔帕蒂说，布 莱斯在看到欧几里得《几何原本》以前，就独立发现了这本书的前 32个定理，甚至连顺序也完全相同。“三角形三内角之和等于两直 角”，恰好是《几何原本》的第32个定理。一般认为，布莱斯无疑 是独立地发现和证明了《几何原本》的一部分定理，但是吉尔帕蒂 的说法可能言过其实，因为这几乎是不可思议的事。

两年以后，14岁的布莱斯就跟随父亲到明尼兹修道院，参加梅 森神甫主持的每周讨论会。会员都是著名的学者：费马、德札尔 格、罗贝瓦尔、„„笛卡儿从荷兰和他们保持经常的通信。这个 小团体后来发展为自由学院，到1699年演变为法国科学院。

神秘六边形

正当小帕斯卡在几何上披荆斩棘，迅速向新高峰攀登的时候，老帕斯卡在事业上意外地遇到麻烦。由于极端的诚实和正直，在一 项征税问题上，他同红衣主教黎塞留发生了争执。读者一定记得，慷慨许诺过笛卡儿可以自由发表自己著作的就是这位主教。不过，这一次他似乎没有那么宽容。埃利纳只得带着全家到乡下躲起来。事情后来是怎样了结的，说法不一。据说是美丽的杰克琳拯救了她 父亲和家庭。有一次主教去看演出，一位年轻女演员的精彩表演使 他大为倾倒。唤到面前来一问，原来她是埃利纳的小女儿。主教二 话未说，痛快地把旧账一笔勾销，还把埃利纳安排到法国北部城市 鲁昂的税务局工作。

课税员的工作相当辛苦。埃利纳常常抱着账本一直计算到深夜。小帕斯卡在旁边默默地观察着父亲的工作，他又一次表现出超乎寻 常的才能。他发现一切加减运算都可以用机械来完成。经过一段时 间的摸索和改进，他终于创造出世界上第一台可以实际使用的计算 机。这是一台手摇操作的齿轮系统。每个齿轮有10个齿。顺时针方 向旋转是加，逆时针方向旋转是减。齿轮每转过10个齿，带动旁边 的高阶位的齿轮转一个齿，数字就进了一位。这样，一个年刚18岁 的孩子成了数字计算机的发明者。

在这以前，小帕斯卡废寝忘食的研究还取得一项重要进展。他 发现了几何学中一个非常优美的定理——帕斯卡定理。好在它的一 个特殊情形只用直尺就可以说明，我们在这里把这个定理介绍一下。

设有l和l’两条不平行的直线。在它们上面各任意取三点A、B、C和A’、B’、C’。分别把A和B’、A’和B、B和C’、B’和C、C和A’、C’和A连接起来，就得到三对直线；AB’和A’B，BC’和B’C，CA’和C’A。如果每对直线都有一个交点，设它们分别为D、E、F。帕斯卡证明了：D、E、F三点必定在同一条直线上。进而他把这三对直线换成圆内接六边形的三对对边，帕斯卡又证明：如果

这些对边的延长线分别相交，那么，它们的交点也在同一条直线上。他把这种六边形称为“神秘六边形”。

帕斯卡并不就此满足。他利用德札尔格所发明的投射法把这个 定理进一步推广。设想一只灯泡被一张开了一个小孔的纸遮住，于 是通过小孔射出一束圆锥状的光线。如果取一张纸伸到这束光线中 去，那么根据纸片角度的变化，在纸上可以看到光束的边界呈现不 同的图形：圆、椭圆、抛物线和双曲线。这些都是圆锥曲线。帕斯 卡发现，上述定理中圆内接六边形的这种性质，如果把圆换成其他 的圆锥曲线，例如椭圆，同样是正确的。这在直观上并不难接受。从下图可以看出，如果在光束和纸片之间插进一块玻璃，在玻璃上

画一个“神秘六边形”，当光束穿过玻璃投射到纸面上的时候，出 现的就是“神秘六边形”的影子。这影子也是一个“神秘六边形”，因为它的三对对边的交点也在一条直线上。

帕斯卡发现这个有趣的定理那年才16岁。根据德札尔格建议，聪明的帕斯卡环绕这个定理写了两篇论文，把有关圆锥曲线的不下 400条定理——其中包括阿波罗尼奥斯和其他前人的成果——用投 射法作了系统总结，把它们归纳成少数几条基本定理。论文所涉及 的是和过去希腊几何完全不同的全新领域——射影几何。这里研 究的图形，它的线段长短和角度大小，在射影对应下可以不同，但 是在射影对应中图形的某些性质仍旧保持不变。例如，把圆换成其 他的圆锥曲线，它的内接六边形三对对边的交点共线的性质是始终 保持的。可惜这两篇珍贵的文稿从来没有发表，并且旋即失传；其 中的一篇只有薄薄8页，题为《圆锥截线论》，于1779年重新找到。德国数学家莱布尼兹曾经看到过它的手抄本，还对帕斯卡的外甥谈 起过里面的内容。笛卡儿在1640年读过这两篇论文，可是他不相 信，这样出色的论文竟会出自一个16岁孩子之手!

双重折磨

年轻的帕斯卡为这一连串令人惊羡的成就付出沉重的代价。通 宵达旦的工作使他的健康遭到极大损害。从17岁起，他的生活几乎 每天都在难忍的病痛中度过。严重消化不良引起钻心的胃痛，把他 折磨得汗如雨下。长期的失眠，使漫漫长夜成为可怕的恶魔。更糟 糕的事情还在后面：宗教狂热开始感染帕斯卡的家庭。这并不奇怪。当人类智慧的阳光还不能透过层层迷雾把世界真面目揭开的时候，宗教就有它存在的空间。当生活的道路崎岖坎坷，而人们还无法掌 握自己命运的时候，迷信就会乘虚而入。在当时名目繁多的教派中 有一个叫詹森派。它由荷兰神学家科尔内留斯·詹森所创。詹森派 既不属于天主教，也不是新教。它偏激狂热，蔑视意志自由，鼓吹 神力不可反抗。信徒们为表示忠诚，要通过各种方式虐待和折磨自 己。十分不幸，好端端的帕斯卡竟迷上了这乖怪离奇的教派。原因 虽然是多方面的，但是他体弱多病无疑起了重要作用。限于当时的 医学水平，医生们开出的种种处方解除不了帕斯卡的病痛，他只好 求助于神。宗教成了他摆脱疾病无情折磨的救命稻草。从23岁起。帕斯卡从数学研究的高峰一步步陷入詹森派的泥潭而不能自拔。这 位数学史上罕见的天才，在他短促的生命历程中，从此遭受着病魔 和宗教狂的双重折磨。

但是天才的火花并没有熄灭。他还要为物理学作出贡献。他对 重力和密闭液体压强的传递等进行一系列重要试验，发现著名的关 于液压传递的帕斯卡定律。意大利物理学家托里拆利做了一个著名 实验，测定一个标准大气压的水银柱高度为760毫米。帕斯卡进一 步把它引申。他建议姐夫彼埃尔带着气压计到家乡附近多姆山上去 测量大气压强。他认为，由于高度升高，气压减小，水银柱的高度 应该随着下降。后来帕斯卡和妹妹杰克琳在返回巴黎的时候也做了 同样的实验。

这时候父亲已经退休。不久帕斯卡和杰克琳来巴黎和他住在一 起。有一次浪迹四方的笛卡儿来帕斯卡家访问。笛卡儿当时是誉满 全球的大学者；帕斯卡比他年轻近30岁，但是在科学界也已经头角 崭露，蜚声遐迩。他们两人从数学、物理、文学，一直讨论到哲学。临别的时候笛卡儿还真挚地给这位年轻朋友提出不少忠告。他劝帕 斯卡学他的样子，每天躺到上午11点钟起床；对于时时给帕斯卡带 来烦恼的胃，笛卡儿建议他只喝肉汤，不要吃别的食物。可惜这些 健身之道听起来近乎怪诞，帕斯卡没有重视。

在巴黎住的时间不长，全家又回到克莱蒙费朗。家乡清幽的气 氛比豪华的巴黎更加吸引人。在家乡，帕斯卡开始创作《思绪录》。这是法国文学史上一部自我暴露和自我剖析的不可多得的杰作。从 中我们可以清楚地看到帕斯卡矛盾的性格：他热爱大自然，热爱生 活，可是他却不自然地压制着这些正当的欲望。为了做到这一点，他只能到怪诞的詹森教派的教义中去寻求支持。怪不得心理学家说，乖谬的教义和反常的生理现象是一对难舍难分的孪生兄弟。

在克莱蒙费朗住了两年，全家又来到巴黎。第二年父亲不幸病 逝。杰克琳在帕斯卡支持下进了波特罗耶尔的修道院。不久，她作 为女修道院的圣职志愿人，不断来动员她哥哥也去波特罗耶尔，搅 得帕斯卡心绪不宁，思想斗争异常激烈。1654年11月23日，他独 自乘了一辆四驾马车，在巴黎附近的乡间道路上狂奔。在通过纽莱 河上一座桥的时候，领头的一匹马突然越过栏杆，跃入河中。幸亏 挽绳一下子被绷断，马车仍旧停留在马路上。这一事件引起帕斯卡 的强烈震动。他认为能逃脱这场横祸，无疑是神的意志——警告他 赶紧在世俗生活上悬崖勒马。他决定皈依詹森教派，并且在贴胸处 挂起用羊皮纸做的护身符，以使自己克服淫邪的诱惑，以及时刻记 住上帝把他从地狱之门拯救出来的“伟大恩典”。从此他永远摆脱 世俗，虔诚地来到波特罗耶尔，过起清心寡欲的修道者生活。值得 庆幸的是，在这以前，他对数学所作的最重要的贡献已经完成。他 和费马一起创立了概率论的数学理论。这一成就使他在数学史上享有不朽的地位。皮埃尔·费马

和帕斯卡一起创立概率论的费马是帕斯卡家的老朋友，两人有 极亲密的友谊，常年保持着书信往来。

费马的一生很平静，没有什么戏剧性的插曲。父亲杜美尼克是

位皮革商人，还是法国西南部小城蒙托邦附近小镇皮厄蒙的行政长 官。母亲克拉拉·德朗出身于议会律师的家庭。皮埃尔·费马于 1601年8月17日诞生于皮厄蒙。他从小在家里接受教育。后来为 了担任公职的需要，来到法国南部城市图卢兹继续他的学业。他一 生安分守己，不爱出头露面。由于缺少一位像帕斯卡的姐姐吉尔帕 蒂那样的人来给后代讲述他童年的奇迹，因此除了作为学生，没有 别的记载流传下来。当然，从他获得的成就来判断，他在少年时代 一定是聪明绝顶并且具有惊人的直觉能力。他在数学特别是数论中 出神人化的工作，不能从他的学校教育里去找原因。因为在费马当 学生的时候，他最伟大的工作所属的那些领域的大门还是完全紧闭 着的。

1631年5月14日，费马任图卢兹地区咨询委员。同年6月1 日，他和母亲的小表妹路易丝·德朗小姐结婚。婚后生有一男二女。儿子后来成为科学遗嘱的执行人。两个女儿先后进了修道院。1648 年，他晋升为图卢兹地方议会的王室律师。1665年1月12日在图 卢兹附近的小镇卡德雷斯逝世，享年64岁。这位诚实正直、一团和气的学者，在数学史上有一则美丽动人 的故事，就是他在从事律师工作之余所进行的数学研究。

作为纯粹数学家，牛顿在发明微积分的时候达到了顶峰。这项 伟大创造也独立地为莱布尼兹所完成。但是，这样说并不夸张：早 在牛顿出世前整整13年，在莱布尼兹呱呱坠地前17年，费马已经 形成和应用了微积分的主要概念和方法。他在1637年的手稿《求最 大值和最小值的方法》给出求函数最大最小值和求曲线的切线的方 法，也就是微分学的方法。由于他和帕斯卡都求得过前几个自然数 m次幂的和，他也就解决了幂函数积分问题。他还把幂指数推广到 分数和负数的情况，这就能计算双曲线围成的面积。这说明他掌握 了积分的方法。可惜费马在微积分和坐标几何方面的著述都是在他 去世以后才由他儿子整理发表的，这不能不削弱他在当时本可以发 挥的巨大影响。

费马和笛卡儿各自独立地发明了坐标几何。尽管他们交换意见，他们研究坐标几何的目的和方法却显著不同。笛卡儿批评希腊的传 统，主张同它决裂。费马着眼于继承希腊人的思想。认为自己的工 作只是用代数形式来表达希腊几何学家阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线 的研究。真正认识到代数威力的是笛卡儿，可是他开始只着重于几 何作图问题；费马则强调轨迹的方程，现在看来这无疑更为恰当。在对曲线进行分类的时候，费马纠正笛卡儿的一个错误。他指出： 对曲线分类应该根据方程的次数而不是其他，如一次方程表示直线，二次方程代表圆锥曲线。笛卡儿和费马在学术上的分歧导致双方长 期的激烈争论。在争论中，笛卡儿常常意气用事，语言尖刻，甚至 讽刺费马是“我们的极大和极小大臣”。可是我们这位大律师始终 心平气和，保持着应有的礼貌。后来他俩的关系有所缓和。费马在 1660年写了一篇文章，在指出笛卡儿的《几何学》中的一处错误的 同时，诚恳地说，他是这样佩服笛卡儿的天才，即使他有错误，他 的工作甚至比别人没有错误的工作更有价值。可惜已经去世的笛卡 儿不像费马这样宽宏大量。

费马最伟大的工作是数论，或者用高斯朴实无华的名称：算术。

在今天小学的教科书中，“算术”的内容在希腊时代被分成不 同的两部分：算法和算术。前者一般是有关贸易和日常生活中应用 的计算；后者就是费马和高斯意义上的算术，它研究数的性质。费 马认为算术被人们忽视了。他抱怨说，几乎没有什么人提出或者懂 得算术问题。他相信，算术有它自己的特殊园地：整数论。他的辛 勤劳动为算术奠定基础，并且决定了算术在高斯以前100多年的发 展方向。

人们关于貌似简单的正整数研究虽然已有很长的历史，但是对 它们的认识还很不够。一些长期未解决的问题往往乍看不难，实际 上却极难解决。为了证明一个有关正整数的命题，数学家往往不得不 先发掘代数和分析中许多微妙而深奥的定理，甚至建立全新的数学概 念和普遍有效的数学方法。结果新兴的庞大的分支和如林的数学定理 掩盖了它们发端的原始问题。这些导源于“朴素的”算术问题的新数 学常常同物理世界有密切的联系，并且可以应用在数学的其他领域，特别是计算数学。说到数论对数学乃至科学技术，从而对整个人类社 会巨大的积极作用，我们不能不提到数论研究的先驱费马。

要了解费马，最好从所谓“费马数”说起。请看下面的数列： 3，5，17，257，65537，··· 它们又可以表示为：

3=21+1，5=22+1，17=24+1，257=28+1，65537=216+1，„

这些数除了1和它本身以外，没有别的整数可以整除它，所以 是素数。于是费马就猜测：所有形如的数，后人称为费马 数，都是素数。不过，费马坦率地承认，自己不能证明这个命题。事实上，他后来也对这个命题的正确性发生了怀疑。在费马去世67 年以后，欧拉证明了n=5时=232+1=4294967297=641× 6700417不是素数。

几乎整整过了200年，1796年3月30日，一位18岁的德国青 年卡尔·弗雷德里希·高斯解决了一个同初等几何有关的问题：用 圆规直尺作出一个正十七边形。这是2000多年来许多数学家竭力追 求的目标。他同时还证明了：当多边形的边数或者是费马素数，或 者是不同的费马素数的乘积，用圆规直尺作边数为奇数的正多边形 才是可能的。这就是说，可以用尺规作出正三角形、正五边形、正 十七边形、正二百五十七边形、„„，或正3×5=15边形、正3× 17=51边形，„„但是不能作出正七边形、正九边形等。这个成就 使高斯异常振奋，以致放弃了他同样喜爱的语言学，选择数学作为 自己献身的事业。

所谓“费马小定理”，是费马在数论中另一种类型的发现，它 是1640年10月18日费马给好朋友倍西的信中传出去的。这个定理 说，如果n是任意整数，P是素数，那么np一n就可以被P整除。举 例来说，取P=3，n=5，53—5等于120，可以被3整除。

数论上有的定理被认为是“重要的”，而有的定理好不容易才 证明出来，却被认为是“无关紧要”的。这是为什么?要说明其中 的道理并不容易。首先一个标准，当然不是绝对的，是它可以应用 于数学的其他分支；其次是它对数论或别的数学研究有启发作用； 第三，它本身在某些方面具有普遍性。费马小定理适合所有这些要 求；它对许多数学分支，包括群论在内，是一个不可缺少的结论。它启发了许多重要的数学研究，甚至是某些研究的直接起因。由于 它是对任意的整数和素数来说的，所以有很大的普遍性。显然，这 样普遍的定理，要发现它是极不容易，也是非常罕见的。

缺少研究整数经验的人，对等式27=25+2可能没有什么感受，但是稍有经验的人就会想到，27=3 3，25=52。因此，方程 y3=x2+2 有一个整数解：x=5，y=3。假如读者想检验一下自己是不是有出众的智力，不妨试试能不能证明：x=5，y=3，是这个方程惟一的整数解。专家们认为，要解决这个看起来似乎是儿戏般的问题，在智力上的要求比领悟相对论还要高!方程y3=x2+2是一个不定方程，因为未知数有两个，而方程只有一个。如果不限制方程的解必须为整数，解这类方程没有任何困难。任意给出x一个值，y就是x2+2的立方根，所以方程的解有无限多个。丢番图首先提出求这种不定方程的整数解或有理数解。于是问题就不同于以前而变得非常困难了。费马说他证明了上述方程只有惟一的整数解，可是没有公布他的证明。他去世后不久，人们找到了他的证明。科学史研究证实，在1994年以前除了惟一的一个例外，凡是被费马肯定过的命题，都被正确地证明了。那仅有的例外就是赫赫有名的“费马大定理”。

标志着希腊代数最高峰的丢番图的《算术》，在1621年有了它 的拉丁文译本。费马在工作之余读的就是这个版本。他有个习惯，在看书的时候把思考的结论简要地旁注在书的空白处。这些空白当 然不适宜于写出证明的全过程。后来，他的儿子在1670年出版了著 名的《页端笔记》。在《算术》第二册上第8个问题，也就是由毕 达哥拉斯定理引出的求方程 x2+y2=z2 的有理数解的旁边，人们看到费马用拉丁文写了如下的一段注解：

“相反，不可能把一个立方数分为两个立方数的和，一个数的 四次幂不能分为两个四次幂的和；一般说来，高于二次的任何次幂，不能分为两个同次幂的和。我想出了这个论断的一个真正奇妙的证 明，只是这里的空白太狭小，不容我把它写下来。”

这就是费马大约在1637年左右发现的、引起历史上大大小小的 数学家注目的费马大定理。用数学记号表示就是：正整数n大于2 时，方程

xn+yn=zn

没有正整数解，当然也就没有有理数解。

人们没有见到费马那个绝妙的证明，只是见到他对n=4时证明 的大意。后来欧拉作出了n=3和n=4的证明；以后只要对素数n 来证明了。1823年勒让德证明了n=5的情形；1849年库默尔引 入全新的理想数概念，证明当n=

37、n=

59、n=67时费马大定理 成立。根据他的理论，n<100时费马大定理成立。到20世纪80年 代，利用电子计算机证明n<125 000时结论成立。当然n取上述所 有整数的整数倍也都成立。但是这无限多的情形，还不是大于2的 一切整数。300多年来不计其数的优秀数学家，付出了艰巨的劳动，还是没有找到问题的答案。20世纪有“神童”之称、创立“控制 论”的卓越数学家维纳，在试图证明费马大定理的时候感叹：“每 次我所假设的论证都像愚人金一样，很快就令人失望了”。鼎鼎大 名的数学家勒贝格曾经发表过对费马大定理的证明。起初许多人 以为这个大难题果真被这位分析大师解决了。但是后来有人指出他 的证明中有错误。这真有点令人扫兴。勒贝格盯着自己有错的证明 喃喃地说道：“我想我可以消除这个错误。”可惜他最终并没有成 功。无数大数学家花了大量心血也都没有找到正确的证明。这使不 少数学家怀疑费马发现的绝妙证明是不是搞错了。包括高斯在内，不少数学家都认为一定是费马搞错了。

但是，也有许多人认为，我们不能像寓言中的狐狸那样，因为 自己吃不着葡萄，就说葡萄是酸的。作为一位“业余的”数学家，费马只满足于自己享受研究的乐趣，并不介意把自己的思想完整地 写出来公开发表。他大多数研究成果是通过和友人通信而闻名于世 的。他只写过为数不多的几篇论著，有的还是在他去世以后由后人 整理发表的。因此，根据他一贯的为人和非凡的才能，我们没有理 由怀疑他曾经得到过一个绝妙的证明。

这桩历史悬案的真相究竟如何，读者可以作出自己的判断。但 是，令人高兴的是：英国数学家安德鲁·维尔斯经过九年顽强拼搏，终于在1994年证明了费马大定理。他证明费马大定理的论文《模曲 线和费马大定理》于1994年10月14日送交普林斯顿的《数学年 刊》。一周前，他和他的学生泰勒的合作论文《海克代数的环论性 质》已经寄去审查，这是证明上述定理不可缺少的工具。1995年5 月《数学年刊》一同发表了这两篇论文，从而宣布困扰数学界350 多年的费马大定理已被一举攻克。维尔斯的证明运用了20世纪代数 几何与代数数论一系列研究成果，显示了现代数学整体的巨大力量。

涓涓细流

谁会想到一泻千里的大江发端于高山上的涓涓细流?帕斯卡和 费马也没有料到，赌徒之间毫不引人注目的争论，居然会发展出一 种非常有用的数学理论。这种理论已经几乎深入到人类生活的各个 方面；它在近代物理学上的应用，迫使人们重新考虑对物理世界的 认识。

概率论最早是由贵族们在赌博中发生的问题引起的。有一天，性喜赌博的德·梅雷爵士向帕斯卡请教几个在赌博中经常遇到的问 题。比如说，同时掷两颗骰子出现两个都是6点的机会是不是超过 1／24？

数学家以前没有处理过这类问题。这类现象从个别来看是无规 则的。同时掷两颗骰子，谁能预料它们出现的点数呢?这种不确定 性给研究带来困难。不过这些不规则现象——在数学上称为“随机 现象”——通过大量实验和观察，就其整体来看，却有一种严格的 非偶然的规律性。一颗骰子掷下去，出现的点数固然无法事先确定。但是如果投掷次数大量增加，那么出现某一个点数——比如说3点 ——的机会就非常接近于1／6。同样，一个充满气体的密闭容器，虽然容器内每一个气体分子的速度和方向是杂乱的，因而就个别分 子来说，它对器壁所产生的压力是不确定的，它忽儿撞在这里，忽 儿撞在那里；忽儿撞得重，忽儿撞得轻；但是这些气体分子的总体 对器壁的压力却有其规律性：它们总的压力基本上是一个确定的值。概率论就是从数量上来研究这种规律性。

帕斯卡巧妙地解决了梅雷爵士的问题，并且在1654年7月29 日致费马的信中谈到它们的解答。从此，他和费马就这一类问题开 始一系列通信，为概率论的数学理论奠定了基础。

概率论的应用决不仅仅是限于在赌博上。正如荷兰科学家惠更 斯(1629—1695)在《关于骰子游戏或赌博的计算》一书中指出： “在任何场合，我认为，如果读者仔细考察一下研究对象就会发现，你所处理的不仅是赌博。这里实际上包含着很有趣很深刻的理论基 础。”

的确是这样。概率论深入到各个领域，连日常生活中最简单的 问题，比如称一个物体的重量，也离不开它。虽然物体的重量是确 定的客观存在，可是它真实的数值你却称不出来。我们到商店去买 500克糖，实际得到的并不是真正的500克，而只是它的近似值。即使用最精密的天平也无法称出丝毫不差的500克。当我们用某一 种仪器对它进行多次测量的时候，任意两次的测量结果往往是不相 同的。但是根据概率统计的理论，由各次测量结果可以推算，真实 的重量落在某一个数值范围内的可能性有多大。

在量子物理学中，同样离不开概率理论，我们说不出某个电子 在原子中的确切位置，但是可以计算这个电子出现在某一区域里 的机会有多少。随着科学技术的发展，概率论在保险、统计、误差 理论、生物学、天文学、近代物理学以至整个工农业生产中得到日 益广泛的应用，成为数学几个最主要的分支之一。

智者千虑必有一失

“智者千虑必有一失”，就连最聪明的人也有糊涂的时候。帕斯 卡创立概率的数学理论，可是却把它应用于完全错误的方面。

一个人在采取某个行动以前，通常要权衡一下利弊，想想它是 不是值得。从数学上说，就是要估计一下“期望”——成果和代价 的差额乘以成功的可能性。帕斯卡在他的名著《思绪录》里，利用 这个数学理论来为自己选择的生活道路辩解。他说，通过当修道士 来争取得到永生的可能性固然极小，但是可能赢得的成果——永恒 的幸福——的价值却有无限大。无限大乘上一个很小的数(即成功 的可能性)仍是无限大。于是帕斯卡得出结论：这才是一个人真正 值得遵循的道路!可悲的是，这位伟大的数学家不知道，企图通过 刻苦修行来求得永生，不是机会大小的问题，而是根本不可能。对 不可能事件计算“期望”，它的结果当然只能是零。

这不能不说是个极大的讽刺。帕斯卡孜孜以求的，以为是具有 “无限大期望”的事业，竟是一场完全虚幻的梦境；而使他在历史 上享有无上荣光的数学，他却感到“是那么无用”，甚至“不愿为 它多走两步”!至少帕斯卡在去世以前的那些日子采取了这种不幸 的态度。1660年8月10日，这时距离他去世已经不到两年，他在 致费马的信中这样写道：

“顺便谈到数学，我觉得它是对思维的最高锻炼；但同时我又 觉得它是那么无用，以致使我感到一个单纯的数学家同一个普通工 匠的差别极小。我承认它是世界上最可爱的职业，然而仅仅是一种 职业；我也常说，想学数学是件好事，但为此费力则不然。所以我 不愿为数学多走两步。我想你也会有同感。”

当数学囿于贵族的沙龙之中，离开社会，离开生产实践，只是 那些不必为生活奔波操心的有闲阶层酒后饭余的话题，就可能产生 “有趣但是无用”的错误想法。这是帕斯卡的悲剧所在，也是数学 史上的一大憾事。要是帕斯卡的健康足够好，而他的思想又不误入 歧途，那么，这位才华出众的学者一定能为数学作出更伟大的贡献。

走向终点

怀着无限的期望，帕斯卡来到波特罗耶尔修心养性。可是，上 帝并没有对他表现出怜悯之心。失眠和牙疼死缠着他不放。当时，谁牙疼就只好去找理发师——兼职的牙科医生。那里没有麻药和其 他器械，只有一把吓人的钳子。疼痛使帕斯卡辗转反侧，不能入眠。上帝眼睁睁看着自己的信徒遭受可怕的折磨而爱莫能助。帕斯卡只 好向数学求救：他躺在床上，咬紧牙关，强制自己全神贯注地思索 各种数学问题。没想到疼痛竞不知不觉地消失了。他不知道这是注 意力转移的结果。他认为这是神的显灵，告诉他在这种情况下研究 数学不是罪过。于是他放心地研究下去。很快，作为向法国和英国 数学家的挑战，一篇论摆线的重要论文，以阿莫斯·迪戈伐里的笔 名发表了。接着他又研究了一种点的轨迹，称为帕斯卡蚶线，来纪 念他已故的父亲。

为了回答异教徒对詹森派主要人物阿诺尔德的攻击，帕斯卡撰 写了著名的《外省信札》，共含书信18篇。他的文学才能和宗教热 诚再一次得到充分表现。《外省信札》被推崇为法国散文的经典名 著和神学辩论中的非凡杰作。1658年，帕斯卡病情恶化。他无时无刻不在难忍的痛苦中煎 熬。现实生活的苦楚更激发他追求“在天国中永生”的热诚。1662 年6月，他把房子送给一家患天花的穷人，自已住到姐姐吉尔帕蒂 家中。过了两个月，年仅39岁的帕斯卡在一阵惊厥以后再也没有复 苏过来。逝世以后的检查发现，他的胃和其他重要器官都有致命的 疾病，大脑也有严重损伤，但是尽管这样，他在数学上作出了伟大 的贡献，在文学上蜚声遐迩。帕斯卡和他的同时代人笛卡儿、费马 一样，成为法兰西民族的骄傲，受到进步人类深深的怀念和尊敬。

篇2：数学大师启示录

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篇3：国际数学大师陈省身的辉煌成就

一、陈省身的数学科研成就

1. 从数学小天才到学界初出茅庐。

陈省身自幼就在数学方面表现出了非同一般的天赋。1920年, 9岁的陈省身凭借出色的数学成绩被浙江秀州高级小学录取, 从此正式在学校接受数学及其他课程教育。两年后, 陈省身随全家迁往天津, 进入扶轮中学就读。扶轮中学的时任校长顾赞庭本身就是几何老师, 对学生的数学成绩十分看重。在班上, 陈省身的年纪是最小的, 但数学成绩一向都是名列前茅, 深得顾赞庭校长喜欢。课余时间, 陈省身最喜欢去扶轮中学的图书馆翻阅文学、历史等书籍, 但最让他着迷的还是书架上的数学杂志和数学类课外书。1926年, 即将从扶轮中学毕业的陈省身想报考南开大学理学院, 但升学考试必须考扶轮中学从未教授过的解析几何。陈省身没有在困难面前停下求学脚步, 而是从南开中学借来了几本解析几何课本, 完全凭自己的能力专心致志自学。几个月后的考试结果是:陈省身被南开大学录取, 连预科都不用上直接进入大学一年级学习。

1927年, 陈省身正式进入南开大学数学系, 接受数学专业的高等教育。在美国哈佛大学获得博士学位的姜立夫先生成为年仅16岁的陈省身的数学导师, 教授他微分几何、高等微积分、复变函数、立体解析几何、非欧几何、高等代数等, 对陈省身后来数学科研道路产生了深远影响。数学成绩出类拔萃的陈省身自然受到姜立夫先生的特别关注和关照。20世纪20年代的南开大学由于师资紧张, 系部助教、助手都很少, 姜立夫让陈省身做他的助手。最开始, 陈省身可以批改一年级和二年级的数学作业及数学考试试卷, 不久竟然连高他一个年级的学生的数学作业和试卷也由他批改。陈省身因此每月可以得到大约十块钱报酬。1930年, 从南开大学数学系毕业后的陈省身顺利考入清华研究院, 受孙光远博士和德国汉堡大学教授、国际著名数学家布拉希克的影响, 专门从事微分几何研究, 并发表了数篇射影微分几何的研究论文, 由此引起了学界的关注。

2. 从普通研究者到国际数学大师。

1934年, 从清华研究院毕业的陈省身得到了全世界数学研究者的圣地德国汉堡大学的奖学金, 在布拉希克的研究室攻读博士学位。1936年, 凭借博士论文《E.嘉当方法在微分几何中的应用》而获得了博士学位。法国人E.嘉当被誉为20世纪世界最伟大的数学家之一, 也是历史上与高斯、黎曼齐名的微分几何学家。陈省身的这篇博士论文引起了E.嘉当本人及其研究团队的注意, 他博士毕业后便应邀前往法国追随E.嘉当做研究。正好1936年到1937年的法国是E.嘉当的数学之年, 他的科研在法国数学界是最时髦、又最鲜为人知的工作。陈省身在E.嘉当及其团队的熏陶下, 开辟出了一条遵循E.嘉当研究思路, 但只属于他自己的科研之路。

正当陈省身在法国巴黎的科研活动如日中天之时, 国内的抗日战争全面爆发。陈省身以崇高的爱国主义热忱、不顾E.嘉当的极力挽留而返回国内, 在西南联大从事数学教学工作。在西南联大六年含辛茹苦的从教时光中, 陈省身仍然继续着原来在法国的研究, 不断有高水平的论文著作发表, 在国内、国际数学界声望倍增。美国数学家维布伦十分赏识陈省身的射影微分几何研究方法, 每次都要想方设法获得身在中国抗日战场后方的陈省身的论文著述。在维布伦看来, 陈省身的研究把微分几何与积分几何推向了更高的层次。与维布伦持同样观点的还有在法国就与陈省身共事的H.威尔和A.魏伊等国际著名数学家[2]398。

随着陈省身在国内外数学界的名气越来越大, 在二战还未结束时, 就有很多国外数学研究机构邀请陈省身前往共同参与科研工作。1943年, 在维布伦和H.威尔的共同邀请下, 陈省身通过A.魏伊的研究基金会赞助和帮助, 穿越战事紧张的前线, 几经周折来到美国普林斯顿大学数学研究所与同在那里的几位当时国际数学界的顶尖科学家一起从事科研。第一年, 陈省身就令他的同行们惊讶不已。因为他成功证明了困扰国际数学界已久的“高斯—博特定理”, 并将他的研究成果刊发在美国数学科学最高等级刊物之一的《数学年鉴》上, 被国际数学界一致认为是开创了微分几何学的一个新纪元。在美国一夜成名之后, 陈省身毫不自满, 立即将科研视线转向国际数学界鲜有人触碰的示性类研究。1945年, 陈省身在这一生僻难懂的领域取得突破性进展, 被国际数学界命名为“陈省身示性类”。如今, “陈省身示性类”已经成为现代解析几何学、代数几何学和微分几何学中最重要的、而又随处可见的不变量。陈省身的示性类研究将几何学的发展提前了几十年, 足以彪炳国际数学史册。

1945年抗日战争胜利结束后, 无比兴奋的陈省身从美国回到国内与家人团聚。国民政府教育部请陈省身主持中央研究院数学研究所的日常工作, 陈省身欣然接受。但国民党政府逆历史潮流的战争举动, 让陈省身深感此时为中国数学界做事心有余而力不足。于是, 陈省身于1948年携全家远赴美国芝加哥, 与曾多次帮助过他的A.魏伊共事。在此后的十多年时间里, 陈省身与A.魏伊一起共同研究齐次空间、复流形、纤维丛等国际数学知名难题, 并取得了令世界瞩目的科研成果, 数度被载入国际数学科学史册, 成为著名的国际数学大师。

二、陈省身的数学教学成就

陈省身为中国和世界培养出了一大批数学人才。陈省身在抗战胜利之后回到上海, 主持中央研究院数学研究所的工作。陈省身上任后, 将工作重点放在培养新人方面, 代数拓扑和大范围微分成为他主要的科研教学方向和目标。在数学所, 陈省身培养出了诸如吴文俊、丘成桐等一大批数学方面的优秀人才。

陈省身对中国数学的发展方向及其发展优势有独到的看法, 他认为中国数学的未来若想发展得更好, 就需要培养更多优秀人才, 找有能力的、优秀的青年人从事数学研究才能更好地发展中国数学。陈省身尽他自己最大的努力想尽办法为中国数学培养人才。他排除万难, 通过各种途径邀请到世界著名的数学家来中国工作, 为中国培养人才。他认为, 中国的数学必须在中国生根才能够在本土开花结果, 必须将中国数学的根基打牢才有利于发展真正的中国数学。陈省身注重培养在数学方面有发展潜力的年轻人, 他不仅将这些年轻人送到国外学习数学, 还请国内外最优秀的数学家指导他们的学习。他为了培养出真正属于中国的数学家费尽心思, 他为有发展潜力的青年人才提供各种到国外留学的机会, 并在经济上给予他们支持。陈省身对中国数学事业的后继发展作出了极大贡献, 张伟平、尤以明、陈永川等著名的中国数学家都曾受到过陈省身的指导和帮助。这些数学家在陈省身的指引下, 为中国数学研究事业的发展作出了卓越成绩, 也为中国数学的发展奠定了基础。

陈省身认为, 在中国发展数学除了培养人才之外, 还要建立高水平的研究院。在研究院中, 先打牢学生的数学基础, 并开设有一定的发展前景和学术价值的课程, 还要注意培养学生的逻辑推理能力。总之, 陈省身不仅为中国数学教育和人才的培养提供了理论依据, 还将理论最大限度地付诸实践。他为中国创造了良好的数学研究环境, 培养出了大批优秀的中国数学家, 为中国的数学教育作出了不可磨灭的贡献[3]105。

陈省身于2004年离世, 但被誉为“微分几何之父”的他留给世人的是陈氏示性类、陈—博特定理、陈—莫泽理论、陈—西蒙斯微分式等一串串以其姓名方式载入国际数学史册的科研成就, 以及杨振宁、丘成桐、廖山涛、郑绍远、吴文俊等著名陈氏门生, 他们共同为陈省身辉煌的科学人生写下了一笔笔注解。

参考文献

[1]曾少潜.世界著名科学家简介[M].科技文献出版社, 1981.

[2]张奠宙.陈省身文集[M].华东师范大学出版社, 2002.

篇4：大师多长寿的启示

那么，大师多长寿的缘由何在?他们的“长寿之道”又给我们什么启示呢?这里试探索之。

养生必先养德

在如何才能长寿这个问题上，孔子有自己的见解。他明确地将道德修养与寿命长短联系在一起。他在《论语》中提出了“仁者寿”的观点，后来又有“大德必得其寿”的论述。

广州中医药大学的首席教授、荣获首届“国医大师”称号的、现年93岁的邓铁涛先生认为，“养生必先养德，缺德者难长寿”。他说：“大师之所以长寿，是因为他们的胸襟宽广，时常考虑的是整个国家、整个民族，要做大事业，因此他们不会看重个人一时得失，对苦难、挫折的耐受力特别强。”“如马寅初，他的一生算是苦难了，但是他有大智慧，写出了‘宠辱不惊，闲看庭前花开花落；去留无意，漫观天外云卷云舒’这样大气魄的对联，他的心理素质是相当过硬的。”邓先生说：“心态才是决定长寿的重要因素。”

马寅初是我国著名的经济学家和教育家，1955年写就《控制人口与科学研究》一文，1957年在北京大学讲演《新人口论》并向人大提案计划生育。在当时，“新人口论”因与领袖的“人多是好事”之说相左而受到批判，他则坚持己见，拒绝检讨，声明：“我虽年近八十，明知寡不敌众，自当单身匹马出来应战，直至战死为止，决不向专以力压服不以理说服的那种批判者投降。”他在被迫辞去北大校长职务、全国人大也罢免了他的常委职务之后，继续钻研“新人口论”，后又撰写《农书》。他认为发展中国经济的关键是人口问题和农业问题。遗憾的是，他用墨笔写在白色宣纸上的百万字《农书》长卷，在文革期间连同其他经济学资料被人付之一炬，多年心血毁于一旦，实在令人扼腕叹息。往昔，他呼吁“要和平，反内战，要民主，反独裁”，甚至“写好遗嘱去演讲”，慷慨激昂地抨击国民党当局，国民党当局对之恨又无奈。解放后，面对中国人口的沉重压力，他提出了“新人口论”，结果是“错批一人，误增三亿”。直到1979年，他才被恢复名誉。毫无疑问，马老的铮铮铁骨，表明他就是个大德之人。

马老如此，其他享有高寿的“大师级”人物从不同角度也表现了他们的“德”，譬如巴金强调的是“讲真话”；季羡林则说：“我就两条：爱国和勤奋。”被誉为“中国航天之父”的钱学森也说：“我作为一名中国的科技工作者，活着的目的就是为人民服务。”任继愈同样声言：“无论是作为一个普通公民，还是作为一名学者，第一位的是要爱国。”这些，都体现了他们的高尚情操，也表明“大德必得其寿”的论述是有道理的。

“三不主义”

2008年，教育部副部长、原北大副校长郝平给季羡林拜寿，季老打趣地说：“你们千万不要祝我长命百年，我今年97岁了，这样说顶多只能再活三年。”郝平于是说道：“那祝您寿比南山，活到一百二十八!”众人大笑。

季老曾说：“我已到了九十岁，可谓长寿矣，因此经常有人向我询问长寿之道、养生之术，我敬谨答曰：养生无术是有术。”

何谓“养生无术是有术”?那就是：不锻炼，不挑食，不嘀咕。

季老说：“我这个‘三不主义’，容易招误会。其实，我并不绝对反对适当的体育锻炼，但不要过头。”季老举例说明他的观点：他有两个朋友，十分重视养生，每天至少要锻炼两个钟头。季老感叹：“人生不过百年，每天费上两个钟头，统计起来，要有多少钟头啊!利用这些时间，能做多少事情啊!”“可他们二人，一个先我而去，一个卧病在家，不能出门。”所以季老说道：“一个人如果天天望长寿如大旱望云霓而又绝对相信体育锻炼，则此人心态恐怕不正常，反不如顺其自然为佳。”

应该说，“动”在生命中的价值是不可否认的。但对于运动是不是可靠的益寿之道这一问题，1985年在纽约召开的国际老年学学术会议上，却只有1／3的学者赞成此说，另有1／3的学者不赞成此说，其余的则表示“吃不准”。不过，即使赞成运动有益长寿的人，也主张体育锻炼要循序渐进和适可而止。若运动过度，可以加速身体某些器官的“磨损”使生理功能失调，人的寿命反会因此而缩短。

季老说：“至于不挑食，其心态与上面相似。有人年才逾不惑，就开始挑食，蛋黄不吃，动物内脏不吃；每到吃饭，战战兢兢，如履薄冰，窘态可掬，看了令人失笑。以这种心态求长寿，岂非南辕而北辙!”在《季羡林之谜》一书中，有这样的记载——季老说：“有的人吃东西禁忌多如牛毛，这也不敢吃，那也不敢尝。吃一个苹果要消三次毒，然后削皮，削皮的刀子还要消毒，削了皮的苹果还要再消一次毒，此时的苹果已经毫无味道了，只剩下消毒药水味了。”“从前化学系有位教授，吃饭要仔细计算卡路里的数量，再计算维生素的多少，吃一顿饭用的数学公式之多等于一次实验。结果怎样呢?结果是每月饭费超过别人几十倍，而人却瘦成一只干巴鸡。一个人到了这种地步，还有什么人生之乐呢?”季老的观点是：“有什么吃什么，从不挑肥拣瘦，只要符合口味，什么胆固醇、高脂肪，一概通吃。”许多长寿名人如马寅初、启功、丁聪等，都主张想怎么吃就怎么吃。

季老说：“我个人认为第三点最为重要，这就是对什么事情都不要嘀嘀咕咕，心胸开朗，乐观愉快，吃也吃得下，睡也睡得着，有问题设法解决之，有困难则努力克服之。”“人应该顺其自然，老了，难免会有些小毛病，闹些不舒服，我从不把这些放在心上，爱怎样就怎样。”

在《周有光百岁口述》一书中，有“汉语拼音之父”之称的周有光先生说道：“我现在有‘三不主义’：一不立遗嘱，二不过生日，三不过年节。”都是“三不主义”，季老与周老的内容不同。但也有相同之处，这就是他们都有一颗乐观处世的心。

乐观地对待疾病是“不嘀咕”的重要内涵。在这方面，书法和文物鉴定大家启功先生也是笑对病痛的大师。请看他诙谐风趣的《渔家傲·就医》：“痼疾多年除不掉，灵丹妙药全无效，自恨老来成病号。不是泡，谁拿性命开玩笑。牵引颈椎新上吊，又加硬领脖间套。是否病魔还会闹?天知道!今日且唱渔家傲。”

养生要“忙”

中国新闻漫画研究会副会长、年逾九旬的著名漫画家方成在回答关于他的养生之道时写

了这样一首打油诗：“生活一向很平常，骑车作画写文章。养生只有一个字：忙!”

可以认为，“忙”的确是众多“大师”级人物的养生诀窍。他们正是一辈子忙个不停，从不考虑享“清福”，才使他们神清脑健、寿达期颐。

拿季羡林来说，人们通常在凌晨4点左右就能看到他的书房亮灯了。他说：“起来好去干活呀!”算起来，九十多岁的他每天的工作时间都会超过10小时。

有“汉语拼音之父”之称的周有光，数月前在《人民日报，海外版》撰文说：“我85岁离开办公室，回到家中一间小得不能再小的小书室中，看报、看书、写文章。”而今，他每个月都有一篇文章发表在报刊上，对年逾百岁的老人来说，其勤奋、其“忙”可想而知。

齐白石也是信奉“忙”的著名人物。他要求自己每天必须作画若干，信条是：“不教一天闲过。”

贝时璋生于1903年，是中国生物物理学的奠基人和开拓者。在2007年的一则访问记中，贝老说工作是他一生中最为快乐的事。那时他的眼、耳功能已很差，可他在家除接待经常到访的国内外客人外，每天仍要工作3小时左右，继续对他建立的“细胞重建学说”及与之相关的生命科学课题进行理论探索与研究。

不少人以为，人到老年就该吃喝玩乐。但科学证明，相比较而言，适度的忙对健康长寿更有好处。

长寿没有固定模式

时至今日，世界上还没有行之有效、普遍适用的长寿之道。就是说，健康长寿并没有固定模式。因此，古今中外的无数“长寿秘诀”都只是仅供参考而已。也因此，季羡林的“三不主义”，还有“忙”的观点，等等，都不能看作是养生经典，也只供参考。笔者认为，我们要理解和学习的是“大师们”对健康、疾病和生命的态度，而不是照搬他们的一点一滴的具体做法；关键是不要养生过头，不要痴迷于所谓的“健康饮食法”与“健身运动法”。

西方有谚曰：“你的头脑就是你的一切。”指的是：若脑这个人体司令部状态正常，则“指挥”得体，调度有方，全身各部门的“机器”就能更好地和谐运转起来，人自然就会健康。笔者注意到：“大师们”都是终生勤于用脑的典范。他们在顺境与逆境情况下都不忘工作与学习，都不忘要为国家和人民做贡献。事实一再证明，常用脑、多学习、勤思考是延缓大脑生理老化的有效途径，更是挖掘大脑潜力、发挥聪明才智的不二法宝。笔者认为，“大师们”长寿的重要缘由就在于勤奋用脑，养生关键就在于脑保健。

篇5：不会考试的数学大师[范文]

不会考试的数学大师

作者：鲁先圣

来源：《数学金刊·高中版》2012年第11期

他是19世纪人类社会最伟大的代数几何学家，在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念很多，如“埃尔米特二次型”“埃尔米特算子”等.但就是这样一位伟大的数学家，大学入学考试却考了5次，并且每一次落榜都是因为数学成绩不及格.更奇怪的是，好不容易考上大学以后，他每个学期的数学考试都不过关，差点儿毕不了业.他从小就是一个“问题”学生，他痛恨考试，曾在自己的日记中写道：“学问像大海，考试像鱼钩，老师老要把鱼挂在鱼钩上，叫鱼怎么能在大海中学会自由地游泳？”老师看他老考不好，就用木条打他的脚，他恨死了刻板的考试，又写道：“达到教育的目的是用头脑，又不是用脚，打脚有什么用？”他讲的话更让数学老师抓狂，他说：“数学课本是一堆垃圾.数学成绩好的人，都是一些二流头脑的人，因为他们只懂搬垃圾.”

篇6：数学大师启示录

第一个阶段的目的是熟悉基本知识。这个阶段，首先要有2011考研大纲作为参考，如果嫌太贵，可以买代替资料，内容全部都有，比如《2011数学考试大纲导读》。在大纲规定的范围内阅读教材，做课后题目。对于备考2012全国统一考研考试的同学来说，四至五月是教材复习的后期了，也就是基础知识回顾或基础巩固阶段进行了相当长的时间了，应该对概念、性质、定理、公式等已经熟悉，教材中除一步得出结果的题目外，其他中等难度的题目应该会做。对一些基本定理的证明需要进行必要的重视，理解证明思路，须能够自己证明。数学学习特别注意要坚持，按计划每天进步一点点，教材阅读完后你会发现自己在数学学习上进步了一大截。但这离考试高分还差很多。

第二个阶段是考研数学复习最重要的阶段，处于每年最热火朝天的时段，正是对意志与信心的极大考验。如果看了往年大纲，考生会发现，没有哪个教材是最适用于考研复习的。只有比较适合的，没有最适合的。现在同济大学所编教材用得最多，大部分考纲中的内容都有讲解。但其难度较低，内容杂碎，仅凭看教材进行考研备考是远远不够的。这个阶段的主要伙伴是考研辅导资料，例如《考研数学复习大全》。目的是进行系统的、以题型为主对各种方法全面归纳，集中复习、全面提高。

这个阶段是系统掌握知识及题型、提高解题能力、总结解题方法与技巧的过程。复习中，注意力应从前一阶段的每个知识点有哪些概念，都是如何定义的，相应地有哪些性质与定理等，转移到每个考点有哪些题型，都有什么样的出题形式，如何将基本知识融合在题目中的，一个题目都考了哪些点，可以用哪些方法，哪些方法是基本方法，哪些方法是“隔空搭桥”，技巧在哪里，自己的弱点在哪里，如何克服等等。例如求极限，教材中讲解从新知识的接受能力出发，第一部分讲概念，然后是一些基本方法，第二部分学习导数的时候又讲了洛必达法则，第三部分学习定积分的时候又提及可以用定积分求数列极限。而在《考研数学复习大全》这类强化提高辅导资料中，对求极限，将所有可用的方法、技巧全面归纳在一起，以使考生可以做到看到这种题型就能在脑中浮现出所有可用方法，然后快速套用一种或其中的几种进行结合使用。事实上，第二阶段复习中如果能以这些点为中心考虑并不断练习，提高必不在话下。

第三个阶段是考前做套题寻找临场感觉的过程。在此前一年多的数学复习过程中，对题目从点到面，即从知识点到考点，虽说过程中也做题检测学习效果，但没有成套综合测试，也就是没有真正试试考研这潭水有多深。第三个阶段就相当于军事演习，真枪实弹试一把。这个阶段可以做做往年真题，感觉一下真题的难度及自己的水平与真题之间的差距。但不能就此完结，必须做模拟题。模拟题虽有可能难度不好把握，但都是全新的题目，不同于个别真题在教材中都有可能已经看过了，做过了；在提高阶段或辅导班上也可能遇到了，被讲解过了。所以无法测试出真实水平。另外值得一提的是，冲刺阶段不能太早，而且要坚定信心，不被一次模拟的得与失而狂喜或狂悲。