学案锐角三角函数

关键词：

学案锐角三角函数（精选14篇）

篇1：学案锐角三角函数

九年级数学（上）教案

25.2 锐角三角函数（1）

设计时间：

授课时间：

课型：

授课人：教学目标：（目标明确，行动才更有效！）1.正弦、余弦、正切、余切的定义。2.正弦、余弦、正切、余切的应用。课前热身：（准备一下，你会更出色！）1.两个三角形相似的条件。

2.在两个直角三角形中，如果有一个锐角对应相等，那么这两个三角形；并简要说明理由。

课堂探究：（我自信，我参与！）

一、自主学习：（试一试自己的学习本领有多强）聚焦目标一：

1.阅读教材P74思考，并填空。

如果改变∠A的大小，∠A的对边与邻边的比值会改变吗？

2.阅读教材P74“我们知道„„”这一段。

若一个锐角的大小不变，那么该锐角的对边与斜边、邻边与斜边的比值是否也是定值？

3.阅读教材P74“因此„„”到“统称为∠A的三角函数”这一段。锐角三角函数是研究三角形的关系的。

4.sinA＝

A的对边A的邻边，cosA＝，斜边斜边图25.2.1

tanA＝A的对边A的邻边，cotA＝．

A的邻边A的对边思考：（1）0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．

（2）sin2Acos2A＝1，tanA·cotA＝1．为什么？聚焦目标二： 1.阅读教材P75例1。

2.求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四个三角函数值.二、合作研讨：（交流也是一种非常好的学习方法，交流过程中你一定会有所感悟，大胆提出你的问题吧！）

三、展示讲解：（用流利的语言和创新的思维来展示你们小组的风采！）

四、知识归纳：巩固提升：

必做题:（试一试，你一定行！）

1.如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;

∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________;2.设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值.（1）a=3,b=4;

（2）a=6,c=10.选做题：

在Rt△ABC中，∠C＝90゜，若已知tanA=

板书设计：

25.2

sinA＝

3,求∠A的其他三个三角函数值。4锐角三角函数（1）

A的对边A的邻边22，cosA＝，sinAcosA＝1，斜边斜边

tanA＝A的对边A的邻边，cotA＝ tanA·cotA＝1

A的邻边A的对边导学反思：

篇2：学案锐角三角函数

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时间：2010-2-21 ７．６锐角三角函数的简单应用

（二）教、学案

一、学习目标：进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

二、自学质疑仰角、俯角的定义：

如图，从下往上看，视线在水平线上方，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线在水平线下方，视线与水平线的夹角叫做俯角。

图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

练习：如图，测量队为测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M•点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1：50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6•厘米，则山顶P•的海拔高为________m．（精确到1m）

三、精讲点拨

例

2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°。若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.1m）

Ch mA2750m40Bx mD课型：新授课

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时间：2010-2-21 思考与探索：大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？

矫正反馈：课堂练习：书本P 56 1、2

补充例题：

某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时。问：（1）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？

（2）若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应相距多少米？

课型：新授课

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时间：2010-2-21 ７．６锐角三角函数的简单应用

（二）巩固案

1．在高200米的山顶上测得正东方向两船的俯角分别为30°和60°，•则两船间的距离是______。

2．如图所示，人们从O处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°方向，•相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向B处，则A、B间的距离是________

．

3．如图，在某建筑物AC上挂着一幅的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，•测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．

篇3：锐角三角函数内容解读

一、锐角三角函数的定义

研究锐角三角函数的定义,是将锐角放在直角三角形中,用直角三角形的边之间的比值来定义的. 即如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,则

温馨提示:

(1)弄清“对边”“邻边”“斜边”的含义,这是理解定义的基础. 如在Rt△ABC中,∠C=90°,对∠A来说,BC是对边、AC是邻边,而对∠B来说,BC是邻边、AC是对边,无论怎样,“边”一定要分清.

(2)为了记忆方便,可以用口诀进行记忆,即“正弦等于对比斜,余弦等于邻比斜,正切等于对比邻”.

(3)从定义可以看出,锐角三角函数的值是随着角度的变化而变化的,当角度固定不变时,无论边怎样变,三角函数的值是确定的.

(4)三角函数的符号是一个整体数学符号,不能看成是sin和A相乘的关系,而是“∠A的正弦”,同加减乘除一样,相当于一个运算符号.

二、特殊角的三角函数值

任意角的三角函数值都可以利用计算器求得,但对于特殊角(即30°、45°、60°)的三角函数值应当熟练掌握,这样便于运用它们进行计算、求值或解直角三角形. 常用的记忆方法有三种:

1. 列表法,就是利用课本上的表格记忆,如下图表格.

2. 寻找规律法,从课本表格中寻找数字间的规律熟练记忆. 如30°、45°、60°的正弦值,分母都是2,分子依次为,而余弦值正好反过来;30°、60°的正切值是互为倒数. 为了记忆方便,可以用口诀进行记忆,即“正弦123,余弦321,正切313”.

3. 图形推导法,当记忆不准确时,如图2可在含有特殊角的直角三角形中利用定义进行推导.

温馨提示:特殊角的三角函数值有两层含义:(1)由特殊角的度数可得它的三角函数值;(2) 根据特殊角的三角函数值,可求得它的度数.

三、学会利用“数形结合”探究性质

由锐角三角函数的定义,利用“数形结合思想”可得以下几个重要性质:

1. 增减趋势:当0°<α<90°时,sinα、tanα随着角度α的增大而增大;cosα随着角度α的增大而减小.

如图3,在Rt△A3BC中,∠C=90°,若设∠BA3C = α , 当A3向A2、A1移动时 ,α增大,这时A3B变小,而BC不变,则sinα的值增大;

当A3向A2、A1移动时,α增大,这时A3C变小,而BC不变,则tanα的值增大;

若设∠A3BC=β,当A3向A2、A1移动时,β减小,这时A3B变小,而BC不变,则cosβ的值增大.

2. 根据三角函数的定义结合图形,还可以得到如下的性质,同学们可以自主探究.

(1)取值范围:

如果0°<α<90°,那么0<sinα<1,0<cosα<1,tanα>0.

(2)比较大小:

1同名锐角三角函数值的比较,如果0° <α <β <90° ,那么sinα <sinβ,cosα >cosβ,tanα<tanβ.

2不同名但同角的锐角三角函数值的比较,如果0°<α<45°,那么sinα<cosα;如果45°<α<90°,那么sinα>cosα.

(3)同角三角函数间的关系:

1平方关系:1;

2倒数关系:tan(90°-α)·tanα=1;

3商式关系:tanα=sinα/cosα.

篇4：锐角三角函数内容解读

一、锐角三角函数的定义

研究锐角三角函数的定义，是将锐角放在直角三角形中，用直角三角形的边之间的比值来定义的. 即如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，则

温馨提示：

（1）弄清“对边”“邻边”“斜边”的含义，这是理解定义的基础. 如在Rt△ABC中，∠C=90°，对∠A来说，BC是对边、AC是邻边，而对∠B来说，BC是邻边、AC是对边，无论怎样，“边”一定要分清.

（2）为了记忆方便，可以用口诀进行记忆，即“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.

（3）从定义可以看出，锐角三角函数的值是随着角度的变化而变化的，当角度固定不变时，无论边怎样变，三角函数的值是确定的.

（4）三角函数的符号是一个整体数学符号，不能看成是sin和A相乘的关系，而是“∠A的正弦”，同加减乘除一样，相当于一个运算符号.

二、特殊角的三角函数值

任意角的三角函数值都可以利用计算器求得，但对于特殊角（即30°、45°、60°）的三角函数值应当熟练掌握，这样便于运用它们进行计算、求值或解直角三角形. 常用的记忆方法有三种：

1. 列表法，就是利用课本上的表格记忆，如下图表格.

2. 寻找规律法，从课本表格中寻找数字间的规律熟练记忆. 如30°、45°、60°的正弦值，分母都是2，分子依次为而余弦值正好反过来；30°、60°的正切值是互为倒数. 为了记忆方便，可以用口诀进行记忆，即“正弦123，余弦321，正切313”.

3. 图形推导法，当记忆不准确时，如图2可在含有特殊角的直角三角形中利用定义进行推导.

温馨提示：特殊角的三角函数值有两层含义：（1）由特殊角的度数可得它的三角函数值；（2）根据特殊角的三角函数值，可求得它的度数.

由于∠A，∠B均为锐角，因此∠A=60°，∠B=60°，则∠C=60°，故选B.

三、学会利用“数形结合”探究性质

由锐角三角函数的定义，利用“数形结合思想”可得以下几个重要性质：

1. 增减趋势：当0°<α<90°时，sinα、tanα随着角度α的增大而增大；cosα随着角度α的增大而减小.

如图3，在Rt△A3BC中，∠C=90°，若设∠BA3C=α，当A3向A2、A1移动时，α增大，这时A3B变小，而BC不变，则sinα的值增大；

当A3向A2、A1移动时，α增大，这时A3C变小，而BC不变，则tanα的值增大；

若设∠A3BC=β，当A3向A2、A1移动时，β减小，这时A3B变小，而BC不变，则cosβ的值增大.

2. 根据三角函数的定义结合图形，还可以得到如下的性质，同学们可以自主探究.

（1）取值范围：

如果0°<α<90°，那么00.

（2）比较大小：

①同名锐角三角函数值的比较，如果0°<α<β<90°，那么sinαcosβ，tanα

②不同名但同角的锐角三角函数值的比较，如果0°<α<45°，那么sinαcosα.

（3）同角三角函数间的关系：

①平方关系：sin2α+cos2α=1；

②倒数关系：tan（90°-α）·tanα=1；

③商式关系：tanα=.

（4）互余两角的三角函数间的关系：cos（90°-α）=sinα，cosα=sin（90°-α）.

篇5：锐角三角函数教学反思

桥头铺中学唐云珍这次授课内容是湘教版九年级上册第四章锐角三角函数的第一课时，锐角三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，因此。学好本节中关于锐角的正弦的定义，对学习余弦，正切有重要的意义。

一．自我评价

1、完成了课堂的教学目标，注重了知识的生成过程本节课采用问题引入法，从教材探究性问题铺设水管的长度入手，用特殊值探究锐角的对边与斜边的比，用学生已知的知识去探究未知的知识，符合学生的认知规律，大部分学生都能动手动脑。给出正弦的定义后，都能正确利用定义去求锐角的正弦。

2、突破了教学的重难点，注重了数学方法的渗透

本节课重、难点在于比值的理解，我是从以下几方面做的：（1）突破角的任意性（从特殊到一般），（2）突破直角三角形大小的任意性（相似三角形性质的运用），使学生逐步认识到：在直角三角形中，对于固定的（30度）的角，无论这个直角三角形大小如何，其对边与斜边的比值始终保持不变。

3.加强了与学生的合作交流，注重突出学生的主体地位每个问题的提出，都由学生去想办法解决，我只是加以引导和总结.教学中，我一直比较关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学，都给予了鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性。

二、反思不足

1在合作探究中留给学生思考的时间过少。想着时间很紧，基本上一环节一环节的没有停顿，有些反应慢点的学生可能还没彻底弄懂，我就进入了下一个环节。

2引导启发学生分析问题的方法还需改进。数学学习最重要的是要学会分析问题的方法，这节课在方法的引导上稍显粗糙。

3对学生的情况准备的不充分。两天前我在九（4）班试讲过一次，当时学生积极思考，踊跃发言，讲课非常顺利，效果很好。现在给九（6）班学生上课，本以为学生素质更高，跟老师的配合应该更好，但没想到学生普遍不举手发言，试着调动了几下没反应，心里就有些着急。这说明我缺乏随机应变、灵活掌控课堂的能力。

4、由于学生的不积极，我马上陷入了另一个问题：讲得过多。

三、课堂重建

1、我将尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩。让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折。

2、时间的安排可以更紧凑些。前面的知识点应在15分钟内讲完，这样后面的问题学生就有更多的思考时间。

3．在教学方法上，采用学生自主交流、合作学习、教师点拨的方式，把主动权真正交给学生，让学生成为课堂的主人。

4．与学生多作交流。用鼓励的眼神，用耐心的启发，而不是心浮气躁的埋怨。

篇6：《锐角三角函数》教学反思

这节课是锐角三角函数的第一节课，是一节概念课，教学目标是让学生认识直角三角形的边角关系，即锐角的四个三角函数的概念。通过集体备课、讲课、作业反馈几个环节，进行以下几方面的反思。

一、数学概念课教学

数学概念教学要使学生明确概念的背景、作用、概念中有哪些规定、限制等问题。

（一）概念的引出

这节课引入锐角三角函数概念的时候，从学生的认知水平出发先提出问题：（1）

如图Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，求AB=？

（2）

如图Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝40°，求AB=? 对于第一个问题，学生在对勾股定理的已有认知基础上，很容易求出AB，但对第二个问题，则不够条件求AB了。从而引出课题。

在教学设计中，针对学生思维的多样性，集备时对课本中的探索进行改动。探索1得出直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比值是唯一确定的。在此基础上，设计一个开放性的探索2。让学生从探索1中得到启发去找找直角三角形中其他两边的比值是否也是唯一确定的。按照集备时的设想，是希望能充分拓展学生思维，找到各种不同的比值，从而比较自然的引出四种比值，即四个三角函数。但是在实际教学过程中，存在两个极端，一部分学生很快找到四个比值。另一部分则感觉摸不着头脑，需要不同程度的提示。在课后反思中，我们打算在下一次教学设计进行修改。对于水平比较低的班级，在探索1得出，通过填空提示学生找出其它两边比值，再进行探索2。

（二）概念讲解

新课标提倡学生自主思考探索，但是数学概念毕竟是需要教师进行讲解，特别是一些规定限制必须由教师强调。这节课上我是结合图形小结等。但还应注意定义的中文说法即还是应该回到汉字，这样有助于学生记忆定义。在下一节课开始的复习，我用了这种方法，发现学生的确容易记忆。

二、教学中注重解题方法的总结本节课有一道例题，是这样设计的

例1：求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.解：在Rt△ABC中，BC=8,AC=15, ∵

∴AB＝ =

＝

sin A=

＝

cos A=

＝

tan A=

＝

篇7：《锐角三角函数》评课稿

1、正确分析现在中考命题的方向、热点及考纲要求，得出有关锐角三角函数考点的知识要点及各种题型，通过课堂教学在锐角三角函数的基本概念及运算等基础知识和基本技能得到相应的发展。

2、本节课采用分阶段，分层次归类复习。

(1) 基本概念领会阶段。学生对概念，公式，定义的理解与掌握。

(2) 基本方法学习阶段。使学生对有关基本技能训练，掌握课本例题类型，能举一反三，触类旁通。

(3) 针对练习阶段。检查学生对基本概念，基本技能的掌握情况。

3、本节课选题方面有以下几个特点。

(1)有针对性，突出重要的知识点和思想方法。

(2)具有一定的应用性，即能考察学生的数学基础知识，又能考察学生的数学应用能力。

(3)富有一定的思考性。有几个例题，有分类思想方法，能锻炼学生思维的灵活性。

(4)有计划地设置练习中的思维障碍，使练习具有合适的梯度，提高训练的效率。

篇8：“锐角三角函数”测试卷

1. 在 Rt△ABC中,∠C=90°,若 tan A=3/4,则 sin A=( ).

A.4/3B.3/4C.5/3D.3/5

2. 已知cosα<0.5,那么锐角α的取值范围是( ).

A. 60°<α<90° B. 0°<α<60° C. 30°<α<90° D. 0°<α<30°

3. 在△ABC中,∠C=90°,则下列关系式中不成立的是( ).

A. a=csin AB. b=ccos AC. b=atan BD. a=btan B

4. 在平面直角坐标系内P点的坐标为(cos30°,tan45°),则P点关于x轴对称点P′的坐标为( ).

5. 在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=1/3,AC=6,则BC的长为( ).

A. 6B. 5C. 4D. 2

6. 某人沿倾斜角为β的斜坡前进100 m,则他上升的最大高度为( ).

A.100/sinβmB. 100sinβ mC.100/cosβmD. 100/cosβ m

7. 已知0°<α<45°,化简得( ).

A. 1-sinαB. 1-cosαC. sinα-cosαD. cosα-sinα

8. 某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮至少要( ).

A. 450a元B. 225a元C. 150a元D. 300a元

(第 8 题 )

二、耐心填一填

9. 在 Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,AC=4,则 sin B=______.

10. 在 Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=4/5,cos A=______.

11.

12. ∠B为锐角,且2cos B-1=0,则∠B=______.

13. 等腰三角形中,腰长为5,底边长8,则底角的正切值是 ______.

14. 如图,沿倾斜角为30°的山坡植树,要求相邻两棵树的水平距离AC为2 m,那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 ______m.(精确到0.1 m)

(第 14 题 )

(第 15 题 )

第 16 题 )

15. 如图,以直角坐标系的原点O为圆心,以1为半径作圆,若P是该圆上第一象限内的点,且OP与x轴正方向所成的角为α,则点P的坐标是 ______.

16. 如图所示,某河堤的横断面是梯形ABCD,BC∥AD,迎水坡AB长13米,且tan∠BAE=12/5,则河堤的高为 ______ 米.

三、专心解一解

17. 计算.

18. 如图,在△ABC中,AB=AC,AB=2BC,求sin B的值.

(第 20 题 )

19. 某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200 m,CD=100 m,求AD、BC的长.(精确到1 m,)

20. 如图,水库大坝的横断面为梯形,坝顶宽6米,坝高24米,斜坡AB的坡角为45°,斜坡CD的坡比为1∶2,则坝底宽BC为多少米?

21. 已知:⊙O的半径是8,直线PA、PB为切线,A、B两点为切点.

(1)如图1,当OP为何值时,∠APB=90°.

(2)如图2,若∠APB=50°,求AP的长度.(结果保留三位有效数字)

(参考数据sin50°=0.766 0,cos50°=0.642 8,tan50°=1.191 8,sin25°=0.422 6,cos25°=0.906 3,tan25°=0.466 3)

(第 21 题1)

(第 21 题2)

参考答案

(第 8 题 )

篇9：“锐角三角函数”测试卷

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）.

A. B. C. D.

2. 已知cosα<0.5，那么锐角α的取值范围是（）.

A. 60°<α<90° B. 0°<α<60° C. 30°<α<90° D. 0°<α<30°

3. 在△ABC中，∠C=90°，则下列关系式中不成立的是（）.

A. a=csinA B. b=ccosA C. b=atanB D. a=btanB

4. 在平面直角坐标系内P点的坐标为（cos30°，tan45°），则P点关于x轴对称点P′的坐标为（）.

A. ，1 B. -1，

C. ，-1 D. -，-1

5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=6，则BC的长为（）.

A. 6 B. 5 C. 4 D. 2

6. 某人沿倾斜角为β的斜坡前进100 m，则他上升的最大高度为（）.

A. m B. 100sinβ m C. m D. 100cosβ m

7. 已知0°<α<45°，化简得（）.

A. 1-sinα B. 1-cosα C. sinα-cosα D. cosα-sinα

8. 某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）.

A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元

二、耐心填一填

9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB=______.

10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，cosA=______.

11. sin60°×cos45°=______.

12. ∠B为锐角，且2cosB-1=0，则∠B=______.

13. 等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是______.

14. 如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2 m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为______m. （精确到0.1 m）

15. 如图，以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆，若P是该圆上第一象限内的点，且OP与x轴正方向所成的角为α，则点P的坐标是______.

16. 如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高为______米.

三、专心解一解

17. 计算.

（1） sin45°+cos30°·tan60°-；

（2） sin245°-cos60°-+2sin260°·tan60°.

18. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB=2BC，求sinB的值.

19. 某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，≈1.732）

20. 如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡比为1∶2，则坝底宽BC为多少米？

21. 已知：⊙O的半径是8，直线PA、PB为切线，A、B两点为切点.

（1）如图①，当OP为何值时，∠APB=90°.

（2）如图②，若∠APB=50°，求AP的长度.（结果保留三位有效数字）

篇10：《锐角三角函数》教学计划

(一)引课

1 、请同学们回忆一下，以前测量旗杆高度的方法，并说明这些方法的理论依据是什么?(相似三角形对应边成比例)

2 、问题：如果观测的角是任意的锐角，能否求出旗杆的高度呢?要解决这个问题，只要学完三角函数这节内容，你们就可得到答案。

(二)新课

1、① Rt △ ABC 中，∠ C=90° ，各边名称是什么?一般用什么字母表示，学生回答，老师在图形中标明。

2 、在以上测量旗杆高度的各种方法中，那些量是改变的，哪些量是不变的，它们之间有何联系?

学生活动：

学生思考，分组讨论，并归纳出以下结论(如果学生有缺漏，教师可点拨，同时鼓励表扬)：

(1)、在 Rt △ ABC 中，当∠ A 不变时，三角形的形状可以改变，即各边可改变大小，但任两边的比值不变。

(2)、当∠ A 取其他固定值时，任两边的比值也有唯一确定值与之对应。

3、三角函数定义：由∠ A 取每一确定值，∠ A 的对边与斜边的比值有唯一确定值与之对应，我们把这两个变量之间这种函数关系用符号 “Sin” 表示即： SinA= ∠ A 的.对边 / 斜边

同理得出： COSA= ∠ A 的邻边 / 斜边tanA= ∠ A 的对边 / ∠ A 的邻边cotA= ∠ A 的邻边 / ∠ A 的对边

学生练习：

(1)、写出∠ B 的四个三角函数

(2)、说出 SinA ， cosA ， tanA ， coSA 值的范围，求 tanA.cotA= ?

4、例题讲解：

例 1 、( P108 )由学生回答解题思路，再由学生自主完成。

(三)巩固练习：P108 第 2 题 P109 第 3 题

(四)随堂练习

在 Rt △ ABC 中，已知 sinA=4/5 ，求∠ A 的其他三角函数值，学生板书。

(五)课堂小结：(由学生完成，教师讲解、归纳、补充)

1 、了解三角函数是解决实际问题的一种方法。

2 、理解并熟记三角函数的定义。

篇11：锐角三角函数公式和面积公式

正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边

余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边

正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边

余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边

面积公式

长方形，正方形以及圆的面积公式

面积公式包括扇形面积共式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。

扇形面积公式

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：

S＝nπR^2÷360

比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：

C＝2R＋nπR÷180

＝2×1＋135×3.14×1÷180

＝2＋2.355

＝4.355(cm)＝43.55(mm)

扇形的面积：

S＝nπR^2÷360

＝135×3.14×1×1÷360

＝1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

扇形还有另一个面积公式

S=1/2lR

其中l为弧长，R为半径三角形面积公式

任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边。

证明：证一勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z)= xyz ④ 如图可知：a＋b－c =(x+z)＋(x+y)－(z+y)= 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz

圆面积公式

设圆半径为：r 面积为：S

则面积 S= π·r ² π 表示圆周率

既圆面积等于圆周率乘圆半径的平方

弓形面积公式

设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：

当弧AB是劣弧时，那么S弓形＝S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。

当弧AB是半圆时，那么S弓形＝S扇形＝1/2S圆＝1/2×πr^2。

当弧AB是优弧时，那么S弓形＝S扇形＋S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）

计算公式分别是：

S＝nπR^2÷360－ah÷2

S＝πR^2/2

S＝nπR^2÷360+ah÷2

椭圆面积计算公式

椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

菱形面积公式

定理简述及证明

菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

菱形的面积也可=底乘高

抛物线弓形面积公式

抛物线弦长公式及应用

本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：

抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

定理直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y2=2Px截得的弦AB的长度为

∣AB∣= ①

证明由y=kx+b得x=代入y2=2Px得y2－+=0

∴ y1+y2=,y1y2=.∣y1－y2∣==2，∴∣AB∣=∣y1－y2|=

当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2)，于是得出下面推论:

推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y2=2Px截得的弦

AB的长度为

∣AB∣=P(1+k2)②

在①中,由容易得出下面推论:

推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y2=2Px

Ⅰ)当P＞2bk时,l与C交于两点(相交);

Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);

Ⅲ)当P＜2bk时,l与C无交点(相离).定理应用

下面介绍定理及推论的一些应用:

例1(课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x2截得的线段的长?

分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.解曲线方程可变形为x2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－，即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.例2 求直线2x+y+1=0到曲线y2－2x－2y+3=0的最短距离.分析:可求与已知直线平行并和曲

线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.解曲线可变形为(y－1)2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方

程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0.∴.故所求最短距离为.例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.解曲线可变形为(y+1)2=x+1

(x≥－1,y≥－1),则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.例4 抛物线y2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.解设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=，|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y2=x.例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

解以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=，已知|PQ|=b,k2=.∵k2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=，∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.常见的面积定理

1．一个图形的面积等于它的各部分面积的和；

2．两个全等图形的面积相等；

3．等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；

4．等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；

5．相似三角形的面积比等于相似比的平方；

篇12：锐角三角函数的应用教学设计

乾县长留初中张莉

教学目标：将已知元素和未知元素归结为直角三角形中元素之间的关系，运用直角三角形的有关知识（如三角函数等）解决问题。

过程与方法：经历把某些实际问题中量与量之间的关系转变成数学模型中量与量的关系，进一步培养学生的建模能力，在解决问题的过程中体会“数形结合”的思想方法。

情感与态度：感悟数学来源于生活，应用于生活的真理，培养实际操作能力和建构能力关注每一位学生参与数学活动的程度，自信心，使每位学生体验到成功的快乐。

一．知识回顾：

直角三角形的边角关系：

1）两锐角关系：———————— 2）三边之间的关系：—————————— 3）边角之间的关系——————————— 二．问题解决

问题一：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？(结果精确到0.1 m，参考数据：1.73)

≈

问题二：如图所示，再一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离。

变一变：如图，海上有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，在D点测得小岛A在北偏东30°，如果渔船继续向正东方向行驶，问是否有触礁的危险？

解析：过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．

解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，∴∠BAD=60°-30°=30°，∠∴∠ABD=∠BAD，∴BD=AD=12海里，∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，∴CD= 1 2 AD=6海里，由勾股定理得：AC= 122-6

2=6

ABD=90°-60°=30°，3 ≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．

三、拓展延伸

用本节课的知识怎样测量停留在空中的气球的高度呢？（仪器：卷尺测角仪）四：小结

谈谈本节课你有哪些收获？

五：作业布置

锐角三角函数复习（说课稿）

乾县长留初中张莉

教材分析：锐角三角函数是九年级数学下册第一章内容，它是中招考试的重要考点，在中学数学中占有举足轻重的地位。

复习目标：1.掌握锐角三角函数的基本知识,能利用解直角三角形的有关知识，解决生活中的实际问题；

2.进一步体会锐角三角函数的应用，提高数形结合、分析、解决问题的能力及应用数学的意识。

复习重点：锐角三角函数概念及性质的应用。复习难点：把实际问题转化为数学问题。教学流程：

一、复习回顾：

1、锐角三角函数的定义，及跟踪练习，这一练习旨在巩固学生对锐角三角函数概念的理解。复习回顾

2、特殊角的三角函数值及相应练习旨在检查学生对特殊角三角函数值的记忆情况。复习回顾

3、解直角三角形，复习直角三角形边角关系应用解直角三角形的知识解决实际问题培养学生的建模能力技术型结合思想，感悟数学源于生活，应用于生活的真理。

二、课堂反馈：以实际问题作为检测，使学生明白把实际问题转化成数学问题（解直角三角形的问题）选用恰当的关系求出问题的答案。

三、小结并布置作业

教后反思：学生有积极性，但语用知识不够熟练，计算速度慢部分学生基本概念和基本知识点记忆不准确。教师在教学中应给予学生足够时间让学生完成知识的构建。《锐角三角函数的应用》说课稿

乾县长留初中张莉

说教材：本节课是在学习了锐角三角函数的概念，锐角三角函数值的求法的基础上进一步阐述三角函数在生活中的应用。

教学目标：将已知元素和未知元素归结为直角三角形中元素之间的关系，运用直角三角形的有关知识（如三角函数等）解决问题。

教学方法：体现以教师为主导，学生为主体的思想，深化课堂教学改革。教学流程：

1.复习引入、复习直角三角形边角关系及生活中的相关角，为解决后面的问题做铺垫。

2.问题探究：通过两组问题的探索引导学生如何应用锐角三角函数解决实际问题，培养学生的建模能力及数形结合的思想，感悟数学源于生活应用于生活的真理，通过变式练习启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性及灵活运用知识的能力。3.小结：用锐角三角函数解决实际问题的一般步骤就是将实际问题转化成数学问题（解直角三角形的问题）选用恰当的关系求出数学问题的答案从而也就得到了实际问题的答案。

4.作业布置

最后用一句话结束了本节课的内容：愿同学们拥有一双能用数学视觉观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑。

篇13：锐角三角函数的应用分类例谈

第一类:“穿越型”

例1如图所示, A, B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段AB) , 经测量, 森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心, 50 km为半径的圆形区域内.请问:计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么?

分析1.这是我们做的第一道题, 问的是会不会穿越保护区?所以我美其名曰“穿越型”.

2.知道这是一道三角函数题, 所以要找直角三角形, 如果没有要会构造直角三角形, 也就是会使用辅助线:过点P作PM垂直AB于点M.

3.在Rt△AMP和Rt△BMP中, 选择适当的三角函数就可以解决问题了.

篇14：“锐角三角函数”学习要点

一、认识四个基本概念

本章涉及的基本概念有正切、正弦和余弦以及解直角三角形.

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分别是∠A的对边和邻边，我们把∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=.

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=.

把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=

从正切、正弦和余弦的概念可以看出：在Rt△ABC中，∠C=90°，和的值都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而惟一确定.

例1 （2015·曲靖）如图2，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，连接AC，BD. 若AC=2，则cosD=_______.

【解析】连接BC，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，cosA∵∠D=∠A，

∴cosD=cosA=，所以本题答案为.

【说明】本题应用圆周角的性质将∠D转化为∠A，使其转化到直角三角形ABC中，再应用余弦的概念求得结果.

由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外的5个元素，至少知道包含1条边的两个元素就可以确定直角三角形中其余未知元素的值.

例2 如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC平分线，AD=20.求AB的长.

【说明】本题借助锐角三角函数的概念，使问题化归到直角三角形中，应用直角三角形的边角之间的函数关系，根据问题中的已知元素求得未知元素.

二、熟记三个特殊值

利用特殊的等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形的性质，我们可以求得30°、45°、60°的三角函数值（如下表）.

从表格中我们可以发现：sin30°、sin45°、sin60°值的分母都是2，分子可以看成是、、，正弦值随角度的增大而增大；cos30°、cos45°、cos60°值的分母都是2，分子可以看成是、、，余弦值随角度的增大而减小；tan30°·tan 60°=tan45°=1，正切值随角度的增大而增大.

例3 （2015·武威）已知α，β均为锐角，且满足sinα-+=0，则α+β=______.

【解析】∵sinα-+=0，

可得：sinα-+tanβ-1=0，

∴sinα=，tanβ=1，

∴α=30°，β=45°，

∴α+β=75°，所以本题答案为75°.

【说明】本题是一道考查同学们对特殊角的三角函数值和非负数的性质掌握的问题，解答这类问题，需要同学们熟练掌握特殊角的三角函数值.

三、掌握锐角三角函数解决实际问题

解直角三角形的知识广泛应用于测量之中，主要用于计算距离、高度和角度.

例4 （2015·衡阳）如图4，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）.

A. 50 B. 51

C. 50+1 D. 101

【解析】根据题意可知：

∠ACE=30°，∠AEG=60°，CE=DF=100（米）.

我们不妨设EG=x米，在Rt△AEG中，

∵∠AEG=60°，

∴AG=x；

在Rt△ACG中，

∵AG=x，∠ACE=30°，

∴CG=x·=3x.

∵CE=DF=100，

∴x+100=3x，解得x=50，

∴这个电视塔的高度AB=AG+GB=50+1（米），所以本题答案为C.

【说明】本题以测电视塔的高度为背景，考查解直角三角形的应用能力，求解时抓住图形中两个直角三角形的公共边建立相等关系式是解题的关键.

例5 （2015·遵义）如图5，是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°，求DM和BC的水平距离BM的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【解析】设BM为x米，则DF=BM=x.

∵Rt△CFD中，∠CDF=45°，

∴CF=DF·tan45°=DF=x，

∴BF=BC-CF=4-x，

∴EN=BF=4-x.

∵Rt△ANE中，∠EAN=31°，

∴AN=≈=（4-x）.

∵AN+MN+BM=AB，MN=DE=1，

∴（4-x）+1+x=6，解得x=2.5.

答：DM和BC的水平距离BM的长度约为2.5米.

【说明】本题是一道典型的解直角三角形的应用问题，需要把实际问题转化为数学模型来解决.解决与直角三角形有关的应用题最常用的方法是作垂线，构造直角三角形，根据所给数据，选用恰当的三角函数求出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求解.

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