关键词： 微积分
概率积分（精选三篇）
概率积分 篇1
1 集合在概率论中的应用
勒贝格积分建立了测度论与集合论之间的关系, 从而有了概率论, 而集合论与微积分之间是源和流的关系, 可以说是微积分加速推动了概率论的形成。
概率论的主要研究对象是随机试验, 随机试验的结果不唯一, 把其所有结果组合在一起就构成了一个集合, 也就是样本空间, 我们关注的随机事件便成了这个集合的子集, 本质上还是集合, 后面便顺理成章的用集合间的关系与运算来处理事件间的关系与运算, 早期数学家们研究的古典概型也是有限集合的应用, 集合论的渗透使得概率论得到了突飞猛进的发展。
2 函数在概率论中的作用
概率论中无处不渗透着微积分中的函数思想。
(1) 随机事件。A是一个集合, 事件A发生的概率P () A就是定义在事件集上的一个集函数。
(2) 随机变量X是定义在样本空间上的一个集函数, 是概率论最重要的概念之一, 它实现了从样本空间到实数的一个过渡, 从某种程度上结束了概率的古典概型时代, 把概率论推上了更加宽广的道路。
(3) X为一个随机变量, x为一个实数, 函数F (x) =P{X≤x}称为X的分布函数, 此函数也是概率论的又一重要概念, 它描述了X的取值规律性, 并且具有非常好的函数性质:单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导等, 因此微积分中的很多函数方法便可以顺利的进入概率论领域, 此外连续型随机变量的概率密度f (x) 也是概率论引入的另一重要函数。
概率, 随机变量, 分布函数与概率密度都是函数, 在这些对应关系下, 概率论的研究道路越走越顺畅, 这也是微积分对概率论起到的至关重要的作用。
3 积分、微分在概率论中的作用
连续型随机变量最大的亮点就是引入了概率密度函数f (x) , 建立了概率与f (x) 的关系, 此关系的也可用分布函数F (x) 与f (x) 同时来表示:在f (x) 的连续点上, 对上述表达式求导, 即得:
因此, 概率论中连续型随机变量的相关问题从某种程度上转为了微积分问题, 比如, 连续型随机变量的概率, 数学期望, 方差等定义及其计算全部用微积分解决。
4 微积分的计算方法在概率论中的作用
概率论的很多问题均转化为微积分问题, 所以一些微积分计算方法便在概率论中得到了应用, 现举例说明。
例1:设X服从参数为λ的poisson分布, 求其数学期望E (X) 。
解:法一利用微积分中特殊函数的展开式。
根据题意:
可得E (X) =λe-λeλ=λ
法二运用逐步微积分法。
利用离散型随机变量分布律的性质:
两边对λ求导, 并由此幂级数的可交换性可得:
所以D (X) =λ
例2:随机变量X服从参数为θ的指数分布, 其概率密度求其数学期望E (X) 及方差D (X) 。
解:法一用分部积分法求。
法二用逐步微分法求。
5 微积分在概率论中的其它一些应用
(1) 分布函数F (x) 的性质:F (+∞) =, 1F (-∞) =, 0看似两个简单的结论, 其实严格证明还得用到微积分的极限问题;概率论中的大数定律与中心极限定理用到的也是微积分中的极限。
(2) 概率论中多维连续型随机变量的函数的概率分布是一个难点, 但引入合适的雅可比行列式可以将复杂的问题简单化。
(3) 微积分中的一些特殊函数在概率论中也有着广泛应用, 如Gamma函数, 借用它, 我们定义了概率论中的两个重要分布:Γ分布与χ2分布。
微积分有着几百年的历史, 已经非常完善, 也许这也是为什么数学家们用微积分解决概率论问题的原因之一, 微积分确实推动了概率论这门学科的快速发展。反之, 概率论的很多思想也可以用于解决复杂的微积分问题, 希望我们可以发现更多的方法, 用于两者的共同发展。
摘要：针对概率论为微积分的后续课程这样一个教学实际, 分析两门课程之间的关系, 研究微积分对概率论的渗透作用, 通过实例等方法说明了微积分在概率论中的几点应用。
关键词：集合,函数,随机变量,分布函数,积分,微分
参考文献
[1]王大胄.例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用[J].沈阳工程学院学报:自然科学版, 2008, 4 (3) :283-286.
[2]刘淼.概率论与数学分析知识的相互作用[J].伊犁师范学院学报, 2006, 9 (3) :5-9.
[3]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].第三版.北京:高等教育出版社, 2005:124
带干扰的积分高斯过程的破产概率 篇2
本文研究了带干扰的积分高斯过程的破产概率.利用经典大偏差的.方法,在一定的条件下,得到了相应概率的对数渐近式及测度族的大偏差原理.结果表明在不带干扰的情形下与已有结果一致.
作 者：何晓霞 胡亦钧 HE Xiao-xia HU Yi-jun 作者单位：何晓霞,HE Xiao-xia(武汉科技大学理学院,湖北武汉,430081)
胡亦钧,HU Yi-jun(武汉大学数学与统计学院,湖北武汉,430072)
概率积分 篇3
多年来煤炭高强度开采,使中国南方矿区赋存条件较好的煤层越来越少,从而使“三下”压煤和急倾斜煤层的开采加速。这些地区的煤炭开采更容易引发地质灾害。目前,对“三下”压煤和急倾斜煤层的开采通常采用充填开采的方式来保护地表建构筑物[1~5],但由于充填技术的局限性,采空区充填密实度不高,巷道顶板的稳定性和安全系数还较低,导致地表变形较大,还需要采取必要措施对开采地表进行科学的监测预报与防治[6~9],降低开采沉陷等对生产安全的危害。
开采沉陷预计是在开采前,根据其地质条件、开采、监测数据和预计模型,预测出开采地表移动变形的大小与范围,对地表建构筑物造成危害程度进行评估。我国学者刘宝琛、廖国华以随机介质理论方法为基础,根据矿区实际地质条件,发展了概率积分法。概率积分法适用于水平和倾斜煤层半无限开采条件下的地表移动变形计算,在煤层开采后达到充分采动状态下预计精度较高,对于采动程度较低的采区,其预计偏差较大,需通过对预计参数进行修正[10~12]。随着计算机技术的发展,采用GIS组件半底层开发模式,可以研制出矿山地理信息系统[13~15],实现对岩层移动变形预计的智能分析和三维模拟。
1 开采沉陷预计理论方法
概率积分开采沉陷预计以随机介质理论为基础,把地表岩层移动看作服从统计规律的随机过程,把整个开采区域分解为无限个微小开采单元,则开采对岩层及地表的影响就等同于无限个微小开采单元对岩层及地表所造成的影响之和。因此,整个开采引起的地表沉陷就可以用概率密度函数[16]来表示。具体分量可用以下5种函数模型表示:
(1)地表下沉模型:
式(1)中,Wcm为地表充分采动时的最大下沉值(mm),D为开采区域,r为主要影响半径(m),(x,y)为计算点的平面坐标,η,ξ为采出后地表下沉矿体微元量,下同。
(2)地表倾斜模型:
(3)地表形变曲率模型:
(4)地表水平位移模型:
(5)地表水平形变模型:
要准确预计地表移动与变形,开采沉陷预计参数是基础,计算所需的地质、开采技术条件数据及参数为:计算点坐标(x,y),煤下沉系数q,水平移动系数b,主要影响移动角θ0,主要影响角正切tanβ和拐点偏移距S。开采沉陷预计参数取值的准确性决定了地表移动变形的预计精度。目前,参数确定主要是根据观测站实测资料、开采覆岩经验值确定,预测参数实测值是地表变形移动长期观测结果,观测难度大且需长时间连续观测得到,求取参数后,运用概率积分就可以对采区进行变形预计。
2 唐洞煤矿开采沉陷综合监测预警实现
2.1 矿区概况及监测点位布置
湖南唐洞煤矿八一井21采区走向长860m,倾向长810m,煤层平均厚度2.3m,平均开采深度400m,采区正上方为高山及矸石山,西部靠近工业广场,工人村及仙脚下村等主要生产生活区,西北部为一小型水库。24采区走向长610m,倾向长570m,煤层倾角为30°,24采区目前只开采了2424工作面(二煤)和2446工作面(四煤),两个工作面有部分叠加,采区上方有许三铁路,唐石公路及中间大部分水田和部分建筑群等附属设施。唐洞煤矿出露地层岩性主要以砂岩,砂砾岩及新生代松散土层为主,覆岩类型总体属于中硬,水文地质条件简单。
采区通过地表水准测量、GPS、裂缝观测等获得实测数据,每年四次定期对观测点进行观测。为确保生产安全,对采区八一井调度中心、洗煤车间厂房、煤槽、餐厅、机修厂、仙脚下山村民宅和砖厂等主要建构筑物分别布设观测点。在21采区,在唐石公路、许三铁路及厂区内运煤铁路的路基重点布设观测点,对唐煤工业广场东北侧的小型水库,在堤坝布设观测点,采区内共计布设监测点311个。24采区,在唐石公路、乡间道、建筑物墙上及许三铁路等采动影响区布设观测点,采区内共计布设监测点170个。
2.2 采区工作面开采沉陷预计及评价
采区数据包括空间数据和属性数据。空间数据需要统一到同一坐标系下,对CAD格式的图形数据可以利用Arc GIS将其转换成shp格式文件,属性数据可以采用数据库分类进行存储。
基于概率积分法预计方法,利用21与24采区钻孔分层岩性经验值,可得21与24采区工作面概率积分所需参数,如表1所示。
基于GIS理论与方法,开采沉陷预计可以调用以文本格式存储的网格控制参数和工作面的计算参数,用概率积分法实现开采沉陷预计的快速计算,并且自动实现参数及预计结果的自动存储和格式批量转换。开采沉陷预计模块如图1所示。
表1 21与24采区工作面概率积分法预计参数Table 1 Probability integration method parameters of 21 and 24 area
图1 开采沉陷预计模块Fig.1 Mining subsidence prediction module
用户通过界面对概率积分法预计所需的网格及工作面参数进行输入,并自动提交保存在文本文档中。模块中的网格控制参数主要控制计算格网的大小,预计点之间的间隔及计算方位。工作面计算参数主要指概率积分法需要的预计参数及工作面的角点坐标。
2.2.1 24采区工作面开采沉陷预计及评价
在24采区井上下对照图中获取工作面的角点坐标,设起算点X坐标为3844500,Y坐标为2876500。预计格网XY方向为201*301,网格间距为20m。利用系统分别求取走向和倾向方向上的下沉、倾斜、曲率、水平移动和水平变形五个变形指标。预计格网在倾向方向上的预计结果如表2所示。
等值线是对矿山开采对地表移动变形现象分析解译的一种表达方式。系统将程序计算的地表移动变形值自动保存在文本文档中,用Excel软件对预测结果数据类型和格式进行编辑,利用Arc GIS对预计格网数据克里金插值后生成等值线。将等值线和采区井上下对照图进行叠加得到沉降地表形变图,如图2所示。
根据矿区监测点数据特点及监测点位情况,分别选取许三铁路沿线、唐石公路沿线及铁路与公路之间小路上的具有代表性监测点的实测数据和概率积分法预计值进行对比与分析,对比结果如表3所示。
表2 预计格网在倾向方向的预计变形值Table 2 Predicted data of predicted grid on the dip direction
图2 24采区沉降沉降地表形变图Fig.2 Subsidence topographic map of 24 area
目前,24采区开采时间较短,而且还处在继续开采状态,开采后的工作面未达到充分开采状态,从表3中可以发现,实测值普遍小于预计值,实测值同预计值的变化规律相似。乡间路上的监测点沉降值从铁路向公路方向越靠近开采工作面区域呈现递增趋势。
采区工作面位于唐石公路正下方,从唐石公路水准测量数据中可得,唐石公路监测点沉降值较其他监测点偏大,在0到18mm之间,而且根据观测点的排列位置及实测下沉值,图3中实测值曲线变化趋势如同一凹陷盆地,同唐石公路所处沉陷盆地的预计值变化趋势相似,符合开采沉陷规律。
24采区目前仅开采两个工作面,而且未达到充分采动条件,因此,地表移动变形仍在继续,最大地表变形值随着相邻工作面的开采会继续增大。采区沉陷范围内大部分为农田,开采沉陷后会造成一定程度的水土流失,地形不会造成大幅度的变化。
表3 24采区实测值与预计值对比Table 3 Comparing the measured value and the predicted value of 24 area
图3 唐石公路实测点变化曲线图Fig.3 The measured value change curves of Tangshi road
2.2.2 21采区工作面开采沉陷预计及评价
利用开采沉陷预计模块对21采区进行开采沉陷预计,设定起算点X坐标为3844100,Y坐标为2874200,预计格网参数不变,角点数及坐标从井上下对照图中提取,预计格网在走向方向上的部分地表变形值如表4所示。
将21采区的预计结果利用Arc GIS对预计结果进行等值线绘制,以10mm的点作为沉降盆地的边缘,100mm为等高距绘制等值线图,在21采区形成3个沉降盆地。将等值线图同井上下对照图进行叠加,对21采区的开采造成的地表影响进行综合分析。叠加后的沉降地表形变图如图4所示。
21采区的沉陷监测较早,自2003年至目前已有多期实测水准数据。根据矿区监测点的位置选取代表性的监测点实测数据同预计数据进行比较,如表5所示,选取的代表性监测点基本覆盖矿区主要建筑物及公路铁路等主要监测地物。
表4 预计格网在走向方向的预计变形值Table 4 Predicted data of predicted grid on the stike direction
图4 21采区沉降沉降地表形变图Fig.4 Subsidence topographic map of 21 area
从表5中实测数据来看,靠近采区的沉降值偏大,自东向西沉降值呈递减趋势。21采区内工作面南部开采区域较早,现在已趋于达到充分采动状态,实测值变化量逐渐减小,且和预计值比较接近;北部靠近仙脚下山村及水库上方工作面开采较晚,目前仍处于回采阶段,未达到充分采动,地表变形活动仍在继续,部分点实测值时间序列形变值情况如图5所示。水库及砖厂监测点沉降严重,离预计值偏差较大,需多加强观测,掌握其移动变形规律,及时掌握形变信息。
2.3 基于Arc Engine的矿山沉陷监测预警系统
根据唐洞煤矿实测资料,对矿区进行开采沉陷预计和预警。系统查询功能主要分为以测点所处位置和测点建立时间条件,对符合所选条件的点进行高亮显示。将预处理后的多期水准高程数据Excel表批量输入,导入后台数据库。计算数据库中测点的最终高程变化值,并将此值赋予每个点属性表沉降值中。根据测点的不同位置设置测点所处地物(铁路、地面、房屋)的报警阈值,报警阈值需要根据相关规范进行综合评定。
表5 21采区实测值与预计值对比Table 5 Comparing the measured value and the predicted value of 21 area
图5 实测值时间序列变化趋势图Fig.5 Measured value change trend chart
系统采用界面交互方式对阈值进行灵活输入。设定阈值后,系统分别用沉降值列表中的数据和预警阈值进行比较,根据沉降值的大小划定等级,根据每个点的差值进行等级分类,共分为正常、轻度预警、中度预警及重度预警四级。分类计算后预警点进行高亮显示。
将基于GIS和概率积分法的预计等值线在系统中进行叠加,如图6所示。可以查看区域性采区可能造成的潜在危害,同时结合单个沉降点的沉降数据对整个监测区域的沉降情况进行可视化表达。
图6 监测区沉降可视化表达Fig.6 The subsidence visualization of monitoring area
3 结语
