线性膨胀系数模型

线性膨胀系数模型（精选九篇）

线性膨胀系数模型篇1

1. 引言

考虑线性回归模型: y = Xβ + e,E( e) = 0,Cov( e) =σ2In. ( 1. 1)

其中,为n×1随机观测向量,X为n×p的设计矩阵且已中心化和标准化,rank( X) = p,β为p×1的未知参数向量,e为n×1随机误差向量,In为n阶单位矩阵. 存在p×p正交矩阵Φ使得X'X = ΦΛΦ',其中Λ = diag( λ1,λ2,…, λp) ,Φ = ( φ1,φ2,…,φp) ,这里λ1≥λ2≥…≥λp为X'X的特征值,φ1,φ2,…,φp为对应的标准正交化特征向量. 令: Z = XΦ,α = Φ'β,则得到线性回归模型( 1. 1) 的典则形式:

y = Zα + e,E( e) = 0,Cov( e) = σ2In.( 1. 2)

α的LS估计为: 从而原始参数β的LS估计为当设计矩阵X的列向量之间出现复共线关系时,称模型( 1. 1) 为病态线性回归模型. 由文献可知,当且仅当X'X存在很小特征值时模型出现病态. 不妨假设非常大. 因而在均方误差意义下LS估计不再是一个好的估计. 为了解决这个问题,统计学家们做了大量工作. 目前应用最为广泛的有两种方法: 一是Hoerl和Kennard于1970年提出的岭估计. 对模型( 1. 1) ,回归系数β的岭估计定义为: 二是主成分估计. 岭估计是以牺牲无偏性换取方差部分的大幅度减小,达到最终降低其均方误差的目的. 但从上述分析可知,真正使得LS估计变坏的原因在于λr +1,…,λp很小, 因而增大λr +1,…,λp是有必要的. 对于主成分估计,虽然后面p - r个主成分对因变量影响较小,但毕竟是影响y的一些因素,若轻易剔除,显然有失真之弊. 为了弥补这些不足,本文提出主成分—岭估计的设想.

2. 主成分 — 岭估计的定义

( 1 - c) y = Z 2 α 2 +e/ 2. ( 2. 2)

其中E( e) = 0,Cov( e) = σ2In,c的取值可根据实际需要预先取定. 易见,以上几个模型本质是相同的.

定义: 在模型( 2. 2) 中,回归系数α =(α1,α 2 )T的主成分—岭估计估计定义为:

3. 主成分 — 岭估计的基本性质

引理1 α1,α2的估计α*1,α*2( k) 具有下列性质: ( 1) c'α* 1是c'α1的最佳线性无偏估计; ( 2) α*2( k) 是α2的一个有偏估计;

引理2 β*具有以下基本性质: ( 1) β*是最小二乘估计向原点的一种压缩,且存在k > 0,使得β*是岭估计向原点的一种压缩; ( 2) β*比岭估计具有更小的偏差.

线性膨胀系数模型篇2

线性回归模型系数的一个新的有偏估计

针对引起线性回归模型病态的根本原因,提出回归系数的S-R估计,讨论其均方误差的最优化,对有偏估计的改进进行研究.证明可以选择参数,使它在均方误差的意义下优于系数的Stein估计和LS估计,给出参数的最优值.然后讨论其偏差,证明它的`可容许性.

作者：杨斌张建军 YANG Bin ZHANG Jian-jun 作者单位：杨斌,YANG Bin(海军工程大学,管理工程系,湖北,武汉,430033)

张建军,ZHANG Jian-jun(海军工程大学,理学院,湖北,武汉,430033)

刊名：兵工自动化 ISTIC英文刊名：ORDNANCE INDUSTRY AUTOMATION 年，卷(期)：2009 28(11) 分类号：O316 关键词：有偏估计广义c-K估计岭估计广义岭估计均方误差可容许性

线性膨胀系数模型篇3

关键词：约束线性回归模型,约束最小二乘估计,条件广义岭估计

考虑带齐次线性等式约束的线性回归模型

Y=Xβ+ε,ε～(0,σ2In),Rβ=0 (1)

(1)式中Y为n×1的观测向量,X为n×p的设计矩阵,R为q×p的矩阵,ε为n×1的随机误差向量,In为n阶单位矩阵, $β \in B \overset{Δ}{=} {β : R β = 0}$ 为未知回归系数向量,σ2>0为误差方差。秩(X)=p,秩(R)=q。β的约束最小二乘(RLS)估计为

$β_{R}^{*} = \hat{β} - (X^{'} X)^{- 1} R^{'} (R (X^{'} X)^{- 2} R^{'})^{- 1} R \hat{β} (2)$

(2)式中 $\hat{β} = (X^{'} X)^{- 1} X^{'} Y$ ,它在约束Rβ=0下是β唯一的BLU估计。文献[1,2]给出了不同的条件岭估计并讨论了其优良性。本文给出了一种新的条件广义岭估计,并讨论了它的优良性。

1 条件广义岭估计

定义1 对于约束线性回归模型式(1),称由下式给出的 $\hat{β}_{R} (k)$ 为β的条件广义岭估计

$\hat{β}_{R} (Κ) = \hat{β} (Κ) - S_{k}^{- 1} R^{'} (R S_{k}^{- 1} R^{'})^{- 1} R \hat{β} (Κ) (3)$

(3)式中 $\hat{β} (Κ) = (X^{'} X + Κ)^{- 1} X^{- 1} Y ‚ Κ = d i a g (k_{1}, k_{2}, \dots k_{p}) ‚ S_{Κ} = X^{'} X + Κ$ 。显然条件广义岭估计是一个很大的估计类,且 $\hat{β}_{R} (0) = β_{R}^{*}$ 。

定理1 对于条件广义岭估计,有 $\lim_{\min} (k_{i}) \to \infty \hat{β}_{R} (k) = 0$ 。

证明设MK=S $_{k}^{- 1}$ -S-1kR′(RS-1kR′)-1S $_{k}^{- 1}$ ,则MK可以写成如下形式

$Μ_{Κ} = (Q S_{Κ} Q)^{+} = V (\begin{matrix} (\land + Κ_{p - m})^{- 1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) V^{'}$

,其中Q=Ip-R′(RR′)-1R ,∧是QX′XQ的个非平凡特征根组成的对角矩阵,V是一个正交矩阵。对于(3)式所给出的 $\hat{β}_{R} (Κ)$ 可以写成 $\hat{β}_{R} (Κ) = Μ_{Κ} X^{'} Y$ ,而对于MK当min(ki)→∞时MK=0,此时有 $\hat{β}_{R} (Κ) = 0$ 即 $\lim_{\min} (k_{i}) \to \infty \hat{β}_{R} (Κ) = 0$ 。

2 条件广义岭估计的优良性

将约束线性回归模型式(1)化为其典则形:

Y=Zα+ε,ε～(0,σ2I),Lα=0 (4)

(4)式中Z=XQ,α=Q′β,L=RQ,Q为X′X的标准正交化特征向量组成的正交阵,Z′Z=Q′X′XQ=∧=diag(λ1,λ2,…,λp)称α为条件典则参数, α的岭估计为 $\hat{α} = (Ζ^{'} Ζ)^{- 1} Ζ^{'} Y = \land^{- 1} Ζ^{'} Y, α$ 的条件BLU估计为

α*L=

(Z′Z)-1-(Z′Z)-1L′(L(Z′Z)-1L′)-1L(Z′Z)-1]ZY (5)

由定义1可知, α的条件广义岭估计为

$\hat{α}_{L} (Κ) = \hat{α} - S_{k}^{- 1} L^{'} (L S_{k}^{- 1} L^{'})^{- 1} L \hat{α}$ ,

设 m(K)= MSE(α,αL(K)),则有

$\begin{array}{l} Μ S E (α ‚ α_{L} (Κ)) = \\ σ^{2} \sum \frac{λ_{i}}{(λ_{i} + k_{i})^{2}} + k_{i}^{2} \sum \frac{α_{i}^{2}}{(λ_{i} + k_{i})^{2}} (6) \end{array}$

定理2 当 $0 \leq k_{i} \leq \frac{σ^{2}}{α_{i}}$ 时,

$Μ S E (\hat{α}_{L} (Κ) < Μ S E (α_{L}^{*})$ 。

证明对m(k)求导得, $σ^{2} \sum_{i = 1}^{p - m} \frac{- 2 λ_{i}}{(λ_{i} + k_{i})^{3}} + \sum_{i = 1}^{p - m} \frac{2 k_{i} λ_{i} α_{i}^{2}}{(λ_{i} + k_{i})^{3}} = \sum_{i = 1}^{p - m} \frac{2 λ_{i}}{(λ_{i} + k_{i})^{3}} (k_{i} α_{i}^{2} - σ^{2})$ ,

所以当 $0 \leq k_{i} \leq \frac{σ^{2}}{α_{i}}$ 时 $\frac{d m (k)}{k} < 0$ ,而m(k)在ki≥0是连续的,这就说明m(k)在 $0 \leq k_{i} \leq \frac{σ^{2}}{α_{i}}$ 内随ki的增大而减小。故当 $0 \leq k_{i} \leq \frac{σ^{2}}{α_{i}}$ 时, m(ki)<m(0),而m(0)=MSE(α*L),即可得 $Μ S E (\hat{α}_{L} (Κ) < Μ S E (α_{L}^{*})$ 。

定理3 当β/[2K $_{p - m}^{- 1}$ Q+(QX/XQ)+]+β≤σ2时,有 $Μ S E Μ (β, \hat{β}_{R} (Κ)) \leq Μ S E Μ (β, β_{R}^{*})$ 。

证明设 $D = Μ S E Μ (β, \hat{β}_{R} (Κ)) - Μ S E Μ (β, β_{R}^{*})$ ,因为 $Μ S E Μ (β, \hat{β}_{R} (Κ) = σ^{2} Μ_{Κ} X^{'} X Μ_{Κ} + Κ^{'} Κ Μ_{Κ} β β^{'} Μ_{Κ} ‚ Μ S E Μ (β, β_{R}^{*}) = σ^{2} Μ_{0} X^{'} X Μ_{0}$ 。

故D=σ2N-MKKββ′KMK,其中N=M0X′XM0-MKX′XMK,而(QX′XQ)+=(QX′XQ)+Q=Q(QX′XQ)+,M0=(QX′XQ)+,所以有M0X′XM0=M0,MKX′XMK=MK(SK-K)MK=MK-KM $_{Κ}^{2}$ ,于是N= M0 -MK + KM $_{Κ}^{2}$ ,又

$Ν = V (\begin{matrix} Γ & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) V^{'}$

,其中Γ=∧-1-(∧+Kp-m)-1+K(∧+Kp-m)-2。Γ的元素ri=(2λiki+k $_{i}^{2}$ )/λi(λi+ki)2,当λi>0时,对ki>0有ri>0,故N为非负定矩阵,且秩为p-m,令

$δ = Κ Μ_{Κ} β = V (\begin{matrix} Κ_{p - m} (\land + Κ_{p - m})^{- 1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) V^{/} β$

有D=σ2N-δδ′,因为N是非负定对称矩阵,且δ⊂u(N),可知,D是非负定矩阵的充要条件为δ′N+δ≤σ2。

$\begin{array}{l} 而 δ^{'} Ν^{+} δ = \\ β^{'} V (\begin{matrix} Κ_{p - m}^{2} (\land + Κ_{p - m})^{- 1} Γ^{- 1} (\land + Κ_{p - m})^{- 1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) V^{'} β ‚ \end{array}$

将代入得

K $_{p - m}^{2}$ (∧+Kp-m)-1Γ-1(∧+Kp-m)-1=(2K2p-m+∧-1)-1,所以

$δ^{'} Ν^{+} δ = β^{'} [V (\begin{matrix} 2 Κ_{p - m}^{2} + \land^{- 1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) V^{'}]^{+} β = β^{'} [2 Κ_{p - m}^{- 1} Q + (Q X^{'} X Q)^{+}]^{+} β$

故β′[2K $_{p - m}^{- 1}$ Q+(QX′XQ)+]+β≤σ2成立。

参考文献

[1] Jurgen G B.Restricted ridge estimation.Statistics&Probability Let-ters,2003;65:57—64

[2] Sarkar N.Anewestimator combining the regression and the restrictedleast squares methods of estimation.Comm Statist Theory Methods 21(1992):1987—2000

[3]史建红.约束线性回归模型回归系数的条件岭估计.山西师范大学学报(自然科学版),2001;15:10—16

线性膨胀系数模型篇4

为研究n阶常系数非齐次线性常微分方程解的问题,求证了n阶常系数非齐次线性常微分方程的通解和特解的.积分表达式.利用韦达定理和一个变量替换,对n阶常系数非齐次线性微分方程进行降阶,导出该方程的一个用积分表示的通解公式,并根据特征根的不同情形给出了通解的各种形式及相应的通解和特解公式.

作者：唐生强唐清干作者单位：唐生强(桂林电子工业学院图书馆,广西,桂林,541004)

唐清干(桂林电子工业学院计算科学与数学系,广西,桂林,541004)

线性膨胀系数模型篇5

信用支付现象在商业活动中广泛存在, 它可以有效地促进供应链各方的合作, 提高各方利润, 达到供应链各方的“共赢”, 因此众多的理论工作者对信用支付条件下的库存研究也就相应展开。Goyal[1]最先研究了在允许信用支付条件下的零售商经济订购模型, 随后, 不少研究者对此模型进行了多方面的拓展:Aggarwal[2]考虑了信用支付下具有指数形式变质率的变质产品的库存策略;Jamal[3]等和Chang进一步研究了信用支付情况下, 变质产品在允许缺货条件下的订货策略;Chang[4]等同时考虑了信用支付和价格折扣情况下价格和批量的确定模型;杨树, 邱昊等[5]从供应链整体的角度出发, 运用斯坦伯格博弈模型分别帮助零售商和供应商制定最优订购策略及确定最优信用支付期限, 最终使整条供应链利润达到最大化等。

20世纪70年代后, 通货膨胀已是一个不可忽视的影响库存的决策因素。因此, 发展通货膨胀下的最优库存决策理论是顺应社会发展的必然:Sarker[6]假定完全信息下, 给出了一种考虑带有固定变质率、通货膨胀率以及允许缺货的信用支付模型;Liao[7]的模型建立在需求率依赖库存、固定变质率、固定通货膨胀率的基础上;文晓巍和达庆利[8]研究了通货膨胀下允许延期支付, 且变质率与需求率均为非常数的物品库存模型, 王丽娟等[9]研究了通货膨胀与延期支付下易逝农产品的库存问题。但以上涉及通货膨胀的文献均假定了信用支付期限为固定的情况, 且均没有考虑变质带来的损失问题。本文基于这种情况, 研究了信用支付期限受买方订货周期的影响下, 同时考虑通货膨胀及变质损失的易逝品库存策略问题, 最后给出了算例进行验证。

1 数学模型

1.1 模型假设及符号说明

本文基于以下假设:

1) 仅考虑单一供应商, 单一零售商;

2) 不允许缺货;

3) 信用期的长度为零售商订货周期的线性增函数;

4) 补充为即时的, 并且提前期为零;

5) 市场需求率为均匀的。

相关符号说明:D为年需求量, 且需求率是均匀的;θ为物品变质率, 且为固定;Ie为零售商的单位库存收益率;IK为零售商的单位库存支付利率, 其中IK>Ie;C为单位物品订货成本;P为单位物品销售价格;H为单位物品单位时间库存保管费用 (不包括存货的机会成本) ;Q为订购批量;T为订购时间间隔;I (t) 为时刻t的库存水平;TCj为相关费用总和, 其中j=1, 2, 3;R为通货膨胀率;r为折现率;Z为单位变质损失, M为供应商提供零售商的信用期;即满足M=a+bT, 其中a<0, b>0。

1.2 模型的建立

在一个周期内, 零售商在时刻t产品库存满足:

$\frac{d Ι (t)}{d t} = - d - θ Ι (t) ‚ 0 \leq t \leq Τ$ 。

由边界条件 $Ι (Τ) = 0$ 得:

$Ι (t) = \frac{d}{θ} [e^{- θ (Τ - t)} - 1] ‚ 0 \leq t \leq Τ$

则零售商期初的订购批量为:

$Q = \frac{d}{θ} [e^{θ Τ} - 1]$ 。

因此, 订购周期T内的相关费用与收入如下:

(1) 物品订购成本CQ;

(2) 物品存储费用

H∫T0I (t) eRtdt= $\frac{D Η (e^{(θ + R) Τ} - 1)}{θ (θ + R) e^{θ Τ}} - \frac{D Η (e^{R Τ} - 1)}{R θ}$ 。

(3) 物品变质损失∫ $_{0}^{Τ}$ Z (Q-DT) eRtdt=ZD[ (eθT-1) /θ-T] (eRT-1) /R。

年总费用TC=年采购成本+年物品存储费用+变质损失-信用支付投资收益+利息支出=[CQ+H∫ $_{0}^{Τ}$ I (t) eRtdt+∫ $_{0}^{Τ}$ Z (Q-DT) eRtdt-信用支付投资收益+利息支出]/T= $\frac{C D}{θ} (e^{θ Τ} - 1)$ + $\frac{D Η (e^{(θ + R) Τ} - 1)}{θ (θ + R) e^{θ Τ}} - \frac{D Η (e^{R Τ} - 1)}{R θ}$ +

$\frac{Ζ D [(e^{θ Τ} - 1) / θ - Τ] (e^{R Τ} - 1)}{R}$ -信用支付投资收益+利息支出/T。

1) 当M1=a+bT≤0时, 即供应商不向零售商提供信用支付, 零售商收到货物立即支付物品货款。

此时零售商的库存支付利息为:

$\frac{C Ι_{k}}{Τ} \int_{0}^{Τ} Ι (t) e^{R t} d t$ 。

则订购周期T内的总费用为

$\begin{array}{l} Τ C_{1} = \\ \frac{[C Q + Η \int_{0}^{Τ} Ι (t) e^{R t} d t + \int_{0}^{Τ} Ζ (Q - D Τ) e^{R t} d t + C Ι_{Κ} \int_{0}^{Τ} Ι (t) e^{R t} d t]}{Τ} = \end{array}$

$\frac{\frac{C D (e^{θ Τ} - 1)}{θ} + [\frac{D e^{(θ + R) Τ} - D}{θ (θ + R) e^{θ Τ}} - \frac{D (e^{R Τ} - 1)}{R θ}] (Η + C Ι_{Κ})}{Τ} +$

$\frac{Ζ D (\frac{e^{θ Τ} - 1}{θ} - Τ) (e^{R Τ} - 1)}{R Τ}$ 。

2) 当0<M2=a+bT≤T, 即信用支付期小于订购周期时, 由于在规定的信用期内物品没有销售完毕, 所以零售商需要向供应商支付的库存利息为:

$\frac{C Ι_{k}}{Τ} \int_{Μ_{2}}^{Τ} Ι (t) e^{R t} d t$ 。

此时零售商所得到的库存收益为:

$\frac{Ρ Ι e}{Τ} \int_{0}^{Μ_{2}} D t e^{R t} (e^{Ι_{e} t} - 1) e^{- r t} d t$ 。

则订购周期T内的总费用为:

TC2=CQ+H∫ $_{0}^{Τ}$ I (t) eRtdt+∫ $_{0}^{Τ}$ Z (Q-DT) eRtdt+

CIk∫ $_{Μ_{2}}^{Τ}$ I (t) eRtdt/T-PIe∫ $_{0}^{Μ_{2}}$ DteRt (eIet-1) e-rtdt/T。

3) 当T<M3=a+bT, 即信用支付期大于采购周期时, 此时零售商不需要向供应商支付库存支付利息, 而零售商的库存收益为:

$\begin{array}{l} \frac{Ρ Ι_{e}}{Τ} [\int_{0}^{Τ} D t e^{R t} (e^{Ι_{e} t} - 1) e^{- r t} d t + \\ (Μ_{3} - Τ) D Τ \int_{Τ}^{Μ_{3}} e^{R t} (e^{Ι_{e} t} - 1) e^{- r t} d t] 。 \end{array}$

则订货周期T内的总费用为

$\begin{array}{l} Τ C_{3} = [C Q + Η \int_{0}^{Τ} Ι (t) e^{R t} d t + \int_{0}^{Τ} Ζ (Q - D Τ) e^{R t} d t + \\ (Μ_{3} - Τ) D Τ \int_{Τ}^{Μ_{3}} e^{R t} (e^{Ι_{e} t} - 1) e^{- r t} d t] / Τ - \end{array}$

$\frac{Ρ Ι_{e} \int_{0}^{Τ} D t e^{R t} (e^{Ι_{e} t} - 1) e^{- r t} d t}{Τ}$ 。

2 求解算法

第一步假设T满足M1=a+bT≤0, 利用式 $\frac{\partial Τ C_{1}}{\partial Τ_{1}} = 0$ 求得最优订购周期T*1, 然后, 判断a+bT*1和0的大小关系。如果a+bT*1≤0, 将T*1代入式 (1) 得最小订购成本TC*1;否则, 转入第二步。

第二步假设M2=a+bT≤T, 利用式 $\frac{\partial Τ C_{2}}{\partial Τ_{2}} = 0$ 求得最优订购周期T*2, 然后, 判断a+bT*2和T*2的大小关系。如果a+bT*2≤T*2, 将T*2代入式 (2) 得最小订购成本TC*2, 否则, 转入第三步。

第三步假设T<M3=a+bT时, 利用式 $\frac{\partial Τ C_{3}}{\partial Τ_{3}} = 0$ 求得最优订购周期T*3, 然后, 判断a+bT*3和T*3的大小关系。如果a+bT*3>T*3, 将T*3代入式 (3) 得最小订购成本TC*3。否则, 转入第四步。

第四步比较TC*1 、TC*2和TC*3。最小者即为模型最优解 (最小订购成本) 。从而得到最优订购周期T*和相应的最优订购批量Q*。

3 算例演示

帮助某易逝品零售商制定某产品的进货策:已知D=2 000, θ=0.01, H=5, 单位产品采购价格C=100, 单位物品销售价格P=120, 单位库存年支付利息Ik=0.15, 单位产品变质损失Z=2, 单位库存年收益利息Ie=0.1, a=-0.03, b=1.3, 通货膨胀率R=0.05, 折现率r=0.03。

根据本文提供的求解算法可以求得零售商订货周期T*=0.08, 经济订货批量Q*=160。

4 结论

本文建立了线性信用支付条件下, 考虑通货膨胀因素的易逝品库存模型, 同时给出了模型的求解算法和实例分析, 对购买方的决策起到了一定的指导作用。本文所建的模型还可以进行下一步的拓展, 比如对市场需求不确定, 不同变质率等的商品库存模型的探讨。但是所建的模型会更加复杂, 寻优的难度也会加大。

参考文献

[1]Goyal S K.Economic order quantity under conditions of permissi-ble delay in payment.Journal of the Operational Research Socie-ty, 1985;36:335—338

[2]Aggarwal S P, Jaggi C K.Ordering policies of deteriorating items under permissible delay in payments.Journal of the Operational Research Society, 1995;46:658—662

[3]Jamal A M, Sarker B R, et al.An ordering policy for deteriorating items with allowable shortage and permissible delay in payment.The Journal of the Operational Research Society, 1997;48 (8) :826—833

[4]Chang C T.Extended economic order quantity model under cash discount and payment delay.International Journal of Information and Management Sciences, 2002;13 (3) :57—69

[5]杨树, 梁樑, 邱昊.考虑延期付款的斯坦伯格库存模型.系统工程, 2006;24 (4) :21—24

[6]Sarker B R, Jamal A M, Wang S J.Supply chain models for per-ishable products under inflation and permissible delay in payment.Computers&Operations Research, 2000;27 (I) :59—75

[7]Liao H C, Tsai C H, Chao T S.An inventory model with deterio-rating items under inflation when a delay in payment is permissi-ble.International Journal of Production Economics, 2000, 63 (2) :207—214.27 (I) :59—75

[8]文晓巍, 达庆利.一类通货膨胀下变质商品的最优补充决策.系统工程理论方法应用, 2005;14 (6) 527—532

线性膨胀系数模型篇6

工资和物价的决定问题历来是宏观经济学研究的重点问题之一，对工资与物价的决定因素以及两者之间动态关系的不同认识是不同派别经济学家的分歧之一，以不同的经济理论为基础来指导经济实践往往导致了不同甚至截然相反的经济政策主张。关于工资与物价的理论方面，最早的古典学派主张市场出清理论，认为工资和物价会随着市场的出清而出清，从而主张政府不要干预市场的政策。随后的凯恩斯学派对此持相反的观点认为，市场不会完全出清，当经济处于萧条时，政府应该实施积极财政政策，增加总需求，总需求增加会降低失业率，失业率降低会提高工资水平，进一步提高物价水平，导致供给和产出增加，因而主张政府实施积极的财政政策来促使经济从萧条中恢复，促进产出的增加。而后的理性预期学派则对此提出了质疑，认为如果人们能完全预期到扩张的货币政策，那么会导致名义工资和物价水平的同比例增加，而实际产出则不变，从而得出货币政策对实际产出没有影响，认为货币政策无效的结论。

我国建立社会主义市场经济以来，伴随着经济的快速增长，通货膨胀问题一直是经济健康持续运行的隐患之一，同时工资水平也出现了较大幅度的上涨，特别是我国劳动合同法的实施和人口红利的消失预示着工资水平可能还会持续的上升，在此背景下，越来越多的学者开始重新关注通货膨胀与工资的关系，通货膨胀与工资相互作用的内在联系成为关注的热点问题之一。

现代经济学者关于工资物价问题的研究主要集中在以下几个方面：

一是工资水平的决定方面，即从影响工资水平的主要因素入手来开展研究，有的研究劳动力市场协商组织的存在对于工资水平的作用，有的致力于研究失业率和工资水平的关系，有些研究提出了效率工资和粘性工资理论等。在研究劳动力市场协商组织对工资水平的影响方面，Podrecca(2011)[1]研究了OECD 20个国家1960～1999年的数据，证实了劳动力市场协商组织通过两种途径影响工资水平，一是在给定失业率和生产率条件下推动工资的直接效应，二是改变工资对失业率反应的斜率的间接效应；Macit(2010)[2]利用新凯恩斯模型实证研究了劳动力市场协商组织对工资水平的重要影响，他认为失业补助越高和就业保护立法越严格的国家，其工资和物价的刚性越大且其持续性越强；Christoffel和Linzert(2010)[3]基于新凯恩斯商业周期模型认为劳动力市场的组织框架对通货膨胀持续性有重要影响；Macit(2010)[4]运用发达国家1970～1995年的面板数据实证分析了劳动力市场组织对工资———通货膨胀动态机制的影响，认为劳动力市场协商组织的存在有助于降低通货膨胀率。在研究失业率与工资水平的关系方面，Philips(1958)[5]发现名义工资的变化率与失业率的变化率呈现反向关系；Guerrazzi和Meccheri(2012)[6]认为工资水平刚性会提高失业率；Gorry(2013)[7]研究了最低工资对青年失业率的影响，认为最低工资的增长有助于解释法国青年的高失业率；Baltagi等（2012)[8]运用德国1980～2004年的数据发现，工资水平与失业率在长期和短期都存在微弱的负向关系。在研究效率工资理论和粘性工资理论方面，Campbell(2008)[9]提出了一个效率工资模型，认为工资水平与上一期工资和失业率有关，但是长期中不存在工资与失业率负向关系的菲利普斯曲线；Ross和Zenou(2008)[10]运用效率工资模型研究了美国的数据，认为效率工资理论只是适用于蓝领工人，对其他类型的工人并不适用；Danthine和Kurmann(2006)[11]从国际角度论证了效率工资模型会产生较大的工资刚性；Delacroix(2004)[12]建立了模型证实了工资协商制度下工资刚性的存在；Kumar等（2012)[13]分析了澳大利亚1965～2007年实际工资、通货膨胀和劳动效率的关系，认为通货膨胀对劳动效率有较弱或负向的影响，而实际工资能够促进劳动效率的提高。

二是一般物价水平的决定方面，即从影响一般物价水平的主要因素方面入手，这方面的著作文献非常多，主要从产出缺口、货币供应、预期、财政赤字等多方面或者结合以上宏观因素综合研究，还有的从长期中的技术进步和资本积累研究其对物价和产出的影响，鉴于这些文献主要是从宏观角度出发研究一般物价水平的影响因素，而本文在分析时主要是从微观企业产品定价角度展开的，因此从宏观角度研究物价波动的文献不再赘述。

三是工资物价的相互作用和关联方面，他们提出了有名的工资物价螺旋理论。Kobayashi(1978)[14]较早的从理论上研究并推导出了工资或利润推动导致通胀的动态过程和相应条件，认为利润或工资推动在一定条件下会导致通胀甚至滞涨的发生，并且这一过程会改变收入分配格局。Faroque和Minor(2009)[15]实证研究了加拿大的通货膨胀体制与工资———物价的关系，认为加拿大不存在工资成本推动型通胀。Blanchard(1986)[16]从假定不完全竞争的劳动力和产品市场均衡角度出发，理论证明了工资物价螺旋增长的过程，认为工资物价调整的速度越慢，其对产出的影响时间就越长，对产出的影响越大。Daniel和Mitchell(2008)[17]系统介绍了美国工资推动型通胀的发展历史和相应政策，认为肯尼迪和约翰逊政府期间存在政府推动型通胀，而尼克松和卡特政府时期随着美国工会组织的逐渐解散，工资推动型通胀逐渐不存在。Kandil(2007)[18]实证研究了12个发达国家受需求正向和负向冲击时工资和物价的调整过程，认为其调整过程随着每个国家劳动力市场和商品市场的不同情况而有所不同，特别的当面临正向需求冲击时，将会提高实际工资的增长率；而面临负向冲击时，将会降低实际工资的增长率。范志勇（2008)[19]运用向量自回归模型实证检验了1993～2007年超额工资增长与通货膨胀的关系，认为货币供给而非超额工资增长是导致通货膨胀变化的主要因素。Viet(2011)[20]分析了1994～2008年越南最低工资对通货膨胀的影响，认为最低工资并没有推高通货膨胀。余斌（2011)[21]则从刘易斯拐点的角度出发，认为我国工资上涨与通货膨胀之间没有必然的联系。田雪原（2011)[22]从分析劳动力市场变化的角度出发，认为名义工资的提升对通货膨胀的治理有不利的影响。耿强等（2011)[23]构建了开放新凯恩斯菲利普斯曲线对通货膨胀因素进行研究，得出了劳动力成本上升已经成为推动我国物价上涨的重要原因之一的结论。

以上学者关于工资与物价的研究取得了一定的研究成果，丰富和深化了我们对工资和物价规律的认识，但是不同学者由于研究方法研究角度等的不同，尚未达成一致的研究结论，甚至出现相反的观点和结论，从而导致主张不同的政策措施。而且这些研究主要还存在两个方面的问题，第一，在实证研究方法方面，通常采用的是经典的线性回归模型，如OLS、协整、向量自回归模型、向量分布滞后模型等线性方法模型，这些模型的参数估计反映的是经济变量之间的平均影响关系，无法反映变量之间的动态平衡关系和非线性关系。第二，在研究时没有考虑经济结构变化的影响，结构的变化有可能导致经济变量之间变化规律和传导机制发生改变。特别是我国市场经济改革以来，经济体制一直处于变革当中，内外经济发生的各项改革和各项政策变化极有可能导致相关经济变量的结构发生变化，进而导致变量之间的传导机制和变化规律发生变化，使得变量之间呈现非线性动态调整关系。鉴于此，在综合考虑借鉴以往研究成果的基础上，本文拟运用反映变量之间非线性关系的平滑转移自回归模型来研究通货膨胀与平均工资的内在联系。

本文的不同之处在于：第一，运用非线性的平滑转移自回归模型来分析通货膨胀与平均工资的内在联系。市场经济体制建立以来，我国经济经历了多次重大的结构调整和制度变革，每一次内外的调整都有可能导致宏观经济序列具有非线性动态调整特征，而传统的线性时间序列分析方法不能完全捕捉到这种特征，因此，在我国转型经济及渐进式改革的现实经济背景下，采用非线性的平滑转移自回归模型分析通货膨胀与名义工资的内在关系，更加符合和接近我国的经济现实，能更好的揭示这两个经济变量相互作用的动态内在联系。第二，在采用平滑转移自回归模型进行实证分析时，注重对模型设定误差的检验，主要包括模型残差序列的自相关检验、模型剩余非线性检验、模型的正态性检验等，在一定程度上弥补了现有文献对非线性模型检验涉及较少的不足。第三，鉴于数据的可得性，实证分析的样本范围为1991～2012年，实证分析的结果可以为评价政府工资政策和通货膨胀政策提供一定的参考依据。

2 平均工资与通货膨胀决定因素及其相互作用规律的理论分析

2.1 工资水平决定的理论分析

根据现代宏观经济学理论（2004)[24]，工资及其主要影响因素的关系可以用以下工资函数来表示：

这个函数关系主要揭示了，工资水平（W）主要受到预期劳动生产率（Ae）、预期通货膨胀率（Pe）和失业率（u）以及其他劳动市场因素（z）的影响，其中工资水平与预期劳动生产率、预期通货膨胀率呈正向变化关系，预期劳动生产率越高，预期通货膨胀率越高，工资水平越高；而失业率与工资水平呈现反向变化关系，失业率越高，工资水平越低；此外，工资水平还受到劳动市场其他因素的影响。

2.2 物价水平决定的理论分析

从微观角度来讲，一般物价水平的决定，来源于生产函数，价格取决于成本，成本取决于生产函数的性质，即取决于生产中投入品的数量和价格与产出品的数量之间的关系。在假定企业生产产品只使用劳动力一种要素且劳动生产率是常数；产品市场是接近完全竞争的，企业以成本加成法来定价产品，则可以得到以下物价水平决定的函数关系：

这个函数关系从微观企业定价角度揭示了价格的影响因素，在不考虑其他因素的前提下，价格水平（P）受到工资水平（W）、劳动生产率（A）、利润率（u）等因素的影响，其中价格水平与工资水平和利润率成正向关系，工资水平越高，市场竞争越小利润率越高，该产品的价格越高；而价格水平与劳动生产率呈现反向变化关系，劳动生产率越高，该产品的价格越低。

2.3 工资物价相互作用的理论分析

工资函数揭示了通胀与通胀预期是影响工资水平的重要因素之一，一般物价函数揭示了工资水平的高低是影响产品价格的重要因素之一。经济学家通常还用工资物价螺旋来描述两者之间存在的联系和变化规律。工资物价螺旋没有确切的定义，通常指的是在需求拉动或者供给推动的情况下，物价水平和工资轮番上涨而形成的经济现象，超额需求或者供给冲击都有可能导致物价工资螺旋上涨局面的出现。

超额需求造成的工资物价相互作用的机理可概括为：超额需求导致通货膨胀发生———工资提高要求增加———工资提高———企业成本增加———企业产品销售价格增加———通货膨胀预期增强———要求提高工资———物价进一步上涨。

供给冲击造成的工资物价相互作用的机理可以概括为：不良供给冲击———企业生产成本增加———企业产品价格增加———成本推动型通货膨胀产生———通货膨胀预期增强———工人要求提高工资———工资提高———产品价格进一步增加———企业生产成本增加———企业产品价格增加。

3 计量模型

3.1 平滑转移自回归模型

平滑转移自回归模型STAR(smooth transition auto regression）是诺贝尔经济学将得主Granger和瑞典统计学家Terasvirta(1994)[25]提出的，这个模型的突出特点是区制转移是基于转移变量的连续过程，而不是突兀的过程，当区制转变的时间不确定且新区制还未产生时，平滑转移自回归模型能有效的体现区制转移行为，因此该模型能够捕捉到转移阶段变量的动态特征，且能够同时刻画非线性与机制转换行为，使得该模型成为研究经济变量的重要有力工具之一。

平滑转移自回归模型的模型形式为：

其中，yt是因变量向量，xt是自变量向量，φ′、θ′分别表示的是线性部分和非线性部分的参数向量，ξt～i.i.d.N(0，σ2),G(st，γ，c）为转移函数，st为转移变量，转移变量可以是xt的一部分，也可以是时间趋势变量t．自变量xt既可以包含yt的滞后项，也可以是其他影响yt的因素。

与离散转移模型不同，平滑转移自回归的转移动态是基于一个允许转移过程中发生平滑变化的连续的转移函数，常见的转移函数有两种，一个是指数转移函数ESTAR(exponential STAR），一个是逻辑斯特转移函数LSTAR(logistic STAR），对应不同形式的转移函数，就形成了不同机制转移方式。

逻辑斯特形式的转移函数为：

指数形式的转移函数为：

其中，参数γ决定着机制转换的平滑程度，γ的数值越大机制转换越陡峭。特别当γ→∞时，模型的指数部分衰减得非常快，也就是说模型的转换几乎是瞬间完成的。

在实际应用时，平滑转移自回归模型的建模通常包括以下几个步骤：第一，进行非线性检验和模型选择。非线性检验主要思想是将转换函数用相应的泰勒级数展开式进行替代，然后，计算其拉格朗日乘数（LM）统计量进行检验，在JMulTi软件中直接给出了相应的检验结果。第二，选择非线性模型的参数的初始值并估计非线性模型。第三，非线性模型相关的检验。

3.2 数据来源及预处理

鉴于数据的可得性，本文选取的初始变量为CPI环比年度数据和平均工资年度数据，样本期间为1991～2012年，这两个变量的原始年度数据均来自于RESSET金融数据库。为了保证数据的可比性和统一性，首先将平均工资年度数据转换成平均工资年度增长速度（以1991年为基期），将CPI数据调整也调整为以1991年为基期的定基数据，接着用Census X12季节调整法进行季节调整，最后分别对季节调整后的数据取对数，这样两组初始变量统一了比较基础，消除了季节影响，也消除了可能存在的异方差性，最后将调整后的最终序列分别记为CPI序列和WAGE序列。

4 实证分析

4.1 平稳性检验

STAR模型要求时间序列的线性部分是平稳序列或者序列之间存在协整关系，因此，首先进行序列平稳性或协整检验。本文利用JMulTi软件采用ADF单位根检验法进行检验，检验结果表明CPI序列为平稳序列，而WAGE序列为非平稳序列；接着采用Johansen检验进行协整检验，检验结果如表1所示，以下检验结果表明，给定显著性水平为5%的情况下，这两个序列存在一个协整关系，满足了平滑转移自回归模型线性部分平稳性的要求。

4.2 格兰杰因果关系检验

首先根据AIC准则确定CPI和WAGE序列的最佳滞后阶数都为一阶，然后在选择滞后阶数为一阶的前提下进行格兰杰因果关系检验，以判明两者之间的相互影响关系。格兰杰因果关系的检验结果如下表2所示。由下表中的结果可知，在5%的显著性水平上，CPI是WAGE的格兰杰原因，即通货膨胀是推动名义工资上涨的重要因素，而WAGE是CPI的格兰杰原因在统计上则不具有显著性，即工资推动通货膨胀的机制在我国并不成立。

4.3 建立LSTAR模型

首先，分别选取wage(t-1）、cpi(t）、t（趋势项）作为转移变量对模型进行非线性检验。由于模型中含有一些不能识别的参数，因此不能直接采用标准的假设检验形式进行检验，一般是将转换函数用相应的泰勒级数展开式进行替代，然后计算LM统计量值进行检验。在计算LM统计量值时采用的辅助回归式一般选用三阶泰勒级数展开式，即yt=β0′xt+β1′xtst+β2′xtst2+β3′xtst3+μt.

在JMulTi软件中，原假设为H0：β1=β2=β3=0，即原假设为非线性的参数全部为零，根据下面检验结果可知，在10%的显著性水平下拒绝了线性原假设，因此可以选择时间趋势t作为转移变量，则非线性模型的转换函数为LSTAR型，结果见下表3所示。

在选择LSTAR型转换函数的基础上，本文利用非线性最小二乘法对LSTAR模型进行参数估计，得到的估计结果见表4所示。

由上表，可以得到LSTAR模型的表达式：

4.4 模型的检验

平滑转移自回归模型的检验通常是指模型设定的偏误检验，主要包括模型残差的序列相关检验、不存在剩余非线性检验、残差的正态性检验等。

残差序列相关检验的结果显示如表5，由表5结果可知在5%的显著性水平下模型的残差不存在序列相关，模型残差是一个白噪声过程。

剩余非线性检验的检验是检验模型中是包含了一个转换函数还是一个以上的转换函数，这样的检验是通过将转换函数进行泰勒展开来进行检验的，结果表明，模型中仅存在1个转换函数。

模型的正态性分布检验采用Jarque-Bera检验法，检验结果如表6，由检验结果可知，给定5%的显著性水平，相应的伴随概率为0.878，大于0.05，说明在5%的显著性水平下应该接受原假设，认为总体分布是正态分布。

通过以上对模型的检验，可知本文所建立的通货膨胀与平均工资的平滑转移自回归模型的估计结果是可靠的，模型调整后的拟合优度达到99.6%，说明模型整体拟合的较好，AIC和BIC信息准则数值较低，模型残差不存在序列相关，模型不存在多余的非线性，可以运用以上估计结果进行实证分析并得出相应的结论。

5 结论及政策启示

本文的主要结论如下：

第一，在样本期内，在5%的显著性水平下，通货膨胀是平均工资的格兰杰原因成立；而平均工资是通货膨胀的格兰杰原因不成立。即在样本期内，通货膨胀的持续发生是推动平均工资上涨的重要因素，而平均工资反过来推动物价上涨的机制则在统计上不具有显著性，工资到物价的传导途径是不顺畅的，即工资推动型通货膨胀在我国样本期内并不成立。

第二，在样本期内，平均工资与通货膨胀的关系呈现线性到非线性的平滑转移。在1991～1998年，表现为平均工资受通货膨胀的线性影响，即在5%的显著性水平下，通货膨胀对平均工资的影响系数为2.079，对应的p值为0.001，该模型估计的系数具有统计上的显著性。且由于在本文的数据预处理阶段，通货膨胀和平均工资序列都经过了取对数的处理，所以此处估计的系数代表了弹性的概念，表明通货膨胀每上涨1%，则引起名义工资平均变动2%左右，这说明在样本期内随着我国市场经济的深入推进，经济增长在伴随通货膨胀的同时，平均工资以更大的幅度增长了，平均工资的增长幅度约为通货膨胀的2倍。

第三，在1999～2012年，平均工资与平均工资滞后一阶、通货膨胀具有显著的非线性效应，工资与通胀的关系相比1991～1998年发生了明显的变化，工资的变化更多的受到自身惯性的影响，这与粘性工资理论相符合，而且这种变化不是一种突然的结构变化，而是表现出平滑的机制转移特征。这说明1998年后我国宏观经济政策和微观经济基础发生的各项变化对工资———物价的内在机制产生了重要影响，使得工资原来主要受通货膨胀影响的机制转换为主要受上一期工资水平的影响，影响工资水平的主要因素和传导机制均发生了较大的变化，这也反过来说明了用平滑转移自回归的非线性模型来分析两者的内在关系更加符合我国经济运行可能发生结构变化的实际情况。

二阶变系数线性微分方程的解篇7

关键词：变系数,微分方程,通解

1、预备知识

考虑二阶非齐次线性微分方程[1,2,3,4]

(其中p (x) , q (x) , f (x) 是关于x的未知函数) 的解;若f (x) =0, 则该方程为齐次微分方程

特解:若y0满足方程y”+p (x) y+q (x) y=0, 则称y0是该方程的一个特解。

通解:对于方程y”+p (x) y+q (x) y=0, 若y1 (x) , y2 (x) 是该方程的两个线性无关的解, 则称y=c1y1+c2y2 (这里c1, c2为任意常数) 为该方程的通解。

若知道 (2) 的通解为

通过常数变易法, 设方程 (1) 的通解为

由变系数二元线性方程组

解出c1 (x) , c2 (x) , 再对其积分, 即可求出c1 (x) , c2 (x) , 从而可以求出方程 (1) 的通解。这里在知道方程 (2) 的一个非零特解的情况下, 直接用常数变易法求方程 (1) 的通解。

2.主要定理及结论

若知道方程 (2) 的一个非零特解, 则可以通过换元法化二阶方程为一阶方程, 进而求出原方程的通解。

定理若y1是方程 (2) 的一个非零解, 则方程 (1) 的通解为

这里c1, c2为任意常数。

证明因为函数y1是方程 (2) 的特解, 则

由线性微分方程的性质知, 函数cy1一定是方程 (2) 的解 (c为任意的常数) 。

设y=c (x) y1是方程 (1) 的解 (其中c (x) 是待定的未知函数) , 将其求一、二阶导数并代入方程 (1) , 整理得:

由式 (3) , 可得

这是以c (x) 为未知函数的可降阶的二阶线性微分方程, 解之得

则:

所以方程 (1) 的通解为:

例:求方程 (x-1) y”-xy+y=x (x-1) 2e2x的通解。

有特解y1=ex, 则设该方程的通解为y=zex, 代入方程 (4) , 化简有

解得

积分有

故该方程的通解为

参考文献

[1]罗亚平, 陈仲.微分方程[M].南京:南京大学出版社, 1987

[2]张学元.变系数二阶线性微分方程的一个新的可解类型[J].大学数学, 2003 (1) :96-98.

[3]东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 1982

二阶变系数线性微分方程求解法探究篇8

现行的高数微分方程理论中，仅仅对常系数类型的微分方程展开研究，即使是在《常微分方程》中也没有对二阶变系数这一类型的微分方程求解进行深入探讨．

如果p(x),q(x)是连续非常数函数，那么方程

即为二阶变系数线性微分方程，若f(x)为0，那么即为二阶变系数齐次线性类型方程，如果不为0，那么就是非齐性的二阶变系数微分方程．本文提出从二阶变系数方程的特征出发，以降阶法将二阶转嫁为一阶，利用结构系数函数对二阶边系数线性微分方程的通解及特解进行求解的一种解法．

假设非齐次中的P(x)有一阶连续倒数q(x)连续，那么就能通过方程(2)、(3)使方程(1)转变为方程(4).

方程(1)转变为方程(4)

即

那么原方程(1)最后会化简成

求解得

把其带入到(5)中，可将方程(1)利用上述变化降阶成

这个一阶非齐次微分方程求得的解即为二阶变系数非齐次线性方程的解．

但方程

的解为

即为方程(6).

方程(6)则为下面的二阶变系数非齐次线性微分方程

y″+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解公式

此外通过方程(2)能够得到

v(x)=p(x)-u(x)或是u(x)=p(x)-v(x).

将其带至方程(6)能够得出二阶变系数的非齐次方程(1)通解的其他两种形式，分别是

或是

特别地1如果f(x)为0，那么方程(1)可转换成二阶变系数微分方程，方程(6)(7)(8)则能够分别转换为

以上这些方程所对应的二阶变系数齐次方程

四、结束语

本文分析的二阶变系数线性微分方程的解法主要是通过降阶的方式，将二阶变系数线性方砖转嫁为一阶线性微分方程进行求解，这样一来只需利用结构系数函数就可以对二阶边系数线性微分方程的特解或通解进行求得，借助结构系数函数，再利用降价法就是得出二阶边系数方程的特解或是通解．

摘要：二阶线性齐次微分方程是微分理论的重要组成部分,在现代科技、工程等领域中都有广泛应用,这其中很多的应用情况都归属于二阶线性常微分方程的范畴中.在微分理论中常系数微分方程可以利用线性常微分的理论求解,但变系数类型的求解则相对较难,至今都很难找到有效的求解方法.本文以二阶边系数线性微分方程的求解意义作为出发点,对一般与特殊的二阶变系数线性微分方程的解法进行探讨,希望能为相关研究人员提供些许参考作用.

关键词：二阶变系数线性微分方程,二阶线性常系数微分方程,通解,特解

参考文献

[1]李高,李殊璇,常秀芳.二阶变系数线性微分方程可解的研究[J].河北北方学院学报(自然科学版),2013,02:1-2+21.

线性膨胀系数模型篇9

关键词：Jordon标准型,特征多项式,广义特征向量,基解矩阵

一、问题的提出

一阶常系数线性齐次微分方程组的一般形式是BX′=DX, 其中B= (bij) n×n, X′= (x1′, x2′, …, xn′) , D= (dij) n×n, X= (x1, x2, …, xn) T.我们仅把X′当作未知向量, 通过求解代数方程组, 可将微分方程组BX′=DX转化为X′=AX的形式, 其中A= (aij) n×n, 当矩阵B是非奇异矩阵时, A=B-1D.本文将对微分X′=AX组的解法进行探讨.

在求解线性微分方程组时, 至关重要的问题是:求出微分方程组的基解矩阵.许多《常微分方程》的教材对用约当 (Jordon) 标准型来求基解矩阵几乎都不作介绍, 更没有从理论上加以讨论.很多代数学方面的文献也只是在如何写出一般方阵的约当 (Jordon) 标准型做了介绍, 而对确定非奇异矩阵T, 使得T-1AT=E的过程却轻描淡写或一带而过.为了简便、通俗地解决这个问题, 本文给出了一种广义特征向量的矩阵变换迭代法.

对任意给定的微分方程组:

X′=AX (1)

其中, X′= (x1′, x2′, …, xn′) T, A= (aij) n×n, X= (x1, x2, …, xn) T.

设其系数矩阵A的特征根为:λ1 (τ1重) , λ2 (τ2重) , …, λr (τr重) , 即矩阵A的特征多项式为:

二、几个概念及相关性质

定义1形如的方阵称为Si阶约当 (Jordon) 块.

定义2由若干个Jordon块组成的分块对角阵, 其中Ji (i=1, 2, …, m) 为Si阶Jordon块, 且当时称为n阶Jordon标准型.

定义3[1]对任意的n阶常数矩阵A, 定义其指数

性质如果T是非奇异矩阵, 则

定义4[2]设λi为矩阵A的一个特征值, 且有

则称τi为λi的代数重数, 一般简称重数;同时, 若kank (λiE-A) =n-ti, 则称ti为λi的几何重数.

定义5[2]若对非零向量αi有:则称αi是矩阵A的属于特征根λi的k阶广义特征向量.

定义6λ是矩阵A的特征值, α是一个非零向量, 则向量组

称为向量α的长度k的广义特征向量链.

三、引理及问题的分析

引理1每一个n阶矩阵A都与一个Jordon型矩阵相似, 这个Jordon型矩阵在不考虑其中的Jordon块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的.

与矩阵A相似的Jordon型矩阵称为矩阵A的Jordon标准型.

对于方程组X′=AX中的矩阵A, 由引理1可知必存在非奇异的矩阵T, 使得T-1AT=J (8)

其中J为定义2的Jordon标准型, 即

由于矩阵J与Ji (i=1, 2, …, m) 的特殊形式, 利用定义3很容易得到

这就是微分方程组X′=AX的基解矩阵.

现在关键就是寻求上述的非奇异变换矩阵T, 由 (9) 式可以联想, 关键是寻找Jordan块.

将 (10) 式中的m个Jordan块作适当的分组, 组成r个小Jordan标准型J (τi) 即

不失一般性, 现只对矩阵A的特征值λi进行讨论, 设λi的重数为τi, 几何重数为ti.由于λi的几何重数是ti, 则其线性无关特征向量必有ti个, 设为

引理2设α是矩阵A的属于特征值的λ的k阶广义特征向量, 则α的长度为k的广义特征向量链:

必定是线性无关.

四、定理及其证明

定理1设βi1, βi2, …, βiti为矩阵A属于特征值λi线性无关特征向量, 则以下ti条广义特征向量链中的所有向量都是线性无关的.

为了表达简明, 可对问题分情形讨论.

情形一若li1=li2=…=liti.

现将 (18) 式代入 (16) 式, 然后对 (16) 式两边同时施行矩阵变换 (λiE-A) li1-2, 同理可得k (2) i1=k (2) i2=…=k (2) iti=0.

如此依次操作, 即可得到:ki1 (j) =ki2 (j) =…=kiti (j) =0 (j=3, 4, …, li1) .

这即是说 (16) 式左边各项的系数全为零, 所以, 当li1=li2=…=liti时, 命题结论正确.

情形二若li1, li2, …, liti不全相等.

设在li1, li2, …, liti中从右边到左边的第一个不连等的系数为lih-1, 即lih-1

则对 (16) 式两边同时施行矩阵变换 (λiE-A) lih-1, 得

现设从 (15) 式的右边到左边第二个不连等系数为liq-1, 即liq-1

同样可设liq=liq-1+p, 则可类似前面证明可得:

如此下去, 对从 (16) 左边到右边不连等的序号进行讨论直至结束, 容易得到 (18) 左边的组合系数全为零.

从而, 即 (14) 式定义的向量组线性无关.

综合情形一和情形二, 定理1结论正确.证毕.

要使T-1AT=J成立, 即AT=TJ, 亦即

现对 (20) 第i个块进行分析, 有ATi=TiJτi. (21)

则 (21) 可以分解成ti个等式:

所以是满足 (23) 的, 其中αij (s) = (-1) s-1βij (lij-s+1) (s=1, 2, …, lij) .

别向量改变正负号并不能影响向量组的线性关系性, 则可由定理1以及属于不同特征值的广义特征向量必线性无关知:当时, 得到的矩阵T= (T1, T2, …, Tr) 就是变换T-1AT=J式中的非奇异变换矩阵T.证毕.

五、微分方程组X′=AX的求解算法

综上讨论可以得到用化Jordon标准型法求解微分方程组X′=AX的一般算法步骤:

1. 求出微分方程组X′=AX中的矩阵A的特征多项式并分解成一次因式方幂的乘积 (形如 (2) ) , 而对于一般的多项式想对其进行因式分解是比较困难的, 不妨借助数学软件Mathematica, 使用命令:Roots[g (λ) =0, λ], 求出g (λ) 所有的根, 然后将其分解成:g (λ) = (λ-λ1) τ1 (λ-λ2) τ2… (λ-λr) τr.

2. 对特征值λi的重数τi分成几何重数ti份, 分别为li1, li2, …, liti, 即li1+li2+…+liti=τi, 并且解出ti个属于特征值λi的无关特征向量如 (12) .

3. 分别解ti个线性方程组αij (lij) = (λiE-A) lij-1γij (j=1, 2, …, ti) 的一个非零解.

4. 根据 (14) 式可求出Ti, 进而求出T= (T1, T2, …, Tr) .

5. 根据 (10) 式可以求出微分方程组X′=AX的基解矩阵exp At.

6. 微分方程组X′=AX的解为:X=C exp At, C为任意常列向量.

上面给出的微分方程组的求解算法的步骤明确, 程序性强, 容易通过编程在计算机上实现.

参考文献

[1]王高雄等.常微分方程[M].广州:高等教育出版社, 1983.

[2]方保, 矩阵论[M].北京:清华大学出版社, 2004.

[3]王萼芳等.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003.

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空气系数01-13