映射和函数补充练习题

关键词：

映射和函数补充练习题（共6篇）

篇1：映射和函数补充练习题

作者：乌托邦 字体：[增加 减小] 类型： 时间：-08-19

这篇文章主要介绍了详解Python中映射类型的内建函数和工厂函数,目前Python的内建映射类型只有字典一种,需要的朋友可以参考下

1.基本函数介绍

(1)标准类型函数[type、str()和 cmp()]

对一个字典调用type()工厂方法，会返回字典类型：“”，

详解Python中映射类型的内建函数和工厂函数

。调用str()工厂方法将返回该字典的字符串表示形式。

字典是通过这样的算法来比较的：首先是字典的大小，然后是键，最后是值。可是用cmp()做字典的比较一般不是很有用。

算法按照以下的顺序：

首先比较字典长度

如果字典的长度不同，那么用cmp(dict1, dict2)比较大小时，如果字典dict1比dict2长，cmp()返回正值，如果dict2比dict1长，则返回负值。也就是说字典中的键的个数越多，这个字典就越大，即：len(dict1) >len(dict2) ==>dict1 >dict2。

其次比较字典的键

如果两个字典的长度相同，那就按字典的键比较。键比较的顺序和keys()方法返回键的顺序相同。(注意： 相同的键会映射到哈希表的同一位置，这保证了对字典键的检查的一致性)。这时，如果两个字典的键不匹配时，对这两个(不匹配的键)直接进行比较。当dict1中第一个不同的键大于dict2中第一个不同的键，cmp()会返回正值。

然后比较字典的值

如果两个字典的长度相同而且它们的键也完全匹配，则用字典中每个相同的键所对应的值进行比较。一旦出现不匹配的值，就对

这两个值进行直接比较。若dict1比dict2中相同的键所对应的值大，cmp()会返回正值。

完全匹配

到此为止，即每个字典有相同的长度、相同的键、每个键也对应相同的值，则字典完全匹配，返回 0 值。

(2)映射类型相关的函数

dict()

工厂函数被用来创建字典，如果不提供参数会生成空字典。当容器类型对象做为一个参数传递给方法 dict()，如果参数是可以迭代的，即一个序列或是一个迭代器或是一个支持迭代的对象，那每个可迭代的元素必须成对出现。在每个值对中，第一个元素是字典的键、第二个元素是字典中的值。

>>>dict(zip((‘x‘, ‘y‘), (1, 2))) {‘y‘: 2, ‘x‘: 1} >>>dict([[‘x‘, 1], [‘y‘, 2]]) {‘y‘: 2, ‘x‘: 1} >>>dict([(‘xy‘[i-1], i) for i in range(1,3)]) {‘y‘: 2, ‘x‘: 1}

如果输入参数是(另)一个映射对象，比如一个字典对象，对其调用dict()会从存在的字典里复制内容来生成新的字典。新生成的字典是原来字典对象的浅复制版本，它与用字典的内建方法copy()生成的字典对象是一样的，

但是从已存在的字典生成新的字典速度比用copy()方法慢，推荐使用copy()。

len()

内建函数len()很灵活，它可用在序列、映射类型和集合上。对字典调用 len()，它会返回所有元素(键-值对)的数目。

hash()

内建函数hash()本身并不是为字典设计的方法，但它可以判断某个对象是否可以做一个字典的键。将一个对象作为参数传递给 hash()，会返回这个对象的哈希值。 只有这个对象是可哈希的，才可作为字典的键 (函数的返回值是整数，不产生错误或异常)。如果用比较操作符来比较两个数值，发现它们是相等的，那么即使二者的数据类型不同， 它们也会得到相同的哈希值。如果非可哈希类型作为参数传递给hash()方法，会产生TypeError错误，因此如果使用这样的对象作为键给字典赋值时会出错。

2.映射类型的内建函数和工厂函数使用实例

标准类型函数[type(),str()和cmp()]

字典比较算法

>>>dict1 = {}>>>dict2 = {‘host‘:‘earth‘,‘port‘:80}>>>cmp(dict1,dict2)-1>>>dict1[‘host‘] = ‘earth‘>>>cmp(dict1,dict2)-1>>>dict1[‘port‘] = 80 >>>cmp(dict1,dict2)0>>>dict1[‘port‘] = ‘tcp‘>>>cmp(dict1,dict2)1>>>dict2[‘port‘] = ‘udp‘>>>cmp(dict1,dict2) -1>>>cdict = {‘fruits‘:1}>>>ddict = {‘fruits‘:1}>>>cmp(cdict,ddict)0>>>cdict[‘oranges‘] = 0>>>cdict[‘apples‘] = 0 >>>cmp(cdict,ddict)1

映射类型相关的函数

dict()>>>dict(zip((‘x‘,‘y‘),(1,2))){‘y‘: 2, ‘x‘: 1}>>>dict([[‘x‘,1],[‘y‘,2]]) {‘y‘: 2, ‘x‘: 1}>>>dict([(‘xy‘[i-1],i) for i in range(1,3)]){‘y‘: 2, ‘x‘: 1}>>>dict(x=1,y=2){‘y‘: 2, ‘x‘: 1}>>>dict8 = dict(x=1,y=2)>>>dict8{‘y‘: 2, ‘x‘: 1}>>>dict9 = dict(**dict8)>>>dict9{‘y‘: 2, ‘x‘: 1}>>>dict9 = dict8.copy()>>>dict9{‘y‘: 2, ‘x‘: 1}len()>>>dict2 = {‘name‘:‘earth‘,‘port‘:80}>>>dict2{‘name‘: ‘earth‘, ‘port‘: 80}>>>len(dict2)2

篇2：映射和函数补充练习题

一.看拼音，写字词。

堪称逆境权衡前辈

狭窄圣殿铅笔钢铁

二.把下列词语补充完整，并解释所填的字词。

哺喂食

缩节约

胜成功

颖东西末端的尖锐部分

惴惴形容又发愁又害怕的样子

寥寥数量少

鼎鼎盛大的样子

孜孜勤勉，不懈怠

三.在括号里填上合适的词语。

惴惴不安大名鼎鼎致电题写灰心孜孜不倦脱颖而出

四.读下列句子，写出自己的体会。

1.夏洛蒂不畏生活的艰辛与不畏环境的险恶的不屈精神。

2.不是妇女的事业夏洛蒂的痛苦和她坚强的***格

3.她们付出的艰辛的努力表明她们不是真正的小草和大树，小草也可以通过努力变为大树，就像夏洛蒂姐妹一样。

五.读了夏洛蒂三姐妹的故事，了解了逆境中成才的许多事例，你想用什么样的名言警句来勉励自己坚持不懈、奋发向上？

莫为失败找理由，只为成功找方法。

篇3：映射和函数补充练习题

1992年,Bevis首先基于GPS差分技术研究了利用地基GPS获取对流层延迟的方法[1]。然而,想要获取测站的绝对对流层延迟,必须引入超远的GPS参考站(>500 km),这样做必然增加数据解算难度和时间,从而不利于GPS技术在当今实时水汽遥感和天气预报中的应用。相比而言,GPS非差技术在某些方面较差分技术具有更多优点,模型简单,可用的观测值多,能直接得到测站坐标、接收机钟差和天顶对流层延迟(ZTD),各个测站的观测值不相关有利于质量控制,测站与测站之间无距离限制等[2~4]。最新研究表明,使用精密单点定位(PPP)技术,可以获得亚厘米级精度的绝对可降水汽含量(PWV),ZTD的估计精度大约是几个毫米(<6mm),相当于水汽辐射计的测量精度[4]。因此,基于PPP技术开展实时GPS遥感水汽的研究将具有重要的理论意义和实用价值。

本文基于PPP技术,用修改后的GT软件[5],分析了水平梯度在气象变化剧烈时的作用,以及在低高度截止角时对ZTD精度的影响;同时也比较了目前最新的动态映射函数(VMF1)以及两种主要的静态经验映射函数(NMF和GMF)对ZTD估计精度的影响。

1 附有水平梯度的对流层延迟模型

经典的PPP观测值方程是基于双频数据的无电离层组合[2,6],其主要目的是为了消除电离层的一阶影响。在使用卫星精密星历和精密钟差改正之后,PPP观测值方程将简化为:

式中,P(Li)是Li的伪距观测值(m);Φ(Li)是Li的载波相位观测值(m);ρ是几何距离,(XS,YS,ZS)是信号发射时刻t的卫星坐标(m),(x,y,z)是信号接收时刻的接收机坐标(m);c是光速(m/s);d T是接收机钟差(s);ΔT是对流层延迟(m);λ是无电离层组合观测值的波长(m);N′是无电离层组合观测值的浮点模糊度(周);dm ult/P(L1+L2)是伪距测量值的多路径效应(m);dm ult/Φ(L1+L2)是载波相位测量值的多路径效应(m);ε(·)是测量噪声。除此之外,观测模型还需要做的误差改正有相对论效应、相位缠绕、卫星和接收机的相位中心偏差、固体潮、海洋潮汐、极移、章动。误差改正的具体模型参见相关文献[7]。

常规的对流层延迟改正模型为:

其中,ZHD是天顶干延迟,计算ZHD可用Saastamoinen先验模型(精度可达2~3 mm);ZWD=ZTD-ZHD,是天顶湿延迟;m(·)为映射函数,ε是高度角,下标h和w各自代表干延迟和湿延迟。式(3)基于大气层在各方向上是均质的这一假设,即干—湿对流层模型。但是,大气层并不是在各方向上均质的,因此研究人员提出了另一种对流层延迟模型,这种模型增加了水平梯度(Horizontal Gradients)改正项[8,9]。附有水平梯度的对流层延迟模型为:

式(4)中下标azi代表梯度,是方位角,(GNcos Ф+GEsin Ф)是梯度向量(GN,GE)和方位角向量(cos Ф,sin Ф)的点积。式(4)即为干—湿—梯度对流层模型。对于梯度映射函数m(ε)azi,各方向不均性主要来自水蒸汽,所以使用湿延迟的映射函数作为梯度映射函数:

PPP数据处理中每个历元需要估计的未知向量包括三个位置坐标参数(x,y,z),一个接收机钟差参数(d T),一个天顶总延迟参数(ZTD),两个对流层梯度参数(GN,GE)和无电离层组合的浮点模糊度参数N′(等于卫星数)。天顶对流层延迟ZTD以及梯度参数(GN,GE)都采用随机游走的方法估计,接收机钟差使用白噪声的方法估计,解算方式采用逐历元卡尔曼滤波,并做回退(Backward)处理。

1.1 不同气象条件下水平梯度的作用

为了检验水平梯度在不同气象条件下的效用,我们选择了中国5个IGS参考站(BJFS;KUNM;LAHZ;SHAO;WUHN)的2009年1月份和7月份数据来做试算。使用Niell映射函数(NMF),高度截止角设为10°,分别以附加水平梯度和无水平梯度参数两种方案来解算,并以IGS公布的ZTD数据产品作为参考值(精度优于4mm)。为节省篇幅,这里只给出SHAO站7月份的结果。

图1是无水平梯度(Without HG)和附加水平梯度(With HG)时PPP-ZTD与IGS-ZTD之间的偏差。可以看出,无论使用梯度参数与否,PPP-ZTD和IGS-ZTD的偏差基本上都在1cm以内。整体上,附加水平梯度时ZTD偏差比无水平梯度时的ZTD偏差较小。

图2给出了1月份和7月份时PPP-ZTD与IGS-ZTD偏差的RMS,With Gradient表示附加了水平梯度,No Gradient表示没有附加水平梯度。图2中结果表明,1月份时,附加水平梯度与否对ZTD估计精度影响较小;而在7月份,附加水平梯度的ZTD精度明显优于无水平梯度时。这主要是因为1月份我国大部分地区干燥少雨,对流层模型中有无水平梯度参数对ZTD解算精度的影响不大;而在7月份时,我国大部分地区比较湿润多雨,气象变化剧烈,对流层中的湿度变化很大,加入水平梯度参数后对ZTD的估计精度有较好的改善。

1.2 低高度角时水平梯度参数的作用

为了分析低高度角时水平梯度参数对ZTD估计精度的影响,我们选择了2009年7月份中的7天(2009.07.03~2009.07.09)的GPS数据来做试算。表1记录了不同高度截止角(7~20°)时的PPP-ZTD与IGS-ZTD的平均偏差及其RMS值。

从表1可以看出,ZTD平均偏差都在8mm以内,RMS在7mm以内。无论高度角为多大,附加水平梯度时,总可以提高ZTD的估计精度,尤其在低高度角时,精度的改进较多。就RMS值而言,在7°和10°时,ZTD偏差的RMS均优于5mm,随着高度角的增大,精度会进一步降低,平均偏差也会进一步增大。因此,在GPS数据处理中降低高度截止角,增加水平梯度,可以提高ZTD估计精度,也有利于使用更多的低高度角数据。

基于本节的分析,下文的ZTD解算统一设置截止角为7°,并考虑水平梯度改正模型。

2 映射函数对ZTD估计精度的影响分析

2.1 Neill映射函数

基于随时间周期性变化的大气层分布,采用美国标准大气模式中北纬一些地区(15°、30°、45°、60°、75°)冬季(一月)和夏季(七月)的温度和相对湿度廓线,Niell发展了NMF映射函数,该函数考虑了南北半球和季节性的非对称性。映射函数中干投影项还包括与地理测站高程有关的改正,反映了大气密度随高度增加而减少的变化率[10,11]。NMF模型采用的是Marini于1972年提出的连分式形式:

式(6)中ε为观测高度角,i是h或w,分别代表干延迟或湿延迟映射函数;式(6)的第二项仅用于干延迟映射函数中与测站高程有关的改正项,H为测站的正高(m),ah=2.53×10-5,bh=5.49×10-3,ch=1.14×10-3。式(6)第一项中的投影系数ai、bi和ci是测站纬度 Ф和年积日doy的函数,各系数的具体计算方法参见相关文献[10]。

Niell映射函数除了考虑纬度因素外,还考虑了对流层的季节性变化和不同高程的影响。另外,NMF不包含气象元素,不受气象元素观测误差的影响,这也正是其在GPS数据处理中得到广泛应用的原因之一。但是,NMF仅仅依赖于测站的纬度和观测时间,导致其在不同维度地区存在一定的系统偏差,特别是南半球的高纬度地区。

2.2 VMF1映射函数

Niell于2000年提出了一种基于数值气象模型(NWM)参数的映射函数,即IMF[12]。IMF也采用类似于NMF的三项连分式,与NMF不同之处在于其干湿延迟映射函数系数的计算方法。随后,Boehm又在IMF基础上发展出了VMF。VMF的干延迟部分使用了IMF系数b和c,而在湿延迟部分使用NMF纬度为45°时的b和c(bw=0.00146,cw=0.04391)[13]。VMF以初始高度角为3.3°采用射线追踪法计算干湿映射函数系数a。计算结果可近实时从奥地利维也纳理工大学大地测量研究所网站下载(http://mars.hg.tuwien.ac.at/~ecmwf1)。用户可用全球格网点的ah和aw值采用一定的内插算法求取测站的ah和aw值[14]。

VMF1是Boehm等在VMF基础上的进一步改进。在VMF1中,射线追踪法得到的系数c拟合为纬度和年积日的函数以消掉系统误差[15],干延迟映射函数的系数为:

式(7)中, Ф是纬度;ψ指定北半球(ψ=0)或南半球(ψ=π)。干延迟映射函数的系数c0,c10,c11的值可查表获知。湿延迟映射函数VMF1的系数分别为bw=0.00146,cw=0.04391。

2.3 GMF映射函数

GMF(Global Mapping Function)是Boehm等为了简化VMF1的计算,方便实时应用而提出的一种新的基于NWM的经验映射函数[16]。GMF采用VMF1模型计算的系数b和c,而模型系数a使用下列的球谐函数在全球格网上计算获得:

9n式(8)中,doy是年积日;a0是平均值;A是年振幅;Pnm(sin)是n阶、m次的Legendre函数;Anm和Bnm为球谐系数。

VMF1需要实测的数字气象预报(NWP)数据,而GMF只需测站坐标和年积日。类似于NMF,GMF也是一种静态经验映射函数,不同的是GMF考虑了与测站经度的敏感性。因此,GMF不像VMF1具有34 h的时延,简化了VMF1的计算方法,提高了模型实时处理的能力,其计算简单,易于实现,可以在全球范围内通用,且与VMF1具有很好的一致性[14]。

2.4 三种映射函数的比较分析

为了比较不同映射函数在对流层延迟估计精度的影响,我们分别应用NMF、GMF和VMF1映射函数,解算了2009.07.03~2009.07.09总共7天的GPS数据。限于篇幅,下面仅给出了SHAO站的计算结果(见图3)。

从图3可以看出,PPP-ZTD与IGS-ZTD偏差很小,基本上都在5mm以内。GMF和VMF1的结果都比NMF的好。图4给出了各个测站ZTD偏差的RMS(整体优于6 mm),更直观地反映出GMF和VMF1比NMF的结果稍优,GMF和VMF1的结果基本相当。因此,基于PPP技术估计对流层延迟时,选用GMF和VMF1映射函数要比NMF映射函数的精度更高。

3 结语

基于GPS技术遥感水汽时,NWP对实时湿延迟的精度要求为6mm,相应的可降水量才能满足1 mm的精度,因此研究提高对流层延迟估计精度的方法具有重要的现实意义。本文基于PPP技术,比较分析了水平梯度和目前三种主要的映射函数对于ZTD估计精度的影响。研究结果表明,(1)当对流层中的湿度变化剧烈时,加入水平梯度改正后,有利于提高ZTD的解算精度;(2)在高度截止角很低时,增加水平梯度改正,可以进一步提高ZTD估计精度;(3)就映射函数而言,GMF和VMF1映射函数比NMF映射函数的结果稍优,而GMF和VMF1的精度相当。

摘要：基于GPS精密单点定位(PPP)技术,比较分析了水平梯度及目前三种主要的映射函数(NMF,VMF1和GMF)对天顶对流层延迟(ZTD)估计精度的影响。研究结果表明,在气象变化剧烈和低高度截止角情况下,附加水平梯度的对流层延迟模型有利于提高ZTD精度;就映射函数效用而言,VMF1和GMF较NMF更优。

篇4：映射和函数补充练习题

数（2）

映 射

逆映射：如果f是A与B之间的一一对应，那么可得B到A的一个映射g：任给bB，规定g(b)a，其中a是b在f下的原象，称这个映射g是f的逆映射，并将g记为f —1.显然有（f —1）—1= f，即如果f是A与B之间的一一对应，则f —1是B与A之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f.典例分析

例1：设A={a,b,c},B={0,1},请写出所有从A到B的映射

变式1：设集合A＝1,0,1,2集合B＝1,0,1。

（1）从集合A到集合B可以构造多少不同的映射？（2）从B到A的映射有多少个？

（3）若B中每个元素都要有原象，这样的映射有多少个？

例2：假设集合M ={0,-1,1} N ={-2,-1 ,0,1,2} 映射f：M→N 满足条件“对任意的x属于M ,x+f(x)是奇数”，这样的映射有多少个？

变式2：设集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 从A到B的映射 f满足条件 ：对每个X∈A 有 f（X）+X为偶数 那么这样的映射f的个数是多少？

变式3：设集合X＝

1,0,1，Y＝2,3,4,5,6，映射f：

XY，使得对任意的xX，都有x+fx+xfx是奇数，这样的映射f有多少个？

例3：已知：集合M{a,b,c}，N{1,0,1}，映射f:MN满足f(a)f(b)f(c)0，那么映射f:MN的个数是多少？

例4：设集合A＝1,0,1，集合B＝2,1,0,1,2。若A中的元

素x对应B中元素f（x），且满足fxfx2，则这样的映射有

多少个？

变式4：知集合M＝

x,y,z，N＝1,0,1，由集合M到N的映射f满足：fx＝fy+fz，那么这样的映射有多少个？

反 函 数

1．反函数的定义

设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件

按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．

3．函数与反函数图象间的关系

函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．

4．反函数的几个简单命题

（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．

（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数． 典例分析

例1：求下列函数的反函数：

(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2]

(2)y=

（3）已知f(x)=(0≤x≤4)

例2：已知点（1，2）既在y=的图象上，又在它反函数的图象上，求a、b．

例3：函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象（）.A、关于直线y=x对称

B、关于直线y=x+1对称

C、关于直线y=x-1对称

D、关于直线y=-x对称

例4：设y=f(x)=, y=g(x)的图象与 y=f-1(x+1)的图象关于y=x

对称，求g(3)的值．

例5：函数y=f(x)=(1+)2-2(x≥-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集．

例6．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).课后练习

1．定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图象与

y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是（）.A、关于直线y=x+a+b对称

B、关于直线x=y+a+b对称

C、关于直线y=x+a-b对称

D、关于直线x=y+a-b对称

2．设定义域为R的函数y = f(x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5)= 1999，那么 f(4)=（）

A、1999

B、2000

C、2001

D、2002

3．设有三个函数，第一个函数式y=f(x)，第二个函数是它的反函数，而第三个函数的图象关于直线x+y=0对称。则第三个函数是（）A、y=-f（x）

B、y=-f（-x）

C、y=-f-1(x)

D、y=-f-1(-x)

4．若函数f(x)的图象过（0，1）点，则f-1(x+4)的图象必过点________．

5．已知f(x)2x3，则f1(x1)______________．

6．已知f(x)2x3，则f(x1)的反函数为_____________．

7．已知yf(x)反函数为yf1(x)，则f(x3)的反函数

_____________．

8．已知yf(x)的图象过点（0,1），则函数yf(4x)的反函数图象过点____________． 9．若函数图象yf1(x)过点（-2,0），则函数图象yf(x5)过点___________． 10．若函数f(x)x,则f11x2(3)=______________． 参 考 答 案

映射

例

1、从A到B的映射共有2^3=8个：（a，b，c）→（0，0，0）；（a，b，c）→（0，0，1）；（a，b，c）→（0，1，0）；（a，b，c）→（1，0，0）；（a，b，c）→（0，1，1）；（a，b，c）→（1，0，1）；（a，b，c）→（1，1，0）；（a，b，c）→（1，1，1）。

变式

1、分析 这个问题是要建立没有限制条件的映射。它的关键是正确理解映射的概念。对于映射f：AB，集合A中的任何一个元素在集合B中都有B中都有唯一的象(可理解为放球模型)，因此，建立从A到B的映射就是给A中的每个元素找到一个象，而A中的每个元素都有3种对应方式，根据乘法原理，共有34个不同的映射。

1)变形思考 C234P3＝36个 2)43个

例

2、①当x=-1时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数” f(-1)=-2,0,2 ②当x=0时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1 ③当x=1时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数

f(1)=-2,0,2 综上①②③可知，只有第②种情况有限制，所以这样的映射共有3×2×3=18个

变式

2、映射可以多对一，要让f（X）+X＝偶数，当X＝－1和1时，只能从B中取奇数，有3，5两种可能，当X＝0从B中取偶数有2 4 6三种，则一共有2×2×3＝12个

变式

3、分析 此题需仔细分析题意，根据映射的定义，要使X中的每个元素都有象，而集合X中只有三个元素，所以我们可以直接对元素进行分类。

1)当x＝－1时，x+fx+xfx＝－1，恒满足题意，所以－1的象可在Y中任取，有5种可能。

2)当x＝0时x+fx+xfx＝f0，要满足题意，0的象可在3，5中任取一个，有2种可能。3)当x＝1时，x+fx+xfx＝1+2f1，恒满足题意，所以－1的象可在Y中任取，有5种可能。由乘法原理得：共有映射525＝50个。

例

3、思路提示：满足f(a)f(b)f(c)0，则只可能

00001(1)0，即f(a)、f(b)、f(c)中可以全部为0，或0,1,1各取一个．

解：∵f(a)N,f(b)N,f(c)N，且f(a)f(b)f(c)0 ∴有00001(1)0．

当f(a)f(b)f(c)0时，只有一个映射；

当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有32＝6个映射．因此所求的映射的个数为1＋6＝7．

评注：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想．

例

4、分析 这是一个要建立有限制条件的映射，所以关键是分析它有何限制条件。由条件fxfx2可知，f1f12＝

f1，也就是说，－1和1应该和同一个元素对应，又f0f02是一定

满足的，所以这样的映射可以有：55＝25个。变式:

4、7个。

反 函 数

例

1、解：（1）∵ y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2]，∴-2≤y≤1且(x+1)

2=y+3.∴ x+1=-, y=-1-，∴ 所求反函数y=-1--2≤x≤1.(2)若x≤0，则y=x2

≥0, x=-.若x>0, 则 y=-x-1<-1, x=-y-1.∴ 所求反函数y=.（3）∵0≤x≤4,∴0≤x2

≤16, 9≤25-x2≤25, ∴ 3≤y≤5，∵ y=, y2

=25-x2, ∴ x2

=25-y2

.∵ 0≤x≤4, ∴x=

(3≤y≤5)

将x, y互换，∴ f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).评注：求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域．

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）将x、y交换位置得y=f-1(x)．

（4）求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，它们联合在一起构成原函数的反函数．

例

2、解：∵点（1，2）在y=上，∴ 2=...........(1)

∵点（1，2）在y=的反函数的图象上，∴点（2，1）在y=

上，∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7．

评议：本题目巧妙的运用了：若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．

例

3、解答：y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵ y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1.故选B.例

4、解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-

1(x+1)的反函数，即它们关于y=x对称．所以g(x)=f(x)-1，∴g(3)=f(3)-1=

-1=

．

例

5、分析：若先求出反函数f-

1(x)=2-2(x≥-2)，再求它的解集，这时由题设有

2-2=(1+)2-2.整理得四次方程，求解

有困难，但我们可利用y=f(x)与y=f-1

(x)的图象关系求解．

首先画出y=f(x)=(1+)2-2的图象，如图所示．因为互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x对称的，故立即可画出y=f-1

(x)的图象，由图可见两图象恰有两个交点，且交点在y=x上，因此可由方程组：

解得 x=2或-2, 从而得方程f(x)=f-1

(x)的解集为{-2,2}． 例

6、解：设f-

1(5)=x0, 则 f(x0)=5,即 =5(x0≥3)

∴ x02+1=5x0-5, x0

2-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴ f-1

(5)=3.课后练习

1、解答:将y=x向左平移a个单位，向上平移b个单位得y=x+a+b，故选A.2、解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2)反函数是y = f(x－1)，而y = g-

1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,应选（C）

3、B

4、分析：∵f(x)的图象过（0，1）点，∴ f-1(x)的图象过（1，0）点，而f-1(x+4)-1的图象是把y=f-

1(x)的图象向左平移4个单位而得到的，故f(x+4)的图象过(-3,0)点．

5、f1(x1)=12(x4)

6、y12(x1)

7、yf1(x)

38、（1,4）

篇5：映射和函数补充练习题

指数函数的性质与图像

一、选择题

1、使x2＞x3成立的x的取值范围是（）

A．x＜1且x≠0 C．x＞1

a

b

cB．0＜x＜1 D．x＜1

d

2、若四个幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（）

A．d＞c＞b＞a

B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b

D．a＞b＞d＞c

3、在函数y＝

132，y＝2x，y＝x＋x，y＝1中，幂函数有（）2x

B．1个

xA．0个

C．2个

D．3个

4、如果函数f（x）＝（a2－1）在R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）

A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2

C．｜a｜＞3

D．1＜｜a｜＜2

x－

25、函数y＝a

＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（）

B．（1，1）

C．（2，0）

D．（2，2）A．（0，1）

x6、函数y＝a在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y＝3ax－1在［0，1］上的最大值是（）

A．6

xB．1

C．3

D．

27、设f（x）＝()，x∈R，那么f（x）是（）

A．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数

B．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数

C．函数且在（0，＋∞）上是减函数

D．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数

8、下列函数中值域为正实数的是（）

A．y＝512x1

2B．y＝()

31x

C．y＝()－1 12x

D．y＝1－2x

9、函数y＝ －x＋1＋2的图象可以由函数y＝（1x）的图象经过怎样的平移得到（）2A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

10、在图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝（bx）的图象只可为（）a

11、若－1＜x＜0，则不等式中成立的是（）

A．5＜5＜0.5xx－xxx x

B．5＜0.5＜5 D．0.5＜5＜

5x

－x

xx－xC．5＜5－＜0.5

x

二、填空题

12、函数y＝－2－x的图象一定过____象限．

x－113、函数f（x）＝a14、函数y＝3－x＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是___________．

与__________的图象关于y轴对称．

1x2115、已知函数f（x）＝()

3三、解答题

16、已知幂函数f（x）＝x，其定义域是____________，值域是___________．

13p2p22（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）．

对数函数的性质与图像

一、选择题

1、log5(a)2（a≠0）化简得结果是（）

B．a2

12A．－a

C．｜a｜

D．a

2、log7［log3（log2x）］＝0，则x

A．

等于（）

C．B．

12312

2D．

133

3、log

n1n（n＋1－n）等于（）

B．－1

C．2

D．－2 A．1

1)的定义域是（）

4、函数f（x）＝log1(x－ A．（1，＋∞）C．（－∞，2）

B．（2，＋∞），2] D．（15、函数y＝log1（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）A．（－∞，1）C．（－∞，B．（2，＋∞）D．（3）

23，＋∞）

26、若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则

A．4

C．1或4

y的值为（）x

1B．1或

D．

47、若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log2a（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（）

A．（0，C．（1）

2B．（0，1）21，＋∞）

D．（0，＋∞）228、函数y＝lg（－1）的图象关于（）

1－x

A．y轴对称

C．原点对称

B．x轴对称 D．直线y＝x对称

二、填空题

9、若logax＝logby＝－则xy＝________．

10、若lg2＝a，lg3＝b，则log512＝________．

11、若3＝2，则log38－2log36＝__________．

12、已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．

13、函数f（x）的图象与g（x）＝（单调递减区间为______．

14、已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（则不等式f（log4x）的解集是______．

三、解答题

15、求函数y＝log1（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

31logc2，a，b，c均为不等于1的正数，且x＞0，y＞0，c＝ab，2a

1x）的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的31）＝0，216、设函数f（x）＝23－2x＋lg，3x＋53＋2x

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；

（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点吗?

－

－

篇6：映射和函数补充练习题

分形图像编码作为一种新的编码方法,是近年来发展起来的以分形几何学为数学基础的图像编码技术。Barnsley于1982年最早提出了分形理论,此后Jacquin提出了一种基于局部迭代函数系统(IFS)的全自动的分形编码方法[1]。由于分形编码具有较高的压缩比、解码速度快、解码的图像与分辨率无关等优点,受到了许多学者的重视,是近年来图像编码方面研究的热点和焦点之一。

Jacquin提出的固定方块分割方法有一个致命的缺点[2]:对于每一幅图像都要生成和它相对应的压缩字典,也就是说分形压缩编码的字典是变化的。由于分形编码搜索过程的复杂性和数据字典的变化性,使得分形编码高压缩比的优点被其较长的编码时间所抵消。

为解决分形编码中数据字典变化的不足以及利用分形“自相似”的特点,笔者提出将Carotid-Kundalini函数和Logistic混沌映射用于图像压缩编码中。利用Carotid-Kundalini分形集的变化性和自相似性,用Logistic映射生成的量化表对生成的分形集进行量化,得到一个丰富且固定的压缩字典,有效地打破了压缩图像和数据字典之间的一一对应关系。

1Carotid-Kundalini函数分形集

最近Cooper考虑了用f(z)=cos(Nzk arccos z)+C,C、N均为复数,K为正整数,定义的K阶复Carotid-Kundalini函数,并研究了该函数的分形集。此函数可产生一类新的Julia集,这里称为Julia-CK集[3]。

众所周知,所有的Julia集,Mandelbort集和高阶Mandelbort集都是有界集。或许,到目前为止我们所知道的分形集都是有界的,如Cantor曲线、Koch曲线等都是有界的。到目前为止在Julia型,Mandelbort型分形集中,用Carotid-Kundalini函数可产生第一个用迭代方法产生的无界分形集。

一般地,Julia集关于Mandelbort轴是对称的,关于实轴是不对称的。Mandelbort集和高阶Mandelbort集关于实轴是对称的。

K阶的复Carotid-Kundalini函数生成的分形图具有以下特征[4](K=1,2,3,…):

(1) 当C为实数,N为纯虚数或实数时,K阶Julia-CK集关于实轴是对称的。

(2) 当C不为实数或N不为纯虚数或实数时,不能得到对称的Julia-CK分形。

(3) 当C=0且N为实数时,对于一切的X∈[-1,1]都属于K阶Julia-CK集。

(4)当C=0且N为实数时,K阶Julia-CK集分形集图形具有2K个触角且触角无界。

利用逃逸时间算法,取C=0,N=1.5,生成的K阶Julia-CK集的分形图如图1所示。

(5) 一阶的Julia-CK分形在C=0,N=1.5时的主部与Mandelbort分形非常相似,见图2。

(6) Julia-CK在C=0,N为实数时,生成的分形的两条“瓣状”部分与分形的主体部分是连通的。

用Carotid-Kundalini函数生成的分形集的对称性、自相似性、变化性非常好。当C和N充分大时,它几乎是一个空集合,仅需要考虑C和N较小时的情况就可以了。在分形编码中,为减少时间复杂度,取一阶Carotid-Kundalini函数生成的分形集。

2Logistic映射

混沌是一种确定性系统中出现的类似随机的过程。混沌产生于确定性系统,完全有别于随机运动。Logistic映射能产生混沌现象。

Logistic方程是一个非常简单的非线性抛物线函数,可以表示为[6]:

XK+1=λXK(1-XK) (K=0,1,…)

其中X0∈[0,1],λ∈[0,4]。经过多次映射之后,Logistic映射具有无限个重复的自相似结构。当3.57≤λ≤4时,Logistic方程产生混沌现象,且产生的混沌序列对初始值X0十分敏感。本文用它产生的可控的随机数来填充量化表,增加压缩字典序列的变化性。

本文采用当λ=4时的Logistic映射来产生混沌随机序列。取seed为混沌随机序列的“种子”。选择一个初始种子,当第一次调用前,置其中的标志flag=0,在使用Logistic方程迭代100次之后作为混沌序列的输出,同时将flag置为1。以后调用该函数迭代5次后作为混沌序列的输出。

取seed=0.40,num=255调用上述函数256次产生的随机数来填充第一张16*16量化表,接着再调用该函数256次产生第二张量化表,第三张量化表…,直到产生第600张量化表为止。将生成的第600张量化表用于量化Carotid-Kundalini函数分形块。

3Carotid-Kundalini函数图像块的生成算法

(1) 取一个64*64像素的正方形,初始化每个像素值为0。

(2) 设定迭代的次数为10,逃逸半径为6.0。

(3) 将每个C(-0.96≤a≤0.96,-0.96≤b≤0.96)和N(-2.88≤a≤2.88,-2.88≤b≤2.88)代入Carotid-Kundalini函数方程f(z)=cos(Nz arccos z)+C,计算得出二次函数的模。若模大于6.0,则断定该点是逃逸点,该点对应的像素值置为1。

(4) 对于正方形中的每一点,重复执行(3)。

(5) 将上述64*64的正方形分割为4*4个16*16的小正方形。对于小正方形中的每个点,若其像素值为1,则用Logistic映射生成的量化表中相应位置的值来代替该点的像素值;若为0,则保持该点的像素值不变。

(6) 对每一个小正方形量化后的灰度值求和,结果除以多个适当的整数并进行相应的调整后,作为4*4小正方形中像素点的灰度值并保存到文件中。

量化完成后,整个64*64的正方形对应一个大小为4*4的量化后的正方形。本文将量化后的4*4正方形称为一个“Julia-CK量化曲线”。同时利用减去偶数行而不减去奇数行灰度值的方法增加编码字典的数量。

接着根据Julia-CK量化曲线的特征,预先将其分类,分类的目的是为了更好地实现压缩。以后对于子块,只需要在它所对应的父块类中搜索,这样可以减少搜索时间。分类主要是根据图像块的特征值进行的,主要是均值、方差和任意两点像素值之差的绝对值之和。

均值:$\mu {}_j=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b}{}_i{}^j(1)$

方差:$\mathrm{var}{}_j=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n(}b{}_i{}^j-\mu {}_j){}^2(2)$

像素值之差的绝对值之和:$\mathrm{var}1={\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}i{}_1\ne i{}_2\\ i{}_1,i{}_2\in D{}_j\end{array}}}$bi1j-bi2j (3)

根据灰阶分布的集合特性,将其分为平滑块Ds,边缘块De,中间纹理块Dm。在实验中设定T1为300-400,T2为2000,T3为2500。给定T1,T2,T3,满足T1<<T3,T2<T3,Julia-CK量化曲线分类的原则是:

当varj<T1,且var1<T2时,为平滑块Ds;

当T1<varj<T3,且${\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}i{}_1\ne i{}_2\\ i{}_1,i{}_2\in D{}_j\end{array}}}$bi1j-bi2j>T2,为中间纹理块Dm;

当varj>T3,且${\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}i{}_1\ne i{}_2\\ i{}_1,i{}_2\in D{}_j\end{array}}}$bi1j-bi2j>T2,为边缘块De。

对于方差与任意两像素值的绝对值之差为零的块,此类压缩块对分形压缩用处不大,可以从压缩字典中除去。完成分类之后,就得到了一个固定的压缩字典。

4算法的实现

4.1编码算法的实现

(1) 用Logistic映射生成的量化规则表和Carotid-Kundalini函数图像块生成数据字典,并根据设定的T1,T2和T3值对数据字典进行分类。

(2) 将要编码的图像划分成4*4的小正方形块。求出均值和方差,判断该正方块属于父块的哪一类。当该正方形块的均值和方差在50以内时,用均值代替,不必到字典中匹配。

(3) 每一小正方形块在相应的分类字典中进行搜索,在搜索的过程中,求出该正方形块与数据字典中的正方形块之间的豪斯多夫距离,保存距离最小的数据字典中正方形块的分形参数到文件中。

(4) 当每个小正方形块都完成了编码时,整个图像压缩编码结束。

4.2解码算法的实现

(1) 初始化一幅空白图像,并将其分为互不重叠的4*4的图像块。

(2) 从文件中依次读取每个块相应的信息。重建量化表后,根据分形参数和量化表重建4*4大小的Carotid-Kundalini函数分形图像块来填充空白图像。若遇到用平均值代替的块,则用平均值填充。

(3) 重复(2)直到文件尾为止,这时就完成了解码工作。

5实验结果

本实验对一幅256*256*8的Pepper.bmp图像进行了试验,得到的结果见图3、图4、表2、表3。

6结论

通过改进原有的分形编码方法,将Carotid-Kundalini函数和Logistic映射运到分形编码中,并对生成的Julia-CK量化曲线进行详细地分类,得到固定且丰富的压缩字典,打破了图像和压缩字典之间的一一对应关系,加快了分形编码的速度,解码后的图像效果好,且具有较高的压缩比。实验证明,本方法简单、切实可行。

参考文献

[1]Jacquin AE.Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated Con-tractive Image Transformations[J].IEEE Transaction on Image Pro-cessing,1992,1(1):18-30.

[2]Jacobs E W,Fisher Y,Boss R D.Image Compression:Astudy of the Itera-ted Transformation Method[J].Signal Processing,1992,29(2):492-523.

[3]Gordon R J Cooper.Julia set of the complex Carotid-Kundalin function[J].Computer&Graphics,2001(25):153-158.

[4]范延军,孙燮华.高阶Carotid-Kundalini函数Julia函数分形集的特性[J].计算机工程与应用,2006(1):86-88.

[5]盛昭瀚,马军海.非线性动力系统分析引论[M].北京:科学出版社,2002.