高考试题汇编计数原理

关键词：

高考试题汇编计数原理（共10篇）

篇1：高考试题汇编计数原理

2014年高考数学（文）真题分类汇编：计数原理

2014年高考数学（文）真题分类汇编：计数原理

J1 基本计数原理

J2 排列、组合7．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()

A．60种B．70种

C．75种D．150种

7．C

J3 二项式定理

13．[2014·全国卷](x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)

13．－160

J4 单元综合

篇2：高考试题汇编计数原理

J1 基本计数原理

J2 排列、组合7．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()

A．60种B．70种

C．75种D．150种

7．C [解析] 由题意，从6名男医生中选出2名，5名女医生中选出1名组成一个医

21疗小组，不同的选法共有C6C5＝75(种)．

J3 二项式定理

6313．[2014·全国卷](x－2)的展开式中x的系数为________．(用数字作答)

6r6－rr13．－160 [解析](x－2)的展开式的通项为Tr＋1＝C6x(－2)，令6－r＝3，解得r

333＝3.因为C6(－2)＝－160，所以x的系数为－160.J4 单元综合2．[2014·汕头一模] 某同学有2本同样的画册，3本同样的集邮册，从中取出4本赠送给4位朋友，每人1本，则不同的赠送方法共有()

A．4种B．10种

C．18种D．20种

12．B [解析] 本题可分两类：一是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有C4＝

24(种)；二是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C4＝6(种)．故赠送方法共有10

种．

3．[2014·惠州调研] 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案的种数为()

A．12B．14

C．16D．10

43．B [解析] 从6人中选4人的方案有C6＝15(种)，没有女生的方案只有1种，所以

满足要求的方案共有14种.4．[2014·成都一诊] 世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为()

A．12B．1.C．8D．6

篇3：高考试题汇编计数原理

关键词：计数原理,二项式定理,思维不严谨

笔者通过连续几年指导学生备考复习得出, 其实解决这个问题的办法是比较简单的, 那就是随时留意自己在复习中的知识漏洞, 在以后的解题过程中, 时常有意识地提醒自己, 别再犯类似的错误。

下面笔者就“两个计数原理和二项式定理”在学生复习中常见的问题做总结, 望引起广大考生注意。

一、“加法”与“乘法”原理混淆致误

排列组合问题基于两个计数原理, 即加法原理和乘法原理, 故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提。在教学中必须分清分类原理与分步原理的本质差异, 强调加法原理“只要完成某一类办法中某一种方法就完成了这一事件”, 而乘法原理“只有依次完成每一个步骤才能完成这一事件”, 注意办法与办法, 每一办法中的方法与方法是相互独立、互相排斥的;而步骤与步骤是连续的, 每一步骤的方法与方法是相互独立、互相排斥的。

例1:某校高一有6个班, 高二有5个班, 高三有8个班, 各年级举行班与班之间篮球单循环赛, 则共需要进行比赛的场数为 ()

解析:依题意, 高一有比赛C62场, 高二有比赛C52场, 高三有比赛C82场, 由分类计数原理, 得共需要进行的场数为C62+C52+C82, 故选B。

二、“排列”与“组合”的概念混淆致误

从n个不同的元素中, 任取m (m≤n) 个元素, 按照一定顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

从n个不同的元素中, 任取m (m≤n) 个元素, 并组成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

它们的共同点就是都要从n个不同的元素中任取m个元素, 而不同点在于排列要把取出的m个元素按照一定顺序排成一列, 组合则没有这个要求。简言之, 排列是“一选元素, 二排顺序”, 组合是“只选元素, 不排顺序”, 因此应抓住是否与顺序有关来区分排列、组合。

界定排列与组合, 唯一的标准是“顺序”, “有序”是排列问题, “无序”是组合问题, 若排列与组合问题并存, 解答时, 一般采用先组合后排列的方法。

例2:有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球, 排成一排, 则不同的排法有______种。

解析.8个小球拍好后对应着8个位置, 题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球, 剩下的位置给白球, 由于这3个红球完全相同, 所以没有顺序, 是组合问题。这样共有:C83=56种排法。

答案:56。

例3:在一张节目表上原有6个节目, 如果保持这些节目的相对顺序不变, 再添加进3个节目, 求共有多少种安排方法?

解法1:添加的3个节目有三类方法排进去:

第一类三个节目连排

把添加的3个节目看做是一个假想元素, 放进原来6个节目的排列中所出现的7个空中, 有C71种放法。

添加的3个节目进行排列后, 则有C13A33种排法。

第二类添加的3个节目互不相邻

把添加的3个节目, 放进7个空档中有A37种排法。

第三类有且仅有2个节目相邻

把添加的3个节目看做两个假想元素, 共有C31C71·C162A2种排法。

根据分类计数原理, 有C17A33+A37+C13C17 C16A22=504 (种)

∴共有504种不同的排法。

解法2:把添加的3个节目放进后, 共有9个节目先排入3个添加的节目, 共有A93种排法, 而原来的6个节目, 按顺序放入只有1种放法。

∴共有A93=504 (种) 排法。

评注:本题是排列、组合的混合问题, 应注意使用假想元素法、插空法等常用方法。

三、项与二项式系数的对应关系不清致误

例4: (1-x2) 20的展开式中, 若第4r项和第r+2项的二项式系数相等, 则r=______.

∵r∈N∴无解。

错因:此题并不是无解, 而是上面的解答过程错误, 将r项对应的二项式系数错误的认为是Cnr。实际上Cnr是r+1项的二项式系数, 而第r项的二项式系数是Cnr-1。

答案:4。

四、项系数与二项式系数混淆致误

二项式系数与各项系数是两个既有联系又有区别的概念, 二项式系数是展开式中各项所含有的组合数, 即Cnr (n=0, 1, 2, …n) , 项的系数是各项的字母系数, 要特别区分清楚。

例5:设的展开式中, 第三项的系数为36, 则x2项的系数为___.

解析:的展开式的第三项为

∴, 即n2-n-12=0, 解此方程并舍去不合题意的负值, 得n=4, 设的展开式中x2的项为第r+1项, 则, 由4-r=2, 得r=2, 即的展开式中x2的项为.所以x2项的系数为36.

答案:36。

考生们在平时的学习过程中, 应注意对做过的题进行归纳和整理。特别是做过的试卷进行改错, 明确哪些是明明会却做错了的题;哪些是模棱两可、似是而非的题。其实, 出现这些问题的原因是:记忆不准确, 理解不透彻, 应用不够自如。建议考生一定要掌握好基本概念, 主动总结, 及时纠错, 做题后认真反思, 避免下次再犯类似的错误。

参考文献

[1].数学爱好者.高考版 (刊号CN14-1342∕01) .2011年第二期.

[2].2011年普通高等学校招生全国统一考试大纲 (文科.数学) .高等教育出版社.

篇4：两个计数原理的应用

分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础.在利用这两个原理解决排列、组合问题时要弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事的不同方法数而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.本文谈谈如何用好两个记数原理迅速解决相关问题.

一、分类问题

例1： 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

解法一：分析个位数字，可分以下几类：

个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……个位是2的只有1个.

由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8= （个）

解法二：按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.

则共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.

方法归纳：本题是用分类加法计数原理解答的.结合本题可进一步加深对“完成一件事，有n类方案”的理解，所谓“完成一件事，有n类方案”，这里是指对完成这件事情的所有方案的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这类事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.

二、分步问题

例2 ：在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有_____________.

解法一：1、2、3、4、5组成无重复五位数，大于23145且小于43521的有

（1）形如 ，后两位只能填5、4，

∴有1种数合要求.

（2）形如 ，第三位选4或5都满足要求，后两位任选都可.

∴符合要求的数有C ·A =4种.

（3）形如 ，第二位选4或5，后三位任选，方法数为C ·A =12种.

（4）形如 ，第二位开始，均可任选，方法数为A =24种.

（5）形如 ，第二位选1或2，后三位任选，方法数为C ·A =12种.

同理形如 ，2A =4种，形如 ，1种.

∴合要求总数为（1+4+12）×2+24=58种.

解法二：可用类似方法算出小于43521的5位数个数与小于等于23145的五位数个数.两数之差即为小于43521且大于23145的五位数个数.

答案：58种

评述：用分步排位的方法计算排列数时，必须注意三个方面：（1）在题设条件制约下，每一步排位，哪些元素可取，哪些元素不可取；

（2）在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视具体情况而定；

（3）若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算.

三、分类、分步综合问题

例3：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答）

解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.

（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；

（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；

（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种.

所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.

解法二：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A 种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.

根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A ×5=120.

答案：120

评述：解法一是常规解法，要先弄清什么是区域相邻的概念，如果两个区域至少有一条公共边，那么我们说这两个区域相邻，如图中1、2、3三个区域两两相邻，与不相邻，因此1、2、3三个区域的颜色两两不同，②与⑤、③与⑤、②与④及③与⑥它们可以同色，也可以不同色，由此进行分类即可解决.

解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法.

篇5：分类计数原理与分步计数原理教案

授课教师:孙琼芳 班级:高二(2)班 时间:第十二周星期四第二节 ◆教学目标

1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.4.提高分析问题、解决问题的能力.◆ 教学重点

分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学难点

正确运用分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学方法

启发引导式 ◆ 教学准备

多媒体课件 ◆ 教学过程

一.由实际问题引入课题

2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？

要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法．

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理．

二.讲授新课 问题一：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

图示：

（分析略）

引伸1:若甲地到乙地一天中还有4班轮船可乘,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 引伸2:若完成一件事,有n类办法.在第1类办法中有m1种不同方法,在第2类办法中有m

2种不同的方法,„„,在第n类办法中有mn种不同方法,每一类中的每一种方法均可完成这件事,那么完成这件事共有多少种不同方法?

分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

N = m1 + m2 + „ + mn

种不同的方法.问题二：

从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

（分析略）

从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法。图示：

所有走法

火车1——汽车1；火车1——汽车2；火车2——汽车1；火车2——汽车2； 火车3——汽车1；火车3——汽车2

在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N = m1×m2ׄ×mn

种不同的方法.下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用.［例1］ 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

（解答略）

教师点评：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。

［例2］电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？

（解答略）

教师点评：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．

三、课堂练习

1、现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

2、某人有两顶帽子，两件上衣，三条裤子，两双鞋，问穿戴整齐共有多少种不同的装束？.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

思考:若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?

4.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点A爬到相对的另一个顶点C1的最近路线共有多少条？

四、小结：

1.本节课学习了分类计数原理与分步计数原理。

2.分类计数原理与分步计数原理的共同点是什么？不同点是什么？

3．解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．

五、布置作业：课本P87习题10.1 第2、3题

篇6：高考试题汇编计数原理

教学目标

①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

教学重点 理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题.教学难点 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”.教学过程

一、引入课题

引例： ①我从二中到泗中有两量不同的马自达，三量不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从二中到泗中有多少种乘坐交通工具的方式？ ②从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法？

这就是用我们这节课要研究的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来解决问题.二、讲授新课：

1、分类加法计数原理

问题1：十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法? 有３＋２＝５种方法

探究１：你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法.那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。

发现新知：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.（也称加法原理）知识应用

例1：（多媒体展示）在1，2，3，，200中能被5整除的数有多少个？

变式：若把例题中的5换成2其余条件不变答案是什么

可以用：10+10+10+10+10=50（分成5类）

也可以直接得到50（分成2类——奇数与偶数）分类加法计数原理特点：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2、分步乘法计数原理

问题2：从A村道B村的道路有3条，从B村去C村的路有2条，从C村去D的道路有3条，小明要从A村经过B村，再经过C村，最后到D村，一共有多

少条路线可以选择？

从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法, 第二步, 由B村去C村有 2 种方法, 第三步，从C村到Ｄ村有３种方法

所以从A村经 B村又经过C村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 种不同的方法 探究2：你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有３种不同的方法，在第2步中有２种不同的方法，第三步有３种不同的方法.那么完成这件事共有3 ×2 ×３= １８种不同的方法.一件事就是：从Ａ村到Ｄ村的一种走法

发现新知

分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法„„做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.（也称乘法原理）

知识应用

例2：有一项活动，需在3名教师、8名男生和5名女生中选人参加.(1)若只需1人参加，有多少种选法？

(2)若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法？

变式：学校准备召开一个座谈会，要在3名教师、8名男学生和5名女学生中选一名教师和一名学生参加，有多少种不同的选法？ 分步乘法计数原理的特点：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.思考：分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么异同点？要注意什么问题？

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法；

不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事；分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。

三、课堂练习1.填空：

①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是.②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.2.现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名.①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有 种.4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种不同的推选方法.5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？ 6.乘积(a+b+c)(d+e+f+g)展开后共有多少项？

四、课堂小结

（１）分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是什么？不同点什么？

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法；

篇7：高考试题汇编计数原理

一、本课教学内容的本质、地位、作用分析

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广。从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。这样做的目的是为了分解问题、简化问题。可见，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。

二、教学目标分析 1.知识目标

使学生熟练掌握两个原理的内容、区别，能够灵活的应用两个原理解决常见的计数问题。2.能力目标 在教学过程中，凸显两个原理发现的原始过程，使学生深刻理解由特殊到一般的归纳推理思维，在应用原理解决问题时，体会一般到特殊的演绎推理思维，从而培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力以及解决实际问题时主动应用数学知识的能力。3.德育渗透目标

通过探索与发现的过程，使学生亲历数学研究的成功和快乐，感悟数学朴实无华的内在美，学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结论的数学应用意识，激发学生勇于探索、敢于创新的精神，优化学生的思维品质。

三、教学问题诊断

两个原理的获得过程对于学生来讲并不难，学生已经具备了由具体问题抽象概括、总结归纳的能力，对于两个原理的应用，尤其是分类、分步的区别是认识上的难点，事实上，经验表明：有些学生一直到高考前都难以准确的区分好两个原理，教学始终牢牢把握这一难点也是重点展开。

四、本节课的教学特点以及预期效果分析

《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程。新课程标准的价值取向是要求教师成为决策者而不是执行者，要求教师创造出班级气氛、创造出某种学习环境、设计相应教学活动并表达自己的教育理念等等。

基于以上思想，本节课采用问题式教学为主线，辅以启发式、探究式、自主式、讨论式教学方式。教学内容以2010年南非世界杯相关问题背景为主线展开，辅以大量的实际例子，形成学生对于两个原理的发现、归纳、总结、应用、推广、再认识的过程。具体而言，设置以下几个环节：

【创设情境、设疑激趣】

引入采用世界杯总场数的设问，引导学生发现逐个列举所有场数不易操作，从而引出研究计数问题的必要性并给出计数问题的含义。给出课题，指明探究方向。

【问题导学、研究分类加法计数原理】

先用世界杯网络测试的背景作为引例，启发学生放飞思维，联系生活实际，举类似的例子；再引导学生充分讨论，深入探究，寻求例子的共性，归纳、概括出分类加法计数原理；接着为了加深对于原理的认识，给出“原理”的含义，并进一步对原理的内容进行解释，强调“完成一件事”“分类”“加法”三个关键词；再通过实例引导学生推广原理；最后依然用世界杯的背景例子启发学生归纳出分类的基本原则：“不重不漏”。

【类比研究、研究分步乘法计数原理】

完全类比分类加法计数原理的研究思路，充分讨论，层层设问，得出原理，延伸推广，强调分步注意“步骤完整，步步相依”。

【典型例题、区分两个原理】

把课本上的书架三层有三种书分别若干本的例子，改编为三问：第一问求任取一本书的取法数，直接用分类加法计数原理即可解决；第二问求每层各取一本书的方法数，直接用分步乘法计数原理；第三问求取两本不同学科的书的方法数，需要先分类，再分步，体现了两个原理的综合应用。本题旨在同一背景下认识两个原理，区分两个原理，尤其区分“类”和“步”。然后先讨论，再和学生一起归纳出两个原理的联系和区别，填充表格。

【课下讨论探究】

设计了两个小题，分别是参赛、夺冠两个极易混淆的背景，需要学生课下充分讨论、探究，深思熟虑再解决，是课堂教学的延伸。

【布置作业、反思小结】

布置课后作业，小结内容，提炼归纳出利用两个原理解决计数问题的一般思路。最后指出：细微的生活中往往蕴涵着深刻的数学思想方法，利用数学工具研究缤纷多彩的世界充满了无限的乐趣！这就是数学的魅力！最后预祝大家都能学好数学、用好数学、欣赏数学、热爱数学！

通过以上设计，预期达到以下效果：使学生在对于两个原理的发现过程中，体会由特殊到一般的归纳推理思维；在应用原理解决实际问题的过程中，体会主动应用数学的意识；通过大量的老师举例、学生举例、典型例题，使学生熟练两个原理的应用，体会两个原理的广泛应用。

篇8：《计数原理》教学随感

一、教学新分析

1. 从学生的角度

( 1) 学生的认知基础

学生在初中已经学习过用列举或树状图来解决简单的计数问题, 对于分类与分步思想, 学生也不乏认知基础, 但对今天所要学习的知识在原有的认识体系中却是自发的, 模糊的, 感性的, 从而也是肤浅的.

( 2) 学生的学习障碍

分类用加法, 分步用乘法, 从字面上学生是容易理解的. 但是学生学完本节内容后普遍感到听起来容易但做起来难, 究其原因, 很大程度是学生没能完全理解两个原理所致. 应该说加法和乘法在小学就会, 那么在中学再学它与以往有什么不同? 学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍, 这是最棘手的问题, 也是本节内容的难点.

2. 从内容的角度

返璞归真的看两个计数原理, 实际上是加法运算与乘法运算的推广, 是解决计数问题的理论基础. 在高中阶段, 本节内容相对独立, 自成体系, 但其思维方法新颖, 独特, 将计数问题与分类和分步思想结合, 与学生以往所学的数学知识有很大区别.

3. 从教学的角度

对于这节课, 大多数老师会将其上成如何进行计数的习题训练课, 这是不对的. 这是思维过程的学习, 就必须了解清楚思维是如何进行的, 如何在原有知识基础上建构自己新的认识, 在过程中应该由浅入深, 螺旋上升. 学生一般只会说结果, 而对其思维过程, 往往不会叙述, 这就需要教师引导, 帮助学生理顺思维过程.

二、教学新设计

1. 设计趣味活动, 激活基本体验

教师: 我们的教学楼每层楼有几个楼梯口? 小明从一楼到二楼, 有几个选择? 一楼到三楼, 四楼呢?

学生: 到二楼两个选择, 到三楼则可以利用树状图, 两个选择下分别又有两个选择, 所以有四个选择, 到四楼有八个选择.

教师: 在刚才的第一问中, 我们要完成什么事? 怎样去完成?

从一楼到二楼: 一步到位, 直接完成.

在第二问中, 我们要完成什么事? 又怎样完成? ( 先到二楼, 再到三楼, ……)

从一楼到六楼: 不能直接完成, 需要分步完成.

第一步: 从一到二楼; 第二步: 从二到三楼; 第三步: 从三到四楼; 第四步: 从四到五楼; 第五步: 从五到六楼.

比较两件事的过程, 你能发现它们的不同之处吗?

完成一件事: 一步到位, 直接完成; 不能直接完成, 需要分步完成.

教学随感: 选择学生身边的素材作为新课引入的实例, 更能引起学生的共鸣, 利用这个熟悉的问题情境就可以迅速激发学生学习的积极性, 让学生在强烈的驱动力下去探究.

2. 借助案例分析, 完成理性认识

教师: 小红外出郊游, 需要搭配衣服. 现在小红有1 件牛仔上衣, 2 件毛衣上衣, 2 件衬衫上衣, 小红要先选择一件上衣, 有几种选择? 小红还有3 条裤子, 假如选完上衣还要选择一条裤子, 请问小红总共可以搭配出几套? ( 上衣+ 裤子为一套) 再比如小红还有2 双鞋子, 请问上衣+ 裤子+ 鞋子, 总共可以搭配出几套?

学生: 1 + 2 + 2 = 5; 5 + 5 + 5 = 15, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15;不知道.

教师: 只选上衣, 可以选牛仔, 选毛衣, 选衬衫, 都直接完成. 在我们的选法中, 从衣服的材质来讲, 预先已经分好, 不管选哪一类, 都可以算完成选择上衣这件事情. 选上衣和裤子, 不能直接完成, 需分两步. 第一步, 选上衣, 第二步选裤子, 则上衣1 配一裤有3 种选择, 共5 件上衣, 则3 + 3 + 3+ 3 + 3 = 15 ( 树状图得出) . 也可以第一步, 选裤子, 第二步选上衣, 则裤子1 配一上衣有5 种选择, 共3 条裤子, 则5 +5 + 5 = 15 ( 树状图得出) . 当有鞋子的时候, 怎么办? 还可不可以用树状图? 可以. 那么当树状图画出的时候, 该怎么计数呢?

教学感悟: 考察案例, 分清层次, 先易后难, 逐步解决.从一步到两步, 再到三步, 从一步中渗透分类思想和加法原理, 到两步中的树状图方法, 再到三步乃至多步中的分步思想和乘法原理. 在完成的过程中, 我们还发现, 能直接完成的往往也可以按某一标准分类去完成; 不能直接完成的则需要分步去完成. 什么时候可分类完成, 什么时候需分步完成呢?

3. 启迪自主探究, 实现初步应用

一个口袋里有2 封信, 另一个口袋里有3 封信, 各封信内容均不相同.

(1) 从两个口袋里, 各取1封, 有多少种不同取法?

(2) 从两个口袋里, 任取1封, 有多少种不同取法?

( 3) 把这两个口袋里的5 封, 分别投入6 个邮筒, 有多少种不同放法?

( 4) 把这两个口袋里的5 封, 分别投入6 个邮筒 ( 每个邮筒最多放一封信) , 有多少种不同放法?

篇9：计数原理教案

考

评

课

教

案

授课人：邹强

2008年5月 §10.1 分类计数原理与分步计数原理

授课人：邹强

教学目标：

知识目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

能力目标：培养学生的归纳概括能力；

情感目标：①了解学习本章的意义，激发学生的兴趣

②引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式..教学重点：

分类计数原理与分步计数原理的应用理解 教学难点：

分类计数原理与分步计数原理的理解 教学方法：

问题式、螺旋上升的教学方法 教学过程：

一．课题引入

中央电视台体育频道每周四次对“NBA”进行现场直播，并对参与节目交流的观众进行抽取幸运观众活动，奖品是“NBA”明星真品球衣或明星战靴，此节目深受广大篮球迷的喜欢。已知在某次直播时，共收到手机号码2万个。其中联通号码有0.8万个，移动号码有1万个，小灵通号码有0.2万个。现抽取：

（1）一名幸运观众有多少种不同类型的抽法？

（2）从联通号码、移动号码和小灵通号码中各抽取一名幸运观众共有多少种不同的抽法？ 象这种计算所有情况的问题可称为计数问题，用来解决这种问题的一般方法或计算规律叫做计数原理，今天我们就来探求它们。

二．新课讲授

问题1.1:“两会”决定,下一次会议一定要有农民工代表参加.假如现在南方有农民工代表30人,北方有农民工代表20人,现在选举一名农民工代表共有多少种选法? 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N = m + n 种不同的方法.问题1.2:在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从这些强项专业中任选一项共有多少种？ 探究一：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有 m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，在第n类方案中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？

分类计数原理： 一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有 m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法.问题2.1:国务院总理温家宝在十届全国人大三次会议上作政府工作报告时表示，补助贫困学生生活费。假设补助后西部某省的贫困生午饭可买两盘菜（蔬菜类 + 肉类），学校食堂的菜单如下，蔬菜类

肉类

萝卜

猪肉

白菜

牛肉

花菜 请问有多少种不同的选法? 完成一件事需要两个不同步骤，在第1步中有 不同的方法.那么完成这件事共有Nm 种不同的方法，在第2步中有 n 种

mn种不同的方法.问题2.2：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从清华大学，复旦大学，南京大学这些强项专业中各选一项共有多少种？

探究一：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有 m

1种不同的方法，做第2步有 m种不同的方法，做第3步有

m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，……做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

分步计数原理： 一般归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 m1 种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法……做第n步有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.理解分类计数原理与分步计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.分步时，每一步都可以看成分类；分类时，每一类也可能要有好几步才能完成。例题选讲

问题3.1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 学生练习： 填空：

（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是

.（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有

条..（3）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有

种.（4）.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有

种不同的推选方法.总结归纳： 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可 4 以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：

分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成 作业布置：

.1．课本第９７页的习题1０.1A第1，2，3题．

2．编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题，并加以解答． 课外思考：

篇10：高考试题汇编计数原理

选修2-3

1.1 分类计数原理与分步计数原理（3）

教学目标

1、进一步理解两个计数原理，会区分“分类”与“分步”，2、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题．

教学的重点与难点

1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的准确理解。

2、正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。

教学过程

一．复习引入

1.什么是分类计数原理与分步计数原理？ 二．举例应用

例

1、教材的P8面的例6。例

2、教材的P9面的例7。例

3、教材的P9面的例8。例

4、教材的P9面的例9。三．课堂练习：

1．已知直线方程Ax + By = 0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线的条数是（C）A．2 B．12

C．22

D．25 2．从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少？ 解：分三类：一位数，两位数和三位数.第一类：一位数中除8外符合要求的有8个（0除外）；

第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，共有8×9个符合要求；

第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，共有9×9种，而百位数字上是2的只有200符合.所以，从1到200不含数字8的自然数共有N = 8 + 8×9 + 9×9 + 1 = 162(个).3．集合A、B的并集A∪B = {a1，a2，a3}，当A≠B时，(A, B)与(B, A)视为不同的对，则这样的对(A, B)共有多少个？ 解：按集合A分类.第一类：A =时，B = {a1，a2，a3}，有2个；

第二类：A = {a1}时，B = {a2，a3}，B = {a1，a2，a3}，有4个；A = {a2}或{a3}时，同理也分别有4个，共有12个；

—第1页●共2页—

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 第三类：A为双元素集合时，以A = {a1，a2}为例，B = {a3}，B = {a1，a3}，B = {a2，a3}，B = {a1，a2，a3}，共有8个；当A = {a1，a3}或{a2，a3}时情况相同，共有3×8 = 24(个)；

第四类：A = {a1，a2，a3}时，B =，{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}有7个，∴共有14个.共有2 + 12 + 24 + 14 = 52(个).4．用三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，另一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？ 解：第一类办法：取白球、黑球，共有5×6 = 30（种）取法；

第二类办法：取黑球、红球，共有6×7 = 42（种）取法； 第三类办法：取红球、白球，共有7×5 = 35（种）以法.由分类加法计数原理知，共有30 + 42 + 35 = 107（种）不同的取法.5．某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与跳舞的各1人，有多少种不同的选法？

解：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人，既会唱歌又会跳舞的有2人.第一类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从只会跳舞的3人中任选1人，共有5×3 = 15（种）不同的选法；

第二类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有5×2 = 10（种）不同的选法；

第三类方法：从只会跳舞的3人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有3×2 = 6（种）不同的选法；

第四类方法：将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，只有1种选法.由分类加法计数原理知，共有15 + 10 + 6 + 1 = 32（种）不同的选法.四．课后作业

《习案》与《学案》