鲁棒优化

鲁棒优化（精选十篇）

鲁棒优化篇1

产品族设计是大规模定制中的核心内容,而产品族架构设计是介于顾客需求分析和产品族设计之间的环节。从系统角度看,产品族架构设计是一个全局系统与局部子系统的关联协同设计与构架设计问题。这种全局与局部关系不仅体现在产品族与产品族中的各产品之间,而且体现在每件产品与构成产品的各子系统或组件中。这种全局与局部的关系是一个具有主从结构的两层或多层系统设计问题,其相应的优化模型也应当是一种具有主从结构的关联优化模型[1]。

双层规划是具有主从递阶结构的层次优化问题,它将一个参数化的优化问题作为其约束条件[2],在其决策框架中,上层规划不仅与本层的决策变量有关,还依赖于下层规划的最优解,而下层规划的最优解又受到上层决策变量的影响。在研究双层优化的机理过程中,发现它与产品设计中本质存在的学科技术交叉以及系统与子系统间交互的问题有着非常自然的贴合关系[3]。同时,在协同的环境下要提高设计质量,具有主从关系的层次优化是个有效的方法[4]。然而,国内学者在系统总结我国863计划课题研究成果的基础上指出,目前产品(族)设计中的重要不足是缺乏设计方法学的支持,特别是缺乏全局优化与局部优化协同建模技术的支持[5]。国外关于面向产品族架构的主从关联优化理论与方法的研究也很少[6]。

受现实产品族架构设计环境的影响,在数据采集时,不可避免地存在测量误差、数据信息的不完全性误差和模型的近似处理误差等,这些因素往往会造成参数的不确定性,尤其在复杂产品及产品族设计建模中,其边界条件和初始条件,甚至模型的目标函数、约束条件都不能表达成解析式,需要结合工程计算中有限元方法、响应面近似等数值模拟方法拟合出构成函数,造成参数具有一定的扰动性。这些不确定因素可能对优化模型的结构和参数产生影响,导致优化模型的解不能满足约束条件,致使优化模型的最优目标值失真。而鲁棒优化是一种处理不确定问题的重要方法,它区别于其他不确定优化方法(随机规划、模糊规划、区间规划等)的重要特征是模型对数据的不确定具有免疫性[7]。鲁棒优化不需要考虑不确定参数的分布假定,规避了估计风险,同时也规避了低概率事件发生所带来的巨大风险,其重要特点是对于任何具体的情景,鲁棒解只是近似最优解,但是对于所有不确定情景是最优的。

因此,本文在不确定的产品族架构设计环境下,建立了一主多从的鲁棒双层优化模型,它不仅体现了产品族架构中各参数间以及产品族与产品族各产品之间的主从关系,还避免了不确定数据对模型的干扰,使产品族架构设计具有鲁棒性。

1 产品族架构鲁棒双层优化模型的建立

产品族架构需要解决产品平台的架构及基于同一产品平台的相关系列产品的结构问题。对基于产品平台的产品族架构与设计的研究,按照产品特征实现方式的不同可分为两种类型[8]:①基于组件或模块变更的模块型产品族架构,即产品族中不同产品的变化主要体现在某些特征组件的增减或变更上;②基于参数或变量尺度变化的参数调节型产品族架构,即产品族中不同产品的变化主要体现在某些特征参数的调节或伸缩上。由于模块型产品族架构在一定程度上可以转化为参数调节型产品族架构,因此,本文针对不确定设计环境下的参数调节型产品族架构问题建立了一种一主多从的鲁棒双层规划模型。

在模型中,上层决策参数是作为全局设计变量的平台层参数x,优化目标F是该产品族整体的性能最优,下层决策参数是作为局部设计变量的个性化参数y1、y2,优化目标f是在给定平台参数值的条件下追求局部性能最优。由于在复杂产品族设计中,常采用有限元以及响应面近似等工程计算方法拟合出多项式,而线性模型易于拓展为多项式的形式,因此,这里假设模型为线性模型,同时,假设上下层的目标函数、约束条件的系数均在不同的集合内扰动。在不确定的参数调节型产品族架构设计环境中,平台参数和个性化参数间的协同关系可由鲁棒双层规划的层次关系以及决策机制来反映,相应的一主多从模型如下:

yi由下面的规划问题解得:

其中,目标函数的系数c、d1、d2、ci1、di1(i=1,2)和约束条件的系数ai、bi、hi(i=1,2)是不确定数据,假定这些不确定数据在椭球集μ0内扰动。虽已知不确定数据扰动范围,但具体分布未知。由于数据的偏差往往会造成最优解的失真,因此,利用鲁棒优化设计思想对上述具有不确定系数的双层规划模型进行转化,使得系数在椭球集合μ0内扰动的线性模型(式(1))被转化为下层是二阶锥约束的确定性双层规划模型[9]。

在式(1)模型中,假设系数(c、d1、d2、ci1、di1、ai、bi、hi(i=1,2))均在椭球集合μ0内扰动,则记

式中,c*、d*1、d*2、c*i1、d*i1、a*i、b*i、h*i为给定的数据;设P01、Pi2、Pi为给定的尺度变换,且P01∈R3×3、Pi2∈R2×2、Pi∈R3×2。

由于式(1)所示模型是从者之间无关联的双层规划模型,基于上下两层决策主体均需获得鲁棒解的假设,当上层的决策变量给定时,下层规划的各从者追求各自的目标最优以及相应的鲁棒最优解,彼此之间无关联,因此根据文献[7]提出的双层规划鲁棒解的定义及定理可将不确定系数在椭球集合μ0内扰动的双层规划模型(式(1))转化为如下的确定性双层模型:

yi由下面的规划问题解得:

s.t.

式(3)为具有确定性系数的一主两从、从者无关联且从者规划均为二阶锥规划的双层规划问题。

2 模型的求解

对于双层规划模型的求解,即使是线性的,也是NP-hard问题[10],因此,针对上述具有多个从者的非线性双层规划模型,本文设计了一种下层采用改进的非内部连续化算法[11]的混合遗传算法对其进行求解。对于遗传算子的设置,采用MATLAB工具箱缺省的rank函数作为适应度比例参数,sus为选择算子函数,xovsp为交叉算子函数,mut为变异算子函数[12]。求解步骤如下:

(1)初始化参数。随机产生初始种群X,确定种群规模N以及交叉概率Pc和变异概率Pm,同时设定最大迭代数 (终止条件)。

(2)将上层初始种群X中的每个个体xi(i=1,2,…,N)分别代入下层规划1和规划2,利用改进的非内部连续化算法[11]分别求得上层种群X的每个个体xi所对应的下层规划的最优解y1i和y2i。判断(xi,y1i,y2i)是否满足上层规划的约束,如满足,则保留;否则从原种群中删除xi,舍弃y1i和y2i。以上层目标函数作为适应度函数,将满足条件的X、y1和y2代入适应度函数,得到相应的适应度值。

(3)选择算子操作。根据适应度函数值的大小对种群X的个体进行选择,重复进行该过程,完成个体选择过程。

(4)应用遗传操作算子对选入下一代的个体进行交叉和变异算子操作,产生新的个体进入下一代。

(5)终止条件判断。如果迭代次数大于最大迭代数,则进化终止;否则,转步骤(2)。

(6)输出模型的最优解,算法运行结束。

3 模型的应用

本节对桁架产品实例[13]进行修改,建立面向桁架产品族结构的具有主从结构的鲁棒双层优化模型。

两种不同尺寸和受力情况的桁架(图1)表示一类桁架结构产品,要求设计两种桁架结构中各杆的横截面积,以满足不同的使用要求,并使得桁架结构最轻。本例中的两种情况除受力P和杆⑦、杆⑧的长度L有所不同外,其余的杆①～杆⑥外形尺寸完全相同。因此,将杆①～杆⑥组成的桁架结构参数作为平台参数,而将杆⑦和杆⑧组成的桁架结构参数作为个性化参数。图2所示为该桁架产品族的平台及衍生出的桁架系列。

基于参数调节型的产品族架构双层优化模型,将桁架产品族的桁架平台的横截面积作为上层决策变量Ai(i=1,2,…,6),优化目标是两种桁架构成的产品族结构质量(W)最轻,约束是相应的应力约束;将这个桁架族中的两种派生产品作为个性化模块,杆⑦和杆⑧的横截面积Ai7、Ai8(i=1,2)作为下层规划i的决策变量,优化目标分别是相应桁架的质量(W′i,i=1,2)最轻,约束条件依然是应力约束。该数学模型表达式为

其中,Ai7、Ai8(i=1,2)由下面的规划问题解得:

s.t. σ2ik≤[σ2] i=1,2 k=7,8

在上述模型中往往应用有限元等方法拟合构成函数,故载荷有可能在一定范围内扰动,使得模型(式(4))系数不确定。假设通过线性拟合及简化得到式(1)的数值模型,且使其系数在式(2)的椭球集合μ0内扰动,则式(1)模型应给定的数据为

在区间[0,0.2]内随机产生的尺度变换如下:

根据上述转化过程,得到确定性模型的上层规划模型为

式中,y1、y2分别为下层规划1与规划2的决策变量。

下层规划1为

下层规划2为

通过MATLAB编程实现上述算法步骤,得到该桁架产品族的鲁棒最优解为(x,y1,y2)=(0.4851,2.173,1),鲁棒最优值为Fmin=1.3。当所有的尺度变换为0时,该数值算例退化为一线性问题,用上述算法求得的最优解为(x,y1,y2)=(0.5,2.5,1),最优值为Fmin=0.5。与用改进的K次最好法求得的最优解同解[14],证明了该算法的有效性及可行性。通过上述建模获得了稳定的桁架产品族结构,并对于干扰载荷具有较强的承载能力,使其结构形式更接近于实际工程结构。

4 结束语

在不确定的设计环境下,本文针对参数调节型产品族架构中平台参数和个性化参数之间的主从特点,以及产品族与产品族中各产品之间的全局与局部的设计关系,建立了一种一主多从的鲁棒双层优化设计模型,提出了基于混合遗传算法的求解方法。通过算例支持,使设计的产品族结构具有较强的鲁棒性。今后将结合更多实际的产品族设计问题对模型与方法做更深入的研究。

鲁棒优化篇2

基于鲁棒性的概率优化设计在薄壁构件耐撞性中的应用

汽车结构的耐撞性及碰撞吸能优化是现代汽车工业重要的研究内容.耐撞性的优化涉及材料与结构的众多参数,传统的确定性优化设计、碰撞仿真及实验往往只能在一定程度上改善结构的碰撞性能,而无法评估设计参数的可靠性和目标函数的鲁棒性,以及在给定可靠性约束条件下使目标函数的.鲁棒性达到最优状态.将实验设计、响应面模型和蒙特卡罗模拟技术相结合,构造了基于产品质量工程的6σ鲁棒性优化设计方法,实现了对设计目标的优化,并提高了设计变量的可靠性和目标函数的鲁棒性.

作者：孙光永李光耀张勇钟志华 Sun Guangyong Li Guangyao Zhang Yong Zhong Zhihua 作者单位：湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082 刊名：中国机械工程 ISTIC PKU英文刊名：CHINA MECHANICAL ENGINEERING 年，卷(期)： 18(4) 分类号：O34 U467.14 关键词：实验设计响应表面法 6σ鲁棒性优化碰撞模拟

向家坝、恐龙与鲁棒性篇3

这两件事并无联系。但是我联想到了别的事情。512地震那天下午，有个研究地质的朋友在网上查到了震中的位置，当时就脸色惨白。后来他跟我说，他所在的单位参与了岷江上一座水电站的修建，水坝离震中就十来公里的距离。如果那里发生垮坝，受灾的人数可能就是现在的10倍了。不过，幸好只是坝身裂了几道缝而已，因为大坝修得结实。

但有个问题我一直没想明白，为什么水电站都喜欢修那么大？长江干流上的水电站：溪洛渡、向家坝和三峡，据说就占了世界四大水电站中的三个！

又有一天我去听研究古生物的邢立达讲恐龙。他讲完了有位小朋友问：为什么恐龙这么大。没想到这还真是一个有不少人研究的课题，简单来说是因为身体越大越无敌，谁也吃不了它。水电站的道理似乎差不多，大的电站可以统合资源，获益也更大，而且电站不管大小也要通过同样的审批手续，不如大一点方便些。但是巨大的恐龙怕气候突变，大电站怕什么呢？

鲁棒优化篇4

人类视觉系统可识别人脸,尽管光照、大小、位置、表情和视角有变化[1]。最近几年,人脸识别及其在生物特征识别、模式识别和计算机视觉上的应用成为研究的热点[2]。基于人脸识别发展的需求,最近关于人类视觉系统和视觉注意的大脑机制引起了很多关注[3]。

视觉系统划分为两个主要处理流[4]:背侧流(从主视觉皮层到顶叶皮层),其用于控制眼睛运动和视觉注意;腹侧流(从主视觉皮层朝颞叶,包括V1,V2,V4,后颞(PIT)和前颞(AIT)),其处理目标和人脸的细节。背侧和腹侧流并不完全独立,且在更高区域,例如前额叶皮层(PFC)和V4,通过相互影响连接交互[5]。

腹侧流皮层的部分比喻已经用于典型计算机视觉中的许多计算模型中,但是,大部分模型仅模仿腹侧流,而不考虑视觉注意和腹侧流区域之间的连接。因此,改进必须集成视觉注意模型和分层腹侧流模型[6]。这些模型中,基于特征组合的物体识别框架(HMAX)[7]是一种强大的计算模型,其建模视觉皮层中人类腹侧视觉流的目标识别机制。文献[8]中提出了具有学习能力的HMAX模型,增强了模型的性能。腹侧流HMAX模型的C2特征用于人脸识别和手写识别。近几年,开发出了各种腹侧流HMAX模型以增强该模型的效率,所有这些模型中,已有许多特征选择方法[9,10,11]。文献[9]提出了稀疏局部特征模型(SLF),是HMAX模型的扩展版本,该模型相比HMAX模型具有更好的性能,更加依赖视觉皮层。文献[10]提出了视觉注意的基本计算模型,是大部分新模型的基础模型,文献[11]提出了基于HMAX模型和频谱剩余方法的混合C2特征,增强了目标识别系统中HMAX模型的性能。上述方法在一定程度上改善了识别性能,然而,当姿态、光照、表情变化较大时,识别率却严重下降,且很难同时对姿态、光照、表情等具有鲁棒性[12]。

基于上述分析,本文提出了字典学习优化结合HMAX模型的人脸识别方法,创新点为:将HMAX模型提取的特征与原始C2特征进行组合,以通过视觉注意模型访问人脸图像显著点的关键位置,从这些区域提取有效C2特征进行鲁棒性人脸识别;提出的方法利用字典学习优化,可对HMAX模型提取的特征进行最优化,保留更多的有用信息。

1 人脸表示

使用样本图像和从样本获得的仿射包模型联合表示一幅图像,因为同时包括样本和结构信息,所以该联合表示更具鲁棒性。令表示第c个图像集,其中,xi是第i幅图像的特征向量,类的仿射包估计为:

也可使用其他形式表示:

式中:是类平均;Uc是从中心矩阵的主成分分析获得的μc维正交基,前者是有约束的表示,而后者是无约束的表示。

2 人脸学习

2.1 利用HMAX模型提取特征

HMAX模型受启发于腹侧流[7]、S1特征,类似于灵长类动物大脑的V1区域中发现的简单细胞,包括Gabor滤波器[13],描述为:

式中:

式中:(x,y)指2D坐标系中的像素;影响滤波器输出的参数有:θ(方向)、γ(宽高比)、σ(有效宽度)和λ(波长)。S1特征模拟皮层的V1&V2区域中的简单细胞,通过在四个方向(从0°~167.5°,每步22.5°)和16个尺度(S){7×7,…,35×35,37×37}(划分成8个频段)运用Gabor滤波器产生。根据文献[10],使用式(5)确定σ和λ:

式中:S为尺度,从7~37变化,每步为2;参数γ和φ设为0.5。

C1特征模拟皮层的V1&V2区域中的复杂细胞,具有相同特征类型(方向)作为S1,这些特征集中附近的S1特征(具有相同方向),以实现较大局部区域上位置和尺度不变,其结果也可子采样S1,以减少特征数。C1特征的值是(方向)落在最大滤波器内的最大S1特征的值[8]。S1特征模拟视觉区域V4和后路推断时间(PIT)皮层,包含调整目标-部分的类RBF单元并计算输入C1块和存储的原型之间的距离函数。S2特征从随机位置具有各种n×n(n×n=4×4,8×8,12×12和16×16)大小和四个方向的K(P=1,2,…,K)个块的训练集学习(因此,大小为n×n的块P包含n×n×4个元素)。然后,S2特征扮演高斯RBF单元,计算输入模式X和存储的原型P之间的相似度分数(即欧氏距离):选择的σ与块大小成比例。C2特征模拟颞皮层(IT)并在整个视野执行最大运算,提供刺激的中间编码。因此,对于每幅人脸图像,计算C2的特征向量并用于人脸识别。这些特征具有鲁棒性,C2特征的长度等于从图像中提取的随机块数,平滑且具有尺度不变性。

2.2 非约束字典学习优化

得到最优X∈RK×N后,利用单独的优化程序对D的每个原子项进行优化,令dj∈Rm为D的第j原子项,定义的行向量为X的第j行,将X和所有原子项固定,改写式(6),构建优化问题:

设置消除所有的不相关项,式(6)可简写为:

由于H(dj)为凸,H(dj)关于dj的梯度设为零,得到最优解为:

式中:是中项的平方值列向量。

3 分类

为了建模人脸识别系统,将HMAX提取的特征与原始模型C2特征合并,以增强用于人脸识别的C2特征,并使用支持向量机(SVM)[14]分类,完成人脸识别。本文提出的人脸识别方法框架,如图1所示。

提出的人脸识别方法的过程如下:

(1)从数据库读取人脸图像并预处理;

(2)对于每幅人脸图像,用式(8)整合颜色显著点、强度显著点和方向显著点,并选择N个注意点;

(3)从每幅人脸图像创建S1和C1特征;

(4)利用字典学习优化,获取最优特征矩阵;

(5)在四个方向和n×n个最佳块大小从每幅人脸图像的C1特征提取N个块pi(i=1,2,⋯,N),使用选择的注意点作为它们的中心像素,形成有效S2特征。识别过程中,从每幅测试人脸图像创建N个块作为Xi(i=1,2,⋯,N)块,根据式(9)计算块Pi和Xi之间的距离:

σ与块大小成正比,为每幅人脸图像创建N维向量,Vk(k=1,2,⋯,N)的集合形成S2特征。

(6)通过最大化有效S2特征获得有效C2特征;

(7)对所有图像完成步骤(1)~步骤(5),从人脸判别性区域创建N维有效C2特征;

(8)将有效C2特征输入SVM,从而分类人脸图像。

4 实验评估

所有实验均在64位Matlab 2012实验环境下完成,计算机系统的配置为:英特尔酷睿2双核处理器,2.66 GHz主频和4 GB RAM。

4.1 人脸数据集

Caltech人脸数据集[15]包含450张人脸图像具有不同光照和表情的27个对象。实验使用18个人每人20幅图像(Caltech人脸数据集的360张人脸图像),随机选择每个人5张(90张人脸图像)作为训练样本,剩下的用于测试(270张人脸图像)。预处理方法中,图像裁剪为228×228的尺寸,然后全部调整为140×140尺寸的图像。图2所示为Caltech人脸库中某人的20种不同光照和表情下的人脸图像示例。

AR[14]人脸库包括70个男性、56个女性的4 000幅图像,这些图像包含面部表情、光照、遮挡等变化的人脸图像。实验从原始AR人脸库中选择100个对象(50个男性和50个女性)用于实验,所有图像采样为140×140大小,如图3所示为AR人脸库中的图像示例,图3(a)和图3(b)分别表示不同的表情和光照。

4.2 参数变化分析

首先对参数γ和λ对识别率的影响进行分析,维度设为220,原子项数设为7,λ分别取1,0.1,0.01,0.001,γ分别取1,2,3,4,5,结果如图4所示。

从图4可以看出,在γ和λ变化幅度很大的情况下,提出的方法可以一直保持较高的识别率,表明提出的方法识别率受参数变化影响很小,即提出的方法对人脸表情和光照变化具有鲁棒性。

4.3 识别结果比较

4.3.1 识别率比较

将提出的方法与文献[7],文献[10],文献[11]方法进行比较,原子项设为7,记录不同维度下各个方法的识别率,如图5所示。

从图5可以看出,提出的方法得到了最高的识别率,在Caltech数据库上可高达97.5%,在AR数据库上可高达97.4%。此外,观察图5可知,当维度达到135左右时,识别率趋于稳定,大于135时继续增加维度对识别率影响较小,实验将维度设为135,记录不同的原子项总数对识别率的影响,结果如图6所示。

从图6可以看出,随着原子项总数的变化,提出的方法可以保持最高的识别率,表明提出的方法建立的字典既具有代表性,又具有局部保持性。

4.3.2 执行时间比较

为了评估本文方法的效率,对其执行时间进行评估。以全部样本都用于训练时的执行时间为基准,在执行时间、速度提升倍数方面将提出的方法与其他几种方法进行对比,执行时间为字典学习和训练数据投影的时间之和,如表1所示。

从表1可以看出,相比其他几种方法,本文方法的执行时间最少,相比基准的时间,最高速度可提升6.2倍,本文方法使用字典学习对特征进行优化,降低了计算复杂度,大大地节省了执行时间。

5 结论

本文提出了字典学习优化结合HMAX模型的人脸识别方法,利用字典学习优化,可对HMAX模型提取的特征进行最优化,可保留更多的有用信息。将HMAX模型提取的特征与原始C2特征进行组合,通过视觉注意模型访问人脸图像显著点的关键位置,从这些区域提取有效C2特征进行鲁棒性人脸识别。参数分析表明本文方法对光照和表情变化具有鲁棒性,不同原子项和不同维度下的识别结果表明,本文方法的识别率高于其他几种较新的人脸识别方法。此外,本文方法的执行时间也明显低于其他的方法,相比基准执行速度,最高可提升6.2倍。

鲁棒优化篇5

简要介绍了用非线性动态逆解耦方法设计面向机动飞行的指令跟踪系统的过程.为了提高动态逆的鲁棒性,详细介绍了利用μ-分析/综合方法设计鲁棒控制器的.方法、步骤、经验和设计结果.仿真表明,所设计的鲁棒动态逆控制器是有效的.

作者：沈景来高金源 Shen Jinglai Gao Jinyuan 作者单位：北京航空航天大学305教研室,北京,100083 刊名：航空学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AERONAUTICA ET ASTRONAUTICA SINICA 年，卷(期)：1998 “”(5) 分类号：V249.1 关键词：非线性解耦控制鲁棒控制机动飞行

★ 统一混沌系统同步及其保密通信

★ 面教学设计

★ 企业制度系统的复杂性:混沌与分形

★ 一类非线性系统分岔混沌拓扑结构分析

★ 教学系统设计

★ 首经贸开通推免生预申请系统

★ 非线性土木结构振动控制的逆系统方法

★ 月面巡视探测器散热系统方案初步研究

★ 数控机床真空系统改进设计

鲁棒优化篇6

供应链网络设计属于战略层决策的问题,考虑的问题包括供应商选择,分销中心选址,产品的生产—分配等[1]。传统的供应链网络设计一般假定供应链系统所面临的环境是确定的,显然这种假设在瞬息万变的市场环境下是不合理的。不确定性是困扰供应链网络设计的一大障碍。供应链的不确定性表现在价格、需求、供应、生产等方面。既然供应链网络属于战略层问题,那么决策者必然希望设计好的供应链网络在面对不确定性时,不出现(至少希望在相当长的时间内不出现)中断、失效、改变等,即供应链网络具备一定的鲁棒性。鲁棒供应链设计就在考虑供应链内外部环境的不确定性的情况下,设计出一种能够很好应对不确定性并表现出良好绩效的网络结构[2]。

需求的不确定性是供应链中最主要的不确定性之一,因此本文的鲁棒供应链网络设计以需求的不确定性为研究出的发点。本文所研究的需求不确定性与现存文献中的需求不确定性有着本质的区别。现存文献中的需求不确定性主要是指需求的波动性。众所周知,需求的波动性是市场环境中普遍存在且不可避免的。除此之外,需求的波动性会对供应链网络结构产生较大的影响,因此,在供应链网络设计中,单纯地考虑需求波动,其研究意义并不大。本文的需求不确定性是指以下情景中的一类或几类:新市场开发带来的需求变动;替代品的出现对需求的影响;某类产品(产品族)需求的增加或降低;某些区域的(零售商)产品需求的增加或降低;竞争对手的出现对产品需求的影响等。

对不确定性恰当地描述,是鲁棒供应链设计的前提。现存的定量描述需求不确定性的方法归纳起来有:(概率)分布法,区间法,模糊法,情景法。然而,分布法描述不确定性的前提是要求概率分布已知,至少是存在大量历史数据可以估计或推断的[3]。当缺少足够历史数据或对新产品的需求预测时,分布法便无能为力;区间法是用最小值和最大值之间的区间取代其他方法中所使用的点值,弊端在于往往描述不了不确定性所蕴含的足够信息,不能很好地反映不确定性的本质特征[4]。结合本文对需求不确定性的界定,情景法是描述本文需求不确定性的合适方法。情景法是近年来较为新颖的描述不确定性的方法,情景法将不确定性分为至少两种不同的情景集来反映不确定性。情景法最大的优势在于它为决策者提供了一个思维决策模型,系统全面地思考不确定性的各种情况。

关于鲁棒性的表达, Mulvey (1995)[5],Yu (2000) 等[6],Leung (2007)等[7],Feng (2010) 等[8]等学者展开了研究,结合所研究问题的特点,本文借鉴文献[5,6]的研究成果,采用形如数学规划(LP1)的鲁棒性表达方式。

1 问题描述及符号定义

1.1 问题描述

本文考虑了一个需求不确定的多产品,多原材料的由供应商-制造商-分销中心-零售商构成的四级供应链网络的优化设计问题。NL个候选供应商向NM个制造商提供原材料,制造商组织生产加工NI种产品,并经过NJ个备选分销中心满足NK个零售商的产品需求。假设该供应链系统中制造商、零售商、产品、原材料种类均是确定的,模型所考虑的问题包括:①网络节点的选择(供应商的选择,分销中心的选址);②网络连接的确定(供应商-制造商之间的连接、制造商-分销中心之间的连接、分销中心-零售商之间的连接);③制造商生产产品种类及数量的确定;④各种需求情形下原材料及产品的供应分配。

1.2 符号定义及含义

索引:

l:供应商编号,l∈L={1,2,…,NL}; m:制造商编号,m∈M={1,2,…,NM};

j:分销中心编号,j∈J={1,2,…,NJ};k:零售商编号,k∈K={1,2,…,NK};

i:产品编号,i∈I={1,2,…,NI}; r:原材料编号:r∈R={1,2,…,NR};

ξ:情景编号,ξ∈Ω={1,2,…,NS}。

决策变量:

0—1变量:Xl=1,供应商l被选择进入供应链系统,否则Xl=0;

Zj=1,分销中心j被选择修建,否则Zj=0;

xlm=1,制造商m由供应商l提供原材料,即连接(l,m)存在,否则xlm=0;

ymj=1,分销中心j由制造商m提供产品,即连接(m,j)存在,否则ymj=0;

zjk=1,零售商k的需求由分销中心j提供,即连接(j,k)存在,否则zjk=0;

wim=1,产品i由制造商m生产,否则wim=0。连续型变量:p $_{i m}^{ξ}$ :情景ξ下制造商m生产产品i的数量;q $_{r l m}^{ξ}$ :情景ξ下供应商l为制造商m提供的原材料r的数量;δ $_{i k}^{ξ}$ :情景ξ下零售商k对产品i的需求得不到满足的数量;θξ:情景ξ下调解变量; $\bar{Q}$ $_{i m j}^{ξ}$ :情景ξ下制造商m为分销中心j提供的产品i的数量; $\hat{Q}$ $_{i j k}^{ξ}$ :情景ξ下分销中心j为零售商k提供的产品i的数量;CDj:分销中心j的能力设置。

常量符号:

ρξ:情景ξ发生的概率;D $_{i k}^{ξ}$ :情景ξ下零售商k对产品i的需求;α:服务水平;λ:权重系数,含义参见数学规划(LP1);

Birm:制造商m生产单位产品i所需原材料r的消耗量;Erl:供应商l可提供的原材料r的数量(最大原材料供应量);Sl:供应商l运营所产生的固定成本;Gj:候选位置j处建立分销中心的固定成本;C $_{r l}^{R}$ :供应商l提供原材料r的单位成本;C $_{i m}^{F Μ}$ :制造商m开工生产产品i的固定成本;C $_{i m}^{V Μ}$ :制造商m生产加工单位产品i的成本;

αrlm:原材料r从供应商l至制造商m的运输费率(αrlm/(1 000单位产品*单位距离),下同); $\bar{β}$ imj:产品i从制造商m至分销中心j的运输费率; $\hat{β}$ ijk:产品i从分销中心j至零售商k的运输费率;dlm:供应商l至制造商m的距离; $\bar{d}$ mj:制造商m至分销中心j的距离; $\hat{d}$ jk:分销中心j至零售商k的距离;CIij:产品i在分销中心j的单位库存持有成本;q $_{r l m}^{\max [ξ]}$ :情景ξ下,原材料r从供应商l运至制造商m处所允许的最大量; $\bar{Q}$ $_{i m j}^{\max [ξ]}$ :情景ξ下,产品i从制造商m运至分销中心j处所允许的最大量;

$\hat{Q}$ $_{i j k}^{\max [ξ]}$ :情景ξ下,产品i从分销中心j运至零售商k处所允许的最大量; q $_{l m}^{\min}$ :供应商l对制造商m供应量的下界; $\bar{Q}$ $_{m j}^{\min}$ :制造商m对分销中心j供应量的下界;

$\hat{Q}$ $_{j k}^{\min}$ :分销中心j对零售商k供应量的下界;p $_{i m}^{\min}$ : 制造商m生产产品i的最小约束;p $_{i m}^{\max}$ :制造商m生产产品i的最大能力约束;ηij:单位产品i在分销中心j的周转量,即产品i的周转量关系系数;CD $_{j}^{\min}$ :分销中心j分销能力的最小约束;CD $_{j}^{\max}$ :分销中心j分销能力的最大约束。

2 数学模型

2.1 约束条件

2.1.1 供应链网络结构约束

供应商l与制造商m之间的连接(l,m)存在的前提是供应商节点l被选择,因此有约束条件:

$X_{l} \geq x_{l m} ‚ \forall l, m (2)$

同理有以下约束:

$\begin{array}{l} Ζ_{j} \geq y_{m j} ‚ \forall m, j (3) \\ Ζ_{j} \geq z_{j k} ‚ \forall j, k (4) \end{array}$

任意产品i均被制造商生产,且可能被多家制造商生产:

$\sum_{m} w_{i m} \geq 1 ‚ \forall i (5)$

制造商m至少生产一种产品:

$\sum_{i} w_{i m} \geq 1 ‚ \forall m (6)$

2.1.2 运输量约束

供应商l至制造商m对原材料r的运输存在的前提是连接(l,m)的存在,因此有约束:

$q_{r l m}^{ξ} \leq q_{r l m}^{\max [ξ]} x_{l m} ‚ \forall r, l, m, ξ (7)$

制造商m至分销中心j对产品i的运输存在的前提是连接(m,j)的存在,因此有约束:

$\bar{Q}_{i m j}^{ξ} \leq \bar{Q}_{i m j}^{\max [ξ]} y_{m j} ‚ \forall i, m, j, ξ (8)$

分销中心j至零售商k对产品i的运输存在的前提是连接(j,k)的存在,因此有约束:

$\hat{Q}_{i j k}^{ξ} \leq \hat{Q}_{i j k}^{\max [ξ]} z_{j k} ‚ \forall i, j, k, ξ (9)$

出于运输的经济性的考虑,供应链网络节点之间的运输量往往有最小约束量。如连接(l,m)之间的最小约束为q $_{l m}^{\min}$ ,因此有以下约束条件:

$\begin{array}{l} \sum_{r} q_{r l m}^{ξ} \geq q_{l m}^{\min} x_{l m} ‚ \forall l, m, ξ (10) \\ \sum_{i} \bar{Q}_{i m j}^{ξ} \geq \bar{Q}_{m j}^{\min} y_{m j} ‚ \forall m, j, ξ (11) \\ \sum_{i} \hat{Q}_{i j k}^{ξ} \geq \hat{Q}_{j k}^{\min} z_{j k} ‚ \forall j, k, ξ (12) \end{array}$

2.1.3 物料平衡

制造商m所需原材料r由供应商提供: $\sum_{i} p_{i m}^{ξ} * B_{i m r} = \sum_{l} q_{r l m}^{ξ} ‚ \forall r, m, ξ (13)$

供应商l为制造商提供的原材料r总量小于原材料r的最大供应量:

$\sum_{m} q_{r l m}^{ξ} \leq E_{r l} ‚ \forall r, l, ξ (14)$

产品i从制造商m向分销中心运输总量等于其生产量:

$p_{i m}^{ξ} = \sum_{j} \bar{Q}_{i m j}^{ξ} ‚ \forall i, m, ξ (15)$

产品i从分销中心j运输至零售商的总量等于该产品从制造商运输至分销中心j的数量:

$\sum_{m} \bar{Q}_{i m j}^{ξ} = \sum_{k} \hat{Q}_{i j k}^{ξ} ‚ \forall i, j, ξ (16)$

零售商k对产品i的需求由分销中心提供:

$\sum_{j} \hat{Q}_{i j k}^{ξ} + δ_{i k}^{ξ} = D_{i k}^{ξ} ‚ \forall i, k, ξ (17)$

分销中心对零售商k的服务水平不能低于目标值:

$δ_{i k}^{ξ} \leq (1 - α) D_{i k}^{ξ} ‚ \forall i, k, ξ (18)$

2.1.4 能力约束

制造商m生产加工产品i的数量应满足上下界限定:

$p_{i m}^{\min} w_{i m} \leq p_{i m}^{ξ} \leq p_{i m}^{\max} w_{i m} ‚ \forall i, m, ξ (19)$

分销中心j的库存周转量应满足其能力限制:

$\begin{array}{l} \sum_{i} \sum_{k} η_{i j} \hat{Q}_{i j k}^{ξ} \leq C D_{j} ‚ \forall j, ξ (20) \\ C D_{j}^{\min} Ζ_{j} \leq C D_{j} \leq C D_{j}^{\max} Ζ_{j} ‚ \forall j (21) \end{array}$

2.2.5 非负约束

p $_{i m}^{ξ}$ , q $_{r l m}^{ξ}$ , $\bar{Q}$ $_{i m j}^{ξ}$ , $\hat{Q}$ $_{i j k}^{ξ}$ ,CDj, δ $_{i k}^{ξ}$ , θξ≥0,∀i,r,l,m,j,k,ξ (22)

2.2 供应链网络成本

2.2.1 固定成本包含供应商运营所产生的固定成本,制造商生产产品的开工成本,分销中心的修建成本:

$Τ C F = \sum_{l} S_{l} X_{l} + \sum_{j} G_{j} Ζ_{j} + \sum_{i} \sum_{m} C_{i m}^{F Μ} w_{i m} (23)$

2.2.2 供应商原材料成本

$Τ C R = \sum_{ξ} \sum_{r} \sum_{l} \sum_{m} ρ_{ξ} C_{r l}^{R} q_{r l m}^{ξ} (24)$

情景ξ下供应商原材料成本:

$Τ C R^{ξ} = \sum_{r} \sum_{l} \sum_{m} C_{r l}^{R} q_{r l m}^{ξ}, ξ \in Ω (25)$

2.2.3 制造商生产加工成本

$Τ C Μ = \sum_{ξ} \sum_{i} \sum_{m} ρ_{ξ} C_{i m}^{V Μ} p_{i m}^{ξ} (26)$

情景ξ下制造商生产加工成本:

$Τ C Μ^{ξ} = \sum_{i} \sum_{m} C_{i m}^{V Μ} p_{i m}^{ξ}, ξ \in Ω (27)$

2.2.4 运输费用

$\begin{array}{l} Τ C Τ = \sum_{ξ} \sum_{r} \sum_{l} \sum_{m} ρ_{ξ} q_{r l m}^{ξ} α_{r l m} d_{l m} + \\ \sum_{ξ} \sum_{i} \sum_{m} \sum_{j} ρ_{ξ} \bar{Q}_{i m j}^{ξ} \bar{β}_{i m j} \bar{d}_{m j} + \sum_{ξ} \sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} ρ_{ξ} \hat{Q}_{i j k}^{ξ} \hat{β}_{i j k} \hat{d}_{j k} (28) \end{array}$

情景ξ下运输费用:

$Τ C Τ^{ξ} = \sum_{r} \sum_{l} \sum_{m} q_{r l m}^{ξ} α_{r l m} d_{l m} + \sum_{i} \sum_{m} \sum_{j} \bar{Q}_{i m j}^{ξ} \bar{β}_{i m j} \bar{d}_{m j} + \sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} \hat{Q}_{i j k}^{ξ} \hat{β}_{i j k} \hat{d}_{j k}, ξ \in Ω (29)$

2.2.5 分销中心库存成本

$Τ C Ι = \sum_{ξ} \sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} ρ_{ξ} C Ι_{i j} \hat{Q}_{i j k}^{ξ} (30)$

情景ξ下分销中心库存成本:

$Τ C Ι^{ξ} = \sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} C Ι_{i j} \hat{Q}_{i j k}^{ξ}, ξ \in Ω (31)$

2.2.6 缺货成本

$Τ C S Η = ω \sum_{ξ} \sum_{i} \sum_{k} ρ_{ξ} δ_{i k}^{ξ} (32)$

2.3 模型

综上分析,需求不确定下的鲁棒供应链网络优化设计模型为:

3 基于混合遗产算法的模型求解

考虑本文模型的特点及问题的复杂性,提出基于改进遗传算法的鲁棒供应链网络优化设计算法(modified genetic algorithm for robust supply chain network design, 简称MGAND算法)。

3.1 编码处理

模型的决策变量分为0—1变量和连续型变量两种,为此分别采用0—1编码和实数编码两种编码方式。用0—1编码表示备选节点是否进入供应链系统,如Xl=1表示供应商l被选择进入供应链系统,否则Xl=0;xlm=1表示制造商m连接(l,m)存在,否则xlm=0;其他变量做类似处理。用实数编码表示连续型变量,如变量 $\bar{Q}$ $_{i m j}^{ξ}$ 可用区间[0, $\bar{Q}$ $_{i m j}^{\max [ξ]}$ ]范围内的任一浮点数表示,其他连续型变量做类似处理。

3.2 适应度函数

模型存在多个约束条件,本文采用罚函数法处理。模型中的约束改写成如下统一形式:

$\begin{array}{l} g_{u} (X) \leq 0 ‚ u = 1, 2, \dots ‚ m ； \\ h_{v} (X) = 0, v = 1, 2, \dots ‚ p 。 \end{array}$

引入罚函数系数rg(u),rh(v),将原问题转化为无约束极小化问题,其中原Z(X)为目标函数。

$F (X) = Ζ (X) + \sum_{u} r_{g} (u) * \max (g_{u} (X) ‚ 0) + \sum_{v} r_{h} (v) * | h_{v} (X) |$ 。

为了防止特殊个体的适应度值超常而误导群体的发展方向以及算法后期搜索迟钝,算法采用如下形式的具有随进化代数动态调整的非线性适应度函数:

$F i t (X) = \frac{| \sqrt[Τ Τ]{t} |}{F (X)} 。$

其中,t为当前进化代数,F(X)为无约束极小化问题目标函数,TT=1+lnT,T为遗传算法最大迭代步数, $| \sqrt[Τ Τ]{t} |$ 表示去不大于 $\sqrt[Τ Τ]{t}$ 的整数。该非线性适应度函数能够很好地克服进化过程中的早熟现象及退化现象,其性能已经张思才(2006)等[9]验证。

3.3 遗传算子操作

3.3.1 选择

算法采用轮盘赌选择与最佳个体保存法相结合的选择操作,以保证遗传算法向最优的方向进化。轮盘赌的选择概率为各染色体适应度值所占的比例。

3.3.2 交叉

针对0—1编码采用两点交叉,先随机产生两个断点,然后交换双亲中两个断点之间的基因,产生两个新的个体;针对实数编码采用算术交叉。

3.3.3 变异

对于0二进制编码,算法采用0—1变异,即变异算子通过变异概率随机翻转等位基因的二进制字符实现;对实数编码采取均匀变异,即将确定变异的基因用其定义区间中的随机数代替从而得到新的个体。

3.4 染色体修正

对于由遗传操作造成的某些约束(硬约束)不满足的情况,在进行适应度评价之前对每个染色体进行修正,从而保证约束成立。修正方法为:遍历所有0—1变量,若该变量值为0,则受该0—1变量约束的其他变量置为0;否则不修正。如X1=0,若存在q $_{r 12}^{ξ}$ ≠0,则置q $_{r 12}^{ξ}$ =0,∀r,ξ,相同情况做类似处理。修正后的染色体满足了约束式(2)—式(9)及约束式(18)、式(19)、式(20)。

4 算例及分析

采取如下较小规模的算例进行数值实验,产品种类,原材料种类,备选供应商数量,制造商数量,备选分销中心数量,零售商数量,情景种类如表1所示。

算例的情景规划:SCE1为市场“常态需求”,情景概率为0.5;SCE2中各零售商对产品P2需求增加20%,情景概率为0.3;SCE3为零售商(2,4,6,8,10)的产品需求增加30%的情景,概率为0.2。篇幅有限,相关参数取值略去。使用该算例,数值实验包括两部分:改进遗传算法(MGAND算法)算法性能测试;评估利用鲁棒优化模型确定的供应链网络结构的性能。

数值实验均在Intel Core(TM)2 Duo T5670 1.8 GHz处理器,2.0 GB内存的PC上进行,改进遗传算法MGAND采用matlab2009编程实现,全局最优解通过Lingo9.0编程获得。

4.1 改进遗传算法性能测试

构造GAP来测定MGAND算法求解结果与全局最优解的相对误差。设全局最优解为Fglobal,MGAND算法求解结果为Flocal,则: $G A Ρ = \frac{F_{l o c a l} - F_{g l o b a l}}{F_{g l o b a l}} \times 100 %$ 。

调用求解器Lingo9.0运行70 s,得到问题的全局最优解85 153.78。取种群规模N=25,最大迭代次数T =100,交叉概率pm=0.8,变异概率pc=0.01,执行MGAND算法12次,计算GAP,如图1所示。相对误差GAP均在10%以内,平均性对误差为4.78%,可以认为这样的结果是可以接受的。

4.2鲁棒优化模型确定的供应链网络结构的性能评估

4.2.1 计算上述规模的算例

节点坐标随机生成,模型目标函数值,固定成本,原材料成本,生产加工成本,运输费用,库存成本,缺货成本等如表2所示。

鲁棒供应链网络结构如图2所示,图形中的数字为被选入供应链系统的节点编号。与各需求情景下的最优供应链网络相比,鲁棒供应链网络存在节点和连接上的冗余,这也是鲁棒值劣于最优值的重要原因。篇幅所限,各需求情景下的最优供应链网络及鲁棒供应链网络的运行策略略去。

4.2.2 设需求情景SCE下的供应链网络最小成本Cssce

由鲁棒优化模型确定的供应链网络结构的成本值(即鲁棒值)为C $_{r o b u s t}^{s}$ ,构造GAP′= $\frac{C_{r o b u s t}^{s} - C_{s c e}^{s}}{C_{s c e}^{s}} \times 100 %$ 来测定鲁棒供应链网络结构的性能,显然,从经济性上考虑,GAP′越小,则认为供应链网络的鲁棒性越强。计算各需求情景下的GAP′,实验结果如表3所示,数值实验结果显示,各种需求情景下的GAP'不超过5%,这种相对误差是可以接受的,即认为由鲁棒优化模型确定的供应链网络结构性能是较好的。

5 结束语

本文构建了一个需求不确定的多产品,多原材料的由供应商—制造商—分销中心—零售商的构成的四级鲁棒供应链网络的优化设计模型,设计了基于改进遗传算法的MGAND算法,最后通过数值实验证明了模型及算法的有效性。研究表明,鲁棒供应链能够很好地应对需求的不确定性。本文进一步研究的内容有:供应链系统中其他不确定性对供应链网络设计的影响,如节点失效,连接中断等;通过定量的情景开发对供应链中不确定性做更为准确详细的描述;考虑多种不确定性的情况下鲁棒供应链的优化设计等。

摘要：建立了一个需求不确定的多产品、多原材料的由供应商-制造商—分销中心—零售商的构成的四级鲁棒供应链网络优化设计模型。模型中的需求不确定性区别于传统意义上的需求的波动,使用情景法描述。优化模型是一个混合整数线性规划模型,设计了基于改进遗传算法的MGAND求解算法。最后给出数值实验证明了模型及算法的有效性。

关键词：供应链设计,需求不确定,鲁棒供应链

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[8] Feng P,Rakesh N.Robust supply chain design under uncertain de-mand in agile manufacturing.Computers&Operations Research,2010;37(4):668—683

鲁棒优化篇7

在传统的电磁场逆问题研究中,人们一般以目标函数全局最优为最终求解目标。因此,长期以来电磁场逆问题研究的主要方向是快速、有效的全局优化算法。各种模拟自然现象、物理过程的新随机类全局优化算法,如模拟退火算法、遗传算法、禁忌算法、粒子群算法、进化算法等[1],被同步应用于电磁场逆问题的分析和计算,取得了满意的计算结果。

然而,实际工程问题总是存在这样或那样的不确定性[2]。例如,在运行过程中,电磁装置或系统的外界环境(温度、噪声等)将不断变化;又如,因受到制造工艺精度的限制,很难精确实现理论设计方案,即在制造过程中将不可避免地引入不可控的测量、制造误差。在上述情形中,如果全局最优解对参数的扰动非常敏感,设计参数的微小变化将导致目标函数的剧烈退化。此时,全局最优解便失去了它本身的意义。因此研究者需要搜索受不确定性影响较小的次全局最优解,即鲁棒性能更好的解,也即进行鲁棒优化设计理论和技术研究。相比于传统的全局优化设计研究,鲁棒优化设计不仅要求设计方案的性能最优,而且同时要求设计方案的抗扰性,即鲁棒性也要满足一定的设计要求。

目前,鲁棒优化设计理论和技术已经成为国内外计算电磁学的一个重要发展方向[3,4,5,6,7,8],在力学和机械工程等领域已日趋成熟。然而在工程电磁场逆问题优化设计研究方面,类似的研究还很少。为此,本研究探讨电磁场逆问题分析、计算的鲁棒优化设计方法和技术,并将其成功应用于典型数学函数和实际工程电磁场逆问题的鲁棒优化设计。

1 鲁棒优化设计理论及方法

1.1 鲁棒最优解

所谓鲁棒最优解:一类为解本身的鲁棒性,又称稳定鲁棒性;另一类是针对目标函数(值)的鲁棒性,又称性能鲁棒性,即指由于各种不确定因素的影响,优化的设计方案在参数微小变化下性能指标的鲁棒性。本研究即指后一类问题的鲁棒性。

全局最优解与鲁棒最优解如图1所示,以Δ表示设计参数所受扰动的变化范围。显然点x*为目标函数全局(最小化)最优解。然而,当考虑到不确定性扰动Δ之后,实际的目标函数值可能远远偏离期望值。在这种情况下,xr*才是鲁棒性能更好的次全局最优解,也即本研究所探讨的鲁棒最优解。

1.2 鲁棒解优化设计方法

对于鲁棒优化设计问题,常规的处理方法是将鲁棒性分析作为后验分析。这种方式简便易行,但它不是本质的鲁棒优化设计。为此,研究者需要将鲁棒性分析融入到优化设计过程。于是优化设计的最终目标就变成了鲁棒目标函数(有时是期望适值函数)和原目标函数的最优化问题。

鲁棒优化设计方法可分为两类:随机概率方法和非概率方法,后者中又以最差状况分析方法最常用。

1.2.1 随机概率方法

在扰动的情况下,鲁棒期望适值函数可由下式计算:

式中:p(δ)—设计变量x的微小扰动δ的概率密度分布函数。

在电磁场逆问题应用中,扰动的分布往往无法事先确定,目标函数f(x)一般也没有精确的数学解析表达式。所以一般情况下,采用下式近似计算期望适值函数:

式中:xi—x受扰动之后的随机变量,N—在x点周围所进行的采样次数。

为此,在设计鲁棒优化算法时,研究者一般需要设计合适的参数以产生正态分布随机数模拟实际扰动。对于具有解析式的目标函数,研究者通过衰减系数公式可以大致估算出应施加扰动的标准差σ大小。在实际工程应用中,参数σ选择的过小或过大,都不利于期望适值函数的计算。标准差的选择多根据经验,因而具有不确定性。

显然,对期望适值函数计算,通过增加采样次数会提高计算精度,进而提高算法的鲁棒寻优能力,但同时增加计算负担。对于具有解析式的数学函数,文献[5]给出的赋值次数为20。在实际工程计算时可取更大的值以保障解的可靠性。

1.2.2 最差状况分析法

为了避免扰动未知性所带来的难题,可采用最差状况法直接分析在给定的扰动参数变动范围(不确定性参数集合)情况下,目标函数的“最坏”衰减程度。此时,一般以不确定性参数集合中的目标函数最大值或目标函数值变化最大幅度作为鲁棒目标函数。因而,问题的难点在于如何以集合的方式定义鲁棒目标函数。为了节省计算成本,通常采用近似估计的方法,常用的方法有最差顶点法、最差点预测法等。

1.3 鲁棒性能参数分析

对于优化得到的名义解(即未受扰动的优化解),以及对它施加一定扰动后的扰动解,本研究通过计算两者目标函数值的偏差判别优化解的鲁棒性能优劣。

采用随机概率方法需要掌握精确的扰动分布,以及各参数之间的相互关系,才能给出准确的鲁棒性能参数,而事实上这些数据只能通过估计的方式获取。最差状况分析方法不需考虑扰动分布所带来的难题,但是该方法由于过分估计扰动所带来的危害,有时获得的目标函数值太差。综合上述因素,本研究最后选取随机概率方法中鲁棒期望适值函数作为目标函数的鲁棒性参数进行优化。

2 鲁棒优化的改进禁忌算法

禁忌搜索算法(Tabu Search Algorithm,TS)是一种启发式的随机搜索算法,是F.Glover等为求解组合优化问题而提出的,目前已广泛应用于各类电磁场逆问题的分析和计算。有鉴于此,本研究基于鲁棒优化的特点对其进行了改进,以适用于工程电磁场逆问题鲁棒优化设计。

2.1 步长生成公式

本研究将步长生成规则做标准化处理,使之适合于各种优化设计。首先将各坐标方向分量的变化范围统一变换为[0,1],然后设标准步长h分量公式为:

且:。

坐标j方向上对应于步长hi()邻域的新点分量yj由下式给出:

式中:r—区间[-1,1]内均匀分布的随机数。

其中:

式中:bj、aj分—第j个分量的上、下界。

同时,本研究对生成的新点做超限判断,如超限则舍弃当前点,重新生成另一个点。

2.2 全局搜索与细化搜索策略

传统禁忌算法不同循环的起始点始终为上一代循环的最优状态点。当该状态点离当前最优解较远时,不利于全局搜素。若每次都从当前最优解开始搜索,算法又易陷入局部极值点。为了加快算法收敛过程,本研究在算法运行初始阶段采用多样化全局搜索,即下一代种群以当前代最优个体为基础生成。当程序运行到一定阶段进行细化搜索,下一代种群以全局最优个体为基础生成。这样就实现了算法的全局搜索和局部细化搜索之间的平衡,可有效加快算法的收敛速度。

2.3 期望适值赋值策略

根据前述鲁棒解的分析可知,鲁棒最优解必然也是局部最优解。因此,在优化设计过程中本研究期望适值赋值可适当简化,即在每一迭代周期中,只计算本代中个体最优解的期望适值函数值。显然,通过采用本研究策略可大幅减少期望适值计算所需的计算资源,从而可提高算法的收敛速度。

2.4 算法流程

适用于鲁棒优化的改进禁忌算法流程如下:

(1)参数初始化,随机生成初始种群。

(2)计算种群中个体的目标函数值,比较选择其中最优个体。

(3)对本代最优个体调用期望适值赋值计算程序,并记录其期望适值。

(4)根据算法程序运行的不同阶段,生成新一代种群,循环进行目标函数值计算比较程序。在初始阶段进行多样化搜索,程序运行到一定阶段时进行细化搜索。

(5)满足一定的终止条件则停止程序搜索。终止条件一般可设为:达到总的循环次数,或者连续搜索一定次数后目标值没有改进。

3 算例验证

为了说明和验证本研究的鲁棒优化算法,本研究首先选取一个2维数学函数算例进行验证:

该函数有5个最大值局部点,分别在点(1,1)、(1,3)、(3,1)、(3,4)、(5,2)。其中,全局最优解为(3,3.995 5),鲁棒最优解为(3,1)。优化参数范围为[0,0;5,5]。为了对比分析,本研究采用如下3种方法分别优化:

方法1。采用通用禁忌算法对该函数进行优化,连续搜索10次都能搜到全局最优解(3,3.995 5)。

方法2。将优化的目标函数改为鲁棒期望适值函数,即采用式(2)作为目标函数。同时在迭代过程中对每个过渡解都施加正态分布随机数扰动。连续运行10次,得到相似的鲁棒最优解(2.997,1.004)。

方法3。根据上述的期望适值赋值策略,只对每一代中的局部最优个体赋值期望适值函数。连续运行10次仍然能搜索到相似的鲁棒最优解(3.005,1.003)。

在本例应用中,为保证算法能够搜索到全局鲁棒最优解,算法的终止规则是:连续搜索给定次数后目标值没有改进即终止算法的迭代。某一次搜索的搜索轨迹对比图如图2所示,从上至下依次对应前述3种优化方法。

本研究对上述的全局最优解和鲁棒最优解分别叠加“1%×5”的扰动,计算它们的目标函数值并与原未扰动值比较,得出二者的偏差系数分别为1.5%,0.2%;叠加“5%×5”的扰动时,二者的偏差系数相差悬殊,分别为32%和5.5%。

优化结果表明,本研究使用改进的鲁棒优化禁忌搜索算法,能够高效地搜索到鲁棒最优解,取得了预期的计算效果。

4 应用实例

为验证本研究算法在实际电磁装置优化设计中的性能,笔者将其应用于Team Workshop Problem22超导磁储能(Superconducting Magnetic Energy Storage,SMES)系统优化设计问题[9]。SMES系统一般由SMES线圈(装置)和电力电子逆变器组成。储能用超导磁体的超导线圈为双螺管结构,其中一个线圈为位于内侧的主线圈,另一个是位于外侧的屏蔽线圈,SMES线圈结构示意图如图3所示。为减小线圈周围环境电磁场的强度,对两个线圈施加方向相反的电流。

本研究选取3参数问题进行结构优化设计,R1=2.0 mh1=1.6 md1=0.27 m优化变量为R2h2d2,优化参数变化范围为[2.6,0.408,0.1;3.4,2.2,0.4]。优化的数学模型为:

式中:Bnorm=3´10-3T;Energy—超导系统实际储能;Eref=180MJ;—衡量SMES系统装置对周围环境影响的一个指标,其值为对距离坐标轴10 m处的直线段a,b分别10等分后得到的22个采样点的磁感应强度平方的平均值,;w1,w2—权系数。

由J12=22.5A/mm2,式(7)简化为。

本研究采用有限元法计算式(7)的目标函数值。通过使用本研究改进的鲁棒优化禁忌搜索算法,经过2 880次迭代后得到的鲁棒解为(3.074 0,0.803 4,0.234 9),目标函数值为0.110 49。漏磁为0.711 83×10-6,储能为174.347 73 MJ。本研究在其上叠加1%的扰动后,求得目标函数值为0.139 62。二者之间的偏差为26.36%。扰动后漏磁为1.105 89×10-6,储能为176.986 69 MJ。其搜索轨迹如图4所示。

对于目前已知最好的全局最优解(3.08,0.478,0.394)及其最优值0.088 08,漏磁为0.791 38×10-6,储能为180.027 7 MJ。本研究在其上叠加1%的扰动后,求得目标函数值为0.174 5,二者之间的偏差为95.19%。扰动后漏磁为1.406 26×10-6,储能为183.284 94 MJ。

以上的优化计算结果表明,通过采用本研究改进的鲁棒优化禁忌搜索算法,能够高效地搜索到鲁棒最优解。在不确定性环境下,鲁棒优化解的目标函数的鲁棒性能得到了很好的保证。

5 结束语

本研究首先详细介绍了鲁棒优化设计方法,并对鲁棒期望适值函数中的关键参数估计进行了分析。然后,根据鲁棒优化的特点对传统的禁忌搜索算法进行了改进,以适用于工程电磁场逆问题鲁棒优化设计。本研究应用改进的鲁棒优化禁忌搜索算法计算了数学函数算例的鲁棒优化问题和实际的工程鲁棒优化设计问题。优化计算结果表明,该算法能够快速高效地搜索到鲁棒最优解。在引入扰动时,与全局最优解相比,鲁棒最优解的目标函数值偏差更小,性能稳定性更好。因此,本研究算法具有一定的实际工程应用价值。

参考文献

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鲁棒优化篇8

关键链方法(Critical Chain Method,CCM)是近几年来在项目调度上比较先进的管理思想,并且已经广泛的应用到多个领域,同时鲁棒性(Robustness)在不确定型项目调度问题的优化上也成为了项目调度研究考虑的一个重要方面。研究关键链项目调度方法和鲁棒性度量指标之间的协同关系,并将结果进行总结,对于项目调度具有重要的现实意义。

以色列物理物理学家Goldratt创立并发展了提高系统整体效率的管理优化的约束理论TOC(Theory of Constraints)并在此基础上提出了关键链项目调度方法CCM[1],这个理论被学者认为是继传统计划与控制方法CPM/PERT(CPM,Critical Path Method/PERT,Program Evaluation and Review Technique)之后项目管理技术发展史中的又一重大里程碑事件[2,3]。随后Bevilacqua M[4]指出了CCM与CPM的三个主要的区别:活动时间设置的差异,缓冲区的插入,资源冲突的消除。Watson[5]的研究表明关键链方法可以比传统的CPM和PERT方法更显著的缩短工期。赵道志[6,7]教授纠正了对关键链方法的认识误区,指明了关键链的理论研究方向。刘士新[8]胡信步[9]等人研究了基于关键链的多项目调度问题。

鲁棒性概念是现代控制理论和系统科学中的概念,指系统具有承受不确定因素影响的能力。在项目调度中,鲁棒性调度计划指的是调度计划的稳健性,即为能够抵抗由不可控因素导致的活动短时间拖延,项目完成时间具有较好稳性,并且不耗费成本。Al-Fawzan[10]先将鲁棒性概念真正引入资源约束项目调度领域。Vonder等人[11]提将项目调度鲁棒性分为两类:质量鲁棒性(quality robustness)和解鲁棒性(solution robustness),并建立总工期最小化和鲁棒性最大化的双目标鲁棒调度模型。

本文首先阐述了关键链技术和鲁棒性的思想,提出关键链和鲁棒性之间内在的关系,并通过对典型的项目调度实例的分析,得到关键链缓冲设置的最佳评判方法。

1 关键链技术及其缓冲的基本思想

关键链技术是用关键链代替PERT/CPM中的关键路径。关键链是在关键路径的基础上考虑了资源的冲突,为了消除对项目计划在实际执行中的影响,关键链方法通过设置项目缓冲(Project Buffer,PB)、输入缓冲(Feeding Buffer,FB)和资源缓冲(Resource Buffer,RB)。项目缓冲是为了吸收整个项目由于工序的不确定性使项目的总工期发生的拖延,项目缓冲区设置在整个项目的最后。输入缓冲是为了吸收由于非关键链上的活动的拖延对关键链的影响,因此输入缓冲区设置在非关键链汇入关键链的位置。资源缓冲是一种资源预警机制,需要说明的是资源缓冲不占用时间,在实际的项目进度中,保证资源按时足量供应,这样不会对关键链上的工作造成影响,保证项目按期完成。通过以上三种缓冲可以保证项目在实际中,即使面对不确定的环境,项目也能顺利执行。关键链缓冲区尺寸的大小设置方法主要有两个,分别是剪贴-粘贴法和根方差法。前者是根据传统的方法估计出每个活动所需要的时间,并剪去其中的安全时间再相加。如果是属于关键链上的活动,则取其剪下来的安全时间和值的一半作为项目缓冲区尺寸的大小,如果是属于非关键链上的活动,则取其和值的一半作为输入缓冲区尺寸的大小。可以表示为:

$B_{1} = \frac{1}{2} \sum_{i j \in μ} (D_{i j} - d_{i j})$ (1)

μ为关键链或者是汇入关键链的非关键链。Dij为含有安全时间的工期估计,dij为不含安全时间的工期估计。剪贴-粘贴法简单易行,但是比较随意,容易产生缓冲区过大或者过小的情况。根方差法可以表示为:

$B_{2} = \sqrt{\sum_{i j \in μ} (D_{i j} - d_{i j})^{2}}$ (2)

根方差的优点是避免了剪贴-粘贴法的随意性,缓冲区不会出现过大或者过小的现象。此外,也有很多学者提出来其他的多种缓冲设置方法。褚春超[12]在工序工期服从均值μ和方差σi2的对数正态分布情况下,综合考虑资源紧张度、工序复杂度和管理者风险偏好得到了如下的缓冲估计:

$B_{3} = [\sum_{i = 1}^{n} [(1 - α_{i}) * β_{i} * δ_{i} * σ_{i}]^{2}]^{1 / 2}$ (3)

其中 $α_{i} = m a x [\sum_{i = 1}^{m} r_{k t} / R_{t}]$ 表示资源紧张度,rkt为工序k完成的这一时间段所需要的资源量,Rt为资源供应限量;βi=Np/Nt表示工序复杂度,Np和Nt分别表示在链路上工序的紧前关系数和工序总数;δi=frg/2.0表示管理者风险偏好,工序较多的情况下,可以认为链路近似服从正太分布,frg为在正太分布表中查到的在某个完工保证率(如95%)下标准差倍数。杨立熙[13]等研究了在根方差的基础上加入固定值,是为了保证完工率,比剪贴-粘贴法相比缩短了计划周期并且根据工序执行时间的不确定性和开工柔性程度进一步修正缓冲大小,其计算公式为: $B_{4} = ρ * β {θ + [\sum_{i = 1}^{n} (D_{i} - d_{i})^{2}]^{1 / 2}$ (4)

其中ρ为工序执行时间不确定程度修正因子, 随不确定程度增大而减小,如果β为开工柔性程度修正因子,随柔性程度降低而增大。θ为切粘法和根方差法计算的项目的计划周期的差值。Tukel[14]等分别从资源的紧张度和工作的密集程度提出了两种缓冲尺寸的计算方法,分别是

B5=[1+max(D*d/T*σi2)]*(SUM)1/2 (5)

B6=[1+(P/N)]*(SUM)1/2 (6)

其中D为工序所需的资源量,d为活动的工期,T为关键链的长度,σi2为活动的方差,P为汇入关键链之前的所有紧前关系数,N为这个链上的的活动数。SUM=sum+σi2,对每一个在最长路径上的活动在汇入关键链处终止。

2 鲁棒性度量的基本思想

鲁棒性度量方法目前有基于活动时差的项目鲁棒性度量方法和基于活动开始时间偏差的项目鲁棒性度量方法。基于活动时差的项目鲁棒性度量方法有很多种,很多学者都提出了自己的度量方法,有的在实践中应用也很有效。例如Kobylan采用的是整个活动自由时差与活动持续时间的比率来进行鲁棒性度量[15],可以用公式表示为:

RM1=FF/D (7)

其中FF表示活动的自由时差,D表示工期, Hazir[16]等人总结了近年来鲁棒性度量方法并提出了自己的几个度量方法,如下:

$R Μ_{2} = \sum_{i = 1}^{n} Ν S_{i} * Τ S_{i}$ (8)

$R Μ_{3} = \sum_{i = 1}^{n} Ν S_{i} \sum_{j = 1}^{┌ S D R_{i} ┐} e^{- j}$ (9)

其中,NSi表示活动i后面的所有活动数,TSi表示活动i的时差。┌SDRi┐表示活动i的时差与工期的比值并且向上取整数。的时差与工期的比值并且向上取整数。

3 关键链缓冲与鲁棒性之间的关系及应用

通过以上对关键链(CCM)和鲁棒性的度量方法的分析,可以发现这两者的共同点都是利用了活动的时差。在关键链中,当缓冲消耗完之后,后续的活动就会拖延,从而影响整个项目的工期。其缓冲区的大小取决于链路上的安全富余时间,而鲁棒性大小取决于资源约束下的活动自由时差,显然两者在设置机制上有一定的内在关系,研究两者之间的关系可以为项目的调度提供一个更可靠的理论支持,便于决策者做出更优的决策。

下面通过一个实例[17]以CPM为参考,并结合以上关键链的缓冲计算和鲁棒性度量方法来说明关键链技术和鲁棒性之间的关系。如图1所示的网络图,图中的每个工序都由所需的资源类型和资源数所和执行时间组成,限定每个类型的资源限量为5。此时用关键路径法获得的关键路径为a→b→e→g,可以得到项目的工期CPL=90。

已知CPM未考虑活动的资源约束和“学生综合症”的影响经常使得项目工期拖延等缺陷而关键链就是在这种背景下产生,克服了CPM的缺陷,在本例中考虑资源约束时在考虑可以看出工序3和4之间存在资源冲突,工序2、5和6之间也存在资源的冲突。采用优于CPM方法的CCM进行项目调度,得到图2的项目调度计划,其中关键链为a→d→c→g。

使用第一节的缓冲尺寸计算方法,其中B3所需的参数为表1所示。风险偏好水平是根据统计学原理,将整个链路看作近似正态分布,在95%保证率下给定的,本例中风险偏好水平δ=0.42。公式B4的参数,工序执行时间不确定性修正因子ρ=1,剪贴法和根方差法计算的计划周期的差值θ=2,开工柔性程度修正因子β=0.5。公式B5和B6的工期方差参数也取自表1。

计算的缓冲尺寸结果如下表2所示。

由上表可以看出,不管采用何种缓冲的计算方法,在50%的时间估计下的关键链技术得到的工期都比CPM法得到的工期短。其中缓冲尺寸的基本计算方法—剪贴-粘贴法和根方差法给的计算出来的关键链的长度是最长的,也就是说含有的安全时间也是最多的,即容易出现缓冲区过大的情况,这样导致的结果往往就是使得调度计划不是最佳,因而这两种方法都存在一定的缺陷。在考虑资源紧张度、工序复杂度和管理者风险偏好的情况下的到了B3的值相比较前两种方法,此方法计算出的缓冲尺寸相对较小,整个调度计划工期更短,但是这种计算的结果偏小,在执行时可能会因为缓冲较小而延误工期。在前两种的基础上如果再考虑工序执行时间不确定性程度,开工柔性程度,得到B4的值,而这时的值和B3的值相比虽然工期有延长,但是很显然缓冲尺寸变大,这样使得工期的柔性更好。B5和B6则是分别考虑了资源的紧张度和工作的密集程度结果相差也不大,和B3的值相比也差不多大小。

根据以上的计算和分析结果,得到B4的结果在本例中使用会使结果更接近实际值,即不会如B1,B2的结果使缓冲区过大从而使整个工期延长很多,也不会如B3,B5,B6使缓冲区过小使得计划工期较短使工期延误的可能性迅速增大,这三种缓冲尺寸的设置可以排除,所以最终选择B4的计算结果为最佳参考缓冲值,此时CCL=71天。

进一步用鲁棒性的思想衡量经过关键链技术调度前后调度计划的鲁棒性大小关系。根据式(7)(8)(9)分别计算调度前后的鲁棒性值RM’和RM,如表3所示。

由上表并结合之前关于鲁棒性概念和关键链之间关系的陈述,并且根据前后的相对差值Q=RM-RM’大小得到可以看出式(8)得出的鲁棒性最优。

前面已经分析过,如果缓冲尺寸选择B3,B5,B6会使项目延期的风险急剧上升,所以最先排除这三种设定方法,对于经典的B1,B2的设定方法来说,缓冲尺寸较大,这个项目工期就比较长,一般不会超过这个预计工期。现在将对公式(8)改进为公式(10),则其表示调度计划的绝对鲁棒性。

$R Μ_{4} = [\sum_{i = 1}^{n} Ν S_{i} * Τ S_{i}] / D (10)$

现在用调度计划的绝对鲁棒性来度量这几个仿真值,以比较其所能承受环境变量对工期影响的程度。公式中的D表示仿真的预期工期。比较的结果如下表4所示。

根据鲁棒性的定义,很明显B4的值最大,说明使用B4的缓冲尺寸计算方法得到的项目调度计划的鲁棒性最优,即说明使用B4的缓冲尺寸计算方法得到的调度计划抵抗外界不确定性环境干扰能力强。本例说明在各个缓冲尺寸确定的计划调度中,经过初步的排除之后还比较难取舍时,使用鲁棒性的值来度量对应的调度计划的鲁棒性值的大小来做进一步判断来确定最佳缓冲尺寸。

4 结语

本文结合国内外文献,对关键路径与关键链技术在和鲁棒性度量进行了总结与评述,并列举了几个关于缓冲尺寸和鲁棒性度量的方法,并进行了比较分析。在关键链技术下使用不同缓冲尺寸获得项目调度计划的工期,并借助鲁棒性概念,度量了各种缓冲尺寸下项目调度计划的稳定性程度,希望以此促进关键链技术与鲁棒性在项目调度领域研究的进一步发展,使这两种方法在实际中能够应用并产生积极的作用。另外本文中的计算所需的参数只是基本作者的研究得出,还有待于进一步研究。

鲁棒优化篇9

供应链管理作为管理科学的热门研究领域,无论是对于组成供应链环节的企业,还是对于供应链进行宏观指导调控的政府,都具有重要的现实意义。而供应链质量作为一个供应链的优劣的评价标度,也有许多国内外学者进行了深入的研究。

1.1供应链质量管理的内涵。关于供应链质量管理的概念框架,目前的研究并没有得到一个共同的认识,有些学者甚至照搬企业质量管理的内涵,显然是不合适的。目前比较主流的一个概念框架是由Robinson & Malhotra[1]提出的四个研究主题:过程整合管理、交流合作、领导管理、战略实践。之后又有一些其他学者在这一基础上进行了更深入的研究与解读。Kuei[2]提出了供应链能力、关键要素、战略组成和供应链质量实践这四个维度,并将这四个维度进一步进行了细分,其中在供应链能力这一部分中,强调了交付可靠性与供应链运行效率的重要性,由此也对供应链设计的稳定性与抗风险性提出了更高的要求。

1.2关于供应链模型的研究。关于供应链的模型设计与优化的研究,大多数都集中在实证研究以及定量模型的分析。例如Artzen[3]对多种产品、多种设备、多阶段、多时间周期以及大国际公司不同地域的贸易平衡问题进行了研究,并且采用了混合整数规划模型来对其进行建模求解分析;Jayaraman & Ross[4]则构建了一个两层———运作层和战略层的供应链设计PLOT模型,并利用模拟退火算法为模型提出了新的求解方法。

1.3关于供应链鲁棒性的研究。鲁棒是Robust的音译,鲁棒性 (robustness) 指的就是系统的健壮性。即在外界情况充满不确定的情况下,系统面对各种风险时候的表现是否稳定。而对于一个供应链系统来说,鲁棒性又通常可以从多个方面来描述。徐家旺[5,6]研究了电子商务市场环境下,需求不确定供应链的多目标鲁棒运作模型,以及在市场供求均不确定的情况下,简单二级供应链的多目标鲁棒运作模型的策略;盛锋[7]则基于需求不确定的情况下,对于多产品、多原材料的由供应商—制造商—分销中心—零售商构成的四级供应链网络的优化设计问题进行了研究,并设计了改进的混合遗传算法来对其进行求解;邱若臻[8]则设计了基于最小最大后悔值准则的供应链鲁棒协调模型,针对未知需求具体分布形式的两级供应链系统,建立了供应链鲁棒回购契约协调模型,在仅知需求区间这一信息条件下,采用鲁棒优化方法求解了最小最大后悔值准则下的集成供应链鲁棒订货策略和分散供应链鲁棒契约协调策略。

众所周知,需求不确定是供应链所面对的最大风险之一,也是考验供应链系统健壮性的重要因素之一。对于不确定性的描述,有几种比较常见的方法:一种是需求的伪随机法,即需求是按照一定的概率分布产生的,但是使用这种方法的一个重要前提是有足够的经验与历史数据来进行推断[9];一种是模糊法,即将需求视作一个模糊数,同样的,这种方法也依赖于一定的经验判断。本文对需求不确定性的界定采用的是情景法,情景法是描述本文需求,不确定性的合适方法。作为近年来较为新颖的描述不确定性的方法,情景法将不确定性分为至少两种不同的情景集来反映不确定性,情景法最大的优势在于它为决策者提供了一个思维决策模型,系统全面地思考不确定性的各种情况。

2模型构建

2.1供应链结构。本文的供应链结构是在文献[5]的简单供应链结构 (只由一个制造商和一个供应商构成) 的基础上,增加了分销商环节。在考虑需求不确定的情况以及供应链的参与者都追求利润最大化的前提下,制造商、供应商以及分销商所作出的最优生产决策。具体的供应链结构及成员之间的关系如图1所示。

其中,供应商可能需要向原材料市场采购多种原材料来进行生产制造原料,制造商也可能生产多种产品提供给分销商。而且在供应链的整体运作过程中,供应商与制造商以及制造商与分销商之间的订货数量和生产数量应该是相等的,这样才能保证供应链的协调运作,同时各方又要面对需求的不确定性来确定自己的最优生产策略,在供应链协调运作的基础上来追求自身利润最大化的目标。

本文参考文献[10]中提出的鲁棒优化思想及模型,来对本问题进行建模求解。

2.2参数设置。决策变量:供应商的生产量Si（i=1,2,3,…,n）,其中i表示其生产的第i种制造原料;制造商的生产量Mj（j=1,2,3,…,m）,j表示制造商生产的第j种产品;Ddj为分销商向制造商订购第j种产品的数量。其他参数:Kij表示制造商生产第j种产品时所需的第i种制造原料的系数,C1i表示供应商生产第i种制造原料时所需要的单位生产成本,C2j表示制造商生产第j种产品时所需要的单位生产成本,P1i表示供应商生产第i种制造原料时对应的原材料价格,P2i表示制造商从供应商购入第i种制造原料时的单位购买价格,P3j表示分销商从制造商处购买第j种产品时的单位购买价格,P4j表示第j种产品的单位市场销售价格,C3表示单位制造材料在一个周期内的库存成本,C4表示单位产品在一个周期内的库存成本。Ts（,=1,2,3,…,p）表示情景集合,Dsj表示在第s种情景下对第j种产品的市场需求。

2.3目标函数与约束

目标1:供应链运作均衡,即供应链成员应该尽量保证其获得的订单与交付数量一致,且优先级一致。

其中Pr1为优先级系数,为一个充分大的数。d+1i,d-1i,d+2i,d-2i,d+3i,d-3i分别表示供应商与制造商、制造商与分销商以及分销商与市场需求之间原料或者产品的差值。

目标2:供应商追求利润最大化。

其中Pr2为优先级系数,Rs为供应商实际利润,Rs0为企业期望获得利润,是一个给定常数,d-s,d+s为供应商实际利润与期望利润的差值,ps为第s种情景发生的概率。

目标3:制造商追求利润最大化。

其中Pr3为优先级系数,Rm为制造商实际利润,Rm0为制造商期望利润,是给定常数,d-m,d+m为制造商实际利润与期望利润的差值。

目标4:分销商追求利润最大化。

其中Pr4为优先级系数,Rd为分销商实际利润,Rd0为分销商期望利润,是给定常数,d-d,d+d为分销商实际利润与期望利润的差值。

其他约束:供应商与制造商的生产量应小于其最大生产能力:Si≤Smaxi; Mj≤Mmaxj

资源及产品的供应约束:∑mj=1MjKij≤Si; Ddj≤Mj

供应商、制造商及分销商的库存应小于其最大期望库存:

其中Smaxi,Mmaxj分别为供应商与制造商的最大生产能力,L1max,L2max,L3max分别为供应商、制造商与分销商的最大期望库存。

非负条件:上述模型中涉及的产量、库存、成本等变量与参数均应大于0。

3算例求解

通过观察可以发现,上述模型中的约束与目标函数均为线性,因此理论上可以用线性规划方法进行求解。以下为一个简单的算例求解分析。

为了便于计算,假定供应商生产两种制造原料,制造商生产两种产品。情景集包含两种情景,发生的概率相等:情景1时,D1j= （100,120）,P4j= （85,90）;情景2时,D2j= （120,150）,P4j= （95,100）。

其他参数设置为:

根据以上的数据,分别计算供应链各方在需求确定的情况下 (两种情景的期望平均),以及不确定情况下的运作策略。结果见表1。

通过比较,不难发现,两种情况下,供应商与制造商的利润只相差了不足1%,而分销商的利润也只相差了4.3%。因此可以看出,通过使用离散概率的情景描述建立的模型,具有较好的鲁棒性,可以较好地保证整条供应链的有效运作。

4总结与展望

本文主要考虑了在需求不确定的情况下,多原料、多产品的多级供应链的鲁棒运作模型。通过情景描述的方法来对不确定性进行了描述,并进行了模型建立,同时采用了一个简单的算例来验证了模型的鲁棒性。

鲁棒优化篇10

现金流均衡项目调度问题(CFBPSP,cash flow balance project scheduling problems)研究如何合理地安排活动的开始时间,以实现项目现金流入与流出的动态均衡[1,2]。该问题的研究对于实施周期长、投资规模大,且承包商融资能力有限的项目管理具有重要的现实意义。由于实际中绝大多数项目都是在不确定环境下实施的[3],项目组织内外部诸多难以预计的不确定因素的作用,活动工期在执行过程中会发生随机变化,从而给现金流的动态均衡造成不利影响并干扰项目的平稳进行。因此,具有随机活动工期的现金流均衡项目调度问题更加符合现实情形。事实上,在实际项目管理中,对活动及资源进行合理的计划和调度,也正是项目管理者应对活动工期变化、保持现金流均衡的常用手段之一。由此可见,随机活动工期现金流均衡项目调度问题具有明确的现实背景,其研究成果能够为实际中的项目进度管理和现金流控制提供直接的理论支持。

本文基于上述情况,研究基于鲁棒性约束的随机活动工期现金流均衡巷目调度问题,以有效应对活动工期随机变化的影响。从项目调度问题研究的发展脉络看[4,5,6,7],该问题可视为折现流项目调度问题(PSPDCF,project scheduling problems with discounted cash flows)[3]与资源平衡项目调度问题(RLPSP,resource leveling project scheduling problems)[9,10]的一种交叉。本文拟对不确定环境下上述两个分支的研究进行扩展。首先对所研究问题进行界定;随后构建问题的优化模型;设计禁忌搜索启发式算法;用一个实例对研究结果加以验证和说明;最后总结全文并指出进一步研究方向。

2 问题界定

文中采用基于活动(activity-based)的研究方法[11],即将项目表示为一个AoN(Activity-on-Node)网络,其中节点代表活动,箭线代表活动之间的逻辑关系。考虑一个由N个活动构成的项目,出于网络表述的需要,额外添加两个虚活动:活动0和活动N+1,分别表示项目的开始和结束。项目的实施需要M种可更新资源,第l(l=1,2,…,L)种可更新资源的可用量为Rl.活动n(n=0,1,…,N+1)执行时在单位时间里对第m种可更新资源的需求量为,完成后形成的成本为cn并可获得vn的挣得值。由于不确定因素的影响,活动n的工期dn为一均值和标准差分别为μ(dn)和σ(dn)的随机变量。注意,对于前述两个虚活动,即活动0和活动N+1来说,其可更新资源的需求量、成本、工期及挣值均恒为0。项目的计划截止时间为D,合同总价格为,需要特别说明的是,由于活动工期的随机性,此处的计划截止时间D实质上为一柔性约束,即该约束在项目进度计划制定时必须考虑并遵守,但在计划的执行过程中却有可能被突破。

在项目开始时,业主对承包商支付γU(0≤γ≤1)的预付款用于项目的开工准备,这笔预付款在后续的支付中随着项目的进展按比例扣回。在项目实施过程中,业主在给定的K个里程碑活动nk(k=1,2,…,K)上对承包商进行支付。注意,由于项目结束时必须安排一次支付,所以,项目虚结束活动N+1必须是支付活动。在进行支付时,支付量pk(k=1,2,…,K)基于承包商累计获得的挣得值按支付比例θ(0≤θ≤1)计算,但需按比例扣留预付款和质量保证金,质量保证金的比例为η(0≤η≤1)。在项目完成时,业主须向承包商付清除质量保证金ηU外的全部剩余合同价款,质量保证金在质量保证期满后再行支付。

对于在不确定环境下实施的项目来说,其进度计划必须具有一定的鲁棒性,否则,进度计划便会由于活动工期的随机变化而频繁地发生调整,从而失去对项目实施的指导作用。通常,项目进度计划的鲁棒性是通过在活动的计划完成时间之后设置时间缓冲来获得的。给定各活动的开始时间sn(n=0,1,…,N+1),时间缓冲Bn可按下式计算:

其中,SUCCn,为活动n的所有紧后活动的集合。进一步地,基于活动工期的标准差σ(dn),为每个活动定义一个权重系数ξu:

显然,活动ξn越大,则其工期的变化性越高,因而在其后所设置时间缓冲的效果就越明显。所以,从另外一个视角来看,ξn实际上反映了活动n上的单位时间缓冲对进度计划鲁棒性的贡献。当活动n上的时间缓冲为Bn时,其对进度计划鲁棒性的总贡献即可用ξnBn度量。基于上述理由,把整个项目进度计划所拥有的总鲁棒性Robu定义为所有活动上的时间缓冲对项目进度计划的鲁棒性贡献总和,即。对于随机活动工期的现金流均衡项目调度来说,为了确保进度计划在执行过程中的稳定性,要求计划的鲁棒性Robu不得低于一个设定的阈值Robu*.而Robu*可以通过对活动工期随机分布的估计,结合由计划截止时间D和AoN网络所决定的总时间裕量,由项目管理者权衡决定。

文中所研究的现金流均衡项目调度问题,存在一组决策变量,即各活动的开始时间sn.给定一组sn,则项目在某时刻T(T=0,1,…,D)的累计现金流出为,其中,FAT={n:sn+μ(dn)≤T}为T时刻计划完成的活动集合;而该时刻的累计现金流入为,其中,为T时刻计划完成的里程碑活动集合,pk按下述方式计算:

其中,为第k-1次支付至第k次支付之间计划完成的活动集合。因此,在T时刻的现金流缺口GT即为:

令表示项目实施过程中的最大累计现金流缺口,则现金流均衡调度的目标即可定义为最小化Gmax.至此,可将文中所研究的问题界定为:在活动工期随机变化及给定鲁棒性Robu*、计划截止时间D和可更新资源Rl约束的条件下,如何合理地安排活动的开始时间sn,以最小化Gmax并据此实现项目现金流入与流出的动态均衡。

3 优化模型

根据上述对问题的界定,基于鲁棒性约束的随机活动工期现金流均衡项目调度问题的优化模型可构建如下:

其中,VT为在T时刻正在进行的所有活动的集合。

上述优化模型为一整数规划优化模型。其中,目标要求式(1)最小化项目实施过程中的最大累计现金流缺口Gmax.约束条件式(2)将虚活动0的计划开始时间s0(这也是整个项目的计划开始时间)定义为0时刻;式(3)为网络优先关系约束,确保活动n的计划开始时间sn与其工期均值μ(dn)之和不晚于其紧后活动m的计划开始时间sm;式(4)为项目工期约束,保证虚结束活动N+1的计划开始时间sN+1(这也是整个项目的计划完成时间)不超过计划截止时间D;式(5)为可更新资源约束,使得在项目实施过程中的任意一个时刻T(T=0,1,…,D),所有正在进行活动对第l种可更新资源的需求总量不超过该种资源的可用量Rl;式(6)为鲁棒性阈值约束,确保项目进度计划的鲁棒性不低于事先设定的Robu*,以抵御活动工期的随机变化对计划执行过程的干扰;式(7)为决策变量的定义域约束。

通过上述优化模型,便可在给定的多个约束条件下,借助对活动计划开始时间sn的安排,合理地调整项目的现金流入与流出以最小化现金流缺口,从而最大可能地保证项目现金流的动态均衡。需要特别说明的是,在上述优化模型中,约束条件式(4)、(5)和(6)之间实际上存在着如下的权衡关系:在给定的计划截止时间D下,如果可更新资源约束设置得过紧/过松,那么,活动计划开始时间的调整余地就会减小/增大,进而导致进度计划的鲁棒性Robu下降/上升;同样,当可更新资源的可用量R'给定时,如果项目的计划截止时间D提前/延后,则每个活动可调整的时间窗就会变小/变大,所以,进度计划的鲁棒性也会随之下降/上升;相似地,给定项目进度计划的鲁棒性要求Robu*,如果项目的计划截止时间D提前/延后,则在满足网络优先关系的约束下,需要并行执行的活动数及其对资源的占用时间就会增加/减少,因此,对资源的需求量也会相应增加/减少。上述权衡关系表明,项目管理者必须根据实际情况审慎地权衡三种约束之间的关系,以取得一个最佳的进度计划安排;否则,如果仅按照主观经验去决策,其甚至无法得到一个可行的进度计划安排。而文中所构建的调度优化模型,则为项目管理者的上述决策提供了一个直接的定量化分析工具。

4 禁忌搜索启发式算法

该文所研究问题为一活动工期为随机变量的、现金流均衡目标的资源约束项目调度问题,它可视为经典的资源约束项目调度问题RCPSP(resource-constrained project scheduling problem)向不确定条件下的一种扩展。由于RCPSP已被证明为NP-hard问题[12],所以,此篇文章所研究问题也必然为一NP-hard问题。鉴于这一原因,作者采用禁忌搜索启发式算法求解该问题,之所以选择该种启发式算法,是因为它已被众多学者应用于项目调度问题的研究中,且被证明是求解此类问题的高效算法之一[13,14,15]。

4.1 解的表示

鉴于所研究问题具有可更新资源约束的特征,采用如下两个列表表示问题的解:

①活动次序列表AL:该列表由N+1个活动代号构成,各代号在列表中的位置即决定了其所对应活动在计划安排时的优先次序。基于AL,借助RCPSP中的SSGS(serial schedule generation scheme)[17],便可将各活动安排在其满足可更新资源及逻辑关系约束的最早时间开始,从而生成一个可使项目尽早完成的进度计划安排。

②时间裕量列表SL:该列表由N+1个时间裕量εn∈[0,Ln-En]构成,其中,En和Ln分别是活动n的最早和最晚开始时间,它们可基于项目活动网络及计划截止时间D通过CPM(critical path method)法计算得到。在编制进度计划时,εn被添加到相应的活动工期均值μ(d")上,以便在活动上形成所需的时间缓冲Bn.注意,由于Bn是通过sn的安排形成的,所以,它并一定不等于εn.

给定一组AL和SL,项目的进度计划安排可按照下述方式生成:首先,将SL所定义的εn添加到相应的活动工期均值μ(dn)上;其次,按照AL所定义的活动优先次序,基于μ(dn)+εn利用SSGS生成各活动的开始时间sn,由此形成项目进度计划。需要说明的是,尽管εn的取值被限制在[0,Ln—En]之内,但上述解的表示方式生成的进度计划,仍有可能违反计划截止时间D约束;而且,即使其满足计划截止时间约束,也有可能违反鲁棒性阈值的约束。在算法的迭代过程中,当上述两种情况出现时,为使正常搜索不受影响,算法不直接剔除不可行解,而是按照下面的方式对其目标函数进行惩罚:令Gmax=U.

在上述解的表示方式下,问题的初始可行解(ALini,SLini)可按照下述方式构造:在不违反网络优先关系约束的前提下,随机地给出一个活动次序列表ALini;同时,在时间裕量列表SLini上,将所有的εn都定义为0。

4.2 邻点生成机理

当前可行解(ALcur,SLcur)的邻点通过如下两个算子生成:

①位置交换(PS)算子:对于列表ALcur,在不违反网络优先关系约束的前提下,选择两个活动并交换它们的位置,从而生成当前解的一个邻点。对列表ALcur上每一对满足上述条件的活动都独立地进行同样的处理,由此得到一个邻点集合,集合中每个邻点的AL列表上仅有两个位置与当前解不同。

②裕量改变(SC)算子:对于列表SLcur,选择一个εn并将其值改变为区间[0,Ln-En]中的另一值,从而生成当前解的一个邻点。按照上述操作方式,将所选择的εn改变为区间[0,Ln-En]中的任何一个其他值。对列表SLcur上除虚活动0和N+1之外的每个εn都独立地进行同样的处理,由此得到一个邻点集合,集合中每个邻点的SL列表上仅有一个εn取值与当前解不同。

在由上述两个算子所得到邻点集合中,选择目标函数值最小的一个邻点记为(ALnei,SLnei),将其作为算法迭代搜索的下一步移动方向。

4.3 禁忌列表及终止准则

对应于活动次序列表AL和时间裕量列表SL,分别定义两个禁忌列表TLAL和TLSL,两个禁忌列表均采用“先进先出FIFO (First-in-First-out)”的原则进行更新:每当算法从当前解向选定的邻点移动时,该移动的逆向移动从底部加入到禁忌列表中,避免算法重新退回到当前解上;与此同时,最早进入列表的逆向移动从顶部移出列表,列表中其余逆向移动向上递进一位。所有位于禁忌列表中的逆向移动都是被禁止的,但是,如果一个被禁止的逆向移动能够生成比当前最好解还要好的邻点时,那么它的禁忌状态可以被激活,以使算法能够移动到该邻点上,从而避免错失问题的最好解。

算法的终止准则设置为探测可行解的总数,即当算法搜索的可行解的总数达到某一设定值时,算法停止搜索并将保存的最好解输出为满意解。其中,这里所说的可行解总数需要经过多次计算测试得到。

4.4 搜索过程

由于问题的解由活动次序列表AL和时间裕量列表SL构成,所以,采用两层禁忌搜索迭代嵌套的方式寻找问题的满意解。内层迭代在给定的活动次序列表AL下搜索满意的时间裕量列表SL*,外层迭代在内层迭代返回的SL*的基础上,搜索满意活动次序列表AL*.为了便于算法的表述,首先给出内层迭代Inner(AL)的搜索步骤:

步骤1输入初始SLini及在(AL,SLini下的目标函数值,定义内层迭代探测可行SL的总数.初始化禁忌列表TLSL,令内层迭代计数器NumSL=0。将当前解及当前最好解赋值为初始解:SLcur=SLini,;SL*=SLini,.

步骤2利用SC算子生成SLcur的一个邻点SLnei,计算在(AL,SLnei)下的目标函数值检查生成该邻点的移动是否位于禁忌列表TLSL中,若是转步骤4;否则,转步骤3。

步骤3令SLcur=SLnei,,NumSL=NumSL+1,更新禁忌列表TLSL.如果,进一步令,转步骤5;否则,直接转步骤5。

步骤4如果,激活生成该邻点移动的禁

忌状态,令SLcur=SL*=SLnei,,NumSL=NumSL+1,更新禁忌列表TLSL,转步骤5;否则,转步骤2。步骤5判断是否成立,若成立转步骤6;否则,转步骤2。

步骤6返回搜索到的满意SL及其对应的目标函数值,即.

在Inner(AL)的基础上,外层迭代可按下述步骤搜索问题的满意解:

步骤1输入初始可行解(ALini,SLini)及其对应的目标函数值.定义外层迭代探测可行AL的总数.初始化禁忌列表TLAL.令外层迭代计数器NumAL=0。将当前解及当前最好解赋值为初始解:ALcur=ALini,,;,,.

步骤2利用PS算子生成ALcur的一个邻点ALnei,调用Inner(ALnei)并将返回的满意SL及其目标函数值记为SLnei和.检查生成该邻点的移动是否位于禁忌列表TLAL中,若是转步骤4;否则,转步骤3。

步骤3令,,,NumAL=NumAL+1,更新禁忌列表TLAL.如果,进一步令AL*=ALcur,SL*=SLcur,,转步骤5;否则,直接转步骤5。

步骤4如果,激活生成该邻点移动的禁忌状态,令ALcur=AL*=ALnei,SLcur=SL*=SLnei,,NumAL=NumAL+1,更新禁忌列表TLAL,转步骤5;否则,转步骤2。

步骤5判断是否成立,若成立转步骤6;否则,转步骤2。

步骤6输出搜索到的满意解及其对应的目标函数值,即AL*、SL*和.

上述算法采用C++语言编程,算法参数通过实验法确定。

5 实例

5.1 案例背景

文中所选实例是2002年陕西某建筑工程公司在西安市小寨村修建的一幢欧式风格的商住楼——JHWY大厦建设项目。

JHWY大厦整体建筑面积为38300平方米。合同总价款U为7056万元,项目工期D为915天。项目采用AoN的方式表示进度关系,得到项目网络图如图1所示。项目包含50个活动(活动0和活动49为设定的虚拟开始活动及结束活动),由于施工过程中不确定因素的影响,各活动工期是服从一定均值分布的随机变量。各活动的挣值及平均工期、工期标准差、资源需求量(所需员工数)和费用见表1。可更新资源约束即各期所能提供的员工数基本恒定为340人。预付款比例γ为10%,质量保证金比例η为5%,业主在18个里程碑活动1、2、4、6、8、9、10、12、15、16、17、22、23、24、37、43、46、49上对承包商进行支付,支付比例θ为90%.

为了保证随机活动工期条件下进度计划的稳定性,降低项目执行过程中因为计划改变所造成的调整成本(如资源配置及安排的变更成本等),项目事先设定合适的鲁棒性约束值。本案例中,项目的鲁棒性约束值Robu*由如下方法得到:首先,由计划截止日期D和AoN网络,应用关键路径法得到项目的总时差;其次,找到网络图中的所有路径中权重系数最大的活动,并将其权重进行加总,使之乘以总时差即得到项目鲁棒性约束值Robu*的最大值,同理,求得项目鲁棒性约束值Robu*的最小值;最后,在这个区间内取一个合适的值作为项目鲁棒性约束值,本案例中取Robu*=25。

图1 JHWY大厦项目网络图

5.2 理论结果与现实情况的对比

利用文中所开发的禁忌搜索启发式算法对该案例进行求解,经过多次计算测试可知,当外层可行解个数NumAL=50000、内层可行解个数时,即问题模型的可行解总数为250000时,得到该问题模型的满意解,即承包商最大累计资金缺口最小化的项目满意进度安排,如下所示:

而在实际中,JHWY的进度安排如下:

将满意进度安排及实际进度安排中承包商累计资金缺口随时间变化的曲线分别绘于图2中,可以发现,在满意进度安排下,项目在第903天完成,承包商最大累计资金缺口的最大值为发生在第438天的660.15万元;在实际进度安排下,项目在第896天完成,承包商最大累计资金缺口的最大值为发生在第236天的1209.65万元。也就是说,在实际进度安排下,承包商的最大累计资金缺口比理论满意结果下的最大累计资金缺口大83.24%.

5.3 关键参数的敏感性分析

为了分析项目截止日期D、资源可用量Rl、鲁棒性约束值Robu*、支付比例θ、预付款比例γ和质量保证金比例η对现金流均衡目标(即承包商最大累计资金缺口)的影响,在其他参数不变的条件下分别变动其中某一参数并求解优化模型,获得在不同参数下对应于项目满意进度安排的见表2,根据表2绘制的随各参数变化曲线见图3。

从图3可以看出:

第一,承包商最大累计资金缺口随着项目截止日期的延迟而减小。这是因为,当项目截止日期放宽时,承包商进行进度安排的灵活性提高,可以在满足优先关系约束条件下,将某时刻上某些导致其资金缺口急剧增大的活动尽可能往后排,从而降低该时刻的现金流出量,使得其最大累计资金缺口也随之减小。

第二,承包商最大累计资金缺口随着资源可用量的放松而减小。这可以解释为,当资源可用量放松时,承包商可以在满足资源及优先关系约束条件下将相关支付活动尽可能提前至某一时刻,随着支付活动的完成,正现金流发生,进而抵消掉一部分负现金流,该时刻的最大累计资金缺口亦随之降低。

第三,承包商最大累计资金缺口随着鲁棒性阈值的放大而减小。放松鲁棒性约束时,承包商在为活动分配时间缓冲时的自由度提高,可选择将时间缓冲加在使其最大累计资金缺口较小的活动上,而不只是考虑将时间缓冲分配给权重系数较大的活动,从而减小其最大累计资金缺口。

第四,承包商最大累计资金缺口随着支付比例的提高而减小。支付比例决定了在支付活动上承包商可以获得的支付量的大小(即其现金流入的大小),当支付比例提高时,承包商在项目执行过程中得到的支付量随之增加,因而其最大累计资金缺口随之减小。

第五,承包商最大累计资金缺口随着预付款比例的提高而减小。预付款的作用是将部分合同价款提前到项目开始时刻支付,这实际上提高了承包商在项目进行过程中的资金运作能力,他可以将该部分资金分散地用于项目实施的不同阶段,以避免资金使用中较大缺口的出现,进而导致其最大累计资金缺口减小。

第六,承包商最大累计资金缺口随着质量保证金比例的提高而增大。随着质量保证金比例的提高,更多的资金被留到项目完成且质量保证期满后才进行支付,承包商在每次支付中获得的资金量相应减少,因此最大累计资金缺口增大。

此外,在算例中的关键参数取值相同的条件下,对问题模型中的三个约束条件进行仿真分析,测试结果显示:在该案例中,其它关键参数取值不变时,当截止日期约束D取885天、资源可用量约束Rl取306人、鲁棒性约束Robu*取35时,该问题模型无解,但放松这三个约束条件中的任意一个,则都可以找到可行解。由此,该问题模型可以为随机活动工期下现金流均衡项目管理实践中的定量化分析提供一组边界约束,即截止日期、资源可用量及鲁棒性等三组约束条件不能同时设置得过于严苛,否则,项目经理难以在有限的条件下完成既定工作任务,最终影响项目的顺利实施。

7 结论

本文研究了基于鲁棒性约束的随机工期现金流均衡项目调度问题。首先,对所研究问题进行了界定,目标是在活动工期随机变化及给定鲁棒性、计划截止时间和可更新资源约束的条件下,合理安排活动开始时间,以最小化承包商在项目实施过程中的最大累计资金缺口;随后,定义了一组决策变量即活动开始时间,在此基础上构建了基于鲁棒性约束的随机活动工期现金流均衡项目调度0-1规划优化模型,并设计了禁忌搜索启发式算法,定义了解的表示、初始解构造、邻点生成及移动、禁忌列表,并给出算法的具体搜索步骤;最后,通过一个算例对研究成果进行了说明,计算出使承包商最大累计资金缺口最小化的满意进度安排,并与实际情形进行了对比分析,讨论了项目关键参数对目标函数值的影响,得到如下结论:承包商最大累计资金缺口随着项目截止日期的延迟、资源可用量的放松、鲁棒性约束的放大及支付比例和预付款比例的提高而减小,随着质量保证金比例的提高而增大。在现实中,项目的活动可能具有多种执行模式,不同执行模式下的活动成本存在一定差异,这也会对项目执行过程中承包商的现金流均衡产生影响。然而本文未将上述因素考虑在内,有待在后续进一步扩展和完善。

摘要：现实中大多数项目都是在不确定环境下实施的,且承包商的现金流均衡对项目的顺利实施具有重要影响。本文以承包商的现金流均衡为目标,研究随机活动工期条件下基于鲁棒性约束的项目调度问题。首先对该问题进行界定,构建优化模型;随后设计专门的禁忌搜索启发式算法对模型进行求解;最后用一个实例对研究进行说明,并计算分析关键参数对目标函数的影响。本文研究可为现实中承包商融资能力有限的项目管理提供理论支持。

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